Mathematische Physik: Statistische Mechanik

Prof. Dr. Roderich Tumulka
Mathematisches Institut, Universität Tübingen
Wintersemester 2016/17
Abgabe Fr. 25.11.2016
Mathematische Physik: Statistische Mechanik
Übungsblatt 5
Aufgabe 19: Ergodizität auf einer endlichen Menge. (schriftlich, 35 Punkte)
Sei Ω eine endliche Menge, #Ω = n. Ein zeit-diskretes dynamisches System wäre nun
eine Bijektion T : Ω → Ω.
(a) Man zeige: T ist maß-erhaltend für P(A) = #A/n.
(b) Man zeige: P ist das einzige normierte Maß, das von jeder Bijektion erhalten wird.
(c) Wie viele dynamische Systeme gibt es auf Ω?
(d) Was bedeutet es hier für T , ergodisch zu sein?
(e) Was sind die ergodischen Komponenten eines nicht-ergodischen T ?
(f ) Wie viele dynamische Systeme auf Ω sind ergodisch?
(g) Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes dynamisches
System ergodisch ist?
(h) Als Rekurrenz-Zeit von ω ∈ Ω unter T würde man nun das kleinste t ∈ N mit T t ω = ω
bezeichnen. Wie lang ist die Rekurrenz-Zeit für ergodisches T ?
(i) Wie lang ist die mittlere Rekurrenz-Zeit für zufälliges T (ob ergodisch oder nicht) und
zufälliges ω?
Aufgabe 20: Entropie im Gleichgewicht (schriftlich, 35 Punkte)
Man berechne die Entropie S(N, E, V ) des thermischen Gleichgewichtszustandes eines
(mono-atomigen) idealen Gases gemäß der Boltzmann-Formel S(eq) = k log Ω(E). (log =
ln)
Anleitung. Man benutze dafür die bereits gewonnenen Relationen
1 N
V V3N (2mE)3N/2
N!
π d/2
Vd =
Γ(1 + d/2)
d
Ω(E) =
vol Γ≤E
dE
vol Γ≤E =
(1)
(2)
(3)
sowie die Stirling-Formel
Γ(x + 1) =
√
2πx e−x xx (1 + o(x)) für x → ∞
(4)
und n! = Γ(n + 1). Man setze E = N e und V = N v mit Konstanten e, v, sortiere die
Terme nach Größenordnungen O(N log N ), O(N ), O(log N ), . . ., und gebe die führende
Ordnung als Ergebnis an.
Bitte wenden!
Aufgabe 21: Streuquerschnitt für Billardkugeln. (schriftlich, 30 Punkte)
Wenn zwei Billardkugeln mit Radius a und Impulsen p1 , p2 zusammenstoßen, stoßen sie
in der Regel dezentral, und die resultierenden (auslaufenden) Impulse p01 , p02 hängen vom
Verschiebungsvektor ω = (q 2 − q 1 )/2a ∈ S21 im Moment des Stoßes ab:
p01 = p1 − [(p1 − p2 ) · ω]ω ,
p02 = p2 + [(p1 − p2 ) · ω]ω .
Wir betrachten jetzt zufällige Zusammenstöße und wollen die Wahrscheinlichkeitsverteilung
von p01 , p02 bei gegebenen p1 , p2 charakterisieren, indem wir die von ω bestimmen. Dazu
betrachten wir p2 = 0 (was sich ja immer durch eine Galilei-Transformation erreichen
lässt), q 2 = 0 und p1 = p1 ex (was sich durch Translation und Rotation erreichen lässt).
Es ist sinnvoll anzunehmen, dass die y- und z-Komponenten von q 1 uniform verteilt sind
(und zwar, wenn wir darauf bedingen, dass es zum Stoß kommt, auf der Kreisscheibe vom
Radius 2a um den Ursprung in der yz-Ebene), und es ist praktisch, sie in Polarkoordinaten (r, ϕ) zu schreiben; r und ϕ heißen auch die Stoßparameter.
(a) Wie lauten q 1 und ω als Funktionen r und ϕ?
(b) Man zeige, dass ω = (ωx , ωy , ωz ) Wahrscheinlichkeitsdichte proportional zu 1ωx <0 |ωx |
relativ zur Gleichverteilung d2 ω auf der Sphäre hat.
(c) Man begründe, warum daher bei beliebigen p1 ,p2 die Wahrscheinlichkeitsverteilung
von ω proportional ist zu 1ω·(p1 −p2 )<0 ω · (p1 − p2 ) d2 ω.
Aufgabe 22: Gibbs-Entropie (mündlich)
Man berechne dieselbe Funktion S(N, E, V ) wie in Aufgabe 20 auf andere Weise mit Hilfe
der Äquivalenz der Ensembles, der Gibbs-Formel
Z
S(eq) = −k dx ρ(x) log ρ(x)
Γ
und der kanonischen Dichte ρ(x) = Z −1 e−βH(x) . Man gebe wie bei Aufgabe 20 nur die
führende Ordnung an.
Hinweis: Um die richtige N -Abhängigkeit zu finden, muss man ein N -abhängiges ΛN
mit Volumen VN = N v (bei v = const.) wählen, und man muss entweder Γ = N Γ1 wählen
oder auf Γ = ΓN
1 als Volumenmaß dx/N ! benutzen, was beides auf einen Zusatzfaktor
−1
N ! in Z führt.
Aufgabe 23: (mündlich)
Zeigen Sie aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, dass ein Kühlschrank notwendigerweise Strom verbraucht, statt Strom zu erzeugen. (Man hätte ja denken können, dass
die dem Kühlschrankinhalt entzogene Energie hinterher zur Verfügung steht.)
Anleitung. Seien TK die Temperatur im Kühlschrank, TU die Temperatur in der Umgebung, QK die Wärmeenergie im Kühlschrank, QU die Wärmeenergie in der Umgebung und
δW die nutzbare Energie, die der Kühlmechanismus erzeugt (negativ, wenn er nutzbare
Energie verbraucht), während er dem Kühlschrank die Wärmeenergie δQK < 0 zufügt und
der Umgebung die Wärmeenergie δQU . Man benutze die Clausius-Relation δSi = δQi /Ti ,
i = K, U , um δW < 0 zu zeigen.
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