Gravitationswechselwirkung

Gravitationswechselwirkung
P² = k<r>³
dA/dt = ½ r  dr/dt = ½ r  v = const.
 L = r  p = m (r  v) = const.
 Zentralkraft
Gravitationswechselwirkung = Anziehungskraft:
F =  mM/R²
Gravitationskonstante bzw. Proportionalitätskonstante:
 = 6,67 . 10-11 N m² kg-2 (oder m³ kg-1 s-2)
mg =  mM/R²
 g =  M/R²
Potentielle Energie der Gravitation:
Ep = -mM/R
Gesamtenergie:
E = Ek + Ep = ½ mv² + ½ MV² - mM/R
ESystem = alle Teilchen ½ mivi² - alle Paare mimj/rij
m bewegt sich in einer Kreisbahn um M:
FN = mv²/r  mv²/r =  mM/r²  ½ mv² = ½ mM/r  E = -mM/2r
E < 0:
elliptische oder gebundene Bahn
E > 0:
Teilchen erreicht das Unendliche;
r = ; Geschwindigkeit in unendlicher Entfernung v;
E = ½ mv²
[Hyperbel]
v = (2E/m)1/2
E = 0:
Teilchen ruht im Unendlichen;
v = 0;
[Parabel]
Gesamtenergie eines Satelliten:
E = ½ mv0² - mM/R+h
v0 = horizontale Geschwindigkeit des Satelliten;
Fluchtgeschwindigkeit = Mindestgeschwindigkeit, mit der ein Körper von der Erde abgeschossen
werdn muss, um das Unendliche zu erreichen;
 E0
½ mve² - mM/R = 0  ve = (2M/R)1/2 = 1,13 . 104 m s-1
F = -mM/R² ur
Stärke des Gravitationsfeldes (Schwerefeld):
 = F/M = -m/r² ur
Einheit: N kg-1 oder ms-2
F = (Masse des Teilchens)  
g = W/m
F = m1 + m2 + m3...
= m (1 + 2 + 3...)
 = 1 + 2 + 3...
F = m oder
 = F/m
Gravitationspotential an einem Punkt = potentielle Energie pro Masseneinheit an diesem Punkt
des Gravitationsfeldes:
V = Ep/m oder Ep = mV
Einheit: J kg-1 oder m²s-2
V = -m/r
VSystem = - i mi/ri
F = -grad Ep
oder
Fs = dEp/ds
da: F = m und Ep = mV
  = -grad V
oder
s = -dV/ds
s = Komponente von  in Richtung der Verschiebung ds;
Radiales Gravitationsfeld einer Punktmasse:
 = -dV/dr   = -ur dV/dr   = -m/r² ur
Arbeit, die das Schwerefeld leistet, wenn sich ein Teilchen der Masse m längs eines beliebigen
Weges von Punkt P1 nach P2 bewegt:
W = Ep1 – Ep2 = m (V1 – V2)
Hohlkugel:
innerhalb:  = 0; V = const.
a = Radius der Hohlkugel
m = Masse der Hohlkugel
Schwerefeld und erzeugtes Potential im Abstand r vom Mittelpunkt der Kugel;
 = -m/r² ur
V = -m/r
,r>a
=0
V = -m/a
,r<a
Vollkugel:
a = Radius der Vollkugel
 = -m/r² ur
,r>a
 = -mr/a³ ur
,r<a
Elektrische Wechselwirkung
q = elektrische Ladung
q/q' = F/F'
Elektrostatik:
F = Ke qq'/r²
r = Abstand zw. den beiden Ladungen q und q'
F = Kraft auf jede der beiden Ladungen
Ke = Konstante = 1/ 40 = 10-7 c² = 8,9874 . 109  9 . 109 N m² C-2 oder m³ kg s-2 C-2
c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum = 2,9979 . 108  3 . 108 ms-1
0 = dielektrische Konstante im Vakuum = 107/ 4c² = 8,854 . 10-12 N-1 m-2 C² oder m-3 kg-1 s² C²
C = Coulomb = Einheit der Ladung
Coulombsches Gesetz:
F = qq'/ 40r²
 negativer Wert von F = Anziehung
 positiver Wert von F = Abstoßung
Elektrische Feldstärke:
 = F/q oder F = q
Einheit: N C-1 oder m kg s-2 C-1
ma = q oder a = q/m . 
 elektrisches Feld im Abstand r von einer Punktladung q:
 = q/ 40r² ur
 weist von einer positiven Ladung weg, auf eine negative Ladung zu;
 = 1 + 2 + 3 + ...
Vollkugel:
a = Radius der Vollkugel
[+  ]
Q = über das gesamte Volumen gleichmäßig verteilte Ladung
 = Q/ 40r²
,r>a
 = Qr/ 40a³
,r<a
Hohlkugel:
a = Radius der Hohlkugel
Q = über die gesamte Oberfläche gleichmäßig verteilte Ladung
 = Q/ 40r²
,r>a
=0
,r<a
q = Ladungsänderung = ne = Vielfaches einer fundamentalen Ladung e
e = Elementarladung = 1,6021 . 10-19 C
Erhaltung der Ladung = Gesamtladung eines isolierten Systems bleibt konstant;
Elektrisches Potential an einem Punkt = potentielle Energie pro Ladungseinheit an diesem Punkt
des elektrischen Feldes:
V = Ep/q oder Ep = qV
Einheit: J C-1 oder V [Volt] oder m² kg s-2 C-1
V = q/ 40r
Vsystem = 1/ 40 i qi/ri
Arbeit, die das elektrische Feld leistet, wenn sich eine Ladung q längs eines beliebigen Weges von
Punkt P1 nach P2 bewegt:
W = Ep1 – Ep2 = q(V1 – V2)
eV = Elektronenvolt = 1,6021 . 10-19 C . 1V = 1,6021 . 10-19 J
 = -grad V
oder
s = -dV/ds
s = Komponente von  in Richtung der Verschiebung ds;
Radiales elektrisches Feld einer Punktladung q:
 = -dV/dr   = -ur dV/dr   = q/ 40r² ur ??
V/m = J/ Cm = Nm/ Cm = N/C
Potentielle Energie:
Ep = qq'/ 40r
Ep System = alle Paare qq'/ 40r
Gesamtenergie:
E = Ek + Ep = ½ mv² + qV = ½ mv² + qq'/ 40r
ESystem = alle Teilchen ½ mivi² + alle Paare qq'/ 40r
Energieerhaltung:
½ mv1² + qV1 = ½ mv2² + qV2
 ½ mv2² - ½ mv1² = q(V1 – V2)
 q > 0 gewinnt kinetische Energie, falls V1 > V2
 q < 0 gewinnt an Energie, falls V1 < V2
Elektrischer Strom = Strom geladener Teilchen:
Stromstärke = elektrische Ladung, die pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt des Bereichs tritt, in
dem der Strom fließt;
I = dQ/dt
Einheit: C s-1 oder A [Ampère]
Q = Nq
N = Anzahl geladener Teilchen
q = Ladung jedes Teilchens
Q = gesamte durchtretende Ladung durch einen Querschnitt des leitenden Mediums
Energiegewinn = NqV = QV
Leistung = Energie pro Zeiteinheit:
P = QV/ t = VI
V = Potentialunterschied
VA = J/C . C/s = J/s = W [Watt]
Magnetische Wechselwirkung
Magnetische Kraft:
Kraft F auf eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld bewegt;
F = qv  
 F  v  Arbeit W = 0
 = magnetische Feldstärke [Einheit: N/C m s-1 oder kg s-1 C-1 = T [Tesla]]
Lorentzkraft [elektromagnetische Kraft]:
Teilchen bewegt sich in einem elektrischen und einem Magnetfeld;
F = q( + v)
Betrag von F:
F = qv sin
 = Winkel zw. v und 
 größtes F, wenn  = /2 oder v    F = qv
 F = 0, wenn  = 0 oder v || 
Bewegung eines geladenen Teilchens senkrecht zu einem gleichförmigen Magnetfeld 
gleichförmige Kreisbewegung:
mv²/r = qv  r = mv/q  p = mv = qr
r = Radius des Kreises
 Je größer die Energie (oder Impuls p = mv), umso größer der Radius der Bahn und desto
kleiner die Krümmung;
v = r und  = Winkelgeschwindigkeit:
 = q/m . 
a =   v und F = ma  m  v = qv      v = - (q/m)  v
  = - (q/m) = Zyklotronfrequenz
 ... Leserrichtung
 ... Buchrichtung
Bewegung eines geladenen Teilchens in einem ungleichförmigen Magnetfeld:
r = mv/q
 Je größer , desto kleiner r;
 Magnetfeld ungleichförmig  Bahn ist keine Kreisbahn;
Magnetische Kraft auf einen elektrischen Strom:
F = IuT   dl
 geradliniger Leiter in gleichförmigem Magnetfeld  uT und  konstant:
F = IuT  dl
L = dl = Länge des geradlinigen Leiters
 F = IluT  
 F  uT und 
Betrag von F:
F = IL sin
 = Winkel zw. uT und 
 F = 0, wenn uT ||  oder  = 0
 F = maximal, wenn uT   oder  = /2
Stromdichte = Ladung, die pro Zeiteinheit durch Flächeneinheit tritt:
j = nqv
n = Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit
nv = Gesamtzahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit durch die Einheitsfläche treten
I = jS = nqvS
S = Flächenquerschnitt des Leiters  zu j
f = Kraft pro Volumeneinheit:
f = nqv   = j  
Gesamtkraft auf ein endliches Volumen  Integration über das Gesamtvolumen:
F = Vol j   dV
Bsp.: geradlinger Draht:
dV = S dl
 j = juT
 F = Draht j  S dl
[uT = Einheitsvektor längs der Achse des Drahtes]
Magnetisches Moment auf einen elektrischen Strom:
F = IL
Hebelarm = L' sin
  = (IL)(L' sin)
LL' = S
  = (IS) sin
Magnetisches Dipolmoment des Stromes:
M = ISuN
  zur Ebene des Stromkreises
Einheit: JT-1 oder m² s-1 C
 Magnetisches Moment:
=M
Betrag von :
 = M sin
Potentielle Energie des Stromes in einem Magnetfeld:
Ep = -M cos = -M . 
Magnetfeld, das von einem geschlossenen Strom erzeugt wird:
Ampère-Laplacesches Gesetz:
 = Km I  uT  ur/ r² dl = Integral über den gesamten geschlossenen Stromkreis ( );
Km = Konstante = 0/ 4 = 10-7 T m/A oder m kg C-2
0 = Permeabilität des Vakuum = 4 . 10-7 = 1,2566 . 10-6 m kg C-2
  = 0/4 . I  uT  ur/ r² dl
Magnetfeld eines geradlinigen Stromes:
Biot-Savart Regel:
  = 0I/ 2R u
R = Abstand zum Strom
u = Einheitsvektor tangential zur Kraftlinie
 Magnetfeld ohne Punktquellen = solenoid
Magnetfeld eines Kreisstroms:
 = 0Ia²/ 2(a² + x²)3/2
a = Radius des Kreisstroms
x = Abstand des Magnetfeldes vom Mittelpunkt
 Magnetfeld im Mittelpunkt [x = 0]:
 = 0I/2a
Bsp.: Solenoidstrom:
 kreisförmige Schlingen mit gleichem Radius und gleichem Strom;
Magnetfeld im Mittelpunkt:
 = 0IN/L
Magnetfeld an den Enden:
 = 0IN/2L
N = Windungen
Magnetfeld einer beweglichen Ladung:
 = 0/4 . qv  ur/ r²
Betrag von :
 = 0/4 . qv sin/r²
r = Abstand des Magnetfeldes von der Ladung
   r und v
 Betrag des Magnetfeldes || Bewegungslinie = 0
 Maximalwert =  zur Bewegungslinie durch die Ladung
elektrisches Feld , das durch die Ladung q erzeugt wird:
 = qur/ 40r²
  = 00v   = 1/c² v  
c = 1/ (00)1/2 = 2,9979 . 108  3 . 108 m s-1
c² = 1/ 00 = Ke/ Km
Ke = Km c² = 10-7 c²
 Ladung in Ruhe erzeugt ein elektrisches Feld
 bewegliche Ladung erzeugt ein elektromagnetisches Feld
Kräfte zw. 2 parallelen Strömen I und I':
F' = I' u'T   dl'
 u'T   = -uR
uR = Einheitsvektor von I nach I'
F' = I' ( -uR . 0I/ 2R ) dl' = -uR ( 0II'/ 2R )  dl' = -uR . 0II'/ 2R . L'
 Strom I zieht Strom I' an;
 2 parallele Ströme in gleicher Richtung ziehen einander mit gleicher Kraft an;
Statisches elektromagnetisches Feld
Fluss eines Vektorfeldes:
S = Oberfläche
dS1, dS2, dS3, ... = infinitesimale Flächen der Oberfläche
V = Vektorfeld
u1, u2, u3, ... = Einheitsvektoren  zu den infinitesimalen Flächen = uN
1, 2, 3, ... = Winkel zw. Vektoren u1, u2, u3, ... und Feldvektoren V1, V2, V3, ...
 = Fluss von V = V1 dS1 cos1 + V2 dS2 cos2 + V3 dS3 cos3 + ... =
= V1u1 dS1 + V2u2 dS2 + V3u3 dS3 + ... =
= S V cos dS =
= S VuN dS
[Oberflächenintegral]
 Feld V tangential oder parallel zum Oberflächenelement dS   = /2  cos = 0
  durch dS = 0;
 bei geschlossener Oberfläche:
 =  S V cos dS =  S VuN dS
Linienintegral und Zirkulation eines Vektorfeldes:
Bewegung von A nach B:
W = L Fdl
Bewegung von A nach A [geschlossene Bahn]:
W =  Fdl = 0
[konservative Kraft F]
Linienintegral des Vektorfeldes V von A nach B längs des Weges L:
L Vdl
Zirkulation des Vektorfeldes V [geschlossene Bahn:
 Vdl
Raumwinkel:
 = S/R²  d = dS/R²
 falls dS nicht senkrecht, projizieren:
dS' = dS cos  d = dS cos/R²
Das elektrische Feld
Arbeit, die pro Einheitsladung längs des Weges L geleistet wird = L dl
 geschlossene Bahn  Zirkulation des elektrischen Feldes 
elektromotorische Kraft [Emk] V:
Emk = V =  L dl
Einheit: Volt
Spezialfall: statisches [zeitunabhängiges] elektrisches Feld:
 Arbeit = Potentialunterschied [Spannung]
L dl = VA – VB
 geschlossene Bahn:
V =  dl = 0
Gaußsches Gesetz für das elektrische Feld:
 = q/ 40r² ur
q = Punktladung
r = Radius der Kugel
ur = radialer Einheitsvektor
  = Winkel zw.  und ur = 0  cos = 1
4r² = Fläche der Kugel
 elektrischer Fluß  durch eine geschlossene Oberfläche, die die Ladungen q1, q2, q3, ...
einschließt:
 =  S  dS =   S dS = S = q/ 40r² . (4r²) = q/ 0 =  S  uN dS
 gilt für jede beliebige Ladung q [q1 + q2 + q3 + ...] innerhalb der geschlossenen Oberfläche;
 außerhalb der geschlossenen Oberfläche:  = 0;
[ Gesamtladung = q = L
L = Länge eines geladenen Körpers
 = Ladung pro Längeneinheit ]
Polarisierung =  = np
 = Polarisierung eines Materials = elektrisches Dipolmoment des Mediums pro Volumeneinheit
p = Dipolmoment
n = Anzahl der Atome bzw. Moleküle pro Volumeneinheit
Einheit: C m-2
(lS) = (S)l
pol = N =  cos
S = Oberfläche ("Querschnitt")
l = Abstand zw. positiven und negativen Ladungen = Länge des Körpers
dielektrische Verschiebung:
 = 0 + 
Einheit: C m-2
frei = 
 Oberflächenladungsdichte [freie Ladungen pro Flächeneinheit auf der Oberfläche des Leiters]
= elektrische Verschiebung im Dielektrikum;
frei =  uN =  cos
 =  S  uN dS =  S frei dS = qfrei
 Fluß von  über eine geschlossene Oberfläche ist gleich der gesamten „freien“ Ladung
innerhalb der Oberfläche;
 = 0e
e = elektrische Suszeptibilität des Materials
 = 0 + 0e = (1 + e) 0 = 
 = / = (1 + e) 0 = Dielektrizitätskonstante [DK] des Mediums
[ Einheit: m-3 kg-1 s² C² ]
relative DK:
r = / 0 = 1 + e
qfrei =  S  uN dS
[unabhängig von jedem Einheitssystem]
  = const.  Medium homogen:
 =   uN dS = qfrei/ 
q = eine in einem Dielektrikum eingebettete Punktladung:
 = q/ 4r² ur
und
V = q/ 4r
q1, q2 = 2 in einem Dielektrikum eingebettete Punktladungen:
F = q1q2/ 4r²
und
Ep = q1q2/ 4r
Kapazität eines isolierten Leiters:
Einheit: C V-1 oder F [Farad] oder m-2 kg-1 s² C²
C = Q/V
Kapazität eines sphärischen Leiters:
C = Q/V = 4R
[in einem Dielektrikum]
C0 = 40R
[im Vakuum]
 mit einem Dielektrikum erhöht man die elektrische Kapazität um / 0;
Kapazität zweier Leiter mit Ladungen Q bzw. -Q und Potentialen V1 und V2:
C = Q/ V1 – V2 = Q/V
 Kondensator:
Dielektrikum zw. zwei parallelen Platten im Abstand d; gleichförmiges elektrisches Feld zw. Den
Leitern;
Potentialunterschied = V1 – V2 = d/ 
 = Oberflächenladungsdichte
C = S/ d
S = Fläche der Metallplatten
Q = S
C0 = 0S/ d
[Kapazität eines Kondensators ohne Substanz zw. den Platten]
 das zw. den Platten zu untersuchende Material  neue Kapazität:
C/C0 = / 0 = r
Kondensatoren in Serie:
1/C = 1/C1 + 1/C2 + ... + 1/Cn
Parallel:
C = C1 + C2 + ... + Cn
Leiter der Kapazität C mit der Ladung q:
Potential = V = q/C
 Zufuhr der Ladung dq:
geleistete Arbeit = dW = V dq
Arbeit = Energiezunahme des Leiters dE = q dq/ C
gesamte Energiezunahme = E = 1/C 0Q q dq = Q²/ 2C
Spezialfall: auf der Oberfläche geladener sphärischer Leiter:
C = 4R
E = ½ (Q²/ 4R)
Integral über den gesamten Raum außerhalb der Kugel:
E = ½  R ² dv
Energie, die zum Aufbau eines Ladungssystems notwendig ist:
E = ½  gesamter Raum ² dv
Energiedichte eines elektrischen Feldes:
E = ½ ²
Radius eines Elektrons:
re = 1/ 40 . e²/ mec² = 2,8178 . 10-15 m
Das magnetische Feld
Ampèresches Gesetz für das magnetische Feld:
 unendlicher geradliniger Strom I in einem statischen [zeitunabhängigen] magnetischen Feld;
 = 0I/ 2r u
 Zirkulation von  [tangential zum Weg und konstanter Betrag] über einen kreisförmigen Weg
vom Radius r:
 dl = dl
Zirkulation des Magnetfeldes längs einer geschlossenen Linie, die die Ströme I1, I2, I3, ... umschließt
= magnetomotorische Kraft:
 =  L  dl =  L  dl =   L dl = L = (0I/ 2r) . ( 2r)
 L = 2r
  = 0I
 gilt für jede beliebige Gestalt des Stromes I [I1 + I2 + I3 + ...], der durch die Linie L
umschlossen wird;
Magnetischer Fluß = Magnetfeld mal Fläche:
 = S  uN dS
Einheit: T m² oder Wb [Weber] oder m² kg s-1 C-1
 Der Fluß des Magnetfeldes durch eine geschlossene Oberfläche ist immer Null:
 S  uN dS = 0
[Gaußsches Gesetz für das Magnetfeld]
 Magnetisierung führt zu resultierenden Strom Imag auf der Oberfläche des Materials;
Magnetisierungsvektor eines Materials  = magnetisches Moment pro Volumeneinheit;
m = magnetisches Dipolmoment;
n = Anzahl der Atome bzw. Moleküle pro Volumenelement;
 = nm
Einheit: A m-1 oder m-1 s-1 C
(lS) = (l)S
l = Länge des Körpers
S = Querschnitt
Imag = 
Magnetisierendes Feld:
 = 1/0 ( - )
Einheit: A m-1 oder m-1 s-1 C
 Zirkulation des magnetisierenden Feldes längs eines geschlossenen Weges = der gesamte freie
Strom, den der Weg umschließt:
 =  L  dl = Ifrei
Ifrei = gesamter durch frei fließende Ladungen verursachter Strom, der vom Weg L umschlossen
wird;
Magnetische Suszeptibilität und Permeabilität:
 = 0 ( + )
 = m
m = magnetische Suszeptibilität des Materials
 = 0 ( + m) = 0 (1 + m) = 
 = / 0 = 1 + m
[ m = C/T  Curiesches Gesetz ]
 Zirkulation des magnetischen Feldes; Medium homogen;  = const.:
 L 1/ . dl = Ifrei

 =  L  dl = Ifrei
Zeitabhängige elektromagnetische Felder
 ein veränderliches magnetisches Feld erfordert die Anwesenheit eines elektrischen Feldes;
 ein veränderliches elektrisches Feld erfordert ein magnetisches Feld;
 Je größer die zeitliche Veränderung des Flusses, desto größer ist die induzierte Emk;
Faraday-Henrysches Gesetz der elektromagnetischen Induktion:
V = - d/ dt
Einheit: V oder m² kg s-2C-1
  = S  uN dS
und
V =  L dl
  L dl = - d/ dt . S  uN dS
Selbstinduktion:
Eigenfluß = I = LI
L = Selbstinduktionskoeffizient des Leiters [ Einheit: Wb A-1 oder H [Henry] oder m² kg C-2 ]
selbstinduzierte Emk = VL = - dI/ dt = - L . dI/ dt
Rate der Energiezufuhr = -VLI = (L . dI/ dt) I
 zeitliche Veränderung der magnetischen Energie eines Stromes:
dE/ dt = LI . dI/ dt
 magnetische Energie, die erforderlich ist, um einen Strom von 0 auf I zu erhöhen:
E = 0E dE = 0I LI dI = ½ LI²
 magnetische Energie E als Integral über das gesamte Volumen, in dem das Magnetfeld
herrscht:
E = 1/ 2  ² dv
dv = Volumenelement
magnetische Energiedichte = Energie, die pro Volumeneinheit in dem Magnetfeld gespeichert
wird:
E = 1/ 2 .²
elektromagnetische Energiedichte = Gesamtenergie pro Volumeneinheit im elektromagnetischen
Feld:
E = ½ ² + 1/ 2 .²
Gekoppelte Stromkreise:
2 = MI1
1 = MI2
und
M = Gegeninduktivität der beiden Stromkreise
VM2 = - M dI1/ dt
und
[Einheit: H]
VM1 = - M dI2/ dt
 Energie kann zw. 2 Stromkreisen über das elektromagnetische Feld ausgetauscht werden;
Gesamtenergie eines Systems zweier wechselwirkender geladener Teilchen:
E = ½ m1v1² + ½ m2v2² + Efeld
Efeld = Ep = q1q2/ 40r12
S = geschlossene Fläche
q = Gesamtladung im Innern zu jedem Zeitpunkt
 Prinzip der Erhaltung der Ladung:
Ladungsverlust = austretender Ladungsfluß – eintretender Ladungsfluß = überschüssiger
austretender Ladungsfluß;
Igo = Ladungsverlust innerhalb der geschlossenen Oberfläche pro Zeiteinheit = -dq/ dt
"go = geschlossene Oberfläche"
 Gesamtladung innerhalb einer geschlossenen Oberfläche ausgedrückt durch das elektrische
Feld an der Oberfläche:
q = 0  S  uN dS  dq/ dt = 0 d/ dt  S  uN dS
 Igo + 0 d/ dt  S  uN dS = 0
[ Igo = 0 für statische Felder ]
Ampère-Maxwellsches Gesetz:
 L dl = 0I
und
I + 0 d/ dt S  uN dS
  L dl = 0[I + 0 d/ dt S  uN dS]
 in Abwesenheit von Strömen:
 L dl = 00 d/dt S  uN dS =  = 00 . d/ dt