Kapitel 4 Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik

Kapitel 4
Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik
Teil 1
Der Shoenfield-Kalkül für PL:
Axiome und Regeln, Korrektheit, Zulässige Regeln
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Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Übersicht
4.1 Shoenfields Kalkül der Prädikatenlogik: Axiome und Regeln
4.2 Korrektheit des Shoenfield-Kalküls der Prädikatenlogik
4.3 Zulässige Regeln
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4.1 Shoenfields Kalkül der Prädikatenlogik: Axiome und
Regeln
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Im Folgenden ist
L = L((Ri | i ∈ I ), (fj | j ∈ J), (ck | k ∈ K ))
eine beliebige (aber feste) Sprache der Prädikatenlogik mit Signatur
σ = ((ni | i ∈ I ), (mj | j ∈ J), K ).
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: Axiome und Regeln
Bei den Axiomen und Regeln unterscheiden wir zwischen den aussagenlogischen
und prädikatenlogischen Axiomen und Regeln:
Die aussagenlogischen Axiome und Regeln umfassen die wesentlichen
Gesetze zur Beschreibung der Bedeutung (Semantik) der (aussagenlogischen) Junktoren ¬ und ∨.
medskip
(Diese werden vom Shoenfieldkalkül der Aussagenlogik direkt übernommen.)
Die prädikatenlogischen Axiome und Regeln umfassen die wesentlichen
Gesetze zur Beschreibung der Bedeutung (Semantik) des Existenzquantors
und des Gleichheitszeichens.
Hier benutzen wir folgende Notation: ϕ[t/x] sei die Formel, die aus ϕ
entstehe, wenn alle freien Vorkommen der Variablen x durch den Term t
ersetzt werden. Wir nennen hierbei t für x in ϕ substituierbar, falls keine in t
vorkommende Variable y �= x in ϕ gebunden vorkommt.
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: aussagenlogische Axiome
und Regeln
AXIOME
¬ϕ ∨ ϕ (≡ ϕ → ϕ) “tertium non datur” (Ax)
REGELN
ψ
ϕ∨ψ
ϕ∨ϕ
ϕ
Expansion (E)
Kürzung (Kü)
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ϕ ∨ (ψ ∨ δ)
(ϕ ∨ ψ) ∨ δ
Assoziativität (A)
ϕ ∨ ψ, ¬ϕ ∨ δ
ψ∨δ
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Schnitt (S)
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: prädikatenlogische Axiome
und Regeln
SUBSTITUTIONSAXIOME
(S1)
ϕ[t/x] → ∃xϕ
falls t in ϕ substituierbar ist (SB = Substituierbarkeitsbedingung).
GLEICHHEITSAXIOME
(G 1)
(G 2)
(G 3)
(G 4)
x =x
x1 = y1 ∧ . . . ∧ xmj = ymj → fj (x1 , . . . , xmj ) = fj (y1 , . . . , ymj )
x1 = y1 ∧ . . . ∧ xni = yni ∧ Ri (x1 , . . . , xni ) → Ri (y1 , . . . , yni )
x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ x1 = x2 → y1 = y2
∃-EINFÜHRUNGSREGELN
(∃1)
ϕ→ψ
∃xϕ → ψ
falls x in ψ nicht frei vorkommt (VB = Variablenbedingung).
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: Beweise und Beweisbarkeit
+
Im Folgenden schreiben wir SPL oder kurz S für den Shoenfieldkalkül der
Prädikatenlogik und SAL für den früher eingeführten Shoenfieldkalkül der
Aussagenlogik.
Beweise und Beweisbarkeit sind wie in jedem Kalkül definiert (siehe: die
Diskussion des allgemeinen Kalkülbegriﬀs im Abschnitt über die Aussagenlogik).
Im Folgenden steht � für die Beweisbarkeit in SPL , d.h.
T � ϕ ⇔ ϕ ist aus T im Kalkül SPL beweisbar,
und wir schreiben wiederum
ϕ1 , . . . , ϕ n � ϕ
statt {ϕ1 , . . . , ϕn } � ϕ
�ϕ
statt ∅ � ϕ
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: Beweise und Beweisbarkeit
Wie bereits für beliebige Kalküle gezeigt, gilt für den Beweisbarkeitsbegiﬀ in
SPL :
�
�
�
MONOTONIELEMMA. Falls T ⊆ T � und T � ϕ, so gilt auch T � � ϕ.
TRANSITIVITÄTSLEMMA. Gelte T � ϕ und gelte weiter T � � ψ für
alle ψ ∈ T . Dann gilt T � � ϕ.
ENDLICHKEITSSATZ. Falls T � ϕ gilt, so gibt es eine endliche
Teilmenge T0 von T mit T0 � ϕ.
Unser Ziel ist zu zeigen, dass der Kalkül SPL adäquat ist, d.h. dass
Beweisbarkeitsbegriﬀ und Folgerungsbegriﬀ zusammenfallen:
T �ϕ ⇔ T �ϕ
In diesem Abschnitt zeigen wir zunächst die Korrektheit (⇒) und beweisen
zur Vorbereitung des Beweises der Vollständigkeit (⇐) die Zulässigkeit einer
Reihe von Axiomen und Regeln in SPL .
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4.2 Korrektheit des Shoenfield-Kalküls der Prädikatenlogik
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Korrektheitssatz
KORREKTHEITSSATZ. T � ϕ ⇒ T � ϕ
Wie wir im Teil über die Aussagenlogik gezeigt haben, genügt es die Korrektheit
der Axiome und Regeln von SPL zu zeigen, d.h. nachzuweisen, dass gilt:
Jedes Axiom ϕ ist allgemeingültig, d.h. � ϕ.
Jede Regel
ϕ1 , . . . , ϕ n
ϕ
ist korrekt bzgl. Folgerungen, d.h. ϕ1 , . . . , ϕn � ϕ.
Für die aussagenlogischen Axiome und Regeln argumentiert man ähnlich wie in
der Aussagenlogik, und der Nachweis der Korrektheit der Gleichheitsaxiome ist
eine einfache Übung. Wir betrachten hier daher nur die Korrektheit der
Substitutionsaxiome (S1) und der ∃-Einführungsregeln (∃1).
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Korrektheit von (S1): Substitutionslemma
SUBSTITUTIONSLEMMA. Sei der Term t für die Variable x in der Formel ϕ
substituierbar (d.h. keine in t vorkommende Variable y �= x kommt in ϕ gebunden
vor). Dann ist ϕ[t/x] → ∃xϕ allgemeingültig.
BEMERKUNG. Die Substituierbarkeitsbedingung ist notwendig: Für
t ≡ y und ϕ ≡ ∀y (x = y )
ist die Formel
ϕ[t/x] → ∃xϕ ≡ ∀y (y = y ) → ∃x∀y (x = y )
nicht allgemeingültig (sie gilt nämlich in keiner Struktur mit mehr als einem
Individuum).
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Substitutionslemma - Beweisidee
Annahmen:
Keine in t vorkommende Variable y �= x kommt in ϕ gebunden vor (=SB).
FV (ϕ) ∪ V (t) ⊆ {x, x1 , . . . , xn }
A sei eine L-Struktur und B eine Belegung B : {x, x1 , . . . , xn } → A
Zu zeigen:
(*) WBA (ϕ[t/x] → ∃xϕ) = 1
Vorüberlegungen:
Gilt WBA (ϕ[t/x]) = 0, so gilt (*) trivialerweise.
Gilt x �∈ FV (ϕ), so gilt ϕ[t/x] ≡ ϕ und es gilt WBA (ϕ) = WBA (∃xϕ), also
auch WBA (ϕ[t/x]) = WBA (∃xϕ) und daher (*).
Wir können also o.B.d.A. zusätzlich annehmen, dass WBA (ϕ[t/x]) = 1 und
x ∈ FV (ϕ) gilt, und müssen WBA (∃xϕ) = 1 zeigen.
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Substitutionslemma - Beweisidee (Fortsetzung)
Annahmen (erweitert):
Keine in t vorkommende Variable y �= x kommt in ϕ gebunden vor (=SB).
x ∈ FV (ϕ) & FV (ϕ) ∪ V (t) ⊆ {x, x1 , . . . , xn }
A L-Struktur und B Belegung B : {x, x1 , . . . , xn } → A mit WBA (ϕ[t/x]) = 1
Zu zeigen (aktualisiert):
(**) WBA (∃xϕ) = 1
Betrachte die Belegung B � : {x, x1 , . . . , xn } → A mit
�
B(y ) falls y ∈ {x1 , . . . , xn }
B � (y ) =
tBA
falls y = x
Man zeigt dann durch Ind(ϕ) (mit Hilfe von (SB)), dass
WBA� (ϕ) = WBA (ϕ[t/x]) = 1.
Hieraus folgt aus der Definition des Wahrheitsprädikates WBA� (∃xϕ) = 1 und
hieraus wiederum mit dem Koinzidenzlemma (da x �∈ FV (∃xϕ)), dass
WBA (∃xϕ) = 1.
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Korrektheit von (∃1): Notwendigkeit von VB
(∃1)
ϕ→ψ
∃xϕ → ψ
wobei x �∈ FV (ψ) (VB)
BEMERKUNG. Die Variablenbedingung x �∈ FV (ψ) ist notwendig:
Für
ϕ :≡ ψ :≡ x = y
ist die Variablenbedingung verletzt. Es gilt:
Die Formel ϕ → ψ ≡ x = y → x = y ist oﬀensichtlich allgemeingültig.
Die Formel ∃xϕ → ψ ≡ ∃x(x = y ) → x = y gilt dagegen nur in
1-elementigen Strukturen.
Also: ϕ → ψ �� ∃xϕ → ψ
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Korrektheit von (∃1): Beweis
ANNAHME: A � ϕ → ψ
ZU ZEIGEN: A � ∃xϕ → ψ
Sei FV (∃xϕ → ψ) = {x1 , . . . , xn } und B : {x1 , . . . , xn } → A.
Dann genügt es WBA (∃xϕ → ψ) = 1 zu zeigen.
Ist WBA (ψ) = 1, so ist die Behauptung trivial. Wir können also o.B.d.A.
WBA (ψ) = 0 annehmen. Zu zeigen genügt dann: WBA (∃xϕ) = 0.
Hierzu wiederum genügt es (nach Definition von WBA ), für jede gegebene
Fortsetzung B � : {x, x1 , . . . , xn } → A von B (d.h. B � stimmt mit B auf
{x1 , . . . , xn } überein) zu zeigen: WBA� (ϕ) = 0.
Dies zeigt man wie folgt:
Aus der Annahme A � ϕ → ψ folgt: WBA� (ϕ → ψ) = 1.
Aus WBA (ψ) = 0 folgt mit dem Koinzidenzlemma (da x �∈ FV (ψ))
WBA� (ψ) = WBA (ψ) = 0.
Aus diesen beiden Fakten folgt aber WBA� (ϕ) = 0. q.e.d.
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4.3 Zulässige Regeln
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Zulässige Regeln
4.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
4.3.2 Generalisierung und Distribution
4.3.3 Ersetzung und Umbenennung
4.3.4 Substitution
4.3.5 Gleichheit
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Aussagenlogische Vollständigkeit von SPL
Wir führen zunächst den Begriﬀ der Tautologie bzw. tautologischen Folgerung
(= aussagenlogischer wahrer Satz bzw. aussagenlogische Folgerung) ein und
zeigen dann, dass Tautologien und tautologische Folgerungen (aus endlichen
Formelmengen) zulässige Axiome bzw. Regeln von SPL sind.
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Aussagenlogische Vollständigkeit von SPL : Tautologien
Eine Formel ϕ ist elementar, falls ϕ atomar oder eine Existenzformel
ϕ ≡ ∃xψ ist.
Elementare Formeln lassen sich aussagenlogisch nicht weiter zerlegen,
spielen daher in PL die Rolle der Aussagenvariablen in AL.
Eine aussagenlogische Belegung B von L ist eine Abbildung
B : {ϕ : ϕ elementar} → {0, 1}.
Eine al. Belegung B lässt sich induktive wie folgt auf alle Formeln fortsetzen:
B(¬ϕ) := 1 − B(ϕ)
B(ϕ1 ∨ ϕ2 ) := max(B(ϕ1 ), B(ϕ2 ))
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Al. Vollständigkeit von SPL : Tautologien (Forts.)
Eine Formel ϕ ist eine Tautologie (oder aussagenlogisch gültig, �AL ϕ), falls
B(ϕ) = 1 für alle al. Belegungen B gilt.
Eine Formel ϕ ist eine tautologische (oder aussagenlogische) Folgerung aus
einer Formelmenge T (T �AL ϕ), falls für alle al. Belegungen B gilt:
Falls B(ψ) = 1 für alle ψ ∈ T , dann B(ϕ) = 1.
NB: Es gilt T �AL ϕ ⇒ T � ϕ. Die Umkehrung ist aber i.a. falsch. Z.B.:
� ∃x(x = x) aber ��AL ∃x(x = x).
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Al. Vollständigkeit von SPL : Tautologiesatz
TAUTOLOGIESATZ.
(i) �AL ϕ ⇒ � ϕ
(ii) ϕ1 , . . . , ϕn �AL ϕ ⇒ ϕ1 , . . . , ϕn � ϕ
Beim Beweis des Satzes greifen wir auf die elementaren Teilformeln von ϕ zurück.
Wir definieren daher zunächst die Menge ETF (ϕ) dieser Formeln durch Ind(ϕ):
Ist ϕ elementar, so ist ETF (ϕ) = {ϕ}.
Ist ϕ die Negationsformel ϕ ≡ ¬ψ, so ist ETF (ϕ) = ETF (ψ).
Ist ϕ die Disjunktionsformel ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2 , so ist
ETF (ϕ) = ETF (ϕ1 ) ∪ ETF (ϕ2 ).
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Beweisidee des Tautologiesatzes: Teil (i)
Annahme: �AL ϕ. Zu zeigen: � ϕ
Ersetze die PL-Formel ϕ durch eine “al. gleichwertige” AL-Formel ϕAL durch
Ersetzen der (verschiedenen) elementaren Teilformeln � von ϕ durch
(verschiedene) Aussagenvariablen X� .
Aus �AL ϕ folgt dann, dass die AL-Formel ϕAL allgemeingültig (im Sinne
von AL) ist.
Mit dem Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik folgt �SAL ϕAL .
D.h. es gibt einen Beweis ψ1 , . . . , ψn von ϕAL im Kalkül SAL der
Aussagenlogik. Ersetzt man die in diesen Formeln vorkommenden
Aussagenvariablen durch elementare Formeln, wobei X� durch die zugehörige
elementare Formel � ersetzt wird (also die im ersten Schritt vorgenommenen
Ersetzungen rückgängig gemacht werden), so erhält man so einen Beweis
ψ1PL , . . . , ψnPL von ϕ ≡ (ϕAL )PL im Kalkül SPL , da - modulo dieser
Ersetzungen - alle Axiome/Regeln von SAL auch Axiome/Regeln von SPL
sind.
Also: �SPL ϕ d.h. � ϕ.
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Beweisidee des Tautologiesatzes: Teil (ii)
Unter Verwendung des ersten Teiles des Satzes (i) �AL ϕ ⇒ � ϕ zeigen wir
(ii) ϕ1 , . . . , ϕn �AL ϕ ⇒ ϕ1 , . . . , ϕn � ϕ
Man zeigt zunächst wie in der AL, dass der Modus Ponens (MP) eine
zulässige Regel ist.
Dann kann man wie folgt argumentieren:
ϕ1 , . . . , ϕn �AL ϕ
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⇒
⇒
⇒
...
⇒
�AL ϕ1 → ϕ2 → · · · → ϕn → ϕ
� ϕ1 → ϕ2 → · · · → ϕn → ϕ
ϕ1 � ϕ2 → · · · → ϕn → ϕ
(mit (i))
(mit (MP))
ϕ1 , . . . , ϕ n � ϕ
(mit (MP))
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Zulässigkeit aussagenlogischer Schlüsse: Zusammenfassung
Aus dem Tautologiesatz ergibt sich die Zulässigkeit von
Aussagenlogische Schlüsse
(AL)
ψ1 , . . . , ψn �AL ϕ (n ≥ 0) ⇒
ψ1 , . . . , ψn
ϕ
in SPL .
Für n = 0 ist hierbei (AL) das Axiomenschema
(AL)
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ϕ
(falls �AL ϕ)
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Zulässige Regeln
4.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
4.3.2 Generalisierung und Distribution
4.3.3 Ersetzung und Umbenennung
4.3.4 Substitution
4.3.5 Gleichheit
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∀-Einführungsregel (Hintere Generalisierung)
∀-Einführungsregel (Hintere Generalisierung):
(∀1)
ϕ→ψ
ϕ→∀x ψ
falls x �∈ FV (ϕ) (VB)
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
1.
2.
3.
4.
ϕ→ψ
¬ψ → ¬ϕ
∃x¬ψ → ¬ϕ
ϕ → ¬∃x¬ψ
≡ ϕ → ∀xψ
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Voraussetzung
AL: 1
∃1: 2 (VB erfüllt: x �∈ FV (¬ϕ))
AL: 3
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Generalisierungsregel
Generalisierung:
(∀2)
ϕ
∀x ϕ
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
1.
2.
3.
4.
ϕ
¬∀xϕ → ϕ
¬∀xϕ → ∀xϕ
∀xϕ
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Voraussetzung
AL: 1
∀1: 2 (VB erfüllt: x �∈ FV (¬∀xϕ))
AL: 3
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Distributionsregeln
(D∃ )
ϕ→ψ
∃x ϕ→∃x ψ
(D∀ )
ϕ→ψ
∀x ϕ→∀x ψ
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON D∃ (D∀ analog):
1.
2.
ϕ→ψ
ψ → ∃xψ
3.
4.
ϕ → ∃xψ
∃xϕ → ∃xψ
Mathematische Logik (WS 2011/12)
Voraussetzung
S1 (NB: ψ ≡ ψ[x/x]
und x ist für x substituierbar)
AL: 1,2
∃1: 4 (NB: VB erfüllt,
da x nicht frei in ∃xψ)
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Zulässige Regeln
4.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
4.3.2 Generalisierung und Distribution
4.3.3 Ersetzung und Umbenennung
4.3.4 Substitution
4.3.5 Gleichheit
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Ersetzungsregel
Ersetzungsregel
(E )
ψ1 ↔ ψ1� , . . . , ψn ↔ ψn�
ϕ ↔ ϕ�
falls ϕ� aus ϕ durch Ersetzen einzelner (von keinen bis allen) Vorkommen
der Teilformeln ψi durch ψi� entsteht (wobei die ersetzten Teilformeln nicht
ineinander liegen).
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Man zeigt dies durch Induktion nach dem Aufbau von ϕ. Wir geben im
Folgenden 2 Fälle (ϕ Disjunktions- bzw. Existenzformel) und lassen die
anderen beiden Fälle (ϕ atomar oder Negationsformel) als Übung.
Sei hierbei Ψ := {ψ1 ↔ ψ1� , . . . , ψn ↔ ψn� }.
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Ersetzungsregel: Nachweis der Zulässigkeit (1)
Fall: ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2
Dann muss ϕ� eine der folgenden Gestalten haben:
1
ϕ� ≡ ϕ
Dann ist ϕ ↔ ϕ� ≡ ϕ ↔ ϕ eine Tautologie, also nach (AL) beweisbar.
2
ϕ� ≡ ψi� wobei ϕ ≡ ψi
Dann ist ϕ ↔ ϕ� ≡ ψi ↔ ψi� ∈ Ψ, also trivialerweise aus Ψ beweisbar.
3
ϕ� ≡ ϕ�1 ∨ ϕ�2 , wobei nach I.V. ϕ1 ↔ ϕ�1 und ϕ2 ↔ ϕ�2 aus Ψ
beweisbar sind.
Dann gilt ϕ1 ↔ ϕ�1 , ϕ2 ↔ ϕ�2 �AL ϕ ↔ ϕ� . Es folgt daher Ψ � ϕ ↔ ϕ�
mit (AL) aus der I.V.
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Ersetzungsregel: Nachweis der Zulässigkeit (2)
Fall: ϕ ≡ ∃x ϕ̂
Dann muss ϕ� eine der folgenden Gestalten haben:
1
ϕ� ≡ ϕ
Siehe den entsprechenden Fall für ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2 .
2
ϕ� ≡ ψi� wobei ϕ ≡ ψi
Siehe den entsprechenden Fall für ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2 .
3
ϕ� ≡ ∃x ϕ̂� , wobei nach I.V. ϕ̂ ↔ ϕ̂� aus Ψ beweisbar ist
Dann gilt ϕ ↔ ϕ� ≡ ∃x ϕ̂ ↔ ∃x ϕ̂� . Die Behauptung folgt also aus der
I.V. mit der Distributionsregel (D∃ ).
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Substitutionsregel: Spezialfall
Spezialfall der Substitutionsregel:
(S2spez )
ϕ
ϕ[t/x]
falls t substituierbar (SB)
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
1.
2.
3.
4.
5.
ϕ
∀xϕ (≡ ¬∃x¬ϕ)
¬ϕ[t/x] → ∃x¬ϕ
¬∃x¬ϕ → ϕ[t/x]
ϕ[t/x]
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Voraussetzung
∀2: 1
S1 (SB nach Annahme erfüllt)
AL: 3 (NB: (¬ϕ)[t/x] ≡ ¬(ϕ[t/x]))
AL: 2,4
Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Umbenennung gebundener Variablen: 1. Spezialfall
1. Spezialfall der Umbenennungsregel für gebundene Variablen:
(U∗spez )
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] falls y �∈ V (ϕ) und x �∈ GV (ϕ)
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Wir benutzen, dass wegen y �∈ V (ϕ) gilt: (∗) (ϕ[y /x])[x/y ] ≡ ϕ
Hiermit erhält man:
1.
2.
ϕ[y /x] → ∃xϕ
∃y ϕ[y /x] → ∃xϕ
S1
∃1: 1
3.
(ϕ[y /x])[x/y ] → ∃y ϕ[y /x]
≡ ϕ → ∃y ϕ[y /x] (s. (∗))
∃xϕ → ∃y ϕ[y /x]
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x]
S1
4.
5.
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∃1: 3
AL: 2,4
(SB erfüllt, da y �∈ V (ϕ))
(VB erfüllt, da y �∈ V (ϕ)
also y �∈ FV (∃xϕ))
(SB erfüllt, da
x �∈ GV (ϕ) = GV (ϕ[y /x]))
(VB erfüllt: x �∈ FV (∃y ϕ[y /x]))
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Umbenennung gebundener Variablen: 2. Spezialfall
In
(U∗spez )
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] falls y �∈ V (ϕ) und x �∈ GV (ϕ)
ist die Forderung y �∈ V (ϕ) notwendig:
BEISPIEL: Für ϕ ≡ ∃y (y �= x) ist die Formel
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] ≡ ∃x∃y (y �= x) ↔ ∃y ∃y (y �= y )
nicht allgemeingültig, da die Seite links von ↔ in Strukturen mit mindestens zwei
Individuen gilt, die Seite rechts von ↔ dagegen unerfüllbar ist.
Auf die Forderung x �∈ GV (ϕ) in (U∗spez ) kann dagegen verzichtet werden:
2. Spezialfall der Umbenennungsregel für gebundene Variablen:
(Uspez )
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] falls y �∈ V (ϕ)
Die Zulässigkeit von (Uspez ) zeigt man durch Induktion nach der Länge von ϕ.
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Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Umben. geb. Variablen: Zulässigkeit von (Uspez )
Nachweis der Zulässigkeit von (Uspez ) ∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] falls y �∈ V (ϕ)
durch Induktion nach der Länge von ϕ. Es genügt die beiden folgenden Fälle zu
betrachten:
1
2
x �∈ GV (ϕ). Dann gilt Uspez wegen U∗spez .
x ∈ GV (ϕ). Dann enthält ϕ (eventuell ineinander geschachtelte) Teilformeln
∃xψi . Für neue Variablen zi �= y ist dann nach I.V. ∃xψi ↔ ∃zi ψi [zi /x]
beweisbar. Durch (eventuell iteriertes) Anwenden der Ersetzungsregel folgt,
dass es eine Formel ϕ∗ gibt mit
(∗)
� ϕ ↔ ϕ∗
und
y �∈ V (ϕ) ∪ V (ϕ∗ ) & x �∈ GV (ϕ∗ )
Hiermit zeigt man Uspez durch Rückgriﬀ auf U∗spez wie folgt.
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Umben. geb. Variablen: Zulässigkeit von (Uspez ) (Forts.)
ANNAHME (∗): � ϕ ↔ ϕ∗
und
y �∈ V (ϕ) ∪ V (ϕ∗ ) & x �∈ GV (ϕ∗ )
ZU ZEIGEN: � ∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x]
1.
ϕ ↔ ϕ∗
Annahme
2.
∃xϕ ↔ ∃xϕ∗
AL, D∃ : 1
3.
(ϕ ↔ ϕ∗ )[y /x]
≡ ϕ[y /x] ↔ ϕ∗ [y /x]
S2spez : 1
4.
∃y ϕ[y /x] ↔ ∃y ϕ∗ [y /x]
AL, D∃ : 3
5.
∃xϕ∗ ↔ ∃y ϕ∗ [y /x]
U∗spez
6.
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x]
AL: 2, 5, 4
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SB: y �∈ V (ϕ) ∪ V (ϕ∗ )
= V (ϕ ↔ ϕ∗ )
y �∈ V (ϕ∗ ) & x �∈ GV (ϕ∗ )!
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Umbenennung geb. Variablen: allgemeiner Fall
Umbenennung gebundener Variablen:
(U)
ϕ ↔ ϕ∗
falls ϕ∗ aus ϕ durch Umbenennung gebundener Variablen ensteht. Hierbei
darf bei Ersetzung einer Teilformel ∃xψ durch ∃y ψ[y /x] die Variable y
nicht in ψ vorkommen.
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Man zeigt dies durch Induktion nach dem Formelaufbau von ϕ mit Hilfe
von Uspez unter Verwendung aussagenlogischer Schlüsse und der
Distributionsregeln:
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Umben. geb. Variablen - allgemeiner Fall: Zulässigkeit
1
2
3
4
ϕ atomar. Dann gilt ϕ∗ ≡ ϕ, weshalb ϕ ↔ ϕ∗ eine Tautologie ist.
ϕ ≡ ¬ψ. Dann gilt ϕ∗ ≡ ¬ψ ∗ , wobei ψ ↔ ψ ∗ nach I.V. beweisbar ist. Es
folgt dann aber ϕ ↔ ϕ∗ (≡ ¬ψ ↔ ¬ψ ∗ ) mit AL.
ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2 . Dann gilt ϕ∗ ≡ ϕ∗1 ∨ ϕ∗2 , wobei ϕ1 ↔ ϕ∗1 und ϕ2 ↔ ϕ∗2 nach
I.V. beweisbar sind. Die Behauptung folgt hieraus wiederum mit AL.
ϕ ≡ ∃xψ. Dann muss einer der beiden folgenden Unterfälle vorliegen:
1
2
ϕ∗ ≡ ∃xψ ∗ . Dann ist ψ ↔ ψ ∗ nach I.V. beweisbar. Mit AL und D∃
folgt die Behauptung.
ϕ∗ ≡ ∃y ψ ∗ [y /x], wobei y �∈ V (ψ ∗ ). Dann gilt:
1.
2.
3.
4.
ψ ↔ ψ∗
∃xψ ↔ ∃xψ ∗
∃xψ ∗ ↔ ∃y ψ ∗ [y /x]
∃xψ ↔ ∃y ψ ∗ [y /x] (≡ ϕ ↔ ϕ∗ )
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I.V.
AL, D∃ : 1
Uspez ; NB: y �∈ V (ψ ∗ )
AL: 2,3
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Zulässige Regeln
4.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
4.3.2 Generalisierung und Distribution
4.3.3 Ersetzung und Umbenennung
4.3.4 Substitution
4.3.5 Gleichheit
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Substitutionsregel: Spezialfall
Erinnerung: Spezialfall der Substitutionsregel:
(S2spez )
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ϕ
ϕ[t/x]
falls t substituierbar (SB)
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Substitutionsregel: allgemeiner Fall
Substitutionsregel:
(S2)
ϕ
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
falls ti für xi substituierbar in ϕ (SB)
Hierbei bezeichnet ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] die simultane Substitution von ti
für xi in ϕ (i = 1, . . . , n).
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Die Idee ist die simultane Substitution durch eine sequentielle Substitution
- d.h. durch eine Folge einfacher Substitutionen - zu beschreiben und so
(S2) auf (S2spez ) zurückzuführen.
Hierzu wählen wir n neue Variablen, d.h. Variablen
y1 , . . . , yn �∈ {x1 , . . . , xn } ∪ V (ϕ) ∪ V (t1 ) ∪ · · · ∪ V (tn ).
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Substitutionsregel: Forts. d. Nachweis der Zulässigkeit
Für
ϕ̂ :≡ ϕ[y1 /x1 , . . . , yn /xn ] ≡ (. . . ((ϕ[y1 /x1 ])[y2 /x2 ]) . . . )[yn /xn ]
gilt dann
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] ≡ ϕ̂[t1 /y1 , . . . , tn /yn ] ≡ (. . . ((ϕ̂[t1 /y1 ])[t2 /y2 ]) . . . )[tn /yn ].
Hiermit ergibt sich:
1.
2.
3.
n + 1.
n + 2.
2n + 2.
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ϕ
ϕ[y1 /x1 ]
(ϕ[y1 /x1 ])[y2 /x2 ]
...
ϕ̂
ϕ̂[t1 /y1 ]
...
(. . . (ϕ̂[t1 /y1 ]) . . . )[tn /yn ]
≡ ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
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Voraussetzung
S2spez : 1
S2spez : 2
S2spez : n
S2spez : n + 1
S2spez : 2n + 1
(s.o.)
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Substitutionssatz: zulässige Substitutionsaxiome
(S2∃ )
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ x1 . . . ∃ xn ϕ
(falls SB erfüllt)
(S2∀ )
∀ x1 . . . ∀ xn ϕ → ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
(falls SB erfüllt)
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON S2∃ :
Durch (iterierte) Anwendung der Umbennenungsregel (U) auf ϕ erhalten wir
zunächst eine Formel ϕ� mit � ϕ ↔ ϕ� , in der x1 , . . . , xn nicht mehr als
gebundene Variablen auftreten, sondern durch neue (auch nicht in t1 , . . . , tn
vorkommende) Variablen ersetzt wurden. Seien nun y1 , . . . , yn neue Variablen, die
in ϕ, ϕ� , t1 , . . . , tn und {x1 , . . . , xn } nicht vorkommen. Die Formel
ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ] enthält die Variablen x1 , . . . , xn dann überhaupt nicht mehr
(weder in freier noch in gebundener Form), was wir am Ende des folgenden
Beweises verwenden.
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1.
n
n
n
n
n
n.
+ 1.
+ 2.
+ 3.
+ 4.
+ 5.
n + 6.
n + 7.
ϕ → ∃xn ϕ
...
∃x2 . . . ∃xn ϕ → ∃x1 ∃x2 . . . ∃xn ϕ
ϕ → ∃x1 ∃x2 . . . ∃xn ϕ
ϕ → ∃x1 ∃x2 . . . ∃xn ϕ�
∃x1 ∃x2 . . . ∃xn ϕ� ↔ ∃y1 ∃y2 . . . ∃yn ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ]
ϕ → ∃y1 ∃y2 . . . ∃yn ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ]
(ϕ → ∃y1 ∃y2 . . . ∃yn ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ])[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
≡ ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ y1 . . . yn ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ]
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ x1 . . . ∃ xn ϕ�
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ x1 . . . ∃ xn ϕ
S1
S1
AL: 1, . . . , n
E: n + 1
U, da y1 , . . . , yn �∈ V (ϕ� )
AL: n + 2, n + 3
S2: n + 2
AL: n + 3, n + 5
E: n + 6
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON S2∀ :
1.
2.
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¬ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ x1 . . . ∃ xn ¬ϕ
∀ x1 . . . ∀ xn ϕ → ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
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S2∃
AL: 1
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Allabschluss
(∀31 )
ϕ
∀ϕ
(∀32 )
∀ϕ
ϕ
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON (∀31 ) und (∀32 ):
Sei FV (ϕ) = {x1 , . . . , xn } und ∀ϕ ≡ ∀x1 . . . ∀xn ϕ.
(∀31 ) :
1.
2.
n.
(∀32 ) :
1.
2.
3.
ϕ
∀xn ϕ
...
∀x1 . . . ∀xn ϕ (≡ ∀ϕ)
Voraussetzung
∀2: 1
(∀ϕ ≡) ∀x1 . . . ∀xn ϕ
∀x1 . . . ∀xn ϕ → ϕ[x1 /x1 , . . . , xn /xn ]
ϕ[x1 /x1 , . . . , xn /xn ] (≡ ϕ)
Voraussetzung
S2∀
AL: 1,2
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∀2: n
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Zulässige Regeln
4.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
4.3.2 Generalisierung und Distribution
4.3.3 Ersetzung und Umbenennung
4.3.4 Substitution
4.3.5 Gleichheit
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Weitere Gleichheitsaxiome: Symmetrie
(G5)
s=t→t=s
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
1.
2.
3.
4.
x =x
x =y ∧x =x ∧x =x →y =x
x =y →y =x
s=t→t=s
(≡ (x = y → y = x)[s/x, t/y ])
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G1
G4
AL: 1,2
S2: 3 (SB trivialerweise erfüllt)
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Weitere Gleichheitsaxiome: Ununterscheidbarkeit
(G6)
t1 = t1� ∧ . . . ∧ tn = tn� → s = s �
falls s � aus s durch Ersetzen einiger (oder auch aller) Vorkommen der Terme ti
durch die entsprechenden Terme ti� entsteht.
(G7)
t1 = t1� ∧ . . . ∧ tn = tn� → (ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] ↔ ϕ[t1� /x1 , . . . , tn� /xn ])
falls die Terme ti und ti� für xi in ϕ substituierbar sind.
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Man zeigt dies durch Induktion nach dem Aufbau des Terms s (G6) bzw. der
Formel ϕ (G7). Wir verzichten auf die einfachen Beweise (Übung!).
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