Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik

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Teil 4: Elementares Zählen, Teilmengen Zählen und Partitionen Zählen
Tina Janne Schmidt
Technische Universität München
April 2012
Tina Janne Schmidt (TU München)
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04/2012
1 / 30
Übersicht
1
Elementares Zählen
Summen- und Produktregel
Zählen durch Bijektion
Doppeltes Abzählen
Inklusions-Exklusions Formel
2
Teilmengen Zählen
fallende Faktorielle und Binomialkoeffizient
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
k-Partitionen von Mengen
k-Partitionen von Zahlen
Bälle auf Körbe verteilen
Fixpunktfreie Permutationen
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2 / 30
Übersicht
1
Elementares Zählen
Summen- und Produktregel
Zählen durch Bijektion
Doppeltes Abzählen
Inklusions-Exklusions Formel
2
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
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Summen- und Produktregel
Proposition
Summenregel
· 2 ∪· . . . ∪M
· k.
M1 , . . . , Mk endliche Mengen, paarweise disjunkt und M = M1 ∪M
k X
M .
⇒ |M| =
i
i=1
Proposition
Produktregel
M1 , . . . , Mk endliche Mengen, M = M1 × M2 × . . . × Mk .
⇒ |M| =
k Y
M i
i=1
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Übersicht
1
Elementares Zählen
Summen- und Produktregel
Zählen durch Bijektion
Doppeltes Abzählen
Inklusions-Exklusions Formel
2
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
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Funktionen
Definition
Urbild
Sei f : A → B eine Funktion. Dann definieren wir
f −1 (b) = {a ∈ A : f (a) = b} als das Urbild von b ∈ B,
S
f −1 (C) = c∈C f −1 (c) als das Urbild von C ⊂ B.
Proposition
A=
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[
˙
b∈B
f −1 (b) = f −1 (B).
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Eigenschaften von Funktionen
Definition
Sei f : A → B eine Funktion. f heißt
injektiv, falls für alle b ∈ B gilt f −1 (b) ≤ 1,
surjektiv, falls für alle b ∈ B gilt f −1 (b) ≥ 1,
bijektiv, falls für alle b ∈ B gilt f −1 (b) = 1.
Definition
Alternative Definition
Sei f : A → B eine Funktion. f heißt
injektiv, falls für alle a1 , a2 ∈ A gilt f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ,
surjektiv, falls ∀b ∈ B ∃a ∈ A : f (a) = b,
bijektiv, falls f injektiv und surjektiv.
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Zählen durch Bijektion
Satz
Sei f : A → B eine Funktion und seien A, B 6= ; endlich. Dann gilt
f bijektiv ⇒ |A| = |B|,
wenn |A| = |B|, dann sind injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent.
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1
Elementares Zählen
Summen- und Produktregel
Zählen durch Bijektion
Doppeltes Abzählen
Inklusions-Exklusions Formel
2
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
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Doppeltes Abzählen
Proposition
Doppeltes Abzählen
Sei R ⊂ A × B eine binäre Relation. Dann
X
|{b ∈ B : (a, b) ∈ R}| = |R| =
a∈A
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X
|{a ∈ A : (a, b) ∈ R}|
b∈B
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1
Elementares Zählen
Summen- und Produktregel
Zählen durch Bijektion
Doppeltes Abzählen
Inklusions-Exklusions Formel
2
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
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Inklusions-Exklusions Formel
Satz
Inklusions-Exklusions-Formel
Für endliche Mengen M1 , M2 , . . . , Mn gilt:
n
n
[
X
X
\
r−1
(−1)
Mj Mi =
r=1
[n] i=1
I∈( r ) j∈I
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Elementares Zählen
2
Teilmengen Zählen
fallende Faktorielle und Binomialkoeffizient
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
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Notation
Definition
fallende Faktorielle
Für x ∈ R, k ∈ N heißt
x → xk = x · (x − 1) · . . . · (x − k + 1)
fallende (k-) Faktorielle von x.
Vereinbarung: n0 = 1.
Definition
Fakultät
Für n ∈ N heißt n! = n Fakultät von n. Es gilt: 0! = 1.
n
Definition
Binomialkoeffizient
Für k, n ∈ N mit k ≤ n ist
n
k
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=
nk
k!
=
n!
k!(n − k)!
.
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Eigenschaften des Binomialkoeffizients
Lemma
Sei n, k ∈ N0 und k ≤ n. Dann
n
k
=
n!
k!(n − k)!
n
k
n−1
k−1
+
n
und
=
0
n
=
n
n
=1
n−k
n−1
k
=
n
k
für n, k ≥ 1 und k ≤ n − 1.
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Eigenschaften der fallenden Faktoriellen – 1
Lemma
Sei m, n, k ∈ N0 und x, y ∈ R. Dann
(x + y)n =
n X
n
k=0
insbesondere
n X
k=0
n
k
k
xk yn−k ,
= 2n und
n X
n
k=0
k
(−1)k = 0
xn+k = xn (x − n)k
(x + y)n =
n X
n
k=0
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k
xk yn−k .
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Eigenschaften der fallenden Faktoriellen – 2
Lemma
Sei m, n, k ∈ N0 mit k ≤ m, k ≤ n und x, y ∈ R. Dann
k X
n
m
l
l=0
n
k−1
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≤
k−l
n
k
=
n+m
k
wenn k ≤
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n+1
2
.
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1
Elementares Zählen
2
Teilmengen Zählen
fallende Faktorielle und Binomialkoeffizient
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
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Zählen
Satz
Zählen, Teil a-c
Sei n, k ∈ N0 , M Menge mit |M| = n
a geordnet, mit Zurücklegen:
Mk = {(c , c , . . . , c ) : c ∈ M ∀i ∈ [k]} = nk .
1 2
k
i
b geordnet, ohne Zurücklegen (k ≤ n):
Mk = {(c , . . . , c ) : c ∈ M ∀i ∈ [k], c 6= c ∀i 6= j ∈ [k]} = nk .
1
k
i
i
j
c ungeordnet, ohne Zurücklegen (k ≤ n):
©
M ¦
n
= {c , . . . , c } : c ∈ M ∀i ∈ [k], c 6= c ∀i 6= j ∈ [k] =
.
1
k
i
i
j
k k
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Multimengen
Multimengen
Eine Multimenge besteht aus einer Grundmenge M und einer Funktion
ϕ : M → N0 , die angibt wie oft ein Element inP
der Multimenge enthalten ist.
Die Anzahl der Elemente der Multimenge ist m∈M ϕ(m).
Satz
Zählen, Teil d
Sei n, k ∈ N0 , M Menge mit |M| = n.
d ungeordnet, mit Zurücklegen:
X
M = {(M, ϕ) | ϕ : M → N mit
ϕ(m)
=
k}
0
k m∈M
n+k−1
n
=
=
.
k
k
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1
Elementares Zählen
2
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
k-Partitionen von Mengen
k-Partitionen von Zahlen
Bälle auf Körbe verteilen
Fixpunktfreie Permutationen
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21 / 30
k-Partitionen von Mengen
Definition
k-Partition einer Menge
Sei k, n ∈ N0 , M Menge mit |M| = n. Eine k-Partition ist eine Zerlegung von
· 2 ∪· . . . ∪M
· k.
M in k disjunkte, nicht leere Teilmengen: M = M1 ∪M
n
= Anzahl der k-Partitionen einer n-elementigen Menge; S0,0 := 1.
Sn,k =
k
Sn,k heißt Stirling-Zahl zweiter Art.
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22 / 30
k-Partitionen von Mengen – Eigenschaften
Satz
Sei k, n ∈ N0 .
für k > n: Sn,k = 0
für n ≥ 1: Sn,0 = 0
für 1 ≤ k ≤ n: Sn,k = Sn−1,k−1 + k · Sn−1,k .
Satz
Für alle 1 ≤ k ≤ n gilt
Sn,k =
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k
X
(k − r)n
(−1)r
.
r!(k − r)!
r=0
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23 / 30
Übersicht
1
Elementares Zählen
2
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
k-Partitionen von Mengen
k-Partitionen von Zahlen
Bälle auf Körbe verteilen
Fixpunktfreie Permutationen
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24 / 30
k-Partitionen von Zahlen
Definition
k-Partition einer Zahl
Eine k-Partition der Zahl n ist eine Zerlegung von n in k natürliche
Summanden:
n = n1 + n2 + . . . + nk mit ni ∈ N ∀i ∈ [k].
Bei einer geordneten Partition ist die Reihenfolge der Summanden wichtig,
bei einer ungeordneten Partition ist die Reihenfolge der Summanden egal.
Pn,k := Anzahl der ungeordneten k-Partitionen von n
P0,0 := 1.
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k-Partitionen von Zahlen – Eigenschaften
Satz
Sei k, n ∈ N0 .
für k > n: Pn,k = 0
für n ≥ 1: Pn,0 = 0
für n, k ≥ 1:
Pn+k,k =
k−1
X
Pn,k−i
i=0
für 1 ≤ k ≤ n: Es gibt genau
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n−1
k−1
geordnete k-Partitionen der Zahl n.
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Elementares Zählen
2
Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
k-Partitionen von Mengen
k-Partitionen von Zahlen
Bälle auf Körbe verteilen
Fixpunktfreie Permutationen
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Bälle auf Körbe verteilen
Satz
Werfe n Bälle in k Körbe. Für die Anzahl der Verteilungsmöglichkeiten gilt
beliebig
injektiv surjektiv bijektiv
(n ≤ k)
(n ≥ k)
(n = k)
n
n
Bälle unt. bar
k
k
k!Sn,k
n!
Körbe unt.bar
Bälle nicht unt. bar
Körbe unt.bar
n+k−1
n
k
n
n−1
k−1
1
Bälle unt. bar,
Körbe nicht unt.bar
Pk
1
Sn,k
1
Bälle nicht unt. bar,
Körbe nicht unt.bar
Pk
1
Pn,k
1
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i=1 Sn,i
i=1 Pn,i
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Teilmengen Zählen
3
Partitionen Zählen
k-Partitionen von Mengen
k-Partitionen von Zahlen
Bälle auf Körbe verteilen
Fixpunktfreie Permutationen
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29 / 30
Fixpunktfreie Permutationen
Definition
fixpunktfreie Permutationen
S = Menge aller Permutationen/Bijektionen f : A → A
D = {f ∈ S : f (x) 6= x ∀x ∈ A} fixpunktfreie Funktionen oder Derangements.
Es gilt mit n = |A|:
|D| = n!
n
X
(−1)r
r=0
und
|D|
|S |
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→
1
e
r!
für n → ∞.
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