Verteilungen.

Kapitel 1: Verteilungen.
§ 1.1.1
Die Normalverteilung.
Die Normalverteilung ist eine stetige, symmetrische Verteilung: P[x < x ] = P [x ≤ x ] ! !!
Beispiele von Normalverteilungen sind:
Das Körpergewicht von Männern, die Körperlänge von Frauen, die benötigte Zeit, um ein
bestimmtes Produkt herzustellen.
Allgemeine Normalverteilung:
x ~ N ( µ ; σ ) µ ist der Mittelwert und σ ist die Standardabweichung. Gleiche Einheiten!
Standardnormalverteilung:
z ~ N ( 0 ;1)
µ gleich 0 und σ gleich 1. Gleiche Einheiten!
Siehe Seite 190 Mathematik Leistungskurs Stochastik.
Tabelle der Standardnormalverteilung
P[z
P[z
P[z
P[z
P[z
≤ −2,00 ] = Φ (−2,00) = 0,0228
≤ −1,00 ] = Φ( −1,00 ) = 0,1587
≤ 0,00 ] = Φ(0,00) = 0,5000
≤ 1,00 ] = Φ(1,00 ) = 0,8413
≤ 2,00 ] = Φ(2,00) = 0,9772
P[z ≤ 2,00 ] − P[z ≤ −2,00 ] = 0,9772 − 0,0228 = 0,9544 = ±95 %
P[z ≤ 1,00 ] − P[z ≤ −1,00 ] = 0,8413 − 0,1587 = 0,6826 = ±68%
Das Umrechnen einer Normalverteilung zu der Standardnormalverteilung.
x ~ N ( µ ;σ )
z ~ N ( 0 ;1)
x − µ

P[x ≤ x ] = P z ≤
σ 

1. Beispiel:
Das Gewicht von Männern nähert sich einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 80 Kg
und einer Standardabweichung von 8 Kg.
x ~ N( 80 ; 8 )
a. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebig gewählter Mann weniger als 72 Kg
wiegt.
72 − µ 
72 − 80 


1. Mit Tabelle P[x < 72] = P[x ≤ 72 ] = P z ≤
= Pz ≤
= P[z ≤ −1,00] = 0,1587

σ 
8 


2. Mit Excel:
I.
II.
III.
IV.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle NORMALVERTEILUNG;
1. Zelle:
x-Wert einsetzen:
72;
V. 2. Zelle:
VI. 3. Zelle:
VII. 4. Zelle:
Mittelwert µ einsetzen:
Standardabweichung σ einsetzen:
"<" durch Einsetzen einer 1:
80;
8;
1.
P[x < 72] = P [x ≤ 72 ] = 0,1587
b. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebig gewählter Mann mindestens 84 Kg
wiegt.
1. Mit Tabelle:
84 − 80 

P[x ≥ 84] = 1 − P[x ≤ 84] = 1 − P z ≤
= 1 − P[z ≤ 0,50 ] = 1 − 0,6915 = 0,3085
8 

2. Mit Excel:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle NORMALVERTEILUNG;
1. Zelle:
x-Wert einsetzen:
2. Zelle:
Mittelwert µ einsetzen:
3. Zelle:
Standardabweichung σ einsetzen:
4. Zelle:
"<" durch Einsetzen einer 1:
84;
80;
8;
1.
P[x ≥ 84] = 1 − P [x ≤ 84] = 1 − 0,6915 = 0,3085
c. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebig gewählter Mann zwischen 70 und
85 Kg wiegt.
1. Mit Tabelle:

85 − 80 

70 − 80 
P[70 ≤ x ≤ 85 ] = P[x ≤ 85] − P[x ≤ 70 ] = Pz ≤
− Pz ≤
=

8 
8 


P[z ≤ 0,63 ] − P[z ≤ −1,25] = 0,7357 − 0,1056 = 0,6301
Etwas ungenau durch Aufrundung von 0,625 auf 0,63!
2. Mit Excel:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle NORMALVERTEILUNG;
1. Zelle:
x-Wert einsetzen:
85 (70);
2. Zelle:
Mittelwert µ einsetzen:
80;
3. Zelle:
Standardabweichung σ einsetzen:
8;
4. Zelle:
"<" durch Einsetzen einer 1:
1.
P[x ≤ 85] = 0,7340 und P[x ≤ 70] = 0,1056
P[70 ≤ x ≤ 85 ] = P [x ≤ 85] − P[x ≤ 70 ] = 0,7340 − 0,1056 = 0,6284
§ 1.1.2
Addition von mehrere unabhängige Normalverteilungen.
d. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß vier beliebig gewählte Männer mehr als 300 Kg
wiegen.
P[x + x + x + x > 300 ]
Definiere: v = x + x + x + x
E[v ] = E [x + x + x + x ] = E [x ] + E [x ] + E [x ] + E [x ] = 80 + 80 + 80 + 80 = 320
V[v ] = V[x + x + x + x ] = V [x ] + V[x ] + V [x ] + V[x ] = 8 2 + 8 2 + 8 2 + 8 2 = 256
σ v = 256 = 16
Also v ~ N( 320 ; 16 )
1. Mit Tabelle:
300 − 320 

P[v > 300 ] = 1 − P[v ≤ 300 ] = 1 − P z ≤
 = 1 − P[z ≤ −1,25 ] = 1 − 0,1056 = 0,8944
16


2. Mit Excel:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle NORMALVERTEILUNG;
1. Zelle:
x-Wert einsetzen:
2. Zelle:
Mittelwert µ einsetzen:
3. Zelle:
Standardabweichung σ einsetzen:
4. Zelle:
"<" durch Einsetzen einer 1:
300;
320;
16;
1.
P [v > 300] = 1 − P[v ≤ 300] = 1 − 0,1056 = 0,8944
e. Das Gewicht von Frauen nähert sich einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 65
Kg und einer Standardabweichung von 6 Kg.
y ~ N( 65 ; 6 )
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß drei beliebig gewählte Männer mehr wiegen als
vier beliebig gewählte Frauen.
[
] [
Py+ y+ y+ y < x+ x+ x = Py+ y+ y+ y− x− x−x < 0
]
Definiere: s = y + y + y + y − x − x − x
[
] [] [] [] []
E[s] = E y + y + y + y − x − x − x = E y + E y + E y + E y − E[x ] − E[x ] − E[x ] − E[x ]
= 65 + 65 + 65 + 65 − 80 − 80 − 80 = 20
[
] [] [] [] []
V[s] = V y + y + y + y − x − x − x = V y + V y + V y + V y + V[x ] + V[x ] + V[x ]
= 6 2 + 6 2 + 6 2 + 6 2 + 8 2 + 8 2 + 8 2 = 336
σ S = 336
Also s ~ N( 20 ; 336 )
1. Mit Tabelle:

0 − 20 
P[s < 0] = P[s ≤ 0 ] = Pz ≤
 = P[z ≤ −1,09] = 0,1379
336 

2. Mit Excel:
I.
II.
III.
IV.
V.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle NORMALVERTEILUNG;
1. Zelle:
x-Wert einsetzen:
2. Zelle:
Mittelwert µ einsetzen:
VI. 3. Zelle:
VII. 4. Zelle:
P[s < 0] = P [s ≤ 0] = 0,1376
Standardabweichung σ einsetzen
"<" durch Einsetzen einer 1:
0;
20;
336 ;
1.
§ 1.1.3
Ersetzung einer diskrete Verteilung durch die Normalverteilung.
2. Beispiel:
Ein Student fährt täglich von Viersen nach Venlo. Es besteht die Möglichkeit, daß er bei der
Hinfahrt und/oder bei der Rückfahrt in einen Stau gerät. Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zu dieser Zufallsvariable gehört, ist in nachstehender Tabelle gegeben.
k
0
1
2
P[k = k ]
0,25
0,50
0,25
Der Student fährt 50 Tage jeweils nach Venlo hin und zurück.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß er höchstens 45mal in einen Stau gerät.
P[k + k..... + k ≤ 45 ]
Definiere: w = k + k.... + k
w nähert sich einer Normalverteilung mit einem Mittelwert E[w ] und einer Standardabwei-
chung σ w
E[k ] =
∑ k ⋅ P[k = k] =0 ⋅ 0,25 + 1⋅ 0,5 + 2 ⋅ 0,25 = 1
[ ] = ∑ k ⋅ P[k = k] =0 ⋅ 0,25 + 1 ⋅ 0,5 + 2
V [k ] = E [k ] − E [k ] = 1,5 − 1 = 0,5
Ek
2
2
2
2
2
2
2
2
⋅ 0,25 = 1,5
σ k = 0,5
E[w ] = E[k + k... + k ] = E [k ] + E [k ] + ... + E[k ] = 1 + 1 + ... + 1 = 50
V [w ] = V [k + k... + k ] = V [k ] + V [k ] + ..... + V [k ] = 0,5 + 0,5 + .... + 0,5 = 25
σ w = 25 = 5
Also w ~ N( 50 ; 5 ) + Korrektion : " < k" wird " < k+0,5"
1.
Mit Tabelle:

45,5 − 50 
P[w ≤ 45 ] ≈ P[w ≤ 45,5] = Pz ≤
 = P[z ≤ −0,90 ] = 0,1841
5


Diskret
Stetig
2.
Mit Excel:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle NORMALVERTEILUNG;
1. Zelle:
x-Wert einsetzen:
2. Zelle:
Mittelwert µ einsetzen:
3. Zelle:
Standardabweichung σ einsetzen:
4. Zelle:
"<" durch Einsetzen einer 1:
P[w ≤ 45] ≈ P[w ≤ 45,5 ] = 0,1841
Diskret
Stetig
45,5;
50;
5;
1.
§ 1.1.4
Die Inverse Normalverteilung.
3. Beispiel:
Das Gewicht von Männern nähert sich einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 80 Kg
und einer Standardabweichung von 8 Kg.
x ~ N( 80 ; 8 )
g. Errechnen Sie das Gewicht, das ein Mann minimal haben muß, wenn er zu den 5%
schwersten Männern gehört. (Einseitig begrenzt.)
1. Mit Tabelle:

Gewicht − µ 
P[x ≥ Gewicht ] = 0,05 ⇔ P[x ≤ Gewicht ] = 0,95 ⇔ Pz ≤
 = 0,95 ⇔
σ



Gewicht − 80 
Gewicht − 80
Pz ≤
= 0,95 ⇔
= 1,65 ⇔ Gewicht = 8 * 1,65 + 80 = 93,20

8
8


2. Mit Excel:
P[x ≥ Gewicht ] = 0,05 ⇔ P [x ≤ Gewicht ] = 0,95
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle INVERSE NORMALVERTEILUNG (NORM.INV);
1. Zelle:
Wahrscheinlichkeit einsetzen:
0,95;
2. Zelle:
Mittelwert µ einsetzen:
80;
3. Zelle:
Standardabweichung σ einsetzen:
8.
P[x ≥ Gewicht ] = 0,05 ⇔ P [x ≤ Gewicht ] = 0,95 ⇔ Gewicht = 93,1588
h. Errechnen Sie das Gewicht, das ein Mann minimal haben muß und maximal haben darf,
wenn er zu den 95% der Männer gehört, deren Gewicht symmetrisch zum Mittelwert
verstreut liegt. (Zweiseitig begrenzt.)
1. Mit Tabelle:
P[Minim um ≤ x ≤ Maximum ] = 0,95 ⇔
P[x ≤ Minimum ] = 0,025 und P[x ≥ Maximum ] = 0,025 ⇔
P[x ≤ Minimum ] = 0,025 und P[x ≤ Maximum ] = 0,975 ⇔

Minimum − 80 

Maximum − 80 
Pz ≤
= 0,025 und P z ≤

 = 0,975 ⇔
8
8




Minimum − 80
Maximum − 80
= −1,96 und
= 1,96 ⇔
8
8
Minimum = 8 * −1,96 + 80 = 64,32 und Maximum = 8 * 1,96 + 80 = 95,68
2. Mit Excel:
P[Minim um ≤ x ≤ Maximum ] = 0,95 ⇔
P[x ≤ Minimum ] = 0,025 und P[x ≥ Maximum ] = 0,025 ⇔
P[x ≤ Minimum ] = 0,025 und P[x ≤ Maximum ] = 0,975
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle INVERSE NORMALVERTEILUNG (NORM.INV);
1. Zelle:
Wahrscheinlichkeit einsetzen: 0,025; (0,975)
2. Zelle:
Mittelwert µ einsetzen:
80;
3. Zelle:
Standardabweichung σ einsetzen:
8.
§ 1.2.1
Die Binomialverteilung.
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung:
P[k < k ] = P [k ≤ k − 1]
Beispiele für Binomialverteilungen sind:
Die Anzahl Augenzahl 6 beim mehrfachen Würfelspiel, die Anzahl richtiger Spielausgänge
beim Totospiel.
Allgemeine Binomialverteilung:
k ~ Bin ( n ; p )
k ist die Anzahl Erfolge
n ist die Anzahl Versuche (Spiele, Experimente)
p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit
n 
P[k = k ] =   ⋅ p k ⋅ (1 − p )n −k
k 
Formel:
E[k ] = n ⋅ p
V [k ] = n ⋅ p ⋅ (1 − p)
1. Beispiel:
Es wird 12mal mit einem Würfel geworfen. k zählt, wie oft die Augenzahl 1 geworfen wird.
1

k ~ Bin 12 ; 
6

k ist die Anzahl der Erfolge.
12 ist die Anzahl der Versuche (Spiele, Experimente)
1
ist die Erfolgswahrscheinlichkeit, daß bei einmaligem würfeln die Augenzahl 1 gewor6
fen wird.
k
12− k
12   1   1 
Formel:
P[k = k ] =   ⋅   ⋅ 1 − 
 k  6  6
1
E[k ] = 12 ⋅ = 2
6
1 5 60
2
V[k ] = 12 ⋅ ⋅ =
=1
6 6 36
3
Mit Excel erstellen wir eine Tabelle:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle BINOMIALVERTEILUNG;
1. Zelle:
Anzahl Erfolge k einsetzen
0 (dann 1, 2, usw. bis 12);
2. Zelle:
Anzahl Versuche n einsetzen:
12;
3. Zelle:
Erfolgswahrscheinlichkeit p einsetzen:
1/6;
4. Zelle:
"=" durch Einsetzen einer 0:
0.
Beispiel: P[k = 2] = 0,2961
Mit Excel erstellen wir eine Tabelle:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle BINOMIALVERTEILUNG;
1. Zelle:
Anzahl Erfolge k einsetzen:
0 (dann 1, 2, usw. bis 12);
2. Zelle:
Anzahl Versuche n einsetzen:
12;
3. Zelle:
Erfolgswahrscheinlichkeit p einsetzen:
1/6;
4. Zelle:
"<" durch Einsetzen einer 1:
1.
Beispiel: P[k ≤ 2 ] = 0,6774
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P[k = k]
0,1122
0,2692
0,2961
0,1974
0,0888
0,0284
0,0066
0,0011
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
P[k < k]
0,1122
0,3813
0,6774
0,8748
0,9636
0,9921
0,9987
0,9998
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
a. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß 4mal die Augenzahl 1 gewürfelt wird.
4
12 − 4
12   1   1 
1. Mit der Formel:
P[k = 4] =   ⋅   ⋅ 1 − 
= 0,0888
 4  6  6
2. Mit der Tabelle:
P[k = 4] = 0,0888
b. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß weniger als 2mal die Augenzahl 1 gewürfelt
wird.
1. Mit der Formel:
0
12   1   5 
P[k < 2 ] = P[k ≤ 1] = P[k = 0] + P[k = 1] =   ⋅   ⋅  
 0   6  6 
2. Mit der Tabelle:
P[k < 2] = P [k ≤ 1] = 0,3813
12
1
12   1   5 
+   ⋅   ⋅  
 1   6  6 
11
= 0,3813
c. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß weniger als 6mal, aber mindestens 3mal die
Augenzahl 1 gewürfelt wird.
1. Mit der Formel:
P[3 ≤ k < 6 ] = P[k = 3 ] + P[k = 4 ] + P [k = 5 ] = 0,1974 + 0,0888 + 0,0284 = 0,3147
2. Mit der Tabelle:
P[3 ≤ k < 6 ] = P [k ≤ 5] − P [k ≤ 2] = 0,9921 − 0,6774 = 0,3147
d. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 6mal die Augenzahl 1 geworfen
wird.
P[k ≥ 6 ] = 1 − P[k ≤ 5 ] =
1. Mit der Formel:
1 − ( P[k = 0 ] + P[k = 1] + .... + [k = 5] ) =
1 − (0,1122 + 0,2692 + ... + 0,0284 ) =
1 − 0,9921 = 0,0079
P[k ≥ 6 ] = 1 − P[k ≤ 5 ] = 1 − 0,9921 = 0,0079
2. Mit der Tabelle:
2. Beispiel:
Eine Urne enthält 60 rote und 40 blaue Kugeln. Es wird 10mal mit zurücklegen beliebig eine
Kugel aus der Urne gezogen. k zählt wie oft eine rote Kugel gezogen wird
k ~ Bin (10 ; 0,6 )
k ist die Anzahl Erfolge
10 ist die Anzahl Versuche (Spiele, Experimente)
0,6 ist die Erfolgswahrscheinlichkeit, daß bei einmaligem Ziehen
eine rote Kugel gezogen wird.
10 
P[k = k ] =   ⋅ (0,6 )k ⋅ (1 − 0,6 )12 −k
k
Formel:
E[k ] = 10 ⋅ 0,6 = 6
V [k ] = 10 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 = 2,4
Mit Excel erstellen wir eine Tabelle:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle BINOMIALVERTEILUNG;
1. Zelle:
Anzahl Erfolge k einsetzen:
0 (dann 1, 2, usw. bis 10);
2. Zelle:
Anzahl Versuche n einsetzen:
10;
3. Zelle:
Erfolgswahrscheinlichkeit p einsetzen:
0,6;
4. Zelle:
"=" durch Einsetzen einer 0:
0.
Beispiel: P[k = 3 ] = 0,0425
Mit Excel erstellen wir eine Tabelle:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle BINOMIALVERTEILUNG;
1. Zelle:
Anzahl Erfolge k einsetzen:
0 (dann 1, 2, usw. bis 10);
2. Zelle:
Anzahl Versuche n einsetzen:
10;
3. Zelle:
Erfolgswahrscheinlichkeit p einsetzen:
0,6;
4. Zelle:
"<" durch Einsetzen einer 1:
1.
Beispiel: P[k ≤ 3 ] = 0,0548
k
0
1
P[k = k]
0,0001
0,0016
P[k < k]
0,0001
0,0017
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0106
0,0425
0,1115
0,2007
0,2508
0,2150
0,1209
0,0403
0,0060
0,0123
0,0548
0,1662
0,3669
0,6177
0,8327
0,9536
0,9940
1,0000
e. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß 7mal eine rote Kugel gezogen wird.
10 
1. Mit der Formel:
P[k = 7 ] =   ⋅ (0,6 )7 ⋅ (0,4)3 = 0,2150
7 
2. Mit der Tabelle:
P[k = 7 ] = 0,2150
f. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß weniger als 6mal eine rote Kugel gezogen
wird.
1. Mit der Formel:
P[k < 6 ] = P[k ≤ 5] = P[k = 0] + P[k = 1] + P[k = 2] + P[k = 3] + P[k = 4 ] + P[k = 5 ]
= 0,0001 + 0,0016 + 0,0106 + 0,0425 + 0,1115 + 0,2007 = 0,3669
2. Mit der Tabelle:
P[k < 6 ] = P[k ≤ 5 ] = 0,3669
g. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 2mal, aber höchstens 6mal eine
rote Kugel gezogen wird.
1. Mit der Formel:
P[2 ≤ k ≤ 6 ] = P[k = 2] + P[k = 3] + P[k = 4 ] + P[k = 5] + P[k = 6 ]
= 0,0106 + 0,0425 + 0,1115 + 0,2007 + 0,2508 = 0,6160
2. Mit der Tabelle:
P[2 ≤ k ≤ 6 ] = P [k ≤ 6 ] − P [k ≤ 1] = 0,6177 − 0,0017 = 0,6160
h. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß mehr als 8mal eine rote Kugel gezogen wird.
1. Mit der Formel:
P[k > 8 ] = P[k = 9 ] + P[k = 10] = 0,0403 + 0,0060 = 0,0464
2. Mit der Tabelle:
P[k > 8 ] = 1 − P[k ≤ 8 ] = 1 − 0,9536 = 0,0464
§ 1.2.2
Die Binomialverteilung ersetzen durch eine Normalverteilung
3. Beispiel:
Es wird 18000mal mit einem Würfel gewürfelt. k zählt, wie oft die Augenzahl 1 gewürfelt
wird.
1

k ~ Bin 18000 ; 
6

k ist die Anzahl Erfolge.
18000 ist die Anzahl Versuche (Spiele, Experimente)
1
ist die Erfolgswahrscheinlichkeit, daß bei einmaligem würfeln
6
die Augenzahl 1 geworfen wird.
k
Formel:
18000   1  
P[k = k ] = 
 ⋅   ⋅ 1 −
 k  6 
1
E[k ] = 18000 ⋅ = 3000
6
1 5
V[k ] = 18000 ⋅ ⋅ = 2500
6 6
σ k = 2500 = 50
1

6
18000 −k
Wenn n ≥ 20 ; n ⋅ p ≥ 5 und n ⋅ (1 − p ) ≥ 5 , dann darf man die Binomialverteilung mit n
Versuchen und der Erfolgswarscheinlichkeit p annäherungsweise ersetzen durch eine
Normalverteilung mit einem Mittelwert µ = n ⋅ p und mit einer Standardabweichung
σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p ) .
(
k ~ Bin (n ; p ) ≈ x ~ N n ⋅ p ; n ⋅ p ⋅ (1 - p)
)
P[k ≤ k ] ≈ P[x ≤ k + 0,5 ]
Diskret
Stetig
i. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß mehr als 3100mal die Augenzahl 1 gewürfelt
wird.
3100,5 − 3000 

P[k > 3100 ] = 1 − P[k ≤ 3100 ] ≈ 1 − P[x ≤ 3100,5] = 1 − P z ≤

50


Diskret
Stetig
= 1 − P[z ≤ 2,01] = 1 − 0,9778 = 0,0222
§ 1.3.1
Die Hypergeometrische Verteilung.
P[k < k ] = P [k ≤ k − 1]
Die Hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung:
Ein Beispiel für eine Hypergeometrische Verteilung ist:
Eine Urne enthält rote und blaue Kugeln. Es wird mehrere Male ohne zurücklegen beliebig
eine Kugel aus der Urne gezogen. k zählt, wie oft eine rote Kugel gezogen wird.
Allgemeine Hypergeometrische Verteilung:
k ~ Hyp (k; n ; K; N )
Formel:
k ist die Anzahl Erfolge in der Stichprobe.
n ist die Anzahl Versuche (Stichprobenumfang).
K ist die Anzahl Erfolge in der Gesamtmenge.
N ist die Anzahl Elemente der Gesamtmenge.
K   N − K 
  ⋅ 

k   n − k 

P[k = k ] =
 N
 
 n
E[k ] = n ⋅
K
N
V[k ] = n ⋅
K N−K N− n
⋅
⋅
N
N
N−1
k ≤n
k ≤K
K ≤N
n ≤N
1. Beispiel:
Eine Urne enthält 60 rote und 40 blaue Kugeln. Es wird 10mal ohne zurücklegen beliebig eine
Kugel aus der Urne gezogen. k zählt, wie oft eine rote Kugel gezogen wird
k ~ Hyp ( k ; 10 ; 60 ; 100 )
Formel:
k ist die Anzahl roter Kugeln in der Stichprobe.
10 ist die Anzahl Versuche (Stichprobenumfang).
60 ist die Anzahl roter Kugeln in der Urne.
100 ist die Anzahl Kugeln in der Urne.
 60  100 − 60 
  ⋅ 

k   10 − k 

P[k = k ] =
100 


 10 
E[k ] = 10 ⋅
60
=6
100
V[k ] = 10 ⋅
k ≤n
k ≤K
K ≤N
n ≤N
60 100 − 60 100 − 10 24
⋅
⋅
=
100
100
100 − 1
11
Mit Excel erstellen wir eine Tabelle:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG;
1. Zelle: Anzahl Erfolge in der Stichprobe k einsetzen:
2. Zelle: Anzahl Versuche n einsetzen:
3. Zelle: Anzahl Erfolge der Gesamtmenge K einsetzen:
0 (1, 2, usw. bis 10);
10;
60;
VII. 4. Zelle: Anzahl Elementen der Gesamtmenge N einsetzen:
100.
Beispiel: P[k = 2] = 0,0079
Mit Excel erstellen wir auch eine Tabelle mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P[k = k]
0,0000
0,0009
0,0079
0,0369
0,1081
0,2076
0,2643
0,2204
0,1153
0,0342
0,0044
P[k < k]
0,0000
0,0010
0,0089
0,0457
0,1538
0,3614
0,6258
0,8462
0,9615
0,9956
1,0000
Beispiel: P[k ≤ 2] = 0,0089
a.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß 7mal eine rote Kugel gezogen wird.
1. Mit der Formel:
 60   40 
  ⋅  
 7 3
P[k = 7 ] =
= 0,2204
100 


 10 
2. Mit der Tabelle:
P[k = 7 ] = 0,2204
b.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens 3mal eine rote Kugel gezogen
wird.
1. Mit der Formel:
P[k ≤ 3] =
3
∑
j =1
 60   40 
  ⋅ 

 j  10 − j 
=
100 


10 
Sehr viel Arbeit
P[k = 0 ] + P[k = 1] + P [k = 2] + P [k = 3] =
 60   40   60   40   60   40   60   40 
  ⋅     ⋅     ⋅     ⋅  
 0   10   1   9   2   8   3   7 
+
+
+
=
100 
100 
100 
100 








 10 
 10 
 10 
 10 
0,0000 + 0,0009 + 0,0079 + 0,0369 = 0,0457
2. Mit der Tabelle:
P[k ≤ 3 ] = 0,0457
§ 1.3.2
Die Hypergeometrische Verteilung ersetzen durch die Binomialverteilung
Wenn n (Stichprobenumfang) höchstens10% von N (Anzahl Elemente der Gesamtmenge)
ist, dann darf man eine Hypergeometrische Verteilung annäherungsweise durch eine
K
Binomialverteilung mit n Versuchen und mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p = ersetzen.
N
 K
Also wenn n ≤ 0,1 ⋅ N , dann k ~ Hyp(k; n ;K; N ) ≈ k ~ Bin  n ; 
 N
Beispiel:
60 

k ~ Hyp(7; 10 ;60; 100 ) ≈ k ~ Bin 10 ;

100 

(n =)10 ≤ 0,1 ⋅ 100( = N) ! !
 60   40 
  ⋅  
10 
7 3
7
3
P[k = 7 ] =
= 0,2204 ≈ P[k = 7 ] =   ⋅ (0,6 ) ⋅ (0,4) = 0,2150
100 
7


 10 
Also ein Unterschied (Fehler) von 0,2204-0,2150=0,0054 !!
Beispiel:
60 

k ~ Hyp(k; 10 ;60; 100 ) ≈ k ~ Bin 10 ;

100 

P[k ≤ 7 ] =
j
∑
j =0
Diskret
 60   40
  ⋅ 
 j  10 −
100 


 10 


j 
= 0,8462 ≈ P[k ≤ 7 ] =
(n =)10 ≤ 0,1 ⋅ 100( = N) ! !
10 
j
10 − j
 ⋅ (0,6) ⋅ (0,4 )
= 0,8327
j 
j= 1
7
∑ 
Diskret
Also ein Unterschied (Fehler) von 0,8462-0,8327=0,0135
§ 1.3.3
Die Hypergeometrische Verteilung ersetzen durch die Normalverteilung.
Wenn n (Stichprobenumfang) höchstens 10% von N (Anzahl Elemente der Gesamtmenge)
ist, dann darf man eine Hypergeometrische Verteilung annäherungsweise durch eine
K
Normalverteilung mit einem Mittelwert µ = n ⋅ und einer Standardabweichung
N
K N− K N −n
σ = n⋅ ⋅
⋅
ersetzen.
N N
N−1
 K
K N − K N − n 
Also wenn n ≤ 0,1 ⋅ N , dann k ~ Hyp(k; n ; K; N ) ≈ x ~ N  n ⋅ ; n ⋅ ⋅
⋅
N
N
N
N − 1 

Beispiel:



60
60 100 − 60 100 − 10 
 6 ; 24 
k ~ Hyp(7; 10 ;60; 100 ) ≈ x ~ N 10 ⋅
; 10 ⋅
⋅
⋅
=
N

100
100
100
100 − 1 
11 


(n =)10 ≤ 0,1 ⋅ 100( = N) ! !
P[k ≤ 7 ] =
j
∑
j =0
Diskret
 60   40 


  ⋅ 



j
10
−
j
  
 = 0,8462 ≈ P[x ≤ 7,5] = Pz ≤ 7,5 − 6  = P[z ≤ 1,02] = 0,8461

100 
24 




11 

 10 
Stetig + 0,5
Also ein Unterschied von 0,8462-0,8461=0,0001 !!
§ 1.4.1
Die Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Verteilung: P[k < k ] = P [k ≤ k − 1]
Beispiele einer Poisson-Verteilung sind:
Die Anzahl Anrufe, die ein Unternehmen innerhalb einer Stunde bekommt, die Anzahl
Druckfehler auf einer Seite, die Anzahl Verkehrsunfälle pro Tag.
k zählt, wie oft ein bestimmter Erfolg stattfindet.
Allgemeine Poisson-Verteilung:
k ~ P (λ )
P[k = k ] =
k ist die Anzahl Erfolge innerhalb einer bestimmten Zeit (Einheit).
λ ist der Mittelwert der Anzahl Erfolge innerhalb dieser Zeit (Einheit).
λk
⋅ e -λ
k!
mit k = 0; 1; 2; .......
weiter E[k ] = λ und V [k ] = λ
1. Beispiel:
Die Anzahl Anrufe, die eine Firma bekommt, nähert sich einer Poisson-Verteilung mit einem
Mittelwert von 12 Anrufen pro Stunde.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß es innerhalb einer Viertelstunde genau 2 Anrufe
gibt.
k ~ P (3 )
k=2
λ=
P[k = 2] =
ist die Anzahl Anrufe innerhalb einer Viertelstunde.
12
= 3 ist der Mittelwert der Anzahl Anrufe innerhalb einer Viertelstunde.
4
3 2 −3
⋅ e = 0,2240
2!
weiter E[k ] = 3 und V [k ] = 3
Mit Excel erstellen wir eine Tabelle:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle POISSON-VERTEILUNG.;
1. Zelle:
Anzahl Anrufe k einsetzen:
2. Zelle:
Mittelwert λ innerhalb einer Viertelstunde:
3. Zelle:
"=" durch Einsetzen einer 0:
0 (1, 2, usw.);
3;
0.
Beispiel: P[k = 2] = 0,2240
Mit Excel erstellen wir auch eine Tabelle mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Wähle fx ;
Wähle Statistik;
Wähle POISSON-VERTEILUNG;
1. Zelle:
Anzahl Anrufe k einsetzen:
2. Zelle:
Mittelwert λ innerhalb einer Viertelstunde:
3. Zelle:
"<" durch Einsetzen einer 1:
0 (1, 2,usw.);
3;
1.
Beispiel: P[k ≤ 2 ] = 0,4232
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
u.s.w.
P[k = k]
0,0498
0,1494
0,2240
0,2240
0,1680
0,1008
0,0504
0,0216
0,0081
0,0027
0,0008
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
…
u.s.w
P[k < k]
0,0498
0,1991
0,4232
0,6472
0,8153
0,9161
0,9665
0,9881
0,9962
0,9989
0,9997
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
…
u.s.w
Addition von unabhängigen Poisson-Verteilungen.
Wenn k 1 ~ P (λ 1 ) und k 2 ~ P(λ 2 ) und λ 1 und λ 2 die gleichen Einheiten haben,
dann k = k 1 + k 2 ~ P (λ 1 + λ 2 ) und E[k ] = λ 1 + λ 2 und V [k ] = λ 1 + λ 2
2. Beispiel:
Herr Slaats bekommt 8 Anrufe pro Stunde und Herr Hollink bekommt 3 Anrufe pro 30
Minuten.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß beide zusammen innerhalb einer Viertelstunde
mehr als 2 Anrufe bekommen.
Mittelwert Anzahl Anrufe pro Viertelstunde: Herr Slaats bekommt 2 Anrufe pro Viertelstunde.
Mittelwert Anzahl Anrufe pro Viertelstunde: Herr Hollink bekommt 1,5 Anrufe pro Viertelstunde.
k ~ P( λ = 2 + 1,5 = 3,5)
P[ k > 2 ] = 1 - P[ k ≤ 2 ] = 1 - (P[k = 0 ] + P[k = 1] + P[k = 2]) =
 3,5 0 3,5 1 3,5 2  − 3,5
e
1 − 
+
+
= 1 − 10,625 ⋅ e −3, 5 = 1 − 0,3208 = 0,6792

0
!
1
!
2
!


§ 1.4.2
Ersetzung einer Poisson-Verteilung durch einer Normalverteilung.
Wenn λ ≥ 10 , dann darf man eine Poisson-Verteilung annäherungsweise durch eine
Normalverteilung ersetzen.
(
Also wenn λ ≥ 10 , dann k ~ P (λ ) ≈ x ~ N λ ; λ
)
P[ k ≤ k ] ≈ P[ x ≤ k + 0,5 ]
Diskret
Stetig
Anhand Beispiel 2 lösen wir folgendes Problem:
Herr Slaats bekommt 8 Anrufe pro Stunde und Herr Hollink bekommt 3 Anrufe pro 30
Minuten. Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß beide zusammen innerhalb einer Stunde
mehr als 15 Anrufe bekommen.
Mittelwert Anzahl Anrufe pro Stunde Herr Slaats bekommt 8 Anrufe pro Stunde.
Mittelwert Anzahl Anrufe pro Stunde Herr Hollink bekommt (2 mal 3) 6 Anrufe pro Stunde.
k ~ P( λ = 8 + 6 = 14)
P[ k > 15 ] = 1 - P[ k ≤ 15 ]
Anhand dieser Methode wird die Lösung:
k ~ P(λ = 8 + 6 = 14) ≈ x ~ N(14; 14 )

15,5 − 14 
P[ k > 15 ] = 1 - P[ k ≤ 15 ] ≈ 1 - P[ x ≤ 15,5 ] = 1 − Pz ≤
 = 1 - P[z ≤ 0,40] =
14 

1 - 0,6554 = 0,3446
3. Beispiel:
Eine Telefonzentrale kann höchstens 2600 Telefongespräche pro Stunde verarbeiten. Die
Anzahl Telefongespräche nähert sich einer Poisson-Verteilung mit einem Mittelwert von 2500
Anrufen pro Stunde.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß die Telefonzentrale überlastet wird.
k ~ P( λ = 2500 ) ≈ x ~ N(2500;50)
2600,5 − 2500 

P[ k > 2600 ] = 1 - P[ k ≤ 2600 ] ≈ 1 - P[ x ≤ 2600,5 ] = 1 - Pz ≤
=
50


= 1 − P[z ≤ 2,01] = 1 - 0,9778 = 0,0222
§ 1.5.1
Die Geometrische Verteilung
Die Geometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung:
P[k < k ] = P [k ≤ k − 1]
Beispiele für geometrische Verteilungen sind:
Solange einen Würfel werfen, bis man die Augenzahl 1 geworfen hat, so oft im Lotto
mitspielen, bis man sechs Richtige hat.
k zählt, wieviele Versuche man durchführen muß, bis man Erfolg hat.
Allgemeine Geometrische Verteilung:
k ~ Geo(p)
p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit.
P[k = k ] = (1 − p )k−1 * p
k = 1; 2; 3; ....
E[k ] =
1
p
und
V[k ] =
q
p2
1. Beispiel:
Eine Urne enthält 60 rote und 40 blaue Kugeln. Es wird solange "mit Zurücklegen" beliebig
eine Kugel aus der Urne gezogen, bis eine rote Kugel gezogen wird.
k zählt, wie oft eine Kugel gezogen wird, bis man eine rote Kugel gezogen hat.
k ~ Geo(0,6 ) 0,6 ist die Erfolgswahrscheinlichkeit.
P[k = k ] = (1 − 0,6)k −1 * 0,6 = 0,4 k −1 * 0,6
E[k ] =
1
2
=1
0,6
3
und
V[k ] =
k = 1; 2; 3; ....
0,4
1
=1
2
9
0,6
Beispiele:
P[k = 8 ] = (1 − 0,6) 8 −1 * 0,6 = 0,4 7 * 0,6 = 0,0010
P[k ≤ 8 ] =
8
∑ (1− 0,6)
k −1
* 0,6 = 0,9993
k =1
Leider fehlt die Geometrische Verteilung. Mit Excel erstellen wir jedoch selber eine Tabelle:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
u.s.w.
P[ k = k] P[ k < k]
0,6000
0,6000
0,2400
0,8400
0,0960
0,9360
0,0384
0,9744
0,0154
0,9898
0,0061
0,9959
0,0025
0,9984
0,0010
0,9993
0,0004
0,9997
0,0002
0,9999
0,0001
1,0000
u.s.w.
u.s.w.
§ 1.5.2
"Ohne Zurücklegen" ersetzen durch "Mit Zurücklegen".
Wenn k ≤ 0,1 ⋅ N , dann darf man "Ohne Zurücklegen" annäherungsweiese ersetzen durch
"Mit Zurücklegen".
2. Beispiel:
Eine Urne enthält 60 rote und 40 blaue Kugeln. Es wird solange "ohne Zurücklegen" beliebig
eine Kugel aus der Urne gezogen, bis eine rote Kugel gezogen wird.
k zählt, wie oft eine Kugel gezogen wird, bis man eine rote Kugel gezogen hat.
Lösung:
P[k = 4] =
40 39 38 60
⋅
⋅
⋅
= 0,0378
100 99 98 97
Da 4 ≤ 0,1⋅ 100 ,
Man darf diese Aufgabe annäherungsweise auch lösen als wäre es ein Verfahren "mit
Zurücklegen".
Lösung:
P[k = 4] = 0,4 3 ⋅ 0,6 = 0,0384
Also ein Fehler von:
0,0384-0,0378=0,0006
Statistik: Verteilungen
Aufgabe S1
Die Brenndauer eines bestimmten Glühbirnentyps kann als Zufallsvariable x betrachtet
werden,die ist mit einem Erwartungswert von 1600 Stunden und einer Standardabweichung
von 100 Stunden normalverteilt ist.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine beliebige Glühbirne dieses Typs eine
Brenndauer von mehr als 1800 Stunden hat?
b. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß die Lebensdauer einer beliebigen Glühbirne
zwischen 1550 und 1700 Stunden liegt.
c. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine beliebige Glühbirne des betrachteten Typs
eine Brenndauer zwischen 1650 und 1750 Stunden hat?
d. Für eine Gruppe von 25 Glühbirnen des hier betrachteten Typs wird die durchschnittliche
Brenndauer ermittelt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, daß dieser Durchschnitt zwischen 1570 und 1630
Stunden liegt.
Aufgabe S2
Ein Unternehmen fertigt Schrauben und dazu passende Muttern. Für den Durchmesser der
Schrauben gilt, daß er als Variable x betrachtet werden, die mit einem Erwartungswert
von E[x ] = 2,00 mm und einer Standardabweichung von σ x = 0,12 mm normalverteilt ist. Für
[]
den Durchmesser y der Muttern gilt eine Normalverteilung mit E y = 2,20 mm und σ y = 0,09
mm.
a. Es wird eine beliebige Schraube ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese Schraube einen Durchmesser hat, der
größer ist als 2,20 mm?
b. Es wird eine beliebige Mutter ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese
Mutter einen Durchmesser hat, der kleiner als 2,00 mm ist?
c. Es wird eine beliebige Schraube und eine beliebige Mutter ausgewählt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß die Schraube in die Mutter paßt? Wir handhaben dabei als Kriterium, daß der Durchmesser der Schraube kleiner sein muß als der (Innen-) Durchmesser der Mutter.
Aufgabe S3
Eine Variable z ist standardnormalverteilt, also z ~ N ( 0 ; 1 )
a. Berechnen Sie mit Hilfe der Tabelle P[z ≥ 1,68 ] , P[z < 1,12 ] und P[− 0,68 < z ≤ 1,00] .
b. Für welche Werte von a gilt: P[z > a] = 0,50 ; P[z > a] = 0,25 und P[z > a] = 0,90 .
Aufgabe S4
Ermitteln Sie für die standardnormalverteilte Variable z :
P[z < −0,35 ] ; P[− 0,16 < z < 0,16 ] und P[z > 1,15 ] .
Aufgabe S5
Ermitteln Sie den Wert von a jeweils so, daß für die standardnormalverteilte Variable z gilt:
P[− a < z < a] = 0,50 ; P[− a < z < a] = 0,90 und P[− a < z < a] = 0,98
Aufgabe S6
Die Gewichte der Äpfel aus einer großen Partie sind mit µ = 100 g und σ = 20 g normalverteilt.
Wir wollen diese Äpfel in 5 Gewichtsklassen einteilen, die jeweils gleich viele Äpfel umfassen.
a. Wo ist die Klassengrenze der 20% Äpfel mit dem geringsten Gewicht?
b. Ermitteln Sie auch die anderen Klassengrenzen.
Aufgabe S7
Eine Maschine, die Flaschen füllt, ist auf ein durchschnittliches Füllgewicht von 1020 g
eingestellt. Die Standardabweichung des Füllgewichts ist unbekannt. Im Rahmen von langen
Meßreihen wurde festgestellt, daß 1,2% aller Flaschen einen Inhalt von weniger als 1000 g.
Ermitteln Sie die Standardabweichung σ . Sie können dabei davon ausgehen, daß die Inhalte
mit µ = 1020 und σ unbekannt normalverteilt sind.
Aufgabe S8
Eine Füllmaschine ist so eingestellt, daß das Gewicht x , das in eine Packung gelangt, eine
Zufallsvariable mit einer Normalverteilung ist, für die gilt µ = 506 g und σ = 5 .
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Packung weniger als 500 g enthält?
b. Angenommen, wir können den Wert von µ einstellen ( σ bleibt 5). Bei welchem Wert von
µ gilt, daß nur eine Wahrscheinlichkeit von 0,02 besteht, daß eine Packung weniger als
500 g enthält?
Aufgabe S9
Ein Statistiker hat für seine Statistikbuch-Sammlung errechnet, daß die Dicke d eines
Statistikbuches als eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert 2,5 cm und
einer Standardabweichung von 0,4 cm je Buch betrachtet werden kann.
Irgendwann beschließt er, seinen Bücherschrank neu zu ordnen. Wegen Zeitmangels
beschließt er, Stapel von 10 oder 11 beliebigen Büchern zu erstellen. Diese Stapel werden
flach auf die Stellböden des Bücherschranks gelegt. Die verfügbare Höhe zwischen zwei
Stellböden beträgt 26 cm.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Stapel von 10 Büchern nicht in den
verfügbaren Raum paßt?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Stapel von 11 Büchern wohl plaziert werden
kann?
Aufgabe S10
Ein Endprodukt besteht aus den drei Bauteilen A, B und C. Die Gewichte der A-Bauteile sind
mit einem Erwartungswert von 120 g und einer Standardabweichung von 0,5 g normalverteilt.
Die Gewichte der B-Bauteile sind mit einem Erwartungswert von 225 g und einer Standardabwei-chung von 1g normalverteilt. Die Gewichte der C-Bauteile sind mit einem Erwartungswert von 25 g und einer Standardabweichung von 1 g normalverteilt.
Beim Zusammenbau des Produkts wird beliebig ein Bauteil A, ein Bauteil B und ein Bauteil C
gewählt.
a. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, daß ein Endprodukt mehr als 372 g wiegt.
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß 10 beliebig gewählte Endprodukte mehr als
3710 g wiegen?
Aufgabe S11
Die Zeit, die ein Vertreter für einen Kundenbesuch benötigt, wird mit der Zufallsvariablen
x wiedergegeben. Aus Erfahrung ist bekannt, daß x mit µ = 45 Minuten und σ = 10 Minuten
normalverteilt ist (in der Zeit x ist auch die Fahrzeit enthalten).
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebiger Besuch mehr als 60 Minuten
erfordert?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß 8 Besuche mehr als 6½ Stunden in Anspruch
nehmen?
c. Eines Tages muß der Vertreter 10 Kunden besuchen. Wieviel Zeit T muß er reservieren,
um die 10 Besuche mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% in der Zeit T erledigen zu können?
Aufgabe S12
Eine Füllmaschine, die Reispackungen füllt, ist auf einen Durchschnittswert von 1010 g pro
Packung eingestellt. Der Inhalt einer beliebigen Packung Reis kann als Ziehung aus einer
Normalverteilung mit einem Erwartungswert von 1010 und einer unbekannten Standardabwei-chung betrachtet werden. Bei genauem Nachwiegen von zahlreichen Packungen zeigt
sich, daß 20% der Packungen weniger als 1000 g enthalten.
a. Berechnen Sie die Standardabweichung des Füllgewichts.
b. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß 9 Packungen Reis durchschnittlich weniger
als 1000 g enthalten.
Aufgabe S13
Das Gewicht von Schulkindern einer bestimmten Altersgruppe ist als normalverteilte Variable
x mit µ = 30 kg und σ = 3 kg zu betrachten.
a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebiges Schulkind ein Gewicht hat, das
weniger als 25,5 kg beträgt.
b. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß das Durchschnittsgewicht von 25 Schulkindern mehr als 1 kg von 30 kg abweicht.
Aufgabe S14
Die Zeit, die ein bestimmter chirurgischer Eingriff in Anspruch nimmt, wird mit der stochastischen Variable x wiedergegeben, die mit µ = 150 Minuten und σ = 12 Minuten normalverteilt
ist. Ein Patient muß sich dem betreffenden Eingriff unterziehen.
a. Wie groß ist das (symmetrische) 95%-Prognoseintervall für die zeitliche Länge des
Eingriffs?
b. Geben Sie eine Grenze T an, so daß die benötigte Zeit für den Eingriff mit einer Wahrschein-lichkeit von 98% kürzer als T ist.
Aufgabe S15
In einer Fabrik werden maschinell Socken hergestellt. Bei der Fertigung eines bestimmten
Sockentyps ergibt sich eine Socken-Durchschnittslänge von 50 cm, während die Standardab-weichung für die Längen 0,3 cm beträgt. Wir nehmen an, daß die Länge x einer beliebigen Socke als Ziehung aus einer Normalverteilung betrachtet werden kann.
Es werden Paare gebildet, indem man zwei beliebige Socken wählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Längenunterschied von zwei als Paar ausgewählten Socken mehr als 0,5 cm beträgt?
Aufgabe S16
In ein Beleuchtungselement werden zu einem bestimmten Zeitpunkt zwei neue Glühbirnen
eingesetzt. Die Brenndauer einer Glühbirne wird mit der Zufallsvariablen x wiedergegeben, die
mit µ = 200 Stunden und σ = 10 Stunden einer Normalverteilung folgt.
Für beide Lampen wird die Brenndauer ermittelt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Unterschied in der Lebensdauer zwischen
beiden Glühbirnen weniger als 20 Stunden beträgt?
Aufgabe S17
Ein Testbüro nimmt Intelligenztests für Einstellungsverfahren ab. Es ist bekannt, daß das
Ergebnis x für Absolventen des Studiengangs Wirtschaftswissenschaft mit µ = 120,5 und
σ = 6,3 als normalverteilte Variabel zu betrachten ist. Ein Unternehmen schickt zwei Absolventen eines Wirtschaftswissenschaftsstudiums zum Testbüro und beschließt, sie für die
Stelle abzulehnen, wenn ein Ergebnis unter 125,0 erzielt wird.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß beide Bewerber angenommen werden?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß genau ein Bewerber angenommen wird?
c. Das Unternehmen beschließt auch, einen Absolventen des Studiengangs Physik zu dem
Test zu schicken. Von dieser Personengruppe ist bekannt, daß ihre Testergebnisse als
normalverteilte Variable y mit µ = 128 und σ = 5,2 betrachtet werden können.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß zwei von den drei Bewerbern ein Ergebnis über
125,0 erzielen?
Aufgabe S18
Ein Transistoren-Großhandel liefert "Zweite Wahl"-Partien, die durchschnittlich 20% defekte
Exemplare enthalten.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich unter 5 beliebig gewählten Transistoren
genau ein defektes Exemplar befindet?
b. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß sich in der Stichprobe von 5 Stück 0, 2, 3, 4
bzw. 5 defekte Exemplare befinden.
c. Ein Abnehmer möchte bei dem Großhandel eine Partie "Zweite Wahl"-Transistoren
bestellen. Der Abnehmer benötigt 50 taugliche Transistoren. Unter Berücksichtigung der
Möglichkeit, daß einige Exemplare defekt sind, bestellt er eine Partie "Zweite Wahl" von
60 Stück. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß in der bestellten Partie mindestens
50 taugliche Transistoren enthalten sind.
Aufgabe S19
Eine Maschine produziert Kupferplatten, deren Dicke x als Zufallsvariable betrachtet werden
kann, die mit dem Erwartungswert 8 mm und der Standardabweichung 0,4 mm normalverteilt ist.
a. Ein Abnehmer von Kupferplatten verlangt, daß die Dicke der gelieferten Platten nicht
mehr als 0,5 mm von 8 mm abweicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine
beliebige Kupferplatte nicht dieser Anforderung entspricht?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß 0 oder 1 Kupferplatte von 10 beliebig gewählten
Platten nicht den Anforderungen entspricht?
c. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 90 von 100 beliebig gewählten
Platten den gestellten Anforderungen entsprechen?
Aufgabe S20
Eine Fabrik stellt bestimmte Bauteile her. Aus Erfahrung ist bekannt, daß 25% aller produzierten Teile nicht der Qualitätsnorm entsprechen und daher aussortiert werden.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß 2 von 5 beliebig gewählten Bauteilen aussortiert
werden?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 4 von 5 beliebig gewählten
Bauteilen aussortiert werden?
Aufgabe S21
Eine Multiple-choice-Prüfung besteht aus 10 Fragen mit jeweils 3 Antwortmöglichkeiten, von
denen genau eine korrekt ist. Ein Prüfling, der überhaupt nicht weiß, welche Antwort er
wählen soll, kreuzt beliebig bei jeder der 10 Fragen eine Antwort an.
a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß 2 richtige Antworten angekreuzt werden.
b. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß er mindestens 6 richtige Antworten wählt.
c. Berechnen Sie den Erwartungswert der Anzahl richtiger Antworten.
Aufgabe S22
Bei 25% der Babys mit einer bestimmten angeborenen Mißbildung tritt eine Komplikation auf.
In einem Jahr werden 20 Babys mit der Mißbildung geboren.
Ermitteln Sie anhand der Tabelle für die Binomialverteilung folgende Wahrscheinlichkeiten:
a. Die Wahrscheinlichkeit, daß die Komplikation bei 2 oder weniger Babys auftritt.
b. Die Wahrscheinlichkeit, daß die Komplikation bei mehr als 8 Babys auftritt.
c. Die Wahrscheinlichkeit, daß die Anzahl der Babys mit der Komplikation mindestens 4,
jedoch höchstens 7, beträgt.
Aufgabe S23
Bei einer manipulierten Münze gilt, daß die Wahrscheinlichkeit, "Kopf" zu werfen, 0,6 beträgt.
Die Münze wird dreimal geworfen. k bezeichnet die Häufigkeit des Ergebnisses "Kopf" bei
drei Würfen.
a. Ermitteln Sie alle möglichen Ergebnisse k von und berechnen Sie die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten.
b. Wenn bei drei Würfen kein einziges Mal "Kopf" geworfen wird, erhalten Sie hfl 10,-. In
allen anderen Fällen müssen Sie hfl 1,- bezahlen. Ist dieses Spiel langfristig für Sie rentabel?
Aufgabe S24
Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Prüfung zu bestehen, beträgt 0,6.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von 150 Studenten mehr als 100 die Prüfung
bestehen?
Aufgabe 25
Von einer Blumenzwiebelsorte ist bekannt, daß 5% der Zwiebeln nicht angehen. Die Blumenzwie-beln werden in Kartons zu 10 Stück verpackt, mit der Garantie, daß mindestens 9 der
10 Blumen-zwiebeln angehen. Die Blumenzwiebeln gehen unabhängig voneinander an bzw.
nicht an.
a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß alle in einem Karton enthaltenen Blumenzwiebeln angehen.
b. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß die garantierte Eigenschaft bei einem
beliebig gewählten Karton nicht vorliegt.
c. Ein Händler liefert auch Großkartons, die 200 Blumenzwiebeln enthalten. Er garantiert,
daß mindestens 185 der 200 Blumenzwiebeln angehen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß die Garantie bei einem beliebigen Großkarton nicht eingehalten wird.
Aufgabe S26
Bei der Übermittlung von Morsezeichen beträgt die Wahrscheinlichkeit, daß ein Buchstabe
richtig empfangen wird, 0,90.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Wort mit 4 Buchstaben richtig empfangen
wird?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Satz mit 100 Buchstaben mehr als 6
falsche Buchstaben enthält?
c. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von 25 Wörtern mit 4 Buchstaben mehr als 3
Wörter nicht richtig empfangen werden?
Aufgabe S27
Eine Multiple-choice-Prüfung umfaßt 50 Fragen mit jeweils 4 Antwortmöglichkeiten, von
denen eine Antwort richtig ist.
a. Wenn ein Student beliebige Antworten ankreuzt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß mehr als 20 richtige Antworten angekreuzt werden?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich in einer Gruppe von 100 Studenten, die die
Fragen alle beliebig beantworten, kein Student befindet, der mehr als 20 richtige Antworten ankreuzt?
Aufgabe S28
Ein Hersteller von Erfrischungsgetränken führt bei 100 Versuchspersonen den sog. "ColaTest" durch. Dabei erhält der Kandidat zwei Gläser Cola, eines von Marke X und eines von
Marke Y. Nach dem Trinken der Cola soll der Kandidat angeben, welche Cola ihm am besten
geschmeckt hat. Angenommen, 45% der Bevölkerung bevorzugt Marke X.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Anteil von Liebhabern der Marke X an der
Stichprobe mehr als 0,50 beträgt, wenn wir annehmen, daß die Versuchspersonen aus der
Bevölkerung beliebig ausgewählt wurden?
Aufgabe S29
Bei einer Medienumfrage wurde festgestellt, daß 60% aller Akademiker die Zeitschrift
"Intermediair" lesen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man bei einer beliebigen
Stichprobe von 80 Akademikern auf eine Gruppe von Lesern trifft, die kleiner als 0,50 ist?
Aufgabe S30
Ein Hersteller von Erfrischungsgetränken führt eine Aktion durch, bei der unter dem Kronkorken der Flaschen ein Buchstabe angebracht ist. Bei 10% aller Flaschen ist der Buchstabe
"P" angebracht. Ein Kunde öffnet hintereinander einige Flaschen, bis er (zum ersten Mal) auf
den Buchstaben "P" trifft.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er bei der ersten Flasche ein "P" findet?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er bei der sechsten Flasche das erste "P"
findet?
c. Wie groß ist der Erwartungswert der Anzahl zu öffnenden Flaschen vor dem ersten
Auftreten des Buchstaben "P"?
Aufgabe S31
Die Niederlande exportieren Kartoffeln nach Deutschland. In den letzten Jahren beurteilen die
Deutschen die Qualität dieser Kartoffeln (Bintjes) als unbefriedigend. Viele Kartoffeln weisen
Verfärbungen auf, und es sind auch relativ viele Kartoffeln mit faulen Stellen dabei.
Bei umfangreichen Untersuchungen kam man zu folgenden Ergebnissen:
10% aller nach Deutschland exportierten Kartoffeln sind verfärbt (90% sind also nicht
verfärbt).
5% aller exportierten Kartoffeln haben faule Stellen (95% haben also keine faulen
Stellen).
2% aller exportierten Kartoffeln weisen sowohl eine Verfärbung als auch faule Stellen auf.
Ein Exporteur ist über diese Prozentsätze recht erschrocken und läßt aus seiner sehr
großen Partie Kartoffeln, die für den Export nach Deutschland bestimmt ist, eine beliebige
Stichprobe von 50 Kartoffeln entnehmen und auf Verfärbung und faule Stellen kontrollieren.
Berechnen Sie folgendes auf vier Dezimalstellen genau.
a. Die Wahrscheinlichkeit, daß genau 5 der 50 Kartoffeln verfärbt sind.
b. Die Wahrscheinlichkeit, daß weniger als 3 Kartoffeln faule Stellen haben.
c. Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 2 Kartoffeln sowohl eine Verfärbung als auch
faule Stellen aufweisen.
d. Wenn der Kontrolleur nur eine Kartoffel beliebig zieht (anstatt 50), wie groß ist dann die
Wahrscheinlichkeit, daß diese Kartoffel in Ordnung ist (d.h. ohne Verfärbung und ohne
faule Stellen)?
e. Ein deutscher Verbraucher kauft einen Sack mit 10 Kartoffeln, von denen 3 Stück faule
Stellen haben. Wenn dieser Verbraucher 4 Kartoffeln beliebig aus dem Sack auswählt
und schält, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß genau eine der vier Kartoffeln
faule Stellen hat?
f. Das Gewicht einer beliebig gewählten Kartoffel (Rasse: Bintje) ist mit µ = 100 g und
σ = 20 g annähernd normalverteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine
beliebig gewählte Bintje-Kartoffel mehr als 95,00 g wiegt.
g. 10% aller niederländischen Bintje-Kartoffeln werden zu Pommes frites verarbeitet. Dafür
werden die schwersten Bintje-Kartoffeln ausgewählt. Bis zu welcher Gewichtsgrenze
kommt eine Bintje-Kartoffel für eine Verarbeitung zu Pommes frites in Betracht?
Aufgabe S32
Die Anzahl Verkehrsunfälle pro Tag in der Stadt A is eine poissonverteilte Zufallsvariable mit
λ A = 2 . In der Stadt B ist die Anzahl Verkehrsunfälle poissonverteilt mit λ B = 3 pro Tag.
a.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit auf 0 Unfälle in der Stadt A an einem bestimmten Tag. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit auf mehr als 4 Unfälle pro Tag.
b. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß an einem bestimmten Tag höchstens 2
c.
Unfälle in der Stadt B passieren.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit auf mindenstens 6 Unfälle in den Städten A und B
zusammen.
Aufgabe S33
Ein Geschäft für Elektrogeräte verkauft im Schnitt 4 Rasiergeräte pro Woche. Wir gehen
davon aus, daß die Nachfrage nach Rasiergeräten eine poissonverteilte Zufallsvariable ist.
Wie groß soll nach dem wöchentlichen Nachschub der minimale Bestand des Inhabers sein,
um mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,90 die Nachfrage zu erfüllen.
Aufgabe S34
Die Anzahl Betriebsunfälle in einer Fabrik A ist eine poissonverteilte Zufallsvariable mit
λ A = 2 pro Monat. In einer anderen Fabrik B ist die Anzahl Betriebsunfälle eine poissonverteilte Zufallsvariable mit λ B = 1pro Monat.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in einem bestimmten Monat mindenstens 4
Unfälle in Fabrik A passieren?
b. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß in einem bestimmten Monat insgesamt 5
Unfälle in den Fabriken A und B passieren?
Aufgabe S35
In einer Telefonzentrale werden im Schnitt 180 Anrufe pro Stunde gemeldet.
Innerhalb einer Minute können höchstens 6 Gespräche verarbeitet werden.
a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß in einer bestimmten Minute eine Überbelastung auftritt.
b. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Stunde mehr als 200 Anrufe
gemeldet werden.
Aufgabe 36
Die Anzahl Kunden, die ein Geschäft besucht, ist eine poissonverteilte Zufallsvariable mit
λ = 25 pro Stunde.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Stunde höchstens 22 Kunden das
Geschäft besuchen.
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in 9 Stunden im Schnitt höchstens 22 Kunden
das Geschäft besuchen.
Aufgabe 37
75% der Bevölkerung sind einer bestimmten Meinung. 5 zufällig ausgesuchte Personen
werden befragt. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, daß mehr als 3 Personen diese Meinung
vertreten?
Aufgabe 38
Auf einem Autobahnabschnitt halten sich im Durchschnitt 70% der Pkw-fahrer an die
empfohlene Richtgeschwindigkeit. Es soll die Geschwindigkeit von 20 zufällig ausgewählten
Pkw gemessen werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mehr als 15 Fahrer die Empfehlung beachten?
Aufgabe 39
In einem Tennisturnier spielen zwei Spieler A und B 10mal gegeneinander. Wer die meisten
Partien gewinnt, ist Turnier sieger. Beim Einzelnspiel hat der Spieler A eine Gewinnchance
von 60%.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß A das Turnier gewinnt.
Aufgabe 40
In 80% der Haushalten der Bundesrepublik ist ein Computer vorhanden. Eine befragung wird
in 64 zufällig ausgesuchten Haushalten durchgeführt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man in
a.
b.
c.
genau 50 Haushalten ein Computer vorfindet?
mehr als 50 Haushalten ein Computer vorfindet?
mindestens 50 Haushalten ein Computer vorfindet?
Aufgabe 41
a. In einer Lostrommel sind 50 Lose, davon 40 Nieten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird
man beim Kauf von 6 Losen höchstens 1 Preis gewinnen.
b. In einer Lostrommel sind 500 Lose, davon 400 Nieten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
wird man beim Kauf von 30 Losen höchstens 5 Preis gewinnen.
Aufgabe 42
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, im Lottospiel 6 aus 49, vier richtige Zahlen zu tippen.
Aufgabe 43
42,5% aller Deutschen haben Blutgruppe A. Nacheinander kommen Personen zufällig zur
Blutspendeaktion. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat erst der fünfte Spender Blutgruppe A?
Errechnen Sie auch den Erwartungswert dieser Zufallsgröße.
Aufgabe 44
Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße W: Anzahl der Würfe mit 2
Würfeln bis zum Auftreten der Augensumme 5.
Lösungen Statistik Verteilungen
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
S18
S19
S20
S21
S22
S23
S24
S25
S26
S27
S28
S29
S30
S31
S32
S33
S34
S35
S36
S36
S37
S38
S39
S40
S41
S42
S43
S44
a.
a.
a.
b.
0,0228
0,0478
0,0465
a=0,00
0,3632
a=0,67
a. 83,20 Gramm
b. 94,80 Gramm
8,85 Gramm
a. 0,1151
a. 0,2146
a. 0,0918
a. 0,0668
a. 11,90 Gramm
a. 0,0668
a. [126,48 ;173,52]
0,2380
0,8414
a. 0,0571
a. 0,4096
b. 0,3277
0,0003
c. 0,3156
a. 0,2112
a. 0,2637
a. 0,2991
a. 0,0913
a. P[k = 0 ] = 0,064
b. E[w]= -0,296
0,0401
a. 0,5987
a. 0,6561
a. 0,006
0,1335
0,0262
a. 0,1
a. 0,1849
e. 0,5
a. 0,1353
7 Stück
a. 0,1429
a. 0,0335
a. 0,3175
a. 0,3175
0,6328
0,2375
0,6331
a. 0,1119
a. 0,6556
0,0010
0,0465
(8/9)^(w-1)*(1/9)
b. 0,5328
c. 0,2417
b. 0,0131
c. 0,9088
0,8686
0,5930
a=0,67
a= -1,28
0,1271
0,1251
a=1,64 (oder 1,65)
a=2,33
105,20 Gramm
b.
b.
b.
b.
b.
b.
b.
510,25 Gramm
0,1292
0,0174
0.1446
0,0059
0,0950
174,60 Minuten
116,80 Gramm
c. 8 Stunden und 22 Minuten
b. 0,3637
c. 0,2775
0,2048
0,0512
0,3429
0,0156
0,0766
0,0409
c. 0,0047
P[k = 1] = 0,288
c. 0,6730
b. 0,0861
b. 0,883
b. 0,3307
c. 0,0375
c. 0,9842
b. 0,0590
b. 0,5405
f. 0,5987
0,0527
c.
c.
g.
b.
b.
b.
b.
b.
b.
b.
b.
b.
0,1008
0,0630
0,0384
0,0384
b. 0,6990
b. 0,4090
2,35
d. 0,8664
P[k = 2] = 0,432
E[k]=10
0,2642
125,6 Gramm
0,4232
0,0064
P[k = 3 ] = 0,216
d. 0,87
c. 0,3840
Statistik: Verteilungen. Beispielklausur
Klausurdauer: 60 Minuten
Wertung: a. 7P
d. 5P
b. 4P
e. 5P
c. 5P
f. 2P
g.
h.
5P
3P
Geben Sie alle Lösungen auf vier Nachkommastellen genau.
Erläutern Sie immer Ihre Lösung. Viel Erfolg!
Der Kundendienst
Tina Telefon und Britta Bleistift arbeiten während der Sommerferien beim Kundendienst der
Firma CP2000, die Computerprogramme herstellt. Tina behandelt E-Mail-Nachrichten von
Kunden, die Informationen über bestimmte Computerprogramme wünschen, die CP2000
herstellt. Britta behandelt E-Mail-Nachrichten von Kunden, die Probleme mit Computerprogram-men haben, die von CP2000 geliefert wurden.
Die Anzahl E-Mail-Nachrichten, die Tina pro Stunde bekommt, nähert sich einer Poissonvertei-lung mit einem Mittelwert von 6 pro Stunde. Die Anzahl E-Mail-Nachrichten, die Britta an
einem Arbeitstag (8.30 – 17.30 Uhr) bekommt, nähert sich einer Poissonverteiling mit einem
Mittelwert von 90 pro Arbeitstag.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß Tina und Britta zusammen an einem
a.
Nachmittag zwischen 13.30 Uhr und 17.30 Uhr weniger als 67 E-Mail-Nachrichten bekommen.
Die Zeit, die Tina benötigt, um eine E-Mail-Nachricht zu beantworten, nähert sich einer
Normalverteilung mit einem Mittelwert von 8 Minuten und einer Standardabweichung von 2
Minuten. Die Zeit, die Britta benötigt, um eine E-Mail-Nachricht zu beantworten, nähert sich
einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 6 Minuten und einer Standardabweichung
von 1,5 Minuten.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß Britta zwischen 3 und 8 Minuten braucht,
b.
um eine E-Mail-Nachricht zu beantworten.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daβ die Zeit, die Tina benötigt, um eine E-Mailc.
Nachricht zu beantworten, kürzer ist als die Zeit, die Britta benötigt, um eine E-Mail-Nachricht
zu beantworten.
Tina beantwortet an einem Morgen 4 E-Mail-Nachrichten und Britta beantwortet am
d.
selben Morgen 4 E-Mail-Nachrichten.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß sie zusammen weniger als eine Stunde brauchen, um alle Nachrichten zu bearbeiten.
Britta sagt, daß in 5% der Fälle die Beantwortung der E-Mail-Nachrichten sehr wenig
e.
Zeit kostet.
Errechnen Sie genau, wieviel Minuten und wieviel Sekunden die Beantwortung dieser E-MailNachrichten höchstens dauert.
f.
Jeden Morgen bekommt der Kundendienst von CP2000 auch noch jede Menge Post
mit entweder Informationsanfragen oder mit Problemen der gelieferten Computerprogramme.
An einem Morgen bringt die Post 35 Briefe mit Informationsanfragen und 55 Briefe mit
Problemen der gelieferten Computerprogramme.
Sandra, die die Post sortiert, nimmt beliebig 10 Briefe aus der gelieferten Post.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß Sandra genau 7 Briefe mit Problemen der
gelieferten Computerprogramme gezogen hat.
Die Post enthält jetzt noch 32 Briefen mit Informationsanfragen und 48 Briefe mit
g.
Problemen der gelieferten Computerprogramme. Sandra wählt beliebig 5 Briefe aus der
Post.
Errechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß Sandra mehr als 1 Brief gewählt hat, in denen der
Kunde um bestimmte Lösungen von Problemen der gelieferten Computerprogramme bittet.
Sie sollen die Aufgabe nicht mit der Hypergeometrischen Verteilung lösen.
Während der Ferien war die Firma CP2000 zwei Wochen geschlossen. Am Montag
h.
nach den Ferien besorgte die Post 600 Briefe, wovon 200 Briefe mit Informationansfragen
und 400 Briefe mit Problemen der gelieferten Computerprogramme. Sandra zieht solang
einen Brief aus der Post, bis sie einen Brief gezogen mit einem Problem der gelieferten
Computerprogramme hat. Die Briefe, die sie gezogen hat, werden nicht mehr zurückgelegt.
Errechnen Sie (annäherungsweise) die Wahrscheinlichkeit, daß Sandra mehr als 2 Briefe
ziehen muß, bevor sie einen Brief mit einem Problem der gelieferten Computerprogramme
gezogen hat.
Lösung der Übungsklausur
a.
m ~ P (4 * 6 + 4 * 10) = P (64 )
m ~ P (64 ) ≈
x ~ N(64; 64 )
66,5 − 64 

P(m < 67 ) = P(m ≤ 66 ) ≈ P( x ≤ 66,5 ) = P z ≤
=
8


P( z ≤ 0,3125 ) = P( z ≤ 0,31) = 0,6217
8 − 6
3 − 6


P(3 ≤ y ≤ 8 ) = P( y ≤ 8) − P(y ≤ 3) = P z ≤
 − P z ≤
=
1,5 
1,5 


P( z ≤ 1,33 ) − P(y ≤ −2,00 ) = 0,9082 − 0,0228 = 0,8854
b.
y ~ N(6;1,5 )
c.
0−2

P( x < y ) = P( x − y ≤ 0 ) = P( v ≤ 0) = P z ≤
 = P( z ≤ −0,80 ) = 0,2119
2,5 

E( v ) = 8 − 6 = 2
V(v ) = V( x − y ) = V( x ) + V(y ) = 2 2 + 1,5 2 = 6,25 S( v ) = σ v = 2,5
d.
s = x + x + x+ x + y + y+ y + y
E(s ) = 8 + 8 + 8 + 8 + 6 + 6 + 6 + 6 = 56
V(s ) = V( x + x + x + x + y + y + y + y ) =
V(x ) + V( x ) + V( x ) + V(x ) + V( y ) + V( y ) + V(y ) + V( y ) = 4 + 4 + 4 + 4 + 2,25 + 2,25 + 2,25 + 2,25 = 25
e.
60 − 56 

P(s < 60 ) = P(s ≤ 60 ) = P z ≤
 = P(z ≤ 0,80 ) = 0,7881
5 

y ~ N(6;1,5 )
Zeit − 6 
Zeit − 6

P( y ≤ Zeit ) ≤ 0,05 ⇔ P z ≤
= −1,645
 ≤ 0,05 ⇔
1,5
1,5 

Zeit = −1,645 * 1,5 + 6 = 3,5325 Minuten = 3 Minuten und 32 Sekunden
f.
k ~ HYPGEO (7;10;55;90 )
 55   35 
  *  
7 3
= 0,2322
 90 
 
 10 
g.
n ≤ 0,1 * N !
k ~ Bin (5;0,6 )
P(k > 1) = 1 − P(k ≤ 1) = 1 − P(k = 0) − P (k = 1) =
5 
5 
1 −   * 0,6 0 * 0,4 5 −   * 0,61 * 0,4 4 = 1 − 0,01024 − 0,0768 = 1 − 0,08704 = 0,9130
0 
 1
h.
8
 2 1 2
P(m > 2) = 1 − P(m ≤ 2) ≈ 1 −  ( + *  = 1 − = 0,1111
oder
9
 3 3 3
 400 200 400 
P(m > 2) = 1 − P(m ≤ 2) = 1 − 
+
*
 = 1 − 0,8893 = 0,1107
 600 600 599 