INTELLIGENTE SYSTEME

Aufgabe
Intensität
Egalisierung
INTELLIGENTE SYSTEME
Teil IV
Sommersemester 2017 — Teil Mustererkennung
Normierung
Geometrie
R
Geometrie
R
Σ
Prof. E.G. Schukat-Talamazzini
Stand: 6. März 2017
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Normierung des Musters
Muster/Objekte
vergleichbare Maßeinheiten
Wertebereich: Amplitudennormierung
Aufnahme
Aufgabenstellung
f
Vorverarbeitung
Wertebereich: Nichtparametrische Verfahren
Mathematische Hilfsmittel
Klassifikator
Arbeitsphase
Lernphase
Stichprobe
Definitionsbereich: Geometrische Normierung
Merkmale
Lernen der
Klassenbereiche
Ziele
• Abstrahieren von irrelevanten
Eigenschaften
• Reduktion von Mustervariabilität
• Ähnlichkeit von Objekten gleicher
Klasse (symb. Beschreibung)
Ωκ
Transformation
Setze „unproduktive“
Musterparameter auf
einen Standardwert.
Annahme
Das Muster stellt ein
Objekt der
physikalischen Welt mit
— prinzipiell
abgrenzbaren —
raum-zeitlichen
Umrissen dar.
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Wertebereichsnormierung — Definitionsbereichsnormierung
Verarbeitungssequenz zur Normierung eines Parameters
Dauer, Ausdehnung, Fläche,
Volumen
Lage
Translation, Drehung,
Neigung
sonstige ...
Strichstärke, Stimmhöhe,
Beleuchtung, ...
Intensität
A
A A A
A
A
A
3. Transformiere das Muster (das Objekt), so daß der resultierende
Objektparameter den Standardwert annimmt.
Problem
• Verfahren zur Objektsegmentierung?
• Drehlage von ’6’ und ’9’
• Größe von ’s’ und ’S’
Egalisierung
Apostroph
Schrägstrich
Geometrie
• Geeignete Standardisierungstransformation?
• Muster besteht aus mehreren Objekten (Wort, Zeile).
• Normierung unterschiedlicher Parameter kollidiert!
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Wertebereichsnormierung (1./2. Momente)
Gemeinsame Transformation aller Werte [fn ]
Aufgabenstellung
Mittelwertfreiheit
f =
Wertebereich: Amplitudennormierung
Wertebereich: Nichtparametrische Verfahren
N
1 X
fn
N n=1
h = f −f
h=0
h = f /sf
sh2 = 1
Energie / Intensität
Definitionsbereich: Geometrische Normierung
Mathematische Hilfsmittel
Σ
2. Berechne den originalen Objektparameter.
Vorsicht:
• Größe von
R
1. Extrahiere das zu normierende Objekt aus dem Muster.
A
A
Größe
A
A
A
Lautstärke, Helligkeit,
Kontrast
A
A
Wie wird normiert?
A
Was wird normiert?
Intensität
Aufgabe
R
Geometrie
sf2
N
1 X 2
=
fn
N n=1
Standardnormalverteilung
σf2 =
N
1 X
(fn −f )2
N n=1
h =
f −f
σf
[hn ] ∼ N (0, 1)
N (0, 1)-normierte fn sind invariant gegen lineare Transformationen
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Wertebereichsnormierung (Summe, Extrema)
Wertebereichsnormierung
Gemeinsame Transformation aller Werte [fn ]
250 Beispieldatenpunkte (N (0, 3)-Irrfahrt)
Energie = 1
N(0,1)−Standardnormal
200
250
0
100
150
200
250
0
50
100
150
200
Summe = 1
Intervall [fmin,fmax]
4−Standard−Intervall
250
0.8
0.8
1.0
Index
0.6
Amplitude
µ+σ
µ+σ
µ
0.4
µ
0.4
µ+σ
0.6
Amplitude
µ+σ
µ+σ
0.2
Amplitude
50
0.2
0.0
0
50
100
150
200
250
0
50
100
Index
Egalisierung
µ+σ
Index
0.000
1
fn − f +
=
2
2 · C σf hn ∈[0,1]
Intensität
150
µ
Index
µ
C = 2 oder C = 3 oder C = 4
Aufgabe
100
µ+σ
Statistisches Einheitsintervall [0, 1]
hn
50
0.008
fn − fmin
fmax − fmin
0.004
hn =
0
µ+σ
−3
0
−1
−20
Umschließendes Einheitsintervall [0, 1]
1
µ+σ
Amplitude
µ
−2
µ+σ
0
2
5
3
µ+σ
−10
√
entspricht einer Energienormierung der [gn ] mit gn = fn
µ
2
n=1
µ+σ
Amplitude
Sh = 1
1
4
20
h = f /Sf
10
fn
0
N
X
Amplitude
Sf =
Σ
3
Mittelwert = 0
−1
Einheitssumme (fn ≥ 0)
R
Geometrie
Geometrie
R
Σ
Aufgabe
150
200
250
0
Index
Intensität
50
100
150
200
250
Index
Egalisierung
Geometrie
Egalisierung des Grauwerthistogramms
MIKROSKOPISCHE BODENPROBE IN ACRYL
16000
Aufgabenstellung
Die gescannte
Bodenprobe ist
unterbelichtet; nur ein
kleiner Teil des
Grauwertintervalls [0, 255]
ist mit Bildrasterpunkten
besetzt.
14000
Absolute H ufigkeit
12000
Wertebereich: Amplitudennormierung
10000
8000
6000
4000
2000
0
Wertebereich: Nichtparametrische Verfahren
0
20
40
60
80
100
Grauwertstufe
120
140
160
180
Problem
Definitionsbereich: Geometrische Normierung
Gesucht ist eine monotone und surjektive Grauwerttransformation
sur
τ : {0, . . . , L − 1}−→{0, . . . , L − 1}
Mathematische Hilfsmittel
die das Histogramm des transformierten Bildes
[hnm ] mit
möglichst gleichförmig macht.
hnm = τ (fnm )
(∀n, m)
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
R
Σ
Beweis.
Egalisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Gleichförmige Dichte
=
ˆ
Wir haben zu zeigen, daß Y eine gleichförmige, also konstante, Verteilungsdichte
besitzt.
lineare kumulative Verteilung
Wir zeigen dafür, daß die kumulative Verteilungsfunktion eine Gerade (genauer: die
Identität) ist.
F( γ )
kumulative Verteilung
Als Ableitung der kumulativen Verteilung muß die Dichtefunktion dann konstant sein.
P(Y ≤ η)
γ
Grauwerte
Satz (Kanonische Gleichverteilung)
(1)
P(F (X) ≤ F (ξη ))
(2)
=
P(X ≤ ξη )
(3)
=
F (ξη )
(4)
=
η
(5)
1. Definition von Y.
2. Ein ξ mit F (ξ) = η existiert, da F stetig ist.
3. Gleiche Ereignismenge, da F streng monoton ist.
Ist die Funktion F : IR → [0, 1] stetig und streng monoton, so ist die
Zufallsvariable Y := F (X) gleichverteilt im Intervall [0, 1].
Intensität
P(F (X) ≤ η)
=
Die einzelnen Schritte gelten aus folgenden Gründen:
Sei F (ξ) = PX (ξ) = P(X ≤ ξ) die Verteilungsfunktion einer
Zufallsvariablen X.
Aufgabe
=
Egalisierung
Geometrie
Verfahren zur Grauwertegalisierung
4. Definition von F .
5. Definition von ξη (siehe (2)).
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Grauwertegalisierung
Beispiel Bodenprobe in Acryl — Bilder und Grauwerthistogramme
hAlgorithmusi
1
Berechne für [fnm ] das relative Grauwerthistogramm [q` ].
2
Bestimme daraus das kumulative Grauwerthistogramm
def
q Σ (γ) =
γ
X
q`
`=0
3
Transformiere alle Bildpunkte:
hnm = (L − 1) · q Σ (fnm )
Dabei sei [0, L − 1], L = 2b , der quantisierungsbedingte
Grauindexbereich.
isumhtiroglAh
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
R
Geometrie
R
Σ
Grauwertegalisierung
Informationsgehalt 6= Naturtreue
Aufgabenstellung
Wertebereich: Amplitudennormierung
Wertebereich: Nichtparametrische Verfahren
Definitionsbereich: Geometrische Normierung
Mathematische Hilfsmittel
Flughafen Tripolis
Aufgabe
AFC-Militärfahrzeug
Intensität
Rattenmuskelfaser
Egalisierung
SAR-Satellit
Geometrie
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrische Normierung
Neuabtastung eines Musters
Transformation der Musterkoordinaten
„Umrastern“ · 1D: von N auf N 0 Abtastwerte
Beispiel Handschriftnormierung
Drehung — Neigung — Größe — Liniendicke
Rekonstruktionsformel des Abtastsatzes
1. Parameterbestimmung
Abmessung (H/B/L), Dauer, Winkel, Flächeninhalt berechnen.
2. Koordinatentransformation
Abbildungsvorschrift in Abhängigkeit vom Normierungsparameter:
0
x
x
0
0
h(x , y ) = f (x, y )
und
tgeo :
7→
y
y0
„alte“ versus „neue“ Abtastwerte (Umrastern)
f (x) =
+∞
X
fj ·
j=−∞
sin(2πB(x − j∆x))
2πB(x − j∆x)
Näherungsformel: lineare Interpolation
f (x) = fn + (fn+1 − fn ) ·
x − n∆x
,
∆x
x ∈ [n∆x, (n + 1)∆x]
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
R
Σ
Intensität
Egalisierung
R
Geometrie
Objektumfassung
Ordinatenprojektionen
Umschreibendes Rechteck hxu , yu , xo , yo i
Relative zeilenweise & spaltenweise Grauwertkonzentration
A A
Σ
A
Binarisierung: [fnm ] 7→ Mf
Vertikalprojektion
xu /xo
=
min / max{n | ∃m : (n, m) ∈ Mf }
yu /yo
=
min / max{m | ∃n : (n, m) ∈ Mf }
fmY =
xu /xo = xs ∓ 3σx
Bemerkung
· Was wenn das binarisierte Bild Störungen des Hintergrundes enthält?
· Was wenn die Bildzeilen/spalten asymmetrische Grauverläufe aufweisen?
· Was wenn die Grauwertzeilen/spalten „unglockenförmig“ aussehen?
Egalisierung
fnX =
fnm
X
fnm
m
Schwellwertentscheidung
yu /yo = ys ∓ 3σy
Intensität
X
Horizontalprojektion
n
Geometrische Momente: 3σ-Umfassung
Aufgabe
Aufgabe
Geometrie
xu = min{n | fnX ≥ θ}
xo = max{n | fnX ≥ θ}
yu = min{n | fnY ≥ θ}
yo = max{n | fnY ≥ θ}
Für den (optimalen) Schwellwert θ gibt es leider keine „Naturkonstante“!
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Quantilkriterium
Iterierte Ordinatenprojektion
Das Objekt ist da, wo 1 − δ = 95% der Tinte verbraten wird ...
Layouterkennung bei der optischen Dokumentenanalyse (ODA)
Quantil-Entscheidung (δ > 0)
y
xu = Qδ ([fnX ])
xo = Q1−δ ([fnX ])
yu = Qδ ([fnY ])
yo = Q1−δ ([fnY ])
Definition
R
Geometrie
Σ
y
x
x
Der q-Quantil einer kumulativen Verteilungsdichte F (ξ) = P(X ≤ ξ) ist definiert als
Qq (F ) = F −1 (q) = min{ξ | F (ξ) ≥ q}
Der q-Quantil einer diskreten Verteilung [pk ] ist definiert als
Qq ([pk ]) = min{j0 |
j0
X
pj ≥ q}
j=1
Der q-Quantil einer diskreten positiven Zahlenfolge [rk ] ist definiert als der q-Quantil
der normierten Folge [rk0 ] mit rk0 = rk/P rj .
j
Absender
Iteriertes Auswerten vertikaler
& horizontaler Bildprojektionen
Spalten · Textblöcke · Zeilen ·
Wörter
Post−
wert−
zeichen
Adressatenname
Straße & Hausnummer
PLZ
Ortsname
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Koordinatentransformation
Egalisierung
1. Bestimmung der Normierungsfaktoren α, β, rx , ry
(α = 0◦ ± δ)
Winkelprojektionen f α
2. Transformation der Bildebenenkoordinaten T : (x, y ) 7→ (x 0 , y 0 )
α
Für alle |α| ≤ δmax berechne:
Größe
α
Z
+∞
y
f (ξ, y + ξ tan α) dξ
f (y ) =
Anisotrope
Skalierungsoperation
β
Σ
Schiefewinkelbestimmung
Winkelprojektionsverfahren
α
R
Geometrie
−∞
0 x
x/rx
=
y0
y /ry
ξ
Kontrastkriterium
Wähle α∗ mit maximalem Kontrast:
Neigung
Schiefe
Drehung
Horizontale
Scherungsoperation
Vertikale
Scherungsoperation
Rotationsmatrix mit
Winkel α
0 x
x − y · cot β
=
y0
y
0 x
x
=
0
y
y − x · tan α
0 x cos α + y sin α
x
=
y0
y cos α − x sin α
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Kontrast([fmα ])
=
kf
α p
kp
=
α = 10°
M
X
|fmα |p
Kontrast([fmα ])
=
−H([fmα ]) =
M
X
fmα · log2 fmα
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
(β = α − 90◦ = 0◦ ± δ)
Originalbild mit geneigter Schrift
(binarisiert)
Aufgabenstellung
Akkumulatorebene mit den
Punktdichten (x, β)
Wertebereich: Amplitudennormierung
nach horizontaler Scherung
aufgerichtetes Schriftbild
Wertebereich: Nichtparametrische Verfahren
hAlgorithmusi
1
Binarisiere das Grauwertbild.
2
Invertiere das Binärbild.
3
Projektion der weißen Tinte
(kleine Winkel vertikaler Ausrichtung)
4
Wähle β mit maximaler Anzahl „weißer“ f α (x)-Werte.
Definitionsbereich: Geometrische Normierung
Mathematische Hilfsmittel
isumhtiroglAh
α = −10
°
m=1
Neigungswinkelbestimmung
Modifizierte Winkelprojektion
α = 0°
m=1
Geometrie
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
R
Geometrie
Σ
Aufgabe
Intensität
Zufallsvariable eines Wahrscheinlichkeitsraumes
Egalisierung
Geometrie
R
Σ
Diskrete Zufallsvariable
und ihre kumulative Verteilungsfunktion
Definition
Eine Zufallsvariable X heißt diskret, falls der Wertebereich von X
abzählbar ist.
Definition
Sei (f, E, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Abbildung
X : f → IR
Bemerkung
In diesem Falle gilt dann
heißt Zufallsvariable genau dann wenn gilt:
f =
Ar = {ε ∈ f | X(ε) ≤ r } ∈ E
für alle r ∈ IR
[
{ε | X(ε) = xn } =
n∈IN
{X = xn }
n∈IN
für den abzählbaren Wertebereich {x1 , x2 , x3 , . . .} sowie auch P(f) = 1.
Für die Wahrscheinlichkeit P(X = xn ) schreiben wir auch kürzer pn .
Definition
Definition
Die Abbildung
FX :
→
7
→
IR
r
[0, 1]
P(Ar )
,
Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich {xn |n ∈ IN}, dann
heißt

 IR → [0,
1]
P(X = xn )
(∃n) x = xn
pX :
7→
 x
0
sonst
Ar = {ε ∈ f | X(ε) ≤ r }
heißt kumulative Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Für P(Ar )
schreiben wir üblicherweise
P(X ≤ r ).
Aufgabe
[
Intensität
Egalisierung
diskrete Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von X. Die Werte xn heißen
Massenpunkte von X.
R
Geometrie
Σ
Stetige Zufallsvariable
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichtefunktion
Die Dichte ist die Ableitung der Verteilung
Definition
Eine Zufallsvariable X heißt kontinuierlich, falls der Wertebereich von X
nicht abzählbar ist.
Bemerkung
2. Wir betrachten daher stattdessen die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X in einem
endlichen Intervall [a, b] oder einem unendlichen Anfangsstück (−∞, r ] von IR
liegt.
1
f(x)
so heißt die Funktion fX : IR → IR die Wahrscheinlichkeitsdichte der
stetigen Zufallsvariable X.
Lemma
Für eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion fX und der
Verteilungsfunktion FX gilt für alle a, b ∈ IR mit a < b die Aussage
f(x)
F(x)
Ist X eine (kontinuierliche) Zufallsvariable mit der Eigenschaft
Z r
FX (r ) = P(X ≤ r ) =
fX (ξ)dξ für alle r ∈ IR
−∞
1. Für eine kontinuierliche Zufallsvariable X sei die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
sie einen bestimmten Wert x ∈ IR annimmt, gleich 0.
F(x)
Definition
F(x)
Z
x1
x2 x3
x4
x
r
x
kontinuierliche (stetige) Zufallsvariable
a
b
x
P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a) =
b
fX (ξ)dξ .
a
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Erwartungswerte
(Zentrale) Momente einer Verteilung
Zufallsvariable · Funktion einer Zufallsvariablen
Mittel und (quadratische) Standardabweichung ( Varianz)
R
Σ
Definition
Für eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion fX bezeichnen
wir
Z +∞
µX = E[X] =
x · fX (x)dx
Definition
Für eine Funktion g : IR → IR ist mit X auch g (X) eine Zufallsvariable.
Die Summe bzw. das Integral
X
E[g (X)] =
g (xn ) · P(X = xn )
−∞
als den Erwartungswert der Zufallsvariablen X selbst,
Z +∞
2
2
Var[X] = σX = E[(X − µX ) ] =
(x − µX )2 · fX (x) dx
n
Z
E[g (X)]
+∞
=
−∞
g (x) · fX (x)dx
−∞
als die Varianz (Streuung, Dispersion), σX als die Standardabweichung
und
E[XN ] bzw. E[(X − µX )N ]
heißt — im Falle der Konvergenz — der Erwartungwert der Zufallsgröße
g (X).
als das (zentrale) N-te Moment von X.
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Eigenschaften der Verteilungsmomente
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Ungleichungen für Wahrscheinlichkeiten
Verteilungsunabhängige Abschätzungen
Satz (Tschebyscheff-Ungleichung)
Ist die Abbildung g : IR → IR nichtnegativ, so gilt für jedes λ > 0:
Lemma
Für die Erwartungswerte von Funktionen diskreter oder stetiger
Zufallsvariablen gelten die Aussagen:
P(g (X) ≥ λ) ≤
E[g (X)]
λ
Im Falle endlicher Varianz von X gilt die bekannte Form:
1. Für alle a ∈ IR ist E[a] = a.
P(|X − µX | ≥ c · σX ) ≤
2. Homogenität: E[a · g (X)] = a · E[g (X)]
3. Additivität:
E[g1 (X) + g2 (X)] = E[g1 (X)] + E[g2 (X)]
4. Monotonie:
g1 (x) ≤ g2 (x) ⇒
E[g1 (X)] ≤ E[g2 (X)]
5. Falls E[X2 ] existiert, so gilt Var[X] = E[X2 ] − E[X]2
1
c2
Satz (Jensen-Ungleichung)
Für eine Zufallsvariable X und eine konvexe Abbildung g : IR → IR gilt:
E[g (X)] ≥ g (E[X])
Folgerung
Weil bekanntlich g (x) = x 2 konvex (g 00 ≥ 0) ist, folgt
Var[X] = E[X2 ] − E[X]2 ≥ 0 .
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Zufallsvektoren
Momente multivariater Verteilungen
Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix
R
Σ
Definition
Für einen stetigen Vektor X von Zufallsvariablen X1 , . . . , XD mit der
multivariaten Verteilungsdichte fX definieren wir
Z
µX = E[X] =
x · fX (x) dx
Definition
Ist X ein Vektor von Zufallsvariablen X1 , . . . , XD , so heißt
FX (x) = FX (x1 , . . . , xD ) = P(X1 ≤ x1 , . . . , XD ≤ xD )
IRD
als den Erwartungswertvektor und

σX1 X1

..
SX = 
.
σXD X1
die multivariate Verteilungsfunktion von X.
D
Sie heißt stetig, falls eine Funktion fX : IR → IR existiert mit der
Eigenschaft
Z x1
Z xD
FX (x1 , . . . , xD ) =
···
fX (x1 , . . . , xD ) dx1 . . . dxD
−∞
als die Kovarianzmatrix von X. Dabei bezeichne für alle j = 1, . . . , D:
σXi Xj
=
=
Cov[Xi , Xj ] = E[(Xi − µXi )(Xj − µXj )]
Z Z
(xi − µXi )(xj − µXj ) · fXi Xj (xi , xj ) dxi dxj
IR
Intensität

σX1 XD

..

.
σXD XD
−∞
fX heißt dann multivariate Verteilungsdichte von X.
Aufgabe
...
..
.
...
Egalisierung
Geometrie
Statistische Unabhängigkeit
Statistische Unkorreliertheit
R
Σ
Aufgabe
IR
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Unabhängigkeit & Unkorreliertheit
Einige wichtige Eigenschaften
1. Aus der Unabhängigkeit folgt die Unkorreliertheit.
Definition
2. Aus der Unkorreliertheit folgt i.a. nicht die Unabhängigkeit.
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , XD heißen unabhängig, wenn gilt
D
Y
fX (x1 , . . . , xD ) =
fXd (xd ) = fX1 (x1 ) · . . . · fXD (xD )
d=1
Die Zufallsvariablen heißen unkorreliert, wenn gilt
E[
D
Y
d=1
Xd ] =
D
Y
d=1
E[Xd ]
3. Zwei Zufallsvariablen X, Y sind unkorreliert, wenn E[XY] = µX µY
gilt, also gdw. gilt Cov[X, Y] = 0.
4. Sind die Zufallsvariablen X1 , . . . , XD unabhängig, so sind sie auch
paarweise unabhängig und natürlich auch paarweise unkorreliert.
Folglich gilt für ihre Kovarianzmatrix
 2

σX 1
0 ...
0
 0 σX2
...
0 
2


2
2
S X = diag(σX1 , . . . , σXD ) =  .
.. 
.
.
.
 .
.
...
. 
0
0 . . . σX2 D
mit σX2 d = σXd Xd , d = 1, . . . , D.
R
Σ
Aufgabe
Intensität
Egalisierung
Geometrie
Zusammenfassung (4)
1. Die Normierung dient der Reduktion der Mustervariabilität.
2. Bestimmte Kennzeichnungsparameter des Musters werden auf einen
Standardwert gesetzt, z.B. 0 oder 1.
3. Die Amplitudenwerte des Musters werden hinsichtlich Mittelwert,
Summe, Streuung, Min/Max o.ä. normiert.
4. Die Egalisierung ist eine nichtlineare Transformation und erzwingt die
Gleichverteilung der Amplitudenwerte.
5. Eine geometrische Normierung erfordert das (rechnerische) Umrastern
des Originalmusters.
6. Zur Größen-, Lage- oder Dauernormierung sind die Objektgrenzen zu
bestimmen, z.B. durch Ordinatenprojektionen.
7. Zum Normieren der Orientierung (Drehung, Schiefe, Neigung) ist ein
Rotationswinkel zu schätzen, z.B. durch Kontrastmaximierung
ausgewählter Winkelprojektionen.
R
Σ