Acta Academiae Aboensis. Mathematica et physica

ACTA ACADEMIAE ABOENSIS
MATHEMATICA ET PHYSICA I: i
UBER EINE
V E R A LLG E M E IN E R U N G DES
EUKLIDISCHEN ALGORITHM US
VON
NILS P IP P IN G
DR. PHIL., LEKTOR DER MATHEMATIK AN DER AKADEMIE ABO (FINLAND)
A bo a k a d e m i
Abo 1922
’
/
■ : 9
/
A b o 1922
A b o TRYCKERl OCH TIDNINGS AKT1EBOLAO
■<
'*
UBER EINE VERALLGEMEINERUNG DES EUKLIDISCHEN ALGORITHMUS.
1.
Wir betrachten ein System von drei positiven reellen Werten
Falls sie alle unter einander verschieden sind, bilden wir aus
dem gegebenen
System zwei neue Systeme nach der folgenden
Regel.
Das (n:te System (/m= 1,2) geht hervor, indent der grOsste Wert,
t0, durch den Wert t0— tfl ersetzt wird, wahrend die Werte tv t2
unverdndert gelassen werden.
Die so gebildeten Systeme bestehen aus drei positiven Werten;
falls jedes derselben nur unter einander verschiedene Werte enthalt,
wiederholen wir dasselbe Verfahren in Bezug auf alle beide. Hierbei
erhalten wir 22 neue Systeme, u. s. w. Bei dem iden Schritte gehen
2V neue Systeme hervor.
So
lange kein einziges von den betrachteten Systemen zwei gleiche
Werte enthalt, setze.n wir das genannte Rekursionsverfahren fort; die
bei dem folgenden Schritte hervorgehenden Systeme bestehen dann
aus lauter positiven Werten. Falls wir aber ein System bekommen,
das zwei gleiche Werte enthalt, brechen wir das Verfahren ab; in
diesem Falle sagen wir daher, dass der Algoiithmus abbricht; sonst
lasst er sich ins Unendliche fortsetzen.
Es sei co eine positive reelle Grosse, und wir wenden den obigen
4
Ob e r
den
e u k l id is c h e n
a l g o r it h m u s
Algorithmus auf die Potenzen l,w, w2 an. Hierbei erhalten wir eine
Kette von Systemen
(0)
5,
(i)
(i)
^2
Sx
(2 )
Sl
( 2)
(2 )
S2
S3
( 2)
Si
welche wir die zu w gehOrige allgemeitie Kette 2:ter Ordnung nennen.1
Im folgenden setzen wir diese Kette als unendlich voraus, und
wir bezeichnen sie kurz mit K.
Von der Kette K greifen wir eine
Reihe von Systemen
~ (0)
J \ )
c <2)
(3)
3*
in der Weise heraus, dass jedes System S ^ eines der beiden Sys/
vft
teme ist, welche aus dem System S f ^ hergeleitet wurden.
Diese Kette nennen wir eine Unterkette der allgemeinen Kette KWir wollen darlegen, dass die von Jacobi angegebene Verallgemeinerung des Euklidischen Algorithmus eine Reihe von Systemen gibt,
die sdmtlich in derselben Unterkette der Kette K vorkommen.
Mit Hilfe der Gleichungen
(a) « „ + i
-
w
,
+ 1=
+
(" = 0 ,1 ,2 ,- ),
in denen lp und mv die grossten ganzen Zahlen bedeuten, welche
<-- v v :u n) bzw. w V:u V sind,’ leitet Jacobi — wie bekannt — aus den
Ausgangswerten u0 = \ , v0 =■- w, w0 = u*2 sukzessiv neue Wertesysteme her.
1 Eine allgemeine Kette /i:ter Ordnung ergibt sich, wenn wir von dem Wertesystem 1, cu, co2, . . , o)n ausgehen, aus demselben n neue Systeme bilden, aus diesen
wieder /i2 neue Systeme, u. s. w. (Vgl. Nils Pipping: Ein Kriterium fiir die reellen
algebraischen Zahlen, auf eine direkte Verallgemeinerung des Euklidischen A lgo­
rithmus gegriindet; Acta Academiae Aboensis, Mathematica et Physica I, Abo, 1921.)
5
O b e r D E N E U K L I D I S C H E N A L G O R I T H MU S
Es lasst sich ohne Miihe zeigen, dass falls das System up, v yi
w
in der Kette K vorkommt, so ist dasselbe mit dem System (a)
der Fall.
Hierbei sind drei Moglichkeiten zu unterscheiden.
l:o.
Von den Werten uv, v pl w p ist up der grdsste. Dieser Fall
kann nur fiir v = 0 zutreffen.. Wir haben dann uv^>vp, uy ^>wy> so
dass lv =-mv -= 0; das System (a) ist mit dem System uy, vyf w
identisch und kommt mithin in der Kette K vor, w. z. b. w.
2:o.
Von den Werten uyi v p) wp ist up der mittlere. Es ist dann
■wy
'. denn falls wir v V^ V^
p"> V V'
v hatten, wiirde aus der
letzteren von diesen Ungleichungen folgen, dass v = 0 ware, d. h.
up ware entweder der grdsste oder der kleinste von den Werten
uv> Vv> wv'
Werte des Systems (a) sind daher
v * w v - mv tls uv>
weil ja lp = 0 aus der Ungleichung uy ^>v hervorgeht. Dieses Wertesystem kommt in der Kette K vor.
Es ist namlich w
von den Werten up, v , wv; das System
der grdsste
v yi w —uy kommt mithin
in der Kette K vor, womit unsere Behauptung im Falle mv = 1 bewiesen ist.
Fur mv ^> 1 ist wv — uv der grdsste von den Werten
up, v p> w p—up1 woraus folgt, dass die Werte u , vyi wy—2 up ein
System der Kette K bilden. Vermittels vollstandiger Induktion lasst
sich auf dieselbe Weise schliessen, dass allgemein das System upJ
v p, wv—mp up in der Kette K vorkommt, w. z. b. w.
3:o.
Von den Werten up, v yf w
ist up der kleinste. Wir subtra-
hieren von dem grossten der Werte uy, v yJ wy den Wert uy, von
dem grossten Wert des so erhaltenen Systems subtrahieren wir wieder den Wert uy, u. s. w. Dieses Verfahren gibt uns nach (ly+ m —2)
Operationen das System
in welchem die beiden erstgeschriebenen Werte noch immer ^>up
sind. Der Wert up von dem grosseren der beiden Werte v - { l y— \)up,
6
Ob e r
den
e u k l id is c h e n
a l g o r it h m u s
w v—(mv—X)iiv subtrahiert, gibt ein System mit dem zweiten derselben
als grosstem Wert. Wenn wir von diesem noch den Wert u,y subtrahieren, erhalten wir endlich das System (a), welches also in der Kette
K vorkommt, w. z. b. w.
Aus den obigen Erwagungen geht ferner folgendes hervor: das
System (a) stammt sozusagen von dem System u , v , wv her, d. h.
das System (a) ist eines von den Systemen, welche entweder direkt
oder durch gewisse zwischenliegende Systeme aus dem System u t
(0)
v v, wv hergeleitet wurden.
v
Weil 5 1 = (1, w, co2) = {uQy v Q, w0) ist,
haben wir mithin das Ergebnis gewonnen:
Die Wertesysteme der Jacobi-Kette kommen sttmtlich in derselben
Unterkette der Kette K vor.
2.
Die Kette K wird p e r i o d i s c h genannt, falls es in derselben
eine Unterkette gibt, welche zwei Systeme enthdlt, deren Werte pro­
portional sind.
Nach dem in Nr. 1 dargelegten fallt mithin die zu w gehorige
allgemeine Kette K dann immer periodisch aus, wenn die zur fraglichen Grosse
hat.
m
gehorige Jacobi-Kette einen periodischen Verlauf
Bezliglich aller Beispiele, fiir welche eine periodische Jacobi-
Kette hergeleitet wurde, lasst sich daher sofort schliessen, dass auch
die Kette K periodisch ist.
Ferner wollen wir zeigen, dass falls die zu cugehtirige allgemeine
Kette (2:ter Ordnung) periodisch ausfdllt, so ist w eine algebraische
Zahl 3:ten Grades.
Diejenige Unterkette, welche unserer Annahme gemass zwei Sys­
teme enthalt, deren Werte proportional sind, bezeichnen wir mit
S0,
und es seien uy, v v,
*^2 y ’ ’ ' ' y
die drei Werte, welche dem System Sv ge-
horen.
Wir diirfen hierbei
u0 — 1» v0 — <o, Wq
o)~
Ob e r
E U K L I D I S C H E N AL G O R I TH M U S
den
7
wahlen, und allgemein: wenn wir aus dem System SL 1 das Sys­
tem Sv herleiten, ersetzen wir den grossten Wert jenes Systems
durch einen neuen Wert nach der in Nr. 1 angegebenen Regel
t
ohne die gegenseitige Reihenfolge der fraglichen Werte zu verdndern;
uv, v , w v bezeichnen dann eindeutig definierte Werte.
Es lassen sich die Werte des Ausgangssystems S0 in der Form
Uq
—1
V0 =
= 1 +
co =
W q — co2 =
0
0 •Gl 4" 0 •CO2 =
p 0 + P q O) + P q " W“
0 •co2 =
q Q + q 0' co + q 0" co2
+ 1 •co +
0 + 0 * cu + 1 •a)- = rq
rq
co
rq
co2
schreiben, und falls wir sukzessiv mit samtlichen Koeffizienten p, q, r
dieselben Operationen ausfiihren wie mit den entsprechenden Werten
u, v, wy erhalten wir daher die Gleichungen
uv = P » + P v ,(i}+ P j 0}"
<0
w, = $ ; + ? , > + ? / » * '
Wv = rv + rv 0J + rv 0,2
mit ganzzahligen Koeffizienten p, q, r.
Dem obigen gemass ist die Determinante dieses Gleichungssystems
gleich + 1, und wir erhalten mithin
+
<2)
Q , V v + R VW *
» =
0 ,2 =
P V
11v +
QJ' Vv +
W v’
wenn wir wie gewohnlich die Unterdeterminanten mit Pv, Qv, Rv,
P.;, Q ;, R ;, p ;> Q:> R ; bezeichnen.
Es seien die Werte uv, v v, w v der GrOsse nach geordnet ,a„>PP>y„,
wobei
= av + a v " + av
(O '
Pv = bv + b j «, + b ; ^
y„ = c„ + c>
+ C <u2-
8
Ol i ER D E N E U K L I D 1 S C H E N AL GO RI THMU S
Wenn wir dieses Gleichungssystem aufldsen und die Unterdeterminanten mit A B t>} C„f AJ, BJ, C„', A ”, Bv\ CJ bezeichnen,
erhalten wir [vgl. (2)|
|-- 1 rsa A V « V
■
(2)#
'
B If 1ftIf "j~
CIf •VV
1
f- to = A / / ' « If 4-' B
' ft
+ Cif ' y• if
^ V
1 v 1
-l-fiia
B V"ft
C v"yf //»,
i. =i4 V" « if I1 ^
I I, I w
in welchen Gleichungen die linken Glieder entweder alle drei positiv
oder alle drei negativ sind.
Nehmcn wir jetzt an, es sei « A>: ftk : yk = « / :
: y{ ; (/ > £), so dass
<3,
Nach (2)' und (3) erhalten wir dann
I
— >4^ « / j Z?A./?, i CA. ^ — a ■!■•bio i C(o-
l Hot
Ak'
I- Bk' ftt ! CA/ yt ---- d l e (o \-fio-
| H(o- ■Ak (xl -{- Bk”
-|- C * y{ =-•■g h h (o -f- / o>2,
wo a, by c\ d, cy / , g> //, i ganze Zahlen bedeuten, und nach Eli­
mination von (*) gchen daher zwei kubische Gleichungen mit ganz­
zahligen Koeffizienten hervor:
6’ w:l I (b—/ ) rti- | (a
/or* i (e
e) (o — d — 0
j) to- i (d- h) to— g = 0.
Bride kOnnen nicht IdentiUiten sein.
c
d
f
g *b
It
0; a
e
i
Denn in diesem Falle ware
± w, d. h. H ware eine ganze
Zahl, was mit (3) in Widerspruch steht.
Wir haben inithin bewiesen, dass to eine algebraische Zahl, htichstens vom 3:ten Grade ist.
Weil aber die betrachtete Kette - - un-
serer Annahine geniilss - - nicht abbricht, kann w keine algebraische
Zahl l:sten oder 2:ten Grades sein (vgl. die auf Seite 4 zitierte
Abhandlung), woraus folgt, dass (o tatsachlich eine kubische Irrationalzahl ist.
Ob e r
3.
E U K L I D I S C H E N A L G O R I T H MU S
den
9
O. Perron 1 hat wie bekannt gezeigt, dass die Jacobi-Kette
konvergiert. Wir fragen jetzt, ob dasselbe mit einer beliebigen Unterkette der Kette K der Fall ist. Wir fragen m. a. W., ob allgemein
die Beziehungen
V
(4)
lim ___=
PV
— OO
lim
v =
P"
Pv
OO
V =
lim
OO
lim
v
—
OO
__ =
Qv
Q "
" =
Q
^ v
lim
V =
lim
V =
= m
Rv
OO
R "
= w
RV
OO
gultig sind.
Es ist leicht darzutun, dass dem so nicht ist.
Zu dem Ende
brauchen wir nur den Zusammenhang zwischen den Zahlen P„,">
RJ und den Zahlen Pv + V .., RJ + i zl* untersuchen.
Nehmen wir einen Augenblick an, dass die Werte uv ,
Grosse nach geordnet wv ^> v u
der
v sind, und dass wir als Subtra-
henden den Wert v v wahlen, um aus dem System Sv das System
+ 1 herzuleiten.
u*+ i = u»
Wir haben dann
P, + i = P v
v»+i = vv
P \ + i=P'y
=
P"v + i = P \
=
Wv + l = Wv - V» ’ r» + l - rv
« ' v + i = <i'v
T\ + 1 = r\
-
=
und daher
p
.,
_ p
P'
^ +i “ ^
+
Q
— P'
*+ 1“
p*
■*/
^ ^+ 1
i/+i = Q
Ri>
< + i= ^ -
^ P"
r v
^+i =
s \ + i= * v
Ahnliche Beziehungen erhalt man, falls die Werte uv , v v , w v der
Grosse nach geordnet in einer anderen Reihe aufeinanderfolgen, oder
falls wir als Subtrahenden nicht den mittleren sondern den kleinsten
von den Werten uyi v v , w v wahlen.
Wir sehen allgemein, dass
1 Siehe Mathematische Annalen, Bd. 64, 1907.
U BER DEN E U K LID ISC H E N ALGORITHMUS
10
Rv" nur diejenige, welche in den Gleichungen (2) Koeffizienten des Subtrahenden uvi vv oder wv sind,
von den Zahlen
verSndert werden.
Bei der Wahl des Subtrahenden sind stets zwei Moglichkeiten
offen. Wir konneii folglich fiir jeden Index
Subtrahenden vermeiden.
v
z. B. den Wert uy als
Es ist dann
und wir haben folglich nicht
4.
Betrachten wir aber speziell diejenige Unterkette
*-*1»
^ 2 >
* *
* * J
welche sich ergibt, wenn wir bei jedem Schritt den mittleren der
Werte uv i vv^wv von dem grossten derselben subtrahieren; fiir die
so gebildete Kette sind die Beziehungen (4) tatsachlich gultig, was
wir nunmehr beweisen werden.
Zu dem Ende schreiben wir die Werte u,v ,J v V ,’ wV in die untenstehende Tabelle I auf, und daneben schreiben wir eine andere
Tabelle II auf, worin
a(*\a® (p = 0,1,2, •••) eine gewisse Per­
mutation der Ziffern 1, 2, 3 angibt; dem grossten (bzw. dem mitt­
leren und dem kleinsten) von den Werten uv, vy , wv der Tabelle I
entspricht auf demselben Platz in der Tabelle II die Ziffer 1 (bzw.
2 und 3).
Tabelle I.
u0 v0 w0
111
vt
Tabelle II.
( 1)
“o
W1
u2 v2 w2
«i1}
(2)
(3)
ao
uo
a?
«<3)
*?
Ob e r
den
euklidisch en
algorithm us
11
Nach dem Bildungsgesetz der betrachteten Kette bleibt — mit
Rucksicht auf das Axiom von Archimedes — kein Wert u, v oder
w fortwahrend der kleinste, sondern es gibt sicher einen Index vx
derart, dass wenigstens einer von den Werten u , v , w
kleiner
vi vi
v\
als der kleinste von den Werten a
,, v
w
ist. Und
1
1
weil bei der Herleitung jedes neuen Systems nur einer von den
Werten uv , vyi w v verandert wird, hat nur einer von den Werten
u
, vy , wv die genannte Eigenschaft. Auf eine gewisse endliche
Anzahl aufeinanderfolgender Ziffern 3 folgt also in jeder Kolonne
die Ziffer 2.
In ganz derselben Weise geht hervor, dass auf eine gewisse end­
liche Anzahl aufeinanderfolgender Ziffern 2 in jeder Kolonne die
Ziffer 1 folgt.
Nach dem Bildungsgesetz der betrachteten Kette bleibt ferner
— mit Rucksicht auf das Axiom von Archimedes — kein Wert h,
v oder w fortwahrend der grosste.
Auf eine gewisse endliche An­
zahl aufeinanderfolgender Ziffern 1 folgt also in jeder Kolonne die
Ziffer 2 oder die Ziffer 3.
Aus obigen Erwagungen stellt sich heraus, dass falls wir eine
geniigend grosse, jedoch endliche Anzahl von aufeinanderfolgenden
Zeilen der Tabelle II betrachten, so kommt sowohl die Ziffer 1 als
auch die Ziffer 2 in alien drei Kolonnen vor.
Aus diesem Ergebnis lasst sich ferner schliessen, dass die Be­
ziehungen
lim Pv = lim Qy = lim Rv = oo
v = OO
V = OO
V — oo
gelten.
Um die Zahlen Pv , Qy , Ry sukzessiv aus den Ausgangswerten
Po = h
Qo = 0, 7?0= 0
herzuleiten, haben wir nach den Untersuchungen in Nr. 3 auf folgende Weise zu verfahren:
Der Koeffizient des mittleren von den Werten uv , v v , wv in der
12
Ob e r
den
eu klid isch en
algorithm us
Gleichung 1 = Pv uv + Qv vy + Rv w v wird durch die Sumrrte von
jener selben Zahl und dem Koeffizienten des grdssten Wertes uv ,
v v , w v ersetzt, wdhrend die beiden iibrigen von den Zahlen Pv ,
Qv , Rv unverCtndert gelassen werden; hierbei gehen die Zahlen
P v + V Qv + V R v + 1
herVOr-
Es sind mithin P y9 Qv , Rv ganze Zahlen ^ 0 ; und von einem
gewissen Index v an sind sie tatsachlich positiv.
Anfangs, die Zahlen Pv sind samtlich positiv, weil P 0> 0
ist.
Es bezeichne ferner vx die erste Zeile der Tabelle II, welche die
Ziffer 1 in der ersten Kolonne aufweist.
Dann sind
a) die Zahlen Qv + 1 , Qv + 2 , ••• samtlich positiv, falls die Ziffern
der Zeile v1 in der Reihe 1, 2, 3 aufeinanderfolgen;
b) die Zahlen Rv + 1 , Rv + 2 ,
samtlich positiv, falls die Ziffern
der Zeile v1 in der Reihe 1, 3, 2 aufeinanderfolgen.
Und endlich: im Falle a) sind die Zahlen Qv + 1 , Qv + 2 , ••• samt­
lich positiv, wenn v2 (v2 > Vl) die erste Zeile angibt, welche die Ziffer
2 in der 3:ten Kolonne aufweist; im Falle b) sind die Zahlen Rv
- - samtlich positiv, wenn v2(v2 ^ v 1) die erste Zeile angibt,
welche die Ziffer 2 in der 2:ten Kolonne aufweist.
Wir haben mithin
Ferner bestimmen wir eine Zahl v3 derart, dass die Zeilen der
Tabelle II vom (v2+ l):sten bis zum v3:ten die Ziffer 2 in alien drei
Kolonnen aufweisen; dann ist
Auf dieselbe Weise erhalten wir allgemein
womit die Beziehungen (5) als richtig erwiesen sind.
Cb e r
den
e u k l id is c h e n
a l g o r it h m u s
13
Wir setzen nunmehr
Den grossten von den Werten \
dv \
, |<?v |, \JV\bezeichnen wir
mit Mv , den grossten von den Werten |dv\
, |<?v |, |4 J
mit -Mv,
und wir behaupten, dass
(7)
Nehmen wir wieder einen Augenblick an, dass die Werte uv , v ,
w der Grosse nach geordnet wv > vv > uv sind, und dass wir als
Subtrahenden den Wert vv wahlen, um aus dem System Sv das
System Sv + 1 herzuleiten.
Mit RUcksicht auf die Untersuchungen
in Nr. 3 haben wir dann nach (6)
+1
^ V '
Die Richtigkeit unserer Behauptung geht folglich hervor, falls wir
beweisen konnen, dass
\ K + A v \ < M v*
\
dv + J v \ < M V
Es ist nach (2) und (6)
Uv d v + Vv dv + Wv J v = 0 >
und weil uy =|= 0, erhalten wir daher
14
U B E R D E N E U K L I D I S C H E N A L GO RI T H MU S
Nunmehr sind zwei Falle zu unterscheiden:1
J:o Sv Av < 0 und 2:o dv Av > 0.
Falls dv Av < 0 ist, haben wir \8V + AV\ < max. (|8V |’: |Av |) g M v ,
w. z. b. w.
Falls aber dv J v ^>0 ist, ergibt sich nach (8)
v
w
I d I = — I Sv 1+
Uv
Uv
\J V
I>
I
I + I Av I = I Sv +
Av I >
und wir haben mithin auch in diesem Falle |Sv + Ay | < M v , w. z. b. w.
Auf ganz dieselbe Weise leiten wir die Ungleichung \d'v + Av \ < M V
her, und es gelten mithin die Beziehungen (7) unter den oben (vgl.
S. 13) gemachten Voraussetzungen betreffend die Werte uv , vv , wv.
Falls diese Werte der Grosse nach geordnet in einer anderen Reihe
aufeinanderfolgen, oder falls wir als Subtrahenden nicht den mittleren sondern den kleinsten von denselben wahlen, ergibt sich die
Richtigkeit jener Beziehungen in analoger Weise.
Nach (7) haben wir fiir jeden Index v
dv ,
, Av ■§_ M 0 = max. (1,«.)
dv , dv , Av ^ M 0= max.(1 ,w2).
Die Beziehungen (9), (6) und (5) zusammengestellt geben den
verlangten Konvergenzsatz (4). —
Die in dieser Nummer betrachtete spezielle Kette wurde von
V i g g o Br u n (En generalisation av kjedebr0 ken I, II; Videnskapsselskapets Skrifter, Kristiania,
1919,
1920) angegeben.
Auf geo-
metrischem Wege zeigt Brun u. A., dass wenigstens eine von den
Quoten PJ
:Py , Qv':Qv, R v':Rv
mit wachsendem Index v gegen
o) konvergiert, und dass ebenso wenigstens eine von den Quoten
PV" : P V, Qv" - Q v, RV"\RV mit wachsendem Index v gegen
vergiert.
w2 kon­
Abo, den 28. Januar 1922.
1 Es ist dv zlv I- 0, weil die betrachtete Kette unserer Annahme gemMss nicht
abbricht, und o) mithin keine rationale Zahl ist. (Vgl. S. 8.)
PRIS 45 FMK
R E D A K T IO N E N S A D R E S S : ABO AKADEMI, ABO, FINLAND