Musterprüfung Algebra (Komplexe Zahlen und Anwendungen

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Musterprüfung Algebra (Komplexe Zahlen und Anwendungen)
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Studiengang ST
Büro: 4.613
Semester: 2
Modul: Algebra
Datum: FS2010
Ohne el. Hilfsmittel
1. Aufgabe
Forme die folgenden komplexen Zahlen in die anderen Darstellungsformen um:
(a)
(2 Punkte)
z1 = 5 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
(b)
(2 Punkte)
3π
z2 = 3ei 2
(c)
(2 Punkte)
√
z3 = − 3a + ia
a ∈ R+
2. Aufgabe
Berechne:
(a)
(2 Punkte)
√ 8
z = 2i − 12
(b)
(2 Punkte)
z = ln (−1 + i tan (2α))
(c)
(2 Punkte)
z=
eiπ
√
e−
i
3+i
(d)
(2 Punkte)
z = (−1 + i)(1+i)
3. Aufgabe
Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen:
(a)
(2 Punkte)
√
1
3
z = −
i
2
2
6
Algebra
Musterprüfung Algebra (Komplexe Zahlen und Anwendungen)
(b)
FS 2010
(2 Punkte)
1
z4 = i − √
3
4. Aufgabe
Bestimme die Summe aller Lösungen der Gleichungen: z n = −1
(4 Punkte)
Mit MATLAB
5. Aufgabe
An einer Parallelschaltung aus einem Kondensator C = 1µF und der Serieschaltung aus R = 100Ω und L = 10mH liegt eine Wechselspannungsquelle (u(t) =
10V sin(100 1s t)) an.
(a) Bestimme die Gesamtimpedanz der Schaltung.
(2 Punkte)
(b) Bestimme die Zweigströme.
(2 Punkte)
(c) Bestimme die Spannungen über allen Bauteilen im Zeit- und im Bildbereich
und stelle diese grafisch dar.
(2 Punkte)
6. Aufgabe
(a) Bestimme die Gleichung der Geraden (z (t) = a (1 + it)) durch die Punkte
z1 = 4i und z2 = 4 + i.
(2 Punkte)
(b) Stelle die gefundene Gerade mit MATLAB graphisch dar.
(2 Punkte)
(c) Bestimme Gleichung, Mittelpunkt und Radius des Kreises, welcher durch Inversion der Geraden entsteht.
(2
Punkte)
7. Aufgabe
(a) Gegeben sei der Kreis mit Mittelpunkt zM = 2 + 5i und Radius R = 3.
Beschreibe den Kreis in der Form:
(2 Punkte)
z (t) = a
1
+b
1 + it
(b) Bestimme Gleichung, Mittelpunkt und Radius des invertierten Kreises.
Punkte)
(c) Stelle die beiden Ortskurven mit MATLAB grafisch dar.
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(2
(2 Punkte)