Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik

Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik
Teil 6: Elementares Zählen, Teilmengen Zählen und Partitionen Zählen
Tina Janne Schmidt
Technische Universität München
Wintersemester 2012/2013
Tina Janne Schmidt
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Übersicht
1
Elementares Zählen
Summen- und Produktregel
Zählen durch Bijektion
Doppeltes Abzählen
Inklusions-Exklusions-Formel
2
Teilmengen Zählen
Fallende Faktorielle und Binomialkoeffizient
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
k-Partitionen von Mengen
k-Partitionen von Zahlen
4
Zusammenfassung: Bälle auf Körbe verteilen
Bälle und Körbe
Fixpunktfreie Permutationen
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Summen- und Produktregel
Proposition
Summenregel
· 2 ∪· . . . ∪M
· k.
M1 , . . . , Mk endliche Mengen, paarweise disjunkt und M = M1 ∪M
⇒ |M | =
k
X
|Mi | .
i=1
Proposition
Produktregel
M1 , . . . , Mk endliche Mengen, M = M1 × M2 × . . . × Mk .
⇒ |M | =
k
Y
|Mi | .
i=1
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Funktionen
Definition
Urbild
Sei f : A → B eine Funktion. Dann definieren wir
f −1 (b) = {a ∈ A : f (a) = b} als das Urbild von b ∈ B,
S
f −1 (C) = c∈C f −1 (c) als das Urbild von C ⊂ B.
Proposition
Sei f : A → B eine Funktion. Dann gilt
A=
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[
˙
b∈B
f −1 (b) = f −1 (B).
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Eigenschaften von Funktionen
Definition
Sei f : A → B eine Funktion. f heißt
injektiv, falls für alle b ∈ B gilt f −1 (b) ≤ 1,
surjektiv, falls für alle b ∈ B gilt f −1 (b) ≥ 1,
bijektiv, falls für alle b ∈ B gilt f −1 (b) = 1.
Definition
Alternative Definition
Sei f : A → B eine Funktion. f heißt
injektiv, falls für alle a1 , a2 ∈ A gilt f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ,
surjektiv, falls ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : f (a) = b,
bijektiv, falls f injektiv und surjektiv.
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Zählen durch Bijektion
Satz
Sei f : A → B eine Funktion und seien A, B 6= ∅ endlich. Dann gilt
f bijektiv ⇒ |A| = |B|,
wenn |A| = |B|, dann sind injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent.
Proposition
Sei M eine endliche Menge mit |M | = k. Dann ist |P(M )| = 2k .
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Frage
Wie viele Graphen mit der Knotenmenge [n] gibt es?
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Doppeltes Abzählen
Proposition
Doppeltes Abzählen
Sei R ⊂ A × B eine binäre Relation. Dann
X
X
|{b ∈ B : (a, b) ∈ R}| = |R| =
|{a ∈ A : (a, b) ∈ R}| .
a∈A
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b∈B
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Frage
Sei G = (V, E) ein Graph und M ⊂ V × E eine binäre Relation mit
(v, e) ∈ M
⇔
v ∈ e.
Wenden Sie doppeltes Abzählen an und vereinfachen Sie.
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Inklusions-Exklusions-Formel
Satz
Für endliche Mengen M1 , M2 , . . . , Mn gilt:


n
n
[
X
X \


r−1
Mj 
Mi =
(−1)
j∈I
r=1
i=1
I∈([n]
r )
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Frage
Was ergibt die Inklusions-Exklusions-Formel für paarweise disjunkte Mengen M1 ,
M2 , . . . , Mn ?
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Notation
Definition
fallende Faktorielle
Für x ∈ R, k ∈ N heißt
x → xk = x · (x − 1) · . . . · (x − k + 1)
fallende (k-) Faktorielle von x.
Vereinbarung: n0 = 1.
Definition
Fakultät
n
Für n ∈ N heißt n! = n Fakultät von n. Es gilt: 0! = 1.
Definition
Binomialkoeffizient
Für k, n ∈ N mit k ≤ n ist
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nk
n
=
.
k!
k
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Eigenschaften des Binomialkoeffizients
Lemma
Sei n, k ∈ N0 und k ≤ n. Dann
n
n!
=
k
k!(n − k)!
n
n
und
=
=1
0
n
n
n
=
k
n−k
Pascal-Identität
n−1
n−1
n
+
=
k−1
k
k
für n, k ≥ 1 und k ≤ n − 1.
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Eigenschaften der fallenden Faktoriellen – 1
Lemma
Sei m, n, k ∈ N0 und x, y ∈ R. Dann
(x + y)n =
n X
n
k=0
insbesondere
n X
k=0
n
k
= 2n
k
xk y n−k ,
und
n X
n
k=0
k
(−1)k = 0
xn+k = xn (x − n)k
(x + y)n =
n X
n
k=0
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k
xk y n−k .
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Eigenschaften der fallenden Faktoriellen – 2
Lemma
Sei m, n, k ∈ N0 mit k ≤ m, k ≤ n und x, y ∈ R. Dann
k X
n
m
n+m
=
l
k−l
k
l=0
n
n
n+1
≤
wenn k ≤
.
k−1
k
2
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Frage
Wahr oder Falsch?
Für n ∈ N gilt nn−1 = n!
Frage
Berechnen Sie:
5!
103
7
2
11
8
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Zählen
Satz
Zählen, Teil a-c
Sei n, k ∈ N0 , M Menge mit |M | = n
a geordnet, mit Zurücklegen:
k
M = |{(c1 , c2 , . . . , ck ) : ci ∈ M ∀i ∈ [k]}| = nk .
b geordnet, ohne Zurücklegen (k ≤ n):
k
M = |{(c1 , . . . , ck ) : ci ∈ M ∀i ∈ [k], ci 6= cj ∀i 6= j ∈ [k]}| = nk .
c ungeordnet, ohne Zurücklegen (k ≤ n):
k
M = |{{c1 , . . . , ck } : ci ∈ M ∀i ∈ [k], ci 6= cj ∀i 6= j ∈ [k]}| = n = n .
k k
k!
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Multimengen
Multimengen
Eine Multimenge besteht aus einer Grundmenge M und einer Funktion
ϕ : M → N0 , die angibt wie oft ein Element in
Pder Multimenge enthalten ist.
Die Anzahl der Elemente der Multimenge ist m∈M ϕ(m).
Satz
Zählen, Teil d
Sei n, k ∈ N0 , M Menge mit |M | = n.
d ungeordnet, mit Zurücklegen:
X
M ϕ(m) = k}
k = {(M, ϕ) | ϕ : M → N0 mit
m∈M
n+k−1
n
=
=
.
k
k
(Menge der k-elementigen Multimengen aus M )
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Frage
In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln.
Wir gehen davon aus, dass die roten Kugeln die Nummern 1 bis 5 und die blauen
Kugeln die Nummern 1 bis 3 haben.
Wie viele Möglichkeiten gibt es vier Mal mit Zurücklegen mit Beachtung der
Reihenfolge zu ziehen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es vier Mal ohne Zurücklegen mit Beachtung der
Reihenfolge zu ziehen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es vier Mal ohne Zurücklegen und ohne
Beachtung der Reihenfolge zu ziehen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es vier Mal mit Zurücklegen ohne Beachtung der
Reihenfolge zu ziehen?
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k-Partitionen von Mengen
k-Partition einer Menge
Definition
Sei k, n ∈ N0 , M Menge mit |M | = n. Eine k-Partition ist eine Zerlegung
· 2 ∪· . . . ∪M
· k.
von M in k disjunkte, nicht leere Teilmengen: M = M1 ∪M
n
Sn,k =
= Anzahl der k-Partitionen einer n-elementigen Menge;
k
S0,0 := 1.
Sn,k heißt Stirling-Zahl zweiter Art.
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k-Partitionen von Mengen – Eigenschaften
Satz
Sei k, n ∈ N0 .
für k > n: Sn,k = 0
für n ≥ 1: Sn,0 = 0
für 1 ≤ k ≤ n: Sn,k = Sn−1,k−1 + k · Sn−1,k .
Satz
Für alle 1 ≤ k ≤ n gilt
Sn,k
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k
X
(k − r)n
=
(−1)r
.
r!(k − r)!
r=0
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k-Partitionen von Zahlen
k-Partition einer Zahl
Definition
Eine k-Partition der Zahl n ist eine Zerlegung von n in k natürliche
Summanden:
n = n1 + n2 + . . . + nk
mit ni ∈ N ∀i ∈ [k].
Bei einer geordneten Partition ist die Reihenfolge der Summanden wichtig,
bei einer ungeordneten Partition ist die Reihenfolge der Summanden egal.
Pn,k := Anzahl der ungeordneten k-Partitionen von n
P0,0 := 1.
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k-Partitionen von Zahlen – Eigenschaften
Satz
Sei k, n ∈ N0 .
für k > n: Pn,k = 0
für n ≥ 1: Pn,0 = 0
für n, k ≥ 1:
Pn+k,k =
k−1
X
Pn,k−i
i=0
für 1 ≤ k ≤ n: Es gibt genau
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n−1
k−1
geordnete k-Partitionen der Zahl n.
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Seite 26
Frage
Ein Lehrer möchte 24 Schüler für 6 (unterscheidbare) Aufgaben einteilen. Dabei
soll jeder Schüler für genau eine Aufgabe eingeteilt sein und für jede Aufgabe
mindestens ein Schüler.
Wie viele Möglichkeiten hat der Lehrer, wenn er die Schüler unterscheiden
kann?
Wie viele Möglichkeiten hat der Lehrer, wenn er die Schüler nicht
unterscheiden kann?
Jetzt sollen die 6 Aufgaben gleich sein.
Wie viele Möglichkeiten hat der Lehrer, wenn er die Schüler unterscheiden
kann?
Wie viele Möglichkeiten hat der Lehrer, wenn er die Schüler nicht
unterscheiden kann?
Wie viele Möglichkeiten hat der Lehrer, wenn er die Schüler nicht
unterscheiden kann und jedes Team aus mindestens 3 Schülern bestehen soll?
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Seite 27
Bälle auf Körbe verteilen
Satz
Werfe n Bälle in k Körbe. Für die Anzahl der Verteilungsmöglichkeiten gilt
beliebig
injektiv
surjektiv
bijektiv
(n ≤ k)
(n ≥ k)
(n = k)
Bälle unt. bar
kn
kn
k!Sn,k
n!
Körbe unt.bar
n+k−1
k
n−1
Bälle nicht unt. bar
1
Körbe unt.bar
n
n
k−1
k
X
Bälle unt. bar,
1
Sn,k
1
Sn,i
Körbe nicht unt.bar
i=1
Bälle nicht unt. bar,
Körbe nicht unt.bar
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k
X
Pn,i
1
Pn,k
1
i=1
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Seite 29
Fixpunktfreie Permutationen
Definition
fixpunktfreie Permutationen
S = Menge aller Permutationen/Bijektionen f : [n] → [n]
D n = {f ∈ S : f (x) 6= x ∀x ∈ [n]} fixpunktfreie Funktionen oder
Derangements.
n
Es gilt mit n = |A|:
|D n | = n!
n
X
(−1)r
r=0
und
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|D n |
1
→
n
|S |
e
r!
für n → ∞.
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