W echselwirkungen und die Propagatortheorie

Kapitel 10
Teilchenphysik
H = H 0 + HW
245
Als Folge wird der Hamilton-Operator als Summe von zwei Termen
ausgedrückt:
L ∫ L 0 + LW
Bis jetzt haben wir nur freie Klein-Gordon- oder Dirac-Teilchen
betrachtet. Wie sollen wir Wechselwirkungen einführen? Im Allgemeinen wird die Lagrange-Dichte des Systems zwei Terme enthalten:
der erste Term beschreibt die freien Felder und der zweite ihre Wechselwirkungen:
10.1.1 Der Zeitentwicklungsoperator
10.1 Wechselwirkungsmodell
Wechselwirkungen und
die Propagatortheorie
246
∂L W
(∂ 0f ) - L W = - L W
∂(∂ 0f )
U ( t, t0 ) ∫ e iH 0 ( t - t 0 )e - iH ( t - t 0 )
r
r
f ( x, t) = e iH ( t - t 0 )f ( x, t0 )e - iH ( t - t 0 )
r
= e iH ( t - t 0 )e - iH 0 ( t - t 0 )f I ( x, t0 )e iH 0 ( t - t 0 )e - iH ( t - t 0 )
r
= U + ( t, t0 )f I ( x, t0 )U ( t, t0 )
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
der Zeitentwicklungsoperator ist.
wobei
Dann gilt
Wir können die Zeitentwicklung in zwei Terme aufteilen, und nur die
Zeitentwicklung des H0-Operators betrachten. Wir definieren das
Feld im Wechselwirkungs-Bild:
r
f I ( x m ) = e iH 0 ( t - t 0 )f ( x, t0 )e - iH 0 ( t - t 0 )
Man benutzt die sogenannte Heisenberg-Darstellung der Operatoren, um die Zeitentwicklung des Feldes auszudrücken:
r
f ( x m ) = e iH ( t - t 0 )f ( x, t0 )e - iH ( t - t 0 )
wenn die Lagrangedichte des Wechselwirkungsterms unabhängig von
der Ableitung des Feldes ist. In diesem Fall spricht man von einer
direkten Kopplung (“direct or nonderivative coupling”).
HW =
wobei HW die Wechselwirkung darstellt. Die Hamiltondichte ist
gleich
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
= HW ( t )
0
∂
U ( t, t0 ) = e iH 0 ( t - t 0 ) ( H - H 0 )e - iH ( t - t 0 )
∂t
iH 0 ( t - t 0 ) - iH ( t - t 0 )
= e iH 0 ( t - t 0 ) ( HW )e - iH 0 ( t - t 0 ) e1
e 443
2
144424443 44
=U ( t , t )
und
U ( t0 , t0 ) = 1
t
t0
t
t0
t1
t1
Teilchenphysik
t0
t0
t0
+(-i) n Ú dt1 ... Ú dtn HW ( t1 )...HW ( tn ) + ...
t n-1
t
= 1 + (-i) Ú dt1HW ( t1 ) + (-i) 2 Ú dt1 Ú dt2 HW ( t1 ) HW ( t2 ) + ...
t
ˆ
Ê
U ( t, t0 ) = 1 - i Ú dt1HW ( t1 )Á1 - i Ú dt2 HW ( t2 )U ( t2 , t0 )˜
¯
Ë
t0
t0
Wir können diese Integration iterativ berechnen:
t0
U ( t, t0 ) = 1 - i Ú dt1HW ( t1 )U ( t1, t0 )
t
∂
U ( t, t0 ) = HW ( t)U ( t, t0 )
∂t
Die formale Lösung ist gleich
i
Wir können diese Differentialgleichung lösen:
247
ist, wobei HW(t) der (zeitabhängige) Wechselwirkungsoperator im
Wechselwirkungs-Bild ist.
i
Wir bemerken, dass die zeitliche Ableitung des Operators gleich
Wechselwirkungsmodell
248
1
t1
2
t0
W
( t1 ) HW ( t2 ) =
t
t
1
dt dt T ( HW ( t1 ) HW ( t2 ))
2 Út 0 1 Út 0 2
t0
t
t1
Transformation der Zeitintegration.
t2
t1=t2
t0
t2
t1=t2
n!
(-i) n
t0
t
t0
t n-1
n
W
( t1 )...HW ( tn ))
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
In der Praxis werden wir nur die ersten Terme der Reihe berechnen
(Siehe Kap. 10.4).
Die Entwicklung wird dann definiert als Taylor-Reihe von zeitgeordneten Termen !
t
1
Ú dt ... Ú dt T (H
Ê - i Ú dt ¢HW ( t ¢ )ˆ
˜
∫ T Á e t0
Á
˜
Ë
¯
n =1
•
U ( t, t0 ) = 1 + Â
Wenn wir alle Terme in ähnlicher Weise anordnen, erhalten wir
Figur 1.
t
t1
wobei T der zeitordnende Dyson-Operator ist. Siehe Abb. 1.
t0
Ú dt Ú dt H
t
Wir bemerken, dass
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
n!
(-i)
n!
n
(-i) n
Ú
•
4
(
)
x1 ...Ú d 4 x n T H W ( t1 )...H W ( tn )
-•
dt1 ... Ú dtn T ( HW ( t1 )...HW ( tn ))
Úd
-•
•
n!
(-i) n
Úd
4
(
)
x1 ...Ú d 4 x n T H W ( t1 )...H W ( tn )
Teilchenphysik
249
ist. Jeder Term kann im Prinzip berechnet werden, und die gesamte
Amplitude wird dann als die Summe dieser Terme gewonnen.
Sn =
wobei der n-te Term gleich
S ∫ 1 + S1 + S2 + ...
Die S-Matrix kann als eine Reihe von Termen dargestellt werden:
wobei HW die Hamiltondichte des Wechselwirkungsterms ist.
n =1
=1+ Â
•
n =1
=1+ Â
•
S ∫ U (-•, •)
Die S-Matrix wird definiert als
In der Störungstheorie (Siehe Kap. 3.2) haben wir die Übergangsamplitude zwischen Zuständen betrachtet. Um die Anordnung zu
beschreiben, die wir in der Praxis treffen, haben wir die Übergangsamplitude zwischen –T/2Æ–• und T/2Æ+• angenommen. Hier
sind wir am Zeitentwicklungsoperator zwischen –• und +• interessiert.
10.1.2 Übergangsamplitude: die S-Matrix
Wechselwirkungsmodell
250
1
(f1 + if2 )
2
(
m
+
m
2
+
( )
( )
+ (∂ j )(∂ j ) - m j j
-
)
1 2 2
1
Ê1
ˆ
M s + Â Á ∂ mf a (∂ mf a ) - m 2f a 2 ˜
Ë2
¯
2
2
a
2
1
1
1
- M 2s 2 + ∂ mf (∂ mf ) - m 2f 2
2
2
2
2
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
L0 =
1
∂s
2 m
1
= ∂ ms
2
( )
Dieses Feld beschreibt geladene Teilchen, z.B. p+ und p-. Das Feld
f(x)=f3(x) beschreibt ein neutrales Teilchen, z.B. p0. In Abwesenheit
von der Wechselwirkung ist das freie System durch die folgende
Lagrange-Dichte beschrieben (Siehe Kap. 7.3):
j∫
Als Beispiel bauen wir ein einfaches Modell mit einem reellen skalaren Feld s(x) der Masse M und drei reellen skalaren Feldern fa(x),
a=1,2,3 der Massen m. Die Felder f1(x) und f2(x) werden kombiniert, um ein komplexwertiges Feld aufzubauen (Siehe Kap. 7.6):
Die einfachste Form der Wechselwirkung ist lokal, d.h. die Terme, die
die Wechselwirkung beschreiben, werden im selben Punkt der Raumzeit angenommen. Wenn keine Ableitungen der Felder im Wechselwirkungsterm erscheinen, heisst die Wechselwirkung direkt (“direct
or nonderivative”, Siehe Kap. 10.1.1).
10.2 Einfacher Prozess: lokale
Wechselwirkung
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
252
L W = - gf 4 - g¢ s 2f 2 - g¢¢ s 4 - lsf 2 - l ¢s 3
f 4 ,sf 3 ,s 2f 2 ,s 3f,s 4 ,f 3 ,sf 2 ,s 2f, oder s 3
3
2
2
3
2
2
Teilchenphysik
Wir bemerken:
251
Wir nehmen an, dass das Feld s(x) skalar unter der Parität ist, und
dass das Feld f(x) ein Pseudoskalar (der Partität) ist. Es gilt daher:
r
r
r
P: s ( t, x ) Æ s ( t, - x ) = +s ( t, x )
r
r
r
f ( t, x ) Æ f ( t, - x ) = -f ( t, x )
Ï 0¢
0
Ôx = x
Ì
ÔÓ x i¢ = - x i i = 1, 2, 3
Um das Problem zu vereinfachen, können wir bestimmte Eigenschaften unter gewissen Symmetrien betrachten. Natürlich muss die
Lagrange-Dichte immer Lorentz-invariant sein. Man kann dazu z.B.
auch die Parität (Raumspiegelung, Siehe Kap. 4.4) betrachten:
4
gf , g¢ sf , g¢¢ s f ,..., lf , l ¢sf , l ¢¢s f,...
Diese Terme sind Lorentz-invariant. Die Stärke der Kopplung wird
durch eine Kopplungskonstante definiert. Durch eine Dimensionsanalyse sieht man, dass Terme wie f4 eine dimensionslose Kopplungskonstante haben, weil Terme wie f3 eine Kopplungskonstante
mit der Dimension einer Energie (Masse) haben:
)
]
]
[
] [
[
[
] [
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
[
[
]
]
]
mit Kommutationsregeln
r
r
r r
r
r
r
r
Ï a( p), a + ( p¢ ) ∫ d 3 ( p - p¢ )
a( p), a( p¢ )] ∫ a + ( p), a + ( p¢ ) ∫ 0
[
r
ÔÔ r + r
3 r
Ì c ( p), c ( p¢ ) ∫ d ( p - p¢ )
[c ( pr ),c ( pr ¢)] ∫ c + ( pr ),c + ( pr ¢) ∫ 0
Ô r
r
r + r
r
+ r
+ r
+ r
ÔÓ[ a( p), c ( p¢ )] ∫ a ( p), c ( p¢ ) ∫ a( p), c ( p¢ ) ∫ a ( p), c ( p¢ ) ∫ 0
(
Die Lagrange-Dichte L0 beschreibt das freie System und die
Lagrange-Dichte LW entspricht der Störung des Systems. Wir nehmen nun an, dass die Felder quantisiert werden. Wir schreiben (Siehe
Kap. 7.5):
r
r
d3 p
1
f ( x , t) ∫ Ú
(a( pr )e - ip◊x + a+ ( pr )e + ip◊x )
(2p ) 3 / 2 2 E p
r
r
r
r
d 3k
1
c ( k )e - ik ◊x + c + ( k )e + ik ◊x
s ( x , t) ∫ Ú
(2p ) 3 / 2 2 E k
H W = - L W = gf 4 + g¢ s 2f 2 + g¢¢ s 4 + lsf 2 + l ¢s 3
Weil es keine Ableitungen der Felder in den Kopplungen gibt, gilt:
Daher hat die Wechselwirkungs-Lagrange-Dichte die folgende allgemeine Form:
Eine lokale, direkte Kopplung wird eingeführt, wenn man Produkte
von Feldern betrachtet. Man kann z.B. folgende Terme annehmen:
Wir betrachten die Reaktion:
10.2.1 Neutraler Zerfall
s Æ p 0p 0
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
Die freie Lagrange-Dichte ist invariant under der Parität.
Wenn das wechselwirkende System diese Eigenschaft erhalten
muss, dürfen die Kopplungen nur eine gerade Anzahl von
Potenzen von f enthalten. Für das Feld s gibt es keine spezielle Bedingung.
Einfacher Prozess: lokale Wechselwirkung
Normierung
q1q2 ∫
r
r
1
2
r
r
(2p ) 3 2 E q (2p ) 3 2 E q 0 a(q2 )a(q1)
1
(2p ) 3 2 E q (2p ) 3 2 E q a + (q1)a + (q2 ) 0
2
Der Operator
Vakuum
erzeugt das rTeilchen
mit Impuls k
1
2
(2p ) 3 2 E q (2p ) 3 2 E q (2p ) 3 2 E k ¥
r
r
r
0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 x1s ( x1 )f 2 ( x1 )c + ( k ) 0
S1 = (-il )
Teilchenphysik
oder
S1 = (-i) q1q2 Ú d 4 x1ls ( x1 )f 2 ( x1 ) k
253
In erster Ordnung ist die Kopplung durch den Term lsf2 gegeben.
Das entsprechende Element der S-Matrix ist gleich:
oder
q1q2 ∫
In ähnlicher Weise ist der Endzustand:
Teilchen
im
r Impulseigenzustand
k
Daher wird der Anfangszustand mit Hilfe des Erzeugungsoperators
definiert:
r
3
+
k
∫ (2p ) 2 E k
c1
(3
k)
0
2
{
{
14243
s ( k m ) Æ p 0 (q1m ) + p 0 (q2m )
Wir müssen nun die Kinematik des Zerfalls einführen:
Einfacher Prozess: lokale Wechselwirkung
254
)
1
(2p ) 3 / 2 2 E k
r
r
0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 xf 2 ( x ) e - ik ◊x 0
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
=
r
r
r
0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 xs ( x )f 2 ( x )c + ( k ) 0 =
r
r r
r
r
d 3k ¢
1
4
2
e - ik ¢◊xd 3 ( k ¢ - k ) 0
= 0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d xf ( x ) Ú
3/2
2
E
(2p )
k¢
Daher:
Es gilt mit Hilfe der Kommutationsregeln:
r
r
r r
r
r
0 c ( k ¢ )c + ( k ) 0 = 0 d 3 ( k ¢ - k ) 0 + 0 c + ( k ¢ )c ( k ) 0
r r
= 0 d 3 (k ¢ - k ) 0
(
Wir betrachten das Matrixelement:
r
r
r
0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 xs ( x )f 2 ( x )c + ( k ) 0 =
r
r
= 0 a(q2 ) a(q1 )
r
r - ik ¢◊x
r + ik ¢◊x + r
d 3k ¢
1
+
4
2
d
x
f
(
x
)
Ú
Ú (2p )3/ 2 2 E k ¢ c (k ¢)e + c (k ¢)e c (k ) 0 =
r
r
r
r
r
1
d 3k ¢
= 0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 xf 2 ( x ) Ú
e - ik ¢◊x c ( k ¢ )c + ( k ) 0 =
3/2
2 Ek ¢
(2p )
r
3
r
r
r
r
1
d
k
¢
e - ik ¢◊x c ( k ¢ )c + ( k ) 0
= 0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 xf 2 ( x ) Ú
3/2
2 Ek ¢
(2p )
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
2
r
r
0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 xf 2 ( x ) 0 =
r
r
d 3 p1
1
d 3 p2
1
= Ú d4 xÚ
e + ip1 ◊x e + ip 2 ◊x ¥
3/2
3/2
Ú
2 E p1 (2p )
2 E p2
(2p )
(d 3 (qr1 - pr1)d 3 (qr2 - pr 2 ) + d 3 (qr1 - pr 2 )d 3 (qr2 - pr1))
Teilchenphysik
Daher:
Wir betrachten den Term:
r
r
r
r
0 a(q2 ) a(q1 ) a + ( p1 ) a + ( p2 ) 0 =
r
r
r
r
r r
r r
d 3 (q1 - p1 )d 3 (q2 - p2 ) + d 3 (q1 - p2 )d 3 (q2 - p1 )
255
ˆ
1
(a( pr )e - ip◊x + a+ ( pr )e + ip◊x )˜ e - ik◊x 0 =
2E p
¯
3r
r
r
d p1
1
0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 x Ú
(a+ ( pr1)e + ip1 ◊x ) ¥
(2p ) 3 / 2 2 E p1
r
d 3 p2
1
+ r
+ ip ◊ x
- ik ◊ x
Ú (2p )3/ 2 2 E p (a ( p2 )e 2 )e 0
2
Ê d 3 pr
ÁÚ
3/2
Ë (2p )
In ähnlicher Weise kann das Feld f eingefügt werden:
r
r
0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 xf 2 ( x ) e - ik ◊x 0 =
r
r
0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 x ¥
Einfacher Prozess: lokale Wechselwirkung
256
2
1
2
(2p ) 3 2 E q (2p ) 3 2 E q ¥
r
r
0 a(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 xf 2 ( x ) e - ik ◊x 0
1
(2p ) 3 2 E q (2p ) 3 2 E q (2p ) 3 2 E k
1
(2p ) 3 / 2 2 E k
¥
1
2 E p1
3
(
4
+e
4
)
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
4
= (-2il )(2p ) d 4 (q1 + q2 - k )
S1 = (iM )(2p ) d 4 (q1 + q2 - k )
Schliesslich haben wir gezeigt:
4
)
1
2 E q2
+ i( q 2 + q1 - k )◊ x
= (-il )2(2p ) d (q1 + q2 - k )
4
1
2 E q1
+ e + i( q 2 + q1 - k)◊x
+ i( q1 + q 2 - k )◊ x
+ i( q1 + q 2 - k )◊ x
= (-il ) Ú d x e
(e
= (-il ) 2 E q1 2 E q 2 Ú d 4 x
Úd
1
e + i( p1 + p 2 - k)◊x
2 E p2
(d 3 (qr1 - pr1)d 3 (qr2 - pr 2 ) + d 3 (qr1 - pr 2 )d 3 (qr2 - pr1))
r
p2
r
= (-il ) 2 E q1 2 E q 2 Ú d 4 x Ú d 3 p1
r
r
d3 p
1
1
d3 p
- ik ◊ x
+ ip ◊ x + ip ◊ x
4
Ú d xe Ú (2p )31/ 2 2 E p Ú (2p )32/ 2 2 E p e 1 e 2 ¥
1
2
(d 3 (qr1 - pr1)d 3 (qr2 - pr 2 ) + d 3 (qr1 - pr 2 )d 3 (qr2 - pr1))
= (-il )
S1 = (-il )
Nun kann die S-Matrix berechnet werden:
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
0
0
(s Æ p p )
-il
p0(q2)
Diagramm des Zerfalls sÆp0p0 in unserer Theorie.
Vertex
Teilchenphysik
257
Der Vertex wurde mit dem Faktor -il bezeichnet. Der Faktor 2
kommt aus der Symmetrisierung des Endzustands: die zwei Teilchen
sind identische Bosonen und es gibt zwei Möglichkeiten die Bosonen
an den Vertex zu koppeln. Der Symmetrie-Faktor wird im Diagramm
nicht dargestellt.
Figur 2.
s(k)
p0(q1)
Graphisch wird dieses Resultat mit Hilfe von sogenannten FeynmanDiagrammen dargestellt. Für diese Reaktion ist das entsprechende
Diagramm in Abb. 2 gezeigt. Das Diagramm enthält einen Vertex, der
die Wechselwirkung darstellt, und drei äussere Linien, die das zerfallende Teilchen und die auslaufenden Teilchen (Endzustandsprodukte)
darstellen.
iM = 2il
d.h. das Matrix-Element des Zerfalls in unserer Theorie ist
Ê
ˆ
4
Amplitude ∫ (-iM ) ¥ (2p ) d ( 4 ) Á
pi - Â p f ˜
Â
Ë Anfangszustand
¯
Endzustand
In der Praxis werden wir die Amplitude so ausdrücken (Siehe
Kap. 5.3):
Einfacher Prozess: lokale Wechselwirkung
258
2
2il 1 q
dW
32p 2 2 M 2
wobei
q=
1
M 2 - 4m2
2
=
l2
8p
M 2 - 4m2
M2
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
= -2ls ( x )(j + ( x )j ( x )) + ...
L W = -ls ( x )(f12 ( x ) + f 22 ( x )) + ...
Wir nehmen an, dass die geladenen Teilchen mit dem s-Teilchen wie
die neutralen koppeln. Der Term, der die Kopplung beschreibt, ist
daher:
s ( k m ) Æ p + (q1m ) + p - (q2m )
Wir betrachten nun den Zerfall in zwei geladene Teilchen:
10.2.2 Geladener Zerfall
0
1
2
2
4 l2 1 2 M - 4 m
4p
G(s Æ p p ) =
32p 2 2
M2
0
wobei wir als statistischen Faktor S=1/2 verwendet haben. Die Integration über den Raumwinkel liefert:
=
Die Zerfallsrate des s-Teilchens kann mit den kinematischen Faktoren berechnet werden. Die Formel ist (Siehe Kap. 5.3.2):
r
r
2
d 3q1
d 3q2
M
(2p ) 4 d 4 (k - q1 - q2 )
dG( M Æ 1 + 2) =
S
3
3
2 E A (2p ) 2 E q 2 (2p ) 2 E q 2
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
4
-
(s Æ p p )
+
)
Teilchenphysik
G(s Æ p +p - ) = 2G(s Æ p 0p 0 )
259
Die Zerfallsrate kann leicht berechnet werden, wie im Fall des neutralen Zerfalls. Man erhält:
und das entsprechende Diagramm ist in Abb. 3 gezeigt. In diesem
Fall braucht man keine Symmetrisierung, weil der Endzustand unterschiedliche Teichlen enthält. Der Vertex-Faktor ist daher 2il.
iM = 2il
d.h., die Amplitude ist gleich:
4
= (-2il )(2p ) d (q1 + q2 - k )
(
Wie im Fall des neutralen Zerfalls kann das Matrixelement berechnet
werden. Man findet:
r
S1 = (-i) q1q2 Ú d 4 x1 2ls ( x1 )j + ( x1 )j ( x1 )( x1 ) k
r
r
= (-2il ) 0 b(q2 ) a(q1 ) Ú d 4 x
+ r
+ ip ◊ x
+ r
+ ip ◊ x
3r
3r
Ú d p1(a ( p1)e 1 )Ú d p2 (b ( p2 )e 2 ) ¥
r - ik ¢◊x + r
r
3
Ú d k ¢ c (k ¢)e c (k ) 0
Das Feld j wird so quantisiert (Siehe Kap. 7.6):
r
Ï
r - ip ◊x
d3 p
1
+ r
+ ip ◊ x
j
(
x
)
∫
Ô
Ú (2p )3/ 2 2 E p (a( p)e + b ( p)e )
Ô
Ì
r
r - ip ◊x
d3 p
1
+ r
+ ip ◊ x
Ôj + ( x ) ∫
Ú (2p )3/ 2 2 E p (a ( p)e + b( p)e )
Ô
Ó
Einfacher Prozess: lokale Wechselwirkung
260
-2il
p-(q2)
p+(q1)
Diagramm des Zerfalls sÆp+p- in unserer Theorie.
Vertex
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
Der Austausch-Prozess wird durch die Amplitude für die
Erzeugung eines Feldquants in einem Punkt der Raumzeit und
die Vernichtung des Feldquants in einem anderen Punkt der
Raumzeit charakterisiert. Diese Ausbreitungsamplitude wird
als Propagator bezeichnet.
Wie schon im Kap. 1 erwähnt, wird die Wechselwirkung über eine
Distanz im Raum durch den Austausch eines Feldquants, das Energie
und Impuls überträgt, erklärt. Wir bemerken:
Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, wie lokale Wechselwirkungen in die Theorie eingeführt werden. Wir haben als Beispiel den Zerfall eines skalaren Teilchens berechnet. Eine solche Form entspricht
der grundlegenden Art von Wechselwirkung. In der Praxis will man
auch die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen beschreiben, die
sich nicht im selben Punkt befinden.
10.3 Streuprozesse
Figur 3.
s(k)
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
Normierung
erzeugt ein rTeilchen
mit Impuls p
r
µ Ú d 3 pe + ip ◊x
r
d p
=Ú
(2p ) 3 / 2
3
ˆ
Ê
˜
Á
r
1 Á r - ip ◊x
0 + a + ( p)e + ip ◊x 0 ˜
a( p)e
1
4
2
4
3
1
4
4
2
44
3
˜
2E p Á
r
Æ0
p
r
˜
Á
a+( p) 0 =
3
(
)
E
2
2
p
Ë
p ¯
r
p
Teilchenphysik
261
d.h. der Operator f ( x m ) erzeugt ein Teilchen im Raumzeitpunkt xµ.
f ( x m ) 0 ∫ Feldzustand eines Teilchens in der Raumzeit x m
Wir können deshalb sagen, dass der Feldoperator ein Teilchen in
einem bestimmten Punkt der Raumzeit erzeugt:
zustandes des Ortsvektors |xÒ in der Quantenmechanik.
Diese Summe ist eine Überlagerung von Zuständen mit verschiedenen Impulsen p. Sie sieht ähnlich aus, wie der Ausdruck eines Eigen-
oder
Wir betrachten die Anwendung des Feldoperators auf das Vakuum:
r
r
r
d3 p
1
f( x m ) 0 = Ú
a( p)e - ip ◊x + a + ( p)e + ip ◊x ) 0
(
3/2
2E p
(2p )
rim Impulseigenzustand
p
Wir definieren den normierten Zustand, der ein Teilchen mit
bestimmtem Impuls p darstellt:
r
r
p
∫ (2p ) 3 2 E p
a +2
(3
p)
0
{
1
{
1
4
2
4
3
Vakuum
ein Teilchen
Der Operator
10.3.1 Ausbreitungsamplitude
Streuprozesse
262
= 0 f ( x )f ( y ) 0
r r
0 a( p) a(q ) 0 = 0
r
r
r r
0 a( p) a + (q ) 0 = d 3 ( p - q )
r r
0 a + ( p) a(q ) 0 = 0
r
+ r
0 a ( p) a + (q ) 0 = 0
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
Aber
(
D4
( x2-4
y)
1
3
wegen
Translationsinvarianz
)
Wir können leicht beweisen, dass gilt
r
r
1
d3 p
d 3q
f ( x )f ( y ) = Ú
¥
3/2 Ú
(2p ) (2p ) 3 / 2 (2p ) 3 (2p ) 3 2 E p E q
(a( pr )e - ip◊x + a+ ( pr )e + ip◊x )(a(qr)e - iq◊x + a+ (qr)e + iq◊x )
r r
r
r
r r
r
r
µ ... ( a( p) a(q )...) + ( a( p) a + (q )...) + ( a + ( p) a(q )...) + ( a + ( p) a + (q )...)
ausdrücken können.
D( x, y ) ∫
Es folgt daraus, dass wir die Amplitude der Ausbreitung eines Teilchens von yµ nach xµ als
In ähnlicher Weise kann man beweisen, dass gilt
r
Ê r
r + ip ◊x ˆ
d3 p
1
0 f( x m ) = Ú
0 a( p)e - ip ◊x + 1
a +4
( p2
)e43˜
(2p ) 3 / 2 2 E p ÁË
¯
Æ0
3 r - ip ◊ x r
µ Ú d pe
p
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
( E p > 0)
y0<x0: Ausbreitung vorwärts in der Zeit
2.
Teilchenphysik
0
0
ÔÏD( x - y ) wenn x > y
DF ( x - y ) ∫ Ì
ÔÓD( y - x ) wenn y 0 > x 0
263
Feynman schlug vor, dass man die folgende Form für den Propagator verwenden muss, um eine “kovariante” Form zu
gewinnen:
Wir führen den Feynman-Propagator ein:
Im Prinzip wollen wir nicht denselben Ausdruck verwenden für die
Ausbreitung rückwärts in der Zeit und die Ausbreitung vorwärts in
der Zeit.
y0>x0: Ausbreitung rückwärts in der Zeit
1.
Wir können zwei Fälle unterscheiden:
10.3.2 Zeitgeordnete Ausbreitung - Der FeynmanPropagator
Dieser Ausdruck ist ganz allgemein. Bis jetzt haben wir nichts bezüglich xµ oder yµ gesagt. Die Beziehung gibt die Amplitude der Ausbreitung zwischen xµ und yµ, wobei xµ oder yµ zwei beliebige
Raumzeitpunkte sind.
r
d 3 p 1 - ip ◊( x - y)
e
0 f ( x )f ( y ) 0 = D( x - y ) = Ú
(2p ) 3 2 E p
und wir erhalten
Streuprozesse
264
r
r
d 3 p 1 - i( - p )◊( x - y)
d 3 p 1 - ip ◊( y - x)
e
=
Ú (2p )3 2 E p e
(2p ) 3 2 E p
r
d 3 p 1 - ip ◊( x - y)
e
(2p ) 3 2 E p
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
wobei T der zeitordnende Dyson-Operator ist.
DF ( x - y ) ∫ 0 T (f ( x )f ( y )) 0
Daher kann der Feynman-Propagator auch mit Hilfe des Dyson-Symbols T ausgedrückt werden:
wobei q(t) die Stufenfunktion ist.
= q ( x 0 - y 0 ) 0 f ( x )f ( y ) 0 + q ( y 0 - x 0 ) 0 f ( y )f ( x ) 0
= q ( x 0 - y 0 ) D( x - y ) + q ( y 0 - x 0 ) D( y - x )
ÏÔD( x - y ) wenn x 0 > y 0
DF ( x - y ) ∫ Ì
0
0
ÓÔD( y - x ) wenn y > x
Man kann den Feynman-Propagator mit Hilfe der Stufenfunktion
schreiben:
d.h., wie erwartet hat der Feynman-Propagator die folgende Eigenschaft: die Ausbreitung vorwärts in der Zeit mit 4-Impuls pm ist
gleich der Ausbreitung rückwärts in der Zeit mit Impuls –pm
(Siehe Kap. 8.8).
D( y - x ) = Ú
sehen wir, dass gilt
D( x - y ) = 0 f ( x )f ( y ) 0 = Ú
Aus der Gleichung
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
0
0
Teilchenphysik
(
0
0
)
r
d3 p
1
(e - ip◊( y - x ) )
(2p ) 3 2 E p
DF ( x - y ) = q ( x - y ) D( x - y ) + q ( y - x ) D( y - x )
r
1
d3 p
= q ( x 0 - y 0 )Ú
(e - ip◊( x - y ) ) +
(2p ) 3 2 E p
r
d3 p
1
q ( y 0 - x 0 )Ú
(e - ip◊( y - x ) )
(2p ) 3 2 E p
r
d3 p
1
=Ú
q ( x 0 - y 0 )e - ip ◊( x - y ) + q ( y 0 - x 0 )e - ip ◊( y - x )
3
2
E
(2p )
p
Die Summe liefert den Propagator:
q ( y 0 - x 0 ) 0 f ( y )f ( x ) 0 = q ( y 0 - x 0 ) Ú
In ähnlicher Weise ist der zweite Term gleich:
q ( x 0 - y 0 ) 0 f ( x )f ( y ) 0 =
r
r
r
d3 p
1
q( x 0 - y 0 ) 0 Ú
a( p)e - ip ◊x + a + ( p)e + ip ◊x ) ¥
(
3/2
2
E
(2p )
p
r
r - ip ¢◊y
1
d 3 p¢
+ r
+ ip ¢ ◊ y
Ú (2p )3/ 2 2 E p ¢ (a( p¢)e + a ( p¢)e ) 0
r
1
d3 p
= q ( x 0 - y 0 )Ú
(e - ip◊( x - y ) )
3
2
E
(2p )
p
265
Wir bestimmen nun den Feynman-Propagator. Wir fügen die Entwicklungen der skalaren reellen (quantisierten) Felder ein. Wir
betrachten den ersten Term:
Streuprozesse
266
(q ( x
0
- y 0 )e - ip
r
1
d3 p
¥
(2p ) 3 2 E p
0
- y 0 )e - ip
0
0
e
r r r
◊( x 0 - y 0 ) + ip ◊( x - y )
e
r r r
◊( x 0 - y 0 ) + ip ◊( x - y )
+ q ( y 0 - x 0 )e - ip
+ q ( y 0 - x 0 )e - ip
0
0
r r r
◊( y 0 - x 0 ) - ip ◊( x - y )
e
r r r
◊( y 0 - x 0 ) + ip ◊( y - x )
)
)
(
)
+•
-1
e - izt
dz
Ú
2pi -• z + ie
wenn t>0, muss die Kontur in der unteren Halbebene geschlossen
werden.
wenn t<0, muss die Kontur in der oberen Halbebene geschlossen
werden.
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
1.
1.
Tatsächlich kann das Integral berechnet werden, wenn wir eine Konturintegration in der komplexen Ebene betrachten. Der Integrand ist
analytisch ausser im Pol –ie in der unteren Halbebene. Es folgt:
e Æ0
q ( t) = lim+
Die Stufenfunktion kann als Integral ausgedrückt werden:
wobei wir in der letzen Zeile das Vorzeichen des räumlichen Exponenten des ersten Terms geändert haben, ohne das Resultat zu ändern.
3
e
r
r
r
r
1 - ip ◊( x - y )
d p
- iE ◊( x 0 - y 0 )
- iE ◊( y 0 - x 0 )
e
=Ú
+ q ( y 0 - x 0 )e p
q ( x 0 - y 0 )e p
(2p ) 3 2 E p
(q ( x
3
r
1
d p
=Ú
¥
(2p ) 3 2 E p
=Ú
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
- izt
Ï1 wenn t > 0
-1
e
Ú dz z + ie = ÌÓ0 wenn t < 0
2pi -•
+•
0
+•
e
-1 È
Í Ú dz
2pi ÍÎ-•
+•
0
z + ie
+
-•
Ú
+•
dz
- iE ◊( x 0 - y 0 )
- i( z + E p )( x 0 - y 0 )
0
Ú
=
=
=
- iE p ◊( x 0 - y 0 )
z + ie
- iE p ◊( y 0 - x 0 )
˘
˙
˙˚
=
e
z + ie
0
0
- x 0 ) - iE p ◊( y - x )
z = p0 - E p
+ q ( y 0 - x 0 )e
fi
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+•
+•
- ip ( x - y )
e - ip ( x - y ) ˘
1 È
0 e
+ Ú dp 0
˙
Í Ú dp
0
E p + p 0 - ie ˙˚
E p - p - ie -•
2pi ÍÎ-•
0
+•
+•
- ip ( x - y )
e - ip ( y - x ) ˘
1 È
0 e
+ Ú dp 0
˙
Í Ú dp
0
E p - p 0 - ie ˙˚
2pi ÍÎ-•
E p - p - ie -•
0
+•
+•
- ip ( x - y )
e - ip ( y - x ) ˘
-1 È
0 e
+ Ú dp 0 0
˙
Í Ú dp 0
p - E p + ie ˙˚
p - E p + ie -•
2pi ÍÎ-•
q ( x 0 - y 0 )e
Teilchenphysik
d.h.
p0 ∫ z + E p
e - iz( y
=
- i( z + E p )( y 0 - x 0 )
-•
dz
- iE p ◊( y 0 - x 0 )
+•
e
+
+ q ( y 0 - x 0 )e
e - iz( x - y )e p
-1 È
Í Ú dz
z + ie
2pi ÍÎ-•
- iE p ◊( x 0 - y 0 )
Wir nehmen p als Integrationsvariable an:
=
=
q ( x 0 - y 0 )e
˘
˙
˙˚
267
Man kann diese Darstellung der Stufenfunktion im Propagator einfügen und erhält:
e Æ0
q ( t) = lim+
Damit trägt das Integral über den Halbkreis nichts bei, weil die Exponentialfunktion nach Null geht. Es gilt daher:
Streuprozesse
268
0
0
0
( )
0
0
)
)
(
0
)
˘
˙
˙˚
1 d4 p
i Ú (2p ) 4
e - ip ( x - y )
(m - p2 - ie ¢)
2
(
)
˘
˙
˙˚
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
=
=Ú
0
0
0
r
+•
e - ip ( x - y )
d3 p
1 - ipr ◊( xr - yr ) 2 E p È
0
Í
e
dp
Ú
2pi Í-•
(2p ) 3 2 E p
E p2 - p02 - ie ¢
Î
r r r
r
- ip ◊( x - y ) - ip 0 ( x 0 - y 0 )
1 d3 p
e
0 e
= Ú
4 Ú dp
2
i (2p )
m
( p2 - ie ¢)
r r r
r
+ ip ◊( x - y ) - ip 0 ( x 0 - y 0 )
1 d3 p
e
0 e
= Ú
4 Ú dp
2
i (2p )
(m - p2 - ie ¢)
(
Zusammenfassend haben wir gefunden:
r
d3 p
1
DF ( x - y ) = Ú
q ( x 0 - y 0 )e - ip ◊( x - y ) + q ( y 0 - x 0 )e - ip ◊( y - x )
(2p ) 3 2 E p
)
enthält, der für y0>x0 und y0<x0 gilt, obwohl der Feynman-Propagator als Summe von Ausbreitungen rückwärts und vorwärts in der Zeit
ausgedrückt wurde. Der Nenner kann vereinchfacht werden:
r
r
E 2p - p02 = p 2 + m 2 - p02 = m 2 - ( p02 - p 2 ) = m 2 - p 2
wobei p0=p0. Wir bemerken, dass das Endergebnis nur einen Term
)(
( )
(
+•
E e - ip ( x - y ) + E p e - ip ( x - y
1 È
Í Ú dp 0 p
ª
2pi Í-•
E p - p 0 - ie E p + p 0 - ie
Î
0
0
0
2 E p È+• 0 e - ip ( x - y ) ˘
˙
Í Ú dp
=
2pi Í-•
E p2 - p02 - ie ¢ ˙˚
Î
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
d4 p
(2p ) 4
e - ip ( x - y )
( p - m 2 + ie )
2
d 4 p - ip ( x - y ) ˜
e
DF ( p)
(2p ) 4
1
( p2 - m 2 + ie )
Teilchenphysik
DFq ( x - y ) ∫ 0 T (j ( x )j + ( y )) 0
269
Für geladene Teilchen muss ein komplexwertiges Feld verwendet
werden. In diesem Fall ist der Feynman-Propagator so definiert:
ist.
D˜ F ( p) ∫
wobei der Feynman-Propagator im Impulsraum gleich
iDF ( x - y ) = Ú
Man kann den Ausdruck für den Propagator als ein Fourier-Integral
interpretieren:
wobei m die Ruhemasse des Teilchens ist. Dieser Ausdruck entspricht
dem Feynman-Propagator eines reellen Klein-Gordon-Felds. Er
gilt für y0>x0 und y0<x0! Die physikalische Interpretation ist die folgende:der erste und zweite Term des Propagators müssen als die Ausbreitung eines Teilchens und eines Antiteilchens interpretiert werden.
Die letzte Gleichung sorgt daher gleichzeitig für Teilchen und Antiteilchen.
iDF ( x - y ) = Ú
Diese Gleichung wird oft so ausgedrückt:
Streuprozesse
270
d4 p
(2p ) 4
e - ip ( x - y )
( p - m 2 + ie )
2
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
2
S1 = (-i) q3q4 Ú d 4 x1 4 g(j + ( x1 )j ( x1 )) q1q2
Die Amplitude des 4-Punkt-Vertexes, der unsere Reaktion in erster
Ordnung beschreibt, kann so berechnet werden:
2
= - gf 4 - lsf 2 - 4 g(j +j ) - 4 gj +jf 2 - 2ls (j +j ) + ...
2
L W = - g(f12 + f 22 + f 32 ) - ls (f12 + f 22 + f 32 ) + ...
Nun wollen wir sie mit den drei reellen skalaren Feldern fa(x),
a=1,2,3 (Siehe Kap. 10.2) erweitern und betrachten auch die SelbstKopplung in 4-ter Potenz gf4:
lsf 2
In erster Ordnung wird diese Reaktion durch einen 4-Punkt-Vertex
dargestellt (Siehe Abb. 4). Sie kann mit Hilfe der 4-Feld-Kopplung
ausgedrückt werden. Bisher haben wir die folgende Kopplung
betrachtet:
p + (q1 ) + p - (q2 ) Æ p + (q3 ) + p - (q4 )
Wir betrachten die Streuung von vier skalaren Teilchen:
10.3.3 Pion-Streuung
iDFq ( x - y ) = iDF ( x - y ) = Ú
In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass der Propagator des komplexwertigen (geladenen) Klein-Gordons-Felds gleich dem der
reellen (neutralen) Felder ist:
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
16g
Vier-Punkt-Vertex für Pion-Streuung.
q2
q1
q4
q3
4
+
(p p
-
Æ p +p - )
Teilchenphysik
-2ls (j +j )
271
In zweiter Ordnung kann man den folgenden Wechselwirkungsterm
betrachten:
iM1 = 16ig
Die Amplitude in erster Ordnung ist daher:
4
= (-16ig)(2p ) d (q1 + q2 - q3 - q4 )
4
= (-4 gi) 4 (2p ) d 4 (q1 + q2 - q3 - q4 )
2
S1 = (-i) q3q4 Ú d 4 x1 4 g(j + ( x1 )j ( x1 )) q1q2
Wie früher wird man die Entwicklung des quantisierten Felds einfügen und einen Ausdruck als Funktion der Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren erhalten. Durch gewöhnliche Algebra man findet:
Figur 4.
Streuprozesse
272
2
2
[
]
T s ( x1 )(j + ( x1 )j ( x1 ))s ( x 2 )(j + ( x 2 )j ( x 2 )) q1q2
q3q4 Ú d 4 x1 Ú d 4 x 2
[
]
T 2ls ( x1 )(j + ( x1 )j ( x1 ))2ls ( x 2 )(j + ( x 2 )j ( x 2 )) q1q2
q3q4 Ú d 4 x1 Ú d 4 x 2
(-2li)
2!
(-i) 2
1
4
e
4
4
4
3 4
2
+
ix1 q 3 - q1
1
[
1 2
+e
4
1
Úd x Úd
4
e
}
+ e ix1 ( q 4 - q 2 )e - ix 2 ( q1 - q 3 ) 0 T [s ( x1 )s ( x 2 )] 0
x2
]
+
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
Wir bemerken eine Art von Fourier-Transformierte des Vakuumerwartungswerts des zeitgeordneten Produkts des Feldes s. Wir erken-
{e
2
ix1 ( q 3 + q 4 ) - ix 2 ( q1 + q 2 )
S2 = (-2li)
e
]
e
ix1 ( q 4 - q 2 ) - ix 2 ( q1 - q 3 )
e
=
ix1 q 3 + q 4 ) - ix 2 ( q1 + q 2 )
2
ix1 ( q 4 - q 2 ) ix 2 ( q 3 - q1 )
ix1 ( q 3 + q 4 ) - ix 2 ( q1 + q 2 )
e
2
ix 2 q 4 - q 2
+
+e
1
Die resultierende S-Matrix ist schliesslich gleich:
4
e
- ix1 ( q1 + q 2 ) ix 2 ( q 3 + q 4 )
1
2
= 2 Ú d x1 Ú d x 2 e
4
Ú d x Ú d x q q j ( x )j ( x )j ( x )j ( x ) q q
)
)
= Ú d x Ú d x [e (
e (
+e (
Wir bemerken, dass wenn die Felder j und j+ auf den Anfangs- und
Endzustand wirken, liefern sie wie früher Exponentialfunktionen der
kinetischen 4-Impulse. Tatsächlich findet man mit Algebra in unserem Fall die folgenden Terme:
=
S2 =
Er liefert:
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
1 d p
i Ú (2p ) 4
{e
e
4
ix1 ( q 3 + q 4 ) - ix 2 ( q1 + q 2 )
+e
e
ix1 ( q 4 - q 2 ) - ix 2 ( q1 - q 3 )
e
2
}
(p
- m 2 + ie )
- ip ( x1 - x 2 )
2
1
(2p ) 4 Ú d 4 p
i
(
) (
Ï
1
1Ô
1
+
Ì
2
i Ô (q1 + q2 ) 2 - m 2 + ie
q1 - q3 ) - m 2 + ie
(
Ó
4
)
¸
Ô
˝
Ô˛
(p p
Teilchenphysik
+
-
}
Æp p
+
2
iM 2 = (-2li) iD˜ F (q1 + q2 ) + iD˜ F (q1 - q3 )
{
-
)
Die entsprechende Amplitude kann daher so geschrieben werden:
2
= (-2li) (2p ) d 4 (q3 + q4 - q1 - q2 ) ¥
273
ÏÔd 4 (q3 + q4 - p)d 4 (q1 + q2 + p) d 4 (q4 - q2 - p)d 4 (q1 - q3 + p) ¸Ô
+
˝
Ì
Ô˛
ÔÓ
( p2 - m 2 + ie )
( p2 - m 2 + ie )
= (-2li)
ÏÔ e ix1 ( q 3 + q 4 - p )e - ix 2 ( q1 + q 2 + p ) e ix1 ( q 4 - q 2 - p )e - ix 2 ( q1 - q 3 + p ) ¸Ô
+
Ì
( p2 - m 2 + ie )
( p2 - m 2 + ie ) ˝˛Ô
ÓÔ
2
1
d p
= (-2li) Ú d 4 x1 Ú d 4 x 2 Ú
i
(2p ) 4
2
1
d4 p
e - ip ( x1 - x 2 )
S2 = (-2li) Ú d 4 x1 Ú d 4 x 2 Ú
4
i
(2p ) ( p 2 - m 2 + ie )
Schliesslich erhalten wir die folgende S-Matrix:
0 T [s ( x1 )s ( x 2 )] 0 = DF ( x1 - x 2 ) =
4
nen den Feynman-Propagator: weil das Feld s nicht auf externe
Impulse wirkt, liefert es den Propagator:
Streuprozesse
274
q2
q1
(q1 - q3 )
q3
q4
Vernichtungs-Diagramm
(q1 + q2 )
Austausch-Diagramm
q4
q3
Die Diagramme stellen den Mechanismus des Austausches eines sTeilchens in der pp-Streuung dar.
Figur 5.
q2
q1
Der erste Term stellt die Vernichtung der Teilchen in ein s-Teilchen, die Ausbreitung des s-Teilchens und den Zerfall des s-Teilchen in ein pp-Paar dar.
Der zweite Term stellt die direkte Streuung des pp-Paars durch
den Austausch eines s-Teilchens dar.
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
iM = iM1 + iM 2
Die Amplitude der Streuung wird durch die Summe der zwei Amplituden in erster und zweiter Ordnung gegeben:
2.
1.
Die physikalische Bedeutung ist in Abb. 5 gezeigt.
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
wenn J m = 0
(-ie)
2
2
Teilchenphysik
usw...
S2 =
und
[
(-ie) 4
d x1y ( x1 )g my ( x1 ) Am ( x1 )
1 Ú
]
275
4
4
m
n
ÚÚ d x1d x 2T y ( x1)g y ( x1) Am ( x1)y ( x2 )g y ( x2 ) An ( x2 )
S1 =
Die ersten Terme der S-Matrix-Entwicklung sind gleich
H W = (eyg my ) Am
ist, wobei e die Ladung des Teilchens ist. Dann gilt
L W = -( J m + eyg my ) Am = -(eyg my ) Am
Aus Kap. 9.5.2 wissen wir, dass die Lagrangedichte der elektromagnetischen Wechselwirkung in Abwesenheit von Quellen gleich
10.4 Elementare Prozesse in der
Quantenelektrodynamik
Wir betonen, dass wir die Amplituden addieren und nicht die Wahrscheinlichkeiten der Prozesse. Dies kann Interferenz-Phänomene
zwischen Diagrammen erzeugen und wird später diskutiert.
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
276
nächste
Ordnung
e2
1
ª
4pe 0 hc 137.036
n Teilchen
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
wobei die Anzahl m der Teilchen des Anfangszustands verschieden
von der Anzahl n der Teilchen des Endszustands sein kann.
m Teilchen
22
A +44
B2
+ 44
C +3
... Æ 11
+4
+ 34+3
...
1
Im Allgemeinen sind wir an folgender Art von Vorgängen interessiert:
Diese Zahl ist ziemlich klein, deshalb erwarten wir, dass die Entwicklung der S-Matrix als Funktion der elektrischen Ladung schnell konvergieren wird und die Näherung mit nur einigen Termen wird im
Allgemeinen eine gute Näherung sein.
e = 4pa
In natürlichen Einheiten ist dann die elektrische Ladung gleich
a∫
Die Beziehung zwischen elektrischer Ladung und der FeinstrukturKonstante a ist die folgende:
niedrigste
Ordnung
S ∫ 1 + (-ie)(...) + (-ie) 2 (...) + ...
1
424
3 1424
3
Die S-Matrix wird deshalb als eine Reihe von Termen geschrieben,
wobei der Term n-ter Ordnung proportional zur n-ten Potenz der
Ladung ist:
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
Anfangszustand
pAm
r
= (2p ) 3 2 E A a + ( pA ) 0
Teilchenphysik
277
d.h., ein allgemeiner Zustand mit vielen Teilchen (wie z.B. ein
Anfangszustand mit spinlosen Teilchen) wird so erzeugt:
r
r
pAm , pBm , pCm ... = (2p ) 3 2 E A a + ( pA ) (2p ) 3 2 E B a + ( pB ) ¥
r
(2p ) 3 2 EC a + ( pC ) 0
r
pAm sA = (2p ) 3 2 E A bs+ ( pA ) 0
Antifermion:
r
pAm sA = (2p ) 3 2 E A as+ ( pA ) 0
Spin 1/2 Fermion (Dirac):
Spin 0 Boson:
wobei die Teilchen den folgenden Zuständen entsprechen:
Endzustand
p m s1, p2m s2 , p3m s3 ... S pAm sA , pBm sB , pCm sC ...
1144
42444
3 14442444
3
Vom Standpunkt der QFT werden wir die folgende Amplitude
berechnen:
Ï pAm , pBm , pCm ,... p1m , p2m , p3m ,...
Ì
ÓSpin sA , sB ,..., s1, s2 ,...
Jedes Teilchen wird durch seinen 4-Impuls und seine internen Freiheitsgrade (d.h. Spin) charakterisiert:
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
278
Æ
e{-
Endzustand
m
e - = p 2 s2
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
(
Wir betrachten den Dirac-Feldoperator und finden, dass gilt:
r
r
r
r
r
d3 p
1
y p1m s1 = Ú
 a ( p)u( s) ( p)e - ip◊x + bs+ ( p)v ( s) ( p)e + ip◊x
(2p ) 3 / 2 2 E p s=1,2 s
r
¥ (2p ) 3 2 E1 as+1 ( p1 ) 0
wobei y und Aµ Feldoperatoren sind.
(-ie) Ú d 4 x p2m s2 yg myAm p1m s1, p me m
d.h., wir sind an der folgenden Amplitude interessiert:
S1 = (-ie) Ú d 4 xy ( x )g my ( x ) Am ( x )
)
In erster Orndung müssen wir den ersten Term S1 der S-Matrix
betrachten:
Anfangszustand
m
m
e - g = p1 s1 , p e m
e1
+3
g
2
Beispiel: Photon-Absorption an einem Elektron
10.4.1 Diagramme der niedrigsten Ordnung
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
s =1, 2
Âu
s =1, 2
( s)
( s)
}
r
r
r
( p)e - ip ◊x as ( p), as+1 ( p1 ) 0
{
r
r
r
( p)e - ip ◊x as ( p) as+1 ( p1 ) 0
r
Am p me Æ e m ( p)e - ip ◊x 0
Teilchenphysik
proportional ist.
Es folgt, dass die gesamte Amplitude zu
r
r
r
(-ie) Ú d 4 x 0 e - i( p + p1 - p 2 )◊x u ( s2 ) ( p2 )g m u( s1 ) ( p1 )e m ( p) 0
und auch
279
In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass der adjungierte Feldoperator den folgenden Term liefert:
r
p2m s2 y Æ
0 e + ip 2 ◊x u ( s2 ) ( p2 )
r
r r
E1
 u( s) ( p)e - ip◊xd 3 ( p - p1)d s,s1 0
E p s=1,2
r
= e - ip1 ◊x u( s1 ) ( p1 ) 0
r
= Ú d3 p
E1
Ep
r
= Ú d3 p
Âu
s =1, 2
r
r
r
 (as ( p)u( s) ( p)e - ip◊x )as+1 ( p1) 0
E1
Ep
E1
Ep
r
= Ú d3 p
3r
Úd p
Wir betrachten den Term, der den a-Operator enthält (wir sind an
Elektronen interessiert) und erhalten:
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
280
(
Amplitude des Vorgangs
)
p,εµ
Diagramm der Photon-Absorption an einem Elektron.
vertex
γ
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
Figur 6.
e– p1,s1
e– p ,s
2
2
In der Abbildung werden das einfallende und das auslaufende Elektron sowie das Photon als externe “Beine” gezeichnet. Die kinematischen (4-Impulse) und die internen Grössen (Spin, usw.) werden
neben den Beinen angezeigt.
Die Amplitude des Vorgangs kann als ein Diagramm dargestellt werden. Siehe Abb. 6.
Die Dirac-Funktion entspricht der Bedingung der Energie-ImpulsErhaltung. Der letzte Term gibt die Form der Amplitude des Vorgangs.
Energie - Impuls - Erhaltung
Die Integration liefert einen Term der Form:
r
r
r
(-ie) d ( 4 ) ( p + p1 - p2 ) u ( s2 ) ( p2 )g m u( s1 ) ( p1 )e m ( p)
1442443 14444244443
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
→
ε (p)
µ
→
(s)
u ( p)
einfallendes Elektron
→ u (s) (p)
Der Vertex-Faktor ist gleich
p,s ψ
(-ie)g m
auslaufendes Elektron
Die Kontraktion des adjungierten Dirac-Spinorfeldes mit einem
Elektronzustand liefert ein auslaufendes Elektron der Form:
ψ p,s
Die Kontraktion des Dirac-Spinorfeldes mit einem Elektronzustand liefert ein einfallendes Elektron der Form:
Aµ p,ε
Man spricht von der Kontraktion der äusseren Beine.
Die Kontraktion des elektromagnetischen Feldes mit einem Photonzustand liefert den folgenden Faktor in der Amplitude:
p2 s2 ψγ µψAµ p1 s1, p ε
Wir betrachten die Kontraktion der Felder, wie z.B.
Teilchenphysik
281
Im Fall eines Positrons werden wir die folgenden Regeln verwenden:
5.
4.
3.
2.
1.
Im Allgemeinen können wir Regeln angeben, die die Berechnung der
Amplituden von beliebigen Vorgängen vereinfachen. Die folgenden
Regeln müssen verwendet werden:
10.4.2 Feldkontraktion
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
282
→
(s)
v ( p)
einfallendes Positron
→ v (s) (p)
(Beachte die Richtung des Pfeils!)
p,s ψ
vertex
γ
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
e+ p1,s1
e+ p ,s
2
2
e+γ→e+
Das Diagramm ist das folgende:
p,εµ
auslaufendes Positron
(Beachte die Richtung des Pfeils!)
Die Kontraktion des Dirac-Spinorfeldes mit einem Positronzustand
liefert ein auslaufendes Positron der Form:
ψ p,s
Die Kontraktion des adjungierten Dirac-Spinorfeldes mit einem
Positronzustand liefert ein einfallendes Positron der Form:
Beispiel: Photon-Absorption an einem Positron
2.
1.
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
Amplitude des Vorgangs
)
[
]
(-ie) 2
d 4 x1d 4 x 2T y ( x1 )g my ( x1 ) Am ( x1 )y ( x 2 )g ny ( x 2 ) An ( x 2 )
2 ÚÚ
normalgeordnet
)
283
normalgeordnet heisst, dass alle Vernichtungs-Operatoren rechts
von den Erzeugungs-Operatoren sind. Z.B.:
r
r
r
r
r
r
N ( a(q1 ) a + (q2 ) a(q3 )) = a + (q2 ) a(q1 ) a(q3 )
Teilchenphysik
1.
wobei
zeitgeordnet
T (f ( x )f ( y )) = N f ( x )f ( y ) + f ( x )f ( y )
14243 1444424444
3
(
Skalares Feld (n=2): Wir beginnen mit dem Fall, bei dem wir ein
zeitgeordnetes Produkt von zwei skalaren Felder haben. In diesem
Fall sagt das Wick-Theorem voraus, dass das zeitgeordnete Produkt
gleich einem “normalgeordneten” Produkt ist:
Man verwendet das Wick-Theorem, um das zeitgeordnete Produkt
zu berechnen.
... S2 ...
der auf den Anfangs- und Endzustand wirkt, d.h.,
S2 =
Wir müssen den zweiten Term der S-Matrix betrachten:
10.4.3 Diagramme der nächsten Ordnung; das WickTheorem
(
Die entsprechende Amplitude ist gleich
r
r
r
(-ie)d ( 4 ) ( p + p1 - p2 ) v ( s1 ) ( p1 )g m v ( s1 ) ( p2 )e m ( p)
14444244443
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
284
0 f ( x )f ( y ) 0 = DF ( x - y )
der Vakuumerwartungswert der Kontraktion von zwei Feldern ist
gleich dem Feynman-Propagator:
normalgeordnet
)
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
Die graphische Darstellung dieses Resultats ist in Abb. 7 gezeigt. Wir
bemerken:
0 f1f 4 f 2f 3 0
0 f1f 3 f 2f 4 0 +
0 T (f1f 2f 3f 4 ) 0 = 0 f1f 2 f 3f 4 0 +
Wenn wir den Vakuumerwartungswert eines zeitgeordneten Produkts
betrachten, verschwinden alle normalgeordneten Terme, die nicht
völlständig kontrahiert sind. Nämlich:
+f 2f 4f1f 3 + f 3f 4f1f 2 + f1f 2 f 3f 4 + f1f 3 f 2f 4 + f1f 4 f 2f 3
+f1f 2f 3f 4 + f1f 3f 2f 4 + f1f 4f 2f 3 + f 2f 3f1f 4
T (f1f 2f 3f 4 ) = N (f1f 2f 3f 4
Wir haben z.B. für n=4 (wir definieren fa = f(xa))
zeitgeordnet
T (f ( x1 )...f ( x n )) = N (f ( x1 )...f ( x n ) + alle mögliche Kontraktionen)
1442443 144444444424444444443
Skalares Feld (n beliebig): Das Theorem kann zu einer beliebigen
Anzahl von Produkten in verschiedenen Punkten der Raumzeit erweitert werden. Es gilt:
2.
0 N (beliebig) 0 = 0
Wir bemerken, dass der Vakuumerwartungswert von einem beliebigen Normalprodukt verschwindet:
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
4
3
+
3
1
4
2
+
3
1
4
2
Figur 7.
Graphische Darstellung (Feynman-Diagramm) des zeitgeordneten
Produkts.
2
1
0 T (f1f 2f 3f 4 ) 0
zwei Teilchen werden in zwei Punkten der Raumzeit erzeugt;
jedes Teilchen breitet sich aus. Diese Ausbreitung kann in drei
verschiedenen Arten geschehen, die allen Möglichenkeiten entsprechen, mit welchen die Punkte paarweise verbunden werden
können;
die Teilchen werden vernichtet.
zeitgeordnet
Feynman - Propagator
0 y ( x )y ( y ) 0 = 0 y ( x )y ( y ) 0 = 0
0 y ( x )y ( y ) 0 = SF ( x - y )
Teilchenphysik
wobei
normalgeordnet
)
T (y ( x )y ( y )) = N y ( x )y ( y ) + y ( x )y ( y )
14
4244
3 14444244443
(
Dirac-Feld: Das Theorem gilt auch für Dirac-Felder. Es gilt:
285
Die gesamte Amplitude des Prozesses <0|T(f1f2f3f4)|0> ist daher
gleich der Summe der drei Diagramme.
3.
2.
1.
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
286
t ª 2, 2ms
ct ª 660 m
N (... + alle möglichen Kontraktionen) ...
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
1. Man kann beweisen, dass nur ganz verbundene Diagramme (d.h. bei denen die äusseren
Beine verbunden sind) beitragen.
d.h. wir müssen jedes mögliche Diagramm betrachten1.
T ( ) ... =
Als Folge des Wick-Theorems gilt
p2 , s2 ; k2 , t2 T ÊËyg myAm yg nyAn x ˆ¯ p1, s1; k1, t1
x1
2
d.h., wir wollen die folgende Amplitude berechnen:
e - ( p1, s1 ) + m - ( k1, t1 ) Æ e - ( p2 , s2 ) + m - ( k2 , t2 )
Wir betrachten den elastischen Streuprozess:
m Æ enn
Der Hauptzerfallskanal ist
me ª 0, 511003 MeV
mm ª 105, 659 MeV ª 200 ¥ me
Das Myon ist ein “schweres Elektron”, d.h. es besitzt dieselben
Eigenschaften wie das Elektron, ausser der Ruhemasse:
10.4.4 Elektron-Myon-Streuung
Der Feynman-Propagator eines Dirac-Felds wird in Kap. 10.4.6 diskutiert.
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
µ
ν
p2,s2 ;k2 ,t2 ψ γ ψAµψ γ ψAν p1 ,s1 ;k1 ,t1
qµ
(
Teilchenphysik
2
)
(4 )
Energie - Erhaltung an jedem Vertex
(4 )
d ( p1 - p2 - q)d ( k1 + q - k2 )
1444442444443
Photon - Pr opagator
Ê -ig mn ˆ
(-ie) u ( p2 )g m u( p1 ) Á 2 ˜ ( u ( k2 )g n u( k1 )) ¥
3
144244
3 Ë q ¯ 144244
12
4 4
3 Strom des Myons
Strom des Elektrons
287
Die entsprechende Amplitude ist gleich (wir vernachlässigen die
Spins):
Diese Kontraktion entspricht dem Diagramm, das in Abb. 8 gezeigt
ist.
A µ Aν →
µν
 −ig 
 q2 
wobei die Kontraktion von zwei elektromagnetischen Potentialen dem
Photon-Propagator entspricht:
Z.B.,
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
288
k1,t1
Diagramm der Elektron-Myon-Streuung.
qµ
γ
µ–
k2,t2 µ–
Elastische Elektron-Myon-Streuung
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
1.
Wir können verschiedene elementare Prozesse betrachten:
10.4.5 Elementare elektromagnetische Prozesse
Figur 8.
e– p1,s1
e– p ,s
2
2
e–µ–→e–µ–
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
1
e–
3
γ
4
2
e–
1
3
e–e–→e–e–
γ
4
2
Im Fall der Möller-Streuung betrachten wir zwei Diagramme, weil
die auslaufenden Teilchen ununterscheidbar sind und deshalb
nicht entschieden werden kann, von welchem Vertex die auslaufenden Teilchen stammen:
Das Wick-Theorem sagt voraus, dass man alle Diagramme
betrachten muss. Die gesamte Amplitude ist gleich der Summe der
Amplituden aller Diagramme.
Elastische Elektron-Elektron-Streuung (Möller-Streuung)
Teilchenphysik
M = M1 - M 2
289
Als Folge haben die Amplituden der beiden Diagramme ein entgegengesetztes Vorzeichen, d.h. die gesamte Amplitude ist gleich
Wie sollen wir die Diagramme addieren? Wir müssen nun etwas über
das Vorzeichen bemerken. Die Q.F.T. sagt voraus, dass sich unter Vertauschung von ununterscheidbaren Fermionen das Vorzeichen der
Amplitude ändern muss (d.h. Antikommutation).
2.
Man spricht von Photon-Austausch-Diagramm.
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
290
In diesem Fall müssen wir zwei Diagramme betrachten:
den Photon-Austausch- und den Vernichtungs-Vorgang:
Elastische Elektron-Positron-Streuung (Bhabha-Streuung)
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
Das entgegengesetzte Vorzeichen berücksichtigt den Austausch von einem einfallenden Elektron und einem auslaufenden Positron.
Wie sollen wir die Diagramme addieren? Wie im Fall der MöllerStreuung gibt es ein negatives Vorzeichen zwischen den Diagrammen.
3.
Das entgegengesetzte Vorzeichen berücksichtigt den Austausch von ununterscheidbaren Fermionen.
wobei M1 die Amplitude des ersten Diagramms und M2 die des
zweiten ist.
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
e–e+→µ–µ+
e+
Inelastische Myonpaar-Erzeugung
µ–
γ
e–
µ+
Teilchenphysik
Spin 0 Boson: φ(x)φ(y) = DF (x − y) →
Im Fall der Spin-0 Bosonen haben wir gesehen:
pµ
291

i

 p2 − m 2 + iε 
Wir haben bis jetzt nur den Klein-Gordon-Teilchen-Propagator und
Photon-Propagator angetroffen. Man kann auch die Propagatoren von
Dirac-Fermionen betrachten.
10.4.6 Boson- und Fermion-Propagator
4.
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
292
iS˜F ( p) =
(p
i  ui ui
i( p/ + m)
=
- m 2 + ie ) ( p 2 - m 2 + ie )
2
1 d 4 p - ip ( x - y ) ˜
e
SF ( p)
i Ú (2p ) 4
=
(p
- m 2 + ie )
( p/ + m)
2
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
pm
Der Propagator des Dirac-Teilchens ist daher eine 4x4-Matrix. Er
wird mit einer Linie und einem Pfeil bezeichnet:
wobei
1 d 4 p - ip ( x - y )
p/ + m
e
2
i Ú (2p ) 4
p
( m 2 + ie )
=
SF ( x - y ) = 0 T (y ( x )y ( y )) 0
Es gilt im Fall des Feynman-Propagators des Dirac-Teilchens:
∫ 0 T (y ( x )y ( y )) 0
SF ( x - y ) = q ( x 0 - y 0 ) 0 y ( x )y ( y ) 0 - q ( y 0 - x 0 ) 0 y ( y )y ( x ) 0
In ähnlicher Weise kann man den Feynman-Propagtor eines DiracTeilchens definieren. In diesem Fall müssen wir die Antikommutationsregeln verwenden, und schliesslich findet man (Beachte das negative Vorzeichen!):
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
e–
e+
4
2
1
e–e+→γγ
e+e– Æ gg
e–
3
e+
4
2
e–
xµ
yµ
e+
→
e+
e–
e+
x0>y0
Die Pfleile sind in der Ausbreitungsrichtung gerichtet
e–
e–
x0<y0
293
e+
Die physikalische Interpretation des Diagramms ist dann die folgende:
Der Propagator entspricht dem Feynman-Propagator des Elektrons. In einer kovarianten Theorie können wir die Ausbreitung
eines Elektrons vorwärts in der Zeit nicht von der Ausbreitung
eines Positrons rückwärts in der Zeit unterscheiden.
In diesen Diagrammen bemerken wir die Anwesenheit eines Elektron-Propagators. In welcher Richtung bewegt sich das Elektron?
1
3
Paar-Vernichtung
Teilchenphysik
1.
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
294
e–
Paar-Erzeugung
4
2
e+
γγ→e–e+
gg Æe+e–
1
3
e–
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
1
3
2.
2
e+
4
Wie schon erwähnt, hat Feynman diese Eigenschaft so interpretiert: Materie und Antimaterie sind nötig, um eine kovariante
Theorie zu bekommen.
Wenn x0<y0, sprechen wir von der Ausbreitung eines Elektrons,
das sich mit dem einfallenden Positron vernichten wird. Wenn
x0>y0, können wir das Diagramm wie die Ausbreitung eines Positrons darstellen, wobei das Positron sich mit dem einfallenden
Elektron vernichtet.
Das kovariante Diagramm ist tatsächlich die Summe von zwei
unabhängigen Termen. Jeder Term für sich allein ist nicht kovariant, aber die Summe ist in kovarianter Form ausgedrückt.
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie
e–
Compton-Streuung
Teilchenphysik
3.
e–
e–γ→e–γ
e– g Æe–g
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
e–
e–
295
296
Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ)
Wechselwirkungen und die Propagatortheorie