Formelsammlung Elektrotechnik Stand: 25. Juni 2001 Seite 3

Formelsammlung
Thema
Wechselspannung
Widerstand an Wechselspannung
Spule an Wechselspannung
Kondensator an Wechselspannung
Reihenschaltung R und L
Reihenschaltung R und C
Parallelschaltung R und L
Parallelschaltung R und C
Blindleistungs-Kompensation
Stand: 25. Juni 2001
Elektrotechnik
Bereiche
Begriffsdefinition
Zeiger- und Liniendiagramm
Umrechnung Bogenmaß – Gradmaß
Kreisfrequenz
Effektivwert
Phasenverschiebungswinkel
Mathematische Darstellung
Momentanwert bei best. Winkel
Linien- und Zeigerdiagramm
Phasenwinkel
Widerstand
Momentanwert bei best. Winkel
Linien- und Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel
Blindwiderstand
Momentanwert bei best. Winkel
Linien- und Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel
Blindwiderstand
Spannungen
Zeigerdiagramme
Widerstände
Leistung
Spannungen
Zeigerdiagramme
Widerstände
Leistung
Ströme
Zeigerdiagramme
Leitwerte
Leistung
Ströme
Zeigerdiagramme
Leitwerte
Leistung
Zeigerdiagramm
Berechnung
Seite
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Bestimmungsgrößen der Wechselstromtechnik:
Wechselspannung:
Eine Spannng die in regelmäßiger wiederkehrender Folge ihre Richtung und Polarität
ändert, nennt man Wechselspannung.
Periode:
Vorgang, der sich in gleicher Weise wiederholt.
Periodendauer T:
Zeit, die zum Ablauf einer Periode erforderlich ist.
Frequenz f:
Anzahl der Perioden (Schwingungen) pro Sekunde f =
1
T
[ f ] = 1 = Hz
s
Augenblickswert u(t):
Der Augenblickswert u(t) (Momentanwert) ist der Spannungswert u zu einem bestimmten
Zeitpunkt t.
Scheitelwert û:
Der Scheitelwert û wird auch als Amplitude, Höchstwert oder Maximalwert bezeichnet. Er
ist der größte Augenblickswert.
Spitze-Spitze-Wert uss, upp:
Der Spitze-Spitze-Wert wird auch als Peak-Peak-Wert bezeichnet. Er ist bei sinusförmigen
reinen Wechselspannungen doppelt so groß wie der Scheitelwert û
u ss = 2 • uˆ
Linien- und Zeigerdiagramm:
Zeigerdiagramm
Liniendiagramm
Eine sinusförmige Wechselspannung lässt sich durch ein Zeiger- und Liniendiagramm darstellen.
Bei Zeigerdiagramm dreht sich der Zeiger mit konstanter Geschwindigkeit gegen
den Uhrzeigersinn
u (t ) = uˆ • sin ϕ
u(t) = Momentanspannung in V
û = Scheitelspannung in V
φ = Winkel
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Umrechnung Bogenmaß – Gradmaß:
α 360° = 2 • π
360° =ˆ 2 • π
α°
α
=
⇒
360° 2 • π
α° =
α • 360°
2 •π
α ° • 2 •π
α=
360°
α ° = Winkel im Gradmaß
α = Winkel im Bogenmaß
Auswahl einiger Winkel und Bogenmaße:
α°
α
0°
0
15°
π
12
30°
π
6
45°
π
4
60°
π
3
90°
π
2
180°
π
270°
3 •π
2
360°
2 •π
Kreisfrequenz:
ω = 2 •π • f
f =
ω = Kreisfrequenz in
ω
2 •π
ω=
2 •π
T
T=
2 •π
ω
1
s
f = Frequenz in Hz
T = Periodendauer in s
Effektivwert (quadratischer Mittelwert) eines Wechelstrom:
I=
iˆ
2
iˆ = I • 2
î = Scheitelwert des Stromes (der Wechselgröße)
I = Effektivwert des Wechselstromes (der Wechselgröße)
Phasenverschiebungswinkel φ:
ϕ = ϕu − ϕi
ϕu = ϕ + ϕi
ϕi = ϕu − ϕ
φ = Phasenverschiebungwinkel zwischen Strom u und Spannung i
φu = Nullphasenwinkel der Spannung u
φi = Nullphasenwinkel des Strom i
Stand: 25. Juni 2001
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Mathematische Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung:
Die sinusförmige Schwingung (Spannung) kann dargestellt werden:
in Abhängigkeit vom Phasenwinkel α im Gradmaß (!!! Taschenrechner auf DEG !!!):
u (α °) = uˆ • sin α
uˆ =
u (α °)
sin α
sin α =
u (α °)
( 2 Lösungen !! : α° , 180°- α°)
uˆ
u(α°) = Momentanspannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
α = Winkel im Gradmaß
in Abhängigkeit vom Phasenwinkel b im Bogenmaß (!!! Taschenrechner auf RAD !!!):
u (b ) = uˆ • sin b
uˆ =
u (b )
sin b
sin b =
u (b )
( 2 Lösungen !! : b , π - b)
uˆ
u(b) = Momentanspannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
b = Winkel im Bogenmaß
in Abhängigkeit von der Zeit t (!!! Taschenrechner auf RAD !!!):
u (t ) = uˆ • sin (ω • t )
uˆ =
u (t )
sin (ω • t )
sin (ω • t ) =
u (t )
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
uˆ
2
u(t) = Momentanspannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s ; T = Periodendauer in s
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Ohmscher Widerstand an sinusförmiger Wechselspannung:
u (t ) = uˆ • sin (ω • t )
uˆ =
u (t )
sin (ω • t )
sin (ω • t ) =
u (t )
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
uˆ
2
i (t ) = iˆ • sin (ω • t )
iˆ =
i (t )
sin (ω • t )
sin (ω • t ) =
i (t )
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
iˆ
2
Taschenrechner auf RAD umstellen !!
u(t) = Momentanwert der Spannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
i(t) = Momentanwert des Stromes in A
î = Scheitelwert des Stromes in A
R = Widerstand in Ω
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s
T = Periodendauer in s
Liniendiagramm
Zeigerdiagramm
Phasenwinkel:
ϕi = ϕu ⇒ ϕ = 0
Widerstand:
R=
U
u (t )
uˆ
⇒ R=
mit uˆ = U • 2 und iˆ = I • 2 ⇒ R =
i(t )
I
iˆ
Der Widerstand ist im Wechselstromkreis nicht frequenzabhängig
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Spule an sinusförmiger Wechselspannung:
u (t )
π

u (t ) = iˆ • L • ω • sin  (ω • t ) +  iˆ =
π
2


L • ω • sin  (ω • t ) + 
2

i (t ) = iˆ • sin (ω • t )
iˆ =
i (t )
sin (ω • t )
sin (ω • t ) =
L=
u (t )
π

iˆ • ω • sin  (ω • t ) + 
2

i (t )
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
iˆ
2
Taschenrechner auf RAD umstellen !!
u(t) = Momentanwert der Spannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
i(t) = Momentanwert des Stromes in A
î = Scheitelwert des Stromes in A
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s
L = Induktivität in H
Liniendiagramm
Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel:
ϕ i = ω • t ϕ u = (ω • t ) +
π
π
⇒ ϕ = + ⇒ ϕ = +90°
2
2
Bei der idealen Spule eilt der Strom i der Spannung u um 90° nach !!
Blindwiderstand XL:
XL =ω •L
ω=
XL
L
X L = 2 •π • f • L
L=
f =
XL
ω
XL
2 •π • L
ω = 2 •π • f
L=
XL
2 •π • f
XL = Blindwiderstand in Ω
L = Induktivität in H
f = Frequenz in Hz
Der Blindwiderstand ist frequenzabhängig. Er verhält sich proportional
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Kondensator an sinusförmiger Wechselspannung:
u (t ) = uˆ • sin (ω • t )
uˆ =
u (t )
sin (ω • t )
sin (ω • t ) =
u (t )
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
ˆ
u
2
i (t )
i (t )
π

C=
i (t ) = uˆ • C • ω • sin  (ω • t ) +  uˆ =
π
π


2

C • ω • sin  (ω • t ) + 
uˆ • ω • sin  (ω • t ) + 
2
2


Taschenrechner auf RAD umstellen !!
u(t) = Momentanwert der Spannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
i(t) = Momentanwert des Stromes in A
î = Scheitelwert des Stromes in A
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s
C = Kondensator in F
Liniendiagramm
Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel:
ϕ u = ω • t ϕ i = (ω • t ) +
π
π
⇒ ϕ = − ⇒ ϕ = −90°
2
2
Beim idealen Kondensator eilt der Strom i der Spannung u um 90° vor !!
Blindwiderstand XC:
XC =
1
ω •C
XC =
1
2 •π • f • C
ω=
1
XC •C
f =
C=
1
X C •ω
1
2 •π • X C • C
ω = 2 •π • f
C=
1
X C • 2 •π • f
XC = Blindwiderstand in Ω
C = Kapazität in F
f = Frequenz in Hz
Der Blindwiderstand ist frequenzabhängig. Er verhält sich indirekt proportional
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Reihenschaltung R und L:
Spannungen:
2
UZ = U R +U L
2
U R = U Z −U L
U L = U Z −U R
2
UZ = U R +UL
2
2
2
tan ϕ =
UL
UR
2
cosϕ =
2
2
UR
UZ
UL
UZ
sin ϕ =
Alle Spannungen in V
Widerstände:
Z 2 = R2 + X L
R = Z2 − XL
tan ϕ =
Z = R2 + X L
2
2
XL
R
2
X L = Z 2 − R2
R
Z
cosϕ =
sin ϕ =
XL
Z
Z = Scheinwiderstand (Impendanz) in Ω
R = Wirkwiderstand in Ω
XL = ind. Blindwiderstand in Ω
Leistung:
S 2 = P 2 + QL
2
QL = S 2 − P 2
2
U
S = Z = I2 •Z
Z
S = P 2 + QL
tan ϕ =
QL
P
2
P = S 2 − QL
2
cosϕ =
U
P = R = I2 •R
R
P
S
2
sin ϕ =
QL
S
2
U
QL = L = I 2 • X L
XL
S = Scheinleistung in VA
QL = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
Beachte:
- Der Strom i ist in der Reihenschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
- An der Spule sind Spannung und Strom um +90° phasenverschoben.
⇒ i eilt uL um 90° nach
Stand: 25. Juni 2001
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Reihenschaltung R und C:
Spannungen:
UZ = U R +UC
2
UZ = U R +UC
2
U R = U Z −UC
UC = U Z −U R
2
2
2
2
tan ϕ =
UC
UR
2
cosϕ =
2
2
UR
UZ
UC
UZ
sin ϕ =
Alle Spannungen in V
Widerstände:
Z 2 = R2 + X C
R = Z 2 − XC
XC
R
tan ϕ =
Z = R2 + X C
2
2
2
X C = Z 2 − R2
R
Z
cosϕ =
sin ϕ =
XC
Z
Z = Scheinwiderstand (Impendanz) in Ω
R = Wirkwiderstand in Ω
XC = kap. Blindwiderstand in Ω
Leistung:
S 2 = P 2 + QC
2
QC = S 2 − P 2
2
U
S = Z = I2 •Z
Z
S = P 2 + QC
tan ϕ =
QC
P
2
P = S 2 − QC
2
cosϕ =
U
P = R = I2 •R
R
P
S
2
sin ϕ =
QC
S
2
U
QC = C = I 2 • X C
XL
S = Scheinleistung in VA
QC = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
Beachte:
- Der Strom i ist in der Reihenschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
- Am Kondensator sind Spannung und Strom um -90° phasenverschoben.
⇒ i eilt uC um 90° vor
Stand: 25. Juni 2001
Seite 3-9
Formelsammlung
Elektrotechnik
Parallelschaltung von R und L:
Ströme:
IZ = IR + IL
2
2
tan ϕ =
IZ = IR + IL
2
IL
IR
2
IR
IZ
cosϕ =
sin ϕ =
IR = IZ − IL
2
IL
IZ
2
2
IL = IZ − IR
2
2
Alle Ströme in A
Leitwerte (Widerstände):
Y 2 = G 2 + BL
tan ϕ =
2
BL
R
=
G XL
Y = G 2 + BL
cosϕ =
G = Y 2 − BL
2
G Z
=
Y R
sin ϕ =
BL = Y 2 − G 2
2
BL
Z
=
Y
XL
Y=
1
Z
G=
1
R
BL =
1
XL
Y = Blindleitwert in S
G = Wirkleitwert in S
BL = ind. Blindleitwert in S
Leistung:
S 2 = P 2 + QL
2
QL = S 2 − P 2
S=
U2
2
= IZ • Z
Z
S = P 2 + QL
tan ϕ =
P=
QL
P
P = S 2 − QL
2
cosϕ =
U2
2
= IR • R
R
P
S
QL =
2
sin ϕ =
QL
S
U2
2
= IL • X L
XL
S = Scheinleistung in VA
QL = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
Beachte:
- Die Spannung u ist in der Parallelschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Strom und Spannung phasengleich
- An der Spule sind Strom und Spannung um +90° phasenverschoben.
⇒ i eilt uL um 90° nach
Stand: 25. Juni 2001
Seite 3-10
Formelsammlung
Elektrotechnik
Parallelschaltung von R und C:
Ströme:
IZ = I R + IC
2
2
tan ϕ =
I Z = I R + IC
2
IC
IR
2
IR
IZ
cos ϕ =
sin ϕ =
I R = IZ − IC
2
IC
IZ
2
2
IC = IZ − I R
2
2
Alle Ströme in A
Widerstände:
Y 2 = G 2 + BC
tan ϕ =
2
BC
R
=
G
XC
Y = G 2 + BC
cosϕ =
G = Y 2 − BC
2
G Z
=
Y R
sin ϕ =
BC = Y 2 − G 2
2
BC
Z
=
Y
XC
Y=
1
Z
G=
1
R
BC =
1
XC
Y = Blindleitwert in S
G = Wirkleitwert in S
BC = kap. Blindleitwert in S
Leistung:
S 2 = P 2 + QC
2
QC = S 2 − P 2
S=
U2
2
= IZ • Z
Z
S = P 2 + QC
tan ϕ =
P=
QC
P
P = S 2 − QC
2
cosϕ =
U2
2
= IR • R
R
P
S
QC =
2
sin ϕ =
QC
S
U2
2
= IC • X C
XC
S = Scheinleistung in VA
QC = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
Beachte:
- Die Spannung u ist in der Parallelschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
- Am Kondensator sind Spannung und Strom um -90° phasenverschoben.
⇒ i eilt uC um 90° vor
Stand: 25. Juni 2001
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Blindleistungs-Kompensation:
Bei stark induktivlastigen Verbrauchern, z.B. Motoren wird durch Zuschaltung einer
Kapazität erreicht, dass die Blindleistung (=Energie) anstatt ins Netz
zum größten Teil in den Kondensator geführt wird. Sie pendelt nun
ständig zwischen Kapazität und Induktivität hin und her.
Vor Kompensation gilt: Q = QL
QL = P • tan ϕ1
tan ϕ1 =
QL
P
P=
QL
tan ϕ1
P=
Q
tan ϕ1
Nach Kompensation gilt: Q = QL − QC
Q = P • tan ϕ 2
C=
tan ϕ1 =
P • (tan ϕ1 − tan ϕ 2 )
U 2 •ω
 C •U 2 •ω 

tan ϕ 2 = tan ϕ1 − 
P


Q
P
P=
C •U 2 •ω
(tan ϕ1 − tan ϕ 2 )
U=
P • (tan ϕ1 − tan ϕ 2 )
C •ω
 C •U 2 • ω 
 − tan ϕ 2
tan ϕ1 = 
P


ω=
P • (tan ϕ1 − tan ϕ 2 )
U 2 •C
QL = induktive Blindleistung in var
QC = kapazitive Blindleistung in var
Q = Blindleistung nach Kompensation in var
P = Wirkleistung in W
φ1 = Phasenwinkel vor der Kompensation
φ2 = Phasenwinkel nach der Kompensation
C = Kapazität in F
U = Spannung in V
ω = Kreisfrequenz in Hz
Stand: 25. Juni 2001
Seite 3-12