Holographie und Beugung am Gitter

Holographie und Beugung am Gitter
Rebekka Garreis & Simeon Beinlich
Anfängerpraktikum III WS 13/14
an der Universität Konstanz
16. Dezember 2013
Betreut durch Nils Brinkmann
1
Inhaltsverzeichnis
R. Garreis & S. Beinlich
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Grundlagen
3
2.1
Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
Maxwellgleichungen
2.1.2
Elektromagnetische Wellen
und
2.3
Snellius'sches Brechungsgesetz
Huygens'sche Prinzip . . . . . .
2.4
Kohärenz
2.2
2.4.1
2.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verdet'sche
3
3
Kohärenzbedingung
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5.1
2.6
Lorentzkraft
Interferenzlter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6.1
Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6.2
Beugung an Mehrfachspalt & Gitter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6.3
Auösungsvermögen Gitter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7
Frauenhofer- und Fresnel'sche Beugung .
Fresnel'sche Zonen und Fresnel'sche Zonenplatte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8
Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.8.1
Aufnahme und Rekonstruktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.8.2
Weiÿlichtholographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.8.3
Transmissoinshologramm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.8.4
Reexionshologramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.8.5
Denisjuk-Hologramm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.8.6
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.6.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3 Beugung am Gitter
15
3.1
Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Versuchsdurchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3
Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3.1
Doppelschichtgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3.2
Glasgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3.3
Spektrales Auösungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3.4
Einschichtiges Drahtgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4
Fragen und Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Holographie
20
23
4.1
Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.2
Versuchsdurchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.3
Versuchsbeobachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.4
Fragen und Aufgaben
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Fazit
25
6 Anhang
25
2
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
1 Einleitung
In diesem Doppelversuch sollen spezielle Eekte der Interferenz und Beugung von Licht untersucht
werden.
Im ersten Versuch wird ein Reexionshologramm erstellt, welches die Überlagerung mehrerer Lichtwellen zur Erstellung eines dreidimensionalen Bildes nutzt.
Beim zweiten Versuchs wird die Beugung von kohärentem Licht an unterschiedlichen optischen Gittern
und deren Auösungsvermögen untersucht.
2 Grundlagen
Licht lässt sich oft - vor allem wenn es um Beugungs- und Interferenzerscheinungen geht treend als
elektromagnetische Welle beschreiben. Deshalb seien kurz einige grundlegende Beziehungen aus der
Elektrodynamik (vgl. [12]) erwähnt:
2.1 Elektrodynamik
Die Elektrodynamik behandelt elektrische und magnetische Felder, welche z.B. durch elektrische Ladungen hervorgerufen werden. Für das elektrische Feld
D(r, t
und die magnetische Flussdichte
B(r, t)
E(r, t)
bzw. die dielektrische Verschiebung
bzw. die magnetische Feldstärke
H(r, t)
gelten folgende
Zusammenhänge:
D(r, t) = ε0ε E(r, t)
B(r, t) = µ0µ H(r, t)
Wobei
ε0 = 8, 8542 VAs
m
die elektrische Feldkonstante,
ε
(1)
(2)
die materialabhängige Dielektrizitätszahl (in
Vs
µ0 := 4π · 10−7 Am
die magnetische
Materialien ist µ = 1) darstellt.
elektrisch isotropen Medien ein Skalar, in anisotropen ein Tensor),
Feldkonstante und
µ
die Permeabilitätszahl (in unmagnetischen
2.1.1 Maxwellgleichungen und Lorentzkraft
Die grundlegenden Gleichungen der klassischen Elektrodynamik wurden von
19. Jahrhundert aufgestellt und werden deshalb
mit der elektrischen Ladungsdichte
%
Maxwellgleichungen
James C. Maxwell
und der elektrischen Stromdichte
D(r, t) = %(r, t)
∇ · B(r, t) = 0
∂ B(r, t)
∇ × E(r, t) = −
∂t
∂ D(r, t)
∇ × H(r, t) = j(r, t) +
∂t
j
:
∇·
Auf eine elektrische Ladung
q
wirken in elektrischen bzw. magnetischen Feldern die
Lorentzkraft :
(3)
(4)
(5)
(6)
Coulomb-
und die
F(r, t) = q · (E(r, t) + v(r, t) × B(r, t))
Aus diesen Gleichungen können fast alle Phänomene der Elektrodynamik beschrieben werden.
3
im
genannt. Für Materie lauten sie
(7)
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
2.1.2 Elektromagnetische Wellen
Aus Kombination der
rialien (µ
= 1)
Maxwellgleichungen
kommt man in im Vakuum bzw. in unmagnetischen Mate-
auf die folgenden Wellengleichungen für das elektrische und das magnetische Feld:
Er
(8)
Hr
(9)
n2 µ ∂ 2
4− 2
( , t) = 0
c ∂t2
n2 µ ∂ 2
4− 2
( , t) = 0
c ∂t2
Da die hier schon
c=
√1
ε0 µ0 genannte Konstante gerade genau die Lichtgeschwindigkeit darstellt, war
dies einer der groÿen Beweise, das Licht eine elektromagnetische Welle ist. Auÿerdem ist
n=
√
ε hierbei
der Brechungsindex.
Die Wellengleichungen haben folgenden Wellenfunktionen als Lösung:
E(r, t) = E0 · ei(k·r−ωt+ϕ)
H(r, t) = H0 · ei(k·r−ωt+φ)
Hierbei bezeichnet
k
den Wellenvektor,
ω
die Winkelgeschwindigkeit und
(10)
(11)
ϕ, φ
Phasenverschiebungen.
Es muss wegen (8,9) folgende Dispersionsrelation gelten:
ω=
Elektromagnetische Wellen in Materie
k
c
·| |
n
Breitet sich Licht nicht im Vakuum aus, sondern in einem
Medium (der Einfachheit halber wieder ein unmagnetisches:
digkeit um den Brechungsindex
n,
(12)
µ = 0) so reduziert sich die Lichtgeschwin-
wie es aus obigen Formeln ersichtlich ist. Dieses Phänomen lässt
sich mit dem Modell des harmonischen Oszillators erklären: Das elektromagnetische Feld wirkt als anregende Kraft auf die Ladungen (v.a. Elektronen), welche erzwungenen Schwingungen folgen, welche
jedoch phasenverschoben gegenüber der ursprünglichen Welle sind. Somit überlagern dich die einzelnen
Wellen zu einer um den Faktor
1
n langsameren Welle:
Abbildung 1: Zur Erklärung der um
1
n verlangsamten Lichtgeschwindigkeit in Materie; aus [1]
Im Allgemeinen hängt der Brechungsindex
da auch die Dielektrizitätszahl
ε
n
von der Frequenz der elektromagnetischen Welle ab,
von der Frequenz abhängt. Dies folgt auch aus dem Modell des
4
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
harmonischen Resonators, bei dem die Phasenverschiebung ebenfalls von der Frequenz abhängt.
Man deniert die Phasengeschwindigkeit somit als:
vP =
2.2
Snellius'sches
c
ω
=
n
| |
k
(13)
Brechungsgesetz
Abbildung 2: Reexion und Brechung einer Lichtwelle an einer Grenzäche; aus [3]
Beim Übergang einer Grenzäche zwischen zwei optischen Medien wird eine ebene Lichtwelle teilweise reektiert und teilweise gebrochen. Dies folgt aus der Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit
der Lichtwelle beim Übergang in Medien anderer optischer Dichte.
Royen)
Snellius
(bügerlich
hat dazu das folgende nach ihm benannte Gesetzt formuliert.
Einfallswinkel
dem Winkel
β
α
und Reexionswinkel
α0
sind gleich. Zwischen dem Einfallswinkel
α
und
der gebrochenen Welle besteht folgende Beziehung: (aus [3]):
sinα
c0
n2
= 01 =
sinβ
c2
n1
Das
W. Snel v.
(14)
Snellius'sche Brechungsgesetz folgt auch direkt aus den oben beschriebenen Maxwell-Gleichungen
und den Wellengleichungen.
2.3
Huygens'sche
Prinzip
Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle angesehen werden. Die
Elementarwellen werden als kugelförmige Wellen beschrieben, die sich überlagern. Die Einhüllende
der einzelnen Wellenfronten (Tangentialäche) der Elementarwellen bildet dann die neue Wellenfront
(Abb.(3)).
Dies kann auch auf die Brechung an einer Grenzäche übertragen werden (Abb.(4)).
5
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 3: Konstruktion der resultierenden Wellenfronten aus
Hugens'schen
Elementarwellen, aus
[13]
Abbildung 4: Zum
Huygens'schen Prinzip bei der Brechung an einer Grenzäche; bearbeitet : links aus
[11], rechts aus [5]
2.4 Kohärenz
Haben zwei Wellen eine feste Phasenbeziehung so sind diese kohärent. Dies ist nur möglich wenn die
Wellen die gleiche Wellenlänge haben. Man muss zwischen der räumlichen und der zeitlichen Kohärenz
unterscheiden:
Von einer zeitlichen Kohärenz spricht man, wenn die beiden Wellen an einem festen Ort zu unterschiedlichen Zeiten die gleiche Phasenbeziehung haben.
Räumliche Kohärenz dagegen ist gegeben, falls die beiden Wellen zu einem festen Zeitpunkt aber an
unterschiedlichen Orten die gleiche Phasenbeziehung haben.
∆sc ,
Als Kohärenzlänge bezeichnet man das Wegstück
gelegt wird. Die Kohärenzzeit
um höchstens
2π
∆tc
welches in der Zeit Kohärenzzeit
∆tc
zurück
beschreibt die Zeit in der sich die Phasendierenz zweier Wellenzüge
geändert hat.
2.4.1 Verdet'sche Kohärenzbedingung
Damit Beugung stattnden kann, benötigt man hinreichend räumlich kohärentes Licht. Dies erreicht
Marcel Émile Verdet stellte hierfür folgende Beder Wellenlänge λ des verwendeten Lichtes auf (Zur
man durch Verwendung eines Beleuchtungsspaltes.
ziehung zwischen der Breite
D
des Spaltes und
Herleitung siehe Fragen (15)).
D·
d
= D · sin(υ) ≤ λ
f
6
(15)
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
f
bezeichnet dabei die Brennweite der Linse zwischen Beleuchtungs- und Beugungsspalt,
des Beugungsspaltes und
υ
d
die Breite
der halbe Önungswinkel zwischen dem Beleuchtungs- und dem Beugungs-
spalt.
2.5 Interferenz
Die Überlagerung zweier kohärenten Wellenzüge wird als Interferenz bezeichnet. Hierbei addieren sich
deren Amplituden. Je nachdem welche Phasenbeziehung die Wellenzüge zueinander haben unterscheidet man zwischen konstruktiver und destruktiver Interferenz.
Bei konstruktiver Interferenz verstärken sich die Wellen gegenseitig. Die Amplitude der entstehenden
Welle ist die Addition der Amplituden der beiden interferierenden Wellen. Haben die Wellen also eine
Phasenverschiebung von
ϕ = 2π · m
mit
m∈N
so ist ein Intensitätsmaximum zu beobachten.
Bei destruktiver Interferenz schwächen sich die Wellen ab. Die Gesamtamplitude ergibt sich also aus
der Subtraktion der Teilamplituden. Ein Intensitätsminimum ist bei einer Phasenverschiebung von
ϕ = (2 · m + 1)π
zu beobachten.
Abbildung 5: Konstruktive und Destruktive Zweiwelleninterferenz; aus ([14])
Von einer Vielstrahlinterferenz spricht man, wenn mehr als zwei Wellen miteinander interferieren. Dies
ist z.B. bei einem Gitter vorhanden.
2.5.1 Interferenzlter
Tritt ein Lichtstrahl auf die Oberäche einer dünnen Schicht der Dicke
tiert und teilweise reektiert, was mittels der
Fresnel'sche
Fresnel'schen
l
wird er teilweise transmit-
Formeln beschrieben werden kann (vgl.
Formeln [9].
Der transmittierte Teil wird an der Unterseite der Schicht wieder jeweils teilweise reektiert und transmittiert. Auf beiden Seiten der Schicht treten also parallele Strahlen aus. Diese haben einen bei senkrechtem Einfall einen Gangunterschied von
dünnen Schicht und
a
φ = 2nl + a.
Hierbei beschreibt
n
den Brechungsindex der
ein eventueller Gangunterschied, der bei der Reexion entstehen kann.
Durch diesen Gangunterschied kommt es an der Schichtoberäche für bestimmte Wellenlängen zu konstruktiver und destruktiver Interferenz. Die Wellenlänge hängt dabei von der Schichtdicke
Einfallswinkel
Θ
l
und dem
des Lichtes zur Oberäche ab. Nur wenn die Phasendierenz zwischen reektierten
und transmittierten Strahlen an der Austrittsoberäche gerade ein Vielfaches von
die Strahlen vollkommen konstruktiv.
7
2π
ist, interferieren
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 6: Strahlengang beim Interferenzlter [7]
Ein Interferenzlter besteht aus vielen solcher Schichten, um die Filterwirkung zu verbessern und eine
möglichst scharfes Spektrum der erwünschten Frequenzbereiche zu gewährleisten.
2.6 Beugung
Beim Durchgang durch begrenzte Önungen oder an Kanten nichttransmittierender Medien tritt ein
Phänomen auf, welches ähnlich wie die Interferenz nicht durch die klassische geometrischen Optik
erklärt werden kann. Das Lichtbündel wird von seiner ursprünglichen Ausbreitungsrichtung abgelenkt:
Dies wird als Beugung bezeichnet.
Die
Huygens'schen
Elementarwellen, die an der Kante eines Körpers entstehen gelangen auch hinter
diesen.
Mit Hilfe des
Kirchhoff'schen
Beugungsintegrals kann das Phänomen der Beugung mathematisch
genauer beschrieben werden, was allerdings den Rahmen dieses Berichtes sprengt. (Nähere Betrachtung
bspw.: Optik [8])
Zur Erklärung hierfür wird das
Huygens'sche
Prinzip verwendet. Die an der Önung entstehenden
Elementarwellen interferieren je nach Ort konstruktiv und destruktiv.
2.6.1 Beugung am Einzelspalt
Bestrahlt man einen dünnen Spalt der Breite
b
mit kohärentem Licht, und bringt hinter diesem einen
Schirm an, so sind auf diesem Intensitätsminima und -maxima eines Interferenzbildes zu beobachten.
In diesem Spalt kann jeder Punkt als Ausgangspunkt einer Elementarwelle betrachtet werden. Da das
einfallende Licht aus elektromagnetischen Wellen besteht, entstehen nach
Maxwell
am Spalt ebenfalls
zeitlich variierende elektrische und magnetische Felder. Dadurch entstehen Sekundarwellen, welche
dann interferieren.
∆s = b · sin(θ). Bei
∆smin = 2nλ
2
Ausfallwinkel θ abhängige
Zwischen zwei interferierenden parallelen Strahlen besteht der Gangunterschied
einem Gangunterschied von
∆smax =
(2n+1)λ
ist auf dem Schirm ein Maximum und bei
2
ein Minimum zu beobachten. Auf dem Schirm ist ist dann folgende vom
Intensitätsverteilung zu beobachten:
I(θ) = I0
I0
sin( πb
λ sin(θ))
!2
πb
λ sin(θ)
(16)
beschreibt dabei die von der Lichtquelle ausgesandte Intensität.
Für groÿe Entfernungen zwischen Spalt und Schirm gilt für die Winkel unter denen Minima und
8
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Maxima auftreten:
Vgl.
Fraunhoferbeugung
λ
· (2n − 1)
2b
λ
=
· 2n
2b
sinαmin =
(17)
sinαmax
(18)
(2.6.4).
2.6.2 Beugung an Mehrfachspalt & Gitter
N
Ein Mehrfachspalt bzw. Gitter besteht aus
Einzelspalten. Die Gitterkonstante
g
gibt den Mittel-
punktabstand zwischen den Spalten an. Hier interferieren sowohl die Wellen aus den einzelnen Spalten
miteinander, als auch die die durch denselben Spalt laufen untereinander. Intensitätsmaxima treten
auf, wenn:
∆s = n · λ
(19)
Betrachtet man das Interferenzbild auf einem Schirm im groÿen Abstand
a, so gilt also für den Winkel
in dem die Hauptmaxima auftreten (vgl(3.4)):
sin(θ) =
Neben den Hauptmaxima treten aber auch
N −2
n·λ
g
(20)
Nebenmaxima auf. Bei sehr hohen
N
sind diese
allerdings kaum noch zu erkennen und deshalb vernachlässigbar. Für die Intensitätsverteilung auf dem
Schirm gilt:
I(θ) = I0
sin( πb
λ sin(θ))
!2
πb
λ sin(θ)
·
sin( Nλπd sin(θ))
πg
λ sin(θ)
!2
(21)
2.6.3 Auösungsvermögen Gitter
Ein Maÿ für die für die spektrale Auösung
A,
die mit einem Gitter erreicht werden kann ist durch
die Breite der Hauptmaxima gegeben. Diese ist umgekehrt proportional zu
N.
Nach dem
Rayleigh-
Kriterium nimmt man an, dass man zwei spektrale Komponenten gerade noch trennen kann, wenn sich
die Lagen der Hauptmaxima um die Breite eines Hauptmaximums unterscheiden. Somit muss folgende
Formel gelten (siehe Fragen (33)) :
A=
Hier beschreibt
n
λ
=n·N
∆λ
(22)
die beobachtete Ordnung.
2.6.4 Frauenhofer- und Fresnel'sche Beugung
Bei der
Frauenhoferbeugung
und der
Fresnel'schen
Beschreibungen der Beugung.
9
Beugung handelt es sich um zwei verschiedene
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Frauenhoferbeugung
Diese Beschreibung eignet sich, wenn die Lichtquelle und der Schirm sehr weit
vom beugenden Objekt entfernt sind. Dadurch können die Lichtstrahlen als nahezu parallel genähert werden, wodurch einfache geometrische Verhältnisse entstehen und die Gangunterschiede leicht
ersichtlich sind. Die Orte der Intensitätsminima und -maxima können ebenfalls recht einfach berechnet werden. Um auf die groÿen Abstände zu verzichten wird hinter dem beugende Objekt oft eine
Sammellinse angebracht. Unterschiedliche Richtungen der Strahlen werden dann in unterschiedlichen
Fokuspunkten sichtbar.
Fresnel'sche
Beugung
Hier wird das Interferenzmuster unmittelbar hinter dem beugenden Objekt
betrachtet. Auch die Lichtquelle bendet sich Nahe beim beugenden Objekt. Die Strahlen können also
nicht mehr als parallel angesehen werden. Dadurch wird die Berechnung des Gangunterschiedes mathematisch komplizierter.
Abbildung 7: Übergang von
Fraunhofer-
zu
Fresnel'scher
Beugung; aus [10]
Auf die genaue mathematische Beschreibung der beiden Beugungsbeschreibungen wird nicht näher eingegangen, da sie für beide Versuche nicht direkt relevant sind. Es sei deshalb zur genaueren Betrachtung
wieder auf das Buch Optik [8] verwiesen.
2.7
Fresnel'sche
Zonen und
Fresnel'sche
Zonenplatte
Fresnel'schen Zonen betrachten wir eine punktförmige Lichtquelle L. Auf einer
R ist die Wellenamplitude konstant. Jeder Punkt
auf einer solchen Kugeläche kann nach dem Huygens'schen Prinzip als Ausgangspunkt einer Elementarwelle betrachtet werden. Im Abstand von R + r0 zu L bendet sich ein Beobachtungspunkt P .
Betrachtet man Kreise um diesen, deren Radien sich um λ/2 voneinander unterscheiden, so schneiden
diese die Obeächeäche der Kugel um L. Dadurch werden die sog. Fresnelzonen begrenzt. In ihnen
Zur Beschreibung von
Kugeläche mit
L
als Mittelpunkt und dem Radius
interferieren entstehenden Elementarwellen miteinander.
Bringt man bei dieser Anordnung einen Schirm mit einer Önung, die der ersten
spricht, zwischen die Punkte
L
und
P,
Fresnelzone
ent-
so kann man beobachten, dass die Lichtintensität in Punkt P
viermal so hoch ist, als ohne den Schirm. Dies liegt daran, dass die destruktive Interferenz der anderen
Fresnelzonen
verhindert wird. Man kann die Wirkung mit einer Linse vergleichen, da das von
ausgehende divergente Licht teilweise in
P
L
fokussiert wird.
Verwendet man anstelle des Schirms nun eine Glasplatte, auf die undurchlässige Kreisringe aufgedampft
sind, so kann man den Eekt noch verstärken. Die Kreisringe müssen dabei entweder den geradzahligen oder den ungeradzahligen
Fresnelzonen entsprechen. Deren Breite hängt also von den Abständen
10
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 8: Konstruktion der
Fresnel'schen
P
Fresnel'sche
Zonen; aus [3]
zwischen Lichtquelle, Platte und Beobachtungspunkt
und der Wellenlänge des verwendeten Lichtes
ab. Eine solche Platte bezeichnet man als
Zonenplatte.
2.8 Holographie
Betrachtet man ein gewöhnliches Foto, so ist dieses zweidimensional und wird nur von unserem Gehirn
dreidimensional interpretiert. Bei einem Hologramm werden bei der Aufnahme nicht nur die Lichtintensität und die auftreenden Frequenzen gespeichert, sondern auch die Amplituden und Phasen der
Lichtwellen. Dadurch ist bei der Betrachtung auch der Betrachtungswinkel relevant, sodass ein Hologramm dreidimensional erscheint. Bei Bewegung des Bildes wirkt es, als würde man sich um das
abgebildete Objekt selbst herumbewegen.
Ein Verfahren zur Herstellung und Rekonstruktion von Hologrammen wurde vor 65 Jahren vom Ingenieur
Dennis Gabor
entwickelt. Mittels eines Hologrammes kann jegliche Art von Wellen gespeichert
werden. Dies reicht von UV-Strahlen über Röntgenstrahlen bis hin zu klassischen mechanischen Wellen.
2.8.1 Aufnahme und Rekonstruktion
Für die Aufnahme eines Hologramms benötigt man eine kohärente Lichtquelle (bspw. Laser), deren
Strahlengang in zwei Teilwellen aufgespalten wird.
Die erste Teilwelle, die Referenzwelle,
E0 = A0 · ei(wt−k ·r)
0
trit direkt auf die Fotoebene auf. Diese soll zur Veranschaulichung in der
(23)
x − y -Ebene
liegen.
Die Objektwelle, welcher der zweiten Teilwelle entspricht, trit zunächst auf das Objekt und anschlieÿend auf die Photoplatte, setzt sich aus den einzelnen Streuamplituden, die von einzelnen Objektpunkten in den Punkt
(x, y)
treen, zusammen.
Es(x, y) = As · ei(wt+ϕ (x,y))
s
11
(24)
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 9: Strahlengang zur Aufnahme eines Hologramms; aus [3]
Hierbei hängt die Phase
ϕs (x, y)
von der Entfernung der Objektpunkte ab.
Für die gesamte Intensität auf der Fotoplatte ergibt sich dann
I(x, y) = cε0 A20 + A2s + 2A0Ascos(ϕ0 − ϕs)
Dabei ist
ϕ0 =
k0 · r
(25)
. Die Phasendierenz ergibt sich aus der durch die Streuung verursachte Wegdie-
renz. Dadurch erhält das Hologramm die nötigen Informationen über die Entfernung von der Fotoplatte
und Struktur des abgebildeten Objektes. Dabei ist zu beachten, dass in jedem Punkt der Fotoplatte
Informationen über das gesamte Objekt gespeichert sind. Man kann eine Fotoplatte durchschneiden
und erhält trotzdem noch das gesamte Objekt nur in geringerer Qualität.
Zur Rekonstruktion des Hologramms wird die Fotoplatte nach der Entwicklung mit einer ebenen kohärenten Rekonstruktionswelle
Er = Ar · ei(wt−k ·r)
r
beleuchtet. Hierbei sollte die Frequenz
ω
(26)
dieselbe sein, wie die bei der Aufnahme des Hologramms
verwendete. Andernfalls würde das Bild vergröÿert oder verkleinert erscheinen.
Betrachtet man den Zusammenhang zwischen der Transmission
T (x, y)
und der aufgenommenen In-
tensität (vgl. (25)) so erhält man folgende Proportionalität:
T(x, y) = T0 − γ I(x, y)
Die Proportionalitätskonstante
γ
(27)
ist der Schwärzungskoezient der Photoplatte.
Für die transmittierte Amplitude gilt demnach:
AT = T(x, y) · Ar
−i(k ·r −ϕ )
= Ar T0 − γ Ar (A20 + A2s ) − γ Ar A∗0 As · ei(k ·r −ϕ ) − γ Ar A0 A+
s ·e
0
Durch die ersten beiden Terme wird eine von
0
s
o
0
s
(28)
(x, y) unabhängige Schwächung der transmittierten Welle
beschrieben. Die hinteren beiden Terme ergeben zwei neue Wellen, welche beide Informationen über die
Amplitude
As
und Phase
ϕs
der bei der Aufnahme verwendeten Streuwelle. Es entstehen ein virtuelles
Bild hinter dem Hologramm und ein reelles, welches durch platzieren eines Schirms in
2D
sichtbar zu
machen ist. Der Betrachter sieht das dreidimensionale Bild aus der Perspektive der Photoplatte auf
das Objekt.
12
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
2.8.2 Weiÿlichtholographie
Für die Rekonstruktion eines Weiÿlichthologramms benötigt man keinen Laser. Es genügt eine gewöhnliche nahezu inkohärente Lichtquelle (z.B. eine Glühlampe oder die Sonne). Zur Aufnahme benötigt
man trotzdem noch einen Laser. Des weiteren verwendet man keine gewöhnliche Photoplatte, sondern
eine dünne Photoschicht auf einem Trägermaterial (bspw. Glas). Die Referenzwelle tritt von oben auf
Abbildung 10: Weiÿlichtholographie; aus [3]
die Photoschicht und die Objektwelle von unten. Diese beiden Wellen interferieren miteinander, wodurch Intensitätsminima und -maxima auftreten. Es kommt zu einer schichtabhängigen Struktur der
Schwärzung der Platte. Ist die Photoplatte ausreichend dick, können bis zu
20
Schichten übereinander
geschwärzt werden.
Das bei der Rekonstruktion verwendete Licht wird an den Schichten unterschiedlich reektiert. Für
den Wegunterschied zwischen den unterschiedlichen, reektierten Teilwellen, bei der eine konstruktive
Interferenz stattndet, gilt nach der
Bragg-Bedingung:
∆s = 2d · sin(α) = m · λ ; m = (1, 2, ...)
d die Dicke der
einzelnen Schichten. Es bildet sich also ein optisches Gitter, das für bestimmte Winkel α eine bestimmte
Wellenlänge λ selektiert.
Hierbei ist
λ
die Wellenlänge des unter dem Winkel
α
(29)
auftreenden Lichtes und
Ändert man also bei weiÿem Licht den Einfallswinkel so ändert sich auch die Farbe des abgebildeten
Objektes.
2.8.3 Transmissoinshologramm
Wie dem Namen schon zu entnehmen wird bei dieser Art von Hologramm eine lichtdurchlässige Photoplatte verwendet. Referenz- und Objektstrahl treen von derselben Seite auf die Photoplatte und
bilden dort ein Interferenzmuster.
Für die Rekonstruktion wird dieselbe kohärente Lichtquelle, die auch schon zur Aufnahme verwendet
wurde, hinter die Photoplatte gebracht. Die Wellen werden am Interferenzmuster gebeugt und das
Objekt erscheint vor und hinter der Platte. Welche Abbildung zu sehen ist hängt vom Blickwinkel des
Betrachters ab.
13
2 GRUNDLAGEN
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 11: Schematische Darstellung der Aufnahme eines Transmissionshologramms; aus [4]
2.8.4 Reexionshologramm
Im Unterschied zum Transmissionshologramm treen die Lichtwellen des Objekstrahles hier von der
anderen Seite auf die Photoplatte.
Für die Rekonstruktion muss die kohärente Lichtquelle deshalb auf der Seite des Betrachters stehen.
Abbildung 12: Schematische Darstellung der Aufnahme eines Reexionshologramms; aus [4]
2.8.5 Denisjuk-Hologramm
Bei dieser Art der Holographie handelt es sich um eine 1963 entwickelte Art der Reexionsholographie. Sie wird auch im Versuch Holographie verwendet. Hierbei wird der Laserstrahl nicht geteilt.
Die Lichtwellen gelangen durch die Photoplatte zu dem dahinterstehenden Objekt und werden von
diesem reektiert und gelangen von der entgegengesetzten Seite auf die Platte. Dadurch entsteht das
Interferenzmuster.
Auch hier muss die Lichtquelle für die Rekonstruktion auf der Seite des Betrachters positioniert sein.
2.8.6 Anwendungen
Mittels der Holographischen Interferometrie kann man kleine Verformungen an Materialien feststellen.
Hierbei wird ein Hologramm zwei mal belichtet, sodass die bei der ersten Aufnahme aufgenommenen
Objektwellen mit denen der zweiten interferieren. Dadurch entsteht ein Interferenzmuster, aus welchem
dann herausgelesen werden kann, wir stark und wo die Verformungen stattgefunden haben.
Dies kann zum Beispiel zur Optimierung von Pilzkulturen dienen, da mittels einer Doppelbelichtung
innerhalb weniger Sekunden das Wachstum des Pilzes sehr genau aufgezeichnet wird.
Eine weitere Wichtige Anwendung ist die Erstellung eines digitalen Hologramms des Sollzustandes
eines Objektes. Überträgt man dieses auf eine Photoplatte, und vergleicht es mit dem Hologramm des
realen Gegenstandes, so kann man leicht und schnell Abweichungen lokalisieren. Bei der Herstellung
14
3 BEUGUNG AM GITTER
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 13: Schematische Darstellung zur Aufnahme eines
Denisjuk-Hologramm;
aus [4]
von Linsen kann dies den Schleifvorgang verkürzen und präzisieren. Auch in der Autoindustrie ndet
dies Anwendung. Hier können Fehler im Material der Autoreifen sehr leicht sichtbar gemacht werden.
Ein weiteres Anwendungsgebiet der Holographie ist in der Medizin zu nden. Vergleicht man das
Hologramm eines Kopfes mit einer Röntgenaufnahme, so kann man auf die räumliche Struktur des
Weichgewebes schlieÿen. Für Chirurgen kann dies eine groÿe Hilfestellung bei Operationen sein.
Aufgrund der faszinierenden räumlichen Darstellung von Objekten, ist die Holographie auch in der
Kunst anerkannt. Die Holographiekunst zählt dabei zur Medienkunst.
3 Beugung am Gitter
3.1 Versuchsaufbau
Der Versuch ist auf einer optischen Bank aufgebaut. Auf eine Quecksilberdampampe mit integrierter
Kondensorlinse folgt ein Beleuchtungsspalt mit Linse, deren Brennpunkt gerade auf den Mittelpunkt
der Blende ausgerichtet wird. Um hier eine hohe Genauigkeit der Justierung zu gewährleisten, wird das
Prinzip der Autokollimation verwendet. Dazu wird ein Spiegel (z.B. Oberäche des Interferenzlters)
hinter der Linse positioniert und die Linse so ausgerichtet, dass der Spalt wieder auf sich selbst scharf
abgebildet wird. Je nach Versuchsteil folgt ein Interferenzlter, ein optisches Glasgitter (mit eigenem
Zusatzspalt) oder ein ein- oder zweischichtiges Drahtgitter (beide mit Drahtdicke:
konstante
G1 = 0.4mm).
0.2mm
& Gitter-
Danach kommt schlieÿlich ein Fernrohr mit Fokussiereinrichtung und Kreuz,
dessen Winkel relativ zum Strahlengang durch einen Schwenkarm mit Drehspindel verändert werden
kann.
Auÿerdem liegt Aluminiumfolie dabei, um hieraus eine Lochblende herzustellen.
3.2 Versuchsdurchführung
Zuerst wird der oben beschriebene Aufbau justiert: Die Beleuchtung des Beleuchtungsspaltes durch
die Kondensorlinse (fK
= 65mm)
sichergestellt, die Linse (f
= 200mm)
ausgerichtet (s.o.) und das
Fernrohr (12×) auf den Beleuchtungsspalt fokussiert.
1) Im ersten Versuchsteil wird das doppelschichtige Gitter mit Interferenzlter in den Strahlengang
15
3 BEUGUNG AM GITTER
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 14: Aufbau des Versuches zum optischen Gitter; eigenes Bild
eingebracht. Es werden die Beugungsmaxima von
−5ter
bis
5ter
Ordnung betrachtet und die
Positionen der Messspindel notiert. Genauso der Abstand zwischen Drehachse und Messspindel.
Eine Spindelumdrehung entspricht
Schrittweite von
10µm.
1mm
Die Skala ist in
100
Schritte unterteilt, hat also eine
Bei der Spindel muss der tote Gang beachtet werden, weshalb nur von
rechts nach links gemessen wurde.
2) Nun wird zum Beobachten des Auösungsverhaltens des Gitters das Glasgitter ohne Interferenzlter, aber mit integriertem Zusatzspalt (zu Lichtquelle hin) betrachtet. Es wird die gelbe
Doppellinie des Quecksilberdampfspektrums untersucht. Hierzu wird zuerst wieder an jeder Beugungsordnung die Position der Messspindel bei beiden Linien notiert und untersucht, wie weit
der Zusatzspalt geschlossen werden kann, sodass die Doppellinie noch voneinander unterscheidbar ist. Hierbei ist zu beachten, dass die Skala des Zusatzspaltes auf die Nullstellung geeicht ist,
und eine ganze Umdrehung
4ter
1, 4mm entspricht. Dieser Versuchsteil konnte bis bis zu den Maxima
Ordnung durchgeführt werden.
3) Im dritten Versuchsteil wurde das einschichtige Gitter wieder mit Interferenzlter verwendet.
Nun werden wieder die Winkel der Beugungsmaxima notiert. Später kann hieraus entnommen
werden, welche Beugungsmaxima im Vergleich zum doppelschichtigen Gitter wegfallen.
4) Zuletzt wird das Gitter horizontal aufgestellt, das Beugungsbild beobachtet, und anschlieÿend
statt des Beleuchtungsspaltes eine Lochblende, die mit Hilfe einer Stecknadel aus Aluminiumfolie
hergestellt wurde. Hierbei ist darauf zu achten, das das Loch extrem klein sein muss, damit die
gewünschten Eekte beobachtet werden können.
3.3 Auswertung
3.3.1 Doppelschichtgitter
Bestimmung der mittleren Wellenlänge
Der Abstand zischen Messspindel und Drehachse des Fern-
a = 330(3)mm. Der Fehler wurde abgeschätzt. Aus den Messwerten werden die Diexn = |sn −s0 | der Auslenkungen der Messspindel der Maxima nter Ordnung sn vom Maxiumum
rohres beträgt
renzen
16
3 BEUGUNG AM GITTER
R. Garreis & S. Beinlich
nullter Ordnung
s0 berechnet. In Verbindung mit der
tan(θ) ≈ xan und sin(θ) ≈ tan(θ)
hieraus mit (20),
g1 = 0, 4mm
gegebenen Gitterkonstanten
kann
(jeweils Kleinwinkelnäherung) die Wellenlänge
bestimmt werden:
λ=
g1
g1 xn
sin(θn ) ≈
·
n
n a
Die berechneten Werte sind in folgender Tabelle aufgeführt:
n
Beugungsordnung
Auslenkungsdierenz
xn [mm]
Wellenlänge
λn [nm]
5
2,41(10)
584,24(3)
4
1,94(10)
587,88(4)
3
1,44(10)
581,82(5)
2
0,96(10)
581,82(7)
1
0,48(10)
581,8(1)
-1
0,48(10)
581,8(1)
-2
0,96(10)
581,8(1)
-3
1,43(10)
577,78(4)
-4
1,91(10)
578,79(3)
-5
2,39(10)
579,39(2)
xn
Tabelle 1: Auslenkungsdierenz
der Messspindel der Hauptmaxima beim Doppelschichtgitter und
daraus berechnete Wellenlängen
λn
δxn der Dierenzen der Auslenkungen entsteht als das
δs = 0, 05mm der Spindel. Der Fehler der Wellenlängen δλn
Der Fehler
doppelte des abgeschätzten Mess-
fehlers
aus:
g1 1
g1 xn
· · δxn +
·
· δa
|n| a
|n| a2
δ λn =
Der gewichtete Mittelwert
λ̄Hg
entsteht somit aus:
λ̄Hg = P
1
X
1
n δ2
λn
xn ·
n
1
δλ2n
= 580, 94(1)nm
Der Fehler berechnet sich nach:
1
δλ̄Hg = qP
n
1
= 0, 00777nm
2
δλ
n
Dabei sind in die Fehler nicht Ungenauigkeiten durch die Kleinwinkelnäherungen miteingegangen. Der
Fehler des gewichteten Mittelwertes erscheint unrealistisch genau. Jedoch liegt der berechnete Wert sehr
nah am Wert des Interferenzlters mit
Hg -Doppellinie
578(6)nm
(welcher gerade dem Literaturwert der gemittelten
entspricht) und auch innerhalb der Fehlertoleranzen. Der Wert entspricht also trotz
gemachten Näherungen recht gut dem Literaturwert.
3.3.2 Glasgitter
Winkel und Winkeldierenzen
Hg -Doppellinie
Aus den Messwerten der Spindel des zweiten Ver-
suchsteils mit dem Glasgitter mit unbekannter Gitterkonstante
renzen
xn = |sn − s0 |
der Auslenkungen
sn
g2
lassen sich die wiederum die Die-
zum Maximum nullter Ordnung bei
17
s0
bestimmen (jedoch
3 BEUGUNG AM GITTER
R. Garreis & S. Beinlich
nur ohne Kleinwinkelnäherung). Hieraus ergibt sich der jeweilige Ablenkwinkel zu:
βn ≈ tan−1
1)
Dies jeweils für die schwächer (Index
Doppellinie. Daraus wird der Mittelwert
x n
a
2) abgelenkte Linie der gelben Hg ∆βn = βn,2 − βn,1 berechnet. Die Werte
und die stärker (Index
β̄n
und die Dierenz
sind in Tabelle 2) zu sehen:
Ordnung
Mittelwert
Dierenz
n
xn,1 [mm]
Auslenkungsdierenz
xn,2 [mm]
βn,1 [◦ ]
Ablenkwinkel
βn,2 [◦ ]
β̄n [◦ ]
∆βn [◦ ]
1
19,2(1)
19,3(1)
3,33(5)
3,35(5)
3,34(5)
0,02(10)
2
38,6(1)
38,8(1)
6,67(8)
6,70(8)
6,69(8)
0,03(15)
3
57,7(1)
58,0(1)
9,9(1)
10,0(1)
9,9(1)
0,04(21)
4
77,7(1)
78,0(1)
13,6(1)
13,3(1)
13,3(1)
0,05(26)
Tabelle 2: Beugung am Glasgitter: Auslenkunsdierenzen und Winkel der gelben
Hg -Doppellinie
mit
Mittelwerten und Winkeldierenzen
Die Fehler der Auslenkungsdierenzen ergibt sich wie oben, die der Ablenkwinkel, Mittelwerte und
Dierenzen nach:
δβn
∂tan−1 ( xan ) ∂tan−1 ( xan ) a
· δ a = x n · δ xn +
=
· δ xn + · δa
2
2
2
∂xn
∂a
xn + a
xn + a2
δβ
δβ
δβ̄n = n,1 + n,2
2
2
δ∆βn = δβn,1 + δβn,2
Auallend sind hierbei die groÿen Fehler der Dierenzen der Winkel der Doppellinie, welche weit über
den Werten selbst liegen, was vor allem an den sehr kleinen Werten im Vergleich zu der Genauigkeit
des Messaufbaus liegt.
Bestimmung der Gitterkonstanten
Die unbekannte Gitterkonstante
g2,n
samt Messunsicherheit
des Glasgitters berechnet sich nach Gleichung (20) für jede Ordnung zu:
n · λHg
sinβ̄n
∂ n·λHg ∂ n·λHg sinβ̄n · δλ + sinβ̄n · δ
= Hg
β̄n
∂ β̄n ∂λHg g2,n =
δg2,n
=
n · λHg
n
· δλHg +
·δ
sinβ̄n
sinβ̄n · tanβ̄n β̄n
Der gewichtete Mittelwert ergibt sich als:
ḡ2,n = P
1
1
n δg2
2,n
δḡ2,n = qP
X 1
· g2,n ≈ 10, 05(6)µm
δg2,n
n
1
1
n δg2
2,n
= 0, 0563µm
18
δg2,n
3 BEUGUNG AM GITTER
R. Garreis & S. Beinlich
Die Werte sind in Tabelle (3) aufgetragen.
Jetzt lässt sich wiederum mit Hilfe der berechneten Gitterkonstanten die Wellenlänge der beiden Quecksilberdampinien wieder nach (20) wie folgt bestimmen:
g2
sinβn
n
g2
sinβn
· δg2 + cosβn · δβn
=
n
n
λn =
δλn
Auch hier fallen die groÿen Fehler der Dierenzen auf, welche aus denselben Gründen resultieren wie
Ordnung
Gitterkonstante
n
g2,n [µm]
Wellenlänge Doppellinie
λn,1 [nm]
λn,2 [nm]
Wellenlängendierenz
∆λn [nm]
1
9,97(14)
584(12)
588(12)
4(23)
1
9,97(11)
584(10)
587(10)
3(20)
3
10,09(11)
577(10)
580(10)
2(18)
4
10,11(10)
576(9)
578(9)
2(18)
Tabelle 3: Aus den einzelnen Ordnungen berechnete Gitterkonstanten, Wellenlängen und -Dierenzen
oben schon erwähnt. Der gewichtete Mittelwert der Wellenlängendierenz ergibt sich analog zu oben
als
¯ n = 2, 6(49)nm.
∆λ
Auch hier fällt die groÿe resultierende Messunsicherheit auf. Jedoch liegt der
Wert nahe (auch innerhalb der Toleranzen) an der Dierenz
Hg -Doppellinie
von
576, 96nm
und
2, 11nm
der Literaturwerte der gelben
579, 07nm.
3.3.3 Spektrales Auösungsvermögen
Das theoretische spektrale Auösungsvermögen eines Gitters ergibt sich nach (2.6.3) und
N =
dmin
g2
zu:
dmin
λ
=n·N =n·
∆λ
g2
dmin
n
=
· δdmin + n · 2 · δg2
g2
g2
An =
δ An
Damit ergibt sich folgende Tabelle:
Ordnung
min. Spaltabstand
theo. Auösungsvermögen
n
dmin [mm]
An
1
2,4(2)
239(21)
2
1,6(2)
324(42)
3
1,1(4)
337(121)
4
0,8(4)
310(161)
Tabelle 4
Der gewichtete Mittelwert des theoretischen Auösungsverhaltens
19
Ān
samt Fehler ergibt sich wie oben:
3 BEUGUNG AM GITTER
R. Garreis & S. Beinlich
Ān = 259(19)
Andererseits lässt sich aus
λ̄Hg
und
¯n A
∆λ
auch experimentell bestimmen:
λ̄Hg
¯ n = 223(420)
∆λ
λ̄Hg
1
δA = ¯ · δλ̄Hg +
· δ ¯ ≈ 420
¯ n 2 ∆λn
∆λn
∆λ
A=
Der groÿe Fehlerbereich resultiert aus dem groÿen Fehler
¯ n . Die Werte liegen recht nahe beieinander
∆λ
(durch den groÿen Fehler auch im Fehlerbereich). Somit entspricht der theoretisch bestimmte mit dem
experimentell bestimmten gut überein. Der theoretische Wert liegt über dem experimentell bestimmten
Wert, was daran liegen kann, dass aufgrund des schwierigen Unterscheidens der Linien zu groÿe minimale Abstände
dmin
gemessen wurden. Angesichts des groÿen Fehlerbereichs sind Relationen jedoch
mit Vorsicht zu behandeln.
3.3.4 Einschichtiges Drahtgitter
Ausfall von Beugungsordnungen beim einschichtigen Drahtgitter
Wie dem Messprotokoll zu ent-
nehmen sind jeweils die geraden Beugungsmaxima (bis auf das nullter Ordnung) ausgefallen. Dies
entspricht auch der Theorie (vgl. (3.4)).
Kohärenz
Im vierten Versuchsteil wurde der Einuss der räumlichen Kohärenz auf das Interferenzbild
untersucht. Wie im Versuchsprotokoll beschrieben, verschwinden die Beugungseekte, wenn Beleuchtungsspalt und Gitterorientierung senkrecht stehen. Mit einer ausreichend kleinen Lochblende sind
schwache Punkte erkennbar - anstelle der Linien beim Beleuchtungsspalt (vgl. (3.4).
3.4 Fragen und Aufgaben
1) Warum muss die Drehachse des Fernrohres nicht durch das Gitter verlaufen?
In dem Versuch wird der Ablenkwinkel der Lichtwelle untersucht. Da Gitter und Messspindel
senkrecht zur optischen Achse stehen, entspricht dieser dem zwischen Fernrohr und optischer
Achse.
2) Warum soll das Interferenzlter in dem Bereich aufgestellt werden, in dem die Strahlen parallel
verlaufen?
Fallen die Strahlen nicht parallel auf den Interferenzlter entsteht ein zusätzlicher Gangunterschied zwischen den reektierten Strahlen, sodass konstruktive und destruktive Interferenz nicht
mehr nur für eine spezielle Wellenlänge stattnden und so die gewünschte Wellenlänge nicht mehr
exakt herausgeltert werden kann. Vergleiche auch Grundlagenteil Kapitel 2.5.1.
3) Warum betragen bei einer 1:1-Abbildung der Lampe auf den Beleuchtungsspalt die Abstände zwi-
schen Linse und Lampe, sowie zwischen Linse und Beleuchtungsspalt, gerade jeweils das Doppelte
der Brennweite
Bei einer
f1
der Kondensorlinse?
1 : 1-Abbildung entspricht die Gröÿe des Gegenstandes
g ist gleich der Bildweite b. Daraus folgt:
genau der des Bildes, d.h.
Gegenstandsweite
1
1 1
2
= + =
⇔ 2 · f1 = g = b
f1
b g
b
20
(30)
3 BEUGUNG AM GITTER
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildung 15: Beugung am optischen Gitter; aus [3]
4) Beweisen Sie mit Hilfe des
huygens'schen Prinzips, dass bei Fraunhofer'scher
θmax = arcsin( m·λ
d ) auftreten
Beugung am Git-
ter die Maxima unter den Winkeln
Wie in Kapitel 2.6.2 bereits erläutert benötigt man für konstruktive Interferenz ein Gangunterschied von
∆s = m · λ
Frauenhofer'schen
. Bei der
Beugung können die Strahlen als par-
allel angesehen werden (vgl. Kapitel 2.6.4), dadurch folgt, wie auch in Grak (15) dargestellt,
∆s = d · sin θ.
Es ergibt sich also:
θmax = arcsin
m·λ
d
(31)
5) Warum ist für die Interferenz im Interferenzlter kein Beleuchtungsspalt notwendig?
Im Interferenzlter überlagern sich Lichtwellen gleicher Wellenlänge von alleine. Das Licht muss
also nicht kohärent und es ist kein Beugungsspalt mehr notwendig.
λ
∆λ = m·Z gegeben ist, wobei
die eektive Strichzahl. Das spektrale Auösungsvermögen
6) Zeigen Sie, dass das spektrale Auösungsvermögen des Gitters durch
m
die Beugungsordnung ist und
Z
hängt also nicht von der Gitterkonstanten g ab!
m·λ
Für das m-te Maximum gilt αmax =
g . Das nächste Minimum ist dann näherungsweise bei
λ
αmin ≈ m·g zu nden. Da wir für das Auösungsvermögen eines Gitters zwei unterschiedliche
Spektrallinien betrachten müssen gilt für das Maximum einer weiteren Wellenlänge
α(λ + ∆λ) =
m(λ+∆λ)
. Nach dem Rayleight-Kriterium gilt weiter:
g
m · ∆λ
λ
≥
g
Z ·g
λ
⇒
≤m·Z
∆λ
Für das maximale Auösungsvermögen ergibt sich also
(32)
(33)
λ
∆λ
= m · Z.
7) Nach dieser Anleitung erfolgt die Berechnung des Ablenkwinkels aus den Messwerten zweier Stre-
cken mit sehr unterschiedlichen absoluten Unsicherheiten.Warum ist diese Art der Berechnung
des Ablenkwinkels trotzdem sinnvoll?
21
3 BEUGUNG AM GITTER
R. Garreis & S. Beinlich
Die Fehlerfortpanzung gewichtet die beiden sehr unterschiedlichen Werte mit auch mit sehr
a):
∂tan−1 ( xan ) ∂tan−1 ( xan ) a
· δxn + · δa = xn · δxn +
= · δa
2
2
2
∂xn
∂a
xn + a
xn + a2
unterschiedlichen Gewichten (xn
δ βn
Der absolute Fehler ist deshalb irrelevant, vielmehr ist der relative Fehler von Bedeutung, sodass
letztlich beide Unsicherheiten etwa gleichen Anteil am resultierenden Gesamtfehler haben.
verdet'sche Kohärenzbedingung (15). Wir bezeichnen beim Beugungsspalt der
Breite D den oberen Rand o und den unteren u. Im Abstand a bendet sich ein Beugungsspalt
der Breite b, wobei a D gilt. Aus der Geometrie dieses Aufbaus ergibt sich damit:
b−D 2
2
2
o =a +
(34)
2
b+D 2
2
2
(35)
u =a +
2
8) Beweisen Sie die
o − u = b·D
2a . Des weiteren gilt tan(υ) =
tan(α) ≈ sin(α) und o − u ≤ λ erhält man:
Daraus ergibt sich
herung
b
o−u
λ
=
≤
2a
D
D
(36)
d
= D · sin(υ) ≤ λ
f
(37)
sin(υ) =
D·
Der letzte Ausdruck entspricht der
b
2a . Verwendet man die Kleinwinkelnä-
verdet'schen
Kohärenzbedingung.
9) Welche Beugungsordnungen fallen bei der Beugung am Gitter aus, wenn die Breite der Gitterstege
gleich der Breite der Spaltönungen ist?
Ein Maximum des Gitters (20) verschwindet, sobald es auf ein Minimum des Einzelspaltes (17)
fällt. Aus der Aufgabenstellung folgt
g = 2b.
Bezeichnet
n
die Ordnung des Minimums und
m
die des Maximums gilt:
n·λ
m·λ
m·λ
=
=
b
g
2b
⇒ 2n = m
(38)
(39)
Es verschwindet also jedes zweite Maximum.
Auf welche Beugungsordnung wird die Beugung am Gitter reduziert, wenn Gittersteg und Spaltönung keine scharfen Grenzen haben, sondern die Lichtdurchlässigkeit sinusförmig variiert?
In diesem Fall ist nur noch das Maximum 0. und 1. Ordnung erkennbar.
10) Im Versuch wurde zunächst ein zweischichtiges Drahtgitter verwendet. Auch bei diesem galt Draht-
dicke = Drahtabstand. Warum fallen bei diesem Gitter nicht die Beugungsordnungen aus, die beim
einschichtigen Gitter verschwinden?
Beim zweischichtigen Drahtgitter tritt der eben beschriebene Fall bei der ersten Schicht auf. Auf
die zweite Schicht trit also gebeugtes Licht mit einer räumlich variierenden Intensität. Dadurch
ist keine vollständige destruktive Interferenz mit dem jeweiligen Einzelspalt mehr möglich und
es ist jedes Maxima zu beobachten.
22
4 HOLOGRAPHIE
R. Garreis & S. Beinlich
11) Erklären Sie die unterschiedlichen Beobachtungen mit Beleuchtungsspalt und Lochblende bei senk-
rechten und horizontalen Gitterönungen.
Bei einem Beleuchtungsspalt ist das Licht nur in der zum Spalt senkrechten Ebene kohärent.
Bringt man also ein Gitter um
90circ
verdreht zum Spalt an, so ist kein durch Beugung verur-
sachtes Interferenzmuster zu beobachten, sondern eine recht gleichmäÿige Lichtverteilung.
Bei der Lochblende kommt das Licht in allen Ebenen kohärent heraus. Das Loch muss dazu ausreichend klein sein. Auf dem Schirm sind die Intensitätsmaxima punktförmig und nicht so wie
mit einem Beleuchtungsspalt kleine Striche.
4 Holographie
4.1 Versuchsaufbau
Abbildung 16: Aufbau des Versuches Holographie; eigenes Bild
Zur Aufnahme eines Hologramms stand folgender Aufbau zur Verfügung:
•
•
Ein schwingsungsgedämpfter (Schaumsto ) optischer Tisch,
eine rote Laserdiode der Laserklasse 2 mit einer Wellenlänge von
kleiner
λ = 635nm
und einer Leistung
1mW .
•
An diese ist eine Streulinse zur Aufweitung des Strahles angebracht.
•
Eine Verschlussblende (Shutter ) begrenzt die Belichtungszeit.
•
Der Film (Planlm PFG-01 ) der Firma
UAB Geola,
der während der Lagerung gekühlt wird,
wird zwischen zwei Glasplatten von einer Halterung xiert.
•
Direkt dahinter wird der Gegenstand (Kreidestücke, Würfel, Schneemann oder Gespenst) platziert.
23
4 HOLOGRAPHIE
R. Garreis & S. Beinlich
•
Auÿerdem noch Chemikalien (Entwicklungs-, Stopp- und Bleichbad), ein Fön, und mehrere Zangen und Wannen zur Entwicklung des Filmes.
•
Zum Betrachten des Hologramms standen eine Kohlebogenlampe und die Sonne bereit.
4.2 Versuchsdurchführung
Der Laser wird auf den Film mit dahinter platziertem Gegenstand ausgerichtet. Dabei ist darauf zu
achten, dass der Film etwas schräg zur optischen Achse montiert ist, um später das Betrachten mit
einer nicht der Beobachtungsrichtung entsprechenden Beleuchtung zu ermöglichen. Der Shutter wird
in den Strahlengang, jedoch auÿerhalb des optischen Tisches aufgestellt, um Schwingungen und ein
Verwackeln des Filmes zu verhindern.
Der Film (eine Hälfte reicht aus um den Gegenstand ganz abzudecken) wird zwischen den geputzten
Glasscheiben positioniert und anschlieÿend etwa ein bis zwei Minuten gewartet, dass Schwingungen
abklingen.
8s), 20 − 40s entwickelt bis ein mittelgrauer Zustand
erreicht ist (hier ca.30s), mit Wasser gespült und ca. 10s im Stoppbad geschwenkt. Nach abermaligem
Spülen und Bleichen bis sämtliche Verfärbungen entfernt sind (10−20s) wird der Film gut abgewaschen
Dann wird
5 − 10s
belichtet (hier meist etwa
und vorsichtig mit dem Fön getrocknet. Das Hologramm ist anschlieÿend fertig zum Betrachten.
4.3 Versuchsbeobachtung
Beim ersten Versuch (Schneemann) war sofort ein leichtes (rotes) Bild erkennbar, welches räumlich
abgebildet wurde.
Beim zweiten Versuch wurde der Winkel zwischen Film und Gegenstand (Würfel und Kreiden) erhöht.
Jedoch lieÿ sich hier fast kein Bild erkennen.
Der erfolgreichste Abzug war der dritte, bei dem das Gespenst wieder im ursprünglichen Winkel abgebildet wurde. Dieses Bild war selbst im tiefstehenden Sonnenlicht äuÿerst gut zu erkennen und war
ein voller Erfolg. Hier erzeugte ein Bewegen des Filmes eine beeindruckende Veränderung des Bildes.
Der vierte Durchgang (nochmals das Gespenst) lieferte wie der zweite kein zufriedenstellendes Ergebnis.
Ob das ganze Bild nach einem Zerschneiden des Bildes immernoch zu erkennen ist, wurde nicht untersucht, obwohl dies sehr interessant gewesen wäre, weil es völlig der Intuition widerspricht.
4.4 Fragen und Aufgaben
1) Warum zeigt das rekonstruierte Bild der erzeugten Reexionshologramme eine andere Farbe als
der zur Aufnahme verwendete Laser? Wie könnte man den Eekt möglicherweise noch verstärken? Eine mögliche Ursache kann die Wirkung der Entwicklungs-, Stopp- und Bleichchemikalien auf
das Trägermaterial des Filmes sein. Zieht sich dieses zusammen, interferieren nur Lichtwellen
kürzerer Wellenlänge, was eine andere Farbe als die der Aufnahme bewirkt.
Auÿerdem bewirkt ein Schwenken des Bildes relativ zur Beleuchtungsquelle eine farbliche Veränderung des Bildes. Dieser Eekt könnte also auch zur Farbveränderung genutzt werden.
2) Was passiert, wenn man das gleiche Fotomaterial unter Verwendung wechselnder Objekte vor
der Entwicklung mehrfach hintereinander belichtet? Hierdurch werden einfach mehrere Bilder übereinander aufgenommen. Mehrere Gegenstände können so in einem Bild durch Hintereinanderbelichten aufgezeichnet werden. Wird zusätzlich der
24
Literatur
R. Garreis & S. Beinlich
Winkel zischen Filmhalterung und Lichtwelle variiert, können unterschiedliche Bilder für unterschiedliche Betrachtungswinkel erzeugt werden. Dies könnte dazu verwendet werden, Bewegungsabläufe zu simulieren, wie es z.B. bei einigen Postkarten der Fall ist.
3) Können Sie sich eine Methode vorstellen, die unter Verwendung der Ergebnisse der Fragen 1)
und 2) die Herstellung farbiger Reexionshologramme ermöglicht?
Dies könnte entweder durch einen weiÿen Laser (mehrere Wellenlängen) geschehen, oder durch
Hintereinanderbelichten mit Lasern unterschiedlicher Farben.
Problematisch ist jedoch, genau die richtige Belichtungszeit zur jeweiligen Empndlichkeit des
Filmes auf bestimmte Wellenlängen zu erreichen. Ebenso werden die Farben dann nur bei gleichbleibendem Film bei der Entwicklung (keine Kontraktion) und gleichbleibendem Beleuchtungs-/
Betrachtungswinkel farbecht wiedergegeben.
5 Fazit
Beide Versuche sind sehr erfolgreich verlaufen und haben die erwarteten Eekte qualitativ und quantitativ in dem von den Aufbauten ermöglichten Rahmen bestätigt.
6 Anhang
Literatur
[1]
Runge, Bernd-Uwe: Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, Holographie
https://ap.physik.uni-konstanz.de/AP-public/Anleitungen/Holographie.pdf (entnommen
am 24.11.2013)
[2]
Runge, Bernd-Uwe: Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz,Beugung am Gitter
https://ap.physik.uni-konstanz.de/AP-public/Anleitungen/Gitter.pdf (entnommen
am 24.11.2013)
[3]
Wolfgang Demtröder:
[4]
http://de.wikipedia.org/wiki/Holografie
[5]
Wolfgang Demtröder:
[6]
http://de.wikipedia.org/wiki/Verdetsche_Koh%C3%A4renzbedingung
Experimentalphysik 2 Auage 4, 2006
(entnommen am 24.11.2013)
Experimentalphysik 1 Auage 5, 2008
(entnommen
am
28.11.2013)
[7]
http://de.wikipedia.org/wiki/Interferenzfilter
[8]
Wolfgang Zinth, Ursula Zinth:
[9]
Simeon Beinlich & Arnold Wohlwend
(entnommen am 28.11.2013)
Optik Auage 2, 2009
Praktikumsbericht
Frensel'sche
Formeln und Hochfre-
quenzsignale Physikalisches Anfängerpraktikum an der Universität Konstanz
[10]
P.A. Tipler: Physik
Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000. (engl. Originalaus-
gabe 1976; dt. Übersetzung 1994).
[11]
http://www.elsenbruch.info/ph12_down/brechung.gif
25
(entnommen am 15.12.2013)
Literatur
R. Garreis & S. Beinlich
[12]
Simeon Beinlich & Rebekka Garreis
Praktikumsbericht
Faraday-Eekt
und Saccharimetrie
Physikalisches Anfängerpraktikum an der Universität Konstanz
[13]
[14]
http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png
(entnommen am 15.12.2013)
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Interferenz_sinus.
png&filetimestamp=20070305203157& (entnommen am 15.12.2013)
26
Tabellenverzeichnis
R. Garreis & S. Beinlich
Abbildungsverzeichnis
1
Zur Erklärung der um
1
n verlangsamten Lichtgeschwindigkeit in Materie; aus [1] . . . .
4
2
Reexion und Brechung einer Lichtwelle an einer Grenzäche; aus [3] . . . . . . . . . .
5
3
Konstruktion der resultierenden Wellenfronten aus
Hugens'schen
Elementarwellen, aus
[13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Zum
Huygens'schen
6
Prinzip bei der Brechung an einer Grenzäche; bearbeitet : links
aus [11], rechts aus [5]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
6
5
Konstruktive und Destruktive Zweiwelleninterferenz; aus ([14])
6
Strahlengang beim Interferenzlter [7]
7
Übergang von
8
Konstruktion
9
Strahlengang zur Aufnahme eines Hologramms; aus [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
10
Weiÿlichtholographie; aus [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
11
Schematische Darstellung der Aufnahme eines Transmissionshologramms; aus [4]
14
12
Schematische Darstellung der Aufnahme eines Reexionshologramms; aus [4] . . . . . .
13
Schematische Darstellung zur Aufnahme eines
14
Aufbau des Versuches zum optischen Gitter; eigenes Bild . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
15
Beugung am optischen Gitter; aus [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
16
Aufbau des Versuches Holographie; eigenes Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fraunhofer- zu Fresnel'scher Beugung;
der Fresnel'schen Zonen; aus [3] . . . .
7
8
aus [10] . . . . . . . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Denisjuk-Hologramm;
. . .
aus [4] . . . . . .
14
15
Tabellenverzeichnis
1
Auslenkungsdierenz
xn
der Messspindel der Hauptmaxima beim Doppelschichtgitter
und daraus berechnete Wellenlängen
2
λn
Beugung am Glasgitter: Auslenkunsdierenzen und Winkel der gelben
mit Mittelwerten und Winkeldierenzen
3
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Hg -Doppellinie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Aus den einzelnen Ordnungen berechnete Gitterkonstanten, Wellenlängen und -Dierenzen 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
19