Bearbeitungsvorschlag

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
SS 2013
Blatt 13
15.07.2013
Tutorium zur Vorlesung
Grundlagen der Mathematik II“
”
— Bearbeitungsvorschlag —
49. Für ein a ∈ C betrachten wir das Polynom p = X 4 + a4 ∈ C[X]. Des weiteren
bestimmen wir als Vorüberlegung die komplexen Zahlen w, u ∈ C mit w2 = i
und u2 = −i und erhalten
w2 = i = E(90◦ ) = (E(45◦ ))2 ⇐⇒ w ∈ {±E(45◦ )}
und
u2 = −i = E(270◦ ) = (E(135◦ ))2 ⇐⇒ u ∈ {±E(135◦ )} .
a) Die Nullstellen des Polynoms p = X 4 + a4 über C sind genau
die√Lösungen
√
2
4
4
◦
der Polynomgleichung z + a = 0, und mit w = E(45 ) = 2 + 22 i erhält
man
z 4 + a4 = 0
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
z 4 = −a4 = i2 · a4
2
z 4 = w2 · a4 = (w · a)4
360◦
◦
z = E(45 ) · a · E k ·
4
◦
◦
z = E(45 ) · a · E(k · 90 )
mit k ∈ {0, 1, 2, 3}. Es ergeben sich genau die vier verschiedenen Lösungen
√ !
√
2
2
z1 = E(45◦ ) · a · 1 = a ·
+
i
2
2
√ !
√
2
2
+
i
z2 = E(45◦ ) · a · i = a · −
2
2
√
√ !
2
2
z3 = E(45◦ ) · a · (−1) = a · −
−
i
2
2
√
√ !
2
2
−
i .
z4 = E(45◦ ) · a · (−i) = a ·
2
2
Damit besitzt das Polynom p = X 4 + a4 über C die vier verschiedenen
Nullstellen z1 , z2 , z3 , z4 jeweils mit der Vielfachheit 1, so daß wir über C die
Faktorisierung
X 4 + a4 = (X − z1 ) · (X − z2 ) · (X − z3 ) · (X − z4 )
√
√ !!
√
√ !!
2
2
2
2
=
X −a·
+
i
· X −a· −
+
i
·
2
2
2
2
√
√ !!
√
√ !!
2
2
2
2
· X −a· −
−
i
· X −a·
−
i
2
2
2
2
erhalten. Im Falle a ∈ R gilt z4 = z1 und z3 = z3 mit
√
(X − z1 ) · (X − z4 ) = X 2 − a 2 X + a2
√
(X − z2 ) · (X − z3 ) = X 2 + a 2 X + a2 ,
so daß sich über R die Faktorisierung
√
√
4
4
2
2
2
2
X + a = X − a 2X + a · X + a 2X + a
ergibt.
b) Mit Hilfe quadratischer Ergänzung sowie den drei binomischen Formeln erhalten wir mit
2
2 √
2aX
X 4 + a4 = X 4 + 2 a2 X 2 + a4 − 2 a2 X 2 = X 2 + a2 −
√
√
= X 2 − 2 a X + a2 · X 2 + 2 a X + a2
zunächst eine Zerlegung von p in ein Produkt quadratischer Polynome und
wegen


√
√ !2
√
1
2
2
aX +
a  + a2
X 2 ± 2 a X + a2 =  X 2 ± 2
2
2
2
√ !2
√ !2
2
2
=
X±
a − i
a
2
2
√
√ !
√
√ !
2
2
2
2
=
X±
a−i
a · X±
a+i
a
2
2
2
2
schließlich in
4
X +a
4
√
√
2
2
2
= X − 2aX + a · X + 2X a + a
√
√ !!
√
√ !!
2
2
2
2
=
X −a·
+
i
· X −a·
−
i
·
2
2
2
2
√
√ !!
√
√ !!
2
2
2
2
· X −a· −
+
i
· X −a· −
−
i
2
2
2
2
2
eine Zerlegung von p in Linearfaktoren.
Alternativ kann man auch nur über die dritte binomische Formel sowie den
in der Vorüberlegung ermittelten komplexen Zahlen w, u ∈ C mit w2 = i
und u2 = −i argumentieren; mit
√
√
√
√
2
2
2
2
◦
◦
+
i
und
u = E(135 ) = −
+
i
w = E(45 ) =
2
2
2
2
erhalten wir
2
2
X 4 + a4 = X 4 − i2 a4 = X 2 − i a2
= X 2 − i a2 · X 2 + i a2 = X 2 − w2 a2 · X 2 − u2 a2
= (X − w a) · (X + w a) · (X − u a) · (X + u a)
√
√ !!
√
√ !!
2
2
2
2
=
X −a·
+
i
· X −a· −
−
i
·
2
2
2
2
√ !!
√
√ !!
√
2
2
2
2
+
i
· X −a·
−
i
.
· X −a· −
2
2
2
2
50. Wir betrachten das Polynom p = X 5 + 2 X 4 + 6 X 3 − 22 X 2 + 13 X ∈ R[X] mit
der komplexen Nullstelle z = −2 − 3 i. Damit ist auch z = −2 + 3 i eine komplexe
Nullstelle von p. Mit
(X − z) · (X − z) = (X − (−2 − 3 i)) · (X − (−2 + 3 i)) = X 2 + 4 X + 13
erhalten wir durch Polynomdivision
(X 5 + 2 X 4 + 6 X 3 − 22 X 2 + 13 X) : (X 2 + 4 X + 13) = X 3 − 2 X 2 + X
−(X 5 + 4 X 4 + 13 X 3 )
−2 X 4 − 7 X 3 − 22 X 2 + 13 X
−(2 X 4 − 8 X 3 − 26 X 2 )
X 3 + 4 X 2 + 13 X
−(X 3 + 4 X 2 + 13 X)
0
und damit die Faktorisierung über R
p = X 5 + 2 X 4 + 6 X 3 − 22 X 2 + 13 X =
= X 2 + 4 X + 13 · X 3 − 2 X 2 + X =
= X 2 + 4 X + 13 · X · (X − 1)2 .
Insgesamt erhalten wir also die gewünschte Darstellung
p = (X − x1 )e1 · (X − x2 )e2 · q f = X · (X − 1)2 · X 2 + 4 X + 13
mit x1 = 0 und x2 = 1 ∈ R und q = X 2 + 4 X + 13 ∈ R[X] ohne reelle Nullstelle
sowie e1 = 1, e2 = 2 und f = 1 ∈ N.
51. Sei p ∈ C[X] ein Polynom mit Grad(p) = n ∈ N0 mit der zugehörigen Polynomabbildung fp : C → C sowie a ∈ C. Wir betrachten die Menge
M = {x ∈ C | fp (x) = a}
und zeigen, daß M höchstens n Elemente besitzt oder M = C gilt. Dies motiviert
folgende Fallunterscheidung:
• Fall 1: Es ist p ein konstantes Polynom.
Da p ∈ C[X] ein konstantes Polynom ist, gilt n = Grad (p) = 0, und es ist
fp (x) = c ∈ C für alle x ∈ C. Falls a = c gilt, ist fp (x) = c = a für alle
x ∈ C und damit M = C. Falls a 6= c gilt, ist fp (x) = c 6= a für alle x ∈ C
und damit M = ∅ mit n = 0 Elementen.
• Fall 2: Es ist p ein nichtkonstantes Polynom.
Da p ∈ C[X] ein nichtkonstantes Polynom ist, gilt n = Grad (p) ≥ 1; wir
betrachten die Polynomabbildung
fq (x) : C → C,
fq (x) = fp (x) − a,
zum Polynom q = p − a ∈ C[X] mit Grad (q) = n ≥ 1 und erhalten
M = {x ∈ C | fp (x) = a} = {x ∈ C | fq (x) = 0} .
Das Polynom q zerfällt nach dem Fundamentalsatz der Algebra über C
vollständig in Linearfaktoren, und die Anzahl der Nullstellen von q stimmt
(unter Berücksichtigung der Vielfachheiten) mit dem Grad von q überein.
Damit gilt für die Mächtigkeit der Menge
M = {x ∈ C | fq (x) = 0}
schon |M | ≤ n. Die Menge M besitzt genau n Elemente, wenn jede Nullstelle
von q die Vielfachheit 1 besitzt.
52. Wir betrachten ein Polynom p ∈ R[X] mit
p = X 4 + a3 X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 ,
und zeigen, daß es k ∈ R und q = X 4 + b2 X 2 + b1 X + b0 ∈ R[X] mit
p(X) = q(X + k)
gibt. Es ist
q(X + k) = (X + k)4 + b2 (X + k)2 + b1 (X + k) + b0
= X 4 + 4 k X 3 + 6 k2 X 2 + 4 k3 X + k4 +
+ b2 (X 2 + 2 k X + k 2 ) + b1 (X + k) + b0
= X 4 + 4 k X 3 + (6 k 2 + b2 ) X 2 + (4 k 3 + 2 k b2 + b1 ) X +
+ (k 4 + k 2 b2 + k b1 + b0 ),
und damit erhalten wir durch Koeffizientenvergleich

a3 = 4 k



a = 6 k 2 + b
2
2
p(X) = q(X + k) ⇐⇒
3

a1 = 4 k + 2 k b 2 + b 1



a0 = k 4 + k 2 b 2 + k b 1 + b 0
mit
a3 = 4 k ⇐⇒ k =
(bei
(bei
(bei
(bei
X 3)
X 2)
X 1)
X 0)
= a2 −
3 2
a
8 3
a3
4
und folglich
6 k 2 + b2 = a2 ⇐⇒ b2 = a2 − 6 k 2 = a2 − 6 ·
a 2
3
4
und
4 k 3 + 2 k b2 + b1 = a1 ⇐⇒ b1 = a1 − 4 k 3 − 2 k b2 =
a 3
3 2
a3
a2 · a3 a33
3
· a2 − a3 = a1 −
+
= a1 − 4 ·
−2·
4
4
8
2
8
sowie
k 4 + k 2 b2 + k b1 + b0 = a0 ⇐⇒ b0 = a0 − k 4 − k 2 b2 − k b1 =
a 4 a 2 3 2
a2 · a3 a33
a3
3
3
= a0 −
−
· a2 − a3 −
· a1 −
+
=
4
4
8
4
2
8
3 4 a2 · a23 a1 · a3
a +
−
;
= a0 −
256 3
16
4
mit dieser Wahl der Parameter k sowie b2 , b1 und b0 gilt die gewünschte Beziehung
p(X) = q(X + k).