Lösungen Kapitel 2

2.4) Lösungen der Aufgaben
Sei im Folgenden (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und E ein Banachraum versehen
mit der Borel-σ-Algebra B(E).
Aufgabe 2.6
Seien X, Xn : Ω → E, n ∈ N, Zufallsvariablen. Dann gilt:
a) Falls limn→∞ Xn = X in Lp (Ω; E), p ∈ [1, ∞], so folgt limn→∞ Xn = X in Wahrscheinlichkeit.
b) Falls limn→∞ Xn = X in Wahrscheinlichkeit, so existiert eine Teilfolge (Xnk )k≥1 mit
limk→∞ Xnk = X fast sicher.
c) limn→∞ Xn = X fast sicher ⇐⇒ limn→∞ P supk≥n kXk − XkE > r = 0 für alle
r > 0.
Beweis: a) Sei zunächst p ∈ [1, ∞). Dann gilt nach der Markov-Ungleichung für jedes
r>0
lim P kX − Xn kE > r ≤ lim r1p EkXn − XkpE = 0.
n→∞
n→∞
Der Fall p = ∞ folgt aus Aufgabenteil c).
b) Da limn→∞ Xn = X in Wahrscheinlichkeit, finden wir zu jedem k ∈ N einen Index
nk ∈ N mit
P kXnk − XkE > k1 < 21k .
Nach dem Lemma von Borel-Cantelli folgt dann
P kXnk − XkE >
1
k
für unendlich viele k ∈ N = P lim sup{kXnk − XkE > k1 } = 0.
k→∞
Außerhalb der Nullmenge N := kXnk − XkE >
gerade limk→∞ Xnk (ω) = X(ω) für ω ∈ Ω \ N .
1
k
für unendlich viele k ∈ N
gilt dann
c) Es gelte zunächst limn→∞ Xn = X fast sicher. Sei r > 0 beliebig und
An := sup kXk − XkE > r , n ∈ N.
k≥n
Für
Bn := An ∩ { lim Xn = X}, n ∈ N,
n→∞
T
gilt dann Bn ⊇ Bn+1 für alle n ∈ N und n≥1 Bn = ∅. Mit der σ-Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes erhalten wir
lim P(An ) = lim P(Bn ) = 0.
n→∞
Sei nun umgekehrt limn→∞ P supk≥n kXk − XkE > r = 0 für alle r > 0. Für beliebiges
` ∈ N gilt dann
für alle n ∈ N.
C` := lim sup kXn − XkE > 1` ⊂ sup kXk − XkE > 1`
n→∞
n→∞
k≥n
Nach Voraussetzung bedeutet das aber gerade P(C` ) = 0. Wegen
\
{ lim Xn = X} =
lim sup kXn − XkE ≤ 1` ,
n→∞
`≥1
n→∞
folgt schließlich
P( lim Xn = X) ≥ 1 −
n→∞
X
`≥1
P(C` ) = 1.
Aufgabe 2.11
Seien X, Y : Ω → E unabhängige Zufallsvariablen und X symmetrisch. Dann gilt für
p ∈ [1, ∞)
EkXkpE ≤ EkX + Y kpE .
Beweis: Da X symmetrisch und unabhängig von Y ist, haben X + Y und −X + Y die
gleiche Verteilung. Damit folgt:
EkXkpE
1/p
1/p
EkX + Y + X − Y kpE
1/p
1/p ≤ 12 EkX + Y kpE
+ EkX − Y kpE
1/p
= EkX + Y kpE
.
=
1
2
Aufgabe 2.14
Sei X : Ω → E eine Zufallsvariabe. Dann existiert zu jedem ε > 0 eine kompakte Menge
Kε ⊂ E mit P(X ∈
/ Kε ) < ε.
Beweis: Sei ohne Einschränkung E separabel und (xn )n≥1 eine dichte Folge in E. Für
jedes k ∈ N gilt dann
[
E=
B(xn , k1 ).
n≥1
Sei nun ε > 0 beliebig. Dann finden wir wegen der σ-Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes zu jedem k ∈ N einen Index Nε,k ∈ N mit
Nε,k
P X∈
[
B(xn , k1 ) > 1 −
ε
.
2k
n=1
T
SNε,k
Die Menge Kε := k≥1 n=1
B(xn , k1 ) ist folgenkompakt (bzw. abgeschlossen und totalbeschränkt), also auch kompakt, und es gilt
Nε,k
X
[
X ε
P(X ∈
/ Kε ) ≤
P X∈
/
B(xn , k1 ) <
= ε.
2k
k≥1
n=1
k≥1
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