Elektrodynamik

Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
Mathematische Hilfsmittel
11
3
Elektrostatik
3.1 Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Das elektrische Feld einer Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Elektrisches Feld einer beliebigen Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Elektrostatisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Die Maxwell-Gleichung der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Integrale Formulierung der Maxwellgleichung der Elektrostatik . . . . . . . . . . . .
3.7 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Energie des Dipols im externen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Kraft auf einen Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Drehmoment auf einem Dipol Q 0 bei r 0 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Energie des statischen elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Elektrostatik in Gegenwart von idealen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Formulierung des allgemeinen Problems als Randwertproblem . . . . . . . .
3.9.2 Lösung des Randwertproblems durch Anpassung der homogenen Lösung . .
3.9.3 Lösung des Dirichletschen Randwertproblems durch Anpassung der Greenschen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.4 Allgemeine Theorie der Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
19
20
23
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36
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40
40
42
Magnetostatik
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der elektrische Strom (zur Erinnerung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Amperesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Magnetische Flußdichte B (Magnetische Induktion) . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Magnetische Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Magnetisches Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3 Kraft und Energie einer lokalisierten Stromdichteverteilung im externen
gnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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49
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Ma. . .
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INHALTSVERZEICHNIS
2
5
Elektrodynamik im Vakuum
5.1 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Faradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Maxwellscher Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Zusammenfassung der Maxwell-Gleichungen im Vakuum
5.2 Potentiale und Eichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Beispiel: Monochromatische ebene Welle (MEW) . . . .
5.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . .
5.3.1 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Lösung der Maxwell-Gleichung im Vakuum EM Wellen . . . . .
5.4.1 Herleitung der Wellengleichung für Komponenten von E
Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Aperiodische ebene Wellen (Signale) . . . . . . . . . . .
5.4.3 Periodische Wellen: Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Polarisation von ebenen Wellen . . . . . . . . . . . . . .
5.4.6 Energietransport in elektromagnetischen Wellen . . . . .
5.5 Allgemeine Lösung der Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . .
5.5.1 Lösung der homogenen Wellengleichung . . . . . . . . .
5.5.2 Bewegte Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Rechenregeln der Differentialoperatoren
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und B und deren
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72
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 5
Elektrodynamik im Vakuum
5.1 Maxwell-Gleichungen
Wir beschreiben zunächst die dynamischen Effekte, die zum Übergang von den statischen MaxwellGleichungen zu den vollständigen, dyanmischen Maxwell-Gleichungen führen. Diese sind die Faradaysche Induktion und der Maxwellsche Verschiebungsstrom. Wessentlicher Effekt: Verknüpfung von
Vereinheitlichte Theorie von elektrischen und magnetischen Phänomenen.
E und B -Feld
5.1.1 Faradaysches Induktionsgesetz
Experimentelle Tatsache
Bei der Änderung des magnetischen Flusses durch eine geschlossene Leiterschleife wird ein Strom
erzeugt.
Änderung des magnetischen Flusses
I Bewegung der Leiterschleife II Veränderung des Magnetfeldes Lorentzkraft
Induktion eines elektrischen Feldes
I und II sind äquivalent durch Transformation der Koordinaten!
73
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
74
b.)
a.)
B
Laborsystem
Bewegung der
U
Lorentz−
kraft
Schleife
Ind
U Ind
v
z
z
y
y
x
x
Mathematische Durchführung
Betrachte Leiterschleife, die sich von C1 bei t nach C2 bei t ∆t bewegt!
B
B
C1
zeitunabhängiges magnetisches
df
1 Feld
df
d
r 2
C
2
v dt dfM = − dr x v ∆t
dr
Flächenelement der Mantelfläche
Abbildung 5.1: Leiterschleife
I. Im Laborsystem:
Ladungen unter Einfluss der Lorentzkraft, Umrechnung in ein “fiktives” E-Feld E ind
F
qvxB
Uind
C1
elektrisches Feld in Drahtsystem E ind
E ind dr C1
v x B dr C1
dr x v B
F
q
vxB
(5.1)
5.1. MAXWELL-GLEICHUNGEN
75
1 B d f zeitliche Veränderung durch die Mantelfläche
∆t
(5.2)
FM
FM : Mantelfläche
Uind : elektromagnetische Kraft längs der Schleife
Weiterhin
für ∆t B d f1 B d f2 B d f B d f div Bd 3 r 0
F
V
∂V
1 F 2 FM
φ t ∆t φ t für φ t ∆t : ist das Flächenelement immer nach außen gerichtet
1 1
φ t φ t ∆t Bdf
∆t
∆t FM
(5.3)
0
Uind
C1
E ind dr
d
φ t
dt
d Bdf
dt
φ
(5.4)
F1
II. Im mitbewegten System
wird dieselbe induzierte Spannung Uind gemessen. Die Kräfte sind dieselben. Es gibt keine Lorentz
kraft. Interpretation von E ind als “echtes” induziertes E:-Feld. Weiterhin hat φ für den mitbewegten
Beobachter denselben Wert, sodass
φ auch für Uind
φ̇
d B d f dt
F
F
∂B
df
∂t
(5.5)
φ
(5.6)
gilt.
Mit Stokes-Theorem
Uind C
∂B
df
E ind dr rot E ind d f
F
F
∂t
Gilt für eine allgemeine Fläche
rot E ind
rot E
∂B
∂t
Beispiel für den Induktionseffekt
Quadratische gleichförmig bewegte Leiterschleife im halbundendlichen Magnetfeld
(5.7)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
76
Laborsystem
t=0
y
a
0 t
C1
S (t)
U ind
a
x
B
B0 1 Θ x e z
v
v0 e x
S t
F
FL
a
v
a vt
q v ! B qv B 1 Θ x " ey
v
Richtung von FL durch rechte-Hand-Regel
“effektives” induziertes Feld aus Lorentzkraft
v B 1 Θ x ey
E ind
induzierte Spannung: Uind
# E dl
ind
c1
EMK
Magnetischer Fluss
φ
Ba a vt φ
Uind
E ind aey
vaB
Bav
φ̇
(5.8)
5.1. MAXWELL-GLEICHUNGEN
mitbewegtes System:, 0 t a
v,
77
gestrichene Koordinaten
y
y
v
Eind
Vorderkante der Schleife immer bei x $
0
x$ vt
x
x’
B$
x
B 1 Θ x$ vt ez
B t &%
,
Eind
weil die Grenze x0$ zwischen B ' 0 und B
xs$ vt
0 wandert.
xs$
vt
B a xs$ a B a vt a U
Bav
Bav
0
φ
φ̇
ind
(5.9)
gilt auch im mitbewegten System. Im mitbewegten System gilt weiterhin
∇$ x E ind
∂B
∂t
Ansatz
Bvδ x$ vt ez (5.10)
v B 1 Θ x$ vt ey
,.,
∂
0
∂x+
v B ()* ∂y∂ + / *( 1 Θ x$ vt /
∂
0
∂z+
,
E ind
∇$ x Eind
v B *(
0
/
0
δ x$ vt Bvδ x$ vt &
(5.11)
(5.12)
5.1.2 Maxwellscher Verschiebungsstrom
Maxwells Gleichungen der Elektro- und Magnetostatik sind bei zeitabhängigen Phänomenen inkonsistent mit der Ladungserhaltung.
Beweis: Ladungserhaltung
Kontiunitätsgleichung
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
78
ρ̇ div j
0
Aber, aus der Magnetostatik
∇xB
d. h., nur bei ρ̇
µ0 j
∇ ∇ x B
0
µ0 ∇ j
µ0 ρ̇ %
(5.13)
0 können Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik richtig sein.
Korrektur: Maxsellscher Verschiebungsstrom
Setze
∇xB
0
µ0 j ∇ ∇ x B
∂E
∂t
Maxwellscher Verschiebungsstrom
ε 0 µ0
µ 0 ∇ j ε 0 µ0
µ0 ∇ j µ 0
∂
∇E
∂t
∂
ρ
∂t
∇j
(5.14)
∂
ρ
∂t
(5.15)
5.1. MAXWELL-GLEICHUNGEN
79
Demonstration des Maxwellschen Verschiebungsstromes
U
0 21
0 21
0 21
0 21
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0 543543 543543 21
0 543543 543543 21
0 −543543 543543 21
0 Q543543 543543 21
0 543543 543543 21
0 543543 5353 21
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0 746746 746746 21
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0 746746 746746 21
0 746746 746746 21
0 746746 746746 21
0 746746 746746 21
0 746746 746746 21
0 746746 746746 21
0 746746 746746 +21
0 746746 746746 Q21
0746746 746746 21
0746746 746746 21
0746746 746746 21
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0 746746 746746 21
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0 746746 746746 21
0746746 746746 21
0746746 746746 21
0746746 746746 21
07676 21
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0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 F21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 20
20121
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0 21
0 21
0 221
0 21
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0 21
0 21
0 21
0 20
20121
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0 21
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0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 20
20121
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 20
20121
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 21
0 20
20121
Γ
1
Abbildung 5.2: Maxwellscher Verschiebungsstrom
F2 : Fläche “wie ein Korb”
F1 : Öffnung des Korbes
B: messbar
Der Schalter wird geschlossen. Es fließt ein Ladestrom I t Γ1 : Kreis
Flächenladung A dtd σ
I t .
Plattenkondensator; elektrisches Feld im Wesentlichen auf den Bereich zwischen den Platten beschränkt.
für Γ1 gilt E 8 0, B messbar α 1r
# drB hat Γ1 einen bestimmten Wert.
Γ1 ist die Begrenzung einer Fläche c.
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
80
Γ1
drB
Γ1
cB
d f rotB
d f 9 µ0 j ε0 j ε0 µ0 ∂E
c
c
∂ df E
∂t
ε 0 µ0
∂t :
0%
j
c
F1
F1
µ0 d f j
µ0 I
E
0%
c
F2
(5.16)
F2
Betrachte
ε0 µ0
∂E
∂t
µ0 I t Plattenkondensator Fläche F; Ladung Q
σ
µ0 I
Q
F
d
µ0 Fσ
dt
E
(5.17)
σ ε0
dE
ε 0 µ0
dt
df E
F1
Fσ
ε0
(5.18)
5.1. MAXWELL-GLEICHUNGEN
81
Demonstration des Maxwellschen Verschiebungsstroms
Nicht zu schnelle Aufladung eines Plattenkondensators (Abstrahlung vernächlässigbar s. quasistatische Näherung).
I
R
U
1.
Abbildung 5.3: zur Demonstration 1
II
I
R
2.
U
B
Schalter geschlossen
es fließt ein Aufladestrom
elektrisches Feld baut sich im Kondensator
auf
B-Feld baut sich auf
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
82
III
I
B
R
U
Γ1
B
B
3.
Abbildung 5.4: zur Demonstration 3
Betrachte konzentrischen Kreis Γ1 auf Höhe des Kondensators
E 8 0 fällt sehr stark ab
B8
=< B dr
1
;.r;
I
messbar,
c1
messbar
dann folgt
I
dr B
d f rot B
Γ1
c
d f µ0 j ε0µ0 ∂E ∂t
c
c ist eine beliebige Fläche, die von Γ 1 berandet wird.
Wähle c
F1
planare Kreisfläche
j
0
(5.19)
5.1. MAXWELL-GLEICHUNGEN
83
IV
I
R
B
D F
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B
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Γ1
B (t)
4.
Abbildung 5.5: zur Demonstration 4
dr B
ε 0 µ0 d f
∂E
∂t
(5.20)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
84
5. Ein zeitlich veränderliches elektronisches Feld wirkt wie ein Strom im Inneren der “Magnetfeldkreise”. Demonstriert druch die Wahl von c F2 = Basketballkorb
IV
I
R
M?N?
M N?
M B NM
H I?
H I?
H I?
H I?
H I?
H I?
H I?
H I?
H I?
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IH?I?
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H J I?
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H I?
H FI?
H 2 I?
H K?I?
H K I?
H I?
H IH
IH?I?
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H J I?
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H I?
H I?
H I?
H I?
H I?
H I?
H I?
H I?
H IH
IH?I?
Γ1
I
Abbildung 5.6: zur Demonstration 5
Auf F2 verschwinden die elektrischen Streufelder.
d f µ0 j
dr B
µ0 I
(5.21)
c
6. Wir folgern:
ε0 µ0
∂E
∂t
µ0 j
(5.22)
Verifiziert durch
σ
Q
F
∂E
∂t
und
E
1 dσ
ε0 dt
σ
ε0
1 dQ
ε0 A dt
1
j
ε0
(5.23)
5.2. POTENTIALE UND EICHUNGEN
85
5.1.3 Zusammenfassung der Maxwell-Gleichungen im Vakuum
∂B
∂t
∂B
∂t
∂E
µ0 j
ε 0 µ0
∂t
1
ρ
ε0
0
rot
rot E
rot B
div E
div B
(5.24)
(5.25)
(5.26)
(5.27)
(5.28)
Divergenz und Rotation von E und B sind gegeben, wenn ρ und j gegeben sind.
Vakuum: ρ und j werden als bekannt vorausgesetzt.
Materie: ρ % j hängen von E % B ab (Polarisation z. B. Materiemoleküle)
5.25, 5.28 - sind homogene Maxwell-Gleichungen.
5.26, 5.27 - sind inhomogene Maxwell-Gleichungen.
5.2 Potentiale und Eichungen
Einführung der Felder ϕ und A homogene, d. h. quellfreie Maxwell-Gleichung automatisch erfüllt,
wenn
div B
rot E
∂
B
∂t
0
B
∂
∂t
rot A rotA ∂A
∂t P grad ϕ
rot O E 0
(5.29)
erfüllt mit
E
∂A
grad ϕ ∂t
(5.30)
Im dynamischen Fall gilt
E
Eichtransformation A A$
A grad χ
B
rot A
grad ϕ ∂A
∂t
(5.31)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
86
B$
B
E$
grad ϕ$ A$
A grad χ
∂χ
ϕ
∂t
ϕ$
∂A$
∂t
∂χ
∂A
grad O ϕ$ ∂t P ∂t
Q ϕ
E
(5.32)
führen zu denselben physikalischen Feldern E und B.
χ r% t : kann nach praktischen Gesichtspunkten gewählt werden = angemessen für bestimmtes Problem.
Feldgleichungen für ϕ und A: Setze in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen ein
ρ ε0
∇E
rot B
rot rot A
9 ∆ ε 0 µ0
∆ϕ div
∂A
∂t
ρ
ε0
(5.33)
∂E
µ0 j
∂t
grad div A ∆A
∂2 A
∂
ε0 µ0 9 grad ϕ µ0 j
∂t
∂t 2 :
ε 0 µ0
∂2
∂ϕ
A ∇ 9 div A ε0 µ0
2
∂t :
∂t :
µ0 j
(5.34)
(5.35)
5.33 und 5.35 sind gekoppelte Feldgleichungen zur Bestimmung von A und ϕ, wenn ρ und j vorhanden sind, sehr schwierig.
1. Coulomb-Eichung
Wähle χ, sodass div A
0
∆ϕ
ϕ r% t
Wir definieren
ρ
instantanes Coulombpotenzial
ε0
1 ρ r$ % t R
d3r$ R
4πε0
r r $
(5.36)
(5.37)
5.2. POTENTIALE UND EICHUNGEN
1
ε0 µ0
c2
S
S
87
(Physikalische Bedeutung später)
1 ∂2
c2 ∂t
∆
d‘Alembert-Operator
∂ϕ
;.∂t;
µ 0 j µ 0 ε0 ∇r
A
1
ε0 4π
d3 r+
T
(5.38)
(5.39)
(5.40)
U +WV X
Y Z +Y
∂ρ r t
∂t
r r
div j r $ % t µ0
R
µ0 j j e ∇r d 3 r $ R
4π
r r$
Stromdichte Transervalkomponente der
µ0 jt
µ0 j (5.41)
(5.42)
Im Gegensatz dazu j e : Longitudinalkomponente
S
A µ0 jt
Wellengleichung mit Inhomogenität
(5.43)
µ0 jt
Folgt aus Zerlegungssatz für allgemeines j r % t j r% t mit
∇ x je r % t je r% t (5.44)
0
(5.45)
jt r % t jt r % t &%
0 und ∇ jt r % t Wir finden, dass
je r % t [
div j r % t 1
R
∇r d 3 r $ R
4π
r r$
rot j r $\% t 1
R
∇r x d 3 r $ R
4π
r r$
(5.46)
(5.47)
Beweis fortgelassen (Siehe Kapitel 3 im Fließbach).
5.2.1 Beispiel: Monochromatische ebene Welle (MEW)
Setze voraus: keine Quellen, ρ
wähle Coulomb-Eichung, ∇A
ϕ r% t
und
j
0
0
1 ρ r $]
R
d 3r$ R
4πε0
r r$
ρ
0
0
(5.48)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
88
S
A
0
quellenfreie Wellengleichung (5.49)
spezieller Lösungstyp: MEW
A0 ei kr ^
A r% t
mit
ω
R
iωt (5.50)
R
c k Beweis: Für jede Komponente Ai
S
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
A 0 _ i e i kx x ∂x2 ∂y2 ∂z2 c2 ∂t 2 P
ω2
O` kx2 ky2 kz2 2 A0 _ i ei kr ^ ωt c P
2
ω
0 % wenn k2
c2
O
Ai
ky y kz z ^ ωt (5.51)
in Quantenmechanik gehabt
y
k
λ
k
kn
n
Ausbreitungsrichtung
2π
λ
ω
Phasengeschwindigkeit
k
k
x
v pn
Einschränkung durch Eichungsbedingung
∇A r % t 0
i A0x kx A0y ky A0z k z eikr ^
A0 k
Nehme an k
kez
A0x % A0y % 0 A0
A0 a k
iωt
(5.52)
5.2. POTENTIALE UND EICHUNGEN
A ist transversal
89
b
2 freie Parameter
b
2
Moden pro
k
unabhängige
Wir nehmen
A r% t
A0 exp ikr iωt 1 ∂A
i ck; A0 exp ikr iωt c ∂t
Q
E r% t
E0
ikA0
Transversal
B r% t ∇! A
E0x
0x
ikA
E0y
ikA0y
(5.53)
ik ! A0 exp ikr iωt (5.54)
B0 exp i kr iωt k uz % ikA0
k
ik ! A0
B0
B0x
E0y
E
Boy
E0
uz ! E 0
Eoy
B0z
E0x ex E0y ey E0y ex E0xex B
ω ck
E 0 exp ikr iωt (5.55)
0
exp ikz iωt exp ikz iωt (5.56)
Photonenmoden im Hohlraum: mit zusätzlichen Randbedingungen.
2. Lorentz-Eichung
Wähle χ, sodass div A 1 ∂ϕ
c2 ∂t
0.
S
S
ρ
ε0
µ0 j
ϕ
A
Entkoppelte Wellengleichungen symmetrisch
(5.57)
(5.58)
angemessen für relativistische Formulierung.
Nicht eindeutig
A$
ϕ$
div A$ 1 ∂ϕ$
c2 ∂t
A grad X
∂X
ϕ
∂t
1 ∂ϕ
1 ∂χ
∆χ 2 2 %
div A 2
c ∂t
c ∂t
(5.59)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
90
S
erfüllt Lorentz-Gleichung, wenn
χ
0
Herleitung der Schwingungsgleichung für elektrisches und magnetisches Feld
Betrachte A und ϕ in der Lorentz-Eichung
S
S
∂A
∂t P
S
∂ S
∇ c; ϕ ;cA
∂t
ρ
O ∇ϕ E
S
S
B
ε0
∇ ! A
∇!
S
1
∂
∇ρ µ0 j
ε
∂t
(5.60)
µ0 ∇ ! j
(5.61)
µ0 j
cA;
µ0 j
5.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes
Betrachte ein System von Teilchen q i % ri % vi und elektromagnetischen Feldern. Das elektromagnetische
Feld übt eine Lorentzkraft GL _ i auf die Teilchen i aus mit einem Energietransfer dE mat .
cv;i dEmat
∑ F L _ i dri ∑ qi
i
∑ qi vi E
i
dEmat
dt
i
ri _ t dt
E vi ! B dr i
dt
dt
intd 3 r ∑ qi vi δr ri E r dt
i
j r d 3 r j r % t E r% t dt
d 3 r j r % t E ∂ d 3 r umat r % t ∂t
(5.62)
In den letzten Schritten haben wir den Übergang zum Kontinuumslimes durchgeführt. u mat r % t ist
die Energiedichte im Teilchensystem. V ist ein beliebiges Volumen; E mat ist die gesamte Energie
des
Teilchensystems in V .
∂umat
∂t
jE
(5.63)
Idee: Benutze Maxwell-Gleichungen um j E allein durch die elektromagnetischen Felder auszudrücken.
∂E
1
rot B E ε0
E%
µ0
∂t
jE
verwende
∇ E x B
B ∇ x E d E ∇ x B (5.64)
5.3. ENERGIE UND IMPULS DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
e
1
1
ε0 ∂ 2
∇ E x B f
B ∇x E d
E
µ0
µ0
2 ∂t
jE
e
∂umat
∂t
91
∂B
∂t
∂uem
div S r % t ∂t
Unterstützung dieser Interpretation
∂u
∂
umat uem
∂t
∂t
Typische Kontiunitätsgleichung mit u: Energiedichte
div S r% t &
(5.65)
Energiedichte des EM-Feldes
(5.66)
S: Energiestromdichte
uem
ε0 2
2E
S
1 2
2µ0 B
1
µ0
ExB
Poynting-Vektor
∂ d 3 r umat r % t [ uem r % t ∂t
V
(5.67)
d
E
Eem dt mat
d f S r% t
∂V
g
d
E V
dt tot
(5.68)
Gaußscher Satz
S r % t Energiefluss 5.3.1 Impuls
S
∂
S
∂t
addiere
∂S
und erhalte ε0 µ0
∂t
1
E x B Poynting-Vektor
µ0
∂B
1 ∂E
O
xB E x
µ0 ∂t
∂t P
1
1
1
O
rot B x B j x B E x rot E
µ0 ε0 µ0
ε0
P
1
1
B div B
ρE E div E
ε0 µ0 ε0 .
Q
0
Q
(5.69)
(5.70)
0
ρE j x B ε0 E div E E x rot E &
f mat
(5.71)
Ansatz:
Elektromagnetische Impulsdichte pfeld
mechanische Impulsdichte pmat
ε0 µ0 S
ε0 E x B
1
S
c2
(5.72)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
92
d mat
p
dt
∂
pfeld pmat i
∂t h
f mat ε0 E div E E x rot E 1
B rot B B x rot B &
µ0
(5.73)
Grundidee: Anwendung der Kontinuumsmechanik
∂ gesamt
p
∂t i
∂
∑ ∂x j Ti j
(5.74)
j
Ti j : Spannungstensor
Ziel: Für jede Komponente i wird die rechte Seite von 5.73 als Divergenz von einem Vektor ge Struktur einer Kontiunitätsgleichung.
schrieben.
Wir haben
E div E E x rot E i
E
i ∂ j E j εi jk E j εklm ∂l Em
∂
und der Einsteinschen Summenkonvektion.
∂j ∂x j
mit der Schreibweise
(5.75)
Weiterhin gilt
εi jk εklm
δil δ jm δin δ jl Es folgt
Ei ∂ j E j Ej ∂ i E j E j ∂ j Ei
1
2 ∂i E j E j 1
∂i E j E j 2
1 2
∂ j 9 Ei E j δi j E
2
:
∂ j Ei E j (5.76)
Maxwellscher Spannungstensor
Ti j
∂
i
pfeld pmat
i
∂t h i
ε0 Ei E j ∂ j Ti j
1
µ0 B
Bj 1
2
δi j ε0 E 2 h
1
µ0
B2 i
Kontiunitätsgleichung für Impulsfluss
(5.77)
(5.78)
Integration
P
d3r P
V
(5.79)
5.3. ENERGIE UND IMPULS DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
d
i
Pfeld Pmat
i
dt h i
d 3 r ∂ j Ti j
(5.80)
,
V
Ti1
Ti2 /
T13
*
Definiere t i
93
(
d 3 r div t i t d f
1
Ti j d f j
∂V
∂V
Impulsstrom durch Oberfläche
Ti j n d f j
(5.81)
∂V
n : Nomalenvektor auf ∂V
Änderung des Impulses = Kraft
Ti j n j d f
j i-te Komponente der Kraft auf ein Oberflächenelement
j wirkt auf das kombinierte System von Feldern und Teilchen
j kann zur Bestimmung von Kräften auf materielle Objekte in EM-Feldern benutzt werden:
Umgebe das Objekt mit einer Oberfläche und bilde
Ti j n j d f (5.82)
∂V
Beispiel: Plattenkondensator
E
E ez
B
0
Ti Q k
Tzz
0
1
ε0 E 2 innerhalb des Kondensators
2
0
außerhalb
Fi Ti j n j d f
V
j
mon 0
l
Fz
i
x% y
1
2
2 ε0 E A
1
1
CUE
QE
2
2
A
c ε0 d
1 U
2 ε0 d EA
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
94
V
oV
V
V
F
E
d
Abbildung 5.7: Plattenkondensator
5.4 Lösung der Maxwell-Gleichung im Vakuum EM Wellen
5.4.1 Herleitung der Wellengleichung für Komponenten von E und B und deren Lösung
0
div B
0
B
rot B
ε 0 µ0 E %
div E
rot E
wobei ρ
j
0.
Entkopplung
rot rot E
grad div E d ∆E
rot B
rot rot B
grad div B ∆B
ε0 µ0 rot E
ε 0 µ0 E
ε 0 µ0 B
homogene Wellengleichung für jede Komponente E % B.
S
ψ r% t qp
1 ∂2
Or 2 2 ψ r% t c ∂t P
0
c2
1
ε0 µ0
Die homogene Wellengleichung wurde mit dem ∇-Operator ermittelt
der ermittelten Lösungen notwendig, siehe Beispiele.
(5.83)
Informationsverlust
Test
Lösung: Jede Funktion
ψ r% t
f kr ωt [
f kr ωt (5.84)
5.4. LÖSUNG DER MAXWELL-GLEICHUNG IM VAKUUM EM WELLEN
95
der Phasen
ϕ r % t kr s ωt
(5.85)
mit
ω
ck
ist Lösung.
Beweis:
∇ψ r % t S
∆ψ r % t ψ r% t
k f $ kr ωt [ k f $ kr ωt kψ r% t 2
2
k f $ $ kr ωt ω ψ $ $ r % t 2
ω
ω2
2
$
$
9
%
f $ $ r % t 9 k2 f
r
t
k
c2 :
c2 :
ω2
ψ r % t $ $ 9 k2 0
c2 :
(5.86)
(5.87)
(5.88)
(5.89)
Wellenfronten
k
Zu einer vorgegebenen Zeit t nehmen alle
Punkte r mit kr denselben Wert an.
r1
r’’
r
2
Phasengeschwindigkeit
kr s ωt
dr+ +
dt
kr+ + s ωt ϕ0^
t ω t c k
(5.90)
fu
Beschreiben von Wellen mit unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen.
5.4.2 Aperiodische ebene Wellen (Signale)
(später periodische ebene Wellen keine Information)
Aperiodische Gleichungen besitzen als Lösungen aperiodische ebene Wellen der Form
(5.91)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
96
2
∑ a fl
E r% t
lQ 1
kr ωt ω
al k
(5.92)
1
k ! E r% t
ω
0
l 1% 2%
B r% t
ck
(5.93)
k beliebig al : Einheitsvektoren
Hier
f1 kr ct f 1 kr ωt f2 kr ct f 2 kr ωt lokalisierte Welle mit positiver
Phasengeschwindigkeit
c.
(5.94)
Analog:
2
a gl
∑
Q l
E r% t
l 1
kr ct (5.95)
lokolisierte Welle mit negativer Phasengeschwindigkeit c.
g1 kr ct f 1 kr ωt Erfüllt
∇E r % t nur zwei Vektoren die senkrecht auf k stehen
rein transversale Welle
2
∂
B
∂t ∑ al k f $
lQ 1
al k
al f l
∑
Q
l
1
kr ct . kr ct (5.97)
d fl
d
(5.98)
1 % 2.
l
2
∇!
(5.96)
∑ al ∇ fl kr ct lQ 1
f 2 kr ωt 2
0
g2 kr ct k!
∑ al
l
E
1 ∂
k ! E r% t ω ∂t Integration
(5.99)
ω B r% t
k % E und B bilden ein orthogonales Dreibein.
∇B
1
∇ k ! E r % t ω k ! E r% t 1
k ∇ ! E r% t ω
1
k k ! E r% t ω
0
(5.100)
5.4. LÖSUNG DER MAXWELL-GLEICHUNG IM VAKUUM EM WELLEN
97
Weiterhin
rot B kr ωt 1
k ! B $ k r ωt k ! k ! E $ ω
∂
1
2
$
k kE cE
k
ε
0
;
;cµ0 ∂t E ω
rot B
1 ∂
ω ∂t E
(5.101)
(5.102)
1
c2
Energiestrom
1
E ! B
µ0
1 R R 2
k E
µ0 ω
S
1
E ! k ! E µ0 ω k
1
c uem r% t &
kue r% t ε0 µ0 ω
k
(5.103)
Energiedichte
ε0 2
1 2
E B
2
2µ0
uem
ε0 2
1 1
k ! E 2
E 2
2µ0 ω2 . R
ε0 E
R2
k 2 E 2 kE 2
(5.104)
5.4.3 Periodische Wellen: Ebene Wellen
Suche nach Lösungen der Form
E r% t
E 0 exp i kr ωt B r% t
B0 exp i kr ωt komplexe Schreibweise
Linearität der Maxwell-Gleichung
Spezialfall von v : Wähle k
Real- und Imaginärteil allein sind Lösungen.
ux % az
k u z und a1
uy
f1 kr ωt Ex exp i kr ωt f2 kr ωt Ey exp i kr ωt ,
E r% t (
*
Ex
Ey /
0
exp i kz ωt (5.105)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
98
1
k ! E r % t ω
,
0
k *
0 / ! *(
ω wx (
1
B r% t Ex
Ey /zy{
0
,
1 *
c (
Zwei Parameter frei Ex % Ey Ey
Ex /
0
Polarisation Re | E r % t ~}
exp i kr ωt (5.107)
exp i kz ωt (5.108)
später.
Bsp.: in x-Richtung linear polarisiertes Licht: E y
(5.106)
,
0 % Ex reell
,
mon
Ex
Re l *( 0 / exp i kz ωt o€

0
Ex cos kz ωt ux
(5.109)
,
Re | B r% t ~}
Re
1 *
c (
0
Ex /
0
exp i kz ωt Ex
cos kz ωt uy
c
(5.111)
E
B
Abbildung 5.8: Skizze
(5.110)
5.4. LÖSUNG DER MAXWELL-GLEICHUNG IM VAKUUM EM WELLEN
99
Aufbau der Funktion f ^ kr ωt aus ebenen Wellen
Betrachte
f kr ωt f k uk r ct F ξ
(5.112)
ξ
Darstellung durch Fouriertransformierte
1 2π F ξ
q
a q
A ω
Wir setzen in F ξ wieder ξ ein
∞
a q exp iqξ dq
∞
ω
c
a q
c
∞
∞
ω
A ω exp i ξ dω
c
1 2π 1 2π ∞
c
∞
∞
(5.114)
(5.115)
ω
A ω exp i
uk r ct dω
(5.116)
A ω exp i kr ωt dω ∞
(5.113)
∞
F ξ exp iqξ dξ
∞ ω
1
F ξ exp i ξ dξ c
c
F xi A ω
1 2π (5.117)
aperiodische ebene Welle ist die Überlagerung von ebenen Wellen mit unterschiedlicher Kreisfrequenz, aber gleicher Propagationsrichtung.
Form des Impulses nicht verändert - lineare Dispersion
‚ƒ
Unterschied zur Quantenmechanik, Auseinanderlaufen einer aperiodischen Welle.
5.4.4 Wellenpakete
Superposition von Wellen mit fester Ausbreitungsrichtung
aperiodische Wellen
Allgemeine Superposition
„
„
unveränderte Form des Impulses
lateral ∞ ausgedehnt
∞ viel Energie
∞ hoher Energiestrom
… praktisch nicht relevant
Feldverteilung im endlichen Raumbereich
Signale endlicher Energien
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
100
Anfangswertproblem:
Vorgegeben: Anfangsverteilung des elektrischen Feldes
1
2π E r% 0 Ẽ0 k exp ikr d 3 k
3
(5.118)
Beispiel: Das Feld wird durch einen Sender
hergestellt und hat nur in eine Richtung auslaufende
Komponenten (Allgemeinfall wird später besprochen).
1
2π E r% t
Ẽ0 k exp i kr ωt d 3 k
3
für t
ist Lösung der Maxwell-Gleichung und hat
(5.119)
0 den richtigen Wert.
E r % t ist Wellenpaket, das lokalisiert ist, aber auseinanderfließt.
Beispiel: Überlagerung von ebenen Wellen
E r% t E 0 exp i kr ωt k0x % k0y % k0z mit der Kantenlänge
b.
aus einem Würfel um K0
kOy b
k0x b
1
E 2π 3 0
E r% t
um x
0 lokalisiert.
t†
lim
2π ∞
3
∏
Q
exp ‡~
9
τ
Auseinanderlaufen k0z b
dz exp i kr ωt (5.121)
(5.122)
α 1
dky 1
sin bxa E 0 exp ik0 r ∏
3
2π x a
aQ 1
lim E r% t t† ∞
k0y b
k0z b
3
E r % t ' 0
dkx koy b
(5.120)
3
2
τ 3 E 0 exp i k0 r k0 ct 3
ck0α
9 xa t
4
k0 :
2ˆ
τ2 ‰
(5.123)
ct
2k0 :
Signale unschärfer
5.4.5 Polarisation von ebenen Wellen
Polarisation ist die Orientierung von E und B relativ zu k (wir wissen E % B a k). Um die Polarisation
zu bestimmen, schreiben wir
E0
a1 ia2
mit reellen a1 % a2 % b1 und b2 . Wir haben
b 1 ib2 exp iα 5.4. LÖSUNG DER MAXWELL-GLEICHUNG IM VAKUUM EM WELLEN
R
E 20
exp iβ 2α.
und definieren α als β
R
E 20
R2
E0
exp 2iα b1 ib2 Wir folgern
b1 ib2 2
exp 2iα 0
(5.124)
b21 b22 2ib1 b2
2
bb
1 2
Aus kE 0
R2
E0
101
real
(5.125)
b1 a b2 0 erhalten wir b1 a k und b2 a k2 .
Wenn b1 ' 0 ' b2
kartesisches Koordinatensystem mit den Basisvektoren e1 % e2 und e3 ,
b1
%
b1
e1
b
e2 t 2 und e3
b2
k
k
Das Vorzeichen in der Gleichung für e2 , sodass e1 % e2 % e3 ein Rechtssystem ist.
E r% t
Re | E 0 exp ikx iωt ~}
Re b1 e1 t ib
2 e2 exp i kr ωt α e1 b 1 cos kr ωt α fs e2 b2 sin kr ω α E 1 r % t e 1 E2 r% t e2
mit
E1
b1 cos kr ωt α Wir finden
In der E 1 E2 -Ebene beschreibt der Vektor E
tan β t α kr
Umlaufzeit
(5.127)
(5.128)
(5.129)
(5.130)
E12 E22
2
b21
b2
δ
b2 sin kr ωt α &
und E2
(5.126)
1
E1 % E2 % 0 eine Ellipse.
E2
E1
T
s
b2
tan ωt δ
b1
(5.131)
2π
ω
Für das Magnetfeld erhalten wir
B r% t
1 k
9
E r% t &
c k: (5.132)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
102
e2
e1
E
β
B
k
Abbildung 5.9: Ellipse
Um
π
2
gedrehte Ellipse.
Spezialfall
E 0 exp iα be1 oder be2
m lŠŠ
ŠŠ
b1 ib2
lineare Polarisation
n
ŠŠ b e1 s ie2 ŠŠ
(5.133)
kreisförmige Polarisation
Nach der Bildung des Realteils
lineare Polarisation
mon b e1 cos kr ωt α
b e2 sin kr ωt α E r% t ‹l
kreisförmige Polarisation
E r% t
e1 cos kr ωt α b
m lŠŠ
ŠŠ
e2 sin kr ωt α linke Ausrichtung
e1 cos kr ωt α Œ
e2 sin kr ωt α rechte Ausrichtung
n
ŠŠ b
ŠŠ
(5.134)
(5.135)
5.4.6 Energietransport in elektromagnetischen Wellen
Elektromagnetische Felder werden durch lineare Operatoren bestimmt komplexer Ansatz, Elektro Energiedichte und Energiestrom sind Quadrate von einem
magnetische Felder sind ein realer Teil
allgemeinen Typ.
5.4. LÖSUNG DER MAXWELL-GLEICHUNG IM VAKUUM EM WELLEN
1
a a & b b Ž
4
1
ab ab  a  b a  b c
4
Re a Re b a r% t
a0 r exp iωt b r% t
b0 r exp iωt 1
a b  a0 b0 a0 b0 exp 2ωt f a0 b0 exp 2iωt 4 0 0
Re a Re b 1
τ
A¯ t Re a Re b (5.137)
t τ
A t $ dt
t
1 1
t
exp s 2iωt $ c t

τ s 2iω
1
a b  a0 a0 b0 4 0 0
1
Re a0 b0 &
2
exp s 2iωt (5.136)
Harmonische Zeitabhängigkeit:
Zeitmittel:
103
(5.138)
τ
0
(5.139)
(5.140)
(5.141)
Also
Energiedichte:
Re a Re b 1
Re a0 ! b0 &
2
ε0 R R 2
1 R R2
E B
2
2µ0
R
R
R
1
1 R
Re ε0 E0 2 B0 2 4 µ0
w
w̄
(5.142)
(5.143)
Energiestrom:
S
S¯
1
E! B
µ0
1
Re E 0 ! B0 &
2µ0
Nimm ebene Wellen
(5.144)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
104
E r% t
E 0 exp i kr ωt B r% t
B0 exp i kr ωt mit
(5.145)
1
c2
k ! B0 k ! E 0 % E0 ω
ω
R
R ε0 R
R 1
R
R
ε0 R
1 R
E0 2 B0 2
E0 2 2 k 2 E0 2
4
2µ0
4
ω
B0
w̄
1
c2
S¯
R
ε0 R
E0 2
2
1
Re E 0 ! k ! E 0 2µ0 ω
k E0 E0‘ S¯
R
1 R
E0 2 k
2µ0 ω
R
ε0 c2 R
E0 2 k
2ck
R k
ε0 R
E0 2 c
2
k
E0‘ kE0 Q
Q
ε0 µ 0
0
k
w̄c k
(5.146)
Analog
j
ρv 5.5 Allgemeine Lösung der Maxwellgleichungen
Wir haben gezeigt, dass die Potentiale ϕ und A in Lorentzeichung druch die Wellengleichung
S
S
A r% t
ϕ r% t
µ0 j r % t 1 ϕ r% t
ε0
mit der Eichbedingung
div A 1 ∂ϕ
c2 ∂t
0
(5.147)
Ähnliche Wellengleichungen mit anderen Quellen ergaben sich für die Potentiale in Coulomb-Eichung
und für die Komponenten von E und B. Wir geben nur die Lösungen für das inhomogene Anfangswertproblem in drei Dimensionen an:
S
ψ x% t O∆
1 ∂2
ψ x% t c2 ∂t 2 P
f x % t &%
(5.148)
5.5. ALLGEMEINE LÖSUNG DER MAXWELLGLEICHUNGEN
105
wobei f x % t : das Quellfeld ist.
Mit den Randbedingungen
ψ r % 0
∂
R
ψ r% t t Q 0
∂t
ψ0 r ψt r % 0 χ0 r &
(5.149)
Anmerkung: die Schrödinger-Gleichung ist erster Ordnung in der Zeit. Daher braucht nur ψ r% 0 vorgegeben zu werden, nicht χ0 r .
5.5.1 Lösung der homogenen Wellengleichung
ikr iωt
at k . e
Welle in Richtung ikr iωt
a k e
Richtung k
Welle in
d3k
ψ r% t
Im Ort E ’ ω “ 0
k
(5.150)
nur zweite Möglichkeit, weniger Anfangsbedingungen.
Betrachte die Fouriertransfomation
1
2π 1
2π ψ0 k und weiterhin
1
2π χ0 k a k a k ψ r% t
d3r e
ψ r % . t 0 d 3 k $ a k $ [ a k $ d 3 r ei k+ k r
3
2π 3 δ k+ k+ a k [ a k 3
3
d3r e
ikr
ikr
χ0 r ∂
∂t ψ r_ t •” 0
d 3 k $ iωk a k $ a k $ d 3 r ei k + k r
2π 3 δ k k+W
ick a k a k 1
1 ψ0 k f
χ0 k 2
ick
1
1
ψ0 k d
χ0 k 2
ick
d 3 k | 1 ψ0 k f 1 χ0 k eikr iωt
2
ick
1
1
χ0 k eikr iωt }
ψ0 k d
2
ick
1
2π (5.151)
3
(5.152)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
106
Partikuläre Lösung der inhomogenen Wellengleichung
S
ψ r% t
f r% t
Lösung mit Hilfe der Greenschen Funktion
(5.153)
∞
ψ r % t d 3 r $ dt $ σ r % t; r $ % t $ f 8r $ % t $ &%
∞
(5.154)
wenn gilt
S
1 ∂2
σ r % t % r$ % t $ c2 ∂t 2
δ r r $ δ t t $ σ r % t; r $ % t $ ∆
σ ret .
mit entsprechenden Randbedingungen für σ σ
(5.155)
Wir setzen an:
σ r % t; r $ % t $ σ r r$ % t t $ 1 2π ∞
dω σ r r $ % ω e
iω t t +
(5.156)
∞
Einsetzen in die Bestimmungsgleichung für σ
1 2π homogene Helmholtz-Gleichung:
dω ∆ ∞
ω2
σ r r$ % ω e
2
c
;;
k2
∞
dω e
iω t t +
∆ k2 ϕ
Betrachte Spezialfall k
0
(5.157)
(5.158)
(5.159)
0
∆σ r r $ % 0 … σ r r$ Verallgemeinerung in Übungen
iω t t +
δ r r$ ∞
∆ k2 σ r r$ % ck δ r r $ &
1 2π ∞
∆σ r r $ 1
1
R
R
4π r r $
(5.160)
5.5. ALLGEMEINE LÖSUNG DER MAXWELLGLEICHUNGEN
1 e ^ ikk ” r r+ ”
R
R 4π r r $
σ r r $ % ck Zwei Lösungen!
107
(5.161)
Wir finden
ω e ^ i c ” r r+ ” iω t t + 1
1 R
R
dω
2π 4π
r r$
Y Y
1
1
1 u r Z r+
R
R
dω e i – t t + c — ω
4π r r$ 2π
σ^ r r$ % t t $ δ – t t +W˜
1
1
R
R δ t t$ t
4π r r$
für σ t
R
R
r r$
c
t$ R
Y r Z r+ Y
c —
R
r r$
c
(5.162)
t “ t$
(5.163)
t t$
(5.164)
physikalische Wirkung nach Ursache
für σ t
t$ R
r r$
c
R
unphysikalische Wirkung vor Ursache
Wähle
σ
σ
σret
retardierte Greensfunktion
retardierte Grennsfunktion
4π1 ” r 1r+™” δ t t $ σ r r$ % t t $ ” r r+ ” c
(5.165)
ψ r % t d 3 r $ dt $ σ r r $ % t t $ f r $ % t ∞
(5.166)
Setze ein
∞
für ψ r % t ϕ r% t
tret = retardierte Zeit = t ρ r% t
ε0
1
d 3 r $ dt $ R 1 R δ t t $ d
4πε0
r r$
1 ρ r $\% tret R
d3r$ R
4πε0
r r$
ϕ r% t
” r r+ ”
c
f r$ % t R
R
r r$
c
(5.167)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
108
Analog
µ0 d3r$
4π
Ai r% t R
ji r $ % t R
r r$
(5.168)
Zur Berechnung der Wirkung bei r % t werden Quellen bei r $\% t $š zu einer früheren Zeit t $ $ herausge” r r+ ” der Zeit entspricht, die das Licht auf dem Weg von r $ nach r braucht.
zogen, wobei t t $
c
Lösung des Anfangswertproblems (dto. Statistik)
S
ψ x% t mit
f r% t
ψ r% t
0
ψ0 r (5.170)
ψ̇ r % t
0
χ0 r (5.171)
Setze
ψ
ψ part r% t ψ part r % 0 ψ̇ part r % 0 Definiere
ψhom r % 0 ψhom r % t ψ part ψhom
d 3 r $ dt $ σ r r $ % t t $ f r % t ψ part _ 0
(5.172)
χ part _ 0
ψhom _ 0 r ψhom r % 0 (5.169)
(5.173)
ψ0 r d ψ part _ 0 r χhom _ 0 r χ0 r d χ part _ 0 r d 3 k | 1 ψhom _ 0 k f 1 χ hom _ 0 k eikr 2
ick
1
1
ψhom _ 0 k d
χhom _ 0 k eikr iωt 2
ick
(5.174)
(5.175)
iωt
(5.176)
5.5. ALLGEMEINE LÖSUNG DER MAXWELLGLEICHUNGEN
109
5.5.2 Bewegte Punktladung
1. Liénard-Wiechert-Potentiale
r − r0 (t)
r
n
.
r0
r 0 (t)
›œ
Abbildung 5.10: Skizze
Gegeben ist eine bewegte Punktladung | q % r 0 t ~}
r 0 : Bahngeschwindigkeit, in tangentialer Richtung
n: Einheitsvektor in Richtung r r 0 t ρ r% t
q δ r r0 t (5.177)
j r% t
q ṙ0 δ r r0 t (5.178)
Skalarpotential in Lorentz-Eichung
ϕ r% t
R
R
q 1
r r$
R δ t t$ d 3 r $ dt $ R
δ r $ r0 t $ 4πε0
r r$
c
q 1
1 R
R δ t$ t dt $ R
r r0 t $ 4πε0
r r0$ t $ $ c
u
Substitution
u
du
dt $
R
1 R
1
r r0 t $ t$ t r r0 t $ c
c
1
1 1
2 r r0 t $ ṙ0 t $ c 2 ž r r0 t $ 2 t$ t 2
(5.179)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
110
1
n t $ ṙ0 t $ c
r r0 t $˜ R
R
r r0 t $ 1
mit n t $ (5.180)
(5.181)
Je nachdem, wie n relativ zu r 0 ausgerichtet ist
1 _ da
. ” r˙0 c
R
R
1 R
du
1 R
1 Ÿ
ṙ0 t $ Ÿ
1
ṙ0 t $ c .
dt $
c ¢
¢ antiparallel
ṙ0 ¡ n
du
dt +
“ 0
(5.182)
u t $˜ wächst monoton
dt $
ϕ r% t
u t$ hat eine eindeutige Lösung für tret .
du
1
1
t $ r0 t $ q 1
1
R
R δ u
dn
1
4πε0
1 c nṙ 0 t $ r r0 t $ R
1 R
t$ t r r0 t $ tret
c
du
dt +
1
cn
(5.183)
(5.184)
5.5. ALLGEMEINE LÖSUNG DER MAXWELLGLEICHUNGEN
111
Physikalische Begründung
t > t ret
1.) t’ < t ret < t
r
t − t ret
r (t’ > t ret )
r0 (tret )
r0 (t’ < t ret )
t < t ret
Abbildung 5.11: Skizze
Die Wellenfront einer Kugelwelle, die bei t in r einlaufen wird, und die sich mit c bewegt.
Bei tret befindet sich das geladene Teilchen auf der Wellenfront und danach nie wieder, da ṙ 0 c.
ϕ r% t
q
1
4πε0 ” r r0 tret •” – 1 qµ0 ṙ0 tret 4π ” r r0 tret •” – 1 A r% t
1
r0 tret —
1
c n tret
1
ṙ0 tret —
1
c n tret
(5.185)
Liénard-Wiechert-Potentiale
2. Elektrisches und magnetisches Feld
Bestimmung durch
Betrachte zunächst ∇ϕ, wobei
E
∇ϕ B
∇! A
∂A
∂t
(5.186)
(5.187)
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
112
R
q 1
R δ 9 t t $ f
d 3 r $ dt $ R
4πε0
r r$
ϕ r% t
R
r r$
c :
δ r $ r0 t $ (5.188)
Damit
d 3 r $ dt $;£ R r r $] R δ 9 t $ t $ r r$ 3
R
r r$
c
R
1
r r$
R
R δ r $ r0 t $ δ $ t $ t "
r r$
c
q R
R 1 R
δ$
dt $ £ 3 δ t t $ d
4πε0
R
c c R3
n R
r r0 t $ R
∇ϕ r % t R
mit R
δ r $ r0 t $ :
1 r r$
R
~R ¤
c r r$
R
¤
9 t t$ c:
(5.189)
(5.190)
(5.191)
Es wurde gezeigt,
R
c:
δ$ 9 t $ t d d
R
δ 9 t$ t du dt $
c:
u
mit k r % t $ v̂
1 d
R
δ 9 t$ t k dt $
c:
$
1 v̂n r % t 1
ṙ t $ & c 0
(5.192)
(5.193)
(5.194)
Führe eine partentielle Integration durch
∇ϕ r % t q R
R 1 d R
O 3
dt $ δ 9 t $ t 4πε0 c: R
c dt $ kR2 P
UV XT
1
k r tret
E r% t
du δu
q 1 n
1 d n
O 2
4πε0 k R
c dt $ kR P t + Q tret
q 1 n
1 d v̂ n
O 2
9
4πε0 k R
c dt $
kR :¥P t + Q
(5.196)
(5.197)
tret
Weiterhin
d
n t$ dt $
d
r r0 t $š
dt $ ž r r t $ 2
0
ṙ0 1
r r0 t $ 2 r r0 t $ "
R 2
(5.195)
3
2
2 r r0 t $ ur
˙ 0
5.5. ALLGEMEINE LÖSUNG DER MAXWELLGLEICHUNGEN
r0
R Rr
2 20
R R R
113
c
n nv̂ v̂
R
(5.198)
;1;k
q 1 m nl n
1
n nv̂ ¦ v̂
4πε0 k R2 kR2 E r% t
n d
1
1 d
v i
¤
9
c dt $ kR :
c dt $ h kR t + Q tret
q 1 n v̂ n d
1
1 d
v̂
O
9
9
2
4ßpiε0 k kR
c dt kR :
c dt $ kR :¥P
(5.199)
(5.200)
tret
Weiterhin
kR
d
vR
dt $
dR
dt $
Einfachster Fall
1 d
kR
c dt $
d v̂
dt
1
vn R O 1 c P
1
vR
R
c
dR
v Rv v2 dt
d
r r0 t $ 2
dt $  R
v nv
R
R
nv̂ v̂2 nv̂ &
c
O 1
vR
R
c RP
Rv
(5.201)
1 2 r r0 t $š
ṙ0 t $ 2 ž r r0 t $ (5.202)
0, keine Beschleunigung
E r% t
q 1 n v̂ n d
O
4πε0 k kR2
c dt
q 1
1
n v̂ O 2 4πε0 k
kR
q
1
n v̂ k 4πε0 k3 R2
1 q
n v̂ 1 4πε0 k3 R2
q
n v 1 v̂2 k 3 R2
v̂ d 1
1
kR :
c dt kR P
1 d
1
9
: P
c dt $ kR §
9
v̂2 nv n v̂ v̂2 nv
Feld einer gleichförmig bewegten Ladung fällt wie das statische Feld α R12 ab
(5.203)
nichtstrahlend.
KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IM VAKUUM
114
IS’
IS
E’
E
v
q
q
Ruhende
Ladung
Bewegte
Ladung
Abbildung 5.12: Transformation der Felder
IS $ : Ruhesystem der Ladung
IS: Inertialsystem, in dem sich Ladung bewegt
E ¡ zu v
schwacher als im IS $
E¨
stärker
zu v
Für den Fall v
0
r0 t r0 tv
1
q
n v̂ 3
4πε0 Kret R2ret γ2 ret
E r% t
Mit
(5.204)
r r0 tret nret Rret
1
1
©
v̂
v
2
c
1 v̂
1 v̂nret
R
R
r r0 tret Rret
t
t
c
c
Rret
γ
Kret
tret
(5.205)
(5.206)
(5.207)
(5.208)
Weiterhin lässt sich zeigen,
B r% t
,
Wähle den Beobachtungspunkt r
(
*
0
b /
0
1
n ! E r % t c ret
und
(5.209)
5.5. ALLGEMEINE LÖSUNG DER MAXWELLGLEICHUNGEN
115
,
vt
b /
0
*
die Ladungstrajektorie r 0 t (
R t
*
r r0 t vt
(
b
0
,
/
(5.210)
y
Beobachter (r, t)
R ret
r
n ret
P’
Ladung
t << 0
r0 (t ret )
b
Ladung bei
t=0
Ladung
bei t >>0
x
Abbildung 5.13: Skizze
Die retardierten Größen bei tret lassen sich durch die momentanen Größen bei t ausrucken.
0 (r , t)
Rt
Rret
zur Zeit
t ret
∆r
v
R t = R (t)
Q
ϕz
ϕret
P’
b
P
x
Rret zur Zeit t
ϕ
Abbildung 5.14: Skizze
Zunächst gilt für die Strecke ∆r, in der sich die Ladung um ∆r von P $ nach P bewegt.