(Kap II. Der Pr\212dikatenkalk\237l)

Math. Logik II.6
Kap. II : Der Prädikatenkalkül
§6 Syntax des PK: Formale Sprachen
Die Ausdrucksmöglichkeit des Aussagenkalküls werden wir erweitern, indem wir
•
statt der Aussagenvariable stärker strukturierte Aussagen zulassen werden, die mittels
•
zu den aussagenlogischen Operationen die Quantoren ∃ x ("es gibt ein x") und ∀ x
(mehrstelliger) Prädikate
("für alle
aufgebaut sind, und
x") hinzufügen werden.
Wie im Falle des AK werden wir zunächst syntaktische Begriffe, insbesondere f o r m a l e
Sprachen, einführen, sodann ihre Semantik (die Interpretation der formalen Sprache in einem
Modell sowie den semantischen Folgerungsbegriff) behandeln und schließlich ein formales
Axiomensystem für den Prädikatenkalkül angeben, welches korrekt und vollständig ist.
6.1 Definition
Eine (formale) Sprache L besitzt als Alphabet folgende Zeichen:
logische Zeichen:
Variablen x, y, z, w, x1 , x1 , x2 , . . . , z1 , z2 , . . .
aussagenlogische Verknüpfungen ¬ , ∨
Quantor ∃
Gleichheitszeichen =
nicht-logische Zeichen:
Rin i (ni ≥ 1 , i ∈ I)
m j - stellige Funktionszeichen Fjm j (mj ≥ 1 , j ∈ J)
Individuenkonstanten ck (k ∈ K)
n i - stellige Relationszeichen
Eine Sprache
L des Prädikatenkalküls ist somit bekannt, wenn man ihre nicht-logischen
Symbole kennt, und hierzu reicht die Angabe des Tripels
(( n i | i ∈ I), (m j | j ∈ J), K)
aus, welches man den Typ (oder die Signatur) von L nennt.
6.2 Definition der Terme einer Sprache L (L-Terme ):
( T 1 ) Jede Variable und jede Individuenkonstante von L ist ein Term von L .
( T 2 ) Ist F ein m-stelliges Funktionszeichen von L und sind t1 , . . . , tm Terme von L , so
ist auch Ft1 , . . . , tm ein Term von L .
( T 3 ) Das sind alle Terme von L .
Wie üblich werden wir im Falle 2-stelliger Funktionszeichen (wie + ) statt
Fts
auch
t F s
schreiben (und gegebenfalls Klammern hinzufügen, um eindeutige Lesbarkeit zu gewährleisten).
II.29
Math. Logik II.6
Beispiele:
(1)
Enthält die Sprache L keine Funktionszeichen und keine Individuenkonstanten, so sind die
(2)
Enthält die Sprache L ein Funktionszeichen + und eine Individuenkonstanten 0 , so gibt
Variablen die einzigen L -Terme.
es neben den Variablen noch etwa die folgenden L-Terme:
+x0, ++xy++y00 , ++xx+xx , +x+x+00 , bzw. in der geläufigen Schreibweise:
x+0 , (x+y) + ((y+0)+0) , (x+x)+(x+x) ,
6.3 Definition der Formeln einer Sprache
x +(x+(x+(0+0))) .
L (L- Formeln):
(F1)
Ist R ein n-stelliges Relationszeichen von L (oder das Gleichheitszeichen und n = 2)
(F3)
Sind ϕ und ψ L-Formeln , so auch ∨ ϕ ψ .
(F5)
Das sind alle L -Formeln.
und sind t1 , . . . , tn L -Terme, so ist Rt1 , . . . , tn eine L -Formel .
( F 2 ) Ist ϕ eine L -Formel , so auch ¬ ϕ .
(F4)
Ist ϕ eine L -Formel und ist x eine Variable, so ist auch ∃ x ϕ eine L -Formel.
Eine nach (F1) gebildete Formel nennt man auch eine atomare (oder Prim -)Formel.
6.4 Satz
Jeder Term und jede Formel läßt sich auf genau eine Weise in der Gestalt uv1 . . . vn schreiben,
wobei u ein Symbol der Sprache und v1 . . . vn Terme oder Formeln sind.
Wiederum werden wir im Falle 2-stelliger Relationszeichen (wie = oder < ) statt
Rts auch tRs schreiben (und gegebenfalls Klammern hinzufügen).
Ebenso schreiben (bzw. definieren) wir
(ϕ ∧
( ϕ ∨ ψ ) statt ∨ ϕ ψ ,
ψ ) statt ¬ (¬ ϕ ∨ ¬ ψ) ,
( ϕ → ψ ) statt ¬ ϕ ∨ ψ ,
( ϕ ↔ ψ ) statt ( ϕ → ψ)
∧ ( ψ → ϕ) ,
∀x ϕ statt ¬ ∃x ¬ ϕ ,
auch wenn wir damit Klammern setzen müssen, um eindeutige Lesbarkeit zu erhalten.
6.5 Definition: freies und gebundenes Vorkommen einer Variablen in einer Formel
Ein Vorkommen einer Variablen x in einer Formel ϕ heißt gebunden gdw es in einem
Teil der Form ∃ x ψ von
ϕ
liegt, frei sonst.
Beispiel: In der Formel
¬ ∃ x ¬ ∃ y ¬ (Pz ∧ x . y = z → x = 1 ∨ y = 1) ∧ (x > 0 ∨ z < 0)
kommt die Variable x gebunden (im linken Teil) und frei (im rechten Teil) vor,
die Variable y kommt nur gebunden, z nur frei vor.
II.30
Math. Logik II.6
6.6 Definition: Substitution (Einsetzung von Termen für Variable)
ϕ sei eine Formel, s und t seien Terme, x eine Variable. Dann entstehe
s[t/x]
ϕ [t/x]
aus s , indem jedes Vorkommen von x durch t ersetzt wird,
aus ϕ , indem jedes freie Vorkommen von x durch t ersetzt wird.
t s u b s t i t u i e r b a r für x in ϕ gdw gilt: ist
y
Variable in
Vorkommen von x in einem Teil der Form ∃y ψ von ϕ .
t
, so gibt es kein freies
Insbesondere ist t substituierbar für x in ϕ , falls keine Variable von t in ϕ
vorkommt.
gebunden
Beispiel : Es sei ϕ = ∃ y (y + 3 = x) , s = (y * x2 ) + 7 x. Dann ist (für u ≠ y )
ϕ [u/x] = ∃ y (y + 3 = u) ,
ϕ [y/x] =
∃ y (y + 3 = y) ,
ϕ [u/y] = ϕ ,
und für t = (x+4)5 ist
s[t/x] = (y *
((x+4) 5 ) 2 ) + 7 (x+4)5 .
Die Terme t = x2 , z+z (für x,z ≠ y) sind substituierbar für x in ϕ ,
t = y+y oder t = y sind nicht substituierbar für x in ϕ .
(Beachte, dass wir Klammern setzen müssen - bei der offiziellen Definition des Formel- und
Termbegriffs ist dies nicht nötig!)
Ähnlich wie in 6.6 erklären wir die mehrfache Substitution
s[t1/x1, . . . , tn/xn]
und
ϕ[t1/x1, . . . , tn/xn]
durch mehrfache (simultane) Ausführung der jeweiligen Substitution, wobei wir im zweiten
Fall voraussetzen wollen, dass für jedes i ≤ n
ti
substituierbar ist für
xi in ϕ .
(Ebenso soll auch im Falle ϕ [t/x] vorausgesetzt werden, dass t substituierbar für x in ϕ ist.)
6.7 Definition
t konstanter Term : ⇔ t Term ohne Variable
ϕ Satz (Aussage) : ⇔ ϕ Formel ohne freie Variable.
Bemerkung: Der Begriff Satz
im Sinne der Definition 6.7 ist rein syntaktisch und natürlich
nicht mit dem Begriff des Satzes im Sinne eines Theorems zu verwechseln! Im Englischen
unterscheidet man zwischen sentence und theorem ; gelegentlich nennt man Sätze im Sinne der
Def. 6.7 auch (ab-)geschlossene Formeln oder Aussagen , um eine Verwechslung mit der
Bedeutung als Theorem zu vermeiden.
II.31
Math. Logik II.7
§7 Semantik des PK: der Wahrheitsbegriff
Mit Hilfe einer prädikatenlogischen Sprache können wir Aussagen über Objekte eines
vorgegebenen Grundbereiches sowie darauf definierter Relationen und Funktionen ausdrücken;
die jeweiligen Grundbereiche (und ihre Elemente) werden Mengen sein, so dass wir einige
mengentheoretische Bezeichnungen einführen müssen:
Zwei Mengen sind gleich gdw sie dieselben Elemente besitzen:
A=B ⇔
für alle x: (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Extensionalitätsprinzip.
{x| E(x)} bezeichnet die Menge aller Mengen x mit der Eigenschaft E(x) (s. später §20).
Ø: =
{x| x≠x }
leere Menge (ohne Elemente)
{a} : = {x| x = a }
Einermenge von a (mit a als einzigem Element)
{a,b}: = {x| x=a oder x=b }
P a a r m e n g e (ungeordnet - mit
(a,b)
geordnetes
(*)
(a,b) = (c,d) ⇒
a
und
Elementen)
Paar (z.B. definierbar als
der charakteristischen Eigenschaft:
b
als einzigen
{{a},{a,b}} ) mit
a = c und b = d .
Allgemeiner seien Tripel bzw. n- Tupel definiert durch
(a,b,c) = (a,(b,c)),
(**)
(a1 , . . . , an ) = (a1 ,(a 2 , . . . , an )) (für n ≥ 3); hier gilt analog
(a 1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ) ⇒ ai = bi
für i = 1, . . . , n .
Eine weitere Verallgemeinerung sind Familien (bzw. Folgen, wenn I = {0, . . , n} oder I = { ):
(x i ) i ∈ I ist die Funktion
f
mit Definitionsbereich I und f(i) = xi für i ∈ I.
Für Funktionen (s.u.) f und g gilt f = g gdw f und g denselben Definitionsbereich haben und
auf diesem dieselben Werte annehmen; somit:
(***)
(xi ) i ∈ I = (yj ) j ∈ J
⇔
I = J und für alle i ∈ I : xi = yi .
A x B := {(x,y)| x ∈ A und y ∈ B }
A n := {(x1 , . . . , xn )| x1 , . . . , xn ∈ A }
Kreuzprodukt (cartesisches Produkt),
n-faches Produkt von A .
n-stellige Relationen identifizieren wir mit den n-Tupeln, die diese Relationen erfüllen,
Funktionen mit ihren Graphen:
R n-stellige Relation auf A : ⇔ R ⊆ An ,
F n-stellige Funktion auf A : ⇔ F ⊆ An+1 und für alle x1 , . . . , xn ∈ A gibt es genau ein
y ∈ A mit (x1 , . . . , xn , y) ∈ F (setze y = F(x1 , . . . , xn ) ).
II.32
Math. Logik II.7
7.1 Definition L
sei eine Sprache vom Typ ((n i | i ∈ I), (m j | j ∈ J), K).
Eine L- Struktur A
(1)
A ≠ Ø
ist ein 4-Tupel
(A, (Pi | i ∈ I), (fj | j ∈ J), (ak | k ∈ K)) , wobei
eine nicht-leere Menge ist, der Individuenbereich (G r u n d b e r e i c h ) der
( 2 ) P i ⊆ An i
( 3 ) f j : An j → A
( 4 ) ak ∈ A
Struktur
A , bezeichnet auch mit
A=|A|,
(d.h. Pi ist eine ni - stellige Relation auf A )
(d.h. fj ist eine mj - stellige Funktion auf A )
(d.h. ak ist ein Element von A )
für jedes i ∈ I ,
für jedes j ∈ J ,
für jedes k ∈ K .
In diesem Zusammenhang benutzt man auch gelegentlich die Bezeichnungen
P i = R i A , fj = F j A , a k = c k A ,
und nennt (etwa) Pi die Interpretation von Ri in A .
7.2 Definition: Interpretation von Termen in einer Struktur
A sei eine L-Struktur , A = |A | . Wir erweitern die Sprache L
zur Sprache L A durch
Hinzufügen von neuen Individuenkonstanten a für jedes Element von a ∈ A , wobei wir a als
Namen von a bezeichnen werden.
t sei konstanter Term von L A (d.h. t enthalte keine Variablen, aber u.U. Namen für Elemente
von A). Wir definieren durch Induktion über den Aufbau eines Termes
tA (die Interpretation von t in A) wie folgt:
tA = a
für t = a
t A = ak
für t = ck
t A = FA (t 1 A , . . . , tm A )
d.h.
d.h.
d.h.
aA = a
für alle a ∈ A
ck A = ak für alle k ∈ K
(F(t1 , . . . , tm )) A = FA (t 1 A , . . . , tm A )
wobei im letzten Fall t = F(t1 , . . . ,tm ) , F ein m-stelliges Funktionszeichen ist.
Die Erweiterung der Sprache durch Hinzufügen von Namen kann man vermeiden, muss dann aber
bei der Interpretation von Termen, die i.a. (freie) Variable enthalten werden, angeben, mit
welchen Elementen von A sie "belegt" werden sollen: als alternative Definition erhalten wir:
Ist t = t(x1 , . . . , xn ) ein Term der Sprache L
und sind b1, . . . , bn Elemente von A, so sei
t A [b 1 , . . . , bn ]
wie folgt definiert:
mit (höchstens) den Variablen
x 1 , . . . , xn ,
(die Interpretation von t in A unter der Belegung b1 , . . . , bn )
t A [b 1 , . . . , bn ] = bi
für t = xi ,
t A [b 1 , . . . , bn ] = ak
für t = ck ,
t A [b 1 , . . . , bn ] = FA (t 1 A [b 1 , . . . , bn ] , . . . , tm A [b 1 , . . . , bn ]) für t = F(t1 , . . . , tm ) ,
II.33
Math. Logik II.7
wobei F ein m-stelliges Funktionszeichen F der Sprache L .ist.
Es gilt somit folgender Zusammenhang:
tA[b1, . . . , bn] = (t(b1/x1, . . . , bn/xn))A .
7.3 Definition : Gültigkeit von Sätzen in einer Struktur
(A. Tarski: Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Studia Phil. 1 (1936)))
A sei eine L-Struktur , A = |A | . Wir betrachten wieder die erweiterte Sprache
sei ϕ ein Satz der erweiterten Sprache L A . Wir definieren induktiv
A ªϕ
L A . Es
ϕ ist wahr in A (bzw.: A erfüllt ϕ )
wie folgt:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A ªt=s
⇔
A ª ϕ∨ψ
⇔
A ª Rt1 , . . . ,tn ⇔
A ª¬ϕ
⇔
A ª ∃x ϕ
tA = sA für konstante Terme t, s
RA (t 1 A , . . . ,tn A )
( d.h. ⇔ (t1 A , . . . ,tn A ) ∈ R A ),
A Ωϕ ,
A ª ϕ oder A ª ψ ,
⇔ es gibt ein a ∈ A mit
A ª ϕ [a/x] .
Auch hier läßt sich eine alternative Definition
A ª ϕ [a 1 , . . . ,an ]
ϕ ist wahr in A unter der Belegung a1 , . . . ,an
angeben, so dass für alle
L -Formeln
ϕ = ϕ ( x 1 , . . . , xn )
mit (höchstens) den frei
vorkommenden Variablen x1 , . . . , xn und für Elemente a1 , . . . , an von A gilt:
A ª ϕ[a1, . . . , an] ⇔ A ª ϕ[a1/x1, . . , an/xn] .
Wir nennen in dieser Situation auch jeden Satz der Form
ϕ [a 1 /x 1 , . . , a n /x n ]
ein A-Einsetzungsbeispiel von ϕ
und definieren für L -Formeln
Variablen
ϕ = ϕ(x 1 , . . . , xn )
x1 , . . . , xn : ϕ ist wahr in A durch
mit (höchstens) den frei vorkommenden
A ª ϕ : ⇔ für alle A-Einsetzungsbeispiele ϕ ´ von ϕ : A ª ϕ ´ , d.h.
A ªϕ ⇔
A ª ∀ x1 . . .∀ xn ϕ , wobei
∀ x1 . . . ∀ xn ϕ
ein Satz ist, der universelle Abschluss von ϕ .
II.34
Math. Logik II.7
Schließlich sei die Wahrheit einer L -Formel ϕ = ϕ(x 1 , . . ., xn ) definiert durch
ª ϕ : ⇔ für alle L -Strukturen A : A ª ϕ
ϕ ist w a h r
Wir beginnen mit einigen Beispielen für wahre Sätze über die Gleichheit:
7.4 Lemma
A sei eine L-Struktur , A = |A| , s , t konstante Terme der (erweiterten) Sprache L A ,
u = u(x) Term von L A mit höchstens der Variablen x , ϕ = ϕ(x) eine Formel von L A mit
höchstens der freien Variablen x , und es seien s und t substituierbar für x in ϕ . Dann gilt:
( i ) s A = tA ⇒ u[s/x]A = u[t/x]A ,
(ii)
s A = tA ⇒ ( A ª ϕ [s/x] ⇔ A ª ϕ [t/x] ) .
Somit sind
s = t → u[s/x] = u[t/x]
und
s = t → ( ϕ [s/x] ↔ ϕ [t/x] )
wahre LA -Sätze.
(Prinzip
der
Nichtunterscheidbarkeit)
Der Beweis von (i) und (ii) erfolgt durch Induktion über den Aufbau von u bzw. ϕ .
7.5 Korollar
A sei eine L-Struktur , A = |A| , t konstanter Term von L A , ϕ = ϕ(x) eine Formel von L A
mit höchstens der freien Variablen x . Dann gilt für a = tA :
A ª ϕ [t/x]
7.6 Definition:
⇔
A ª ϕ [a/x] ) .
semantischer Folgerungsbegriff, Modelle (vgl. mit I.4.1)
T sei eine Menge von L -Formeln, ϕ eine einzelne L -Formel.
A ª T : ⇔ für alle ϕ ∈ T: A |= ϕ
A ist Modell von T
T ª ϕ : ⇔ für alle L -Strukturen A gilt: falls A ª T , so A ª ϕ , d.h.
⇔ jedes Modell von T ist auch Modell von ϕ
insbesondere:
ªϕ ⇔ تϕ .
T erfüllbar : ⇔
( A erfüllt T)
ϕ folgt (semantisch) aus T,
es gibt ein Modell A von T .
7.7. Bemerkungen : Nach der Wahrheitsdefinition (insbesondere 7.3 (5)) werden die Variablen
x, y, . . . in einer Struktur A als E l e m e n t e von
A
interpretiert; man spricht in diesem
Zusammenhang auch von einer Sprache erster Stufe. Erweiterungen, die Variablen (und
entsprechende Quantoren) enthalten, welche als Teilmengen von A (bzw. Mengen von
Teilmengen von A ) interpretiert werden, heißen Sprachen zweiter (dritter, höherer . . )
Stufe. Eine andere (aber unwesentliche) Erweiterung stellen die mehrsortigen Sprachen dar.
II.35
Math. Logik II.8
§8 Ein Axiomensystem für den PK
Wir haben gesehen, dass es für den aussagenlogischen Wahrheitsbegriff, ag[ϕ ] , verschiedene
Entscheidungsverfahren gibt, und zumindest für endliche Formelmengen
aussagenlogische
Folgerungsbegriff,
T
ist auch der
T |= ϕ , e n t s c h e i d b a r , da man nur endlich-viele
Belegungen der Aussagenvariablen nachzuprüfen hat. Dagegen erfordert der Wahrheitsbegriff
|= ϕ (bzw. der semantische Folgerungsbegriff T |= ϕ ) im Falle prädikatenlogischer Formeln den
Nachweis der Gültigkeit von
ϕ in allen Strukturen der zugehörigen Sprache
bzw. in allen
Modellen von T , und hierzu hat man nicht nur sehr viele Strukturen, sondern im einzelnen
insbesondere auch noch unendliche Strukturen zu untersuchen, so dass wir in diesem Falle keine
Entscheidbarkeit erwarten können. Daher ist in diesem Falle von Bedeutung, dass es auch einen
syntaktischen Beweisbegriff,
T |− ϕ , gibt, welcher mit dem semantischen übereinstimmt
(verallgemeinerter Vollständigkeits- und Korrektheitssatz), welcher zwar ebenfalls kein
Entscheidungsverfahren liefert, aber es immerhin ermöglicht, alle Folgerungen aus einer
Theorie in standardisierter Weise aufzuzählen.
8.1 Wie im Falle des AK gibt es verschiedene vollständige und korrekte Axiomensysteme für den
PK; wir wollen hier ein spezielles Axiomensystem nach SHOENFIELD behandeln (vgl. §5):
Axiome:
aussagenlogische Axiome:
Substitutionsaxiome:
Gleichheitsaxiome:
¬ϕ∨ϕ
ϕ [t/x] → ∃x ϕ , falls t für x in ϕ
x = x
substituierbar
x 1 = y1 ∧ . . . ∧ xm = ym → Fx1 , . . . , xm = Fy1 , . . . , ym
für jedes m-stellige Funktionszeichen F
x 1 = y1 ∧ . . . ∧ xn = yn ∧ Rx1 , . . . , xn → Ry1 , . . . , yn
für jedes n-stellige Relationszeichen R (insbesondere auch für die 2-stellige Relation = ).
Regeln:
aussagenlogisch:
Expansion
Kürzung
Quantorenregel:
∃ -Einführung
(Vordere
ψ /
Assoziativität ϕ ∨ (ψ ∨ δ)/
ϕ∨ψ
ϕ ∨ ϕ/
ϕ
ϕ → ψ/
Partikularisierung)
Schnitt
ϕ ∨ ψ , ¬ ϕ ∨ δ/
( ϕ ∨ ψ) ∨ δ
ψ∨δ
, falls x in ψ nicht frei vorkommt
∃x ϕ → ψ
(Variablen-Bedingung).
Bemerkung: Ohne Beachtung der Variablenbedingung würde man aus der beweisbaren Formel
x = y → x = y durch ∃ -Einführung die Formel ∃ x (x = y ) → x = y und mit
II.36
Math. Logik II.8
der beweisbaren Formel ∃ x (x = y) auch die Formel x = y als beweisbar erhalten, welche aber
nicht wahr ist, da sie nur in 1-elementigen Strukturen gilt. (Inhaltlich kann man auch so
argumentieren: Es gilt x = 3 → x ist Primzahl, aber nicht ∃ x ( x = 3 ) → x ist Primzahl !)
8.2 Definition Eine Theorie T ist gegeben durch Angabe
(1) der Sprache L von T : L = L (T) und
(2) einer Menge von L -Formeln (als den Axiomen von T).
Da man i.a. aus den Axiomen die zugehörige Sprache ablesen kann, werden wir meistens eine
Theorie mit ihren (nicht-logischen) Axiomen (2) gleichsetzen.
Modelle einer Theorie T sind L -Strukturen A , welche (die Axiome von) T erfüllen.
Den Beweisbegriff (für das oben angegebene Axiomensystem von SHOENFIELD) können wir
wörtlich vom Aussagenkalkül übernehmen (s. 4.8 p.18):
8.3 Definition
Ein Beweis von ϕ aus T ist eine endliche Folge (ϕ1 , . . , ϕn) von Formeln, so dass
( B 1 ) ϕn = ϕ ,
(B2)
oder
oder
oder
für jedes m ≤ n gilt:
(1) ϕ m ist logisches Axiom
(2) ϕ m ist Formel aus T
(3) es gibt ein i < m, so dass ϕm aus ϕi hervorgeht durch Anwendung einer Regel
(4) es gibt i, j < m, so dass ϕ m aus ϕ i und ϕ j hervorgeht durch Anwendung einer
Regel mit 2 Prämissen.
Wir schreiben wieder:
T |− ϕ : ⇔ es gibt einen Beweis von ϕ aus T
|− ϕ : ⇔ Ø |− ϕ
ϕ ist aus T beweisbar,
ϕ ist beweisbar.
Die Beweisbarkeit läßt sich also auch rekursiv wie folgt charakterisieren:
(S1)
(S2)
Jedes logische Axiom und jedes Axiom von T sind aus T beweisbar.
Ist die Prämisse (bzw. sind die Prämissen) einer Regel aus T beweisbar, so auch ihre
Konklusion.
8.4 Satz (Verallgemeinerte
T |− ϕ ⇒ T ª ϕ .
Korrektheit)
Beweis: Es sei A ª T . Zeige
(*)
T |− ϕ ⇒
Aªϕ
durch Induktion gemäß der induktiven Definition (S1), (S2).
1. Fall: ϕ ist logisches Axiom. Zeige, dass dann A ª ϕ .
2. Fall: ϕ ist Axiom von T. Dann gilt die Beh. (*) offenbar wegen
AªT.
3. Fall: ϕ ist Konklusion einer Regel, deren Prämisse(n) aus T beweisbar ist (sind).
Gehe die einzelnen Regeln durch und zeige, dass sich Gültigkeit in A von den Prämissen auf die
Konklusion vererbt.
II.37
Math. Logik II.9
§9 Der Tautologiesatz
Das Axiomensystem von §8 enthält offensichtlich die Axiome und Regeln des aussagenlogischen
Systems von SHOENFIELD, so dass wir erwarten können, dass das prädikatenlogische Axiomensystem "aussagenlogisch", d.h. hinsichtlich aussagenlogischer Argumente, vollständig ist. Eine
Präzisierung dieser intuitiven Erwartung gibt der Tautologiesatz . Dabei müssen wir beachten,
dass die Prädikatenlogik die Aussagenlogik erweitert, wobei jedoch den Grundbestandteilen der
aussagenlogischen Sprache, den Aussagenvariablen , in der prädikatenlogischen Sprache die
atomaren Formeln (Primformeln) entsprechen.
Darüber hinaus gibt es prädikatenlogische Formeln, die nicht atomar, aber auch aussagenlogisch nicht weiter zerlegbar sind; diese werden elementar genannt:
9.1 Definition
ϕ elementar : ⇔ ϕ atomar oder beginnt mit dem Quantor ∃ .
(Beachte: formal gibt es nur den Quantor ∃ , der Quantor ∀ ist mittels ∃ definiert.)
B Bewertung von L : ⇔ B : {ϕ | ϕ elementare L -Formel} → {W,F} .
Jede Bewertung
Abbildung
B
läßt sich (entsprechend den Wahrheitstafeln, s. 2.1) fortsetzen zu einer
B : {ϕ | ϕ L -Formel} → {W,F}
durch die Festlegungen
B(¬ ϕ ) = W ⇔ B(ϕ ) = F , B(ϕ ∨ ψ) = W ⇔ B(ϕ ) = W oder B(ψ ) = W .
ª AK ϕ : ⇔ für alle Bewertungen B : B(ϕ ) = W
ϕ ist Tautologie .
ϕ1 , . . , ϕn ªAK ϕ : ⇔ für alle Bewertungen B mit B(ϕi) = W für i = 1, . .,n
ϕ ist tautologische Folgerung aus ϕ1 , . . , ϕn .
ist B(ϕ) = W
Beispiele:
ϕ ∨ ¬ ϕ , ϕ ∨ ψ ↔ ψ ∨ ϕ sind Tautologien, nicht aber x = x , x = y ↔ y = x , ∃ x (x = x)
(obwohl wahr!), tatsächlich sind die letzten Formeln nicht aussagenlogisch, sondern erst
prädikatenlogisch wahr.
9.2 Lemma
Das Prädikat "ϕ ist Tautologie" ist entscheidbar.
9.3 Satz (Tautologiesatz)
(i)
(ii)
(iii)
Falls T |− ϕ1 , . . , ϕn und ϕ1 , . . , ϕn ª AK ϕ , so T |− ϕ .
Falls ϕ 1 , . . , ϕ n ª AK ϕ , so ϕ 1 , . . , ϕ n |− ϕ .
Falls ªAK ϕ , so |− ϕ
(und somit auch T |− ϕ für jede Tautologie ϕ und jedes T).
II.38
Math. Logik II.9
Beweis: Offensichtlich folgt (i) aus (ii) , und (ii) folgt aus (iii): Sei
ϕ 1 , . . , ϕ n ª AK ϕ . Dann gilt
ªAK ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn → ϕ , also nach (iii) auch
∫ ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn → ϕ , und daraus mit modus ponens (vgl. Lemma 5.3) auch ϕ1 , . . , ϕn ∫ ϕ .
Somit bleibt nur (iii) zu beweisen. Dazu geht man wie in §5 beim Beweis des
Vollständigkeitssatzes 5.8 vor, indem man die Lemmata 5.2 - 5.7 für den
prädikatenlogischen Beweisbarkeitsbegriff
|− übernimmt. Offenbar gilt:
falls ªAK ϕ , so
ª Aϕ ,
wobei Aϕ der aussagenlogische Ausdruck ist, welcher aus ϕ entsteht, indem man in ϕ die
elementaren Teilformeln ϕ 1 , . . , ϕ n durch Aussagenvariable A1 , . . . , An ersetzt. Nach 5.8
gilt nun:
|− Aϕ
, und aus einem (ausagenlogischen) Beweis B von
(prädikatenlogischen) Beweis von
ϕ
Aϕ
erhält man einen
, indem man nun umgekehrt im Beweis B überall die
Aussagenvariable A1 , . . . , An durch die elementaren Teilformeln ϕ 1 , . . , ϕ n ersetzt.
(Man kann auch den Beweis von 5.8 (ii) direkt übertragen, indem man sich überlegt, dass man
darin ª durch ª AK ersetzen kann.)
Aufgrund des Tautologiesatzes können wir somit aussagenlogische (präziser: tautologische)
Folgerungen in prädikatenlogische Folgerungen übernehmen, wovon wir im folgenden häufig
stillschweigend Gebrauch machen werden.
II.39
Math. Logik II.10
§10 Gesetze über Quantoren
Den ∀-Quantor haben wir definiert durch
∀ x ϕ ↔ ¬ ∃x ¬ ϕ ;
∃x ϕ ↔ ¬ ∀ x ¬ ϕ
¬ ∀ x ϕ ↔ ∃x ¬ ϕ
¬ ∃x ϕ ↔ ∀ x ¬ ϕ .
somit gilt auch
und
und
Die folgenden Sätze bezeichnen ableitbare Regeln bzw. beweisbare Formeln , die somit bei
Beweisen verwendet werden können:
10.1
∀ - E i n f ü h r u n g (hintere
ϕ → ψ |− ϕ → ∀x ψ
Generalisierung)
falls x in ϕ nicht frei vorkommt (Variablen-Bedingung ).
Beweis: ( 1 ) ϕ → ψ
(2) ¬ψ→¬ϕ
( 3 ) ∃ x¬ ψ → ¬ ϕ
(4)
10.2
ϕ → ¬ ∃ x¬ ψ
ϕ → ∀x ψ
Voraussetzung
tautologisch aus (1)
mit ∃ -Einführung (die Var.bedingung ist erfüllt!)
tautologisch aus (3)
nach Def. des ∀-Quantors.
Generalisierung
ϕ |− ∀x ϕ
Beweis: ( 1 ) ϕ
( 2 ) ¬ ∀x ϕ → ϕ
tautologisch (Abschwächung) aus (1)
( 4 ) ∀x ϕ
tautologisch aus (3).
( 3 ) ¬ ∀ x ϕ → ∀x ϕ
10.3
Voraussetzung
mit ∀ -Einführung (die Var.bedingung ist erfüllt!)
Substitutionsregel
ϕ (x 1 , . . . , xn ) |− ϕ (t 1 , . . . , tn )
Beweis durch Induktion nach n:
n = 1:
(1)
(2)
(3)
ϕ
∀ x1 ϕ ,
d.h. ¬ ∃ x 1 ¬ ϕ
¬ ϕ [t 1 /x 1 ] → ∃x 1 ¬ ϕ
¬ ∃ x 1 ¬ ϕ → ϕ[t 1 /x 1 ]
ϕ [t 1 / x 1 ]
Voraussetzung
Generalisierung
Substitutionsaxiom
tautologische Folgerung aus (2)
aus (1) und (3) mit modus ponens.
II.40
Math. Logik II.10
n>1: Setze ϕ ´ = ϕ [t1 /x 1 , . . , tn /x n ] und wähle n Variable y1 , . . , yn , die weder in ϕ noch in
ϕ ´ vorkommen. Wenden wir den Fall n = 1 sukzessive an, so erhalten wir aus ϕ :
ϕ [y 1 /x 1 ] , ϕ [y 1 /x 1 , y2 /x 2 , . . ] , . . . , ϕ [y 1 /x 1 , . . , yn /x n ]
und ebenso aus dem Fall n = 1:
ϕ [y 1 /x 1 , . . , yn /x n ][t 1 /y 1 ] = ϕ [t 1 /x 1 ,y 2 /x 2 , . . , yn /x n ] ,
ϕ [t 1 /x 1 ,t 2 /x 2 , . . , yn /x n ] , . . . , ϕ [t 1 /x 1 ,t 2 /x 2 , . . , tn /x n ].
10.4
(i)
Substitutionssatz
ϕ [t 1 /x 1 ,t 2 /x 2 , . . , tn /x n ] → ∃ x 1 . . . ∃ xn ϕ ,
( i i ) ∀ x 1 . . ∀ xn ϕ
→ ϕ[t 1 /x 1 ,t 2 /x 2 , . . , tn /x n ] .
(In beiden Fällen sei vorausgesetzt, dass t1 , . . , tn für x1 , . . , xn in ϕ substituierbar sind.)
Beweis von (i): Aus den Substitutionsaxiomen folgt
ϕ → ∃ x1 ϕ und
∃ x i-1 . . . ∃ xn ϕ → ∃ x i ∃ x i-1 . . . ∃ xn ϕ , und somit
ϕ → ∃ x 1 . . . ∃ xn ϕ , und daraus folgt die Beh. mit der Substitutionsregel.
(ii) beweist man analog (oder durch Kontraposition aus (i)).
Beachte, dass die Umkehrung von (i), ∃ x 1 . . . ∃ xn ϕ
wahr ist!
10.5
→ ϕ[t 1 /x 1 ,t 2 /x 2 , . . , tn /x n ], n i c h t
Distributionsregel
ϕ → ψ |− ∃ x ϕ → ∃ x ψ und
Beweis: (1)
ϕ→ψ
( 2 ) ψ → ∃x ψ
ϕ → ∃x ψ
∃ x ϕ → ∃x ψ
ϕ → ψ |− ∀ x ϕ → ∀ x ψ
Voraussetzung
Substitutionssatz,
tautologisch aus (1) und (2)
mit ∃ -Einführung (die Var.bedingung ist erfüllt!).
Den zweiten Teil beweist man analog ("dual").
Definition
Für eine Formel ϕ = ϕ (x 1 , . . , xn ) mit x1 , . . ,xn als frei vorkommenden Variablen heißt
∀ x 1 . . ∀ xn ϕ der (universelle) Abschluss von ϕ .
Dieser ist immer ein Satz (d.h. eine Formel ohne frei vorkommende Variable).
10.6 Abschlusssatz Ist ϕ * der universelle Abschluß von ϕ , so sind beide deduktionsgleich:
T |− ϕ ⇔ T |− ϕ* .
Beweis: Benutze die Generalisierungsregel bzw. den Substitutionssatz.
II.41
Math. Logik II.11
§11 Das Deduktionstheorem
Für eine Theorie T und einen Satz ϕ sei T[ϕ] die Theorie T mit ϕ als zusätzlichem Axiom.
11.1 Deduktionstheorem
T |− ϕ → ψ ⇔ T[ϕ ] |− ψ
( ϕ Satz).
Vorbemerkung: der Beweis von "⇒ " ist trivial und macht nur vom modus ponens Gebrauch: Es
gelte T |− ϕ → ψ , dann offensichtlich also auch
T[ϕ ] |− ϕ → ψ . Da ferner T[ϕ ] |− ϕ , so mit modus ponens
T[ ϕ ] |− ψ .
Der Teil "⇐ " ist interessanter und auch weniger trivial: beim Beweis von ψ aus T[ϕ ] könnte
das Zusatzaxiom ϕ an mehreren Stellen benutzt worden sein! Wir werden zeigen, dass man aus
einem Beweis von ψ aus T[ϕ ] (mit leichten Modifikationen) einen Beweis von ϕ → ψ aus T
erhält, indem man im ersten Beweis jede Beweiszeile δ durch ϕ → δ
Zusatzaxiom
ϕ in die beweisbare Formel
ersetzt, wobei das
ϕ → ϕ übergeht und damit entbehrlich wird.
Aufpassen muß man allerdings im Falle der ∃ -Einführungsregel, dass die Variablenbedingung
nicht verletzt wird; die Voraussetzung, dass
aber auch entsprechend abgeschwächt werden).
ϕ
ein Satz ist, wird hier benötigt (könnte hier
Beweis von "⇐ ": Wir zeigen
T[ϕ] |− ψ ⇒ T |− ϕ → ψ
durch Induktion über die Länge eines Beweises (d.h. Anzahl der Formeln im Beweis) von ψ :
1. Fall: ψ ist Axiom von T[ϕ ] : dann ist entweder
a) ψ Axiom von T und damit T |− ψ , also auch T |− ϕ → ψ , oder
b) ψ = ϕ und damit wegen T |− ϕ → ϕ
also auch T |− ϕ → ψ .
2. Fall: ψ ist logisches Axiom. Dann T |− ψ , also auch T |− ϕ → ψ nach dem Tautologiesatz.
Damit haben wir den Induktionsanfang behandelt. Der Induktionsschluß (ψ ist Folgerung mittels
einer Regel) läßt sich auch in 2 Fälle aufgliedern:
3. Fall: ψ ist Folgerung aus ψ 1 bzw. aus ψ 1 und ψ 2 mittels einer aussagenlogischen Regel,
wobei T[ϕ ] |− ψ1 und T[ ϕ ] |− ψ2 . Dann ist ψ ist tautologische Folgerung aus ψ 1 bzw. aus ψ 1
und ψ 2 . Nach Induktionsvoraussetzung gilt ferner T |− ϕ → ψi , und damit auch T |− ϕ → ψ
nach dem Tautologiesatz.
II.42
Math. Logik II.11
ψ ist Folgerung aus ψ 1 mittels der Regel der ∃ -Einführung, also
ψ 1 = δ1 → δ2 und ψ = ∃x δ1 → δ2 für Formeln δ1 , δ2 mit x nicht frei in δ2 . Dann
T |− ϕ → (δ1 → δ2)
nach Induktionsvoraussetzung
4. Fall:
T |− δ1 → (ϕ → δ2)
T |− ∃x δ1 → (ϕ → δ2 )
T |− ϕ → (∃x δ1 → δ2 )
T |− ϕ → ψ
tautologische Folgerung
mit ∃ -Einführung (x ist auch nicht frei in ϕ → δ2 ,
da ϕ Satz!)
tautologische Folgerung, also
11.2 Korollar
Sind ϕ1 , . . . , ϕn Sätze, so gilt:
T |− ϕ1 ∧ . . . . ∧ ϕn → ψ ⇔ T[ϕ 1 , . . . , ϕ n ] |− ψ
Dabei bezeichnet T[ϕ1 , . . . , ϕn] die Theorie T mit ϕ1 , . . . , ϕn als zusätzlichen Axiomen.
11.3 Bemerkungen
(i)
Dass das Deduktionstheorem nicht für beliebige Formeln gilt, zeigt das Beispiel
ϕ = ( x = y ):
Es ist T[x=y] |− ∀x ∀ y ( x = y ) , aber i.a. nicht T |− x = y → ∀x ∀ y ( x = y ) !
Für eine Formel ϕ läßt sich allerdings das Deduktionstheorem in der Form
T |− ϕ* → ψ ⇔ T[ϕ ] |− ψ
wobei ϕ * der universelle Abschluss von ϕ ist,
umformulieren.
( i i ) Falls T |− ψ , so existieren nach dem Endlichkeitssatz für die Beweisbarkeit endlich viele
ϕ 1 , . . . , ϕ n in T mit mit ϕ1 , . . . , ϕ n |− ψ ; sind die Axiome ϕ 1 , . . . , ϕ n von T Sätze (man
kann sie anderenfalls nach 10.6 durch ihre universellen Abschlüsse ersetzen), so gilt also
|− ϕ1 ∧ . . . . ∧ ϕn → ψ .
Somit läßt sich die Beweisbarkeit in einer Theorie (prinzipiell) auf logische Beweisbarkeit
zurückführen; ist ein konkreter Beweis von ψ aus T gegeben, so lassen sich aus diesem Beweis
die Sätze ϕ 1 , . . . , ϕ n in T mit mit ϕ 1 , . . . , ϕ n |− ψ auch konkret angeben, nicht notwendig
aber, wenn man nur von der Beweisbarkeit ausgeht!
II.43
Math. Logik II.12
§12 Weitere Metatheoreme
12.1 Ersetzungstheorem
Es gelte
T |− ψ i ↔ ψi´ für i = 1, . . . , n,
und die Formel ϕ ´ entstehe aus ϕ , indem in ϕ einige (oder alle) Vorkommen von ψ i durch ψ i´
ersetzt werden. Dann gilt auch
T |− ϕ ↔ ϕ´.
Beweis durch Induktion über den logischen Aufbau von ϕ :
1. Fall: ϕ atomar oder ϕ = ψi für ein i : dann gilt die Behauptung nach dem Tautologiesatz und
der Vor. Sei im folgenden nun dieser Fall ausgeschlossen.
2. Fall: ϕ = ¬ θ für eine Formel θ . Dann ist ϕ´ = ¬ θ´ für eine Formel θ ´ , die aus θ durch
Ersetzung hervorgeht. Nach Induktionsvoraussetzung gilt
T |− θ ↔ θ´ , also nach dem
Tautologiesatz auch T |− ϕ ↔ ϕ´.
3. Fall: ϕ = θ ∨ ψ für Formeln θ, ψ : analog zum 2. Fall.
4. Fall: ϕ = ∃x θ für eine Formel θ . Dann ist ϕ´ =∃x θ´ für eine Formel θ ´ , die aus θ durch
Ersetzung hervorgeht. Nach Induktionsvoraussetzung gilt
T |− θ ↔ θ´ , also nach der
Distributionsregel auch T |− ϕ ↔ ϕ´.
12.2 Satz (Umbenennung gebundener Variabler)
|− ∃x ψ ↔ ∃y ψ [y/x],
Beweis: |− ψ[y/x] → ∃x ψ
falls y nicht in ψ
vorkommt.
Substitutionsaxiom
|− ∃y ψ [y/x] → ∃x ψ
|− ψ → ∃y ψ [y/x],
|− ∃x ψ → ∃y ψ [y/x]
∃ -Einführung (da
y nicht frei in ψ ). Ferner
∃ -Einführung (da
x
denn ψ = ψ[y/x][x/y], da y nicht in ψ ,
nicht frei in ∃y ψ [y/x] ).
Beispiel für die Notwendigkeit der Variablenbedingung: Es sei ψ = ∃ y (y ≠ x) .
Dann ist nicht allgemeingültig (und damit auch nicht beweisbar):
∃ x ∃ y (y ≠ x) ↔ ∃y ∃ y (y ≠ y) .
Tatsächlich ist hier
12.3
ψ[y/x][x/y] = ∃ y (y ≠ y) ≠ ψ .
Definition
Wir werden jetzt häufig der Einfachheit halber, soweit kein Mißverständnis zu befürchten ist,
ϕ (t 1 , . . , tn ) statt ϕ [t 1 /x 1 , . . . , tn /x n | schreiben.
Die Formel ϕ ´ entsteht aus der Formel ϕ durch Umbenennung gebundener Variabler gdw
in ϕ Teilformeln der Form
nicht vorkommt).
∃ x ψ (x)
durch ∃ y ψ (y) ersetzt werden (wobei
II.44
y
in
∃x ψ(x)
Math. Logik II.12
12.4 Metatheorem über gebundene Umbenennung
Falls
ϕ´ aus der Formel ϕ durch Umbenennung gebundener Variabler entsteht, so gilt:
|− ϕ ↔ ϕ´.
Beweis: 12.2 und Ersetzungstheorem.
12.5 Lemma
|− s = t ↔ t = s .
Beweis:
(1)
x = x
(3)
x=y → y=x
(2)
x=y∧x=x∧x=x→ y=x
s=t → t=s
t=s → s=t
Gleichheitsaxiom
Gleichheitsaxiom (mit Rx1 x 2 als x1 = x2 )
tautologische Folg. aus (1), (2)
Substitutionsregel, ebenso
12.6 Ersetzung von gleichen Termen - Prinzip der Nichtunterscheidbarkeit
t1, . . . , tn und t1´, . . . , tn ´ seien Terme.
(i)
falls
s´ entstehe aus s durch Ersetzung einiger (oder aller) Teilterme ti durch ti´ . Dann gilt:
|− t1 = t1 ´ ∧ . . ∧ tn = tn´ → s = s´ , insbesondere:
T |− ti = ti´ , so T |− s = s´ .
(ii)
ti und ti´ seien Terme, die in ϕ für xi substituierbar seien. Dann gilt:
|− t1 = t1 ´ ∧ . . ∧ t n = tn ´ → ( ϕ(t 1 , . . . , tn ) ↔ ϕ(t 1 ´, . . . , tn ´) ),
insbesondere:
falls T |− t i = ti ´ , so T |− ( ϕ(t 1 , . . . , tn ) ↔ ϕ(t 1 ´, . . . , tn ´) ) .
Beweis (s. auch 7.4): Wegen der Substitutionsregel 10.3 brauchen wir (i) und (ii) nur für
Variable xi , yi statt der Terme ti , ti´ zu beweisen. (i) beweist man durch Induktion über den
Aufbau von s (mit Hilfe der Gleichheitsaxiome), (ii) ähnlich durch Induktion über den Aufbau
von ϕ .
II.45
Math. Logik II.13
§13 Pränexe Normalformen
Wir setzen die Ergebnisse von §10 fort mit weiteren Gesetzen über Quantoren, die schließlich
dazu führen, Nomalformen zu erhalten, in welchen alle Quantoren am Anfang der Formel stehen.
13.1 Lemma
|− ¬ ∀ x ϕ ↔ ∃ x ¬ ϕ
|− ¬ ∃ x ϕ ↔ ∀ x ¬ ϕ
13.2 Lemma
Falls x nicht frei in ψ vorkommt:
|− ∃x ϕ ∨ ψ ↔ ∃ x ( ϕ ∨ ψ )
|− ∀ x ϕ ∨ ψ ↔ ∀ x ( ϕ ∨ ψ )
Beweis: ψ → ϕ ∨ ψ
Für die Umkehrung:
.
Tautologie
ϕ ∨ ψ → ∃x (ϕ ∨ ψ )
ψ → ∃x (ϕ ∨ ψ )
und
ϕ→ϕ∨ψ
Substitutionsaxiom
Tautologie
∃ x ϕ → ∃x( ϕ ∨ ψ ) Distr.regel
tautolog. Folg. , und somit
∃x ϕ ∨ ψ → ∃x ( ϕ ∨ ψ ) .
ϕ → ∃x ϕ
ϕ ∨ ψ → ∃x ϕ ∨ ψ
∃ x (ϕ ∨ ψ ) → ∃ x ϕ ∨ ψ
Substitutionsaxiom, daraus
als tautol. Folg.
mit ∃ -Einführung (da
x nicht frei in ψ ).
Aus 13.2 mit Tautologiesatz:
13.3 Lemma
Falls x nicht frei in ψ vorkommt:
|− ψ ∨ ∃ x ϕ ↔ ∃ x ( ψ ∨ ϕ )
|− ψ ∨ ∀ x ϕ ↔ ∀ x ( ψ ∨ ϕ ) .
Analog:
13.4 Lemma
Falls x nicht frei in ψ vorkommt:
|− ∃ x ϕ ∧ ψ ↔ ∃ x ( ϕ ∧ ψ )
|− ∀x ϕ ∧ ψ ↔ ∀ x ( ϕ ∧ ψ ) .
13.5 Lemma
und
und
Falls x nicht frei in ψ vorkommt:
|− ψ ∧ ∃ x ϕ ↔ ∃ x ( ψ ∧ ϕ )
|− ψ ∧ ∀ x ϕ ↔ ∀ x ( ψ ∧ ϕ ) .
und
Aufpassen muß man dagegen bei Umformungen mit der Implikation:
13.6 Lemma
Falls x nicht frei in ψ vorkommt:
|− (∀ x ϕ → ψ ) ↔ ∃ x ( ϕ → ψ )
|− (ψ → ∀ x ϕ ) ↔ ∀ x ( ψ → ϕ )
(Denn es ist ( ϕ → ψ ) ↔ ¬ ϕ ∨ ψ !)
und |− (∃ x ϕ → ψ ) ↔ ∀ x ( ϕ → ψ ) ,
und |− (ψ → ∃ x ϕ ) ↔ ∃ x ( ψ → ϕ ).
II.46
Math. Logik II.13
13.7 Lemma
(Ohne Variablenbedingung:)
|− ∃ x ( ϕ ∧ ψ ) → ∃ x ϕ ∧ ∃x ψ )
|− ∀ x ϕ ∨ ∀x ψ → ∀ x ( ϕ ∨ ψ ) .
Beweis: Übungsaufgabe!
13.8 Lemma
(i)
(ii)
(Ohne Variablenbedingung:)
|− ∀ x ϕ → ∃ x ϕ
|− ∃x ( ϕ ∨ ψ ) ↔ ∃ x ϕ ∨ ∃x ψ
( i i i ) |− ∀x ( ϕ ∧ ψ ) ↔ ∀ x ϕ ∧ ∀x ψ
( i v ) |− ( ∃ x ϕ → ∃x ψ ) → ∃ x ( ϕ → ψ )
(v)
|− ∀ x ( ϕ → ψ ) → ( ∀ x ϕ → ∀x ψ )
Beweis: Übungsaufgabe!
Zusammenfassung der Quantorenregeln:
¬ Qx ϕ ↔ Q*x ¬ ϕ
Qx ϕ(x) ∧ ψ ↔ Qx ( ϕ(x) ∧ ψ )
Qx ϕ(x) ∨ ψ ↔ Qx ( ϕ(x) ∨ ψ )
Qx ϕ(x) → ψ . ↔ . Q*x ( ϕ(x) → ψ )
ψ → Qx ϕ(x) . ↔ . Qx (ψ → ϕ(x))
wobei
∀ * = ∃ , ∃ * = ∀ , und x in der Formel ψ nicht frei vorkomme.
13.9 Definition
ϕ heißt offen gdw ϕ keine Quantoren enthält,
ϕ heißt pränex gdw ϕ offen ist oder von der Form
Q1 x 1 . . . Qn x n ψ mit ψ offen, Qi
Quantor (∀ oder ∃ ).
Dabei heißt in einer Formel ϕ der Form Q1 x 1 . . . Qn x n ψ (mit ψ offen) der Quantorenblock
Q 1 x 1 . . . Qn x n das Präfix von ϕ , ψ die Matrix von ϕ .
13.10
Satz über die pränexe Normalform
Zu jeder Formel ϕ (ausgedrückt mit ¬ ∨ ∧ → ↔ ∀ ∃ ) existiert eine pränexe Formel ϕ ´ mit
|− ϕ ↔ ϕ´ ;
ϕ ´ heißt (eine) pränexe Normlform von ϕ .
Den Beweis führt man durch Induktion über den Aufbau der Formel ϕ . Wir wollen stattdessen
skizzieren, wie man eine pränexe Normalform konkret erhält: Gegeben sei eine Formel ϕ .
1. Schritt: Eliminiere
→ , ↔ mittels äquivalenter Ausdrücke in den BOOLEschen Operationen
¬, ∨ , ∧ ; das Ergebnis sei ϕ1 , es ist dann |− ϕ ↔ ϕ1 nach dem Ersetzungstheorem.
II.47
Math. Logik II.13
2. Schritt: Mit Hilfe von 13.1 und den entsprechenden aussagenlogischen Umformungen bringe
man in
ϕ 1 das ¬-Zeichen so weit nach innen, bis es höchstens vor atomaren Formeln steht
( Negations-Normalform ); das Ergebnis sei ϕ 2 , es ist dann wieder |− ϕ 1 ↔ ϕ2
Ersetzungstheorem.
nach dem
3. Schritt: Bringe den in ϕ 2 am weitesten links stehenden Quantor (u.U. nach geeigneter
Umbenennung) an den Anfang der Formel und erstrecke seinen Wirkungsbereich auf die ganze
Formel; benutze dazu die folgenden Äquivalenzen (aus den vorhergehenden Lemmata):
∀ v ϕ (v) ∧ θ
↔
↔
↔
∀ v ϕ (v) ∨ θ
∀ v ( ϕ (v) ∧ θ )
falls v nicht in θ
∀ z ( ϕ (z) ∧ θ )
falls v in θ , θ ≠ ∀v θ ´(v), z neue Variable,
∀ v ( ϕ (v) ∧ θ ´(v) )
∨θ)
↔ ∀ z ( ϕ (z) ∨ θ )
↔
∀ v ( ϕ (v)
(13.5),
falls θ = ∀v θ ´(v)
falls v nicht in θ
(13.8(iii)),
(13.5, sowie Analogon zu12.2)
(13.3),
falls v in θ , z neue Variable, (13.3, 12.2).
(Analog für den ∃ -Quantor.) Damit erhalten wir eine zu ϕ 2 äquivalente Formel ϕ 3 der Form
Qv ϕ3´ . Bringe dann in gleicher Weise die in ϕ3´ vorkommenden Quantoren "an den Anfang"; als
Endergebnis erhalten wir eine pränexe Formel ϕ 4 , die zu ϕ äquivalent ist.
Bemerkung : Ähnlich wie im Falle der konjunktiven bzw. disjunktiven Normalform ist eine
pränexe Normalform niemals eindeutig bestimmt (trotzdem spricht man häufig von d e r
pränexen Normalform, da zumindest alle untereinander äquivalent sind), insbesondere im 3.
Schritt hat man häufig verschiedene Möglichkeiten der Umformung.
Beispiel : Es sei ϕ = ∃ x P(x) → ¬ ∀ y (R(y,x) ∨ ¬ P(x)) . Dann ist diese Formel äquivalent zu
¬ ∃ x P(x) ∨ ¬ ∀ y (R(y,x) ∨ ¬ P(x))
∀ x ¬P(x) ∨ ∃ y (¬R(y,x) ∧ P(x))
∀ u ¬P(u) ∨ ∃ y (¬R(y,x) ∧
( * ) ∀ u [ ¬P(u) ∨ ∃ y (¬R(y,x) ∧
∀ u ∃ y ( ¬P(u) ∨ (¬R(y,x) ∧
∀ u ∃ y ( P(u) → (¬R(y,x) ∧
(1. Schritt)
(2. Schritt)
P(x))
(Umbenennung)
P(x))]
P(x)))
und dann möglicherweise
P(x))) .
Man hätte aber hier auch (*) weiter äquivalent umformen können zu
∃ y ∀ u( ¬P(u) ∨ (¬R(y,x) ∧ P(x))) .
Auch die Elimination von "→ " im 1. Schritt hätte man sich sparen können, wenn man 13.1 und
13.6 benutzt:
ϕ = ∃ x P(x) → ¬ ∀ y (R(y,x) ∨ ¬ P(x))
∃ x P(x) → ∃ y (¬ R(y,x) ∧ P(x))
äquivalent zu
∃ u P(u) → ∃ y (¬ R(y,x) ∧ P(x))
∀ u [ P(u) → ∃ y (¬ R(y,x) ∧
(13.1)
(Umbenennung)
P(x))]
(13.6)
∀ u ∃ y ( P(u) → ( ¬R(y,x) ∧ P(x))) .
II.48
Math. Logik II.13
(Statt u hätte auch eine andere geeignete Variable auftauchen können.)
Abschließend geben wir eine Verallgemeinerung des Dualitätsprinzips des AK an (dabei setzen
wir voraus, dass die Formeln mittels ¬ ∨ ∧ ∀ ∃ aufgebaut sind):
D( ϕ ) : vertausche in ϕ
∧ mit ∨ und ∀ mit ∃
dualer Ausdruck zu ϕ ,
N( ϕ ) : setze vor jede atomare Formel in ϕ ein ¬ - Zeichen,
N * ( ϕ ) : setze vor jede atomare Formel in ϕ ein ¬ - Zeichen, falls dort keines steht,
sonst streiche eines!
Beispiel :
Es sei ϕ = ∀ x (P(x) → ∃ y R(y,x)) , d.h. nach Elimination von "→ ":
ϕ ↔
∀ x (¬ P(x) ∨ ∃ y R(y,x) ) . Dann ist
D ( ϕ ) = ∃ x (¬ P(x) ∧ ∀ y R(y,x) )
N ( ϕ ) = ∀ x (¬¬ P(x) ∨ ∃ y ¬ R(y,x) )
N * ( ϕ ) = ∀ x ( P(x) ∨ ∃ y ¬ R(y,x) )
D N * ( ϕ ) = ∃ x ( P(x) ∧ ∀ y ¬ R(y,x) ) .
Entsprechend (und ergänzend) zu dem früheren Lemma 3.9 gilt (wobei das dortige "äq" durch
beweisbare Äquivalenz zu ersetzen ist):
13.11 Lemma
( i ) |− N * ϕ ↔ N ϕ ,
( i i ) N (¬ ϕ ) = ¬ N ϕ , N(ϕ ∨ ψ ) = N(ϕ ) ∨ N( ψ ), N(ϕ ∧ ψ ) = N(ϕ ) ∧ N ( ψ )
N(¬ A) = ¬¬ A = ¬ N(A) , N(∀ x ϕ ) = ∀ x N(ϕ ) , N(∃ x ϕ ) = ∃ x N(ϕ )
( i i i ) |− N * ¬ ϕ ↔ ¬ N* ϕ ,
(iv) |− NN ϕ ↔ ϕ ,
( v ) |− ϕ ⇔ |− N ϕ ,
13.12 Satz
a)
b)
|− ¬ ϕ ↔
(vi) |− ϕ ↔ ψ ⇔ |− N ϕ ↔ N ψ .
D(N* ( ϕ ))
|− ϕ ↔ ψ ⇔ |− D ϕ ↔ D ψ .
Bildung der Negation
Dualitätssatz
Man kann diese Ergebnisse auch auf beschränkte Quantoren erweitern: Ist
ϕ = ∀ x (P(x) → ψ(x) ) , d.h. ↔
∀ x (¬ P(x) ∨ ψ (x) ) , so ist
¬ ∀ x (P(x) → ψ(x) ) ↔ ∃ x ( P(x) ∧ ¬ ψ ( x ) ) ,
d.h. der zum beschränkten Quantor
∀ x (P(x) → )
duale Quantor ist
∃ x ( P(x) ∧
).
Besonders häufig kommt ein derartiger Quantor in der Analysis vor als
∀ε>0 ϕ : ↔ ∀ε (ε>0 → ϕ )
bzw. ∃ε>0 ϕ : ↔ ∃ε (ε>0 ∧ ϕ ) .
Mit Hilfe von 13.12 a) lassen sich also Aussagen der folgenden Form leicht negieren:
¬ ∀ x ∀ε>0 ∃δ>0 ϕ ↔ ∃ x ∃ε>0 ∀δ>0 ¬ ϕ .
II.49