Übungen zur Vorlesung Kanonische Formulierung der ART Blatt 3

Übungen zur Vorlesung
Kanonische Formulierung der ART
von Domenico Giulini
Blatt 3
Aufgabe 1
Für das speziell-relativistische Teilchen im Minkowskiraum seien die folgenden drei, einparametrigen Scharen (Scharparameter τ ) von Phasenraumfunktionen definiert (a = 1, 2, 3):
xa (τ ; q, p) = −cτ
pa M0a
−
p0
p0
= q a − (q 0 − cτ ) p
pa
.
2
p~ + m2 c2
(1)
Hierbei ist Mµν := qµ pν − qν pµ mit q µ als affinen Koordinaten im Minkowskiraum und zugehörigen Linearimpulsen pµ .
Zeigen (oder argumentieren) Sie, dass es sich bei den sechs Funktionen
(x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 ) um Observable handelt. Interpretieren Sie diese und
berechnen Sie die Poisson-Klammern zwischen ihnen.
Hinweis: Mit der Poisson-Klammer als Lie-Produkt erhalten die 10 Funktionen pµ und Mµν die Struktur der Lie-Algebra der Poincaré-Gruppe:
{pµ , pν } = 0 ,
{pµ , Mαβ } = −ηµα pβ + ηµβ pα ,
(2)
{Mµν , Mαβ } = ηµα Mνβ + ηνβ Mµα − ηµβ Mνα − ηνα Mµβ .
Aufgabe 2
Seien g und ĝ zwei (semi-)Riemann’sche Metriken auf einer Mannigfaltigkeit
M . Die zugehörigen Levi-Civita kovarianten Ableitungen auf Vektorfeldern
ˆ und ∇. Ihr Differenztensor ist ∇
ˆ − ∇ =: ∆ ∈ ST 1 (M ). Zeigen Sie,
seien ∇
2
dass in Komponenten mit h := ĝ − g gilt
∆cab = 21 ĝ cd −∇d hab + ∇b hda + ∇a hbd ,
(3)
und dass die Komponenten der Krümmungstensoren folgender Beziehung
genügen:
R̂ab cd = Rab cd + ∇c ∆adb − ∇d ∆acb + ∆acn ∆ndb − ∆adn ∆ncb .
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(4)
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Berechnen Sie die entsprechenden Ausdrücke zu (3) und (4) in linearer Ordung in h. Zeigen Sie, dass in linearer Ordnung die Differenz der Skalaren
Krümmungen (Ricci Skalare) gegeben ist durch
R̂ − R = ∇a V a
(5)
mit
V a = ∇b hab − ∇a h ,
hab = g ac g bd hcd ,
h = g ab hab .
(6)
Aufgabe 3
Seien ĝ und g zwei glatte (pseudo-)Riemann’sche Metriken auf der Mannigfaltigkeit M der Dimension n > 2. Die Metriken seien konform äquivalent.
Es existiert also eine glatte Funktion φ : M → R, so dass
ĝ = e2φ g .
(7)
Der kovariante (alle Indizes unten) Krümmungstensor Riemĝ zum LeviCivita-Zusammenhang von ĝ kann durch den kovarianten Krümmungstensor
Riemg zum Levi-Civita-Zusammenhang von g und der Funktion φ wie folgt
ausgedrückt werden (vgl. Übungen zur Differentialgeometrie 1, Blatt 5 Aufgabe 2):
h
i
Riemĝ = e2φ Riemg + eφ ∇∇ e−φ ? g − 21 kdφk2g g ? g .
(8)
Dabei bezeichnet ∇ die kovariante Ableitung des Levi-Civita Zusammenhangs zu g und ? das das sogenannte Kulkarni-Nomizu Produkt, das jedem
Paar symmetrischer kovarianter Tensoren einen kovarianten Tensor 4. Stufe
mit den Symmetrien des kovarianten Krümmungstensors zuordnet:
h ? k(X1 , X2 , X3 , X4 ) := h(X1 , X3 ) k(X2 , X4 )
+ h(X2 , X4 ) k(X1 , X3 )
− h(X1 , X4 ) k(X2 , X3 )
(9)
− h(X2 , X3 ) k(X1 , X4 ) .
Oder in Komponenten:
(h ? k)abcd = hac kbd + hbd kac − had kbc − hbc kad .
(10)
Berechnen Sie aus (8) die Relation der Ricci-Skalare (Skalaren Krümmungen). Zeigen Sie, dass diese durch Setzung von
2
exp(φ) = Φ n−2
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(11)
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in einer Form geschrieben werden kann, die keine Terme mit kdΦk2g mehr
enthält und folgende einfache Form hat:
n+2
− n−2
Rĝ = − 4(n−1)
Dg Φ .
n−2 Φ
(12)
Dabei ist Dg der von der Metrik g abhängige, lineare Differentialoperator
Dg := ∆g −
n−2
4(n−1) Rg
.
(13)
wo ∆g = g ab ∇a ∇b den Laplace-Operator (bzw. Wellenoperator bei Indefinitem g) bezüglich der Metrik g bezeichnet und Rg den Ricci-Skalar zu
g.
Zeigen Sie mit Hilfe von (12), dass der Operator Dg folgende Transformationseigenschaft unter konformen Änderungen der Metrik besitzt:
n+2
D
4
Φ n−2 g
= M Φ− n−2 ◦ Dg ◦ M (Φ) .
(14)
Dabei ist M (Ψ) der lineare Operator der Multiplikation mit Ψ.
In der kanonischen Gravitation ist im Zusammenhang mit der Lösung des
Hamilton-Constraints der Fall n = 3 relevant.
Aufgabe 4
Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum mit einer positiv-definiten
symmetrischen Bilinearform h ∈ W := V ∗ ∨ V ∗ (hier bezeichnet ∨ das
symmetrische Tensorprodukt). Mit Hilfe von h kann man nun auf W eine
einparametrige Schar Gλ ∈ W ∗ ∨ W ∗ (der Parameter heiße λ ∈ R) von
symmetrischen Bilinearformen definieren:
Gλ (k, `) = Sp(k ] ◦ `] ) − λSp(k ] )Sp(`] ) .
(15)
Dabei ist k ] ∈ V ⊗ V ∗ der durch
h zu k assoziierte Endomorphismus, der
definiert ist durch h k ] (v), w = k(v, w) für alle v, w ∈ V , und Sp : V ⊗V ∗ →
R ist die übliche Spurfunktion.
Zeigen Sie: Ist {e1 , · · · , en } eine Basis von V und {θ1 , · · · , θn } die zugehörige
Dualbasis. Dann gilt für die diesbezüglichen Komponenten
cd
Gλ (k, `) = Gab
kab `cd =
λ
1
2
hac hbd + had hbc − 2λ hab hcd kab `cd .
(16)
Sei nun λ 6= 1/n. Zeigen Sie, dass entsprechend die Komponenten der inversen Metrik G−1
λ ∈ W ∨ W gegeben sind durch
Gλab cd =
1
2
hac hbd + had hbc − 2µ hab hcd
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(17)
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mit
λ + µ = n λµ ,
d.h. µ =
λ
,
nλ − 1
(18)
dass also gilt:
(λ)
nm
Gab
Gnm cd =
(λ)
1
2
δca δdb + δda δcb .
(19)
Der Vektorraum W ist eine Mannigfaltigkeit, auf der die Basis {θa ∨
θb }a≤b=1,··· ,n eine globale Karte W → Rn(n+1)/2 definiert. Auf der Untermannigfaltigkeit der positiv-definiten symmetrischen Bilinearformen führen
wir neue Koordinaten ein durch
τ := ln det{hnm }
1/n ,
1/n
rab := hab / det{hnm }
.
(20)
Zeigen Sie, dass in diesen die Metrik (15) ausgedrückt werden kann durch
cd
Gλ = Gab
dhab ⊗ dhcd = n(1 − λn)dτ ⊗ dτ + rac rbd drab ⊗ drcd ,
λ
(21)
wobei ran rbn = δba . Schließen Sie daraus, dass die Metriken Gλ für λ < 1/n
Riemann’sch, für λ > 1/n Lorentz’sch (mit Signatur (−, +, +, +, +, +)) und
für λ = 1/n entartet sind.
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