Diskrete Mathematik

Diskrete Mathematik
LVA 405.010, 405.011, 405.012
C. Fuchs
Inhaltsübersicht
31.01.2013
Inhaltsübersicht
Die diskrete Mathematik beschäftigt sich, im Gegensatz zur Analysis, mit diskreten anstatt
kontinuierlichen (stetigen) Abläufen. Man kann die diskrete Mathematik auch als die Theorie
der endlichen Mengen bezeichnen. Eine Grundfrage ist dabei immer: Wie groß ist die Menge? Diese Frage wird typischerweise in der Kombinatorik beantwortet. Oft sind auf der Menge
auch Beziehungen zwischen den Elementen gegeben. Ein eindrücklicher Spezialfall bilden die
sogenanten Graphen, die in der Graphentheorie behandelt werden. Bevor wir uns Kombinatorik
und Graphentheorie im Detail ansehen, müssen wir uns aber über die Grundlagen unterhalten. Daher beginnen wir mit einer Einführung in die Logik und Mengenlehre, bevor wir dann
die natürlichen Zahlen und unendliche Mengen betrachten. Anschließend behandelt wir die
elementare Kombinatorik. Die grundlegende Theorie der Graphen und Netzwerke schließt die
Vorlesung ab.
Die Vorlesung behandelt (voraussichtlich) die folgenden Themen:
§1. Grundlagen der Logik
Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Beweistechnik
§2. Grundlagen der Mengenlehre
Mengen und Elemente, axiomatische Mengelehre, kartesisches Produkt und Relationen
§3. Relationen und Funktionen
homogene Relationen, Abbildungen
§4. Die natürlichen Zahlen
vollständige Induktion, Arithmetik, Teilbarkeitslehre
§5. Unendliche Mengen
endliche vs. unendliche Mengen, abzählbare vs. überabzählbare Mengen
§6. Elementare Kombinatorik
elementares Zählen, Schubachschlussprinzip, Inklusions-/Exklusionsprinzip, Kombinationen, Repetitionen, Permutationen, Variationen, Partitionen
§7. Graphentheorie
Grundbegriffe, Wege, Kreise, Zusammenhang, planare Graphen
§8. Netzwerke
kürzeste Wege, minimale Bäume, maximale Flüsse, Anwendungen
Bei Fragen oder Bemerkungen (speziell Hinweise auf Fehler aller Art sind willkommen) schicken
Sie ein Email an [email protected].
1
§1. Grundlagen der Logik
1.1 Aussagenlogik
1.1.1 Aussagen
Beispiele: 3 + 2 = 5. 7 ist eine Primzahl. New York ist die Hauptstadt der USA. Paris liegt
in England. Wohin gehst du? Sei x eine Primzahl. Wien ist die Hauptstadt von Österreich.
1 + 5 = 6. 5 ist kleiner als 3. Guten Abend! x + 3 = 5. Heute ist Montag.
1.1.2 Verknüpfung von Aussagen
Beispiele: Verneinen Sie: a) Der Tank ist voll. b) Alle Studenten sind anwesend. c) Ich bin vor
1990 geboren. Geben Sie die Wahrheitswerte von P ∧ Q, P ∨ Q: a) P : Wien liegt in Österreich,
Q: Wien liegt in Deutschland. b) P : 2 < 3, Q: 1 + 1 = 2. Wenn New York die Hauptstadt der
USA ist, dann gibt es keine Marsmännchen. “Wenn es neblig ist, dann ist die Sicht schlecht”
ist wahr: Was kann damit über die Sicht gesagt werden, wenn es nicht neblig ist?
1.1.3 Aussageformen
Beispiele: ((P ∧ (P → Q)) → Q). (w ∨ ((P → Q) → Q)). P (x): x < 100, P (3). Gegeben sind die
Aussageformen P (x): x2 < 15 und Q(x): x2 + 1 = 5: a) Ist die Aussage P (1) wahr oder falsch?
b) Ist Q(1) wahr oder falsch? c) Verneinen Sie P (x) und Q(x). d) Geben Sie Beispiele für Werte
von x an, für die die verknüpfte Aussageform P (x) ∧ Q(x) eine wahre bzw. eine falsche Aussage
ist.
1.1.4 Vereinfachung von Aussageformen
Beispiel: P ∧ (Q ∨ R) → ¬Q ∧ P .
1.1.5 Zustände
1.1.6 Erfüllbarkeit
1.1.7 Gültigkeit=Tautologie, Kontradiktion
Beispiel: Die Aussageform P ∧ (P → Q) → Q ist eine Tautologie.
1.1.8 Formalisierung von Umgangssprache
Beispiel: “Wenn Du einen Regenmantel trägst, dann bleibst du trocken”.
1.1.9 Logischer Schluss
Beispiele: a) Es gilt “Nebel ⇒ schlechte Sicht”. Gilt auch “keine schlechte Sicht ⇒ kein Nebel”?
Gilt auch “schlechte Sicht ⇒ Nebel”? b) Es gilt (für jedes x): “x > 3 ⇒ x > 0”. Gilt auch
x ≤ 0 ⇒ x ≤ 3”? Gilt auch “x > 0 ⇒ x > 3”?
1.1.10 Äquivalenz
Beispiele: (P → Q) ⇔ (¬P ∨ Q), (P ↔ Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P ), (P → Q) ⇔ (¬Q → ¬P ).
a) “x ist eine gerade Zahl ↔ x ist durch 2 teilbar” ist (für jedes x) eine wahre Aussage. Daher
“x gerade ⇔ x durch 2 teilbar”. b) “x > 3 ̸⇔ x > 0”.
1.1.11 Notwendig vs. hinreichend (Übersicht)
1.1.12 Satz
(Rechenregel)
:::::
2
1.1.13 Anwendung der Rechenregel
Beispiel: ¬(P ∧ Q) ∨ P ist eine Tautologie.
1.1.14 Syntax und Semantik
1.2 Prädikatenlogik
1.2.1 Objekt und Prädikat
Beispiel: “Betty ist eine Frau” und “ Claire ist eine Frau” haben das Prädikat “Frau sein”
1.2.2 All-Aussage; Allquantor
Beispiele: a) Ist “Für alle Zahlen x gilt: x + 1 > x” eine wahre oder falsche Aussage? b) Ist die
Aussage “Für alle natürlichen Zahlen x ist x > 3” wahr oder falsch?. c) Formalisiere: “Jeder
Mensch hat eine Seele”, “Alle Primzahlen größer als 2 sind ungerade”, “Alle lieben Betty”,
“Jeder der Betty mag, mag auch Claire”, “Betty mag alle Teddies”. Noch ein Beispiel: Gilt
“1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)/2 für alle natürlichen Zahlen n”?
1.2.3 Existenz-Aussage; Existenzquantor
Beispiele: a) Ist “Es existiert eine ganze Zahl x mit x2 = 4” wahr oder falsch? b) Ist die Aussage
“Es gibt eine natürliche Zahl x mit x2 < 0” wahr oder falsch? c) Formalisiere: “Es gibt Genies”,
“Es gibt eine gerade Primzahl”, “Jemand liebt Betty”.
1.2.4 Mehrfache Quantifizierung
Beispiel: “Jeder mag irgendjemanden”.
1.2.5 Quantifizierung vs. Konjunktion/Disjunktion
Beispiele: “Die Zahlen 2,3,5, und 7 sind Primzahlen”, “Eine der Zahlen 2,4,6 und 9 ist eine
Primzahl”.
1.2.6 Beziehung zwischen All- und Existenzquantor
Beispiel: Verneinen Sie, indem Sie die All- in eine Existenzaussage umwandeln, bzw. umgekehrt,
und sprachlich vereinfachen: a) Alle Menschen mögen Mathematik. b) Es gibt einen Studenten,
der Spanisch spricht. c) ∀x: x > 3. c) Formalisieren und verneinen Sie: “Nicht jeder ist verliebt”,
“Es gibt keine Menschen, die nicht sterblich sind”.
1.2.7 Freie und gebundene Variablen
Beispiele: “Für alle x und für alle y existiert ein z, so dass x + y = z”, “Es existiert ein z, so
dass x + y = z”.
1.2.8 Umbenennung von freien Variablen
Beispiel: x ≤ 1 ∧ 2 ≤ y.
1.3 Beweistechniken
1.3.1 Definition: P (a) :⇔ Q, P :⇔ Q
Beispiel: x ≤ y :⇔ x ≥ y sofern x ≥ y bereits definiert ist.
3
Motivierende Beispiele: 1) Am Tatort liegt eine Tabakspfeife. Schluß: Also ist der Täter ein
Pfeifenraucher. 2) Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Schluß: Also ist Sokrates sterblich. 3) Einige Hunde beißen. Fifi ist ein Hund. Schluß: Also beißt Fifi. 4) Alle
Hunde beißen. Fifi ist ein Dackel. Schluß: Also beißt Fifi.
Beachte: Damit ein logischer Schluß war ist, müssen nicht unbedingt Prämissen und Conclusio
wahr sein. Sonst wäre ja “Alle Menschen sind sterblich. Schluß: Der Mond ist rund.” ein logisch
korrekter Schluß.
1.3.2 Abtrennungsregel (modus ponens): A ∧ (A → B) ⇒ B
Beispiel: “Heute ist es schön”, ‘An jedem schönen Tag bin ich froh”. Schlussfolgerung: “Heute
bin ich froh”.
1.3.3 Widerlegungsregel (modus tollens): (A → B) ∧ ¬B ⇒ ¬A
Beispiel: “Heute bin ich traurig”, “An jedem schönen Tag bin ich froh”. Schlussfolgerung: “
Heute ist es nicht schön”.
1.3.4 Kettenschluss (modus barbara): (A → B) ∧ (B → C) ⇒ (A → C)
1.3.5 Fallunterscheidung: (A ∨ B) ∧ (A → C) ∧ (B → C) ⇒ C
1.3.6 Kontraposition: (A → B) ⇔ (¬B → ¬A)
Beispiele: “An jedem schönen Tag bin ich froh” ist gleichbedeutend, dass “immer, wenn ich
traurig bin, ist kein schöner Tag”. “Wenn die Zahl 103823 durch 37 teilbar ist, dann ist sie
keine Primzahl.”
1.3.7 Direkter Beweis einer Äquivalenz: (A ↔ B) ⇔ ((A → B) ∧ (B → A))
1.3.8 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch (Reduction ad absurdum): (¬A →
f ) ⇔ A, f√kann z.B. B ∧ ¬B sein
Beispiele: 2 ∈
/ Q, Satz von Euklid
1.3.9 Beweis einer allquantifizierten Aussage
1.3.10 Beweis einer Existenzaussage
Beispiel: ∃x(< 1. Skewes-Zahl): Li(x) < π(x)
§2. Grundlagen der Mengenlehre
2.1 Mengen und Elemente
2.1.1 Der intuitive Mengenbegriff (nach Cantor), ∈, ̸∈
Beispiel: M = {1, 2, 3, 4, 5}, Menge der Buchstaben von OTTO ist {O, T }, N, Z
2.1.2 Darstellung von Mengen
Beispiel: M = {1, 2, 3, 4, 5} = {x ∈ N; 1 ≤ x < 6} = {x ∈ N|1 ≤ x < 6} = {x ∈ N : 1 ≤ x < 6},
M sei die Menge aller ungeraden einstelligen Primzahlen, Primteiler von 315, ungeraden Zahlen
zwischen 2 und 8. a) Zählen Sie die Elemente der Menge A = {x ∈ Z; x2 = 4}. b) Geben Sie
die Menge B = {3, 4, 5} in einer anderen Form an.
4
2.1.3 Gleichheit von Mengen + Eigenschaften
Beispiel: {1, 2, 1, 1, 3} = {3, 1, 2}.
2.1.4 Teilmengen
Beispiele: a) {1, 2, 3} ⊆ {0, 1, 2, 3}, b) {1, 2, 3} ⊆ N, c) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}, d) A = {0, 2, 4} ist
keine Teilmenge von B = {2, 4, 6, 8}. e) Aus der Definition der leeren Menge folgt ∅ ⊆ A für
alle Mengen A.
2.1.5 Satz
A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
:::::
2.1.6 Weitere Eigenschaften: ⊆ ist eine Halbordnungsrelation
2.1.7 Die leere Menge
Beispiel: S = {x ∈ N; x = x + 1} = ∅.
2.1.8 Verknüpfung von Mengen: Durchschnitt, Komplement, Vereinigung
Beispiel: A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5} (Venn-Diagramme), {2, 3, 4}∩{3, 4, 7}, {1, 2, 3}∩N, {u, v}∩
{x, y}, {1, 2, 3} ∪ {3, 4}, {u, v} ∪ {x, y}, {1, 2, 3} ∪ N, {1, 2, 3}\{3, 4}, {u, v}\{x, y}, N\{1}
2.1.9 Satz
Monotonie von ⊆, inf und sup.
:::::
2.1.10 Satz
(Rechenregel)
:::::
2.1.11 Komplementärmenge
2.1.12 Mengensysteme und Potenzmenge
Beispiel: Potenzmenge von {1, 2, 3}
2.1.13 Satz
Anzahl der Elemente der Potenzmenge.
:::::
2.1.14 Durchschnitt und Vereinigung von Mengensystemen
2.1.15 Satz
(Eigenschaften)
:::::
2.1.16 Partitionen
Beispiel: Partitionen von {1, 2, 3}
2.1.17 Antinomien
Beispiel: Russellsche Antinomie {x; x ̸∈ x}, S1A1
2.2 Axiomatische Mengenlehre
2.2.1 Vorbereitungen: Axiome
2.2.2 Axiome der Elementbeziehung und Existenz
5
2.2.3 Axiom der Identität, Extensionalitätsaxiom
2.2.4 Teilmengenaxiom, Aussonderungsaxiom
2.2.5 Folgerungen aus 2.2.4
2.2.6 Vereinigungsmengenaxiom I
2.2.7 Potenzmengenaxiom
2.2.8 Folgerungen aus 2.2.7
2.2.9 Vereinigungsmengenaxiom II
2.2.10 Undendlichkeitsaxiom; N als kleinste induktive Menge
2.2.11 Fundierungsaxiom, Regularitätsaxiom
2.2.12 Ersetzungsaxiom
2.2.13 Auswahlaxiom, Banach-Tarski-Paradoxon
2.2.14 ZF, ZFC
2.3 Kartesisches Produkt und Relationen
2.3.1 Geordnete Paare
2.3.2 Satz
(x, y) = (u, v) ⇔ x = u ∧ y = v.
:::::
Beispiel: (1, 2) ̸= (2, 1), (2, 2) ̸= (2).
2.3.3 Produkt + Eigenschaft
Beispiel: {1, 2} × {3, 4}, {1} × {3, 4}, {3, 4} × {1}, N2 .
2.3.4 n-Tupel + Satz
2.3.5 Das kartesische Produkt
2.3.6 Homogene und inhomogene Relationen
Beispiele: Senkrechtstehen auf der Menge aller Geraden einer Ebene, Sichschneiden auf der
Menge aller geometrischen Figuren, Kongruenz auf der Menge aller Vielecke, Verwandtschaft
von Menschen; Enthaltensein eines Punktes auf einer Geraden, Zugehörigkeit eines Mitarbeiters
zu einer Firma.
2.3.7 Spezielle Relationen
2.3.8 Inverse Relation
Beispiel: ist früher als
6
2.3.9 Definitions- und Wertebereich
2.3.10 Urbild- und Bildmenge
Beispiel: R = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a)} von {1, 2, 3} nach {a, b, c, d}.
2.3.11 Darstellung von Relationen: Pfeildiagramme und Adjazenzmatrizen
Beispiel: R = {(1, b), (1, c), (3, b), (4, a), (4, c)} von {1, 2, 3, 4} nach {a, b, c, d}.
2.3.12 Komposition
Beispiel: R = {(1, c), (2, a), (2, b), (3, c)}, S = {(a, α), (a, β), (b, γ), (c, β)}.
2.3.13 :::::
Satz (R−1 )−1 = R, (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ), (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1 , I ◦ R = R =
R ◦ I, P ◦ R ⊆ Q ◦ S.
§3. Relationen und Funktionen
3.1 Homogene Relationen
3.1.1 Digraphen
Beispiel: V = {a, b, c, d}, E = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, b)}
3.1.2 Wege und Kreise
Beispiel: (a, b, c, d), (b, c, d, b), (c, d, b, c), (d, b, c, d)
3.1.3 Äquivalenzrelation
Beispiel: {(a, b), (a, c)},{(a, b), (b, c)},A = {a, b, c}
3.1.4 Äquivalenzklasse, Quotientenmenge, Vertretersystem
Beispiel wie oben.
3.1.5 Satz
Quotientenmengen sind Partitionen und umgekehrt.
:::::
3.1.6 Halbordnungen
Beispiele: ⊆ auf der Potenzmenge von A, ≤ auf N.
3.1.7 Satz
:::::
3.1.8 Hasse-Diagramme
Beispiele: ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, |), ({1, 2, 3, 4}, ≤).
3.1.9 Linearordnung
Beispiele: (N, ≤), (N, |), lexikographische Ordnung
3.1.10 Spezielle Elemente in Halbordnungen
Wie oben.
3.1.11 Eigenschaften
7
3.1.12 Hüllen
Beispiele
(Eigenschaften)
3.1.13 Satz
:::::
3.2 Abbildungen
3.2.1 Abbildungsbegriff
Beispiele
3.2.2 Satz
Gleichheit von Abbildungen
:::::
Komposition
3.2.3 Satz
:::::
3.2.4 Satz
Eigenschaften der Komposition
:::::
3.2.5 Abbildungsdiagramme
3.2.6 injektiv, surjektiv, bijektiv
3.2.7 Satz
:::::
3.2.8 Satz
inverse Abbildung
:::::
f : A → B mit |A| = |B|.
3.2.9 Satz
:::::
3.2.10 Familien und Folgen
Beispiele: Wörter, Matrizen
3.2.11 Satz
Folgen vs. n-Tupel
:::::
Beispiel: A = {a, b}.
3.2.12 Multimengen
Beispiele: f : 3 → N mit f (1) = 2, f (2) = 1; Auswahl n aus k mit Wiederholungen und ohne
Rücksicht auf die Reihenfolge
3.2.13 Permutationen
Beispiel: (12)(34567), (1247)(35)(6)
3.2.14 Zykel, Transposition, Fixpunkt, Zyklendarstellung, Interpretation als Zusammensetzung
von Abbildungen
Beispiele: S1 , S2 ... Drehgruppe des Stabes, S3 ... Drehgruppe des gleichseitigen Dreiecks
π = τ1 · · · τr
3.2.15 Satz
:::::
3.2.16 Satz
Signum ist wohldefiniert
:::::
3.2.17 Signum + Eigenschaften
8
3.2.18 Determinante einer n × n-Matrix
§4. Die natürlichen Zahlen
4.1 Vollständige Induktion
4.1.1 Motivierendes Beispiel: 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)/2
4.1.2 Peano Axiomensystem
4.1.3 Prinzip der vollständigen Induktion
Beispiel: 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n2 (F. Maurolicus, 1575)
4.1.4 Varianten und Bemerkungen
Weiter Beispiele: 2.1.13 (es gibt 2n Teilmengen einer n-Menge), 2.3.4 (n-Tupel), 3.2.15
4.2 Arithmetik
4.2.1 Darstellung der natürlichen Zahlen
4.2.2 Addition und Multiplikation
Summe und Produkt sind wohldefiniert.
4.2.3 Satz
:::::
(Eigenschaften)
4.2.4 Satz
:::::
4.2.5 Potenzen einer Relation
4.2.6 Satz
Potenzen und gerichtete Wege
:::::
Beispiel: R = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, b)}
§5. Unendliche Mengen
5.1 Endliche vs. unendliche Mengen
5.1.1 Endlich, unendlich
5.1.2 Satz
N ist unendlich.
:::::
5.1.3 Satz
|A| = ∞ ⇒ ∃f : N → A mit f injektiv.
:::::
A ist unendlich ⇔ ∃f : N → A mit f injektiv und f (N) ⊂ A.
5.1.4 Satz
:::::
5.1.5 gleichmächtig
9
5.2 Abzählbare vs. überabzählbare Mengen
5.2.1 Begriffe
Beispiele: N, N\{0} sind abzählbar
5.2.2 Satz
Z sind abzählbar
:::::
5.2.3 Satz
Q ist abzählbar
:::::
5.2.4 Satz
Die Menge der Wörter über einem endlichen Alphabet ist abzählbar.
:::::
5.2.5 Satz
Die Menge der endlichen Folgen über einer abzählbaren Menge ist abzählbar.
:::::
5.2.6 Satz
[0, 1] ist überabzählbar.
:::::
Beispiel
5.2.7 Satz
(0, 1) ist überabzählbar.
:::::
5.2.8 Satz
R ist überabzählbar.
:::::
5.2.9 Satz
Die Potenzmenge von N ist überabzählbar.
:::::
5.2.10 ≤, < für beliebige Mengen
5.2.11 Satz
|A| < |Potenzmenge von A|.
:::::
5.2.12 Transfinites Zählen, Kontinuumshypothese
§6. Elementare Kombinatorik
6.1 Elementares Zählen
6.1.1 Gleichheitsprinzip
6.1.2 Additionsprinzip
6.1.3 Prinzip der doppelten Abzählung
Beispiel: 32 Studierende, 32 Studenten mit je 5 befreundeten Studentinnen, n Studentinnen mit
je 8 befreundeten Studenten
6.1.4 Multiplikationsprinzip
Beispiel: A-NN-1234
6.1.5 (Dirichletsches) Schubfachprinzip
Beispiel: Turnier mit 10 Mannschaften, jeder gegen jeden. Behauptung: Nach dem ersten Tag
haben mind. 2 Mannschaften diesselbe Anzahl von absolvierten Spielen.
6.1.6 Inklusions-Exklusions-Prinzip
10
6.1.7 Siebprinzip
Beispiel: {1 ≤ n ≤ 1000; 2 - n, 3 - n, 5 - n}
6.1.8 Spezialfall zum Siebprinzip
6.1.9 Grundprobleme der klassischen Kombinatorik: f : N → R, |N | = k, |R| = n, KugelFächer- und Wortinterpretation
6.2 Kombinationen
6.2.1 k-Kombinationen und Wörter
Beispiel: 2-Kombinationen von 4
6.2.2 Satz
Eigenschaften von Binomialkoeffizienten
:::::
Beispiel zur Illustration der Rekursionsformel
6.2.3 Pascalsches Dreieck
6.2.4 Satz
Identitäten mit Binomialkoeffizienten inklusive Binomischer Lehrsatz
:::::
6.2.5 Interpretation
Beispiel: Lotto 6 aus 45
6.2.6 k-Kombinationen und charakteristische Wörter
Beispiel: k-Kombinationen von 4
6.3 Repetitionen
6.3.1 Begriff
Beispiel: 2-Repetitionen von 4
6.3.2 Satz
:::::
Beispiel: 3-Repetitionen von 2
6.3.3 Interpretation
Beispiel: Wurf mit 5 Würfeln
6.4 Permutationen
6.4.1 Begriff
Beispiel: 2-Permutationen von 4
6.4.2 Satz
inklusive (n)k = n!/(n − k)!.
:::::
6.4.3 Interpretation
Beispiel: Wörter der Länge 3 mit Buchstaben 2, 3, 4, 5, 6
6.4.4 Faktorielle, Anzahl der n-Permutationen
11
6.4.5 Stirling-Zahlen der 1. Art: s0 (n, k), s(n, k)
6.4.6 Satz
Eigenschaften der Stirling-Zahlen
:::::
6.4.7 Zykeltypen von Permutationen
Beispiel
6.4.8 Satz
Anzahl der Permutationen vom Grad n mit vorgegebenem Zykeltyp
:::::
6.4.9 Satz
Anzahl der fixpunktfreien Permutationen vom Grad n
:::::
6.5 Variationen
6.5.1 Begriff: k-Variation von n
Beispiel: 2-Variationen von 4
6.5.2 Satz:
nk
:::::
6.5.3 Interpretation
6.5.4 Typ einer k-Variation vom Typ n, Multinomialkoeffizient
6.5.5 Satz
Multinomialkoeffizient
:::::
Beispiel: k = 2
6.5.6 Interpretationen
Beispiel: a) MISSISSIPPI, b) 4-Variationen vom Typ 12 21 31 .
6.6 Partitionen
6.6.1 Wachstumsbeschränkte Wörter, k-Partitionen von n
Beispiele: n = 3
6.6.2 Satz
:::::
Beispiel: Partitionen von 3
6.6.3 Stirling-Zahlen der 2. Art
6.6.4 Satz
:::::
6.6.5 Interpretation
6.6.6 Typ einer k-Partition von n
Beispiel: Typ 11 21 30
6.6.7 Satz
Anzahl
:::::
6.6.8 Interpretation
12
6.6.9 Bell-Zahlen
Beispiel: B(n) für n = 1, 2, 3, 4, B(4) = S(4, 1) + S(4, 2) + S(4, 3) + S(4, 4) = 2 + 2 · S(3, 2) +
S(3, 1) + 3 · S(3, 3) + S(3, 2) = 2 + 2 · 3 + 1 + 3 · 1 + 3 = 15
6.6.10 Satz
Rekursionsformel für B(n)
:::::
6.6.11 Satz
Anzahl der surjektiven Abbildungen ist n!S(k, n)
:::::
6.6.12 Satz
Explizite Formel für n!S(k, n) und die Stirling-Zahlen der 2. Art
:::::
6.6.13 Geordnete k-Zahlpartitionen von n
Beispiel: n = 5
6.6.14 Satz
:::::
Beispiel: Veranschaulichung mit den 3-Zahlpartitionen von 5
6.6.15 Ungeordnete k-Zahlpartitionen von n
Beispiel: n = 5
6.6.16 Satz
:::::
6.6.17 Interpretationen
§7. Graphentheorie
7.1 Grundbegriffe
7.1.1 Definition von Graph, adjazent, inzident, endlich, Ordnung, Größe, Diagramm, Schlingen,
Mehrfachkanten
Beispiel: V = {v1 , . . . , v4 }, E = {v1 v3 , v2 v3 , v2 v4 , v3 v4 }
7.1.2 Grad, isoliert, k-regulär, Gradfolge
7.1.3 Satz
Handschlaglemma und Folgerung
:::::
Beispiel: Können 333 Telefone so zusammengeschaltet werden, dass jedes mit 3 direkt verbunden ist? Nein.
7.1.4 Teilgraph, induzierte Teilgraphen
Beispiel
7.1.5 Isomorphismus (solche Graphen haben dieselbe Ordnung, Größe und Gradfolge; sie sind
aber nicht dadurch bestimmt); Automorphismen
Beispiel
Automorphismengruppe
7.1.6 Satz
:::::
Beispiel: Automorphismengruppe des Quadrats
13
7.2 Wege, Kreise, Zusammenhang
7.2.1 Weg (Start-, Endknoten, Länge, einfach) und Kreis (einfach)
Beispiele
7.2.2 Zusammenhang, Verbindbarkeit ist eine Äquivalenzrelation
Beispiel
7.2.3 Satz
Streichen von Kanten auf einem einfachen Kreis erhält Zusammenhang
:::::
7.2.4 Abstand (definiert eine Metrik)
7.2.5 kreisfrei, Wald, Baum, Spannbaum (Gerüst), Brücke (Isthmus)
Beispiele
7.2.6 Satz
Jeder Baum a) enthält mindestens 2 Knoten vom Grad 1; b) erfüllt |E| = |V | − 1.
:::::
7.2.7 Satz
Jeder zusammenhängende Graph a) hat einen Spannbaum; b) ist ein Baum genau
:::::
dann, wenn = gilt.
Beispiel für Spannbaum
7.2.8 Bipartite Graphen
Beispiel
7.2.9 Satz
Charakterisierung von zusammenhängenden bipartiten Graphen
:::::
7.3 Planare Graphen
7.3.1 planar, eben → Flächen, Gebiete
Beispiel: Hexaeder
7.3.2 Satz
(Eulersche Polyederformel): n − m + f = 2
:::::
7.3.3 Satz
Ein planarer zshg Graph mit n ≥ 3 Knoten hat ≤ 3n − 6 Kanten.
:::::
7.3.4 vollständig, Kn , Umfang
Beispiel: K1 , . . . , K5
7.3.5 Satz
Verschärfung von 7.3.3 mit Hilfe des Umfangs
:::::
7.3.6 Vollständigkeit bei bipartiten Graphen, Km,n
Beispiel: K3,3
7.4 Die Adjazenz- und Inzidenzmatrix
7.4.1 Adjazenzmatrix
Beispiel
14
7.4.2 Satz
(i, j)-Eintrag der k-ten Potenz = Anzahl der Wege der Länge k von vi nach vj
:::::
7.4.3 Inzidenzmatrix
Beispiel
7.4.4 Breitensuche (Breadth-First)
Beispiel
7.4.5 Tiefensuche (Depth-First)
Beispiel
§8. Netzwerke
8.1 Kürzeste Wege
8.1.1 Wegenetz=Netzwerk, Länge, kürzester Weg, Abstand (definiert Metrik bei ungerichteten
Netzen)
Beispiel
8.1.2 Satz
(Floyd-Warshall)
:::::
Beispiel
8.1.3 Satz
(Dijkstra)
:::::
Beispiel
8.2 Minimale Bäume
8.2.1 Kosten, minimaler Spannbaum
8.2.2 Sehne, Fundamentalkreis
Beispiel
8.2.3 Satz
(Kruskal)
:::::
Beispiel
8.2.4 Cayley’s Formel für die Anzahl der Spannbäume von Kn (ohne Beweis)
8.3 Maximale Flüsse
8.3.1 Flussnetz, Kapazität, innere Knoten
Beispiel
8.3.2 Flüsse (kirchhoffsche Bedingung)
Beispiel
8.3.3 Hilfsaussage, Kapazität eines Flusses, maximale Flüsse (bei Ganzzahligkeit existieren diese stets)
15
8.3.4 Schnitte, Kapazität, Schnitte mit minimaler Kapazität in einem Flussnetz
Beispiel
MaxFlow ≤ MinCut
8.3.5 Satz
:::::
(Ford-Fulkerson) MaxFlow=MinCut
8.3.6 Satz
:::::
Beispiel
8.3.7 Abschließende Bemerkungen zum Ford-Fulkerson-Algorithmus
§A. Algorithmen
A.1 :::::::::::::
Algorithmus::::::::::::::
Breitensuche :::::::::::::::::
(Breadth-First):
Eingabe: Graph G = (V, E)
Ausgabe: Der Algorithmus findet einen Spannbaum und beantwortet dabei die Frage, ob G
zusammenhängend ist.
(1) Starte mit einem Knoten und gib ihm die Nummer 1, 1 ist der aktuelle Knoten.
(2) Der aktuelle Knoten habe die Nummer i und es seien bereits die Nummern 1, . . . , r vergeben. Falls r = n, stop. Andernfalls betrachte die noch nicht nummerierten Nachbarn
von i und gibt ihnen der Reihe nach die Nummern r + 1, r + 2, . . . und füge die Kanten
i(r + 1), i(r + 2), . . . hinzu. Falls nun die Nummer i + 1 nicht existiert, stop (G ist nicht
zusammenhängend), andernfalls gehe zum Knoten mit Nummer i + 1, dies ist die neue
aktuelle Nummer, und iteriere (2).
A.2 :::::::::::::
Algorithmus:::::::::::::
Tiefensuche:::::::::::::::
(Depth-First):
Eingabe: Graph G = (V, E)
Ausgabe: Der Algorithmus findet einen Spannbaum und beantwortet dabei die Frage, ob G
zusammenhängend ist.
(1) Starte mit einem Knoten und gib ihm die Nummer 1, 1 ist der aktuelle Knoten. Wähle
einen Nachbarn von 1 und gib ihm die Nummer 2. Füge die Kante 12 ein. 2 ist nun der
aktuelle Knoten und 1 ist der Vorgängerknoten.
(2) Der aktuelle Knoten habe Nummer i und es seien die Nummern 1, . . . , r bereits vergeben.
Falls r = n, stop. Andernfalls wähle einen noch nicht nummerierten Nachbarn von i, gib
ihm die Nummer r + 1, und füge die Kante i(r + 1) ein. Der aktuelle Knoten ist nun r + 1
und i der Vorgängerknoten. Falls keine nichtnummerierten Nachbarn von i existieren,
gehe zum Vorgängerknoten von i, falls i > 1. Dies ist nun der aktuelle Knoten. Iteriere
(2). Wenn i = 1 ist, und keine nicht nummerierten Nachbarn existieren, so ist G nicht
zusammenhängend, stop.
A.3 :::::::::::::
Algorithmus:::::::::::::::::
Floyd-Warshall :
Eingabe: Wegenetz D = ((V, E), ω) mit V = {v1 , . . . , vn } (Voraussetzung: es gibt keine Kreise
negativer Länge)
Ausgabe: Der Algorithmus berechnet die Länge von kürzesten Wegen zwischen allen Knoten
des Wegenetzes.
(1) Setze d(0) (vi , vj ) gleich ω(vi , vj ) falls vi vj ∈ E, 0 falls vi = vj und ∞ sonst.
(2) Für alle k ∈ {1, . . . , n} berechne für alle (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 die Zahlen d(k) (vi , vj ) =
min{d(k−1) (vi , vj ), d(k−1) (vi , vk ) + d(k−1) (vk , vj )}.
16
(3) Der kürzeste Weg von vi nach vj hat Länge d(n) (vi , vj ).
A.4 :::::::::::::
Algorithmus:::::::::
Dijkstra:
Eingabe: Wegenetz D = ((V, E), ω) und Startknoten v0 ∈ V (Voraussetzung: ω(e) ≥ 0 für alle
e ∈ E)
Ausgabe: Der Algorithmus berechnet die Länge von kürzesten Wegen von v0 zu allen anderen
Knoten.
(1) Setze S = ∅, d(v0 ) = 0 und d(v) = ∞ für alle v ∈ V \{v0 }.
(2) Falls S = V , gehe zu (3). Andernfalls wähle ein v ∈ V \S mit d(v) = min{d(u); u ∈ V \S}
und füge v zu S hinzu. Für alle anderen Elemente w ∈ V \S setze d(w) = min{d(w), d(v)+
ω(vw)}. Iteriere (2).
(3) Der kürzeste Weg von v0 nach vi hat Länge d(vi ).
A.5 :::::::::::::
Algorithmus:::::::::
Kruskal :
Eingabe: Wegenetz D = (G, ω) mit G = (V, E) zusammenhängend
Ausgabe: Der Algorithmus liefert die Kantenmenge F eines minimalen Spannbaumes B =
(V, F ).
(1) Setze F = ∅.
(2) Falls E = ∅, stop. Andernfalls entferne eine Kante e mit ω(e) = min{ω(f ); f ∈ E} von
E. Falls der Graph (V, F ∪ {e}) kreisfrei ist, füge e zu F hinzu. Iteriere (2).
A.6 :::::::::::::
Algorithmus::::::::::::::::
Ford-Fulkerson:::::::::::::::::::::
(MaxFlow-MinCut):
Eingabe: Flussnetz (D, κ, q, s)
Ausgabe: Der Algorithmus berechnet einen maximalen Fluss f : E → R≥0 im Flussnetz.
(1) Setze f = 0.
(2) Setze S = M = {q} und ϵ(q) = ∞.
(3) Falls M = ∅, stop (f ist der maximale Fluss). Sonst entferne einen Knoten v aus M
und führe die folgenden Schritte durch: für jeden Knoten w ∈ V \S mit vw ∈ E und
f (vw) < κ(vw) setze pred(w) = v, R(w) =“→”,ϵ(w) = min{κ(vw) − f (vw), ϵ(v)} und
füge w zu S und M hinzu; für jeden Knoten u ∈ V \S mit uv ∈ E und f (uv) > 0 setze
pred(u) = v, R(u) =“←”,ϵ(u) = min{f (uv), ϵ(v)} und füge u in S und M hinzu.
(4) Setze ϵ = ϵ(s) und v = s.
(5) Setze f (pred(v), v) = f (pred(v), v)+ϵ falls R(v) =“→” und f (v,pred(v)) = f (v, pred(v))−
ϵ sonst. Falls v = q, gehe zu (2). Sonst ersetze v durch pred(v) und iteriere (5).
§B. Zusammenfassung
B.1 ::::::::::::
Grundlagen::::
der:::::::
Logik:
Aussagen, Aussageformen, Verknüpfungsoperatoren: ∧, ∨, →, ↔, ¬, Tautologie & Kontradiktion, Rechenregeln, Syntaktisches & semantisches Schliessen, Prädikate und Variablen, All- und
Existenzquantor, Beweistechniken (direkter Beweis, indirekter Beweis, Kontraposition, Fallunterscheidung, Kettenschluss)
Wichtige Sätze: 1.1.12
B.2 ::::::::::::
Grundlagen::::
der::::::::::::::
Mengenlehre:
Naive Mengenlehre, Gleichheit von Mengen, Teilmengen, leere Menge, Verknüpfungsoperatoren: ∩, ∪, \, c , Rechenregeln, Mengensysteme und Potenzmenge, Partitionen, Antinomien,
Axiomatische Mengelehre, Geordnete Paare, kartesisches Produkt, Homogenen und inhomoge17
ne Relationen, −1 , ◦, Rechenregeln
Wichtige Sätze: 2.1.5, 2.1.13, 2.3.2
Relationen:::::
und::::::::::::
Funktionen:
B.3 :::::::::::
Digraphen und Grundbegriffe, Äquivalenzrelationen ↔ Partitionen, Halbordnungsrelationen,
linear, min-max, kl.-gr., Hüllen, Abbildungen inkl. inj., surj., bij. und Eigenschaften, Familien,
Folgen, Multimengen, Permutationen + Transpositionen, Zykeln, Signum
Wichtige Sätze: 3.1.5, 3.2.7+8, 3.2.15+16
B.4 ::::
Die :::::
natürlichen Zahlen:
Vollständige Induktion, Peano-Axiome, Arithmetik der natürlichen Zahlen
Wichtige Sätze: 4.2.3+4
B.5 ::::::::::::
Unendliche ::::::::
Mengen:
Endlich vs. unendlich + Beispiele, Abzählbar vs. überabzählbar + Beispiele, Kardinalzahlen,
Kontinuumshypothese
Wichtige Sätze: 5.1.3+4, 5.2.3, 5.2.6
B.6 ::::::::::::
Elementare :::::::::::::::
Kombinatorik:
Gleichheitsprinzip, Additionsprinzip, Prinzip des doppelten Abzählens, Multiplikationsprinzip,
Schubfachschlussprinzip, Inkl./Exklusionsprinzip, Siebprinzip, Kombinationen, Repetitionen,
Permutationen - Zykeltyp, Variationen - Typ, Partitionen - Typ, Zahlpartitionen - geordnet/ungeordnet
Wichtige Sätze: 6.1.6, 6.2.2, 6.2.4, 6.3.2, 6.4.2, 6.4.6, 6.5.2, 6.6.4, 6.6.11, 6.6.14, 6.6.16
B.7 ::::::::::::::::
Graphentheorie:
Graphen - Ordnung, Größe, Grad, Handschlaglemma, Teilgraphen, Isomorphie, Zusammenhang, Distanz, Wälder und Bäume + Charakterisierung von Bäumen, Bipartite Graphen +
Charakterisierung von bipartiten Graphen, Planare Graphen - Eulersche Polyederformel, Adjazenz- und Inzidenzmatrix, Breiten- und Tiefensuche
Wichtige Sätze: 7.1.3, 7.2.3, 7.2.6, 7.2.7, 7.2.9, 7.3.2, 7.4.2, 7.4.4
B.8 :::::::::::
Netzwerke:
Wegenetze (Länge), Flussnetze (Flüsse, kirchhoffsche Bedingung, Kapazität), Kürzeste Wege: Floyd-Warshall, Dijkstra, Minimale Bäume: Kruskal (Sehne, Fundamentalkreis), Maximale
Flüsse: Ford-Fulkerson (Schnitte, Kapazität)
Wichtige Sätze: 8.1.2, 8.1.3, 8.2.3, 8.3.5+6
§C. Literatur
1. K.-H. Zimmermann, Diskrete Mathematik, Books on Demand, 2006, ISBN978-3-83345529-2
2. M. Aigner, Diskrete Mathematik, Vieweg+Teubner, 2009, ISBN978-3-8348-0084-8
3. A. Beutelspacher und M.-A. Zschiegner, Diskrete Mathematik für Einsteiger, Vieweg+
Teubner, 2011, ISBN978-3-8348-1248-3
4. G.+S. Teschl, Mathematik für Informatiker (Band 1, Diskrete Mathematik und Lineare
Algebra), Springer, 2008, ISBN978-3540-77431-0
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