Musterlösung zu Übungsblatt 0 - Lehrstuhl für Optik, Uni Erlangen

Übungsblatt 0
Geometrische und Technische Optik WS 2012/2013
Gegeben sei eine ebene Welle im Vakuum mit Ausbreitungsrichtung längs des Wellenvektors
k (reeller Vektor) und Kreisfrequenz . E0 ist ein (möglicherweise) komplexer, aber
konstanter Vektor. Die elektrische Feldstärke hat dann die Form:
E r , t   ReE 0 expi k  r  t 
Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen und den Materialgleichungen folgende
Eigenschaften der ebenen Welle ab.
a) Welche Bedingung müssen die beiden Vektoren k und E0 relativ zueinander erfüllen?
Nutzen Sie dazu eine der Maxwell-Gleichungen.
b) Berechnen Sie die magnetische Induktion B in Abhängigkeit von der elektrischen
Feldstärke und insbesondere das Verhältnis der Beträge beider Größen.
c) Berechnen Sie den Poynting-Vektor (zeitabhängig und zeitunabhängig) in Abhängigkeit
von der elektrischen Feldstärke unter Verwendung des Ergebnisses von Aufgabe b).
Musterlösung Übungsblatt 0:
Zu a)
Die dritte Maxwell-Gleichung (Gesetz von Gauss) lautet im Vakuum (d.h. =1):
  Dr , t       0 E r , t   0    E r , t   0  Re  E 0 expi k  r  t  
 ReE 0   expik  r  t   Rei E 0  k expi k  r  t   0  E 0  k  0
Die beiden Vektoren E0 und k müssen also senkrecht aufeinander stehen.
Zu b)
Die erste Maxwell-Gleichung liefert unter Verwendung der Rechenregel für die Rotation des
Produktes eines konstanten Vektors und einer skalaren Funktion:
 Br , t 
  E r , t   
 Re  E 0 expi k  r  t   Re E 0   expi k  r  t  
t
 Br , t 
 Rei k  E 0 expi k  r  t   
t
k
 Br , t    Re i k  E 0  expi k  r  t dt   ReE 0 expi k  r  t  



2 / 
1
e  E r , t   e  E r , t 
2
c
Dabei ist e ein konstanter reeller Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle.
Die Integrationskonstante wurde auf Null gesetzt, da es im Vakuum natürlich keinen
konstanten Offset der magnetischen Induktion geben kann.
Für das Verhältnis der Beträge der beiden Vektoren gilt folglich, da ja e und E0 wegen a)
senkrecht aufeinander stehen:
E
B
c

Zu c)
Der Poynting-Vektor ist definiert als Kreuzprodukt der elektrischen und magnetischen
Feldstärke. Für letztere gilt im Vakuum: B=0H.
1
1
1
E r , t   E r , t e 
S t r , t   E r , t   H r , t  
E r , t   Br , t  
E r , t   e  E r , t  
0
0c
0c
  0 cE r , t   E r , t e
Zeitunabhängig gilt:

 c
1
1
2

S r , t   Re Eˆ r   Hˆ r  
Re E 0 expi k  r   e  E 0 exp i k  r   0 E 0 e
2
2 0 c
2




2
