Ubungsblatt 01 - Institut für Theoretische Physik

Theoretische Physik III für Lehramt
Universität Heidelberg
Sommersemester 2017
Prof. Dr. T.Plehn
Junior-Prof. Dr. S. Westho↵
Übungsblatt 01
Abgabe am 2. 5. 2017
Diskussion am 2. 5. 2017
Allgemeines zu den Übungen:
• Die Übungen werden von Martin Bauer ([email protected]) organisiert.
Die Übungen finden statt am
Dienstag, 13:00-15:00 in Raum 68, Philosophenweg 12 statt.
• Die Übungsblätter werden in der Übung ausgeteilt und eingesammelt. Bitte pro Person
jeweils ein eigenes Übungsblatt abgeben.
• Die Scheinnote ergibt sich zu je 50% aus der Note für die Klausur am Ende des
Semesters und den erreichten Punkten in den Übungen.
Aufgabe 1:
a) Zeigen Sie durch explizites Nachrechnen das gilt:
✓
◆
✓
◆
1
1
x y
rx
= ry
=
.
|x y|
|x y|
|x y|3
b) Berechnen Sie die Rotation des Vektorfeldes f (x) =
c) Berechnen Sie
g(x) für das Skalarfeld g(x) =
1
|x|
x
.
|x|3
und x 6= (0, 0, 0)T .
(2 Punkte)
(1 Punkt)
(2 Punkte)
Aufgabe 2:
a) Das Coulomb Potential für ein Proton mit Ladung qP = +e
ist in CGS Einheiten gegeben durch
V (r) =
qP
.
r
(2 Punkte)
2
Nehmen wir an ein Elektron mit Masse me und Ladung qe = e befindet im Potential
eines Protons mit Ladung Q = +e und Masse M . Im Abstand r ist die auf das Elektron
wirkende Kraft damit gegeben durch
qe q P
F(r) = 2 er
r
mit dem Einheitsvektor er = r/|r|. Die Zentrifugalkraft auf das Elektron für eine
Geschwindigkeit v ist
v2 m
er
r
Bohrs Atommodell verlangt, dass die Elektronen den Atomkern nur auf diskreten Bahnen, d.h. mit diskreten Drehimpulsen L umkreisen können. Es ergibt sich die Bedingung
FZ (r) =
L = mv r = n~
mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum ~ = h/2⇡ = 1.05 ⇥ 10 27 cm2 g
s 1 und ganzahligem n 1. Der Radius, der sich für n = 1 ergibt nennt sich Bohrscher
Radius und gibt ein gutes Mass für die Grösse leichter Atome. Leiten Sie eine Formel
in CGS Einheiten für den Bohrschen Radius ab und berechnen Sie seinen numerischen
Wert mit Hilfe der Konstanten in Tabelle 1.
b) Das Newtonsche Potential für ein Proton mit Masse mP
(3 Punkte)
ist gegeben durch
mP
V (r) = G
,
r
wobei G die Gravitationskonstante ist, so dass auf ein Elektron im Gravitationspotential eines Protons die Kraft
me mP
F(r) = G
er
r2
wirkt. Berechnen Sie den Bohrschen Radius für eine Atom aufgebaut aus ungeladenen
Elektronen und Protonen, dass durch ihre gravitative Wechselwirkung zusammengehalten wird. Werten Sie diesen Ausdruck numerisch aus und vergleichen Sie das Resultat
mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a). Was fällt Ihnen auf?
c) Wenn man das elektrische Potential in Anwesenheit
(2 Punkte)
eines Materials (nicht im Vakuum) betrachtet, ändert sich der in a) gegebene Ausdruck für das Coulomb Potential durch die sogenannte materialabhängige Permittivitätskonstante ✏r ,
V (r) =
1 qP
.
✏r r
Gibt es eine ähnliche Konstante für das Newtonsche Potential und warum nicht?
3
Größe
Symbol
Wert in CGS
Lichtgeschwindigkeit
Gravitationskonstante
Plancksches Wirkungsquantum
Elektronladung
Elektron Masse
Proton Masse
c
2.99792458 ⇥ 1010 cm s 1
6.6743 ⇥ 10 8 cm3 g 1 s 2
6.6261 ⇥ 10 27 cm2 g s 1
4.8032 ⇥ 10 10 cm3/2 g1/2 s
9.1094 ⇥ 10 28 g
1.6726 ⇥ 10 24 g
G
h
e
me
mP
1
Table 1: Werte und Einheiten für physikalische Konstanten im CGS System.
Wiederholung : Gradient, Rotation und Divergenz
• Sei f (x) = f (x1 , x2 , x3 ) eine glatte Funktion auf R3 . Das Gradientenfeld von f ist durch
gradf (x) =
⇣
@ f (x) @ f (x) @ f (x)
@x1 , @x2 , @x3
⌘T
gegeben. Man definiert den Nablaoperator als
rx =
⇣
@
@
@
@x1 , @x2 , @x3
und schreibt gradf (x) = rx f (x).
• Sind ei , i = 1, . . . , 3 Basisvektoren und V(x) =
Vektorfeldes als
⌘T
P3
divV (x) = r · V (x) =
i=1 Vi (x) ei ,
3
X
@ V i (x)
i=1
@xi
so ist die Divergenz dieses
(1)
definiert.
• Die Rotation eines Vektorfeldes ist in drei Dimensionen wieder ein Vektorfeld. Mithilfe des
Kreuzproduktes lässt sich die Rotation als
rotV = r ⇥ V
definieren. Die kartesischen Komponenten lassen sich mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols ✏ijk
durch
3
X
@ Vk
(r ⇥ V)i =
✏ijk
.
@xj
j,k=1
ausdrücken.
4
• Der Operator div grad (·) wird als Laplace-Operator bezeichnet und durch r · r, r2 oder
dargestellt. In kartesischen Koordinaten gilt
f (x) =
3
X
@ 2 f (x)
i=1
@x2i
.