Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik

Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik
Teil 5: Matchings, Eulertouren und Hamiltonkreise
Tina Janne Schmidt
Technische Universität München
April 2012
Tina Janne Schmidt (TU München)
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Übersicht
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Matchings
Definitionen
Heiratssatz und Ähnliches
Größte Matchings
Knotenüberdeckungen
2
Euler-Touren und Hamiltonkreise
Euler-Touren
Hamiltonkreise
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Matching
Definition
Matching
Sei G = (V, E) ein Graph, dann heißt M ⊂ E Matching in G, wenn ∀e, e ∈ M mit
e 6= e0 gilt e ∩ e0 = ;.
0
v ∈ V heißt von M überdeckt, wenn es ein e ∈ M gibt, so dass v ∈ e.
M heißt maximales Matching, wenn ∀e ∈ E \ M : M ∪ {e} ist kein Matching
(d.h. M ist inklusionsmaximal).
M heißt größtes Matching, wenn ∀ Matchings M0 von G gilt M0 ≤ |M|.
M heißt perfektes Matching, wenn alle Knoten von G durch M überdeckt
sind, d. h. 2 |M| = |V|.
Matchingzahl von G: ν(G) := max{|M| : M ist Matching von G }.
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Größte und maximale Matchings
Proposition
Sei M ein Matching in G. Dann gilt:
1
M perfektes Matching in G ⇒ M größtes Matching in G.
2
M größtes Matching in G ⇒ M maximales Matching in G.
Proposition
Sei M ∗ ein größtes Matching in G und M ein maximales Matching in G. Dann gilt
1 M∗ ≥ |M| ≥ M∗ .
2
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Euler-Touren und Hamiltonkreise
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Heiratssatz und Ähnliches
Definition
Sei G = (V, E) ein Graph. Definiere für S ⊂ V :
N(S) =
[
N(x).
x∈S
Satz
Heiratssatz von Hall
· E) bipartit. Dann gilt:
Sei G = (A∪B,
G besitzt ein Matching, das alle Knoten in A überdeckt.
⇔
∀S ⊂ A : |S| ≤ |N(S)| .
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Folgerungen aus dem Heiratssatz
Korollar
· E) bipartit. Dann gilt:
Sei G = (A∪B,
G hat ein perfektes Matching.
⇔
|A| = |B| und ∀ S ⊂ A : |S| ≤ |N(S)| .
Korollar
· E) bipartit und ∃a, b ∈ N, so dass
Sie G = (A∪B,
∀x ∈ A : |N(x)| = a, ∀y ∈ B : N(y) = b und |A| ≤ |B| .
Dann hat G ein Matching, das alle Knoten in A überdeckt.
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Euler-Touren und Hamiltonkreise
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Alternierende und augmentierende Pfade
Definition
alternierender, augmentierender Pfad
Sei G = (V, E) ein Graph und M ⊂ E ein Matching in G. Ein Weg in G heißt
M-alternierend, falls er abwechselnd Kanten aus M und E \ M benutzt.
Wenn außerdem Anfangs- und Endknoten nicht von M überdeckt sind und der
Weg mindestens eine Kante enthält, dann heißt der Weg M-augmentierend.
Lemma
Augmentierung eines Matchings
Sei M ein Matching in G = (V, E) und P = (W, F) ein M -augmentierender
Weg in G.
Dann ist M 0 = M 4 F = (M \ F) ∪ (F \ M) ein Matching in G mit M 0 = |M| + 1.
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Größte Matchings finden
Satz
Sei G = (V, E) ein Graph und M ein beliebiges Matching in G. Dann gilt
Es gibt ein größeres Matching M ∗ als M in G.
⇔
Es gibt einen M -augmentierenden Weg in G.
Algorithmus für ein größtes Matching:
1
2
M := ;;
while ∃ M -augmentierender Weg:
2.1 Augmentiere entlang dieses Weges;
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Euler-Touren und Hamiltonkreise
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Knotenüberdeckungen
Definition
Knotenüberdeckung
Sei G = (V, E) ein Graph. Eine Knotenüberdeckung von G ist eine Menge W ⊂ V
mit der Eigenschaft, dass ∀e ∈ E : e ∩ W 6= ;.
τ(G) = min{l ∈ N0 : ∃ Knotenüberdeckung der Größe l in G}
Proposition
Für jeden Graphen G gilt:
ν(G) ≤ τ(G) ≤ 2 · ν(G).
Satz
· E) gilt
Für jeden bipartiten Graphen G = (A∪B,
ν(G) = τ(G).
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Euler-Touren und Hamiltonkreise
Euler-Touren
Hamiltonkreise
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Euler-Touren
Definition
Kantenzug, Eulertour
Ein Kantenzug in G = (V, E) ist eine Folge (v0 , v1 , . . . , vk ) von Knoten vi ∈ V , so
dass {vi−1 , vi } ∈ E für alle i ∈ [k]. Man sagt, dass der Kantenzug die Kante
{vi−1 , vi } benutzt.
Ein Kantenzug heißt geschlossen, falls v0 = vk ist.
Eine Euler-Tour von G ist ein geschlossener Kantenzug, der jede Kante von G
genau einmal benutzt.
Satz
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. Dann sind äquivalent:
Es gibt eine Eulertour.
deg(v) gerade ∀v ∈ V .
Es gibt eine Partition von E in kantendisjunkte Kreise.
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Hamiltonkreise
Definition
Hamiltonkreis
Ein Kreis der Länge |V| in G = (V, E) heißt Hamiltonkreis.
Satz
Wenn G ein Graph ist und δ(G) ≥
Hamiltonkreis.
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2
|V| sowie |V| ≥ 3, dann hat G einen
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