Ubungen zu Quantentheorie II Blatt 8

Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. J. Schliemann
Dr. P. Wenk
Wintersemester 2014/15
Übungen zu Quantentheorie II
Blatt 8
Aufgabe 1: Teilchen im Magnetfeld mit Spin-Orbit Kopplung [6P]
Wir Betrachten ein Elektron in einem zwei-dimensionalen System (xy), das sowohl
einem Magnetfeld B = Bez = ∇ × A als auch einer Kopplung seines Spins
an seinen Impuls ausgesetzt ist (hier: Rashba Spin-Orbit Kopplung, HR ). Der
Hamiltonian H ist gegeben durch
2
|e|
1
1
p + A + g ∗ µB Bσ z + HR
(1)
H=
∗
2m
c
2
mit HR = α(πx σ y − πy σ x ),
(2)
mit dem kinetischen Impuls π = p + (|e|/c)A, der effektiven Masse des Elektrons
m∗ , dem effektiven g-Faktor g ∗ und dem Bohrschen Magneton µB .
(a) [2P ] Stellen Sie den Hamiltonian mit den bekannten Leiteroperatoren
√
a = (l/ 2~)(πx + iδπy ), a† = (a)†
(3)
auf, wobei δ = sgn(−|e|B) ist.
(b) [1P ] O.B.d.A. sei δ = 1. Zeigen Sie, dass L = a† a ∓ σ z /2 eine Erhaltungsgröße
ist und |0, ↑i Eigenzustand zu E0 = (~ωc + gµB B)/2 mit L = −1/2.
Dabei stellt |n, σi einen Zustand im n-ten Landau-Niveau dar mit der SpinRichtung σ ∈ {↑, ↓}.
(c) [3P ] Zeigen Sie (δ = 1), dass alle anderen Eigenzustände gegeben sind durch
±
|n, ±i := u±
n |n, ↑i + vn |n − 1, ↓i ,
(4)
mit L = n − 1/2, n > 0. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren.
Aufgabe 2: Zwei Spin-1/2 System [6P]
Gegeben sei ein System bestehend aus zwei Spin-1/2 Teilchen.
EineE Ein-Teilchen
(i)
Basis ist gegeben aus den gemeinsamen Eigenzuständen Si , mS von S2i und
Siz ,
3 2 1 (i)
(i)
2 1
(5)
Si , mS = ~ , mS
2
4
2
(i)
(i) 1
(i)
z 1
Si , mS = ~mS , mS .
(6)
2
2
a) [2P ] Geben Sie die gemeinsamen Eigenzuständen |S, MS i der
S2 , S2 = (S1 + S2 )2 und S z = S1z + S2z in der Basis
2
E
E
1 (1) 1 (2)
2 , mS1 2 , mS2 an.
2
Operatoren
E S1 ,
(1) (2)
mS1 , mS2 ≡
b) [1P ] Zeigen Sie, dass die Zustände aus a) Eigenzustände zum Permutationsoperator P12 sind,
E
E (2) (1)
(1) (2)
(7)
P12 mS1 , mS2 = mS1 , mS2 .
c) [1P ] Zeigen Sie, dass folgende Relationen gelten:
P12 S1 P12 = S2 , P12 S2 P12 = S1 .
d) [1P ] Zeigen Sie, dass sich der Permutationsoperator als
1
4
P12 =
1 + 2 S1 · S2
2
~
schreiben lässt.
(8)
Aufgabe 3: Dichtekorrelation im Fermigas [8P]
Für ein homogenes System aus N ununterscheidbaren Fermionen im freien Raum
definieren wir die Paarverteilungsfunktion durch
hn̂(r1 )n̂(r2 )i − nδ(r1 − r2 )
.
(9)
g(r1 , r2 ) =
n2
Dabei bezeichnen n̂(r) den Operator der Teilchendichte am Ort r und n ≡ hn̂(r)i
dessen Erwartungswert bezüglich des Vielteilchenzustands.
E
1 XD †
†
ψ̂σ1 (r1 )ψ̂σ2 (r2 )ψ̂σ2 (r2 )ψ̂σ1 (r1 ) .
a) [2P ] Zeigen Sie: g(r1 , r2 ) = 2
n σ ,σ
1
2
Dabei bezeichnet ψ̂σ (r) den Feldoperator für ein Fermion mit Spin σ am
Ort r.
b) [3P ] Zeigen Sie, dass im Grundzustand von N nichtwechselwirkenden Fermionen mit Masse m und Spin 1/2, die sich im potentialfreien Kubus mit
Kantenlänge L und periodischen Randbedingungen befinden, gilt:
2 X i(k2 −k1 )(r1 −r2 )
e
.
g(r1 , r2 ) = 1 − 2
N k ,k
1
2
Die Summen gehen dabei über alle quantisierten Wellenvektoren im Kubus,
die im Grundzustand zur Teilchenzahl N besetzt sind.
c) [3P ] Berechnen Sie g(r1 , r2 ), indem Sie die obigen Summen durch Integrale
approximieren. Skizzieren Sie die Paarverteilungsfunktion in Abhängigkeit
von |r1 − r2 |. Welchen Wert nimmt g im Grenzfall |r1 − r2 | → 0 an?