§3¨Uberlagerungen und Quotienten

Riemannsche Flächen, WS 2016/2017
Mittwoch 18.1
$Id: quotient.tex,v 1.10 2017/01/18 13:04:35 hk Exp $
§3
Überlagerungen und Quotienten
3.3
Der Riemannsche Existenzsatz
In der letzten Sitzung hatten wir bereits begonnen den folgenden Satz zu beweisen:
Satz 3.36 (Quotienten Riemannscher Flächen)
Seien S eine Riemannsche Fläche und G ≤ Aut(S) eine Untergruppe der Automorphismengruppe von S die stark diskontinuierlich auf S wirkt. Versehe S/G mit der Quotiententopologie und sei π : S → S/G die Projektion. Weiter sei D := {p ∈ S|Gp 6= 1}.
Dann gelten:
(a) Die Abbildung π ist offen und stetig.
(b) Die Menge π(D) ⊆ S/G ist diskret und abgeschlossen in S/G mit π −1 (π(D)) = D
und π|S\D : S\D → (S/G)\π(D) ist eine Überlagerung mit Deckbewegungsgruppe
Aut(S\D, π|S\D) = {g|S\D : g ∈ G}.
(c) Für jede in S/G offene Menge U ⊆ S/G sei weiter
OS/G (U ) := {f ∈ CS/G (U )|f ◦ π ∈ OS (π −1 (U ))}.
Dann ist OS/G eine Untergarbe von CS/G und (S/G, OS/G ) ist eine Riemannsche
Fläche.
(d) Die Abbildung π : S → S/G ist holomorph und für jedes p ∈ S gilt degp (π) = |Gp |.
(e) Ist T eine weitere Riemannsche Fläche so ist eine Abbildung f : S/G → T genau
dann holomorph wenn f ◦ π : S → T holomorph ist.
Beweis: (c,d) Wir haben bereits gezeigt das OS/G eine Untergarbe von CS/G ist und das
für die offene Teilmenge S ∗ := (S/G)\π(D) das Paar (S ∗ , OS/G |S ∗ ) eine Riemannsche
Fläche ist. Dabei war π|S\D : S\D → S ∗ ein lokaler Isomorphismus Riemannscher
Flächen, also insbesondere holomorph mit degs (π|S\D) = 1 = |Gs | für jedes s ∈ S\D.
Es verbleibt Karten für die Punkte a ∈ π(D) zu konstruieren. Hierz hatten wir uns
s ∈ D und a = π(s) ∈ π(D) vorgegeben und hatten bereits eine lokale Uniformisierung
h von S bei s sowie eine offene Umgebung V von s in S mit g(V ) = V ⊆ dom(h) für
alle g ∈ Gs und V ∩ D = {s} gefunden so, dass es eine nicht konstante holomorphe
Funktion ϕ : V → C mit ϕ(s) = 0, ords (ϕ) = n := |Gs | und einen Homöomorphismus
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ψ : π(V ) → ϕ(V ) ⊆ C auf die offene Teilmenge ϕ(V ) von C mit ψ(a) = 0 und
ψ ◦ (π|V ) = ϕ gibt.
Wir zeigen nun das ψ eine Karte von (S/G, OS/G ) ist. Zunächst behaupten wir
hierzu das zumindest ψ|π(V )\{a} ∈ OS/G (π(V )\{a}) ist, d.h. ψ|π(V )\{a} ist eine holomorphe Funktion in S ∗ . Sei nämlich b ∈ π(V )\{a} gegeben und wähle ein
t ∈ V \{s} mit b = π(t). Da π|S/D : S/D → S ∗ ein lokaler Isomorphismus ist gibt
es eine offene, zusammenhängende Umgebung W von t in S\D mit W ⊆ V \{s}
und eine offene Umgebung Q von b = π(t) in S ∗ so, dass π|W : W → Q ein
Isomorphismus Riemannscher Flächen ist. Da ϕ ∈ OS (V ) holomorph ist, ist damit
auch ψ|Q = ϕ ◦ (π|W )−1 ∈ OS/G (Q) holomorph. Damit liegt ψ|π(V )\{a} lokal in
OS/G und somit haben wir auch ψ|π(V )\{a} ∈ OS/G (π(V )\{a}) wie behauptet. Da
ψ|π(V )\{a} : π(V )\{a} → ϕ(V )\{0} bijektiv ist, ist ψ|π(V )\{a} nach §2.Satz 31 ein
Isomorphismus Riemannscher Flächen und nach §2.Lemma 12.(e) ist ψ|π(V )\{a} eine
Karte von S ∗ .
Sei nun W ⊆ π(V ) offen in S/G. Wir müssen zeigen das dann
OS/G (W ) = {f ∈ CS/G (W )|f ◦ ψ −1 ∈ OC (ψ(W ))}
gilt. Im Fall a ∈
/ W ist dies klar da ψ|π(V )\{a} eine Karte von S ∗ ist, wir können also
a ∈ W annehmen und nach Lemma 35.(b) ist auch π −1 (a) ⊆ π −1 (W ) abgeschlossen und
diskret in π −1 (W ). Sei f ∈ CS/G (W ) gegeben. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz
§2.Lemma 16.(a) und da ψ|π(V )\{a} eine Karte von S ∗ ist, haben wir
f ∈ OS/G (W ) ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
f ◦ π ∈ OS (π −1 (W ))
f ◦ π|π −1 (W )\π −1 (a) ∈ OS (π −1 (W \{a}))
f |W \{a} ∈ OS/G (W \{a})
(f |W \{a}) ◦ (ψ|π(V )\{a})−1 ∈ OC (ψ(W \{a}))
f ◦ ψ −1 |ψ(W )\{0} ∈ OC (ψ(W )\{0})
f ◦ ψ −1 ∈ OC (ψ(W )).
Damit ist ψ tatsächlich eine Karte von (S/G, OS/G ) und wir haben eingesehen das
(S/G, OS/G ) eine Riemannsche Fläche ist. Weiter ist in der obigen Situation π|V =
ψ −1 ◦ ϕ holomorph. Außerdem gilt nach §2.Satz 26.(f) und Aufgabe (19.a)
n = ords (ϕ) = degs (ϕ) = degs (ψ ◦ (π|V )) = dega (ψ) · degs (π) = degs (π).
(e) Zunächst ist f genau dann stetig wenn f ◦ π : S → T stetig ist. Damit ist f genau
dann holomorph wenn für jede in T offene Menge U ⊆ T und jedes g ∈ OT (U ) stets
g ◦ f ∈ OS/G (f −1 (U )) gilt. Letzteres bedeutet gerade g ◦ f ◦ π ∈ OS (π −1 (f −1 (U ))) =
OS ((f ◦ π)−1 (U )), also ist f genau dann holomorph wenn f ◦ π dies ist.
Als eine direkte Anwendung können wir nun auch Überlagerungen mit vorgegebener
Wirkung der Fundamentalgruppe konstruieren.
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Korollar 3.37 (Konstruktion holomorpher Überlagerungen)
Seien S eine Riemannsche Fläche, s0 ∈ S und F eine Menge versehen mit einer
transitiven Wirkung von π1 (S, s0 ) auf F . Dann existieren eine Riemannsche Fläche
T , eine holomorphe Überlagerung p : T → S von S und eine bijektive Abbildung ϕ :
p−1 (s0 ) → F mit ϕ(xa ) = ϕ(x)a für alle x ∈ p−1 (s0 ), a ∈ π1 (S, s0 ). Sind auch T 0 , p0 , ϕ0
mit diesen Eigenschaften so existiert ein Isomorphismus f : T → T 0 Riemannscher
Flächen mit p0 ◦ f = p und ϕ0 ◦ f = ϕ.
Beweis: Nach Aufgabe (32) existieren eine einfach zusammenhängende Riemannsche
Fläche Se und eine holomorphe Überlagerung pe : Se → S. Wähle ein se0 ∈ pe−1 (s0 ) und
e pe) → π1 (S, s0 ) den Gruppenisomorphismus aus Korollar 31, d.h.
bezeichne Ψ : Aut(E,
e
sind g ∈ Aut(S, pe) und α : [0, 1] → Se eine stetige Kurve mit α(0) = se0 und α(1) = g(e
s0 )
−1
e
so ist Ψ(g) = [e
p ◦ α]. Weiter wähle ein a ∈ F und sei G := Ψ (π1 (S, s0 )a ) ≤ Aut(S, pe).
e eine Untergruppe der Automorphismengruppe von
Nach Aufgabe (34) ist G ≤ Aut(S)
Se die frei und stark diskontinuierlich auf Se wirkt, also liefert Satz 36 die Riemannsche
e
Fläche T := S/G
und die Projektion π : Se → T ist eine holomorphe Überlagerung.
Für jedes g ∈ G gilt pe ◦ g = pe, nach Satz 36.(e) erhalten wir also eine holomorphe
Abbildung p : T → S mit p ◦ π = pe.
Wir zeigen nun das p eine Überlagerung ist. Sei s ∈ S gegeben. Dann gibt es nach
Satz 22.(b) eine wegzusammenhängende, elementare offene Umgebung U von s in S
bezüglich pe und für jede Wegzusammenhangskomponente V von pe−1 (U ) ist pe|V : V →
U ein Homöomorphismus. Sei C eine Wegzusammenhangskomponente von p−1 (U ) und
wähle ein x ∈ Se mit π(x) ∈ C. Dann ist auch pe(x) = p(π(x)) ∈ p(C) ⊆ U , also ist
x ∈ pe−1 (U ) und es bezeichne V die Wegzusammenhangskomponente von pe−1 (U ) mit
x ∈ V . Wegen p(π(V )) = pe(V ) = U ist π(V ) ⊆ p−1 (U ) und π(x) ∈ π(V ) ∩ C ergibt
π(V ) ⊆ C. Sei nun y ∈ Se mit π(y) ∈ C. Da C wegzusammenhängend ist existiert eine
stetige Kurve α : [0, 1] → C ⊆ p−1 (U ) mit α(0) = π(x) und α(1) = π(y). Da π eine
Überlagerung ist gibt es eine stetige Kurve β : [0, 1] → Se mit α = π ◦ β und β(0) = x.
Wegen pe(β[0, 1]) = p(π(β[0, 1])) = p(α([0, 1])) ⊆ p(C) ⊆ U , ist auch β(1) ∈ V und
somit π(y) = α(1) = π(β(1)) ∈ π(V ). Dies zeigt C ⊆ π(V ) und wir haben π(V ) = C
eingesehen. Weiter haben wir die stetige Abbildung f := (π|V )◦(e
p|V )−1 : U → π(V ) =
C mit (p|C) ◦ f = pe ◦ (e
p|V )−1 = idU und f ◦ (p|C) ◦ (π|V ) = f ◦ (e
p|V ) = π|V also
auch f ◦ (p|C) = idC , d.h. p|C : C → U ist ein Homöomorphismus. Damit ist p eine
Überlagerung.
Nun konstruieren wir die Abbildung ϕ : p−1 (s0 ) → F . Sei x ∈ p−1 (s0 ) und wähle
se ∈ Se mit x = π(e
s) also auch pe(e
s) = p(x) = s0 . Nach Satz 29.(a) existiert genau ein
e
g ∈ Aut(S, pe) mit g(e
s0 ) = se und wir setzen ϕ(x) := aΨ(g) ∈ F . Angenommen es ist
auch e
t ∈ Se mit x = π(e
t). Dann existiert ein h ∈ G mit e
t = h(e
s) und somit ist auch
h(g(e
s0 )) = h(e
s) = e
t, und wegen Ψ(h) ∈ π1 (S, s0 )a ergibt sich aΨ(hg) = aΨ(h)Ψ(g) = aΨ(g) .
Damit haben wir eine wohldefinierte Abbildung ϕ : p−1 (s0 ) → F .
Wir zeigen nun das ϕ bijektiv ist. Seien x1 , x2 ∈ p−1 (s0 ) mit ϕ(x1 ) = ϕ(x2 ). Für
e pe) mit gj (e
j = 1, 2 wähle ein sej ∈ Se mit xj = π(e
sj ) und sei gj ∈ Aut(S,
s0 ) = sej . Dann
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ist aΨ(g1 ) = ϕ(x1 ) = ϕ(x2 ) = aΨ(g2 ) also ist Ψ(g2 g1−1 ) ∈ π1 (S, s0 )a und somit gelten
g1 g2−1 ∈ G und x2 = π(e
s2 ) = π(g2 (e
s0 )) = π(g1 g2−1 g2 (e
s0 )) = π(g1 (e
s0 )) = π(e
s1 ) = x 1 .
Damit ist ϕ injektiv. Nun sei b ∈ F gegeben. Da π1 (S, s0 ) transitiv auf F wirkt existiert
e pe), se := g(e
ein u ∈ π1 (S, s0 ) mit b = au . Setzen wir also g := Ψ−1 (u) ∈ Aut(S,
s0 ) ∈
−1
−1
Ψ(g)
u
pe (s0 ) und x := π(e
s) ∈ p (s0 ) so ist ϕ(x) = a
= a = b. Damit ist ϕ auch
surjektiv und insgesamt bijektiv.
Schließlich ist ϕ auch ein Homomorphismus von π1 (S, s0 )-Mengen. Seien hierzu x ∈
−1
e pe)
p (s0 ) und u ∈ π1 (S, s0 ) gegeben. Wähle dann se ∈ Se mit x = π(e
s) und g ∈ Aut(S,
e pe) mit u = Ψ(h) und wir erhalten
mit g(e
s0 ) = se. Weiter gibt es ein h ∈ Aut(S,
u
Ψ(g)Ψ(h)
Ψ(gh)
ϕ(x) = a
=a
. Weiter wähle eine stetige Kurve α : [0, 1] → Se mit α(0) = se0
und α(1) = h(e
s0 ) und dann gilt u = Ψ(h) = [e
p◦α]. Weiter ist dann β := g◦α : [0, 1] → Se
eine stetige Kurve mit β(0) = g(e
s0 ) = se und [e
p ◦ β] = [e
p ◦ g ◦ α] = [e
p ◦ α] = u, wir haben
also die stetige Kurve π ◦ β : [0, 1] → T mit p ◦ (π ◦ β) = pe ◦ β und π(β(0)) = π(e
s) = x,
d.h. xu = π(β(1)) = π(g(α(1))) = π(g(h(e
s0 ))) und ϕ(xu ) = aΨ(gh) = ϕ(x)u .
Damit sind die Existenzaussagen bewiesen und wir kommen zur Eindeutigkeit. Seien
also T 0 eine Riemannsche Fläche, p0 : T 0 → S eine holomorphe Überlagerung und
ϕ0 : p0 −1 (s0 ) → F mit ϕ0 (xu ) = ϕ0 (x)u für alle x ∈ p0 −1 (s0 ), u ∈ π1 (S, s0 ). Es ist
π(e
s0 ) ∈ p−1 (s0 ) mit ϕ(π(e
s0 )) = a und wir setzen zusätzlich s00 := ϕ0 −1 (a) ∈ p0 −1 (s0 ).
Nach Satz 25.(c) gilt dann
p0∗ π1 (T 0 , s00 ) = π1 (S, s0 )s00 = π1 (S, s0 )a = p∗ π1 (T, π(e
s0 )),
also gibt es nach Satz 29.(a) einen Homöomorphismus f : T → T 0 mit p0 ◦ f = p und
f (π(e
s0 )) = s00 . Nach Lemma 27 ist f auch ein Isomorphismus Riemannscher Flächen.
Schließlich sei x ∈ p−1 (s0 ). Dann existiert ein u ∈ π1 (S, s0 ) mit π(e
s0 )u = x. Ist α ∈
Ω(S, s0 ) mit u = [α] und α
e : [0, 1] → T mit p ◦ α
e = α und α
e(0) = π(e
s0 ) so ist auch
f ◦α
e : [0, 1] → T 0 stetig mit p0 ◦ f ◦ α
e = p◦α
e = α und f (e
α(0)) = f (π(e
s0 )) = s00 , wir
haben also
u
ϕ0 (f (x)) = ϕ0 (f (π(e
s0 )u )) = ϕ0 (f (e
α(1))) = ϕ0 (s00 )
= ϕ0 (s00 )u = au = ϕ(π(e
s0 ))u = ϕ(π(e
s0 )u ) = ϕ(x).
Damit gilt auch ϕ0 ◦ f = ϕ und auch die Eindeutigkeitsaussage ist bewiesen.
Damit haben wir die erste der beiden für den Riemannschen Existenzsatz benötigten
Konstruktionen behandelt. Die zweite Grundkonstruktion ist das Verkleben Riemannscher Flächen.
Satz 3.38 (Verkleben Riemannscher Flächen)
Für k = 1, 2 seien Sk eine Riemannsche Fläche und ∅ =
6 Uk ⊆ Sk offen in Sk . Weiter
sei ϕ : U1 → U2 ein Homöomorphismus mit den folgenden drei Eigenschaften:
1. Für jede Zusammenhangskomponente U von U1 ist ϕ|U : U → ϕ(U ) ein Isomorphismus Riemannscher Flächen.
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2. Für jede kompakte Menge K ⊆ S1 ist ϕ(K ∩ U1 ) abgeschlossen in S2 .
3. Für jede kompakte Menge K ⊆ S2 ist ϕ−1 (K ∩ U2 ) abgeschlossen in S1 .
`
`
Bilde die Summe S1 S`2 und für k = 1, 2 sei jk : Sk → S1 S2 ; x 7→ (k, x) die natürliche Abbildung. Auf S1 S2 betrachte die Partition deren mehrelementigen Elemente
die Mengen {(1, x), (2, ϕ(x))} für x`∈ U1 sind und sei ∼ die zugehörige Äquivalenzrelation. Weiter sei`S1 ∪ϕ S2 := (S1 S2 )/∼ versehen mit der Quotiententopologie der
Projektion π : S1 S2 → S1 ∪ϕ S2 . Für k = 1, 2 sei ik := π ◦ jk . Schließlich definiere
für jede in S1 ∪ϕ S2 offene Menge U
Oϕ (U ) := {f ∈ CS1 ∪ϕ S2 (U )|f ◦ ik ∈ OSk (i−1
k (U )) für k = 1, 2}.
Dann gelten:
(a) Das Paar (S1 ∪ϕ S2 , Oϕ ) ist eine Riemannsche Fläche.
(b) Für k = 1, 2 ist ik : Sk → S1 ∪ϕ S2 holomorph mit offenem Bild und ik : Sk → ik (Sk )
ist ein Isomorphismus Riemannscher Flächen.
(c) Ist T eine weitere Riemannsche Fläche und sind für k = 1, 2 holomorphe Funktionen fk : Sk → T mit f2 ◦ ϕ = f1 |U1 gegeben so existiert genau eine holomorphe
Funktion f : S1 ∪ϕ S2 → T mit fk = f ◦ ik für k = 1, 2.
Beweis: Dies ist Aufgabe (35).
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