Numerische Lineare Algebra

Prof. Dr. S. Sauter
Institut für Mathematik
Universität Zürich
Numerische Lineare Algebra
6. Übung
Abgabe: 07.04.2014 bis 10 Uhr
Aufgabe 20 (3 P.)
Eine Methode um die bisherigen Iterationsverfahren auf nicht selbstadjungierte Matrizen
A ∈ Kn×n anzuwenden ist, das LGS Ax = b von links mit A∗ zu multiplizieren.
a) Sei A ∈ Kn×n regulär. Zeigen Sie, dass A∗ A positiv definit ist.
b) Geben Sie ein für das resultierende LGS konvergentes Iterationsverfahren an. Begründen Sie Ihre Wahl.
Aufgabe 21 (8 P.)
Lösen Sie das LGS A∗ Ax = A∗ b mit dem gewählten Iterationsverfahren aus Aufgabe 20 für
die folgenden Matrizen A ∈ {L, C, D}: L ∈ Rn×n des zweidimensionalen Modellproblems,




2 −1 0 · · · 0
1 −1 0 · · · 0


.. 
.. 
0 2 −1 . . .
−1 1 −1 . . .
. 
. 








C :=  ... . . . . . . . . . 0  ∈ Cn×n , D := h−2  0 . . . . . . . . . 0  ∈ Cn×n ,




 ..

 ..

..
..
.
 .
. 2 −1
. −1 1 −1
0 ··· ··· 0
2
0 · · · 0 −1 ih
√
n = 100, h = 1/( n + 1) und b = (1, . . . , 1)T ∈ Rn . Interpretieren Sie die unterschiedlichen
Iterationszahlen indem Sie die Norm der Iterationsmatrizen M mit geeigneten γ, Γ ∈ R>0
abschätzen.
Aufgabe 22 (5 P.)
Die Spektralkondition einer regulären Matrix ist definiert durch cond2 (A) := kAk2 kA−1 k2 .
Die Konditionszahl κ(A) := ρ(A)ρ(A−1 ) ist unabhänging von der Norm. Seien A, B, C ∈
KI×I regulär. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) κ(A) = κ(A−1 ),
b) κ(A) = κ(λA),
c) κ(A) = cond2 (A)
cond2 (A) = cond2 (A−1 )
cond2 (A) = cond2 (λA)
für λ ∈ C\{0}
für A selbstadjungiert
d) cond2 (C−1 A) ≤ cond2 (C−1 B) cond2 (B−1 A)
e) κ(B−1 A) = cond2 (B−1/2 AB−1/2 )
für A, B > 0