Physik Skript 1

1. Einführung
Was ist Physik
Teil der Naturwissenschaft „unbelebte Natur“ Übergang zur Chemie (fließend)
Ing. Wiss: Übertragung bekannter phys. Gesetze auf techn. Probleme -> industrielle
Praxis
z.B. Maschinenbau, Starkstromtechnik, Elektronik aber auch Beschleuniger,
Raumfahrttechnik,…
Erkenntnisse in der Physik, opt. Täuschungen
Experiment <-> math. Modell
2. Verallgemeinerung der Ereignisse
1. Experiment
Verifikation
3. phys. Gesetze
& Messvorschriften
Modell
Theorie
4. Vorhersagen aus phys. Gesetzen
Teilgebiete der Physik
Physik
Wirkung >>h
Energie x Zeit
(Wirkung)
incl. Relath. klass. Physik
Wirkung
h
Quantenphysik
anschaulich
streng determin
genaue Messung
möglich
abstrakt
nur statisch determin.
Unschärferelation
Klassische Physik
-Mechanik (incl. Relat.)
-Thermodynamik
-Elektrizität und Magnetismus
-Wellenlehre (Akustik, Optik, Elektrodynamik)
Quantenphysik
-Quantenmechanik
-Quanten Elektrodynamik
-Atom & Kernphysik
-Teilchenphysik
-Festkörperphysik
Skript 1 Physik 1
-2-
Thon
Phys. Größen
Das SI System (seit 1978 gesetzl. Maßstab)
phys. Größe beschreibt Zustand: Größe muss messbar sein!
G
=
{G}
x [G]
Symbol Zahlenwert
Einheit
Si System: 7 Größen
Einheit
Zeit
Größe
sek.
Länge
Meter
Masse
kg
Elektr.
Temperatur Lichtstärke Stoffmenge
Stromstärke
Ampère
Kelvin
Candela
mol
Naturgesetze:
Aus dem gemess. Zusammenhang phys. Größen werden Naturgesetze formuliert:
z.B.: - Gravitationsgesetz
- Coulombgesetz
- Induktionsgesetz
Darin treten Proportionskonstanten auf: Naturkonstanten
•
entweder per Definition einen gewissen wert zuordnen z.B.:
e= 2,997924 x 108 m/s
x 10-7- Vs/Am
0 =4
•
oder genau messen z.B.:
•
Grav.-Konstante = 6,67x 10-11 Nm2/kg2
•
Avogadrokonstante NA = 6,0221367 x 1023 Teilchen/mol
•
Elementarladung e= 1,60217733 x 10-19 As
•
Plancksche Wirkungsquandrum n= 6,6260 x10-34 Js
4,13567 x 10-15 eVs
M M
F =γ 1 2
g
γ2
Messgenauigkeit (Messen einer phys. Größe):
• durch Vergleich mit SI-Größen (nach SI-Vereinbarung)
oder
• durch ein darauf geeichtes Messverfahren
Skript 1 Physik 1
-3-
Thon
Fehler:
Systematische Fehler
zufällige statistische Fehler
Aus Fehleranalyse/-rechner
Historgramm der Häufigkeit
Häuffigkeit
x
xi
N i ( xi )
N
Bei großer Zahl N der Versuche in „Glockenkurve“ über:
Häufigkeit hi für Messwerteintervall xi: hi =
h( x) =
1
2πδ 2
(x − µ)2
exp −
2δ 2
∞
nomiert auf h( x)dx = 1
0
mit:
x = Messwert
= Erwartungswert „wahrer Wert“
2
= Varianz
= Streuung
− 3δ
-δ
+δ
68,3%
+ 3δ
95,4%
99,7%
ω ( x, x + dx) = h( x) ⋅ dx
Skript 1 Physik 1
-4-
Thon
Schätzwerte aus den gemessenen Verteilungen:
1. arithmetischer Mittelwert x =
2. Summe der Fehlerquadrate
1
N
x bester Schätzwert für
i
Ei x 2 =
i
W
( xi − x) 2
i
3. Standartabweichung S =
Ei2
bester Schätzwert für Streuung
N −1
4. Standartabweichung für x : ∆ x =
S
N
„Messwertfehler“ für x
[Anmerkung: siehe Hering ab S.9 oder Stroppe ab S.513]
2. Mechanik
2.1. Einführung
− Allg. Grundlage der Physik
− Anwendung in allen Teilgebieten der Physik
− Bewegung von Objekten im Raum und Zeit
Für quant. Aussagen: Maßeinheit für Raum (→Länge und Zeit )
2.2. Bewegung des Massenpunkts (MP)
− Zeitmessung
Objekt: Zeit wird gemessen durch Bezug auf periodische Vorgänge
Erddrehung, Planetenbewegung, Urpendel, Schwingquarz
1d zu 24h zu 60min zu 60s
mitt. Sonnentag: 1d =ˆ 86400s
1a =ˆ 365 ¼d ≈ π 107s
mittl. Sonnensekunde:
Erddrehung nicht konst.
→1s über Cs-Atom
Heute:
Quarzuhren → elektr. angeregte Schwingung eines Quarzes ~ 1MHz
∆t
≥ 10 −8
t
1
[Hz]
T
Messung der Lichtgeschwindigkeit, zuerst durch o-Römer (1676 „Jupitermonde“)
Frequenz υ ( f ) ←
→ TPeriodeυ =
Skript 1 Physik 1
-5-
Thon
Fundamentale, exp. bestimmte Annahme: Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen
konst. (Einstein spez. Relationstheorie 1905)
Längenmessung: 1m ≅
1
Abstand Pol Äquator (→ Pariser Normalmeter)
10.000.000
Def. des Meters heute:
λ Kr
1m = 165076373 ∴λKr
86
Kr: Orange λKr = 605.8 nm
1
2
Schirm
Michelson Interferometer
Skript 1 Physik 1
-6-
Thon
Messung großer Längen:
Triangulation
s
[rad ] Bogenmaß
r
1 rad =ˆ 57,3°
1 ° =ˆ 17,5mrad
Kleinwinkel Nähe
sin ϕ ≈ tan ϕ ≈ ϕ [rad ]
(ϕ << 1rad )
Winkel ϕ =
cos ϕ ≈ 1 −
ϕ2
2
Euklid: α + β + γ = 180°
a
b
=
Sinussatz:
sin α sin β
Messung astronomischer Entfernung
L
L, α , β , 
→ LEM auf 10% Erdradius
LES
=90°
LES (in RE) auf Faktor 10
Skript 1 Physik 1
-7-
Thon
Parallaxe →scheinbare Beweg erdnaher Sterne vor
Fixsternhimmel
1° =ˆ 60′(min) ≅ 60 × 60′′( sek )
Winkeleinheiten:
°
1
1′′ =
3600
=ˆ
1cm
2cm
. S
Erreichbar (terrestisch) : 0,1′′
(Astronomisch): 0,01′′
E
2AE
Astronomische Längeneinheit (AE): Große Halbachsen der Erdbahn
1 AE= 1,495x1011 m
− Par sec [pc]:
1,5 × 1011 m
1 pc =ˆ
tan 111
Lichtjahr :
d=
3 × 1016 m
1AE 1AE
≈
tan δ
δ
1pc = 3,26 LJ
1LJ = 9,45 × 10 m
15
AE
d
Parallaxenmethode brauchbar bis ~ 100LJ = 30pc
Skript 1 Physik 1
-8-
Thon
2.2.1. Kinematik des Massenpunktes
− Geradlinge Bewegung (1Ortkorrd. : x = f(t) = x(t)
x
X2
X1
t
t 1 t2
Momentangeschwindigkeit v(t) =
∆x
lim ∆t
=
∆t → 0
Momentanbeschleunigung a(t) =
∆v
lim ∆t
∆t → 0
=
dx
=x
dt
dv
=v
dt
4 facher Weg =ˆ doppelter Zeit
Wie x=f(t), damit x (2t0)=4x(t0)
x
4
4
1
4
t
Gleichung des freien Falls:
g 2
t
2
v(t ) = gt
x (t ) =
a (t ) = g
g 2
t
2
g
g 2
x(2t 0 ) = (2t 0 ) 2 = 4 t 0 = 4 x(t 0 )
2
2
x (t 0 ) =
g= Erdbeschleunigung
Skript 1 Physik 1
-9-
Thon
Umkehrung der Differentiation: Integration
[
t
]
T =T
aus a(t)→v(t) aπ dT +v 0 a (t )dt
T =0
0
t
aus v(t)→x(t) x0+ v(T )dT
0
a(t) = const.
v(t) = v0+at
Gleichförmige beschleunigte Bewegung
a
x(t) = x0+v0t+ t 2
2
Kinematik des Massenpunktes :
Bahnkurve
y
Ortsvektor r(t)
x
Kartesicher 3D Fall: r (t ) = r (t ), y (t ), z(t )
Analog zu 1D Fall
r (t + ∆ t ) − r (t )
v ( t ) = lim
∆→ 0
∆t
dx
dy
dz
,
,
Geschwindigkeit =
dt
dt
dt
oder r = ( x , y , z )
Skript 1 Physik 1
- 10 -
Thon
dv
d 2x d 2 y d 2z
a(t)=…=
=
,
,
dt
dt
dt
dt
Ableitung nach t: Punkt
Bsp: Wurf mit horizontaler Anfangsgeschwindigkeit
a (t ) = (0 − g )
v0 (t ) = (v 0 ,0)
Anfangsbedingung
r (t = 0) = r0 = (0,0)
Bewegung in x,y unabhängig
t
v x (t ) = v x (0) + a x (τ )dτ
0
= v0 + 0
x
t
v y (t ) = v y (0) + a y (τ )dτ
v0 = (v0 ,0)
0
= 0 + [− gτ ]0 = − gt
t
t
x(t ) = x0 + v 0 (τ )dτ = 0 + [v0τ ]0 = v 0 t
t
0
t
y (t ) = y 0 +
(− gτ )dτ = 0 −
0
x = v0 t → t 2 =
g 2
t
2
x2
g 2
→ y ( x) = −
x
2
2
v0
2v 0
Ebene iA gekrümmte Bewegung
Annahme:
Geschwindigkeit v = v const. entlang der Bahnkurve
v (t )
v (t + ∆t )
v (t )
∆v
v (t + ∆t )
Skript 1 Physik 1
- 11 -
Thon
∆v
v
= ∆ϕ
dv
Obwohl ∆v const. ist a =
≠ 0 Richtungsänderung
dt
Vektorielle Zerlegung der Beschleunigung
dv d 2 s
=
dt dt 2
dv
dϕ
an =
=v
dt
dt
Tangential: at =
tang
normal:
norm
Speziell:
Kreisbewegung: Massenpunkt auf Kreisbahn (r = const.)
Beste Wahl des Koordinaten Systems (KS): Polar Koordinaten
x(t ) = r (t ) cos ϕ (t )
y (t ) = r (t ) sin ϕ (t )
x(t ) = r cos ϕ (t )
dϕ
dt
dϕ
y = r cos ϕ (t ) ×
dt
x = − r sin ϕ (t ) ×
y (t ) = r sin ϕ (t )
2
v=
dr
dt
=
dx
dt
2
dy
+
dt
zusätzlich: v= const. →
dϕ
=r
dt
dϕ
dϕ
v = r sin ϕ + cos ϕ
=r
dt
dt
2
(
2
2
dϕ
= const.
dt
Winkelgeschwindigkeit: ω =
)
r
∆s
∆ϕ
dϕ v
=
dt r
Über ϕ (t ) = ωt können wir schreiben ω = const.
x(t ) = r cos ωt
y (t ) = r sin ωt
Beschleunigung bei Kreisbewegung mit v= const. Gleichförmig
Skript 1 Physik 1
- 12 -
Thon
dv
=0
dt
dϕ
v2
2
an = v
= vω = rω =
dt
r
↓
a (t ) =
rω
Radiale Beschleunigung a r = −rω 2 = −
Vektorschreibweise: a = −
v2
nach innen Zentripetalbeschleunigung
r
v2
rˆ
r
r
Einheitsvektor rˆ =
r
r =1
Ungleichförmige Kreisbewegung: ω = ω (t )
dv
dω
d 2ϕ
=r
=r 2
dt
dt
dt
Winkelbeschleunigung
Wechsel von Koordinatensystem:
Koordinatentransformation bei Parallelverschiebung
y’
r′ = r − A
y
v′ = r − A = v
d.h. v , a invariant gegen Paralellverschiebung
A const
x’
x
Koordinatentransformation bei bewegten Koordinatensystemen:
Einfacher Fall:
s
x ′ = x − ut
y′ = y
z′ = z
Nur gültig für u << c
(t ′ = t )
s’
x
n*t
Skript 1 Physik 1
x’
Gulileitransformation
- 13 -
Thon
2.3. Grundgesetz der klassischen Physik:
1686 Newton/ Phil. Nat. Princ. Math.
Absolute Euklische Geometrie
Grundgedanke: Kraft als Ursache der Beschleunigung
•
Kinematische Größe v , a
•
Masse m, Kraft F
Schlitten auf Luftkissenbahn
Aufnehmer
x
F= m*g
m
Bewegung im Raum, Koordinatensystemen, Vektoren
Einteilung phys. Größen
•
•
Skalar 1 Zahl (Zeit, Masse, Temp.)
Vektor Betrag („Länge“) und Richtung
Kartesisches Koordinatensystem:
z
az
y
ay
ax
x
a = (a x , a y , a z )
Addition. Komponentenweise
a = a = a x + a y + az
2
2
2
Multiplikation mit Skalar ka = (ka x + ka y + ka z )
Skript 1 Physik 1
- 14 -
Thon
Polar Koordinaten:
Eben x,y:
y
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
r
x
x = r sin ϑ cos ϕ
Räumlich (x, y ,z): y = r sin ϑ sin ϕ
z = r cos ϑ
2.3.1. Kräfte und fundamentale Wechselwirkung
1
F
m
Masse: Maß für Trägheit (träge Masse)
Kraft F : Ursache für Geschwindigkeitsänderungen oder Deformation
NG II Bewegungsgleichung a =
Gewichtskraft:
F
Laser
Verfahren eines Balkens
Federkraft, kompensiert im Ggw die Gewichtskraft
Reibungskraft Einheit der Kraft 1 Newton= 1N
1 Newton ist die Kraft die die Masse m= 1kg mit a=1m/s2 beschleunigt
Kraft ist Vektorkraft
F1
F1 + F2
1N=kgm/s2
vekt. Addition von Kräften
Kräfteparallelogramm
F2
Skript 1 Physik 1
- 15 -
Thon
Schiefe Ebene
FT + FN = FG
FN
FT
Fg = mg
FT = mg sin α
FN = mg cosα
Reibungskraft = Entgegen der Bewegungsrichtung
Ansatz: FR = µFN
(µ H > µ G )
µ = Re ibungskoeffizient , µ H = Haftreibung , µ G = Gleitreibung
Bedingung für Gleiten F > FR ,GL
mg sin α > µ G mg cos α
α > tg −1 µ G
µ G = tgα Grenzwinkel
z.B.: µ G = 0,1
α = 5,7°
Jetzt zu NG III (actio= reactio)
Fundamentale Kräfte
1. Gravitation:
Zwei Körper der Massen m1 und m2 ziehen sich gegenseitig mit der Kraft F an, für dir
gilt:
mm
F =γ 12 2
r
2
−11 Nm
γ = 6,6726 × 10
kg 2
Feldteilchen: Gravitonen noch nicht entdeckt
Skript 1 Physik 1
- 16 -
Thon
Von oben:
Laser
m
Spiegel
„Hantel mit 2x mam Quarzfaden“
2. Elektrische Kraft
F el =
1
4πε
×
Q1Q 2
0
r0
2
m2
mit
N
≅ 9 × 10
4πε 0
( As )2
1
9
Elektrische Kraft extrem stark im Vergleich mit der Gravitation:
2x 1As im Abstand 1m: F ≈ 1010 N =ˆ Gewichtskr aft 10 6 t
3. Starke Wechselwirkung zwischen Quarks
4. Schwache Wechselwirkung zwischen Quarks und Leptonen (e-, e+,
(Feldteilchen: Z0, W+-)
5. Elektromagnetische Wechselwirkung Feldteilchen: Photonen
+
,
-
, …)
Daraus abgeleitete Kräfte:
−
−
−
−
−
Reibungskräfte
Seilkräfte
Elastische Kräfte (Federkraft, Deformationskraft)
Chemische Bindungskräfte
Kernkraft (zwischen Nukleonen im Kern)
Bemerkung zur Masse:
In NG I-III: Träge Masse
Im Gravitationsgesetz: Schwere Masse
Skript 1 Physik 1
- 17 -
Thon
2.4. Anwendung der Newtonschen Gesetze
2.4.1. Federpendel:
FFeder
FGewicht
0
Ruhend
l0
l
∆l = l0 − 0 = l 0 prop. Zum Gewicht m × g
Federkraft:
FF = k∆l
[k]=
N
m
k= Federkonstante
In Ruhelage:
Fresult = FF + FG = −kl 0 + mg
Auslenkung aus der Ruhelage
Schwingung um Ruhelage !
Fres = mg − kl
= mg − k (l − l 0 + l 0 )
x(t )
= mg − kl 0 − kx(t )
=0
= −kx(t )
x (t ) +
k
x(t )) = 0 DGL der freien, ungedämpften Schwingung
m
Skript 1 Physik 1
- 18 -
Thon
x(t ) = A cos ωt
x(t ) = − Aω sin ωt
x(t ) = − Aω 2 cos ωt
= −ω 2 x(t )
DGL erfüllt mit ω 2 =
k
m
Versuch:
ω=
m=50
2π
t
k
m
ω 2 = (2πf ) 2
f =
m
T = 2π
k
l(50)=10cm
0,5 N
0,1m
N
=5
m
k=
= 2π
1
T
0,5kgms 2
5kgm
= 2π × 0,1s
= 0,63s
x = A cos ωt
ist spezielle Lösung mit den Anfangsbedingungen:
x(t=0)= A
v(t=0)= 0
Andere spezielle Lösung ist:
x(t ) = A sin ωt
x(t=0)= 0
v(t=0)= ωA
Allgemeine Lösung:
x(t ) = a sin ωt + b cosωt
v(t ) = aω cosωt − bω sin ωt
a(t ) = −ω 2 a sin ωt − ω 2 b cos ωt = −ω 2 x(t )
Anfangsbedingung:
x(0)= b
v(0)= ωa
Amplitude A=
a2 + b2
Skript 1 Physik 1
Kreisfrequenz ω =
- 19 -
k
m
Thon
−
−
−
−
N. Kopernikus (1473- 1543) Heliozentrisches Weltbild
T. Brake (11546- 1601) Exakte Beobachtung
J. Kepler (1571- 1630) Kepler’sche Gesetze
I Newton (1643- 1727) Herleitung. der KG aus den NG und Gravitationsgesetz
Kepler’sche Gesetze:
I. Planetenbewegung auf Ellipsen in deren einem Brennpunkt die Sonne steht
II. Der von der Sonne zum Planeten reichende Radiusvektor v überstreicht in gleichen
Zeiten ∆t gleiche Flächen ∆A
∆A
= const .
∆t
III. Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten Verhalten sich wie die
Kuben der großen Halbachse a1 und a2
2
3
T1
a1
=
2
3
T2
a2
Speziell: Kreisbahn (a= b= r Sonne im Zentrum)
az= agrav
Ms
v2
2
ω
γ
=
r
=
r2
r2
r 2ω 2 = γM = const ∀ Planetenbahnen
KG III
γ3
T
aus r, T, γ
=
3
γ
M s =const
4π 2
Masse des Zentralgestirns berechen (hier Sonne)
M Sonne = 2,0 × 10 30 kg
Aus Monddaten Masse der Erde:
rm = 3,84x108m
ρE =
Tm =27,3d
MErde = 5,97x1024kg
M Erde
g
= 5,5 3
4
cm
πRE 3
3
g
cm 3
Erde hat schweren Kern: Flüssig Fe, Ni
An der Oberfläche ρ ≈ 2,7
Skript 1 Physik 1
- 20 -
Thon
1. m außerhalb der Kugel mit Masse M
Kraft so, als ob Kugelmasse M im Zentrum
d
R
2. m innerhalb der Kugel M:
nur Masse immer r=d trägt bei
d
F =γ
− Mrsd
d2
Gewischtskraft
ME
FG = γ
RE
2
m = mg
g
Mit ME, RE, γ
Skript 1 Physik 1
g= 9,818
m
s2
- 21 -
Thon
2.4.2. Schwerependel oder Math. Pendel
(harmonische Schwingung bei kleiner Auslenkung)
l
x
s
FT
s = l* ~ x
F = m*g
Ft = mg sin ϕ
sin ϕ ≈ ϕ für ϕ << 1rad
Ft ≅ mgϕ ≈ mg
FRücktreib = −
x
l
mg
x
l
ω=
Harmonische Schwingung mit
k
m
=
mg
lm
=
g
l
l
g
Bei 4x Pendellänge doppelte Schwingungsdauer
T= 2 π
2.4.3. Planetenbewegung
Ptolemäus ca. 100- 160 n. Chr. geozentrisches Weltbild
Link: home.t-online.de/nagel.klaus/astdir/astro.htm
Skript 1 Physik 1
- 22 -
Thon
2.4.4. Gültigkeitsbereich der Newton’schen Mechanik
Prinzipielle Schranken für Kenntnis der Entwicklung eines Systems in der Zukunft
1.
Chaotisches Verhalten nicht lin. Systeme
− Wetter
− Turbulente Strömungen
2. Quantenphysik
Unschärferelation: Ort und Impuls nicht gleichzeitig genau messbar
m2
h
= 10 34 kg
=
2π
s
Genauigkeit der Anfangsbedingung beschränkt
∆x × ∆p x ≥
2.5. Der Impuls
Def. Impuls: Masse x Geschwindigkeit
Erhaltungsgröße für abgeschlossene Systeme P = mv
2.5.1. Der Kraftstoß
dv
a
dt
ma = F
NG II
dp
=F
dt
t2
∆p = p 2 − p1 = F (t )dt
dp = F (t )dt
t1
Kraftstoß
F(t)
t1
Skript 1 Physik 1
t2
t
- 23 -
Thon
2
F (t )dt =ˆ Fläche ≈ F∆t
1
∆p
F
∆t
Um Kraft zu minimieren, muß ∆t möglich groß sein! (Knautschzone)
∆p gegeben F =
Stahlkugel auf Unterlage (Stall)
m=10g
h=0,2m
∆p = 2mv1 = F ∆t
g 2
t
2
2h
t=
g
h=
v(t)=g(t)
v= 2g h =2
10
m
= 0,04 Ns
s
∆ = 40,001kg
F =
m 0,2 m
s
m
s
0,04 Ns 10 −2
= −5 N = 10 3 N
−5
4 x10 s 10
2.5.2. Systeme von Massenpunkten (MP)
m3
m2
r3
Bisher: 1MP + äußere Kraft
r2
m1
r1
Neu: Mehrer MP + innere Kräfte (zwischen MP’s) + äußere Kräfte
Def. Schwerpunkt:
dr
1 n
1
rs =
mi i =
dt M
M i =1
Impuls des SP:
p s = Mv s = mi v =
pi
pi
i
(Summe der Einzelimpulse)
Skript 1 Physik 1
- 24 -
Thon
Einfluss von Kräften:
Fi= äußere Kraft
1.
Fik= innere Kraft
F2
F12
2.
1
F
F1
2
dp1
= F1 + F12
dt
dp1
2)
= F2 + F21
dt
1)
dp s dp1 dp 2
=
+
= F1 + F2 = F12 + F21
dt
dt
dt
= 0 ( wegenNGIII )
dp s
dv
=M s =
dt
dt
Ergebnis:
Fi
(Summe der äußeren Kräfte)
i
Def.:
Abgeschlossen (mech.) System:
Fi = 0
(Summe der äußeren Kräfte = 0)
i
Im abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls p s konstant
ps =
p i = const
2.6. Stoßprozesse
Wichtig wegen:
-
Struktur kleinster Systeme aus Streuexperimnet
kinetische Gastheorie
2.6.1. Eindimensionaler Fall
m1 v1
m2 v2
m1 v1
vorher
m2v2
nachher
Impulssatz: m1v1 + m 2 v 2 = m1v1 '+ m2 v ' 2
gegeben
gesucht
Zu wenig ! 1 Gleichung für 2 Unbekannte
Skript 1 Physik 1
- 25 -
Thon
1) Elastische dh. auch Ekin enthalten
1
Ekin= mv 2
2
Energiesatz:
1
1
1
1
2
2
m1v1 + m2 v 2 = m1v1 ' 2 + m 2 v 2 ' 2
2
2
2
2
2 Größen aus 2 Gleichungen => Übungen
2) Grenzfall: Total inelastisch
v1’= v2’ (= vs’)
nur noch eine Unbekannte d.h. Impulssatz ausreichend
m v + m2v 2
1
ps = 1 1
M
m1 + m2
v2 =
2.7. Arbeit und Energie
2.7.1. Beispiel Federschwingung
m,v(t)
k
1
2
mv 0
2
Staucht Feder aus Ruhelage bei x=0 und wird dadurch abgebremst
d
d 1 2
1
dv
E kin =
mv (t ) = m2v (t )
= Fv
dt
dt 2
2
dt
Masse m mit v0=v(x=0) und Ekin =
a=
F
m
Im Intervall dt gilt: dEkin= Fdx = -kxdx
E kin ( x) − E0 =
E2 ( x )
x
x2
2
dE kin = − k x!dx!= − k
E0
Abnahme von Ekin
0
−1x Änderung der E pot
Skript 1 Physik 1
- 26 -
Thon
Def.:
Feder
E pot
( x) = k
x2
2
Ekin(x) + Epot(x) = const = Eges
E
Eges
Ekin
-Epot
X
Impuls + Kraftstoß
p = mv
p=F
∆p = F (t )dt = F∆t
Kraftstoß
Schwerpunkt eines Systems vom MP
rs =
1
M
N
mi ri
i =1
innere und äußere Kräfte:
dp s
= Mv s = Fi Summe der äußeren Kräfte
dt
i
2.7.2. Potentielle Energie und konservative Kräfte
x2
Arbeit
W12 = Fdx
Allg.: (1D)
x1
P=
dW
= Fv
dt
Leistung
Potentielle Energie im 1D Fall
x
E pot = − F ( x )dx + c (c ist beliebig wählbar)
x0
Skript 1 Physik 1
- 27 -
Thon
3D Fall:
r
E pot (r ) =
+c
Fdx
Wegintegral
SkalaresFeld
r0 Skalarprodukt
r1
c2
c1
r0
Gravitationskraft:
− Integration auf Kreis: Wegintegrall 0
− Integration entlang r: Wegintegral maximal
Konservatives Feld:
Epot ist nur Funktion des Ortes r (Endpunkt von c) und nicht vom Integrationsweg abhängig
2 Folgerungen:
1.
(3D) F (r ) = −
grad
Ep(r ) ´
Differenti aloperator
( gradE p ) x =
( gradE p ) y =
( gradE p ) z =
∂E p
∂x
∂E p
∂y
∂E p
∂z
2.
Erhaltung der mech. Energie
E kin (r ) + E pot (r ) = const. = E ges
r
c2
c1
Nicht konservative Kräfte:
z.B.: - Reibungskräfte
- Lorenzkraft
r0
Skript 1 Physik 1
- 28 -
Thon
Bsp: Freier Fall (im homogenen Feld)
Fgrav , y = − mg (= const )
y
y
0
0
h
E pot = − Fg dy ) = mg [ y ′] + c = mgy
1D
Fall aus der Höhe h:
E k + E pot ( y ) = const = E pot (h)
1 2
mv ( y ) + mgy = mgh
2
=> weil Ek(h)=0
v( y ) = 2 g ( h − y )
Lösung ohne Bewegungsgleichung, weil Epot schon Integration enthält !
Y
Ep(y)
h
Epot(h)
y1
Ek(y1)
E
Exkurs : Luftpistolenschuss auf Luftkissenfahrzeug
Mit m ~ 200g und v’ ~ 0174m/s
1
v
m = v ′m
400
v = 400v ′
m
v ≈ 70
s
ballistisches Pendel
Skript 1 Physik 1
- 29 -
Thon
2.7.3. Berücksichtigung von Reibungskräften am Beispiel der schiefen
Ebene
1. Ohne Reibung
Y
mg
s
Bewegung entlang s
Fs = mg sin α ( Hangabtriebskraft )
dy
ds
dEkin = Fds → Fs ds
dE pot = mgdy
dE ges = dE kin + dE pot = m g sin αds − mg sin αds = 0
dEkin
dE pot
Gesamtenergie konstant!
2.
mit Reibung:
FR
FS0
FR = µFN entgegen zu v!
Gesamtkraft: Fs = mg sin α − µmg cosα
FS 0
FN
dE ges = mg sin αds − µmg cos αds ≠ 0
Gesamtenergie nicht konstant!
Keine Epot definierbar
Skript 1 Physik 1
- 30 -
Thon
d ( E kin + E pot )
− µFN v
dt =
Leistung der Re ibungskraft
Mechanische Gesamtenergie nimmt ab
2.7.4. Einheiten von Energie, Arbeit und Leistung
Energie, Arbeit [E]: 1W=Kraft x Länge; z.B.: 1N=1J=1Ws (im SI-System)
Leistung [P]: =
Kraft × Länge
Zeit
SI: 1W=1N
kgm 2
m
=1 3
s
s
Elektr. Energie in kWh = 3,6 106 Ws
Atomare Einheit : 1eV = 1,602 10-19J
2.8. Drehbewegung
2.8.1. Drehbewegung eines MP
Neue Begriffe analog:
Zur linearen Bewegung:
− Drehmoment
M = rF
Vektorprodukt
Grafik
M = M = rF sin α
Drehmoment max für α = 90°
− Drehimpuls:
L=r×p
Grafik
Kreisbewegung (r ω ):
L = r × m( r ω )
mω (r r ) − mr (r ω )
Skalar
Skript 1 Physik 1
Skalar
- 31 -
Thon
Skalarprodukt r ω = 0 , da r ⊥ ω
LKreisbeweg ung = mr 2 ω
J
#
.
v
"
r
ω
$
− Trägheitsmoment eines MP bezüglich Ursprung
J = mr2
L = Jω (analog; p = mv )
dL d
dr
dL
= (r × p ) =
× p+r×p=
= r ×F = M
dt dt
dt
dt
F
= 0, da v p
=F)
(analog:
p
zeitlichabgeleitet
p=F
L = r ×F = M
dω
α=
dt
M = Jα
2.8.2. Arbeit, Energie und Leitungen bei Drehbewegung
ϕ1
Arbeit: We1 M (ϕ )dϕ ( Skalarprodukt )
0
Torsionsfeder: M Dϕ (Torsionskonst. D)
ϕ
1
1
Wϕ = Dϕdϕ = Dϕ 2 analog zu Feder: kx 2
2
2
0
Momentane Leistung P =
Skript 1 Physik 1
dW
= Mω
dt
Fv
!
!
- 32 -
Thon
Def.: - rot = rotation
- trans = translation
1
Jω 2
2
1
= mv 2
2
rot
E kin
=
trans
E kin
2.8.3. Vergleich „linearer Bewegungen & Drehbewegung“
m
2
m
2
r
M = -D ϕ
[NG] M = J α mit J = mr2
− Dϕ = Jα
− Dϕ = ϕmr 2 ⇐ Bewegungsg leichung
ϕ (t ) = ϕ 0 cosωt
ϕ (t ) = −ϕ 0ω sin(ωt )
ϕ (t ) = −ϕ 0ω 2 cos(ωt ) = −ω 2ϕ (t )
D
mr 2
2π
T=
ω2
ω
=
2π
mr 2
D
Versuch:
D=
T = 2π
M
ϕ
=
0,25 N ⋅ 0,3m
Nm
≈ 0,025
π ⋅ rad
rad
0,4kg ⋅ 0,1m 2 ⋅ 40s 2
≈ 10 s T im Experiment = 6s
kg ⋅ m 2
Skript 1 Physik 1
- 33 -
Thon
:
Analogie Federpendel
Drehpendel:
F=-kx
M=-D ϕ
E pot = k
2
x
x
E pot = D =
1
E kin = mv 2
2
x(t ) = A cos ωt
ω=
ϕ2
2
1
Jω 2
2
ϕ (t ) = ϕ 0 cos ωt
E kin =
k
m
ω=
D
J
2.9. Mechanik des starren Körpers
2.9.1. Kinematik des starren Körpers
System von MP mit konst. Abstände!
Sehr nützliche Idealisierung
Allg. Bewegung des starren Körpers setzt sich zusammen aus Translation + Rotation
rot
trans
momentaner Drehpunkt
Skript 1 Physik 1
- 34 -
Thon
2.9.2. Kräftewirkung am starren Körper
Starrer Körper: innere Kräfte unwirksam1
Zahl der Freiheitsgrade
N
MP: 3N
Starrer Körper 3 (transl) + 6 (rot) = 6
Ursachen der Rotation: Kräftepaar F F ′
F′
r
A
F
B
F
Angriffspunkt P kann entlang Wirkungslinie AB
verschoben werden
A
Zweikräfte:
A
F1
B
FR
F2
Resultierende Kraft FR kann entlang Wirkungslinie (WL) verschoben werden
Falls F2 = − F1 = − F aber verschiedene parallele WL, dann erzeugt dieses Kräftepaar
Drehmoment M = (r1 − r2 ) × F
Skript 1 Physik 1
- 35 -
Thon
F3
S
(r2 − r1 )
r1
F2
r2
Kräftepaar kann innerhalb des starren Körpers verschoben werden ohne Änderung von M
Betrag von M :
M = sF
2.9.3. Statik: Wann starrer Körper in Ruhe?
Fi = 0 (Fi = äußere Kraft)
1.
M i = 0 (Mi = äußeres Drehmoment)
2.
Starre Kräfte im schwere Feld
=0
SP
im SP unterstützt
In jeder Stellung in Ruhe => indifferentes Gleichgewicht
Skript 1 Physik 1
- 36 -
Thon
Potentialkurve:
Epot
P über SP
stabiles Gleichgewicht
indifferentes Gleichgewicht
P unter SP
labiles Gleichgewicht
0
2.9.4. Trägheitsmoment starrer Körper
1
Jω 2
2
E rot =
Drehachse
r
dm
.
J = mr 2
Jp =
(MP)
r 2 dm
Zylinder um Symmetrieachse gedreht
Vol
J p = ϕ (r )r 2 dV
Vol
Skript 1 Physik 1
- 37 -
Thon
r
R
Zylinder Höhe h
Radius R
Dünnwand Zylinder mit dr hat:
dJ − dmr 2 mit dm = ϕ ⋅ dr ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dz
dV
J =ϕ
h
2π
R
h
dzr dϕdr = ϕ [z ] [ϕ ]
3
z =0 ϕ =0 r = 0
R
2π
0
0
Mit M = Formelfehlt gilt J Vollzyl . =
r4
4
= ϕh 2π
0
R4
4
1
MR 2
2
Ri
RA
J Hohlzylinder =
Skript 1 Physik 1
1
2
2
M HZ ( Ri + Ra )
2
- 38 -
Thon