Leibnitz 2013 Birgit Vera Schmidt 1. Die 30 Schüler einer Klasse

Leibnitz 2013
Birgit Vera Schmidt
1. Die 30 Schüler einer Klasse hatten Hausübungen in Deutsch, Mathematik, Englisch und
Französisch zu erledigen. Jede Hausübung wurde von mindestens 16 Schülern erledigt.
Man zeige, dass es mindestens einen Schüler gibt, der mindestens drei Hausübungen gemacht
hat.
2. Die 30 Schüler einer Klasse hatten Hausübungen in Deutsch, Mathematik, Englisch und
Französisch zu erledigen. Die Deutsch-Hausübung wurde von 17 Schülern erledigt, Mathematik
von 21 Schülern, Englisch von 8 Schülern und Französisch von 19 Schülern.
Man zeige, dass man zwei Schüler auswählen kann, sodass jede Hausübung von mindestens
einem der beiden erledigt wurde.
3. (IMC for University Students 2002) 200 Studenten nehmen an einem Mathematik-Bewerb mit
6 Aufgaben teil. Es ist bekannt, dass jede Aufgabe von genau 120 Studenten gelöst wurde.
Man zeige, dass man zwei Teilnehmer auswählen kann, sodass jede Aufgabe von mindestens
einem der beiden gelöst wurde.
4. Gegeben sei ein Graph mit 2011 Knoten und 3333 Kanten. Man zeige, dass es möglich ist,
mindestens a) 173 bzw. b) 304 Knoten gelb zu färben, sodass keine zwei gelben Knoten
benachbart sind.
5. (Schwache Variante von Turán) Gegeben sei ein Graph G mit n Knoten und m Kanten, mit m ≥
n2
n
. Man zeige, dass es darin eine Menge von mindestens 4m
Knoten gibt, die nicht verbunden
2
sind.
6. (MEMO 2011, Teambewerb) Sei n ≥ 3 eine ganze Zahl. Bei einem MEMO-ähnlichen Wettbewerb gibt es 3n Teilnehmer. Es werden n Sprachen gesprochen, und jeder Teilnehmer spricht
genau drei verschiedene Sprachen.
2n
der gesprochenen Sprachen so auszuwählen,
Man zeige, dass es möglich ist, mindestens
9
dass kein Teilnehmer mehr als zwei der ausgewählten Sprachen spricht.
7. (Russland 1996) In der Duma sind 1600 Abgeordnete, die 16000 Kommittees zu je 80 Personen
bilden. Man zeige, dass es zwei Kommittees gibt, die mindestens vier Personen gemeinsam
haben.
8. (Iran Team Selection Test 2008) 799 Teams nehmen an einem Turnier teil, in dem jedes Team
gegen jedes andere Team genau ein Mal antritt. Man zeige, dass zwei disjunkte Mengen A und
B zu je 7 Teams existieren, sodass jedes Team aus A jedes Team aus B geschlagen hat.
k
9. (Erdős) Sei k ≥ 4 und N < 2 2 . Gegeben sei ein vollständiger Graph G (d.h. jeder Knoten
ist mit jedem anderen Knoten verbunden) mit N Knoten. Man zeige, dass es möglich ist, die
Kanten von G mit zwei Farben so zu färben, dass kein vollständiger Teilgraph mit k Knoten
einfärbig ist. (Ein vollständiger Teilgraph ist ein Teilgraph, der aus einer Teilmenge der Knoten
sowie allen Kanten dazwischen besteht.)
10. (USA Team Selection Test 2001) Sei A eine Menge von 2001 positiven ganzen Zahlen. Man
zeige, dass eine Menge B existiert mit B ⊆ A, |B| ≥ 668, und für alle u, v ∈ B (nicht
notwendigerweise verschieden) gilt u + v 6∈ B.
11. (Erdős) Eine Menge heißt summenfrei, wenn sie keine drei Elemente a1 , a2 und a3 enthält,
sodass a1 + a2 = a3 gilt.
Man zeige: Jede Menge von n positiven ganzen Zahlen enthält eine summenfreie Teilmenge mit
mehr als n3 Elementen.
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Birgit Vera Schmidt
12. (IMO Shortlist 1987) Man zeige, dass man die Zahlen der Menge {1, 2, . . . , 1987} so mit vier
Farben färben kann, dass es darin keine einfarbige arithmetische Folge mit mindestens 10
Elementen gibt.
13. (IMO 1998) Bei einem Wettbewerb gibt es a Teilnehmer und b Jury-Mitglieder, mit einer
ungeraden Zahl b ≥ 3. Jedes Jury-Mitglied bewertet jeden Teilnehmer als bestanden“ oder
”
durchgefallen“. Sei k eine Zahl, sodass für jede Auswahl von zwei Jury-Mitgliedern höchstens
”
.
k Teilnehmer existieren, die von ihnen gleich bewertet wurden. Man zeige, dass ka ≥ b−1
2b
14. (Iberoamerican Olympiad 2001) Sei S eine Menge mit n Elementen. Seien S1 , S2 , . . . , Sk Teilmengen von S (mit k ≥ 2), die jeweils mindestens r Elemente enthalten. Man zeige dass zwei
nk
Mengen Si und Sj (mit i 6= j) existieren, die mindestens r − 4(k−1)
Elemente gemeinsam haben.
15. Gegeben seien 650 Punkte in einem Kreis mit Radius 16. Wir haben einen Ring mit Innenradius
2 und Außenradius 3. Man zeige, dass man den Ring so platzieren kann, dass er mindestens 10
Punkte überdeckt.
16. (All Russian Olympiad 1961) 120 Einheitsquadrate sind in einem Rechteck der Größe 20 × 25
verteilt. Man zeige, dass man einen Einheitskreis so innerhalb des Rechtecks platzieren kann,
dass er keines der Quadrate schneidet.
17. Sei S eine Teilmenge des Intervalls [0, 1] mit Maß (Gesamtlänge) größer 21 . Man zeige, dass S
zwei Punkte enthält, die genau 0.1 voneinander entfernt sind.
18. Ein Obdachloser hat einen Mantel mit Fläche 1. Der Mantel ist bereits mit fünf Stoffflicken
ausgebessert, die jeweils eine Fläche von mindestens 21 haben. Man zeige, dass es zwei Flicken
gibt, die eine gemeinsame Fläche von mindestens 51 haben.
19. (IMO 1970) In der Ebene sind 100 Punkte gegeben, von denen keine drei Punkte kollinear sind.
Man betrachte alle möglichen Dreiecke, die diese Punkte als Eckpunkte haben. Man zeige, dass
höchstens 70% dieser Dreiecke spitzwinkelig sind.
20. (IMO 1971) Man zeige, dass für jede natürliche Zahl m eine endliche Menge S von Punkten
in der Ebene mit folgender Eigenschaft existiert: Für jeden Punkt A ∈ S existieren genau m
Punkte in S, die von A genau 1 entfernt sind.
21. In jede Zelle eines 100×100-Rasters wird eine der Zahlen 1, 2, . . . , 5000 geschrieben, sodass jede
Zahl genau zwei Mal im Raster vorkommt. Man zeige, dass man 100 Zellen auswählen kann,
sodass in jeder Zeile genau eine Zelle ausgewählt ist, in jeder Spalte genau eine Zelle ausgewählt
ist, und die Zahlen in den ausgewählten Zellen paarweise verschieden sind.
22. (Bay Area Math Olympiad 2004) Gegeben seien n reelle Zahlen, die nicht alle gleich 0 sind, aber
deren Summe gleich 0 ist. Man zeige, dass man diese derart beschriften kann als a1 , a2 , . . . , an ,
dass a1 a2 + a2 a3 + · · · + an−1 an + an a1 < 0.
an
23. (Math. Tripos 1929) Gegeben seien reelle Zahlen a0 , a1 , a2 , . . . , an mit a10 + a21 + · · · + n+1
= 0.
2
n
Man zeige, dass die Gleichung a0 + a1 x + a2 x + · · · + an x = 0 mindestens eine reelle Lösung
hat.
24. Seien p und q zwei positive reelle Zahlen mit p + q = 1, und seien m und n zwei natürliche
Zahlen. Man zeige: (1 − pm )n + (1 − q n )m ≥ 1.
25. (IMO Shortlist 1991) Sei A eine Menge von n Restwerten modulo n2 . Man zeige, dass eine
Menge B von n Restwerten modulo n2 existiert, sodass mindestens die Hälfte der Restwerte
modulo n2 geschrieben werden kann als a + b mit a ∈ A und b ∈ B.