Elektromagnetische Wellen Σ 60 - Ruhr

Laufende Nr.:
Matrikel-Nr.
Seite:1
Ruhr-Universität Bochum
Lehrstuhl für Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.-Ing. H. Ermert
Prüfungsklausur und Leistungstest im Fach
Elektromagnetische Wellen
Σ 60
Prüfungsperiode Herbst 1997
Datum:
04.09.1997
Uhrzeit:
9:00-12:00
Bitte die folgenden Hinweise beachten:
1. Dauer der Prüfungsklausur: 180 Minuten
2. Die Aufgabenblätter enthalten auf 9 Seiten 11 Aufgaben.
Bitte auf Vollständigkeit überprüfen!
3. Bitte laufende Nr. (oben links auf der ersten Seite des Mantelbogens) und Matrikel-Nr. auf jedes
dieser Blätter eintragen!
4. Aufgabentypen:
a) Mehrere Lösungen werden vorgeschlagen. Es können eine oder mehrere davon richtig sein. Die
Aufgabe wird nur dann als richtig bewertet, wenn genau alle richtigen Lösungen angekreuzt sind.
b) Das Ergebnis (Zahlenwert, Ausdruck oder Begründung) ist in die umrahmten Felder einzutragen.
Ansätze, Nebenrechnungen und nicht abgefragte Zwischenergebnisse werden nicht mitbewertet.
5. Bitte die Aufgabenblätter nicht beschreiben. Für Nebenrechnungen wird zusätzlich Papier
ausgegeben.
6. Bitte nur diese Aufgabenblätter am Ende der Bearbeitungszeit abgeben!
7. Die Klausurergebnisse werden gemeinsam mit den Terminen für die mündlichen
Ergänzungsprüfungen am Schwarzen Brett des Lehrstuhls ausgehängt.
Aufgabe 1
v
v
v
v
v
v
a) Für ein Medium gelten die Zusammenhänge D = ε 0 (2 E x ex + E y e y + E z ez ) und B = µ 0 H .
Welche der folgenden Aussagen treffen für das Medium zu?
Das Medium ist isotrop.
Das Medium ist linear.
Das Medium ist homogen.
Keine der obigen Aussagen trifft zu.
¨
¨
¨
¨
1
b) Für ein anderes Medium gelte der folgende Zusammenhang:
v
v
rot H = ( k1 + jω )ε 0 E ,
k1 : beliebige positiv relle Konstante
Welche der folgenden Aussagen treffen für dieses Medium zu?
Das Medium ist isotrop.
Das Medium ist linear.
Das Medium ist homogen.
Das Medium ist verlustfrei.
Keine der obigen Aussagen trifft zu.
¨
¨
¨
¨
¨
1
Σ S. 1
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Aufgabe 2
Bei dielektrischen Materialien sind der Real- und der Imaginärteil der Dielektrizitätszahl ε (ω)
nicht unabhängig voneinander.
a) Durch welche Beziehung wird dieses Verhalten beschrieben?
(Stichwort)
1
b) Was ist die physikalische Ursache für dieses Verhalten?
2
Aufgabe 3
Zur Lösung der Maxwell´schen-Gleichungen in einem durch
v die Materialparameter ε und µ
charakterisierten quellenfreien Gebiet werden die Potentiale A′ und Φ′ wie folgt eingeführt:
v
v
H = j rot A′
v
v
E = grad Φ ′ + ω µ A′
v
Geben Sie an, unter welcher Bedingung für A′ und Φ′ die Maxwell´schen-Gleichungen in das
Wellengleichungssystem
v
v
 A′ 
2  A′ 
∆  + k   = 0
′
Φ 
Φ ′ 
überführt werden können.
r
v
v
Hinweis: rot rot V = grad div V − ∆V
v
div A′+ jω µ ε Φ ′ = 0
v
div A′− jω µ ε Φ ′ = 0
v
div A′+µ ε ω Φ′ = 0
v
div A′−µ ε ω Φ′ = 0
v
div A′+
v ω ε Φ′ = 0
div A′−ω ε Φ ′ = 0
keine der obigen Bedingungen
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
3
Σ S. 2
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Aufgabe 4
a) Zur Lösung der entkoppelten
Wellengleichungen läßt sich die Löv v
sung für das Vektorpotential A(r )
v v
bei eingeprägter Stromdichte J (r ')
(Koordinatensystem siehe Skizze)
angeben. Wie lautet diese Lösung
für die Phasoren?
v v
µ
A (r ) =
4π
2
Es sei nun die folgende eingeprägte Linienstromdichte gegeben:
v
 2z   π z  v
J = I 0 δ( x ) δ( y ) rect   cos  ez ,
 L0   L0 
mit
 1
u <1

rect ( u) =  0 für u > 1
1 / 2
u =1

b) Berechnen Sie mit den Näherungen
v v
v
r −r′ ≈ r = r
und
v v
e − jk r −r ′ ≈ e − jkr
v v
das Vektorpotential A( r ) der Anordnung
v v
A( r ) =
3
Σ S. 3
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Im folgenden gelte:
v v
e− j k r
A(r ) = C
r
( evr cos ϑ − evϑ sin ϑ) .
v
c) Bestimmen Sie mit diesem Vektorpotential die ϕ -Komponente des H -Feldes im Fernfeld
der Anordnung.
v 1 ∂
∂A 
v
Hinweis: eϕ ⋅ rot A =  ( rAϑ ) − r 
r  ∂r
∂ϑ 
v
Hϕ ( r ) =
3
d) Welche Richtung (Kugelkoordinaten) hat der Poynting-Vektor in der obigen Anordnung,
1
wenn man für diesen nur Terme der Ordnung 2 berücksichtigt?
r
v
n=
2
Aufgabe 5
Eine rechtszirkular polarisierte homogene ebene Welle der Frequenz ω 0 hat zum Zeitpunkt
v
t = 0 in r = 0 die elektrische Feldstärke
v v
v
v V
E
~ ( r = 0, t = 0) = ( 2 e x + 2 e y ) m .
Die Welle breitet sich im Vakuum in positiver z-Richtung aus. Geben Sie die elektrische Feldstärke und die magnetische Feldstärke im gesamten Raum in kartesischen Koordinaten an.
v
E
~ ( x , y , z, t ) =
v
H
~ ( x, y, z, t ) =
3
Σ S. 4
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Aufgabe 6
a) Eine zirkular polarisierte homogene ebene Welle breitet sich im Vakuum aus. Der zeitliche
Mittelwert des Poynting-Vektors beträgt
v
v
v
S~ (t ) = ( 95 ex + 125 ez )Wm -2 .
Berechnen Sie den maximalen Betrag des zeitlichen Verlaufes der elektrischen Feldstärke
sowie den minimalen Betrag des zeitlichen Verlaufes der magnetischen Feldstärke im
Koordinatenursprung!
v v

(r = 0, t )  =
max  E
~


 v v

(
)
min  H
r
=
,
t
0
=
~

2
b) Die zirkular polarisierte
homogene ebene Welle
gemäß a) fällt auf einen
Halbraum 2: z > 0 mit εr2 =
2. Berechnen Sie den
v
Wellenzahlvektor k 2 der
transmittierten
Halbraum 2.
Welle
im
v
k2 =
k0
3
v v
c) Berechnen Sie den Minimal- und den Maximalwert der elektrischen Feldstärke E2 (r , t ) im
~
Halbraum 2.
 v v 
min  E2 (r , t )  =
~


 v v 
max  E2 (r , t )  =
 ~

3
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Aufgabe 7
Zwei Halbräume sind durch die Ebene z = 0 voneinander getrennt. Im Halbraum 2 ( z > 0) breitet sich eine
elektromagnetische Welle mit der elektrischen Feldv v
stärke E 2 ( r ) aus:
(
)
v v
v v
v
v
E 2 ( r ) = E 0 e z − 3 e y e − j k2 r
v v
Der Phasor E1( r ) der elektrischen Feldstärke im Halbraum 1 ( z < 0) beschreibt eine homogene ebene Welle:
v v
v v
v
E1 (r ) = E10 e − j k1 r
Für die Komponenten der elektrischen Feldstärke und für die Wellenzahl gilt:
E1x = E2 x = 0 , k1x = k 2 x = 0 , k 2 z > 0 , k1z > 0
Hinweis: Eine Reflexion findet am Übergang von Medium 1 zu Medium 2 nicht statt.
v v
v
a) Geben Sie den Ausbreitungsnormalenvektor n2 ( k 2 = k 2 n2 ) an.
v
n2 =
2
v v
v
b) Geben Sie den Ausbreitungsnormalenvektor n1 ( k1 = k1n1 ) an:
v
n1 =
2
c) Geben Sie ε r2 an.
ε r2 =
2
v
d) Geben Sie E10 im kartesischen Koordinatensystem an.
v
E10 =
3
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Aufgabe 8
In einer in z-Richtung unendlich ausgedehnten Wellenleitung breitet sich eine monofrequente
TEM-Welle aus. Die Leiterwände sind ideal, die Leitung besitzt ein homogenes
verlustbehaftetes Dielektrikum. Es werden die folgenden Größen gemessen:
• der Betrag der Spannung in Abhängigkeit von z: U ( z ) :
• der Realteil des Produktes von Strom und Spannung, wobei der Strom an der Stelle z =−ζ/2
und die Spannung an der Stelle z =+ζ/2 entnommen wurde, in Abhängigkeit vom Abstand ζ
der Meßpunkte:
 ζ
 ζ
~
P ( ζ) = Re U   I *  −  :
 2
 2
a) Geben Sie das Ausbreitungsmaß γ an!
γ=
3
b) Berechnen Sie den Leitungswellenwiderstand ZL nach Betrag und Phase
ZL =
2
arg Z L =
2
Σ S. 7
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c) Kann α mit Hilfe der Verlustleistungsmethode berechnet werden ? (Keine Bewertung ohne
Begründung!)
ja ¨
nein ¨
Begründung:
2
Aufgabe 9
Entwerfen Sie einen mit Luft gefüllten Rechteckhohlleiter so,
daß im Frequenzbereich
0,7 f0 < f < 1,3 f0 ,
f0 = 3 GHz
nur der Wellentyp H10 ausbreitungsfähig ist. Wählen Sie den
kleinstmöglichen Wert für die Breite a und den größtmöglichen
Wert für die Höhe b.
a=
cm
2
b=
cm
2
Aufgabe 10
a) Ein Lichtwellenleiter („Multimode“-Typ) mit Stufenprofil besteht aus einem Kern mit der
Brechzahl n1=1,520 und einem Mantel mit der Brechzahl n2 und ist in z-Richtung
ausgerichtet. Alle Teilstrahlen, die mit einem Winkel kleiner als 8° zur z-Achse einfallen,
werden ohne Verluste geführt. Wie groß ist die Brechzahl des Mantels n2?
Hinweis: Brechzahl n = k / k 0 = ε r
n2 =
2
b) Für die optische Signalübertragung stehen zwei Lichtwellenleiter zur Verfügung. Welcher
Leiter ist für die Übertragung breitbandiger Signale besser geeignet?
Leiter 1: Dielektrischer Lichtwellenleiter mit Gradientenprofil
Leiter 2: Dielektrischer Lichtwellenleiter mit Stufenprofil
(„Multimode“-Typ)
¨
¨
1
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Aufgabe 11
Eine homogene ebene Welle breitet sich im Vakuum in
die Richtung
v
v v
n1 = 12 (ex + e y )
aus. In der Ebene x = 0 trifft sie auf ein Plasma mit
der Plasmafrequenz fP = 4,5 MHz. Der Betrag des
Phasors des elektrischen Feldes der Welle im Vakuum
ist
v
E ( x , y , z ) = E0 .
Das elektrische Feld ist immer in z-Richtung polarisiert.
a) Geben Sie den Phasor der elektrischen Feldstärke im Plasma an, falls die Frequenz der
einfallenden Welle f = 9 MHz beträgt.
v
E( x , y, z ) =
3
b) Ergänzen Sie den Phasor der elektrischen Feldstärke im Plasma, falls die Frequenz der
einfallenden Welle f = 2,25 MHz beträgt.
v
v
E ( x , y , z ) = E20 ⋅ exp
[
k0 x +
k0 y
]
2
c) Geben Sie den Realteil der x-Komponente des Poynting-Vektors der Welle
im Plasma für Fall b) an
Re S x ( x > 0, y , z ) =
1
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