Wahrscheinlichkeitstheorie II
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G. Trutnau/M. Röckner
SS 2006
Wahrscheinlichkeitstheorie II
Aufgabe 5. Y0 , Y1 , Y2 , . . . sei eine Folge unabhängig und identisch verteilter R+ -wertiger
Zufallsvariablen. Weiterhin sei X0 := 1 und Xn := Y1 · . . . · Yn , n ≥ 1.
(i) Zeige, dass X0 , X1 , . . . eine Markovsche Kette ist.
(ii) Es sei p := P (Y1 = 0) > 0. Berechne dann limn→∞ P (Xn ∈ A) für A ∈ B(R+ ) und
untersuche die Zustände der Markovschen Kette auf Rekurrenz und Transienz.
Aufgabe 6. Zu den Zeitpunkten n = 1, 2, . . . werde jeweils zufällig eine Zahl aus der
Menge {1, . . . , m} gezogen. Dabei seien alle Zahlen gleichwahrscheinlich. Es sei X0 = 0
und Xn , n ≥ 1, die bis zur Zeit n größte gezogene Zahl.
(i) Zeige, dass X0 , X1 , . . . eine Markovsche Kette ist und bestimme die zugehörige
Übergangswahrscheinlichkeiten.
(ii) Welche Zustände sind rekurrent, welche sind transient?
Aufgabe 7. Bei einem Geschicklichkeitsspiel werden gleichartige Bauteile übereinandergetürmt. Hat der Turm die Höhe n erreicht, so bleibt er nach Hinzufügen eines weiteren
Bauteils mit Wahrscheinlichkeit pn stehen. Mit Wahrscheinlichkeit 1−pn stürzt er jedoch
ein und das Spiel beginnt von neuem. Es sei p0 = 1.
(i) Beschreibe das Spielgeschehen als Markovsche Kette mit Zustandsraum N0 durch
Angabe der zugehörigen Übergangsmatrix.
(ii) Zeige, dass der Zustand 0 rekurrent ist genau dann wenn limn→∞ p1 · . . . · pn = 0.
(iii) Angenommen, der Zustand 0 ist rekurrent. Zeige, dass dann 0 nullrekurrent ist (d.h.,
P n Qk
E0 [R0 ] = +∞) genau dann wenn limn→∞ k=1 l=1 pl = +∞.
Aufgabe 8. Betrachte das Geschicklichkeitsspiel aus Aufgabe 7 mit pn ∈ (0, 1) für
P∞ Qk
alle n. Berechne im positiv rekurrenten Fall (also im Falle n=1 l=1 pl < +∞) das
eindeutig bestimmte invariante Wahrscheinlichkeitsmaß.
