Numerische Mathematik Übungsblatt 13. Abgabe am Dienstag, 12.07.2011 Aufgabe 1. (Zeilenäquilibrierung) Unter einer Zeilenskalierung versteht man die Multiplikation eines Gleichungssystems mit einer passenden Diagonalmatrix D = diag{di } von links: Ax = b → DAx = Db. Eine solche Skalierung wird mit dem Ziel durchgeführt, die Kondition des Problems zu verringern, sodass also cond(DA) ≤ cond(A). Eine Zeilenäquilibrierung ist eine spezielle Form der Zeilenskalierung, bei der kAk di := P ∞ , j |aij | i = 1, . . . , n, gewählt wird. Die Matrix A ∈ Kn×n wird im folgenden als regulär vorausgesetzt und D ∈ Kn×n sei die Diagonalmatrix zur Zeilenäquilibrierung von A. Zeige: Es gilt a) kDk−1 ∞ cond∞ (A) ≤ cond∞ (DA) ≤ cond∞ (A). Mit einer beliebigen Diagonalmatrix C ∈ Kn×n gilt außerdem b) cond∞ (DA) ≤ cond∞ (CA). Aufgabe 2. (Vorkonditionierung) a) Es seien {An }n∈N , {Bn }n∈N Folgen regulärer Matrizen An , Bn ∈ Cn×n , n ∈ N, sodass für jedes n die Abschätzung kIn − An Bn k2 ≤ δ < 1 gilt. Zeige, dass dann ein c > 0 mit cond2 (An Bn ) ≤ c existiert! b) Die Umkehrung der Aussage in (a) gilt nicht: Gib Folgen {An }n∈N , {Bn }n∈N mit cond2 (An Bn ) ≤ c an, sodass für alle n ∈ N die Ungleichung kIn − An Bn k2 > 1 erfüllt ist! Aufgabe 3. (Spektraläquivalenz) Zwei Folgen {An }n∈N , {Bn }n∈N positiv definiter Matrizen An , Bn ∈ Cn×n , n ∈ N, heißen spektraläquivalent, falls für jedes n Konstanten γn , Γn > 0 mit Γn /γn < c existieren, sodass γn (x, Bn x) ≤ (x, An x) ≤ Γn (x, Bn x) für alle x ∈ Cn gilt. Dabei darf c nicht von n abhängen. Zeige, dass {An }n∈N und {Bn }n∈N genau dann spektraläquivalent sind, wenn eine Konstante c̃ existiert, sodass λmax An Bn−1 ≤ c̃ für alle n ∈ N. λmin An Bn−1 –1– Numerische Mathematik, Blatt 13 Abgabe: 12.07.2011 Aufgabe 4. (Superlineare Konvergenz im CG-Verfahren*) Es sei z ∈ C und ε > 0. Für eine Folge {An }n∈N von Matrizen An ∈ Cn×n , n ∈ N, sei dann νn (ε) := #σ(An ) ∩ C\Bε (z) die Anzahl der Eigenwerte von An , die außerhalb der ε-Umgebung von z liegen. Man sagt außerdem, die Eigenwerte der Folge {An }n∈N besitzen einen Cluster bei z, wenn für alle ε > 0 die Abschätzung νn (ε) < c(ε) mit einer nur von ε unabhängigen Konstanten c gilt. Zeige: Besitzt {An }n∈N einen Cluster bei z = 1, so konvergiert das CG-Verfahren superlinear. Das heißt, statt der Abschätzung kxk − xkA ≤ 2ck kx0 − xkA mit c < 1 gilt in diesem Fall sogar kxk − xkA ≤ 2ckk kx0 − xkA , ck → 0 für k → ∞. Die folgende Programmieraufgabe ist freiwillig und geht nicht in die Wertung ein: Programmieraufgabe. (CG-Verfahren mit Vorkonditionierung) Implementiere das CG-Verfahren zur Lösung des Systems Ax = b! Dabei sei −2 1 1 . . . . 1 . . n×n 2 .. , b := −h . ∈ Rn A := ∈R .. .. . 1 . 1 1 −2 mit n ∈ N und h = 2/(n + 1); als Abbruchkriterium diene kAx − bk2 < h2 und der Startwert sei x0 = 0. Führe zur Verbesserung des Verfahrens eine Vorkonditionierung der Matrix A mittels Zeilenäquilibrierung (vgl. Aufgabe 1) durch! Vergleiche für beide Verfahren die benötigten Iterationsschritte für n = 4, 16, 64, 256, 1024 sowie für jeweils zwei aufeinanderfolgende Residuen den Quotienten der Normen! Interpretation: Die Komponenten von x sollten die Lösung v der Differentialgleichung −v̈(t) = 1, t ∈ (−1, 1), v(−1) = v(1) = 0, approximieren. Mithilfe von Gnuplot kann die Lösung aus dem Verfahren visualisiert und mit der echten Lösung v(t) = 21 (1 − t2 ) verglichen werden. Freiwillige Bearbeitung der Programmieraufgabe ab dem 14.07.2011 im CIP-Pool Öffnung des CIP-Pools während der vorlesungsfreien Zeit: Auch während der vorlesungsfreien Zeit steht der CIP-Pool für die Studenten zur Nutzung frei. Geöffnet ist dann i. d. R. dienstags und donnerstags zwischen 13 und 16 Uhr. –2– Er spielt mit einem 9er-Dominospiel, das für alle möglichen Paare der Zahlen 0 bis 9 genau einen Stein enthält. Numerische Mathematik, Blatt 13 Abgabe: 12.07.2011 Wie viele Steine bleiben beim Bau solch einer Dominoschlange mit 9er-Dominosteinen mindestens übrig? Lösung der Knobelaufgabe vom vorigen Blatt. Antwort: Es bleiben in jedem Fall mindestens vier übrig. Tipp: Am Fenster von Sebastians Zimmer hängt einSteine Weihnachtsstern. Er weist den Weg Begründung: Das 9er-Dominospiel besteht aus 55 Steinen, was sich geheimnisvolle durch Abzählen Bezur Lösung! Zwischen dem Stern und den Dominosteinen gibt man es eine 1 klarmachen kann oder mit Hilfe der Formel (n + 1) · n ausrechnet, wobei n die Anzahl ziehung. Außerdem hat Sebastian gerade ein 2Haus vom Nikolaus“ gezeichnet. ” der verschiedenen Ziffern ist. Betrachte nun den folgenden Graphen: Dabei seien die Knoten die Zahlen 0 bis 9, jede der 55 Kanten steht für einen Dominostein. Gesucht ist also ein ununterbrochener (sog. Euler-)Zug durch den Graphen, der jede Kante genau einmal abläuft. Das gelingt jedoch nur, wenn die Zahl der ausgehenden Kanten (der Grad) aller Knoten bis auf zwei (Anfangs- und Endknoten) gerade ist, sonst bleibt man irgendwann stecken (vgl. das „Haus vom Nikolaus“). Im betrachteten Graphen haben jedoch alle Knoten den ungeraden Grad 11. Nimmt man acht dieser Knoten je ein Kantenende weg, entfernt also insgesamt vier Kanten, die zwischen je zwei dieser ungeraden Knoten verlaufen, so kann ein Kantenzug ohne Kantenwiederholungen gefunden werden, der in einem der beiden verbliebenen Knoten beginnt und im andern endet. Die vier Kanten entsprechen vier Steinen. Man kann freilich auch mehr Kanten entfernen, um für alle bis auf zwei Knoten gerade Knotengrade zu bekommen, nur können es eben nicht weniger als vier sein. Bemerkung: Diese Aufgabe stammt aus dem mathematischen Adventskalender http://www.mathekalender.de des Jahres 2005. Auf der angegebenen Seite findet man neben dem jeweils aktuellen Kalender auch Lösungshefte für die vergangenen Jahre. Präsenzaufgabe. (Unbeschränktheit der Kondition — ein Beispiel) Es sei −2 1 An := 1 .. . .. . .. ∈ Rn×n . .. . 1 1 −2 . Zeige, dass cond2 (An ) = O(n2 ) → ∞ für n → ∞! Hinweis: In Aufgabe 3 von Blatt 13 der Einführung in die Numerik wurde gezeigt, dass kπ λk = −2 + 2 cos , k = 1, . . . , n, n+1 gerade die n Eigenwerte der Matrix An sind. –3–