Physik 3 - Formelsammlung

Physik 3 - Formelsammlung
1
1.1
Optik
Diverses
Konstanten
Vakuumgeschwindigkeit:
8m
c = 2990 7920 458 m
s ≈ 3 · 10 s
1.2
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(2013-02-03, Commit : 5c3981c - gemäss Unterricht David Sourlier/HS2012)
Farbenlehre Kuchling 386
Geometrische Optik
Kuchling 360 Stöcker 309
Brechungsgesetz
Kuchling 365
Stöcker 320
sin ε1
n2
=
sin ε2
n1
Brechungsindex
c
u
[c]=Vakumgeschwindigkeit
[u]=Lichtgeschwindigkeit
Kuchling 365
Stöcker 320
n=
Totalreflexion
Für n1 > n2
Kuchling 366
Stöcker 322
ε = arcsin
Brennweite
Kuchling 362
Stöcker 316
Brechkraft,
Linsenschleifergleichung
Kuchling 370
Brillengleichung
n2
n1
Abstand von Linsenf
1 1
r1 ; r2
r1 , r2 > 0: Konvex
= 0: Plan r1 , r2 < 0: Konkav
0
DB = Dmin
− Dmin =
Kuchling 363
Stöcker 373
B
b
= =α
G
g
αtot = α1 · α2
1
0
gmin
−
1
gmin
n
Medium
n
Luft
Wasser
1,000292
1,333
Kronglas (K13)
Flintglas (K2)
Diamant
1,522
1,620
2,417
D = Brechwert in Dioptrie [dpt]
n1 = B.index d. umgebenden Mediums
n2 = B.index der Linse
DB : Brechwert der Brille
0
gmin
:neue Entfernung zum Scharf sehen
gmin : alte Entfernung zum Scharf sehen
G = Gegenstandshöhe
g = Gegenstandsweite
B = Bildhöhe
b = Bildweite
F = Brennpunkt
f = Brennweite
α = Vergösserungsfaktor
α < 1 = verkl., α > 1 = vergr.
Vorzeichenkonventionen
◦ Spiegel konkav / Linse konvex (sammelnd) ⇒ f > 0
◦ Spiegel konvex / Linse konkav (zerstreuend) ⇒ f < 0
◦ Bild virtuell ⇒ b < 0 & B < 0
◦ Gegenstand virtuell ⇒ g < 0 & G < 0
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
Medium
ε = εg ⇒ Grenzfall (ausgezogene Linie)
ε < εg ⇒ Brechung (gepunktete Linie)
ε > εg ⇒ Reflexion (gestrichelte Linie)
Spiegel:
r
r
(für kleine h gilt a = b ≈ )
f=
2
2
Linse:
→ Linsenschleifergleichung
n2
1
1
1
D= =
−1
+
Dtot = D1 + D2
{z
}
|
f
n1
r1
r2
1
1 1
= +
f
g
b
Abbildungsgleichungen
ε1 = ε01
n1 sin ε1 = n2 sin ε2
Bei reelem Gegenstand:
B > 0: invertiertes Bild
B < 0: aufrecht, seitenrichtig
9. September 2013
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1.3
Spiegel
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Kuchling 362 Stöcker 315
Sammel-/Konkavspiegel
(Hohlspiegel)
f > 0, g > 0
Gegenstand ausserhalb der Brennweite
⇒ reelles, verkleinertes & verkehrtes Bild (b > 0)
Gegenstand innerhalb der Brennweite
⇒ virtuelles, vergrössertes & aufrechtes Bild (b < 0)
Streu-/Konvexspiegel
(Wölbspiegel)
f < 0, g > 0
Gegenstand hat stets virtuelles, verkleinertes & aufrechtes Bild (b < 0)
Planspiegel
Bild ist virtuell und gleich gross wie Gegenstand, Bildweite ist gleich Gegenstandsweite. Brennpunkt liegt im
Unendlichen. (b < 0)
1.4
Linsen
Kuchling 369 Stöcker 331
Sammel/Konvexlinsen
f > 0, g > 0
Konkav/Zerstreuungslinsen
f < 0, g > 0
1.5
Strahlengänge
1.6
Optische Systeme
1.6.1
Gegenstand ausserhalb der Brennweite
⇒ reelles, verkleinertes & verkehrtes Bild (b > 0)
Gegenstand innerhalb der Brennweite
⇒ virtuelles, vergrössertes & aufrechtes Bild (b < 0)
Gegenstand hat stets virtuelles, aufrechtes & verkleinertes Bild (b < 0)
Lupe Kuchling 381 Stöcker 345
Bild ist im Unendlichen, wenn g = f
Erzeugt virtuelles, vergrössertes & aufrechtes Bild
V Vergrösserung
s deutliche Sehweite (Auge: 25cm)
ε Sehwinkel mit Lupe
ε0 = ε0 Sehwinkel ohne Lupe = 1/60◦
s
tan(ε)
s
V = =
⇒ > Vnormal
f
tan(ε0 )
g
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
9. September 2013
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1.6.2
Kamera Kuchling 378 Stöcker 343
1
u + für gmin
1
=
±
gmin/max
g0
q f 2 − für gmax
Erzeugt reelles, verkleinertes & umgekehrtes
Bild
f
f
G
bzw. für g f B = G
g−f
g
1
d
1
f
q= =
Z= =
d
q
f
Z
2
E∼q t
Kleine Blende (Z = 16, q = 1 : 16)
⇒ grosse Tiefenschärfe
Grosse Blende (Z = 4, q = 1 : 4)
⇒ viel Licht, kleine Tiefenschärfe
1.6.4 Mikroprojektor
B=
g Schärfentiefe
g0 Mittlere Gegenstandsweite
Z Blendenzahl
E Belichtung
u Unschärfekreisdurchmesser
q Öffnungsverhältnis (Lichtstärke)
d Blenden-Durchmesser
f Brennweite (z.B. 35mm-Objektiv)
1.6.3
Projektor Kuchling 377
Erzeugt reelles, vergrössertes & umgekehrtes Bild
b
b
β = = − 1 mit β Abbildungsmasstab
g
f
1.6.5
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Erzeugt reelles Bild auf Schirm mit
V =
B
b
=
G
g
Mikroskop Kuchling 382 Stöcker 345
Erzeugt reelles, vergrössertes & umgekehrtes Bild.
V1 = f∆1 Vergrösserung des Objektivs
V2 = fs2 Vergrösserung des Okulars
∆ = F1 F2 = b1 − f1 Tubuslänge
∆ s
B s
f1
=
=
V = V1 V2 =
f2
f1 f2
G f2
1.6.6
Keplersches (Astronomisches) Fernrohr Kuchling 383 Stöcker 347
Erzeugt reelles, vergrössertes & umgekehrtes Bild.
Dies ist ein Spezialfall des Mikroskops, wo die
Gegenstandsweite auf unendlich (g → ∞)
eingestellt ist.
V =
tan(ε)
B/f2
f1
D
f1 + f2
=
=
=
=
tan(ε0 )
B/f1
f2
d
a
l = f1 +f2
D Durchmesser Objektiv
V Vergrösserung
a Abstand Okular-Austrittspupille
l Abstand Objektiv-Okular
d Grösse Austrittspup.
L Lichtstärke
1
1
1
+ =
a = Vl
d= D
V
f1 + f2 a
f2
L = d2 =
D 2
V
Bezeichnung auf Fernrohren, Ferngläser (z.B. 10x50) entspricht V xD
1.6.7
Diverse Kuchling 384 Stöcker 347
Terrestr. Fernr.
Spiegelteleskope
1.7
f1
Länge: l = f1 − |f2 | (evt. mit Umkehrlinse (ZF), Prismen oder Streul. zur Umkehrung)
|f2 |
Reflexion↔Brechung (weniger Lichtv.), k. Dispersion (k. chrom. Abberation), Verzug durch Masse
V =
Abbildungsfehler
Sphärische Abberation
Koma
Astigmatismus, Bildfeldwölbung
Verzeichnung
Chromatische Abberation
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
Brennweite ist Funktion des Abstands zur optischen Achse
beim schiefen Einfall (→ Schweifförmiger Fehler)
vertikal und horizontal → andere Brennweite (Auge)
tonnen- oder kissenförmige Verzeichnung eines Quadrates (→ Photogrammetrie)
wegen Dispersion ⇒ Brennweite ist Funktion von λ (Farbe)
9. September 2013
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2
2.1
Schwingungen
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Kuchling 192 Stöcker 235
Ungedämpfte Schwingungen
Harmonische Schwingung
y = A sin(ωt + ϕ)
2π
= 2πf
T
ω=
Kuchling 193 Stöcker 236
ÿ + ω 2 y = 0
v(t) = ẏ
A = Amplitude [1]
ω = Kreisfrequenz [ 1s ]
v(t) = Geschwindigkeit [ m
s ]
a(t) = Beschleunigung [ sm2 ]
a(t) = ÿ
Trägheitskraft/Moment
Trans. : FT (y) = m · ÿ
Schwingungsenergie
E = Epot + Ekin =
Kuchling 203 Stöcker 240
Federpendel
m ω 2 A2
m ω 2 A2
(sin(ωt + ϕ)2 + cos(ωt + ϕ)2 ) =
2
2
ohne Federmasse:
r
r
c
c1 + c2
mÿ + c y = 0
ω0 =
=
m
m
1 + m2
r
m
T = 2π
c
Kuchling 198 Stöcker 238
rücktr. Kraft: F = −cy = m ÿ = FT
mit Federmasse:
r
c
ω0 =
m + m3F
Rot.: MT (ϕ) = J · ϕ̈
c y2
m v2
c
+
= ·A
2
2
2
r
T = 2π
r
Drehpendel
Kuchling 199 Stöcker 245
J ϕ̈ + cD ϕ = 0
ω0 =
cD
J
J = [kg · m2 ]
E = Energie [J]
v = ẏ = Geschwindigkeit [ m
s ]
m = Masse [kg]
m + m3F
c
r
T = 2π
J
cD
rücktr. Drehm.: M = −cD ϕ = J ϕ̈ (Bewegung)
·m
cD = [ Nrad
]
Fadenpendel,
Mathematisches Pendel
Kuchling 200 Stöcker 240
lin.(ϕ1)
lϕ̈ + g sin(ϕ) = 0 −−−−−−→ lϕ̈ + gϕ = 0
r
r
g
l
ω0 =
T = 2π
v = lϕ̇
a = lϕ̈
l
g
lin.
Physisches Pendel
Kuchling 201 Stöcker 243
Massenträgheitsmomente
JA ϕ̈ + m g a sin(ϕ) = 0 −−→ JA ϕ̈ + m g a ϕ = 0
r ∗
r
r
r
mga
g
JA
l
ω0 =
=
T = 2π
= 2π
∗
JA
l
mga
g
J
J
J
A
M
S
l∗ =
=
=
+a
ma
mx
m·a
P
J =
J
bei mehreren Elementen: A P Ai
m = mi
JA = JS + m a2
JM = JS + m x2
Kuchling 131 Stöcker 103
Schwerpunkt berechnen
Kuchling 66 Stöcker 84
Perkussionszentrum
Trifft ein Schlag den Schwingungsmittelpunkt M
wirken keine Kräfte auf den Punkt A & umgekehrt
Minimale
r Schwingungsdauer
JS
∗
lmin
=2
wenn a = x = amin
m
P
P
r~i ∆mi
~
R= i
m = i ∆mi
m
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
l∗ = reduzierte Pendellänge
∗
∗
lA
= lM
~ = Ortsvektor des Schwerpunkts
R
r~i = Koordinate des i-ten Elements
∆mi = Masse des i-ten Elements
9. September 2013
Physik 3 - Formelsammlung
2.2
Seite 5 von 12
(2013-02-03, Commit : 5c3981c - gemäss Unterricht David Sourlier/HS2012)
Gedämpfte Schwingungen
Konstante Reibung
Kuchling 205 Stöcker 249
FR
mÿ + cy + FR = 0
FR = µ FN
∆A = 4
c
Masse bleibt stehen, wenn c · An < FR
∆A = Abnahme von A pro Periode [m]
FR = Reibkraft [N ]
N
]
c = Federkonstante [ m
D < 1: Schwingfall
m ÿ + b ẏ + c y = ÿ +
b
c
·ẏ +
·y = 0
m
m
|{z}
|{z}
2δ
m = Mitschwingende Masse [kg]
b = Dämpfungskonstante [ kg
s ]
N
c = Federkonstante [ m
]
Fd = Geschwindigkeits-proportionale
Dämpfungskraft
ω02
Fd = −bẏ
Ansatz abklingende Schwingung:
y(t) = Ae−δt sin(ωd t + ϕ0 )
ω0 = Eigen-Kreisfr. [ 1s ]
ωd = gedämpfte Kreisfr. [ 1s ]
ωr = Resonanzkreisfrequenz [ 1s ]
b
δ=
2m
r
c
m
r
p
√
c
2
ωd = ω0 1 − D =
− δ 2 = ω02 − δ 2
m
√
√
ωr = ω0 1 − 2 · D2 = ω0 2 − 2δ 2
ω0 =
Geschwindigkeitsprop.
Dämpfung
D=
δ
=q
ω0
Kuchling 205 Stöcker 250
Λ
2π
1+
T = Periodendauer [s]
A = Amplitude [1]
ϕ0 = Phasenwinkel [rad]
E = Energie [J]
Λ
(für kleine D)
≈
2
2π
Λ
δ = Abklingkostante [1/s]
D = Dämpfungsgrad [1]
2π
Ân
2πD
Ân
= ln
Λ = δT = √
= eδT
2
1
−
D
Â
Â
n+1
n+1
r
An+k
An+1
= k
An
An
At
A2
Et
= 2t
= eδ∆t
Et+∆t
At+∆t
At+∆t
D > 1: Kriechfall (keine Schwingung mehr)
Λ = logartihmisches Dekrement [1]
Ân = Amax zu Zeitpunkt tn [1]
Ân+1 = Amax zu Zeitpunkt tn + T [1]
Et = E zu Zeitpunkt t [J]
Et+∆t = E zu Zeitpunkt t + ∆t [J]
At = A zu Zeitpunkt t [1]
At+∆t = A zu Zeitpunkt t + ∆t [1]
y(t) = b1 eλ1 t + b2 eλ2 t
λ1 = −ω0 (D +
√
D2 − 1) λ2 = −ω0 (D −
√
D = 1: Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0 )
D2 − 1)
b1 & b2 durch Anfangsbedingungen
2
y = (b1 + b2 t) e−δt
2.3
Diverse Formeln
ω02 =
c
b
=
= δ2
m
4m2
2.4
Translation
Rotation
Diverses
x = Weg
ϕ = Weg
F =m·a
v = ẋ
ω = ϕ̇
F =m·α·r
a = v̇ = ẍ
α = ω̇ = ϕ̈
M = J · α = J · ϕ̈
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
Federn in Serie und Parallel
Parallel: c = c1 + c2
Serie: 1c = c11 + c12 −→ c =
c1 c2
c1 +c2
9. September 2013
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2.5
Seite 6 von 12
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Fremderregte Schwingungen
Kuchling 213 Stöcker 254
Die Erregungsschwingung ist jeweils das Störglied der DGL.
ω
ω0
r
c
ω0 = P
m
Dimensionslose Frequenz
η=
Allgemein
Eigenkreisfrequenz
ω = Erregerkreisfrequenz
sP
c
Federn parallel: ω0 = P
m
m ÿ + b ẏ + cy = c u0 sin(ωt)
|{z}
Differentialgleichung
F0
Kraft- / Federkrafterregung
Amplitude
A=
c u0
p
m (ω02 − ω 2 )2 + (2D ω0 ω)2
2D ω0 ω
ϕ = arctan
ω02 − ω 2
√
ωr = ω0 1 − 2D2 ωr < ωd < ω0
Phase zw. ω0 & ω
Resonanzkreisfrequenz
c · u0
u
p
√ 0
=
2
2D 1 − D
2m (δω0 )2 − δ 4
1
A(ω)
V =p
=
2
2
2
u0
(1 − η ) + (2Dη)
√
1
Vr = p
mit ηr = 1 − 2D2
1 − ηr4
Resonanzamplitude
Ar =
Vergrösserungsfunktion
Vergrösserung bei Resonanz
Überkritische Dämfpung, wenn D > √12 ⇒ Auch bei Resonanz
bleibt Amplitude stets unter statischer Auslenkung (V ≤ 1)
Unwuchterregung
F0 = m · ar = m ·
Differentialgleichung
m ÿ + b ẏ + c y = mR e ω 2 sin(ωt)
mR e ω 2
p
m (ω02 − ω 2 )2 + (2D ω0 ω)2
2D ω0 ω
ϕ = arctan
ω02 − ω
ω0
ωr = √
1 − 2D2
mR
e
√
Ar =
m 2D 1 − D2
Amplitude
A=
Phase zw. ω0 & ω
Resonanzkreisfrequenz
Resonanzamplitude
mR Rotormasse (bewegt)
e Exzentrizität (Distanz Achse↔SP)
F0 Kraft auf Fundament ohne Federung
FB0 verringerte Kraft
Kraftamplitude ohne Fed.
Kraftamplitude mit Fed.
Verhältnis
Indirekte Federkrafterregung
Differentialgleichung
F0 = mR e ω 2 sin(ωt)
p
mR e ω 2 1 + 4D2 η 2
FB0 = p
= F (η)
2 2
2 2
s(1 − η ) + 4D η
FB0
1 + 4D2 η 2
=
F0
(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
m ÿ + b ẏ + cy = c2 u0 sin(ωt)
Resonanzkreisfrequenz
c2
c u0
p
c m (ω02 − ω 2 )2 + (2D ω0 ω)2
2D ω0 ω
ϕ = arctan
ω02 − ω 2
√
ωr = ω0 1 − 2D2
Resonanzamplitude
Ar =
Amplitude
Phase zw. ω0 & ω
Vergrösserungsfunktion
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
v2
= m · r · ω 2 = mR · e · ω 2
r
F (t) = F0 · sin(ωt)
A=
u
√ 0
2D 1 − D2
c2
1
V =
·p
2
c
(1 − η )2 + (2Dη)2
9. September 2013
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Differentialgleichung
m ÿ + b ẏ + c y = c u0 sin(ωt) + b ω u0 cos(ωt)
m q̈ + b q̇ + c q = m ω 2 u0 sin(ωt)
Stützenerregung
Amplitude
Phase zw. ω0 & ω
Resonanzkreisfrequenz
Resonanzamplitude
Vergrösserungsfunktion
Dämpferregung
Differentialgleichung
m ÿ + b ẏ + c y = b ω u0 sin(ωt + π2 )
Amplitude
A=
Phase zw. ω0 & ω
2.6
Elektrische Schwingkreise
Diffgl:
Amplitude:
Phase:
Resonanzkreisfrequenz
ωr = ω0
→ max. bei η = 1
Resonanzamplitude
Ar = u0
→
Vergrösserungsfunktion
V =p
2Dη
(1 − η 2 )2 + (2Dη)2
Parallelschwingkreis
1
π
LI¨ + RS I˙ + I = ω U0 sin(ωt + )
C
2
ω U0
I0 = p 2
L (ω0 − ω 2 )2 + (2D ω0 ω)2
2D ω0 ω
π
ϕ = arctan
−
2
2
ω0 − ω
2
C Ü +
Resonanzamplitude:
I0r =
√
ωd = ω0 1 − D2
1
LC
U0
RS
V (η) = p
η2
(1 −
η 2 )2
+
(2D η)2
1
√
2D 1 − D2
2D η
ϕU = arctan
−π
1 − η2
r
RS C
D=
2
L
2.6.1
Güte
Q = 2π
E(t)
1
ω0
=
= Vm =
E(t) − E(t + T )
2D
∆ω
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
1
1
π
U̇ + U = ω I0 sin(ωt + )
RP
L
2
ω I0
p
(ω02 − ω 2 )2 + (2D ω0 ω)2
2D ω0 ω
π
ϕ = arctan
−
ω02 − ω 2
2
U0 =
C
ωr = ω0 = √
1
LC
U0r = I0 · RP
Max: Vm =
Dämpfungsgrad:
V (1) = 1
Serienschwingkreis
ωr = ω0 = √
Phasenverschiebung:
b ω u0
p
2
m (ω0 − ω 2 )2 + (2D ω0 ω)2
2D ω0 ω
π
ϕ = arctan
−
ω02 − ω 2
2
Kuchling 530 Stöcker 253
Resonanzfrequenz:
Vergrösserungsfunktion:
ω 2 u0
A= p 2
(ω0 − ω 2 )2 + (2D ω0 ω)2
2D ω0 ω
−π
ϕ = arctan
ω02 − ω 2
ω0
ωr = √
1 − 2D2
u
√ 0
Ar =
2D 1 − D2
η2
V =p
(1 − η 2 )2 + (2Dη)2
wobei
E=
V (η) = p
mit RP =
ω 2 L2
RS
1
(1 −
η 2 )2
+ (2D η)2
1
2D 1 − D2
2D η
ϕI = arctan
1 − η2
r
1
L
D=
2 RP C
Max: Vm =
√
C U2
L I2
L I02
L ω02 C 2 U02
C U02
+
=
=
=
2
2
2
2
2
9. September 2013
Physik 3 - Formelsammlung
3
3.1
Seite 8 von 12
(2013-02-03, Commit : 5c3981c - gemäss Unterricht David Sourlier/HS2012)
Wellen / Akustik
Kuchling 229 Stöcker 265
Definitionen räumlicher Elemtarwellen
Wellengleichung:
ξ¨ = u2 · ξ 00 (x)
ξ¨ = Zweite Ableitung nach der Zeit
ξ 00 = Zweite Ableitung nach dem Ort
Ebene harmonische Welle:
ξ(~r, t) = ξ0 sin(ωt − k~r + ϕ)
ξ(~r, t) = Auslenkung am Ort ~r zur Zeit t
ξ0 = Amplitude [1]
1
]
k = Wellenzahl [ m
~r = Ortsvektor [m]
ω = Kreisfrequenz [ 1s ]
ϕ = Phasenverschiebung [rad]
λ = Wellenlänge [m]
u = Wellengeschwindigkeit [ m
s ]
f = Frequenz [Hz]
T = Periodendauer [s]
ξ(~r, t) = ξ0 e−j(ωt−k~r)
Harmonische Kugelwelle:
ξ0
ξ(~r, t) =
sin(ωt − k|~r| + ϕ)
|~r|
ξ0 −j(ωt−k|~r|)
ξ(~r, t) =
e
|~r|
3.2
k=
3.3
Wichtige Beziehungen
ω
2π
=
u
λ
u=
ω
=λ·f
k
λ=
Wellengeschwindigkeit
2π
u
=
k
f
ω = 2πf =
2π
T
f=
ω
u
1
= =
2π
λ
T
T =
1
2π
=
f
ω
ϕ = ωt − k|~r|
Kuchling 233 Stöcker 267
Elastische Längs-/ Longitudinalwelle
r
E
u=
%
Elastische Quer-/ Transversalwelle
r
E
G
mit G =
u=
%
2(1 + µ)
Transversalwellen bei Saite oder Seil
r
r
πEA
F
F
=
+
u=
%A
%
% λ2
E: Elastizitätsmodul, ρ = Dichte
G: Schubmodul, µ = Poisson-Zahl
F : Spannkraft, E: Elastizitätsmodul
Schwerewellen in tiefem Wasser
r
gλ
u=
2π
Schwerewellen in flachem Wasser
√
u = gh
Kapillarwellen
r
2π σ
u=
%λ
(λ h)
(λ h)
σ: Oberflächenspannung
Schallwellen in Fluiden
r
1
u=
%κ
Schallwellen in Gasen
r
r
κp
κRT
u=
=
%
M
Elektromagnetische Wellen
c
u=
n
κ: Kompressibilität
p: Druck, M : Molmasse
n= Brechungsindex
MLuf t
3.4
κ: Adiabatenexponent
J
R = 8.3145
mol · K
kg
g
= 0.02883
= 28.83
mol
mol
Eigenschwingungen Allg. /Akustik
Allgemein
Eigenfrequenz:
Saiten
Grundfrequenz:
Pfeifen
Offen:
Gedeckt:
Membranen
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
Kuchling 334 Stöcker 294
1
u
=n·
Tn
2·l
r
r
F
1
1 σ
fn = n ·
=n·
2l % A
2l %
r
1
1 κRT
fn = n · uGas = n ·
2l
2l
M
r
2n − 1 κ R T
f(2n−1) =
4l
M
r r 2
1 F m
n2
fmn =
+
2
2 µ
a
b
fn =
T: C ◦ + 273, 15K
κLuf t = 1.4
Wellenlänge:
λn =
u
2·l
=
fn
n
λn =
2l
n
(n = 1, 2, 3, ...)
λn =
2l
n
(n = 1, 2, 3, ...)
λn =
4l
2n − 1
((2n − 1) = 1, 3, 5, ...)
m, n: Anz. Oberwellen und a, b: Länge/Breite
µ: Masse / Fläche; F : Spannkraft / Länge
9. September 2013
Physik 3 - Formelsammlung
3.5
Doppler-Effekt
Seite 9 von 12
(2013-02-03, Commit : 5c3981c - gemäss Unterricht David Sourlier/HS2012)
Kuchling 342 Stöcker 277
Bewegte Quelle, ruhender Beobachter
1
- auf Hörer zu
fB =
vQ fQ
+
von Hörer weg
1∓
u
1
fQ
fB =
vQ
cos(ϑQ )
1−
u
Ruhende & bewegte Punktquelle
Ruhende
Quelle,
bewegter Beobachter
vB fQ
+ auf Quelle zu
fB = 1 ±
u
vB
fB = 1 +
cos(ϑB ) fQ
u
Allgemein
u + vB cos(ϑB )
fQ
fB =
u − vQ cos(ϑQ )
Bewegte Punktquelle
Bewegter Beobachter
bewegte Quelle
fB gehörte Frequenz
fQ gesendete Frequenz
vB Geschwindigkeit Beobachter
vQ Geschwindigkeit Quelle
u Schallgeschwindigkeit
vrel Relativgeschwindigkeit zw. Q und B
ϑrel Winkel zwischen ~vrel und BQ
Optischer
p (transversaler) Dop.-Effekt
1 − β2
vrel
fB =
fQ
β=
1 − β cos ϑrel
c
~vrel = ~vB − ~vQ
&
Schwebungsfrequenz
∆f = |fEmpf angen − fGesendet |
3.6
Machscher Kegel
Kuchling 344 Stöcker 278
sin(ϑ) =
u
1
=
v
M
Machzahl: M =
3.8
v
u
3.7
Lichtwellen
1
Lichtgeschwindigkeit: c = √
µ0 · 0
r
1
0
Intensität: I = ·
· E0 2 in [W/m2 ]
2
µ0
Optische Länge
Durchqueren Wellen Medien, muss mit optischen Längen gerechnet werden.
3.9
3.9.1
Überlagerung / Interferenz
λ wird zu
λ
n
Kuchling 233, 235 Stöcker 272, 354
Interferenzbedingungen
Phase
Weg
Konstruktiv:
k0 (n · ∆x) = m 2π
n ∆x = m λ
Destruktiv:
k0 (n · ∆x) = (2m + 1)π
n ∆x = (2m + 1) λ2
Phasensprung:
3.10
s wird zu n s
Ein Phasensprung um π bzw.
(höheres n) statt.
λ
2
2π
= Wellenzahl im Vakuum
λ0
λ0 = Wellenlänge im Vakuum
n = Brechungsindex, Kuchling Tab 39, S.653
n · ∆x = optische Gangdifferenz
k0 =
findet bei Reflektion an einem härteren oder optisch dichterem Material
Remission/Transmission
Remission R =
f −1
f +2
2
mit f =
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
n1
n2
Transmission T = 1 − R
9. September 2013
Physik 3 - Formelsammlung
(2013-02-03, Commit : 5c3981c - gemäss Unterricht David Sourlier/HS2012)
3.11
Kuchling 348 Stöcker 287
Schallmessung
Welle:
ξ = ξ0 sin(ωt − kx)
ξ0 Schallausschlag
Schallschnelle:
v = v0 cos(ωt − kx)
→
Schall(wechsel)druck:
p̃ = ∆p0 cos(ωt − kx)
Druckamplitude:
∆p0 = Z · v0
Seite 10 von 12
[ξ]: m
v0
v = ξ˙ = ωξ0 cos(ωt − kx) →
= ξ0
ω
Schallimpedanz Z = % · u
∆p0
peff = √
2
1
1
∆p02
Schallintensität:
I = % v02 u = % ω 2 ξ02 u =
ξ0 Schallausschlag; % Dichte des Mediums
2
2
2·Z
I
Schallpegel [dB] :
LI = 10 · log
I0 = 10−12 W/m2
LI = Lp für Z=400kg/m2 s @ 20◦ C
I0
peff
∆p0
peff0 = 2 · 10−5 Pa
Schalldruckpegel:
Lp = 20 · log
= 20 · log √
peff0
2 · peff0
veff
Schallschnellenpegel:
Lv = 20 · log
veff0 = 5 · 10−8 m/s
veff0
P
Schallleistungspegel:
LP = 10 · log
P0 = 10−12 W
P0
R
Schallfluss:
~q = ~v · dA
A
r
r
r
1
κp
κRT
=
=
Wellengeschwindigkeit: u =
(Schallgeschwindigkeit) κ: Kompressibilität
%κ
%
M
|
{z
}
Effektivwert:
für Gase
⇒
∆V
= −κ · ∆p
V
(p · V = const @ Tconst bzw. p · V κ = const)
Lautstärke:
S = 20.1·(LS −40)
Ebene Welle
(z.B. Parabolspiegel) → konstantes I, keine geom. Dämpfung nur Luftdämpfung
LS = Lautstärkepegel [phon] = LP @ 1kHz, Hörschwelle 4phon
L2 = L1 − K · (r2 − r1 ) für d << r
Kugelwellen
:
(Punktquellen)
→
1
I2
r2
und
= 12
2
r
I1
r2
r2
L2 = L1 − 20 · log
− K · (r2 − r1 )
|
{z
}
r1
|
{z
} Luftdämpfung
I=
P
4πr2
→
I2 =
P
P
≈
= I1
2
4π(r + d)
4πr2
I =konstant
∼
mit K: Schalldämpfung [dB/m]
geom. Dämpfung
Zylinderwellen
:
(Linienquellen)
Schalldämmung:
P
I=
l 2πr
1
→ ∼
r
P1
R = 10 log
P2
⇒ L2 = L1 − 10 · log
r2
r1
− K · (r2 − r1 )
Phasensprung
um λ/2, π bei Reflexion während Übergang von gasförmig → fest
Infra-/Ultraschall
Infraschall < 16Hz...20kHz < Ultraschall ...10GHz < Hyperschall
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
9. September 2013
Physik 3 - Formelsammlung
3.12
3.12.1
(2013-02-03, Commit : 5c3981c - gemäss Unterricht David Sourlier/HS2012)
Seite 11 von 12
Wellenoptik
Prinzip von Huygens Kuchling 229
Jeder Punkt einer Welle ist Zentrum einer neuen Kugelwelle (sogenannte Huygens‘sche Elementarwelle). Die Wellenfront zu
einem späteren Zeitpunkt ist die Einhüllende dieser Huygens’schen Elementarwellen.
3.12.2
Beugung am Doppelspalt
3.12.3
Beugung am Einfachspalt
Minimum n-ter Ordnung
sin(ϕn ) · s = (2n + 1) · λ2
Maximum n-ter Ordnung
sin(ϕn ) · s = n · λ
Minimum n-ter Ordnung
sin(ϕn ) · s = n · λ
Maximum n-ter Ordnung
sin(ϕn ) · s = (2n + 1) · λ2
λ = Wellenlänge des Lichts
s = Spalt-Abstand
ϕn = Winkel n-ter Ordnung
n = 0,1,2,... = Ordnung
λ = Wellenlänge des Lichts
s = Spalt-Abstand
ϕn = Winkel n-ter Ordnung
n = 0,1,2,... = Ordnung
3.12.4
Beugung am Gitter
Hauptmaximum n-ter Ordnung
sin(ϕn ) · d = n · λ
Bedingungen für optimales optisches Gitter
1. Möglichst kleine Gitterkonstante d
λ = betrachtete Lichtwellenlänge
d = konstanter Spaltenabstand
ϕn = Maximumwinkel n-ter Ordnung
n = 0,1,2,... = Ordnung
Intentitäts-Verteilung Gitter
≈
Formfaktor
= Intensitätsverteilung Einzelspalt
≈
2. Möglichst grosse Gitter-Zahl z
3. Möglichst kleine Gitter-Breite s
×
Interferenzfunktion
= Intensitätsverteilung Doppelspalt
×
Dabei entsteht immer z-2 Neben-Maxima.
3.12.5
Babinet-Theorem
Komplemetäre Strukturen (also Negativ und Positiv) liefern gleiche Beugungsbilder
Braun & Co, J.Rast, S.Körner, C.Gwerder
9. September 2013
Physik 3 - Formelsammlung
4
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(2013-02-03, Commit : 5c3981c - gemäss Unterricht David Sourlier/HS2012)
Idiotenseite
4.1
SI-Vorsätze
Symbol
Name
Wert
da
Deka
h
Symbol
Name
Wert
101
d
Dezi
10−1
Hekto
102
c
Centi
10−2
k
Kilo
103
210 = 1024
m
Milli
10−3
M
Mega
106
220
y, µ
Mikro
10−6
G
Giga
109
230
n
Nano
10−9
T
Tera
1012
240
p
Piko
10−12
P
Peta
1015
250
f
Femto
10−15
4.2
Binär
Funktionswerte für Winkelargumente
deg rad sin
cos
tan
deg
rad
sin
cos
deg
0˚
1
0
90˚
0
180˚ π
√
π
2
1
√
120˚
2π
3
135˚
3π
4
3
2
√
2
2
150˚
5π
6
1
2
0
0
30˚
π
6
45˚
π
4
60˚
π
3
4.3
3
2
√
2
2
1
2
√
2
2
√
3
2
1
2
3
3
1
√
3
√
rad
− 12
√
210˚
7π
6
−
225˚
5π
4
240˚
4π
3
2
2
√
− 23
sin
cos
deg
rad
sin
cos
0
-1
270˚
3π
2
-1
0
− 23
√
− 22
300˚
5π
3
315˚
7π
4
− 23
√
− 22
− 12
330˚
11π
6
− 12
√
− 12
√
2
2
√
− 23
−
√
1
2
√
2
2
√
3
2
Periodizität
cos(a + k · 2π) = cos(a)
4.4
sin(a + k · 2π) = sin(a)
(k ∈ Z)
GrichischesAlphabet
4.4.1
klein
4.4.2
gross
α
Alpha
θ
Theta
o
o
τ
Tau
Γ
Gamma
Λ
Lambda
Σ
Sigma
Ψ
Psi
β
Beta
ϑ
Theta
π
Pi
υ
Ypsilon
∆
Delta
Ξ
Xi
Υ
Ypsilon
Ω
Omega
γ
Gamma
γ
Gamma
$
Pi
φ
Phi
Θ
Theta
Π
Pi
Φ
Phi
δ
Delta
κ
Kappa
ρ
Roh
ϕ
Phi
Epsilon
λ
Lambda
%
Roh
χ
Chi
ε
Epsilon
µ
Mu
σ
Sigma
ψ
Psi
ζ
Zeta
ν
Nu
ς
Sigma
ω
Omega
η
Eta
ξ
Xi
4.5
Volumen
Kugel
4
3
3 πr
Zylinder
πr2 · h
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9. September 2013