Theorie der Supraleitung SS 2003 Nicht zur Verbreitung!

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Theorie der Supraleitung
SS 2003
Dietrich Einzel
Vorläufige Version des Vorlesungsmanuskripts
(mit der Bitte um Kritik!!!)
Stand: Fri, July 11, 2003, 12:00
Nicht zur Verbreitung!
Überarbeiten:
1.
2.
3.
4.
5.
1
Inhalt
1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
1.1 Historische Fakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
1.2 Literaturempfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
1.2.1 Einführende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
1.2.2 Theorie der Supraleitung und der Suprafluidität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2. Phänomenologische Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.1 Zur Dynamik von Normalmetallen und Normalflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.1.1 Die Maxwell–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.1.2 Metallische Stromrelaxation im Drude–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.1.3 Die Magnetfeldabschirmung normaler Metallelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.1.4 Stromrelaxation in neutralen (Quanten-) Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.2 Verallgemeinerte London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
2.2.2 Verallgemeinerte London–Theorie für den Suprastrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.2.3 Magnetfeldabschirmung in der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.2.4 Die Fluxoidquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.2.5 London–Theorie und Josephson–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.3 Leistungsfähigkeit der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.3.1 Verdienste der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.3.2 Die alte London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
2.3.3 London–BCS Theorie für Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.3.4 London–BCS–Theorie für Fermi–Supraflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.3.5 Zur Eichinvarianz der London–BCS–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.3.6 Mängel der London Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
2.3.7 Zusammenfassung zur London– Elektro– und Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3. BCS–Theorie paarkorrelierter Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.1 Normale Fermisysteme im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.2 Normale Fermisysteme in äußeren Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.3 Das Cooper–Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.4 Verallgemeinertes BCS–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.4.1 BCS–Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.4.2 Schritte zur Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.4.3 Diagonalisierung durch Bogoliubov–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.4.4 Eigenschaften thermischer Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.4.5 Mechanismen der Paarformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.4.6 Lösung der Gapgleichung im Limes schwacher Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.4.7 Die Zustandsdichte paarkorrelierter Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2
3.5 BCS–Supraleiter in äußeren Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
3.6 Lokaler Response paarkorrelierter Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.6.1 Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.6.2 Spinsuszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.6.3 Dichteresponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.6.4 London–BCS–Suprastrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
3.6.5 Die London–BCS–Magnetfeldeindringtiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.7 Eichinvarianz und Zusammenhang zwischen BCS– und London–Theorie . . . . . . . . . XX
4. Anhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.1 Gegenüberstellung der Einheitensysteme CGS ↔ SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.2 Fermisysteme in d Raumdimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.3 Elektromagnetischer Response in Normalmetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.4 Die Hydrodynamik neutraler Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
4.5 London–Theorie der Bose–Supraflüssigkeit 4 He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.6 London–Theorie der geladenen Bose–Supraflüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.7 Fermisysteme in Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.8 Zur Äquivalenz von Bogolon– und Rotonspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
4.9 Gapgleichung für konventionelle Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
5.10 Gapgleichung für unkonventionelle Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
5.11 Die London–Kondensat–Wellenfunktion aus BCS–Sicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3
1. Vorlesung: Donnerstag, 10. April 2003, 10:30
1
Einleitung
1.1
Historische Fakten
◦ Entdeckung der Supraleitung in Hg (Tc = 4.2K)
Heike Kamerlingh Onnes, 1911 (Nobelpreis 1913)
Fig. 1: ρ(T ) vs T für Hg
◦ Dauerstrom in supraleitendem Bleiring bei 4 K: über 1 Jahr!
◦ Entdeckung der Magnetfeldverdrängung in Supraleitern
Walther Meißner und Robert Ochsenfeld, 1933
Fig. 2: Skizze zur Magnetfeldverdrängung
( i) B = 0, T < Tc , B 6= 0: Feld dringt nicht ein (bis auf Schicht der Dicke λL )
→ Abschirmeffekt
ii) T > Tc , B 6= 0, T < Tc , Feld wird aus dem Supraleiter verdrängt
→ Feldverdrängungseffekt
◦ Erste phänomenologische quantenmechanische Theorie der Supraleitung
Fritz und Heinz London, 1935, Max von Laue, 1938 Diese Theorie erklärt
• Verschwinden des elektrischen Widerstands
• Magnetfeld– Abschirmeffekt
• Vorhersage: Flußquantisierung
◦ Zweite phänomenologische (Ginzburg–Landau–) Theorie der Supraleitung
V. L. Ginzburg, L. D. Landau, 1950 (Humboldt–Forschungspreis 2000 für Ginzburg)
• Gilt nur knapp unterhalb der Sprungtemperatur
• Beschreibt räumliche Inhomogenitäten des Supraleiters
• Kann Aussagen zur Symmetrie des SL Grundzustands machen
• Bislang tausende Male zitiert
4
◦ Entdeckung von Supraleitung in intermetallischen (A15–) Verbindungen
Nb3 Sn, Tc = 18.1K
Bernd Matthias, 1954
Nb3 Ge, Tc = 23.2K
J. R. Gavaler, 1973
◦ Vorhersage der Typ–II–Supraleitung mithilfe der GL–Theorie
A. A. Abrikosov, 1957
• SL Mischzustand (Shubnikov–Phase) mit hexagonalem Gitter aus Flußschläuchen (Vortices)
◦ Theorie der Fermiflüssigkeiten
Lev Landau, 1956 – 58, (Nobelpreis 1962)
◦ Mikroskopische Theorie der Supraleitung
John Bardeen, Leon Cooper und Bob Schrieffer, 1957, (Nobelpreis 1972)
• Anziehende Wechselwirkung (Gitter–Phononen) für Elektronenpaare
• Paar–Kondensation im k–Raum: sog. Cooperpaare im S–Wellen Spin–Singulett–Zustand
(k ↑,−k ↓)
• Supraleitung als makroskopisches Quantenphänomen
• Bogoliubov–Quasiteilchen als elementare Anregungen des Supraleiters mit Energielücke
• Thermisch aktiviertes Tieftemperaturverhalten von C(T ), χs (T ), λL (T )
◦ Entdeckung der Flußquantisierung am Walther–Meißner–Institut
Robert Doll und Martin Näbauer, (1962)
Deaver und Fairbanks, (1962)
Fig. 3: Zur Quantisierung des magnetischen Flusses in Pb
◦ Entdeckung des Josephson–Effekts
Brian Josephson, 1962 (Nobelpreis 1973)
• Cooper–Paare können zwischen zwei Supraleitern, die durch eine isolierende Schicht getrennt sind, tunneln → Suprastrom, der ohne äußere Spannung fließen kann
◦ Theoretische Vorhersage von Hoch–Tc –Supraleitung in organischen Molekülen
W. Little, 1964
◦ Entdeckung der Supraleitung in
Graphit–Alkalimetall–Einlagerungsverbindungen bei Tc < 0.15 K
Klaus Andres et al., 1965
5
• Erster Schicht–Supraleiter
◦ Entdeckung von Pulsaren (rotierende Neutronensterne)
Hewish und Bell, 1968; Gold, 1968
• Sehr hohe Dichte → Entartungstemperatur TF = 1012 K
• Suprafluidität im Neutronenstern bei Tc = 108 K.
• Tieftemperaturphysik bei 100 Millionen K !!!
◦ Entdeckung der Suprafluidität von flüssigem 3 He
Dave Lee, Doug Osheroff und Bob Richardson, 1971 (Nobelpreis 1996)
Fig. 4: Die Helium–Supraflüssigkeiten
• 3 He ist ein Spin– 12 –Fermion
• Erste terrestrische neutrale Fermi–Supraflüssigkeit
• Mehrere superfluide Phasen (A, B, . . .)
• Elektrisch neutrale Cooperpaare im relativen p–Wellen Spin–Triplett–Zustand (kσ1 ,−kσ2 )
• Nichtphononischer Mechanismus
• Erstmals von “unkonventioneller Supraleitung” die Rede
• Bogoliubov–Quasiteilchen (Bogolonen) als elementare Anregungen werden in Torsionspendel–
Experimenten gesehen.
Fig. 5: Zur Scherviskosität der Bogoliubov–Quasiteilchen
◦ Entdeckung von Supraleitung in Schweren–Fermionen–Verbindungen
CeCu2 Si2 , Tc = 0.6K
Frank Steglich et al, 1979
UBe13 , Tc = 0.9K
Hans–Rüdiger Ott et al, 1983
UPt3 , Tc = 0.5K TN = 5.0K
Gregory Stewart et al, 1984
6
URu2 Si2 , Tc = 1.5K, TN = 17.5K
Schlabitz et al, 1985
CeRu2 Si2 , Tc = X.XK
Brian Maple et al, 198X
• Intermetallische Verbindungen mit
Seltenen– Erd– (Ce–) Ionen (4f–Momente)
Actinid– (U–) Ionen (5f–Momente)
• Hohe Temperaturen: Lokale Momente + Leitungselektronen
• Tiefe Temperatiuren: Starke (Kondo–) Kopplung von f– und Leitungselektronen
→ schwere oder auch langsame Elektronen an der Fermikante → “Schwere Fermionen”
• Spezifische Wärme Cp = γT
System
γ[mJ/M olK 2 ] m∗ /m
Cu
0.7
CeCu2 Si2
UBe13
UPt3
URu2 Si2
1100
1040
420
65
380
260
180
140
Tabelle 1: γ und m∗ /m einiger Schwerer–Fermionen Systeme
• kein aktiviertes Tieftemperaturverhalten sondern Potenzgesetze in T
• Unkonventionelle Supraleitung
◦ Synthese des ersten organischen Supraleiters (TMTSF)2 PF6 mit Tc = 0.9 K (9k
Bar)
K. Bechgaard, D. Jerome, A. Mazaud und M Ribault, 1980
◦ Entdeckung der Supraleitung in Fulleriden (“Buckyballs”) K3 C60 bei Tc = 18 K
R. F. Curl, R. E. Smalley, 1985
• Fußballförmige C60 –Moleküle mit Alkalimetall–Verbindungsbrücken auf einem regulären
Metallgitter werden supraleitend
7
◦ Entdeckung der Hoch–Tc – Supraleitung in Kupraten
La2−x Srx CuO4 , Tc ≤ 37K
Bednorz und Müller, 1986 (Nobelpreis 1987)
Nd2−x Cex CuO4 , Tc ≤ 30K
Tokura et al, 1989
YBa2 Cu3 O7−δ , Tc ≤ 95K
Chu et al, 1986
Bi2 Sr2 Can−1 Cun O2n+4+δ , Tc ≤ 10, 85, 100K, n = 1, 2, 3
Maeda et al, 1988
Tl2 Ba2 Can−1 Cun O2n+4+δ , Tc ≤ 20, 108, 125K, n = 1, 2, 3
Hermann et al., 1988
Hg0.8 Tl0.2 Ba2 Ca2 Cu3 O8.33
Tc = 138K (Gegenwärtiger Weltrekord!)
• Gemeinsamkeiten:
• Dotierungs–Phasendiagramm
Fig. 6: Dotierungs Phasendiagramme
• Cu–O–Ebenen
Fig. 7: Cu–O Ebenen
• Hohes Tc
• Niedrige Dimensionalität (quasi–2D)
• Nichtaktiviertes Tieftemperaturverhalten für C(T ), χs (T ), λL (T )
• Cooperpaare im relativen d–Wellen Spin–Singulett Paarzustand
Fig. 8: Zur d–Wellen–Kontroverse
◦ Entdeckung von Supraleitung in Borokarbiden bei Tc = 7.2 K
R. Cava et al., 1993
8
• “re–entrant” Supraleitung
• Elektrischer Widerstand von HoNi2 B2 C
Fig. 9: Zur Supraleitung in HoNi2 B2 C
◦ Entdeckung von Supraleitung in Sr2 RuO4 bei Tc = 0.93K
Maeno et al., 1994
• Ruddlesden–Popper Serie Srn+1 Run O3n+1
Fig. 10: Eigenschaften der Ruddlesdon–Popper–Systeme Srn+1 Run O3n+1
• niedrige Dimensionaltät (quasi–2D)
• relativer p– oder f – Wellen Spin–Triplett–Paarzustand
• Erstes metallisches Analogon zu superfluidem 3 He
◦ Entdeckung der Suprafluidität von flüssigem 3 He im Verunreinigungssystem SiO2 –
Aerogel
Porto und Parpia, 1994
◦ Entdeckung der Hoch–Tc –Supraleitung in loch–dotierten Fulleriden bei Tc = 52 K
J. H. Schön, Ch. Koc und B. Batlogg, 2000.
◦ Entdeckung der Supraleitung in MgB2 bei Tc = 38 K
J. Akimitsu et al., 2001
• Höheres Tc als bei den “Zürich–Oxiden”
• Konventionelle s–Wellen–Supraleitung
Fig. 11: Einige Sprungtemperatur–Rekorde
9
Supraleiter
Tc [K]
Jahr
Entdecker
Nobelpreis
Hg
Nb
4.20
9.30
1911
1930
Kamerlingh Onnes
Kamerlingh Onnes
1913
Nb3 Sn
Nb3 Ge
18.10
23.20
1954
1973
Matthias
Gavaler
3 He–A
2.5 · 10−3
< 2.0 · 10−3
1971
1971
Lee, Osheroff und Richardson
3 He–B
CeCu2 Si2
UBe13
UPt3
0.60
0.87
0.48
1979
1983
1984
Steglich et al.
Ott et al.
Stewart et al.
K3 C60
Cs3 C60
18
40
1985
1985
Curl, Smalley, Kroto
La2−x Srx CuO4
Nd2−x Cex CuO4
YBa2 Cu3 O7−δ
Bi2 Sr2 Can−1 Cun O2n+4+δ
1986
1989
1986
1988
Bednorz und Müller
Tokura et al
Chu et al.
Maeda et al.
1988
Hermann et al.
Hg0.8 Tl0.2 Ba2 Ca2 Cu3 O8.33
< 37
< 30
< 95
10, 85, 100
n = 1, 2, 3
20, 108, 125
n = 1, 2, 3
138
198X
HoNi2 B2 C
LuNi2 B2 C
YNi2 B2 C
7.5
16.6
23
1993
1993
1993
Tl2 Ba2 Can−1 Cun O2n+4+δ
Cava et al.
Tabelle 2: Einige Sprungtemperaturrekorde
10
1996
1987
1.2
1.2.1
Literaturempfehlungen
Einführende Literatur
R. D. Parks (Ed.)
Superconductivity, Volume 1
Marcel Dekker, Inc., New York, 1969
R. D. Parks (Ed.)
Superconductivity, Volume 2
Marcel Dekker, Inc., New York, 1969
D. R. Tilley and J. Tilley,
Superfluidity and Superconductivity
Adam Hilger, Ltd., Bristol, Boston, 1986
M. R. J. Hoch und R. H. Lemmer (Eds.),
Low Temperature Physics
Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1991
W. Buckel,
Supraleitung
VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim, 1994
P. Müller, A. V. Ustinov (Eds.),
V. V. Schmidt,
The Physics of Superconductors
Springer, 1997
C. Enss und S. Hunklinger,
Tieftemperaturphysik
Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2000
1.2.2
Theorie der Supraleitung
J. R. Schrieffer,
Theory of Superconductivity
W. A. Benjamin, Inc., Publishers, New York, Amsterdam, 1964
G. Rickayzen,
Theory of Superconductivity
John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, 1965
P. G. deGennes,
Superconductivity of Metals and Alloys
11
Perseus Books, Reading Massachusetts, 1999
M. Tinkham,
Introduction to Superconductivity
McGraw Hill, Inc. New York, 1996
J. R. Waldram,
Superconductivity of Metals and Cuprates
IOP Publishing Ltd., Bristol and Philadelphia, 1996
J. B. Ketterson und S. N. Song,
Superconductivity
Cambridge University Press, 1999
D. Einzel,
Supraleitung und Suprafluidität,
Lexikon der Physik,
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2000,
Seiten 228 – 235
12
2. Vorlesung : Donnerstag, 24. April 2003, 11:00
3. Vorlesung : Donnerstag, 8. Mai 2003, 15:00
2
Phänomenologische Theorie
2.1
2.1.1
Zur Dynamik von Normalmetallen und Normalflüssigkeiten
Die Maxwell–Gleichungen
Die Maxwell–Gleichungen der Elektrodynamik lauten (CGS–Einheiten):
4π
1 ∂D(r, t)
je (r, t) +
c
c ∂t
1 ∂B(r, t)
∇ × E(r, t) = −
c ∂t
∇ · B(r, t) = 0
∇ · D(r, t) = 4πne (r, t)
∇ × H(r, t) =
Ampere
Faraday
Quellfreiheit von B
Gauß
Elektrische Verschiebung (Polarisation P(r, t)):
D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t)
Magnetische Induktion (Magnetisierung M(r, t)):
B(r, t) = H(r, t) + 4πM(r, t)
Wichtige physikalische Konsequenzen:
Quellfreiheit von B(r, t) →
B(r, t) = ∇ × A(r, t)
B kann aus Vektorpotential generiert werden.
Nota bene: A(r, t) ist unbestimmt bis auf Gradienten einer beliebigen Phase Λ(r, t).
Eichtransformation des Vektorpotentials:
A0 (r, t) = A(r, t) + ∇Λ(r, t)
Faraday →
"
1 ∂A(r, t)
∇ × E(r, t) +
c ∂t
|
{z
#
= 0
}
−∇·φ(r,t)
E(r, t) = −∇φ(r, t) −
13
1 ∂A(r, t)
c ∂t
E(r, t) kann durch ein skalares Potential und das Vektorpotential dargestellt werden.
Nota bene: Das skalare Potential ist unbestimmt bis auf die zeitliche Änderung einer beliebigen Phase Λ(r, t).
Eichtransformation des skalaren Potentials:
1 ∂(A + ∇Λ)
c
∂t
Ã
!
1
∂Λ
0
= −∇ φ +
≡E
c ∂t
E0 = −∇φ0 −
|
{z
}
≡φ
Konsequenz:
1 ∂Λ(r, t)
c ∂t
Konsequenz: Invarianz der elektromagnetischen Felder B(r, t) und E(r, t) bezüglich Eichtransformationen (Eichinvarianz):
φ0 (r, t) = φ(r, t) −
B0 (r, t) = B(r, t)
E0 (r, t) = E(r, t)
Kontinuitätsgleichung [longitudinale Projektion ∇·Ampere] (vgl. Übungsblatt 1, Aufgabe
1):
∂ne
+ ∇ · je = 0
∂t
Abschirmung eines magnetischen Wechselfeldes [transversale Projektion ∇×Ampere] (vgl.
Übungsblatt 1, Aufgabe 1):
(Trick: ∇ × (∇ × B) = −∇2 B + ∇(∇ · B))
Resultat für den Fall B(r, t) = B0 (r) · exp(−iωt):
Ã
!
ω2
4π
∇ + 2 B(r, t) = −
∇ × je (r, t)
c
c
2
Rechte Gleichungsseite: Zusammenhang zwischen Stromdichte je Magnetfeld B benötigt.
Spezifikation des Zusammenhangs zwischen Stromdichte je und den elektromagnetischen Potentialen φ(r, t) und A(r, t).
Ziel: Diskussion der elektrischen Stromdichte je /Massenstromdichte jm sowohl für
• normalleitende Metalle/Fermiflüssigkeiten
• supraleitende Metalle/Supraflüssigkeiten
auf phänomenologischer Ebene:
• Drude/Hagen-Poiseuille–Theorie (Normalmetall/-flüssigkeit)
• Verallgemeinerung der London–Theorie (Supraleiter/Supraflüssigkeiten).
14
2.1.2
Metallische Stromrelaxation im Drude–Modell
Relaxationsgleichung für die Stromdichte von Metallelektronen im Drude–Modell (für eine
allgemeine Behandlung vgl. Anhang 6.4):
"
#
∂
1
+
+ O(∇2 ) je (r, t) = en
∂t τe1
eE(r, t)
{z }
| m
Beschleunigung
Relaxations– (Transport–) Rate des Stroms (Matthiessen–Regel):
1
1
1
= e + i
τe1
τe1 τe1
e
1/τe1
beschreibt elastische Streuung der Ladungsträger an Gitterfehlstellen, Versetzungen, etc.
i
1/τe1
beschreibt inelastische Streuung der Ladungsträger an Phononen, Spinfluktuationen, etc.
Nota bene: Zweiteilchenstöße führen nicht zur Stromrelaxation (Ausnahme: Umklappprozesse).
Annahme: harmonische Zeitabhängigkeit des elektrischen Feldes:
E(r, t) = E0 (r)e−iωt
Stromdichte im Langzeitlimes t À τe1 (Drude):
tÀτ
je (r, t) =e1 σe (ω)E(r, t)
Drude–Leitfähigkeit
σe (ω) =
ne2
m
1
τe1
1
− iω
Elektrischer Gleichstromwiderstand:
Re =
1
m 1
= 2
σe (ω = 0)
ne τe1
Supraleitung:
1
≡0
τe1
→ Das scheinbare Verschwinden der Impulsrelaxation der Ladungsträger.
Re = 0 ;
Spezialfall: transversales E–Feld [A(r, t) = A0 (r) · exp(−iωt)]
je (r, t)
tÀτe1
=
=
−
ne2
−iω
A(r, t)
mc −iω + τ1e1


 σ(ω) E(r, t)
;ω→0
Drude

 − ne2 A(r, t)
mc
−1
; ω À τe1
stosslos
15
Nota bene: kein Stromresponse auf elektromagnetische Potentiale für ∇ → 0, ω → 0
je (r, t) ∝ O(vF τe1 · ∇) · Φ(r, t) + O(τe1 · ω) · A(r, t)
2.1.3
Die Magnetfeldabschirmung normaler Metallelektronen
Annahme: Drude–Relaxation der Stromdichte
Konsequenz (vgl. Übungsblatt 1, Aufgabe 2 ):
Ã
!
ω2
4π
∇ + 2 B(r, t) = − ∇ × je (r, t)
c
c
4πne2 −iω
B(r, t)
=
mc2 τ1e1 − iω
2
|
{z
}
≡δ −2 (ω)
Abschirmungsgleichung für B(r, t)
Ã
!
ω2
B(r, t)
∇ + 2 B(r, t) = 2
c
δ (ω)
2
Elektromagnetische Abschirmlänge (Skintiefe)
δ(ω) = λ0
(
=
s
λ0 =
v
u 1
u
t τe1 − iω
−iω
1+i
λ0 √2ωτ
e1
ω→0
−1
ω À τe1
λ0
mc2
c
=
4πne2
ωp
Definition: Plasmafrequenz
ωp2 =
Verschiebungsstrom
hydrodynamisch
stosslos, “London”
4πne2
m
ωp2
1
ω2
À
=
λ20
c2
c2
Nota bene: Kein Beitrag vom Verschiebungsstrom für ω ¿ ωp !
Fig. 12: Re δ(ω) als Funktion von ωτ
16
Magnetfeldabschirmung in einem normalmetallischen Halbraum, x > 0, B(r) = Hz (x)ê3 .
Abschirmungs–Gleichung
∂ 2 Bz (x)
Bz (x)
= 2
2
∂x
δ (ω)
Physikalische Lösung:
x
Bz (x) = Bz (0)e− δ(ω)
Fig. 13: Das Magnetfeldprofil Bz (x) vs. x
2.1.4
Stromrelaxation in neutralen (Quanten–) Flüssigkeiten
Impulsrelaxation für neutrale Fermionen (für eine allgemeine Behandlung der Hydrodynamik
von Flüssigkeiten vgl. Anhang 6.4):
Hydrodynamische Relaxationsgleichung
"
#
∂
1
η ∂2
+
−
jmx (r, t) = nFx (r, t)
∂t τm1 % ∂z 2
Kraftdichte: Druckgradient
nF(r, t) = −∇P (r, t)
Relaxations– (Transport–) Rate des Stroms:
1
τm1
≡0
Interpretation:
Keine Impulsrelaxation im Volumen von Fermiflüssigkeiten
Zweiteilchen–Stoßprozesse erhalten den Impuls
es gibt keine Phononen, Spinfluktuationen, Umklappprozesse, etc.
Impulsrelaxation in Flüssigkeiten an Wänden der Strömungskanäle
→ indirekt über die Relaxation des Spannungstensors Scherviskosität einer normalen Fermiflüssigkeit:
1
η = npF vF τm2
5
Fig. 14: Strömungsprofile geladener und neutraler Fermiflüssigkeiten
17
Hagen–Poiseuille–Gesetz: Querschnittsmittelung < . . . > über den Strömungskanal liefert
im Spezialfall paralleler Platten im Abstand d:
F
m
%d2
= m
12η
< jm > = σm
σm
Strömungswiderstand:
Rm =
1
12
=
η
σm
m%d2
Suprafluidität:
Rm = 0
→ das scheinbare Verschwinden der Scherviskosität der Supraflüssigkeit.
4. Vorlesung : Donnerstag, 15. Mai 2003, 15:00
2.2
Verallgemeinerte London–Theorie
Motivation: QM ist dissipationsfreie Theorie.
Annahme, dass die Bewegung der “Supra–Elektronen” den Gesetzen der Quantenmechanik
gehorcht.
2.2.1
Der Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik
Ausgangspunkt: Elementarteilchen (auch zusammengesetzt denkbar) mit
Ladung
Ladung
Masse
Q (geladene Teilchen)
0 (neutrale Teilchen)
M
Bewegung in Gegenwart der elektromagnetischen Potentiale φ(r, t) und A(r, t) (geladene
Teilchen) oder des skalaren Potentials Ξ(r, t) (neutrale Teilchen).
Quantenmechanische Beschreibung durch Wellenfunktion
ψ(r, t) = a(r, t) |eiϕ(r,t)
{z }
| {z }
Amplitude Phase
Definition: Wirkungsfeld S(r, t):
S(r, t) = h̄ϕ(r, t)
Wahrscheinlichkeitsdichte
np (r, t) = ψ ∗ (r, t)ψ(r, t) = a2 (r, t)
18
Ladungsdichte
%Q (r, t) = Qnp (r, t)
Massendichte
%M (r, t) = M np (r, t)
Quantenmechanische Dynamik des Teilchens: Schrödingergleichung
ih̄
h
i2

 −ih̄∇ − Q A(r, t)
c
∂ψ(r, t)
=

∂t




+ Qφ(r, t) + Ξ(r, t) ψ(r, t)


2M
Gekoppelte Gleichungen für Amplitude a(r, t) und Phase (Wirkung) S(r, t) (vgl. Übungsblatt
2, Aufgabe 1)
∂np
+ ∇ · jp (r, t) = 0
∂t
½
¾
∂S(r, t)
1
h̄2 ∇2 a(r, t)
2
+
M V + Qφ(r, t) + Ξ(r, t) =
∂t
2
2M a(r, t)
quasiklassisches Verhalten
QM Verhalten
(1)
(2)
Interpretation von (1):
Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte np (r, t) führt auf Wahrscheinlichkeitsstromdichte
jp (r, t)
ih̄
Q
{ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ} − |ψ|2 A
2M
M
= np (r, t)V(r, t)
jp (r, t) =
Quasiklassisches Geschwindigkeitsfeld:
½
V(r, t) =
¾
1
Q
∇S(r, t) − A(r, t)
M
c
Wichtige Eigenschaft:
∇ × V(r, t) = −
Q
B(r, t)
Mc
Interpretation von (2):
Quasiklassische Approximation: nur Terme in führender Ordnung in h̄ werden mitgenommen
→ rechte Gleichungsseite = O(h̄2 ). →
Hamilton–Jakobi–Gleichung der klassischen Feldtheorie für das Wirkungsfeld S(r, t) = h̄ϕ(r, t)
(Hamilton, 1834, Jakobi, 1837)
−
∂S(r, t)
1
= Qφ(r, t) + Ξ(r, t) + M V2 (r, t) ≡ H
∂t
2
|
{z
}
Hamilton−Funktion
19
Linearisierte Beschleunigungsgleichung für V(r, t):
(
)
∂V(r, t)
1
∂S(r, t) Q ∂A(r, t)
=
∇
−
∂t
M
∂t
c
∂t
(
)
1
Q ∂A(r, t)
=
−Q∇φ(r, t) − ∇Ξ(r, t) −
M
c
∂t
1
Q
=
E(r, t) − ∇Ξ(r, t)
M
M
Nichtlineares Resultat: Eulergleichung für das quasiklassische Geschwindigkeitsfeld V (vgl.
Übungsblatt 2, Aufgabe 2):
½
¾
1
∂V
dV
Q
1
E + V × B − ∇Ξ(r, t)
+ (V · ∇)V ≡
=
∂t
dt
M
c
M
Interpretation: Die Dynamik eines quantenmechanischen Teilchens in den elektromagnetischen Potentialen φ(r, t) und A(r, t) wird im quasiklassischen Limes durch die Euler–Gleichung
der Hydrodynamik beschrieben, in der die Lorentz–Kraft die treibende Kraft darstellt.
Ladungsstromdichte:
jQ (r, t) = Qnp (r, t)V(r, t)
½
¾
Qnp (r, t)
Q
=
∇S(r, t) − A(r, t)
M
c
½
¾
Q
Qnp (r, t)
h̄∇ϕ(r, t) − A(r, t)
=
M
c
Massenstromdichte:
jM (r, t) = M np (r, t)V(r, t)
= M np (r, t)∇S(r, t)
= np (r, t)h̄ϕ(r, t)
2.2.2
Verallgemeinerte London–Theorie für den Suprastrom
Ziel: moderne Version der Theorie von Fritz und Heinz London und Max von Laue aus den
Jahren 1935 – 1938. Anwendung auf
• paarkorrelierte Fermisysteme
→ Supraleiter,
→ superfluides 3 He
→ Neutronensterne
20
• superfluide Bose–Systeme
→ superfluides 4 He (He–II)
→ atomares Gase (Rb, Cs, Na, etc.) check this!!!
→ molekularer (Para–) Wasserstoff [OCS–(pH2 )n ]
London–Interpretation der Supraleitung:
Annahme: Eine makroskopische Anzahl geladener Teilchen (Ladung Q) oder neutraler Teilchen
(Q = 0) der Masse M , das sogenannte Kondensat wird durch eine quantenmechanische Wellenfunktion ψ(r, t) beschrieben, bei der die Wahrscheinlichkeitsdichte np (r, t) durch die T eilchendichte
N s (r, t) ersetzt wird:
np (r, t) → N s (r, t)
Begründung:
Vergleich: Normalmetall, φ(r, t) ≡ 0:
je (r, t) = −
−1
ωÀτe1
ne2 −iω
ne2
A(r,
t)
=
−
A(r, t)
mc −iω + τ1e1
mc
Elektron in der Quantenmechanik, φ(r, t) = 0:
n p Q2
A(r, t)
Mc
legt diese Ersetzung np → N s nahe. Man beachte, daß eine makroskopische Anzahl von
Ladungsträgern mit der Teilchenzahl N s durch ein und dieselbe quantenmechanische Wellenfunktion beschrieben werden. Quantenkohärenz auf makroskopischer Skala.
JQ (r, t) = −
London–Gleichungen der Supraleitung und der Suprafluidität:
Der Teilchen–Suprastrom:
½
¾
1
Q
J (r, t) = N (r, t)
∇S(r, t) − A(r, t)
|M
{z c
}
s
s
Vs (r,t)
Wichtige Eigenschaft:
Q
B(r, t)
Mc
Die Zeitabhängigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion (→ Josephson–Relation):
∇ × Vs (r, t) = −
∂S(r, t)
= QΦ(r, t) + Ξ(r, t)
∂t
Eulergleichung für die superfluide Geschwindigkeit Vs :
−
½
¾
∂Vs
dVs
Q
1
1
+ (Vs · ∇)Vs ≡
=
E + Vs × B − ∇Ξ(r, t)
∂t
dt
M
c
M
21
London–Gleichung für den Ladungs–Suprastrom:
½
JsQ (r, t) = QJs (r, t) = QN s Vs (r, t) =
¾
N s (r, t)Q
Q
∇S(r, t) − A(r, t)
M
c
London–Gleichung für den Massen–Suprastrom:
JsM (r, t) = M Js (r, t) = N s (r, t)∇S(r, t)
Erste (linearisierte) London–Gleichung: (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des
Kondensats)
∂JsQ (r, t)
N s (r, t)Q2
=
E(r, t)
∂t
M
Erste (linearisierte) London–Gleichung für neutrale Systeme: (Longitudinaler Strom
und Beschleunigung des Kondensats)
∂JsM (r, t)
= −N s (r, t)∇Ξ(r, t)
∂t
Abschirmung durch das Kondensat
½
∇×
JsQ (r, t)
¾
N s (r, t)Q
Q
=
∇ × ∇S(r, t) − A(r, t)
M
c
Zweite London–Gleichung:
∇ × JsQ (r, t) = −
N s (r, t)Q2
B(r, t)
Mc
Gegenüberstellung Drude ↔ London
Normalmetall (Drude)
“longitudinal”
“transversal”
−iω
je = − ne
m −iω+1/τ
2
e
A
c
−iω
∇ × je = − ne
B
mc −iω+1/τ
Supraleiter (London)
JsQ =
N sQ
M
³
´
∇S − Qc A
s
Tabelle 3: Gegenüberstellung Drude ↔ London
Konsequenz aus erster London–Gleichung: elektrische Dauerströme
22
2
∇ × JsQ = − NMQc B
2.2.3
Magnetfeldabschirmung in der London–Theorie
Konsequenz aus zweiter London–Gleichung: Magnetfeldverdrängung im statischen Grenzfall (ω → 0)
∇ × [∇ × B(r, t)]
=
Ampere
=
=
=
∇2 B(r, t)
=
Londonsche Eindringtiefe:
s
λL =
−∇2 B(r, t)
4π
∇ × JsQ (r, t)
c
4πN s (r, t)Q2
−
B(r, t)
M c2
B(r, t)
−
λ2L
B(r, t)
λ2L
M c2
4πN s Q2
Spezialfälle:
A. supraleitender Halbraum (x > 0)
B(r) = Bz (x) ẑ =
∇ = x̂
∂
∂x
∂Ay
ẑ
∂x
Abschirmgleichung in dieser Geometrie
∂ 2 Bz (x)
Bz (x)
=
2
∂x
λ2L
Lösung
Bz (x) = Bz (0) e−x/λL
Stromdichte
JsQ
Ampere
=
=
Vektorpotential
A=−
c
c ∂Bz (x)
∇×B=−
ŷ
4π
4π ∂x
c Bz (x)
ŷ
4π λL
4π 2 s
λ J = −λL Bz (x)ŷ
c L Q
23
s
Fig. 15: Bz (x) und JQy
vs. x
5. Vorlesung: Donnerstag, 22. Mai 2003, 15:00
B. supraleitende Platte (−d/2 < x < d/2)
Fig. 16: Zum Feldeindringen in eine supraleitende Platte
Lösung (vgl. Blatt 3, Aufgabe 1):
Ã
Bz (x) = Bz
d
±
2
!
cosh(x/λL )
cosh(d/2λL )
C. supraleitender Zylinder (r < R)
B(r) = Bz (r) z
∂
∇ = er
∂r
Lösung:
Bz (r) = Bz (R)
I0 (r/λL )
I0 (R/λL )
Hier ist I0 (z) = J0 (iz) die modifizierte Besselfunktion 0–ter Ordnung.
Stromdichte
c Bz (r)
jse (r) = jes (r) eφ =
eφ
4π λL
2.2.4
Die Fluxoidquantisierung
Eigenschaft des London–Suprastroms:
½
JsQ
=
=
=
c
h̄∇ϕ =
Q
¾
Q
N sQ
h̄∇ϕ − A
M (
c
)
N s Q2
c
−A + h̄∇ϕ
Mc
Q
(
)
c 1
c
−A + h̄∇ϕ
4π λ2L
Q
4π 2 s
A+
λ J
c L Q
24
Eindeutigkeit der quantenmechanischen Wellenfunktion ψ = aeϕ :
I
Γ
dr · ∇ϕ(r, t) = 2πn ;
n = 0, 1, 2, . . .
Konsequenz:
I
½
4π 2 s
λ J
Φ ≡ dr · A +
c L Q
Γ
0
¾
Stokes
=
=
4π 2
dS · ∇ × A +
λ ∇ × JsQ
c L
S
½
¾
Z
4π 2
dS · B +
λL ∇ × JsQ
|S
{zc
}
c
h̄2πn
Q
hc
n
Q
nΦ0
=
=
=
Fluxoid–Quantisierung
½
Z
¾
Fluxoid Φ0
Φ0 = nΦ0
Fluß oder Fluxoid–Quant:
Φ0 =
hc
Q
Spezialfälle:
A. einfach zusammenhängendes Gebiet
Fig. 17: Kontouren Γ1 und Γ2 für einfach zusammenhängendes Gebiet
Entlang Γ1 : B = 0, JsQ = 0 →
Φ=0 ;
Φ0 = 0
Entlang Γ2 : B 6= 0, JsQ 6= 0 →
Φ ≈ 2πRλL · B0
;
Φ0 = 0
→ Fluxoid verschwindet für einfach zusammenhängendes Gebiet.
B. mehrfach zusammenhängendes Gebiet
Fig. 18: Kontour Γ für mehrfach zusammenhängendes Gebiet
Φ0 = nΦ0
– Γ tief im SL–Gebiet: → JsQ = 0 → Flussquantisierung.
→ Fluxoidquantisierung.
– Γ in Gebiet mit JsQ 6= 0
25
2.2.5
London–BCS–Theorie und Josephson–Effekt
Ausgangspunkt: Zwei Supraleiter 1 und 2 seien durch eine dünne isolierende (Oxyd–) Barriere
miteinander gekoppelt.
Fig. 19: Zum Josephson–Effekt
Die Wellenfunktion des Gesamtsystems, gebildet aus den Eigenzuständen |1i und |2i der
Supraleiter auf der linken und rechten Seite lautet
|ψi = ψ1 |1i + ψ2 |2i
Der Hamiltonoperator dieses gekoppelten Systems hat die Form
Ĥ = Ĥ1 + Ĥ2 + ĤT
h
i2

 −ih̄∇ − Q A(r, t)
c
Ĥµ = 

2M



+ QUµ  |µihµ| ;

µ = 1, 2
ĤT = T (|1ih2| + |2ih1|)
Gekoppelte Schrödingergleichungen:
ih̄
∂ψµ (r, t)
= Ĥµ ψµ (r, t) + T ψν (r, t)
∂t
Josephson–Kopplungsenergie T soll klein sein (→ weak link !).
London–Wellenfunktionen zweier nicht identischer Supraleiter (a1 6= a2 ):
ψµ (r, t) = aµ (r, t)eiφµ (r,t)
a2µ (r, t) = Nµs (r, t)
;
µ = 1, 2
Behandlung der Teilsysteme |µi, für µ = 1, 2 analog zur Ableitung der London–Gleichungen
liefert aus dem Imaginärteil der Schrödingergleichung (vgl. Übungsblatt 3, Aufgabe 2:)
∂Nµs
2T q s s
+ ∇ · Jsµ =
Nµ Nν sin(ϕν − ϕµ )
∂t
h̄
und aus dem Realteil im quasiklassischen Limes (h̄2 → 0), nach Linearisierung (Vµs2 → 0):
v
u
uNs
∂ϕµ
= QUµ + T t νs cos(ϕν − ϕµ )
−h̄
∂t
Nµ
Annahmen:
1. identische Supraleiter (N1s = N2s = N s )
2. Spannungsabfall über dem Tunnelkontakt V = U1 − U2 , d. h. U1,2 = ±V /2.
Definition: Phasendifferenz
ϕ ≡ ϕ2 − ϕ1
26
Die aus dem Imaginärteil folgende Gleichung lautet:
∂N s
∂N1s
+ ∇ · Js1 = IJ (ϕ) = − 2 − ∇ · Js2
∂t
∂t
Josephson–Tunnelrate:
IJ (ϕ) = Ic sin(ϕ)
2T s
Ic =
N
h̄
Die Größe Ic heißt kritische Tunnelrate (kritische Stromdichte).
Die aus dem Realteil folgenden Gleichungen lauten:
−h̄ϕ̇1,2 = ±Q
V
+ EJ (ϕ)
2
Josephson–Energie
EJ (ϕ) = T cos(ϕ)
Zusammenfassung: Aus der London–Theorie lassen sich zwei phänomenologische Josephson–
Gleichungen für die zeitabhängige Phasendifferenz und die Kondensat–Tunnelrate durch eine
(isolierende) Barriere ableiten:
h̄
∂ϕ
= QV
∂t
∂N1s
+ ∇ · Js1 = Ic sin ϕ
∂t
2.3
2.3.1
Leistungsfähigkeit der London Theorie
Verdienste der London–Theorie
• Supraleitung als quantenmechanisches Phänomen (im quasiklassischen Limes!) auf makroskopischer Skala erkannt.
• Response des Kondensats auf äußere elektromagnetische Potentiale verstanden:
– Dauerströme
– Magnetfeldabschirmung
– Fluxoidquantisierung
– Josephson–Effekt
lassen sich im Rahmen der London– Theorie verstehen.
27
Aussagekraft der verallgemeinerten London–Theorie:
Q = ke ; k = 1, 2
M = km ; k = 1, 2
ns
Ns =
k
Die Hamilton–Jakobi– (Josephson–) Gleichung
−h̄
Kondensat–Geschwindigkeitsfeld Vs :
1
V =
m
s
∂ϕ
= keφ + Ξ
∂t
Ã
!
h̄
e
∇ϕ − A ≡ vs
k
c
Kondensat–Teilchenstromdichte:
Js =
1 s
j
k
js = n s v s
;
Kondensat–Ladungsstromdichte:
1
JsQ = ke js = ejs ≡ jse ; jse = ens vs
k
Kondensat–Massenstromdichte:
1
JsM = km js = mjs ≡ gs ; gs = mns vs = %s vs
k
Kondensat–Beschleunigungsgleichung
½
¾
∂vs
dvs
e
1
1 Ξ
s
s
+ (v · ∇)v ≡
=
E + vs × B − ∇
∂t
dt
m
c
m k
Erste (linearisierte) London–Gleichung für geladene Systeme
∂jse
ns e2
=
E
∂t
m
Erste (linearisierte) London–Gleichung für neutrale Systeme
∂gs
Ξ
= −ns ∇
∂t
k
Zweite London–Gleichung
∇ × jse = −
London–Eindringtiefe:
λ2L =
ns e 2
B
mc
mc2
4πns e2
Fluxoid–Quantum:
Φ0 =
28
hc
ke
2.3.2
Die alte London–Theorie
Die ursprüngliche Form des London–Theorie nahm irrtümlicherweise an, daß einzelne Elektronen das supraleitende Kondensat bilden. Daher hat man identifiziert
k=1
Alle London–Gleichungen und das Resultat für die London–Eindringtiefe können mit den
obigen Ersetzungen korrekt angewendet werden. Das einzige falsche Resultat ergibt sich für
das Fluxoid–Qantum:
hc
Φalt
0 =
e
2.3.3
Die London–BCS–Theorie für Supraleiter
Experiment von Robert Doll und Martin Näbauer, Walther–Meißner–Institut, Herrsching, 1962:
hc
2e
→ Ladungsträger im Kondensat des Supraleiters sind Elektronen–Paare. Die Existenz von
Elektronen–Paaren, die sogenannten Cooper–Paare wird auch in der mikroskopischen Theorie
der Supraleitung von Bardeen, Cooper und Schrieffer, der sogenannten BCS–Theorie aus dem
Jahre 1957 postuliert.
Φexp
=
0
Korrekte Anwendung der London–Theorie (London–BCS–Theorie):
k=2
◦ Nota bene: im Folgenden werden wir eine “London–BCS” Notation verwenden, und das
Flußquant mit Φ0 = hc/2e (Φ0 = h/2e in SI–Einheiten) bezeichnen.
6. Vorlesung : Montag, 2. Juni 2003, 11:00
2.3.4
London–BCS–Theorie für die Fermi–Supraflüssigkeiten
Vorbemerkung:
Bedeutung des skalaren Potentials Ξ(r, t) für neutrale Supraflüssigkeiten: chemisches Potential
der gesamten ruhenden Flüssigkeit pro Teilchen:
Ξ(r, t) → µ(r, t)
Begründung: Im allgemeinen sind Phase φ und Teilchenzahl N quantenmechanisch konjugierte Variable, die nicht simultan bestimmt werden können, d. h. es gibt eine Unbestimmtheitsrelation der Form (S = h̄ϕ)
δN · δS ∼ h̄
29
Im quasiklassischen Limes (→ N sehr groß ) sind Phase φ und Teilchenzahl N klassische
kanonisch konjugierte Variable wie der Ort x und der Impuls p in der Mechanik.
Quasiklassische Hamilton–Gleichungen der Mechanik
∂H
∂p
∂H
ṗ = −
∂x
ẋ =
In völlig analoger Weise ergibt sich:
∂H
∂S
∂H
∂E
Ṡ = −
=−
= −µ ≡ Ξ
∂N
∂N
Ṅ =
Das chemische Potential kann durch physikalische messbare Größen wie Druck und Temperatur
über die thermodynamische Gibbs–Duhem–Relation ausgedrückt werden:
µ(r, t) = µ0 + δµ(r, t)
δP (r, t) = nδµ(r, t) + σ0 δT (r, t)
1
δµ(r, t) =
{δP (r, t) − σ0 δT (r, t)}
n
Anwendung: neutrale Fermisysteme mit Paarkorrelationen:
• superfluides 3 He
• Neutronensterne
Hier gilt:
k = 2
e = 0
M = 2m3
ns3
Ns =
2
Ξ = 2δµ3
JsM = gs
Superfluide Geschwindigkeit:
vs =
Der Massen–Suprastrom:
h̄
∇ϕ
2m3
h̄
gs = m3 ns3 vs = ρs vs = ns3 ∇ϕ
2
30
Die Zeitabhängigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion:
−
h̄ ∂ϕ
1
= δµ3 + m3 vs2
2 ∂t
2
Eulergleichung für die superfluide Geschwindigkeit vs :
dvs
1
1
= − ∇δµ3 = −
∇ {δP − σ0 δT }
dt
m3
m3 n
Erste London–Gleichung (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des Kondensats, (linearisiert!))
ns
∂gs
= −ns3 ∇δµ3 = − 3 ∇ {δP − σ0 δT }
∂t
n
Zusatzbemerkung: Der Fall k = 1, e = 0, M = m4 : superfluides 4 He (vgl. Anhang 4.5)
2.3.5
Zur Eichinvarianz der London–BCS–Theorie
Verallgemeinerung für realistische Supraleiter (vgl. Übungsblatt 4, Aufgabe 2):
Ks =
ns
→ Ks
m
d. h. die Stromresponsefunktion Ks ist i. A. eine Tensorgröße
Die London–BCS–Gleichungen
∂jse (r, t)
= e2 Ks · E(r, t)
longitudinaler Strom
∂t
e2
∇ × jse (r, t) = − Ks · B(r, t) transversaler Strom
c
sind eichinvariant, denn sie enthalten nur die eichinvarianten physikalischen Felder E(r, t) und
H(r, t).
Die London–BCS–Gleichung für den Ladungs–Suprastrom:
(
jse (r, t)
)
h̄
e
= eK ·
∇ϕ(r, t) − A(r, t)
2
c
s
ist nur dann invarint bezüglich der Eichtransformation
A0 (r, t) = A(r, t) + ∇Λ(r, t)
wenn man annimmt, daß der Phasenterm ∝ ∇ϕ(r, t) aus einer Eichtransformation hervorgegangen ist. Dies führt zur Identifikation
Λ(r, t) ≡ −
Φ0
h̄c
ϕ(r, t) = − ϕ(r, t)
2e
2π
31
Konsequenz aus der Eichinvarianz: Suprastrom ist im stationären Limes divergenzfrei, es gilt
Ladungserhaltung:
∂%e (r, t)
stationaer
+ ∇ · jse (r, t) → ∇ · jse (r, t) = 0
∂t
Für die weiteren Rechnungen nehmen wir an, daß die räumliche Variation des Vektorpotentials
von der Form ist
A(r, t) = A(t)eiq·r
Dies führt zur Ersetzung
∇ → iq
Dann lautet der London–BCS–Suprastrom
jse = −
e2 s
K · {A + iqΛ}
c
Die Bedingung iq · jse = 0 legt Λ fest (vgl. Übungsblatt 4, Aufgabe 2)
Λ=
iq · Ks · A
q · Ks · q
Resultat für den eichinvarianten London–BCS–Strom:
(
)
Ks · q : q · Ks
e2
Ks −
·A
= −
c
q · Ks · q
(
)
s
s
e2
K
·
q̂
:
q̂
·
K
= −
Ks −
·A
c
q̂ · Ks · q̂
∇
q̂ =
|∇|
jse
Spezialfall: Ks = K s 1 (vgl. Übungsblatt 4, Aufgabe 1)
e2 s
K {1 − q̂ : q̂} · A
c
ns e 2
= −
{A − q̂(q̂ · A}
mc
ns e 2
= −
q̂ × (A × q̂)
mc
jse = −
2.3.6
Mängel der London Theorie
• Die Theorie ist lokal, eine Kohärenzlänge taucht nicht auf, d. h. sie beschreibt nur
Supraleiter, in denen die Kohärenzlänge die kleinste relevante Länge darstellt (→ Typ–
II–SL). Verbesserung durch die Arbeit von Ginzburg und Landau 1950.
• Dichte ns (T ) der Supraelektronen (sowie die Temperaturabhängigkeit derselben) ist nicht
bekannt (phänomenologischer Ansatz!).
32
2.3.7
Zusammenfassung zur London– Elektro– und Hydrodynamik
Sowohl fermionische als auch bosonische Vielteilchensysteme können in einen Zustand makroskopischer Quantenkohärenz übergehen, bei dem eine makroskopische Anzahl von Teilchen durch eine
einzige quantenmechanische Wellenfunktion beschrieben werden kann. Es ist bemerkenswert,
daß dieser Zustand in führender Ordnung in der Planckschen Konstanten h̄, d. h. im quasiklassischen Limes der Quantenmechanik beschrieben werden kann, in dem nur eine zusätzliche
neue Variable auftaucht, nämlich die Phase ϕ(r, t) der Kondensat–Wellenfunktion und das mit
ihr verknüpfte Wirkungsfeld S(r, t) = h̄ϕ(r, t). Zeitliche und räumliche Variation von S(r, t)
beschreiben die Dynamik des Kondensats vollständig.
Unterscheidung verschiedener Mechanismen zur Bildung dieses Zustands makroskopischer Quantenkohärenz:
Fermisysteme: BCS–Paarkondensation:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
konventionelle metallische Supraleitern (Singulett–s)
Schwere–Fermionen–Systeme (Singulett–d, Triplett–p, f (?))
lochdotierte Kuprat–Supraleiter (Singulett–d)
elektron–dotierte Kuprat–Supraleiter (Singulett–s, d + id (?))
Fullerene (Singulett–s)
Strontium–Rhutenat Sr2 RuO4 (Triplett–p, f (?))
flüssiges 3 He (Triplett–p)
Atomkerne mit offenen Schalen für N und P (Singulett–s)
Neutronensterne (Triplett–p, f (?))
Bose–Systeme: Bose–Einstein–Kondensation:
–
–
–
–
flüssiges 4 He
atomare Gase (Na, Rb, Cs,...)
Exzitonen
molekularer (Para–) Wasserstoff [OCS–(pH2 )n ]
7. Vorlesung : Donnerstag, 5. Juni 2003, 15:00
33
3
3.1
BCS-Theorie paarkorrelierter Fermisysteme
Normale Fermisysteme im Gleichgewicht (d = 3)
N ≈ 1023
Teilchenzahl
Teilchendichte
n=
k = 2π
Wellenvektor
n
N
V
;
V = Lx Ly Lz
nx ny nz
, ,
Lx Ly Lz
Impuls (DeBroglie)
o
; nx = 0, ±1, ±2, . . .
p = h̄k
Energiedispersion
²k =
Fermienergie
EF = µ(0) =
h̄2 k2
2m
2
h̄2 kF
2m
= ξk + µ(T )
; kF = kF (n) =
½
chem. Potential
µ(T ) = µ(0) 1 −
1
12
³
πkB T
µ(0)
´2
³
3π 2 n
m
´1
¾
+ ...
vk = h̄1 ∇k ²k
Gruppengeschwindigkeit
Zustandsdichte
NF =
dn(EF )
dEF
=
mkF
π 2 h̄2
=
3 n
2 EF
Tabelle 4: Einige wichtige Parameter für normale Fermisysteme
Besetzungszahldarstellung für Fermionen (k–Raum)
(
Fermion im Quantenzustand {k, σ}
erzeugt durch
ĉ†kσ
vernichtet durch ĉkσ
(Anti–) Kommutatorrelationen (Pauli–Prinzip)
{ĉkσ , ĉk0 σ0 }+ = 0
n
o
n
o
ĉ†kσ , ĉ†k0 σ0
ĉkσ , ĉ†k0 σ0
+
+
= 0
= δσσ0 δk,k0
34
3
Besetzungszahloperator für den Quantenzustand {k, σ}
n̂kσ = ĉ†kσ ĉkσ
Fermi–Dirac–Impulsverteilung
nk (T ) =<
ĉ†kσ ĉkσ


 Θ(ξk )
;
T =0
 1/[exp(ξ /k T ) + 1]
k
B
;
T 6= 0
>= 
Fig. 20: Zur Fermi–Dirac–Impulsverteilung
Energieableitung der Fermifunktion
ϕk = −
∂nk
1
1
=
2
∂ξk
4kB T cosh (ξk /2kB T )
Fig. 21: Zur Energieableitung der Fermi–Dirac–Verteilung
Wichtige Eigenschaften (vgl. Übungsblatt 5, Aufgabe 2)
1 X
ϕ k = NF
V kσ
1 X
n
ϕk vk : vk =
1
V kσ
m
Feldoperatoren für freie Fermionen (Pauli–Spinor)
1 X
Ψ̂σ (r) = √
ĉkσ eik·r
V kσ
X †
1
0
Ψ̂†σ (r) = √
ĉk0 σ e−ik ·r
V k0 σ
Kommutatorrelationen (vgl. Übungsblatt 5, Aufgabe 2)
n
o
n
o
n
o
Ψ̂σ (r), Ψ̂σ0 (r0 )
+
Ψ̂†σ (r), Ψ̂†σ0 (r0 )
+
Ψ̂σ (r), Ψ̂†σ0 (r0 )
+
= 0
= 0
= δσσ0 δ 3 (r − r0 )
35
Teilchenzahldichte–Operator:
n̂(r)
≡
X
σ
=
k0 =k+q
=
Ψ†σ (r)Ψσ (r)
1 X †
0
ĉk0 σ ĉkσ e−i(k −k)·r
V k0 kσ
X
1 X †
e−iq·r
ĉ
ĉkσ
V kσ k+qσ
q
{z
|
=
X
}
n̂(q)
n̂(q)e−iq·r
q
Nota bene: Die Fourier–Transformierte n̂(q) der Teilchenzahldichte ist eine Superposition
von sog. Teilchen–Loch–Anregungen n̂kσ (q)
n̂kσ (q) = ĉ†k+qσ ĉkσ
Gesamt–Teilchenzahloperator:
Z
d3 rn̂(r)
N̂ =
=
Z
X
d3 re−iq·r
n̂(q)
|
q
{z
}
V δq,0
= n̂(q = 0)
=
X
n̂kσ
kσ
Hamiltonoperator für freie Fermionen:
Ĥ0 − µN̂ =
XZ
3
d
σ
Ã
!
X
h̄2 ∇2
−
− µ ψ̂σ† (r) =
ξk ĉ†kσ ĉkσ
2m
kσ
rψ̂σ† (r)
Gesamtenergie freier Fermionen:
E(T ) =< Ĥ >=
X
²k nk
k,σ
Entropiedichte
σ 0 (T ) = −kB
3.2
1 X
{nk ln nk + (1 − nk ) ln(1 − nk )}
V kσ
Normale Fermisysteme in äußeren Potentialen
Hamiltonoperator in zweiter Quantisierung:
Ĥ{φ, A, B} =
XZ
σ
d3 rψ̂σ† (r)
³
´2

 −ih̄∇ − e A
c


2m
= Ĥ0 + δ Ĥ{φ, A, B}
36
+ eφ −



γh̄
σB ψ̂σ (r)

2

Berechnung der Variation nach φ, A und B:





XZ
δ Ĥ{φ, A, B} =





1
d3 r n̂e (r)δφ(r) − ĵe (r) · δA(r) − M̂ (r)δB(r)

{z
} c
{z
}
|


|

|
{z
}
σ

skalar
Ampere
Zeeman
Operator der Ladungsdichte:
n̂e (r) = en̂(r) =
X
e−iq·r n̂e (q)
q
1 X
en̂kσ (q)
n̂e (q) =
V kσ
Operator der Ladungsstromdichte:
ĵe (r) = e
X
σ
−ih̄∇
ψ̂σ† (r)
ψ̂σ (r)
m
X
n̂(r)e2
−
A(r) =
e−iq·r ĵe (q)
mc
q
n̂e2
A(q)
|mc {z }
1 X
evk n̂kσ (q) −
V kσ
ĵe (q) =
|
{z
}
paramagnetischer Anteil
diamagnetischer Anteil
Operator der Spinmagnetisierung:
M̂ (r) =
X
σ
M̂ (q) =
ψ̂σ† (r)
X
γh̄
σ ψ̂σ (r) =
e−iq·r M̂ (q)
2
q
1 X γh̄
σn̂kσ (q)
V kσ 2
Allgemeine Klassifizierung äußerer Störpotentiale
e
γh̄
Ukσ = eφ − vk · A −
σ B
c
2 |{z}
=±1
Störungs–Hamiltonoperator (→ Übungsblatt 5, Aufgabe 1)
ĤU =
XZ
σ
d3 rΨ̂†σ (r)Uσ (r)Ψ̂σ (r) =
X
Ukσ (q)n̂kσ (q)
kqσ
Nota bene: Störungen koppeln an Teilchen–Loch–Anregungen, n̂kσ (q)
Fig. 22: Diagrammatische Darstellung äußerer Störungen
37

Lokale Beschreibung (∇ → iq → 0)
X †
Ĥ0 − µN̂ + ĤU =
ĉkσ (ξk + Ukσ ) ĉkσ
kσ
Lokales Gleichgewicht
ξk
T
n̂kσ (q)
→
→
→
ξk + Ukσ
T + δT
< n̂kσ (q) >
Ã
ξk
nkσ ≡ n ξk + Ukσ − δT
T
Ã
!
ξk
0
n (ξk ) −ϕk Ukσ − δT
T
q→0
!
0
=
=
|
{z
}
δnkσ
Lineare Antwort im lokalen Gleichgewicht:
• Ladungsdichte
δne = e
X
δnkσ
kσ
= e
X
ϕk (−eφ)
kσ
e2 NF
=
(−φ)
| {z }
“Ladungssuszeptibilitaet00
• Stromdichte
je =
X
evk δnkσ −
kσ
= e
|
zX
n
≡m
ne2
A
mc
{ µ
}|
ϕk vk : vk
kσ
{z
¶
e
ne2
A −
A=0
c
mc
|
{z
}
}
“dia00
“para00
• Magnetisierungsdichte
M =
X γh̄
kσ
Ã
=
2
γh̄
2
σδnkσ
!2
Ã
=
|
X
ϕk B
kσ
| {z }
γh̄
2
≡NF
!2
{z
NF
}
Pauli Spinsuszeptibilitaet
38
B
• Entropiedichte
T δσ = −
kB T X
nk
δnkσ ln
V kσ
1 − nk
1 X
ξk δnkσ
V kσ
1 X δnkσ
ξk
δT
=
V kσ
δT
=
z
=
π2
2T
NF kB
3
}|
X
1
ξk2
V
T
|
ϕk
kσ
{z
{
δT
}
spezifischeWaerme
8. Vorlesung : Donnerstag, 12. Juni 2003, 15:00
3.3
Das Cooper–Problem
Ziel: Formation von Cooper–Paaren in entarteten wechselwirkenden Fermisystemen verstehen.
Ursache des Cooper–Phänomens: anziehenden Wechselwirkung Γ(r1 , r2 ) der Fermi– (Quasi–)
Teilchen in der Nähe der Fermifläche.
Ausgangspunkt: Fermionen–Paar wird einem gefüllten Fermisee hinzugefügt. Quantenmechanische Wellenfunktion für das Fermionen–Paar:
Φσ1 σ2 (r1 , r2 ) = −Φσ2 σ1 (r2 , r1 )
Trennung von Schwerpunkts– und Relativbewegung, Spin– und Bahnfreiheitsgraden:
Φσ1 σ2 (r1 , r2 ) = eis·
r1 +r2
2
s
χsm
σ1 σ2 (r1 − r2 )
s = p/h̄, p: Schwerpunktsimpuls des Paares
χ(r1 − r2 ) beschreibt Relativbewegung des Paares
s
χsm
σ1 σ2 beschreibt die Spinabhängigkeit der Bahnwellenfunktion
Ã
s
χsm
σ1 σ2 =
s
χsm
↑↑
sms
χ↓↑
s
χsm
↑↓
sms
χ↓↓
!
Ã
∝
σ1 σ2
1
2
σ1
1
2
σ2
| s
| ms
!

=
δs,1 δms ,1
s+1
(−1)
√
δms ,0
2
Kopplung der Spins: Gesamtspin s, Projektion ms

0
s=
ms = 0
Singulett–Paarung
1 ms = −1, 0, 1 Triplett–Paarung
39
√1 δm ,0
s
2
δs,1 δms ,−1


σ1 σ2
Singulett–Paarung


0

|{z}

ms =1

s=0 
∝ 

 − √1 (| ↑↓> −| ↓↑>)


2
|
{z
}
s
χsm
σ1 σ2
sms
1
√ (| ↑↓> −| ↓↑>) 

2
|
{z
} 






ms =0
0
|{z}
ms =−1
ms =0
s
= −χsm
σ2 σ1
σ1 σ2
Triplett–Paarung


sms
1
√ (| ↑↓> +| ↓↑>) 

2
|
{z
} 
| ↑↑>
s
χsm
σ1 σ2

| {z }


ms =1
s=1 
∝ 
 1
 √ (| ↑↓> +| ↓↑>)


2
|
{z
}






ms =0
| ↓↓>
| {z }
ms =−1
ms =0
s
= +χsm
σ2 σ1
σ1 σ2
Pauli–Prinzip:
sms
2
χsm
σ1 σ2 = −χσ2 σ1
sms
s
χsm
σ1 σ2 = χσ2 σ1
→
→
χ(r1 − r2 ) = χ(r2 − r1 )
χ(r1 − r2 ) = −χ(r2 − r1 )
gerade Paritaet, (S−, D−, . . . Welle)
ungerade Paritaet, (P −, F − . . . Welle)
Daher: möglichst allgemeine Behandlung des Cooper–Problems angestrebt.
Zur Bedeutung von Φσ1 σ2 (r1 , r2 ): Φσ1 σ2 (r1 , r2 ) in zweiter Quantisierung
Φσ1 σ2
b̂†σ1 σ2 (k, s)
II.Quant.
→
=
X
χk b̂†σ1 σ2 (k, s)
k
ĉ†k+ s σ1 ĉ†−k+ s σ2
2
2
= −ĉ†−k+ s σ2 ĉ†k+ s σ1 = −b̂†σ2 σ1 (−k, s)
2
2
Hier ist s = p/h̄. Das (Cooper–) Paar ist eine Überlagerung von paarweise besetzten Zuständen
{k + s/2, σ1 ; −k + s/2, σ2 } mit der (i. a. komplexen) Amlitude χk .
Einschränkungen:
• s–Wellen–Singulett–Paarung
• verschwindender Schwerpunktsimpuls s = 0
Schrödinger–Gleichung für das Fermionen–Paar im Ortsraum (Zweikörper–Problem)
(
)
h̄2 ∇21 h̄2 ∇22
−
− 2µ χ(r1 − r2 ) + Γ(r1 , r2 ) χ(r1 − r2 ) = E χ(r1 − r2 )
−
2m
2m
Bedeutung von E: Paarenergie
40
E > 0 Kontinuum von Streuzuständen
E < 0 Bindungsenergie des gebundenen Paarzustands
Gegenwart des Fermisees: “Blocking–Effekt” →
Beschreibung im Impuls– oder k–Raum
χ(r1 − r2 ) =
1 X
χk eik·(r1 −r2 )
V k
Bedeutung von k: beschreibt Relativ–Bewegung (Bahndrehimpuls) des Paares.
Fourier–Transformation der Wechselwirkung
Γ(r) =
X
Γk eik·r
k
Schrödinger–Gleichung im k–Raum
X
(E − 2ξk )χk =
Γk−k0 χk0
|k0 |>kF
Fig. 23: Zum Cooper–Problem
Modell–Wechselwirkung
Γ
k−k0
=

 Γ0

0
|ξk |, |ξk0 | < ²c
sonst
²c : Abschneide–Energie
Einsetzen von Γkk0 in die Integralgleichung (vgl. Übungsblatt 6).
Die Integralgleichung hat Lösungen für E < 0 (d. h. für einen gebundenen Cooper–Paar–
Zustand) wenn die Wechselwirkung Γkk0 in einer Schale um die Fermienergie µ anziehend ist,
d. h. Γ0 < 0.
Paar–Bindungsenergie EB für Γ0 = −|Γ0 | (λ0 ≡ N (0)|Γ0 |):
2²c
−1

−2/λ0

 −2²c e
EB = −
=


e2/λ0
−²c λ0
λ0 ¿ 1 ;
schwache Kopplung
λ0 À 1 ;
starke Kopplung
Kommentare:
41
• Cooper–Instabilität schon für infinitesimal kleine attraktive Wechselwirkungs–Parameter
Γ0 = −|Γ0 |.
• Bindungsenergie
2
− N (0)|Γ
EB = −2²c e
0|
kann nicht durch Störungstheorie für kleine Γ0 abgeleitet werden.
• Bedeutung der charakteristischen (Abschneide–) Frequenz ωc :
a) Konventionelle metallische Supraleiter:
Debye–Frequenz ²c = h̄ωD
b) superfluides 3 He:
charakteristische Frequenz ferromagnetischer (Para–) Magnonen (²c = h̄ωFPM ).
c) Schwere–Fermionen–Systeme, Kuprate:
charakteristische Frequenz antiferromagnetischer (Para–) Magnonen (²c = h̄ωAFPM ).
SYSTEM
PAARUNGSTYP
Konventionelle Metallelektronen
Schwere–Fermionen– (Kondo–Gitter–) Systeme
Kuprate (Loch–dotierte Antiferromagneten)
Kuprate (Elektron–dotierte Antiferromagneten)
Fullerene (X3 C60 )
Flüssiges 3 He
Ruddlesden–Popper–System (Sr2 RuO4 )
Atomkerne mit offenen Schalen für N oder P
Neutronensterne
Singulett–S
Singulett–D, Triplett–P, –F (?)
Singulett–D
Singulett–S (?)
Singulett–S
Triplett–P
Triplett–P,–F (?)
Singulett–S
Triplett–P, –F (?)
Tabelle 5: Zur Universalität des Phänomens der (Cooper–) Paarkorrelationen
3.4
Verallgemeinertes BCS–Modell
Zentrale Annahmen der (verallgemeinerten) BCS–Theorie:
42
• In der Nähe der Fermifläche gibt es eine (beliebig kleine) Wechselwirkung
(s)
Γkp =

(s)

 Γ0 h(s) (k̂ · p̂)


|ξk |, |ξp | < ²c
0
sonst
die für Paare mit Gesamtspin s = 0 (Singulett) oder s = 1 (Triplett) anziehend ist
(s)
Γ0 < 0.
• spontane Paarformation im k–Raum, beschrieben durch einen im thermodynamischen
Gleichgewicht endlichen statistischen Mittelwert, die Paaramplitude
gkσ1 σ2 ≡< ĉ−kσ1 ĉkσ2 >6= 0 ; T ≤ Tc
Hier ist
h̄k = h̄(k1 − k2 )
der Relativ–Impuls des Paares.
Pauli–Prinzip: totale Antisymmetrie von gkσ1 σ2 beim Vertauschen der Spins σ1 , σ2 und der
Impulse k1 , k2
g−kσ2 σ1 = −gkσ1 σ2
Spinabhängigkeit der Paaramplitude: Kombinationsmöglichkeiten, zwei Spins vom Betrag h̄/2
und den Projektionen σ1 , σ2 zum Gesamtpin s und der Gesamtprojektion ms .
Clebsch–Gordon–Koeffizient für diese Kopplung:
Ã
1
2
σ1
1
2
σ2
| s
| ms
!

=
δs,1 δms ,1
s+1
(−1)
√
δms ,0
2
√1 δm ,0
s
2
δs,1 δms ,−1
Zwei Fälle möglich für Fermionen:
s = 0 (Singulett–Paarung)
s = 1 (Triplett–Paarung)
Spin–Singulett–Paarung:
Ã
gkσ1 σ2 =
0 gk
−gk 0
!
wobei gk = 12 [gk↓↑ − gk↑↓ ].
43
= gk (iτ 2 )σ1 σ2
σ1 σ2


σ1 σ2
Hier ist τ 2 eine der Pauli–Spinmatrizen, die zusammen mit der Einheitsmatrix τ 0 ein vollständiges
Basissystem von 2 × 2–Matrizen bilden:
(Ã
0
{τ , ~τ } =
1 0
0 1
! Ã
,
0 1
1 0
! Ã
,
0 −i
i 0
! Ã
,
1 0
0 −1
!)
Pauliprinzip: gk muß für Singulett–Paarung gerade Parität bezüglich k haben,
g−k = gk .
Klassifizierung der k–Abhängikeit von gk durch orbitale Quantenzahl l:
s–Wellen–Paarung (l = 0), d–Wellen–Paarung (l = 2), u.s.w..
Spin–Triplett–Paarung:
Ã
gkσ1 σ2 =
1
[g
2 k↓↑
gk↑↑
1
[g
+ gk↑↓ ]
2 k↓↑
+ gk↑↓ ]
gk↓↓
!
= gk · (τ iτ 2 )σ1 σ2
σ1 σ2
Die Triplett–Komponenten
1
(gk↓↓ − gk↑↑ )
2
1
=
(gk↑↑ + gk↓↓ )
2i
1
(gk↓↑ + gk↑↓ )
=
2
gkx =
gky
gkz
des Paaramplituden–Vektors gk , sind den magnetischen Quantenzahlen ms = −1, 0, 1 zugeordnet und haben wegen des Pauli–Prinzips ungerade Parität bezüglich k,
g−k = −gk .
Triplett–Paarung: orbitale Quantenzahl l ist ungerade (engl.: odd parity pairing):
p–Wellen–Paarung (l = 1), f – Wellen–Paarung (l = 3), u.s.w..
Spontan gebrochene Symmetrie, verknüpft mit dem supraleitendem Phasenübergang: nämlich
die bezüglich der lokalen Eichtransformation
ϕ
ĉkσ → ĉkσ ei 2
bei der sich die Paaramplitude wie
gkσ1 σ2 → gkσ1 σ2 eiϕ
transformiert spontan gebrochene Eichsymmetrie).
44
Cooperpaarformation: gk , gk 6= 0 führt zu einer neuen Energieskala, dem mittlern sog. Moleku(s)
larpotential, vermittelt durch eine in der Nähe der Fermikante anziehende Wechselwirkung Γkp
∆k =
X (0)
p
Γkp gp ; dk =
X (1)
p
Γkp gp
Die skalaren und vektoriellen Paaramplituden gk , gk , oder äquivalent dazu, die Paarpotentiale
∆k und dk werden auch als Ordnungsparameter der supraleitenden oder superfluiden Phase des
paarkorrelierten Fermisystems bezeichnet.
Gesamtheit der Cooperpaare → Kondensat bildet neuartigen kollektiven Zustand makroskopischer Quantenkohärenz, der bereits in der London–Theorie antizipiert worden ist.
Konsequenzen der Paarungshypothese der verallgemeinerten BCS–Theorie:
korrekte Beschreibung von supraleitenden und superfluiden Fermisystemen
• thermodynamische Eigenschaften
• elektromagnetischer Response + Fluxoidquantum (London–BCS–Theorie)
• superfluide Hydrodynamik
• Spindynamik
Charakterisierung einiger der in der Natur vorkommenden paarkorrelierten Fermisysteme durch
die Form ihrer Paarpotentiale.
Zerlegung:
∆k = ∆0 (T )f (k) ; dk = ∆0 (T )f (k)
→ temperaturabhängiger Maximalwert ∆0 (T )
→ k–abhängiger orbitaler Anteil
→ Möglichkeit einer Anisotropie auf der Fermifläche.
Klassifizierung der Symmetrie des Paarpotentials in unterschiedlichen Fermisystemen:
Vergleich mit der Symmetrie des Paarpotentials mit der der Fermifläche bzw. der Bandstruktur.
Konventionelle Paarung Symmetrien sind gleich (oder: nur die Eichsymmetrie ist spontan
gebrochen)
Fig. 24: Zur konventionellen Paarung
Unkonventionelle Paarung: Symmetrie des Paarpotentials ist geringer als die der Fermifläche (oder: neben der Eichsymmetrie gibt es zusätzliche spontan gebrochene Symmetrien).
45
Fig. 25: Zur unkonventionellen Paarung
Weiteres (eleganteres) Kriterium für unkonventionelle Paarung:
h∆p iFS ≡ 0
Konsequenz der Unkonventionaliät der Paarung:
Ordnungsparameter kann Nulldurchgänge oder Noden aufweisen, d.h. er kann auf der Fermifläche Punkt–(P) oder Linien–(L) förmige Nullstellen haben.
Fig. 26: Einige Supraleiter und Supraflüssigkeiten
Zusammenstellung einiger in der gegenwärtigen Diskussion involvierten Modell–Paarzustaände
für die in der vorangegangenen Liste gezeigten Systeme:
Fig. 27: Einige Modell–Paarzustände
9. Vorlesung: Donnerstag, 26. Juni 2003, 15:00
Zur kontroversen Diskussion von dx2 −y2 –Paarung in Kupraten in den frühen 90–er Jahren des
vergangenen Jahrhunderts gibt das folgende Bild Aufschluß:
Fig. 28: Zur Diskussion unkonventioneller Supraleitung
3.4.1
BCS–Hamiltonoperator
Vorbemerkung: Die folgenden Ausführungen beschränken sich der Übersichtlichkeit halber
auf den Fall der Spin–Singulett–Paarung.
Ausgangspunkt: Spontane (Cooper–) Paarformation:
Gleichgewicht
gk ≡< b̂k >=< ĉ−k↓ ĉk↑ >
Selbstkonsistenz–Gleichung:
∆k =
X
p
46
6= 0
Γkp gp
;
T ≤ TcSL
BCS–Hamiltonoperator:
ĤBCS − µN̂ =




X
ξk


k 

X †
|
ĉkσ ĉkσ +∆k ĉ†k↑ ĉ†−k↓ + ∆∗k ĉ−k↓ ĉk↑
σ
{z
}









∗
Berechnung von “*”:
∗ = ĉ†k↑ ĉk↑ − ĉ−k↓ ĉ†−k↓ + 1
Aufgliederung in Teilchen und Löcher
ĤBCS − µN̂ =



X
†
†
†




†
ξk ĉk↑ ĉk↑ + (−ξ−k )ĉ−k↓ ĉ−k↓ + ∆k ĉk↑ ĉ−k↓ + ∆∗k ĉ−k↓ ĉk↑

|
{z
} |
{z
}



k | {z }
Teilchen
Loecher
Mischung
Umschreibung (Nambu, 1962)
ĤBCS − µN̂ =
X ³
k
|
ĉ†k↑ ĉ−k↓
{z
´
}
Ã
·
C †k
|
ξk
∆k
∗
∆k −ξ−k
! Ã
·
} |
{z
ξ
ĉk↑
ĉ†−k↓
{z
!
=
}
X
k
†
Ĉ k · ξ k · Ĉ k
Ck
k
Definition: Spinor–Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren im Teichen–Loch–Raum
Ã
Ĉ k =
†
Ĉ k =
³
ĉk↑
ĉ†−k↓
!
ĉ†k↑ ĉ−k↓
´
Energiematrix im Teilchen– Loch– oder Nambu– Raum
Ã
ξk =
3.4.2
ξk
∆k
∆∗k −ξ−k
!
Schritte zur Supraleitung
• (Schwach) anziehende Paar–Wechselwirkung: Γ(s) < 0
• Spontane Paarformation: gk 6= 0 → Paarpotential (Energielücke) ∆k 6= 0
• Energie ξk → Matrix
Ã
ξk =
ξk
∆k
∆∗k −ξ−k
im Teilchen–Loch– oder Nambu– Raum.
47
!
• Impulsverteilungsfunktion nk → Matrix
Ã
n0k
=
< ĉ†k↑ ĉk↑ > < ĉ−k↓ ĉk↑ >
< ĉ†k↑ ĉ†−k↓ > < ĉ−k↓ ĉ†−k↓ >
!
Ã
=
nk
gk
gk∗ 1 − n0−k
!
im Teilchen–Loch– oder Nambu– Raum.
• Langreichweitige Ordnung, Ordnungsparameter gk bzw. ∆k
→ “nebendiagonale langreichweitige Ordnung” (engl.: “off–diagonal long range order”)
• Spontan gebrochene Symmetrie: U (1)–Invarianz bzw. Invarianz unter Eichtransformation
ϕ
ĉk → ĉk ei 2
gk → gk eiϕ
∆k → ∆k eiϕ
3.4.3
Diagonalisierung durch Bogoliubov–Methode
Diagonalisierung der Energiematrix durch die sog. Bogoliubov–Valatin–Transformation
Ĉ k = B k · α̂k
!
Ã
α̂k↑
α̂k =
†
α̂−k↓
und die Matrix B k lautet
Ã
Bk =
uk v k
−vk∗ u∗k
!
Neue Erzeugungs–und Vernichtungsoperatoren beschreiben fermionische Anregungen
(→ Übungsblatt 7, Aufgabe 1):
u2k + vk2 = 1 .
Man erhält
Ã
B †k
ξk Bk =
E k Dk
D†k −Ek
!
Die Bedingung Dk ≡ 0 legt die Amplituden uk und vk fest:
Ã
u2k
vk2
1
ξk
=
1+
2
Ek
2
= 1 − uk
wobei
q
Ek =
!
ξk + ∆2k .
48
Physikalische Bedeutung von Ek : Form des transformierten Hamiltonoperators
ĤMF = UBCS (0) +
X
†
Ek α̂kσ
α̂kσ
kσ
Erster Term: Gesamtenergie des BCS–Grundzustands.
Zweiter Term: Beitrag der thermischen Anregungen, der sog. Bogoliubov–Quasiteilchen bei
endlichen Temperaturen.
Ek ist somit das Energiespektrum der Bogoliubov–Quasiteilchen.
Verhalten von Ek in der Nähe von kF :
Ek
|k|→kF
=
∆+
h̄2 (|k| − kF )2
2MB
;
MB = m
∆
2EF
Rolle des Paarpotentials ∆k : (im allgemeinen) anisotrope Energielücke im Spektrum der thermischen Anregungen.
Nota bene: Analogie zwischen Bogoliubov–Quasiteilchen in paarkorrelierten Fermisystemen
und Rotonen im superfluiden 4 He!
Fig. 29: Bogoliubov–Quasiteilchen und Bogoliubov–Amplituden
Physikalische Bedeutung von Ek im Normalzustand:
D
†
α̂k↑
α̂k↑
Ek
+
†
α̂−k↓
α̂−k↓
E
∆→0
=
|ξk |
=
u2k ĉ†k↑ ĉk↑ + ĉ†−k↓ ĉ−k↓ + vk2 ĉk↑ ĉ†k↑ + ĉ−k↓ ĉ†−k↓
=
2
=
D





E
u2k n0 (ξk ) + vk2

|{z}


Θ(ξk )
D
h
|{z} |
Θ(−ξk )
1 − n0 (ξk )
{z
n0 (−ξk )




i

}


2n0 (|ξk |)
Nota bene: ν 0 (Ek ) geht für ∆ → 0 nicht in n0 (ξk ) sondern in n0 (|ξk |) über.
3.4.4
Eigenschaften thermischer Anregungen
Bogoliubov–Quasiteilchen: Impulsverteilungsfunktion
†
νk = ν(Ek ) =< α̂kσ
α̂kσ >=
49
1
exp(Ek /kB T ) + 1
E
Fig. 30: Zur Fermi–Verteilung thermischer Anregungen
10. Vorlesung : Donnerstag, 3. Juli 2003, 15:00
Ableitung von νk nach Ek ,
ϕk = −
∂ν(Ek )
1
=
2
∂Ek
4kB T cosh (Ek /2kB T )
Fig. 31: Zur Ableitung ϕk der Fermiverteilung
Fig. 32 Energielücken–Noden und nodale Quasiteilchen
Diagonale Verteilungsfunktion nk im globalen thermodynamischen Gleichgewicht nach der
Bogoliubov–Valatin–Transformation:
nk = u2k νk + vk2 (1 − νk ) = vk2 + (u2k − vk2 )νk
Fig. 33: Die BCS–Impulsverteilungsfunktion nk
Nota bene: Es ist bemerkenswert, daß die Ableitung von nk ,
Φk ≡ −
∂nk
ξ2
∆2
Ek
= k2 ϕk + k3 tanh
∂ξk
Ek
2Ek
2kB T
bei allen Temperaturen T ≤ Tc der Summenregel
Z ∞
−∞
dξk Φk = 1
genügt.
Fig. 34: Zur Ableitung Φk der Fermiverteilung
50
(Teilchenzahl–) Dichte der Bogoliubov–Quasiteilchen im thermischen Gleichgewicht:
νB (T )
=
X
νk
kσ
T →Tc
=
T →0
Y (T )
·
µ
kB T
∆
3 ln 2 n
1−O
µ
kB T
=
NF kB T lim Y (T )
=
1 X
ϕk
NF kσ
¶¸
T →0
Entropiedichte der Bogoliubov–Quasiteilchen (vgl. Übungsblatt 5, Aufgabe 3):
σB (T ) = −kB
3.4.5
1 X
1 X ξp2
{νk ln νk + (1 − νk ) ln(1 − νk )} =
ϕp
V kσ
V pσ T
Mechanismen der Paarformation
(s)
Die Ursachen und Mechanismen für die Paaranziehung Γkp < 0 sind unterschiedlich. Bei
konventionellen Supraleitern vermitteln meistens die Quanten der Gitterschwingungen, die
Phononen, eine Paaranziehung zwischen den Elektronen. In einigen Klassen unkonventioneller
Supraleiter (Schwere–Fermionen–, Hoch–Tc –Supraleiter, sowie in der superfluiden Fermifüssigkeit
3
He), glaubt man heute, daß antiferromagnetische bzw. ferromagnetische sog. Spinfluktuationen oder Paramagnonen die Paaranziehung verursachen.
Hier sind noch einige ergänzende Ausführungen anzufügen!
3.4.6
Lösung der Gapgleichung im Limes schwacher Kopplung
Gleichgewichts–Paaramplitude nach der Bogoliubov–Valatin–Transformation:
gk = uk vk (1 − 2νk ) = −
∆k
Ek
tanh
2Ek
2kB T
Gapgleichung bei T > 0:
∆k =
X
p
Γkp gp = −
X
Γkp
p
Ep
∆p
tanh
2Ep
2kB T
Annahme 1: Paarwechselwirkung ist sehr klein
(s)
|NF Γkp | ¿ 1
(Limes schwacher Kopplung)
Annahme 2: Paarwechselwirkung ist in einer Energieschale der Dicke ²c ¿ EF um die Fermienergie attraktiv:
(
(s)
Γkp
fk · fp
fk fp
= −Γ Θ(²c − |ξk |)Θ(²c − |ξp |)
δs,0 +
δs,1
2
< f >FS
< f 2 >FS
(s)
51
)
Lösung der Energielückengleichung bei T > 0 liefert (explizite Rechnung für s–Wellen–Supraleiter
findet man im Anhang 5.8 für unkonventionelle Supraleiter im Anhang 5.9):
1. die Sprungtemperatur
µ
¶
1
2eγ
=
²c exp −
π
NF Γ(s)
2. die beiden im Limes schwacher Kopplung universellen sog. BCS–Mühlschlegel–Parameter:
Tc(s)
a) den Sprung in der spezifischen Wärme bei Tc
C(Tc− ) − CN (Tc+ )
∆C
3 8 < fp2 >2FS
=
=
CN
CN (Tc+ )
2 7ζ(3) < fp4 >FS
b) die Energielücke bei T = 0


p
< ∆2p ln ∆
>FS
∆0 (0)
∆0

 .
= π/ exp γ +
k B Tc
< ∆2p >FS
Hier ist γ = 0.577
. . . die Eulersche Konstante, ζ(3) = 1.202 . . . die Riemannsche ζ–Funktion,
R
< . . . >FS = (dΩ/4π) . . . bedeutet eine Mittelung über die Fermifläche und
CN (T ) = NF
π 2 kB2 T
= γT
3
ist die Wärmekapazität des normalen Fermisystems mit γ der Sommerfeld–Konstante.
∆C
CN
∆0 (0)
kB Tc
isotrop
axial
E1g
E2u
dx2 −y2
12
7ζ(3)
10
7ζ(3)
6
5ζ(3)
286
245ζ(3)
8
7ζ(3)
1.426
1.188
0.998
0.971
0.951
π
eγ
πe5/6
2eγ
πe47/30
4eγ
1.764
2.029
2.112
√
3πe177/70
18eγ
2.128
2π
1
eγ+ 2
2.140
Tabelle 6: Einige BCS–Mühlschlegel–Parameter für paarkorrelierte Fermisysteme.
52
Zusammenfassung: Energielücke bei T → Tc und T → 0 (vgl. Anhänge 4.9 und 1.10):
∆0 (T ) =

r
³
´
2

8 hfp iFS
T

 πkB Tc
1
−
4
7ζ(3) hf i
T
c
p FS



∆0 (0)
;
T → Tc
;
T →0
Temperatur–Interpolation der maximalen Energielücke für Temperaturen 0 ≤ T ≤ Tc :


v
µ
¶
 πk T u
u
1
T
2
∆C
B ct
c
∆0 (T ) = ∆0 (0) tanh 
−1 
2
∆0 (0) 3 CN < fp >FS T
Fig. 35: Zur Temperaturabhängigkeit der Energielücke
3.4.7
Die Zustandsdichte paarkorrelierter Fermisysteme
Ausgangspunkt: Impulssummationen (vgl. Anhang 6.2):
Z
1 X
dΩk Z ∞
f (k) =
dξk D(µ + ξk ) f (k)
V kσ
4π −µ
Verallgemeinerung auf paarkorrelierte Fermisysteme:
Z
Z
1 X
dΩk dξk
f (k)
f (k)
=
dEk D[µ + ξk ]
V kσ
4π dEk
| {z }
Z
=
Z
dEk D(µ)
|
f (k)=f (Ek )
=
Ek
ξk
dΩk
Ek
Re q
f (k)
4π
Ek2 − ∆k ∆†k
{z
}
Ns (Ek )
Z
dEk Ns (Ek ) f (Ek )
Zustanddichte im Supraleiter:
Z
Ns (Ek ) = D(µ)
dΩk
Ek
Re q
4π
Ek2 − ∆k ∆†k
Zustandsdichte für den Fall sphärischer Fermiflächen (d=3):
Ns (Ek )
D(µ)
=
x=cos θ
=
z=Ek /∆0
=
Z π
Z 2π
1
dϕ
Ek
q
Re
dθ sin θ
2
2π E 2 − ∆20 f 2 (θ, ϕ)
0
0
k
Z 1
Z 2π
Ek 1
dϕ
1
r³ ´
Re
dx
2
∆0 2
2π
−1
0
Ek
− f 2 (x, ϕ)
∆0
Z 1
Z 2π
1
dϕ
z
q
Re
dx
2
2π z 2 − f 2 (x, ϕ)
−1
0
53
Zustandsdichte für den Fall zylindrischer Fermiflächen (d=2, vgl. Anhang 6.3):
Z 2π
dϕ
Ek
Ns (Ek )
q
= Re
NF2
2π E 2 − ∆20 f 2 (ϕ)
0
k
Spezialfälle:
1. Die Zustandsdichte isotroper Supraleiter: ∆k ∆†k ≡ ∆2 , f (x, ϕ) ≡ 1:
Ek
Ns (Ek ) = D(µ) Re q
Ek2 − ∆2
2. Energielücken mit Punktnoden (Axialer Zustand, f 2 (x, ϕ) ≡ 1 − x2 ):
µ
Ek
Ek + ∆0
Ns (Ek ) = D(µ) Re
ln
2∆0
Ek − ∆0
¶
3. Energielücken mit Liniennoden (polarer Zustand, f (x, ϕ) ≡ x):
µ
∆0
Ek
Ns (Ek ) = D(µ) Re
arcsin
∆0
Ek
¶
4. Anisotrope Energielücke mit unterer Schranke (f (x, ϕ) = ∆min + (∆max − ∆min ) · |x|):
·
Ns (Ek )
=
∆min →∆max =∆
=
∆min →0
=
Ek
∆max
∆min
D(µ) Re
arcsin
− arcsin
∆max − ∆min
Ek
Ek
Ek
D(µ) Re q
2
Ek − ∆2
µ
¶
Ek
∆max
D(µ) Re
arcsin
∆max
Ek
Fig. 36: Zustandsdichten für verschiedene Supraleiter
3.5
BCS–Supraleiter in äußeren Potentialen
Störpotentiale:
e
γh̄
Ukσ = eφ − vk · A −
σ B
c
2 |{z}
=±1
Nambu–Darstellung:
Teilchen: e, k, σ
Löcher: −e, −k, −σ
54
¸
11. Vorlesung : Freitag, 4. Juli 2003, 8:30
→ Störpotentiale im Nambu–Raum

Uk =

Uk↑
 |{z}
 Teilchen


−U−k↓
| {z }

(+)

 = Uk

Ã
!
1
Ã
+
−1
(−)
Uk
!
1
1
Loecher
(+)
Uk
(−)
Uk
1
[Uk↑ + U−k↓ ] = eφ
2
γh̄
1
e
[Uk↑ − U−k↓ ] = −vk A −
B
=
2
c
2
=
BCS-Hamiltonoperator mit Störpotentialen
X
ĤBCS − µN̂ + ĤU =
k
´

X
=
³
†
Ĉ k · ξ k + U k · Ĉ k
³
†
(+)
Ĉ k · 
 ξk + Uk
|
k
{z
´
Ã
!
1
(−)
+ Uk
−1
}
Ã
!
1
1


 · Ĉ
k

≡Ξk
Zu diagonalisieren
Ã
ξ k + Uk =
|
Ξk ∆k
∆∗k −Ξk
{z
Ã
!
}
|
{z
1
!
1
(−)
+ Uk
1
}
2
Term 1 wird diagonalisiert durch
Ã
Bk =
u(Ξk ) v(Ξk )
−v ∗ (Ξk ) u(Ξk )
!
Term 2 ist bereits diagonal.
B †k
³
´
Ã
ξk + U k Bk =
!
(−)
E(Ξk ) + Uk
(−)
−E(Ξk ) + Uk
Ã
=
!
Ek+
−Ek−
Verschobene Quasiteilchenenergien
q
Ek± =
(−)
Ξ2k + ∆2k ± Uk
Resultat der Diagonalisierung
ĤBCS − µN̂ + ĤU = UBCS (0) +
X †
αk ·
k
= UBCS (0) +
X³
k
55
Ã
!
Ek+
−Ek−
· αk
†
†
Ek+ α̂k↑
α̂k↑ + Ek− α̂−k↓
α̂−k↓
´
Verschobene BQT–Fermifunktionen
D
†
α̂k↑
α̂k↑
D
†
α̂−k↓
α̂−k↓
E
E
= ν 0 (Ek+ )
= ν 0 (Ek− )
Diagonale Impulsverteilungsfunktion
nk (Uk ) = v 2 (Ξk ) + u2 (Ξk )ν 0 (Ek+ ) − v 2 (Ξk )ν 0 (Ek− )
h
i
= v 2 (Ξk ) + u2 (Ξk ) − v 2 (Ξk ) ν 0 (E(Ξk )) + [u2 (Ξk ) + v 2 (Ξk )] +
|
{z
|
}
{z
≡nk (Ξk )
= nk +
}
≡1
∂νk0 (−)
U
∂Ek k
∂nk (+) ∂νk0 (−)
U +
U
∂ξk k
∂Ek k
(+)
Ξk = ξk + Uk
BCS–Supraleiter im lokalen Gleichgewicht:
Ã
δnkσ
3.6
∂nk
∂νk0
e
γh̄
= nk (Ukσ ) − nk =
eφ −
vk · A +
σB
∂ξk
∂Ek
c
2
!
Lokaler Response paarkorrelierter Fermisysteme
Vorbemerkung: Das Vorgehen in diesem Abschnitt ist identisch mit dem im Fall normaler
Fermisysteme (vgl. Abschnitt 3.2). Der Unterschied zwischen paarkorrelierten und normalen
Systemen tritt bei der Transformation der Teilchen–Loch–Anregungen auf Quasiteilchenoperatoren auf.
3.6.1
Wärmekapazität
Entropieänderung
T δσB = −
kB T X
νp
δνpσ ln
V pσ
1 − νp
|
{z
Ep
BT
≡− k
1 X
Ep δνpσ
V pσ
1 X δνpσ
=
Ep
δT
V pσ
δT
=
|
{z
CB (T )
= CB (T )δT
56
}
}
Berechnung von δνpσ :

δνpσ

p
Ep + ∂E
δT 
∂T

= ν
− νp
kB (T + δT )

= ν
Ep −
h
Ep
T
−
kB T
Ã
∂Ep
∂T
i
δT

 − νp
!
Ep ∂Ep
= ϕp
−
δT
T
∂T
!
Ã
1 ∂∆2p
Ep
−
δT
= ϕp
T
2Ep ∂T
Wärmekapazität der Bogoliubov–Quasiteilchen:
Ã
Ep2
1 X
1 ∂∆2p
CB (T ) =
ϕp
−
V pσ
T
2 ∂T
!
Fig. 37: Zur spezifischen Wärme der thermischen Anregungen
Zur experimentellen Situation wird die folgende Auswahl von Daten diskutiert:
Fig. 38: Spezifische Wärme in Aluminium
Fig. 39: Spezifische Wärme in Vanadium und YBCO
Fig. 40: Spezifische Wärme in UBe13
Fig. 41: Spezifische Wärme in YBCO und Sr2 RuO4
3.6.2
Spinsuszeptibilität
Spin–Magnetisierung:
M =
1 X γh̄
σδnpσ
V pσ 2
Ã
=
γh̄
2
!2
1 X
ϕp B
V pσ
= χB (T )B
57
Spinsuszeptibilität der Bogoliubov–Quasiteilchen:
Ã
χB (T ) =
γh̄
2
!2
1 X
ϕp =
V pσ
Ã
γh̄
2
!2
NF Y (T )
Quasiteilchen–Yosida–Funktion
Y (T ) =
Z ∞
Z
1 X
dΩp
ϕp =
ϕp
dξp
NF pσ
4π
−∞
Das Tieftemperaturverhalten der lokalen Responsefunktionen für isotrope Energielücken ∆k =
∆ ist thermisch aktiviert,
µ
2π∆
lim Y (T ) = Y0 (T ) =
T →0
kB T
¶ 12
µ
∆
exp −
kB T
¶
und damit qualitativ unterschiedlich von dem für Energielücken mit Nodenstruktur. Im letzteren Fall existieren thermische Anregungen bei tiefen Temperaturen kB T ≤ ∆0 besonders in
der Umgebung der Noden, was zu den Potenzgesetzen für die Responsefunktionen führt.
Fig. 42: Zur Quasiteilchen–Yosida–Funktion
Fig. 43: Zur Quasiteilchen–Spinsuszeptibilität
Zur experimentellen Situation wird die folgende Auswahl von Daten diskutiert:
Fig. 44: Zur Spinsuszeptibilität von Aluminium
Fig. 45: Zur Spinsuszeptibilität von GdBa2 Cu3 O7
Fig. 46: Zur Spinsuszeptibilität von 3 He–B
Fig. 47: Experimentelle Resultate zur Spinsuszeptibilität
12. Vorlesung : Donnerstag, 10. Juli 2003, 15:00
58
3.6.3
Dichteresponse
Ladungsdichteänderung
δne = e
X
δnpσ
pσ
= e
X
Φp (−eφ)
pσ
= χee (−φ)
Ladungssuszeptibilität
χee = e2 NF
Kommentar: Resultat ist identisch mit dem für das normale Fermisystem.
3.6.4
London–BCS–Suprastrom
Elektronische (Ladungs–) Stromdichte (vgl. Abschnitt 3.2):
ne2
A
mc
pσ
X
X
e
e
= e
Φp vp : vp A
ϕp vp : vp A − e
c
c
pσ
pσ
jse = e
X
= −
Suprastromresponse–Tensor
vp δnpσ −
e2 s
K ·A
c
Ks =
X
[Φp − ϕp ]vp : vp
pσ
Spezialfall: isotrope Supraleiter
ns (T )
1
m
ns (T ) = n[1 − Y (T )]
Ks (T ) =
Nota bene: Der Ausdruck für den BCS–Suprastrom jse ist nicht eichinvariant!
3.6.5
Die London–BCS–Magnetfeldeindringtiefe
Annahmen:
(i) uniaxiale Anisotropie (Achse n̂) der Fermifläche (n̂ = â, b̂, ĉ, mit a, b, c den Kristallachsen)
oder
ˆ
(ii) uniaxiale Anisotropie (Achse n̂) der Energielücke (n̂ = `).
Man hat dann
Kijs = Kks n̂i n̂j + K⊥s [δij − n̂i n̂j ] .
59
Der London–BCS–Strom, in die Maxwell–Gleichung
∇×B=
4π s
j
c e
eingesetzt, beschreibt die Magnetfeldabschirmung des Supraleiters, charakterisiert durch die
beiden London–BCS–Eindringtiefen
λ2Lk,⊥ =
c2
s
4πe2 Kk,⊥
Für isotrope Fermisysteme ist
Kks = K⊥s =
mit der superfluiden Dichte
ns
m
ns = n[1 − Y (T )] .
Fig. 48: Zur London–Eindringtiefe einiger Supraleiter
Zur experimentellen Situation wird die folgende Auswahl von Daten diskutiert:
Fig. 49: Zur London–Eindringtiefe von Quecksilber
Fig. 50: Zur London–Eindringtiefe von Blei
Fig. 51: Experimentelle Resultate zur London–Eindringtiefe
Fig. 52: Zur London–Eindringtiefe von YBCO
Fig. 53: Zur London–Eindringtiefe von YBCO mit Impurities
Fig. 54: Zur London–Eindringtiefe von Sr2 RuO4
60
In Tabelle 7 sind analytische Resultate für das Tieftemperaturverhalten der drei oben abgeleiteten Responsefunktionen für einige supraleitende und superfluide Systeme zusammengestellt.
Größe
CB (T )
CN (T )
isotrop
3Y (T )
³
∆0
πkB T
axial
´2
7π 2
5
χB (T )
χN
Y0 (T )
π2
3
δλLk (T )
λL (0)
1
Y (T )
2 0
π2
2
δλL⊥ (T )
λL (0)
1
Y (T )
2 0
7π 4
30
³
³
E1g
kB T
∆0
´2
kB T
∆0
³
kB T
∆0
³
´2
kB T
∆0
π
2
´2
´4
³
27ζ(3)
4π
ln 2
π2
8
³
³
3π ln(2)
8
E2u
kB T
∆0
kB T
∆0
kB T
∆0
³
´1
27ζ(3)
√
2π 3
´1
π
√
3
´2
kB T
∆0
ln 2
π ln(2)
√
2 3
´1
π ln(2)
√
2 3
³
kB T
∆0
³
³
³
kB T
∆0
kB T
∆0
kB T
∆0
dx2 −y2
´1
´1
2 ln 2
´1
´1
³
27ζ(3)
π2
³
kB T
∆0
kB T
∆0
´1
´1
–
ln 2
³
kB T
∆0
´1
Tabelle 7: Tieftemperaturverhalten einiger paarkorrelierter Fermisysteme
3.7
Eichinvarianz und Zusammenhang zwischen BCS– und London–Theorie
Problem mit den BCS–Resultaten für δne und jse :
1. Wegen der lokalen und stationären Beschreibung im Limes q → 0 und ω → 0 fehlen die
Gradienten und Zeitableitungen der Phasenvariable ϕ, welche die gebrochene Eichsymmetrie
beim supraleitenden Phasenübergang beschreibt.
2. Der London–Suprastrom verschwindet im Fall ungeladener Fermionen, welches eine Anwendung auf ungeladene Fermisysteme nicht zuläßt.
Daher
Eichtransformation im Dichteresponse:
δn = NF (−eφ + δµ)
e ∂Λ
h̄ ∂ϕ
δµ =
=−
c ∂t
2 ∂t
Eichtransformation im Stromresponse:
µ
jse
ps
¶
e
= eK · p − A
c
h̄
e
= − ∇Λ = ∇ϕ
c
2
s
61
s
Beschleunigung des Kondensats:
∂ps
e ∂Λ
=− ∇
= −∇δµ
∂t
c ∂t
Ziel: Ausdrücken von δµ durch physikalische Observable:
δn
δP
δµ = eφ +
= eφ +
NF
n
Nota bene: Hier ist die Relation zwischen Druck und Dichteänderung
δn
δP = c2 δ% = n
|{z}
NF
mδn
mit c2 = vF2 /3 dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit verwendet worden.
Physikalische Interpretation: vgl. Abschnitt über London–BCS Theorie, Josephson–Gleichung.
Beschleunigungsgleichung für ps :
Ã
∂ps
δn
= −∇ eφ +
∂t
NF
Beschleunigung des Suprastroms:
!
Ã
δP
= −∇ eφ +
n
Ã
!
∂jse
∂ps e ∂A
= eKs ·
−
∂t
∂t
c ∂t
Ã
!
δP
s
= eK · eE − ∇
n
Ã
!
δn
s
= eK · eE − ∇
NF
Physikalische Interpretation:
A. Geladene Systeme: longitudinale London–Gleichung
∂jse
= e2 Ks · E
∂t
s
s
Isotrope Fermisysteme (K → n /m)
∂jse
ns e2
=
E
∂t
m
B. Neutrale Systeme: Massenstrom jsm = (m/e)jse :
δP
δn
∂gs
= −mKs ∇
= −mKs ∇
∂t
n
NF
s
s
Isotrope Fermisysteme (K → n /m)
∂gs
ns
δn
= − ∇δP = −ns ∇
∂t
n
NF
62
!
4
4.1
Anhänge
Gegenüberstellung der Einheitensysteme CGS ↔ SI
GRÖSSE
CGS
SI
Lichtgeschwindigkeit
c2
1
µ0 ²0
Elektrisches Feld
E = −∇Φ −
1 ∂A
c ∂t
E = −∇Φ −
∂A
∂t
Magnetfeld
H
H
Elektrische Verschiebung
D = E + 4πP
D = ²0 E + P
Magnetische Induktion
B = H + 4πM
B = µ0 H + M
Ampere–Gesetz
∇×H=
4π
c
³
je +
1 ∂D
4π ∂t
´
³
∇ × B = µ0 j e +
Faraday–Gesetz
∇ × E = − 1c ∂B
∂t
∇ × E = − ∂B
∂t
Coulomb–Gesetz
∇ · D = 4πne
∇ · D = ne
4πne2
m
ωp2 =
e2
|r|
V (r) =
Plasmafrequenz
ωp2 =
Coulomb–WW
V (r) =
Coulomb–WW
V (q) =
London-Eindringtiefe
Fluxoid–Quant
λ2L =
4πe2
q2
mc2
4πns e2
φ0 =
=
λ2L =
hc
Q
Tabelle A1: CGS vs. SI–Einheiten
63
ne2
²0 m
e2
4π²0 |r|
V (q) =
c2
ωp2
∂D
∂t
e2
²0 q2
m
µ0 ns e2
=
φ0 =
h
Q
1
µ0 ²0 ωp2
´
4.2
Fermisysteme in d Raumdimensionen
Ausgangspunkt: d–dimensionaler Hyperkubus der Länge L und des Volumens Ld
Erlaubte Quantenzustände, charakterisiert durch diskrete Wellenzahlen (periodische Randbedingungen):
µ
¶
2π
ki =
ni ; i = 1, 2, . . . d
L
Auswertung von Impulssummen S{f }:
S{f } ≡
XX
σ
f (k)
k
X
µ
X
2π
f
=
n
L
σ n1 ,n2 ,...nd
µ
¶
XZ
2π
d
=
d nf
n
L
σ
=
=
X µ L ¶d Z
σ
2π
σ
L
2π
Xµ
dd kf (k)
¶d Z ∞
|
¶
Z
dd−1 Ωk f (k)
dkk d−1
0
{z
}|
{z
=
X µ L ¶d
2π
σ
Sd
Z ∞
0
Z
dkk d−1
Oberfläche Sd der d–dimensionalen Einheitskugel:
Z
Sd =
d
d−1
d
Ω=
2π 2
Γ
³ ´
d
2
Volumen Vd der d–dimensionalen Einheitskugel:
d
Vd =
Sd
2π 2
³ ´
=
d
d Γ d2
Spezialfälle:
d
Sd
Vd
1
2
2
2
2π
π
3
4π
4
π
3
4
2π 2
π2
2
64
}
angle
magnitude
dd−1 Ωk
f (k)
Sd
Tabelle A2: Sd und Vd verschiedenen Raumdimensionen
Fig. A1: Die Abhängigkeit von Sd und Vd von d
Annahme: Spektrum freier Fermionen:
h̄2 k2
²k =
= ξk + µ
2m
Umwandlung von Impulssummen in Integrale über Energieen ²k , ξk :
d
S{f } = L
Z ∞
0
d²k Sd
|
d
X m(2m²k ) 2 −1 Z dd−1 Ωk
σ
(2πh̄)d
{z
Sd
}
f (k)
Nd (²k )
d
= L
Z ∞
−µ
dξk Sd
|
d
X m[2m(µ + ξk )] 2 −1 Z dd−1 Ωk
(2πh̄)d
σ
{z
}
Sd
f (k)
Nd (µ+ξk )
Definition: Zustandsdichte (DOS) in d Dimensionen (2 Spinprojektionen)
d
m[2m(µ + ξk )] 2 −1
Nd (µ + ξk ) = 2Sd
(2πh̄)d
Spezialfall: DOS an der Fermienergie:
d
NFd
m[2m(µ)] 2 −1
≡ Nd (µ) = 2Sd
(2πh̄)d
Umschreibung der Impulssummen (s = S/Ld )
s{f } ≡
Z d−1
S{f } Z ∞
d Ω
=
dξ
N
(µ
+
ξ
)
f (k)
k d
k
d
L
Sd
−µ
Beispiele für Nd (µ + ξk )
d
Nd (µ + ξk )
1
1
2m √
πh̄
2m(µ+ξk )
2
m
πh̄2
√
3
m
2m(µ+ξk )
π 2 h̄3
Tabelle A3: Nd (µ + ξk ) in verschiedenen Raumdimensionen
65
Einige wichtige Beziehungen:
Teilchenzahldichte in d Dimensionen:
N
Ld
nd =
Fermi–Wellenzahl kFd in d Dimensionen:
Ã
nd
1 X
kFd
=
Θ(k − kFd ) = 2
d
L kσ
2π
(
kFd =
1 (2π)d
nd
2 Vd
!d
Vd
→
)1
d
Fermigeschwindigkeit vFd in d Dimensionen:
vFd =
h̄kFd
m
EFd =
2
h̄2 kFd
2m
Fermienergie EFd in d Dimensionen:
Eigenschaften:
nd
m
d
=
nd
2
2
NFd vFd
= d
NFd EFd
4.3
Elektromagnetischer Response in Normalmetallen
Ziel: Vollständige phänomenologische Behandlung der elektromagnetischen Antwort eines elektronischen Systems in einem Normalmetall, bei der sowohl die Coulomb–Abstoßung der Elektronen in einer Mittleren–Feld– (Hartree–) Näherung, als auch Stoßprozesse der Elektronen
berücksichtigt werden. Resultate dieser Rechnungen sind die elektronische Ladungsdichte–
Antwortfunktion (Lindhard–Mermin–Tensor) in Gegenwart von Stoßprozessen und die dynamische elektronische Leitfähigkeit sowie deren allgemeiner Zusammenhang.
Motivation: Diese Rechnungen sind motiviert durch die Tatsache, daß diese Resultate, zumindest aufgrund meines Kenntnisstands, in keinem Lehrbuch über Festkörper– oder Metallphysik
zu finden sind.
Ausgangspunkt: Maxwell–Gleichungen
∇ × H(r, t) =
1 ∂D(r, t)
4π
je (r, t) +
c
c ∂t
66
Ampere
∇ × E(r, t) = −
1 ∂B(r, t)
c ∂t
Faraday
∇ · B(r, t) = 0
∇ · D(r, t) = 4πne (r, t)
Quellfreiheit von B
Coulomb
Elektronische Ladungsdichte:
ne (r, t) = %ext + ne + δne (r, t)
Nota bene: In einem Metall gilt Ladungsneutralität, d. h. die elektronische Ladungsdichte ne
im Gleichgewicht wird durch die positive Ladung der Gitterionen–Rümpfe kompensiert. Daher
spielt für die Elektrodynamik von Metallen nur die Ladungs–Dichtefluktuation δne (r, t) eine
Rolle. %ext bezeichnet die Ladungsdichte, welche die Quelle der äußeren elektrischen Feldstärke
darstellt.
Elektrische Verschiebung (Polarisation P(r, t)): D und E
D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t)
Magnetische Induktion (Magnetisierung M(r, t)):
B(r, t) = B(r, t) + 4πM(r, t)
Quellfreiheit von B(r, t) →
B(r, t) = ∇ × A(r, t)
Nota bene: A(r, t) ist unbestimmt bis auf Gradienten einer beliebigen Phase Λ(r, t).
Eichtransformation des Vektorpotentials:
A0 (r, t) = A(r, t) + ∇Λ(r, t)
Bedeutung der elektrischen Feldstärke E(r, r): von außen an die Metallprobe angelegtes elektrisches Feld, welches als quellfrei angenommen wird.
Faraday →
"
1 ∂A(r, t)
∇ × E(r, t) +
c ∂t
|
{z
#
= 0
}
−∇·φ(r,t)
E(r, t) = −∇φ(r, t) −
1 ∂A(r, t)
c ∂t
E(r, t) kann durch ein skalares Potential und das Vektorpotential dargestellt werden.
Nota bene: Das skalare Potential is unbestimmt bis auf die zeitliche Änderung einer beliebigen Phase Λ(r, t).
67
Eichtransformation des skalaren Potentials:
φ0 (r, t) = φ(r, t) −
1 ∂Λ(r, t)
c ∂t
Konsequenz: Invarianz der elektromagnetischen Felder B(r, t) und E(r, t) bezglich Eichtransformationen (Eichinvarianz):
B0 (r, t) = B(r, t)
E0 (r, t) = E(r, t)
Bedeutung der elektrischen Polarisierbarkeit P(r, r): die durch die Anwesenheit von elektronischen Ladungsdichtefluktuationen hervorgerufene Polarisation des Mediums:
δne (r, t) = ∇ · P(r, t)
Bedeutung der magnetischen Feldstärke H(r, t): von außen an die Metallprobe angelegtes
Magnetfeld.
Phänomenologischer elektronischer Suszeptibilitätstensor:
↔
P(r, t) = χ ee ·E(r, t)
Phänomenologischer magnetischer Suszeptibilitätstensor:
↔
M(r, t) = χ mm ·H(r, t)
Dielektrizitätstensor:
↔
D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t) ≡ ε ·E(r, t)
↔
↔
ε = 1 + 4π χ ee
Zeitableitung des Coulomb–Gesetzes:
∂ne (r, t)
∂δne (r, t)
=
∂t
∂t
1
∂D(r, t)
=
∇·
4π
∂t
½
¾
c
4π
=
∇ · ∇ × H(r, t) −
je (r, t)
4π
c
= −∇ · je (r, t)
Kontinuitätsgleichung für die Ladungsdichte:
∂δne (r, t)
+ ∇ · je (r, t) = 0
∂t
Problem: Berechnung der elektronischen Stromdichte je (r, t). Dies ist Gegenstand der Transporttheorie, welche sich technischer Hilfsmittel wie Greensfunktionen und Kubo– Formeln oder
68
der Landau– Boltzmann– Transportgleichung bedient. Bei letzterer Methode kommt es insbesondere auf die (näherungsweise) Behandlung des Stoßintegrals und dessen Kompatibilität
mit den Erhaltungseigenschaften des Fermisystems an. Wir wollen annehmen, daß die elektronische Stromdichte einer Relaxationsgleichung der Form
eD(r, t) je (r, t)
∂je (r, t)
+ ∇ · Π(r, t) = en
−
∂t
m
τe1
genügt.
Hier bedeutet 1/τe1 die Relaxations– (Transport–) Rate des Stroms (Matthiessen–Regel):
1
1
1
= e + i
τe1
τe1 τe1
e
1/τe1
beschreibt elastische Streuung der Ladungsträger an Gitterfehlstellen, Versetzungen, etc.
i
1/τe1
beschreibt inelastische Streuung der Ladungsträger an Phononen, Spinfluktuationen, etc.
Nota bene: Zweiteilchenstöße führen nicht zur Stromrelaxation (Ausnahme: Umklappprozesse).
Weiterhin repräsentiert Π(r, t) die elektronische Impulsstromdichte (Spannungstensor), welche
sich in der folgenden Weise in einen reaktiven diagonalen (Druck δP (r, t)) und einen dissipativen
spurfreien (Π0 (r, t)) Anteil aufspalten läßt:
Π(r, t) =
e
δP (r, t)1 + Π0 (r, t)
m
Die Druckänderung δP (r, t) läßt sich über die hydrodynamische Schallgeschwindigkeit cs
c2s
vF2
n
=
=
3
mNF
durch die Dichteänderung ausdrücken:
e
n δne (r, t)
δP (r, t) = c2s δne (r, t) =
m
m NF
Hier bedeuten vF die Fermigeschwindigkeit und NF die elektronische Zustandsdichte an der
Fermikante für beide Spinprojektionen.
Nach Einsetzen in die Relaxationsgleichung hat man:
Ã
!
∂
1
n 2
+
je (r, t) + ∇ · Π0 (r, t) =
e D(r, t) − e∇δP (r, t)
∂t τe1
m
Ã
!
δne (r, t)
ne2
D(r, t) − ∇
=
m
NF e2
69
Im Folgenden werden wir den dissipativen Anteil zum Spannungstensorfeld, welcher mit der
elektronischen Scherviskosität verknüpft ist, vernachlässigen und uns der Lösung der resultierenden Differentialgleichung widmen. Wir führen eine effektive elektrische Feldstärke ein
über:
δne (r, t)
D0 (r, t) ≡ D(r, t) − ∇
NF e 2
Dann lautet unsere Relaxationsgleichung:
"
#
∂
1
ne2 0
+
je (r, t) =
D (r, t)
∂t τe1
m
Annahme: harmonische Zeitabhängigkeit der effektiven elektrischen Feldstärke:
D0 (r, t) = D00 (r)e−iωt

je (r, t)
=
e
−t/τe1
je (r, 0) −
ne2
m
−iω +
|
{z

1
τe1
D00 (r) +
}
ne2
m
−iω +
|
ne2
m
=
−iω +
|
{z
ω→0
1
τe1
D0 (r, t) =
}
D0 (r, t)
{z
}
“steady state00
klingt ab
tÀτtr
1
τe1
ne2
τe1 D0 (r, t)
|m{z }
Drude
σ0
σ(ω)
Stromdichte im Fall t À τe1 (Drude):
tÀτ
je (r, t) =e1 σe (ω)D0 (r, t)
Drude–Leitfähigkeit
σe (ω) =
ne2
m
1
τe1
1
− iω
−1
Für Zeiten t À τe1
lautet dann die sog. konstitutive Gleichung für die elektronische Stromdichte:
je (r, t) = σ(ω)D(r, t) −
σ(ω)
∇δne (r, t)
NF e 2
Benutzt man die Identität NF vF2 /3 = n/m, und definiert man eine Diffusionskonstante über
D(ω) ≡
vF2
σ(ω)
1
=
NF e2
3 −iω +
1
τe1
=
c2s
−iω +
1
τe1
so erhält man die konstitutive Gleichung für die Stromdichte in der Form:
je (r, t) = σ(ω)D(r, t) − D(ω)∇δne (r, t)
|
{z
}
Drude−Gesetz
70
|
{z
Ficksches Gesetz
}
Interpretation: Ströme werden sowohl durch die treibende elektrische Verschiebung als auch
durch Gradienten in der Ladungsdichte hervorgerufen.
Nota bene: Dies ist eine Differentialgleichung in Ortsraum (Drude + Ficksche Diffusions–
Differentialgleichung).
Lösung dieser Gleichung im Fourier–Raum:
s(r, t) = s0 eiq·r−iωt
S(r, t) = S0 eiq·r−iωt
;
wobei s = δne , φ, . . . und S = je , D, . . . bedeutet. Dann ist zu lösen:
je = σ(ω)D − D(ω)iqδne
Kontinuitätsgleichung liefert Dichtefluktuation δne :
δne =
=
!
Ã
1−
D(ω)q2
δne =
iω
δne =
=
iq · je
iω
i
1 h
σ(ω)iq · D + D(ω)q2 δne
iω
σ(ω)
iq · D
iω
σ(ω)
iq · D
iω − D(ω)q2
D(ω)
iq · D
e 2 NF
iω − D(ω)q2
|
{z
}
χ0 (q,ω)
= e2 χ0 (q, ω)iq · D
Dichteresponse:
δne = e2 χ0 (q, ω)iq · D
Dichte–Suszeptibilität
1
σ(ω)
2
e iω − D(ω)q2
D(ω)
= NF
iω − D(ω)q2
−iω
c2s −iω+1/τ
e1
= NF 2
−iω
ω − c2s q2 −iω+1/τ
e1
χ0 (q, ω) =
Interpretation: Die Dichte–Suszeptibilität χ0 (q, ω) weist bei hydrodynamischen Frequenzen
−1
) einen sog. Diffusionspol auf, wenn
(ω < τe1
ω = −iD(ω)q2
71
Dies ist eine direkte Konsequenz der Ladungserhaltung im Metall. Im stoßlosen Bereich (ω À
−1
τe1
) dagegen beschreibt der Pol der Ladungs–Suszeptibilität die (kollektive) Schallanregung
des elektronischen Systems:
vF2
2
2 2
2
ω = cs q
; cs =
3
0
Folglich beschreibt χ (q, ω) den Übergang von diffusivem zu reaktiven Verhalten in der Dyamik
des Elektronensystems im quasiklassischen Limes ω ¿ EF /h̄, |q| ¿ kF .
Nota bene: im stoßlosen Limes (τe1 → ∞) lautet die Dichte Suszeptibilität
χ0∞ (q, ω) = lim χ0 (q, ω) = NF
τe1 →∞
c2s
ω 2 − c2s q2
Man beachte, daß die Dichte–Suszeptibilität mit Stößen sich nicht durch die Ersetzung ω →
z = ω + i/τe1 in der Funktion χ0∞ (q, ω) ergibt:
χ0 (q, ω) 6= χ0∞ (q, z)
;
z=ω+
i
τe1
Homogener Limes q → 0 von χ0 (q, ω):
χ0 (q → 0, ω) = NF
1
c2s
n
iω =
2
2
mω +
ω + τe1
iω
τe1
Behandlung der Stromdichte:
Multiplikation der Gleichung für je mit q̂ : q̂ (longitudinale Projektion):
q̂(q̂ · je ) = σ(ω)q̂(q̂ · D) − D(ω) iqδne
= σ(ω)q̂(q̂ · D) − D(ω)iq
σ(ω)
iq · D
iω − D(ω)q2
|
{z
}
≡δne
= σ(ω)q̂(q̂ · D) − σ(ω)
Ã
D(ω)q2
q̂(q̂ · D)
iω − D(ω)q2
!
D(ω)q2
= σ(ω) 1 −
q̂(q̂ · D)
iω − D(ω)q2
iωσ(ω)
q̂(q̂ · D)
=
iω − D(ω)q2
D(ω)
= iωe2 NF
q̂(q̂ · D)
iω − D(ω)q2
|
{z
}
χ0 (q,ω)
= iωe2 χ0 (q, ω)q̂(q̂ · D)
Multiplikation der Gleichung für je mit 1 − q̂ : q̂ (transversale Projektion):
(1 − q̂ : q̂) · je = σ(ω)(1 − q̂ : q̂) · D
72
Addition dieser Resultate liefert die totale Stromdichte:
(
je
)
iω
= σ(ω) (1 − q̂ : q̂) +
q̂ : q̂ · D
iω − D(ω)q2
=
=
n
o
σ(ω)(1 − q̂ : q̂) + iωe2 χ0 (q, ω)q̂ : q̂ · D
n
o
0
σ⊥
(ω)(1 − q̂ : q̂) + σk0 (q, ω)q̂ : q̂ · D
ne2
1
m −iω + τ1e1
iω
σk0 (q, ω) = σ(ω)
= iωe2 χ0 (q, ω)
2
iω − D(ω)q
0
σ⊥
(ω) = σ(ω) =
Letzter Schritt: Coulomb–Gesetz:
iq · D = iq · E + 4πδne











2
4πe
δne 
= iq · E + 2 (−iq) 2

q
e 




| {z }




V (q)
)
(
= iq · E − V (q)iq
δne
e2
Elektrische Verschiebung:
δne
e2
V (q)
= q̂(q̂ · E) − iq 2 e2 χ0 (q, ω)iq · D
e
= q̂(q̂ · E) + V (q)χ0 (q, ω)q2 q̂(q̂ · D)
q̂(q̂ · D) = q̂(q̂ · E) − V (q)iq
³
´
1 − V (q)χ0 (q, ω)q2 q̂(q̂ · D) = q̂(q̂ · E)
q̂(q̂ · E)
1 − V (q)χ0 (q, ω)q2
q̂(q̂ · D) =
Definition: Freie Lindhard–Mermin–Funktion:
L0 (q, ω) = χ0 (q, ω)q2
D(ω)q2
= NF
iω − D(ω)q2
−iω
c2s q2 −iω+1/τ
e1
= NF 2
−iω
ω − c2s q2 −iω+1/τ
e1
Nota bene: Die Lindhard–Mermin–Funktion unterscheidet sich von der gewöhnlichen Lindhard–
Funktion durch die gleichzeitige Berücksichtigung von Stoßprozessen und der Ladungserhaltung.
73
Definition: Abschirmungsfunktion (dielektrische Funktion):
²(q, ω) = 1 − V (q)L0 (q, ω)
Dielektrische Funktion, ausgedrückt durch die longitudinale Leitfähigkeit:
²(q, ω) = 1 − V (q) χ0 (q, ω) q2
|
{z
}
σk0 (q,ω)/iωe2
4πiσk0 (q, ω)
= 1+
ω
4πiσk (q, ω)
= 1+
²(q, ω)
ω
4πiσk0 (q, ω)
²(q, ω) = 1 +
ω
1
=
4πiσk (q,ω)
1−
ω
Daher hat man in allen Gleichungen zu ersetzen:
q̂(q̂ · D) =
Dichteresponse:
q̂(q̂ · E)
²(q, ω)
δne = e2 χ(q, ω)iq · E
Renormierte Ladungssuszeptibilität:
χ(q, ω) =
χ0 (q, ω)
χ0 (q, ω)
=
²(q, ω)
1 − V (q)L0 (q, ω)
Umschreibung der renormierten Ladungssuszeptibilität:
χ(q, ω) = NF
ωp2 =
n
−iω
c2s −iω+1/τ
e1
ω 2 − ωp2 + c2s q2
o
−iω
−iω+1/τe1
4πne2
m
Nota bene: Langreichweitige Coulomb–Wechselwirkung der Elektronen bewirkt die Verschiebung der elektronischen diffusiven Mode/Schallmode zur Plasmafrequenz!
Dichte–Response im Fall A → 0:
E → −iqφ
δne = e2 L(q, ω)φ
74
Renormierte Lindhard–Mermin Funktion
L(q, ω) =
L0 (q, ω)
²(q, ω)
= NF
n
−iω
c2s q2 −iω+1/τ
e1
ω 2 − ωp2 + c2s q2
o
−iω
−iω+1/τe1
↔
Identifikation der phänomenologischen Ladungssuszeptibilität χ ee :
δne =
=
=
χee ≡
iq · P
iqχee E
iqe2 χ(q, ω)E
e2 χ(q, ω)
↔
Identifikation des elektronischen Suszeptibilitätstensors ε
↔
ε=
1
1
²(q, ω)
Stromresponse:
je = σ⊥ (ω)(1 − q̂ : q̂) · E + σk (q, ω)q̂(q̂ · E)
Transversale dynamische Leitfähigkeit:
σ⊥ (ω) =
0
σ⊥
(ω)
ne2
1
= σ(ω) =
m −iω +
1
τe1
Longitudinale dynamische Leitfähigkeit:
σk (q, ω) =
σ(ω)
iω
²(q, ω) iω − D(ω)q2
= iωe
2
D(ω)
NF iω−D(ω)q
2
²(q, ω)
= iωe χ(q, ω)
2
4.4
Die Hydrodynamik neutraler Flüssigkeiten
Eine Flüssigkeit (Gas) sei durch die Massendichte
nm (r, t) ≡ %(r, t) = mn(r, t)
spezifiziert. Die Erhaltung der Masse (Teilchenzahl) wird durch die Kontinuitätsgleichung
beschrieben:
∂%(r, t)
+ ∇ · jm (r, t) = 0
∂t
75
Massenstromdichte oder Impulsdichte:
jm (r, t) = %(r, t)v(r, t)
v(r, t) ist das Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit.
Verallgemeinerung der Newtonschen Beschleunigungsgleichung:
%
dv
= −∇P + %g
dt
P (r, t) ist der Druck auf die Flüssigkeit und g ist die Gravitationsbeschleunigung.
Berechnung der totalen Ableitung:
3
X
dvµ
∂vµ ∂xi
=
dt
i=1 ∂xi ∂t
3
X
∂
vµ
∂xi
i=1
= (v · ∇)vµ
=
vi
Resultat: Eulergleichung der Hydodynamik
∂v
dv
1
+ (v · ∇)v ≡
= − ∇P + g
∂t
dt
%
Spezialfall: Hydrostatik
∇P (r, t) = %(r, t)g
Alternative Form der Eulergleichung: Erhaltungssatz für die Impulsdichte
∂jmµ (r, t) ∂Πµν (r, t)
+
=0
∂t
∂xν
Πµν : Tensor der Impulsstromdichte (Spannungstensor).
Identifikation der Form von Πµν :
∂
∂%
∂vµ
(%vµ ) = vµ
+%
∂t
∂t
∂t Ã
!
∂vµ 1 ∂P
∂(%vν )
+ % −vν
−
= −vµ
∂xν
∂xν
% ∂xµ
∂P
∂(%vν )
∂vµ
= −
− vµ
− %vν
∂xµ
∂xν
∂xν
∂P
∂
= −
−
(%vν vµ )
∂xµ ∂xν
∂
= −
{P δµν + %vµ vν }
∂xν
76
Resultat: Impulsstromdichte (Spannungstensor)
Πµν = P δµν + %vµ vν
Zähe Flüssigkeiten: Impulsstromrelaxation:
Πµν = P δµν + %vµ vν + Π0µν
Dissipativer Anteil des Impulsstroms:
(
Π0µν
)
∂vµ
∂vν
2
= −η
+
− δµν (∇ · v) − ζδµν (∇ · v)
∂xν ∂xµ 3
Transportparameter: η = Scherviskosität, ζ = Volumenviskosität.
Einsetzen in den Erhaltungssatz für die Impulsdichte
∂Π0µν
−
∂xν
(
)
∂
∂vµ
∂vν
2
∂
= η
+
− δµν (∇ · v) + ζ
(∇ · v)
∂xν ∂xν ∂xµ 3
∂xµ
(
)
∂
∂ 2 vµ
2 ∂
∂
= η
+
(∇ · v) −
(∇ · v) + ζ
(∇ · v)
2
∂xν
∂xµ
3 ∂xµ
∂xµ
µ
¶
∂
η
= η∇2 vµ + ζ +
(∇ · v)
3 ∂xµ
Navier–Stokes–Gleichung für zähe Flüssigkeiten und Gase
µ
¶
∂v
dv
1
η
1
η
+ (v · ∇)v ≡
= − ∇P + g + ∇2 v +
ζ+
∇(∇ · v)
∂t
dt
%
%
%
3
Spezialfall: inkompressible Flüssigkeiten:
∂%(r, t)
= 0 → ∇ · v(r, t) = 0
∂t
Navier–Stokes–Gleichung für inkompressible Flüssigkeiten
(
)
(
)
dv η 2
∂v
η
%
− ∇ v =%
+ (v · ∇)v − ∇2 v = −∇P + %g
dt
%
∂t
%
4.5
London–Theorie für die Bose–Supraflüssigkeit 4 He
Hier gilt:
k
e
M
Ns
δµ
Js
JsM
=
=
=
=
=
=
=
77
1
0
m4
ns4
δµ4
js4
jsm
Der Teilchen–Suprastrom:
js4 = ns4 vs
Superfluide Geschwindigkeit:
h̄
∇ϕ
m4
vs =
Wichtige Eigenschaft:
∇ × vs = 0
Die Zeitabhängigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion:
∂ϕ
1
= δµ4 + m4 vs2
∂t
2
Eulergleichung für die superfluide Geschwindigkeit vs :
−h̄
∂vs
dvs
1
1
+ (vs · ∇)vs ≡
= − ∇δµ4 = −
∇ {δP − σ0 δT }
∂t
dt
m4
m4 n
Der Massen–Suprastrom:
gs = m4 js4 = m4 ns4 vs = ns4 h̄∇ϕ
Erste London–Gleichung (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des Kondensats, (linearisiert!))
∂gs
ns
= −ns4 ∇µ4 = − 4 ∇ {δP − σ0 δT }
∂t
n
4.6
London–Theorie der geladenen Bose–Supraflüssigkeit
Die Form der London–Theorie aus Kapitel 3.2.2 läßt sich auf die Supraleitung eines hypothetischen Bose–Kondensats aus Teilchen der Ladung q anwenden. Man hat zu identifizieren:
k = 1
Q = q
Der Teilchen–Suprastrom:
js = n s v s
Superfluide Geschwindigkeit:
¾
½
1
q
v =
∇S − A
m
c
Die Zeitabhängigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion:
s
1
∂ϕ
= qΦ + mvs2
∂t
2
Eulergleichung für die superfluide Geschwindigkeit vs :
−h̄
½
∂vs
dvs
q
1
+ (vs · ∇)vs ≡
=
E + vs × B
∂t
dt
m
c
78
¾
Der Ladungs–Suprastrom:
¾
½
jsq
ns q
q
= qj = qn v =
∇S − A
m
c
s
s s
Erste London–Gleichung (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des Kondensats, (linearisiert!))
∂jsq
ns q
=
E
∂t
m
Zweite London–Gleichung:
ns q 2
∇ × jsq = −
B
mc
Londonsche Eindringtiefe:
s
mc2
λL =
4πns q 2
Fluxoid–Quantum
Φ0 =
4.7
hc
q
Fermisysteme in Besetzungszahldarstellung
Ziel: Beschreibung von N ≈ 1023 Fermionen (Elektronen, 3 He–Atome, Neutronen, etc.).
Zur Erinnerung: Vielteilchenaspekt der London–Theorie:
Wahrscheinlichkeutsdichte np (r, t) → Kondensat − Teilchenzahldichte N s (r, t)
N s (r, t) unbekannt.
Quantenmechanische Beschreibung von Vielteilchensystemen
Ausgangspunkt: Teilchen 1 und 2 in Einteilchenzuständen φa und φb .
Zweiteilchenzustände beschrieben durch ψαβ (1, 2), α = a, b, β = a, b.
Unterscheidbare Teilchen:
|ψαβ (1, 2)|2 6= |ψαβ (2, 1)|2
;
α, β = a, b
;
α, β = a, b
Ununterscheidbare Teilchen:
|ψαβ (1, 2)|2 = |ψαβ (2, 1)|2
79
Vertauschungsoperator (Permutation) für ununterscheidbare Teilchen:
P ψαβ (1, 2) = ψαβ (2, 1) = eiζ ψαβ (1, 2)
P ψαβ (2, 1) = ψαβ (1, 2) = e2iζ ψαβ (1, 2)
½
+1 (ζ = 0) Bosonen
iζ
e =
−1 (ζ = π) Fermionen
;
α, β = a, b →
Vergleich: klass. Teilchen, Bosonen, Fermionen
a) zwei klassische (unterscheidbare) Teilchen 1, 2 in Zuständen (a, b): vier Möglichkeiten
ψαβ (1, 2)
ψαβ (1, 2)
ψαβ (1, 2)
ψαβ (1, 2)
=
=
=
=
φa (1)φa (2)
φa (1)φb (2)
φa (2)φb (1)
φb (1)φb (2)
b) zwei Bosonen (ununterscheidbar) 1, 2 in Zuständen a, b: drei Möglichkeiten
ψαβ (1, 2) = φa (1)φa (2)
1
ψαβ (1, 2) = √ {φa (1)φb (2) + φa (2)φb (1)} = ψαβ (2, 1)
2
ψαβ (1, 2) = φb (1)φb (2)
c) zwei Fermionen (ununterscheidbar) 1, 2 in Zuständen a, b: eine Möglichkeit
1
ψαβ (1, 2) = √ {φa (1)φb (2) − φa (2)φb (1)} = −ψαβ (2, 1)
2¯
¯
1 ¯¯ φa (1) φa (2) ¯¯
= √ ¯
¯
2 ¯ φb (1) φb (2) ¯
→ “Slater–Determinante”
Nota bene: Bosonen haben erhöhte Tendenz, sich im gleichen quantenmechanischen Zustand
aufzuhalten.
Nota bene: Für Fermionen gilt das Pauliprinzip:
ψαα (1, 2) = 0 ;
α = a, b
| . . . | → “Slater–Determinante”, kompliziert für N = 1023 Fermiteilchen.
Vielteilchenzustand für Fermionen: Besetzungszahldarstellung
a) Allgemein
| . . . |Slater → |na , nb , nc , . . . , ni , . . . , nj , . . . >
80
b) Betrachtung von 2 Fermionen 1, 2 in Zuständen a und b mit Besetzungszahlen na und nb
im Zweiteilchenzustand
ψab (1, 2) → |na , nb >
Erzeugungssoperatoren für Fermionen (“teilchenartig”)
|vac > = |0, 0 >
> = |1, 0 >
ĉ†a ĉ†b |0, 0 >=
ĉ†a |0, 0
ĉ†b |0, 0
−ĉ†b ĉ†a |0, 0
ĉ†a |1, 0
> = |0, 1 >
> = |1, 1 >
> = (ĉ†a )2 |0, 0 >= 0
Antisymmetrie ↔ Kommutatorrelationen
n
ĉ†α ĉ†β + ĉ†β ĉ†α = ĉ†α , ĉ†β
Pauliprinzip:
³
ĉ†α
´2
=0 ;
o
+
=0
α = a, b
Vernichtungsoperatoren für Fermionen
ĉa |1, 1 >
ĉb |1, 1 >
ĉa ĉb |1, 1 >= −ĉb ĉa |1, 1 >
ĉa |0, 0 >
=
=
=
=
|0, 1 >
|1, 0 >
|0, 0 >
(ĉa )2 |1, 0 >= 0
Antisymmetrie ↔ Kommutatorrelationen
{ĉα , ĉβ }+ = 0
Besetzungszahloperator
ĉ†a ĉa |1, 1 > = ĉ†b ĉb |1, 1 >= 1|1, 1 >
ĉ†a ĉa |0, 1 > = ĉ†b ĉb |1, 0 >= 0
ĉa ĉ†a |1, 1 > = ĉb ĉ†b |1, 1 >= 0
ĉa ĉ†a |0, 1 > = 1|0, 1 >
ĉb ĉ†b |1, 0 > = 1|1, 0 >
n̂α = ĉ†α ĉα
Pauliprinzip ↔ Vertauschungsregel
n
ĉα , ĉ†β
o
+
= δα,β
Physikalische Interpretation:
X
{(Zahl der Teilchen) + (Zahl der Locher)} = 1
81
ERSTE QUANTISIERUNG
ZWEITE QUANTISIERUNG
Klassische Wellenfunktion
Feldoperator
Ψσ (r)
Ψ̂σ (r)
Wahrscheinlichkeitsdichte
Teilchenzahldichte
p(r) =
P
σ
Ψ∗σ (r)Ψσ (r)
n̂(r) =
Normierung (Hilbertraum)
R
σ
Ψ̂†σ (r)Ψ̂σ (r)
Normierung (Fockraum)
R
d3 r p(r) = 1
Hamiltonoperator (Hilbertraum)
2
P
d3 r n̂(r) = N̂
Hamiltonoperator (Fockraum)
2
∇
Ĥ = − h̄2m
Ĥ =
Antisymmetrie der
Vielteilchen–Wellenfunktion
Pauliprinzip
P R
σ
³
2
2
∇
d3 rψ̂σ† (r) − h̄2m
´
ψ̂σ† (r)
(Anti–)
Vertauschungsrelationen
Tabelle A4: Gegenüberstellung Einteilchen ↔ Vielteilchen–Quantenmechanik
4.8
Zur Äquivalenz von Bogolon– und Rotonspektrum
Ausgangspunkt:
Bogolon–Energiespektrum (konstante Energielücke ∆)
Ep =
q
ξp2 + ∆2
Verhalten von Ep in der Nähe des Fermiimpulses pF :
ξp = ²p − µ = vF (p − pF )
Ep =
q
q
ξp2 + ∆2 =
82
∆2 + vF2 (p − pF )2
s
vF2
(p − pF )2
∆2
(p − pF )2
= ∆ 1+
≈ ∆+
µ
¶
∆
2
vF
2
Resultat:
(p − pF )2
2MB
Ep = ∆ +
Masse eines Bogoliubov–Quasiteilchens:
∆
vF2
1
∆
³
´ m
=
2 2 1 mvF2
MB =
2
∆
m
2µ(T )
=
4.9
Gapgleichung für konventionelle Supraleiter
Ausgangspunkt: isotrope (s–Wellen–Singulett–) Paarwechselwirkung
(s)
Γkp = −Γ0 Θ(²c − |ξk |)Θ(²c − |ξp |)
Gapgleichung mit diese Modell-Wechselwirkung:
∆k = N (0)Γ0
µ
Z ²c
Ep
∆p
tanh
dξp
2Ep
2kB T
−²c
¶
Umschreibung:
³
Z ²c
tanh 2kEBpT
1
=
dξp
N (0)Γ0
2Ep
−²c
=
´
´
³

 tanh ξp
Z ²c
2kB T
dξp 
−²c
Definition:
P (T ) ≡
Z ²c
−²c

−
2ξp

dξp 
tanh
³
tanh
ξp
2kB T
³
ξp
2kB T
´
2ξp
´
−
2ξp
tanh
³
−
tanh
Ep
2kB T
1
N (0)Γ0
|
ln
³
{z
2eγ ²c
πkB Tc
}
´
=
|
−²c
tanh
dξp
³
ln
83
{z
2eγ ²c
πkB T
³
ξp
2kB T
2ξp
´
´
2Ep
´
−P (T )
}
Ep
2kB T
2Ep
Energielückengleichung hat dann die Form:
Z ²c
³

´ 



µ
T
ln
Tc
¶
= −P (T )
Gleichung für die Sprungtemperatur:
k B Tc =
1
eγ
− N (0)Γ
0
2²
ce
{z
}
π |
≡∆(0)
Eulersche Konstante:
γ =
( m
X 1
− ln m = .57772156649 . . .
n
= 1.78107241799 . . .
eγ
lim
)
m→∞
n=1
Energielücke bei T = 0:
∆(0) =
π
kB Tc = 1.76387698886 . . . kB Tc
eγ
Eliminierung von ²c bei Tc :
µ
T
ln
Tc
¶
µ
¶
µ
T
1
T
= − 1−
−
1−
Tc
2
Tc
T →Tc
¶2
− . . . = −P (T )
Trick (Residuensatz):
tanh
³
Ep
2kB T
2Ep
´
X
≡ kB T
n
X
1
1
=
k
T
B
2
2
2 2
2
2
(2n + 1) (πkB T ) +Ep
n h̄ ωn + Ep
|
{z
}
2
h̄2 ωn
Berechnung von P (T ) in der Nähe von Tc :
P (T )
X
1
2 2
2
2
2
n (h̄ ωn + ξp )(h̄ ωn + Ep )
Z
X ²c
dξp
+ O(∆4 )
2∆2 kB T
2 2
2 )2
0 (h̄ ωn + ξp
n
∆2 kB T
=
∆→0
=
2
Berechnung des ξp –Integrals:
Z ∞
0
dξp
π
= 3 3
2
2
2
(h̄ ωn + ξp )
4h̄ |ωn |
2
Damit ist:
X
1
1
πkB T ∆2
3
3
2
n |(2n + 1)| (πkB T )
µ
¶
∞
1
∆ 2 X
1
=
2
3
2 πkB T
n=0 (2n + 1)
P (T ) =
|
{z
≡7ζ(3)/8
µ
7ζ(3)
∆
=
8
πkB T
84
¶2
}
Riemannsche ζ–Funktion:
ζ(z) =
∞
X
1
k=1
;
kz
ζ(3) = 1.2020569031 . . .
Resultat für die Energielücke in der Nähe der Sprungtemperatur:
Ã
∂
T
∂T
Ã
∆(T )
πkB Tc
∆(T )
πkB Tc
!2
µ
8
T
1−
7ζ(3)
Tc
=
!2
T →Tc
=
−
¶
8
7ζ(3)
Interpolationsformel für die Temperaturabhängigkeit der Energielücke:
s
"
πkB Tc
∆(T ) = ∆(0) tanh
∆(0)
¶#
µ
8
Tc
−1
7ζ(3) T
Spezifische Wärme CBCS (T ) (vgl. Abschnitt 4.7.1):
CBCS (T ) = 2
X
Ã
ϕk
k
Ek2 1 ∂∆2 (T )
−
T
2 ∂T
!
Spezifische Wärme an der Sprungtemperatur:
CBCS (T )
T →Tc−
=
2
|
X
k
CN (Tc+ )=
{z
ξk2
T
}
NF (πkB Tc )2
3
Tc
CN (Tc+ )
=
ϕk
− NF
|
1 ∂∆2 (T )
2 {z∂T }
8
− 7ζ(3)
Ã
3 8
· 1+
2 7ζ(3)
(πkB Tc )2
Tc
!
Diskontinuität der spezifischen Wärme bei Tc :
∆C
CBCS (Tc− ) − CN (Tc+ )
3 8
≡
=
= 1.426...
+
CN
CN (Tc )
2 7ζ(3)
Triviale “Strong–Coupling–Korrekturen”:
Wir wissen:
1 ∂∆2 (T )
∆C = C(Tc− ) − C(Tc+ ) = − NF
|T →Tc−
2
∂T
Selbstkonsistenzgleichung liefert bei Tc :
µ
∆2 (T )
=
strong coupling
=
T
8
1−
7ζ(3)
Tc
µ
¶
T
2
(πkB Tc ) asc 1 −
Tc
(πkB Tc )2
85
¶
Temperaturableitung:
NF
1 ∂∆2 (T )
3
(πkB Tc )2
|T →Tc− = − asc NF
2 ∂T
2
3Tc
|
{z
}
CN (Tc+ )
3
= − asc CN (Tc+ )
2
Resultat für den “Strong–Coupling–Parameter” asc :
2 ∆C
3 CN
asc =
• Weiterer “Strong–Coupling–Parameter”:
∆(0)
k B Tc
δsc ≡
Interpolationsformel für die Energielücke mit trivialen “Strong–Coupling–Korrekturen”:

s
¶
µ

π
Tc
∆(T ) = δsc kB Tc tanh 
asc
−1 
δsc
T
4.10
Gapgleichung für unkonventionelle Supraleiter
Allgemeine Paarwechselwirkung für anisotrope Singulett– und Triplett–Supraleiter (vgl. Vorlesung, Abschnitt 4.4.6) führt auf die Energielückengleichung:
1
=
λs
=
−²c
Z ²c
−²c
D
dξp 
D
dξp
Θp ∆20p
D
E
FS
h∆20k iFS
Θp ∆2p
E
δs,0 +
Θp d2p
E
FS
hd2k iFS

δs,1 
FS
h∆2k iFS
µ
¶
X
Ek
1
tanh
≡ kB T
2
2
2kB T
ωn ωn + Ep
1
2Ep
1
(2n + 1)πkB T
=
h̄
Θp =
ωn
Z ²c
Matsubara − Frequenzen
Energielückengleichung in der Nähe von Tc
Z ²c
E
D
1
1
2
∆
Θ
=
dξ
p
p p FS
λs
h∆2k iFS −²c
Z ²c
iE
h
D
1
0
0
2
)
+
(Θ
−
Θ
Θ
=
∆
dξ
p
p
p
p
p
FS
h∆2k iFS −²c
86
Θ0p ≡ lim Θp
∆0 →0
Z ²c
=
|
−²c
³
ln
Z ²c
D
E
1
dξp ∆2p (Θ0p − Θp )
− 2
FS
h∆k iFS −²c
}
dξp Θ0p
{z
2γ ²c
π kB T
|
´
µ
{z
}
P ( TT
)
c
¶
µ
¶
T
2γ ²c
= ln
−P
π kB T
Tc
µ ¶
Z ²c
D
E
T
1
2
0
dξ
∆
(Θ
−
Θ
)
P
=
p
p
p
p
FS
Tc
h∆2k iFS −²c
*
+
∆4p
2kB T X Z ∞
=
dξp
h∆2k iFS n 0
(ωn2 + ξp2 )(ωn2 + ξp2 + ∆2p ) FS
Hier bedeutet γ = exp(0.57721...) = 1.78106... die Euler–Konstante.
Bedingung für die Sprungtemperatur Tc
P (1) ≡ 0
→
Ã
!
1
2γ ²c
= ln
λs
π kB Tcs
µ
¶
2γ
1
kB Tcs =
²c exp − s
π
λ
Energielückengleichung bei beliebigen Temperaturen
µ
Tc
ln
T
¶
µ
=P
T
Tc
¶
A. Energielückengleichung bei Tc :
∞
X
(−1)µ ∆2µ
1
p
=
2
2
2
2
2
1+µ
ωn + ξp + ∆p
µ=0 (ωn + ξp )
µ
P
T
Tc
¶
Z ∞
∞
2kB T X X
dξp
µ
4+2µ
=
(−1) < ∆p
>FS
2
2
< ∆k >FS ωn µ=0
(ωn + ξp2 )2+µ
0
|
{z
}
∗
Berechnung von *
Z ∞
0
(ωn2
π
(2µ + 1)!!
dξp
1
=
2+µ
2
3+2µ
+ ξp )
2 |ωn |
(2µ + 2)!!
µ
P
T
Tc
¶
=
∞
X
>FS (2µ + 1)!! X
(−1)µ < ∆4+2µ
p
1
<
∆2k
>FS
µ=0
(πkB
T )2+2µ
(2µ + 2)!!
|
n
1
|2n + 1|3+2µ
{z
∗∗
Berechnung von **
X
n
1
23+2µ − 1
= 2λ(3 + 2µ) = 2
ζ(3 + 2µ)
|2n + 1|3+2µ
23+2µ
87
}
λ(z) und ζ(z) bedeuten hier die λ–Function und die Riemannsche ζ–Funktion.
µ
P
T
Tc
¶
∆p =∆0 fp
=
4+2µ
>FS
(2µ + 1)!! 23+2µ − 1
µ < fp
2
ζ(3
+
2µ)
(−1)
3+2µ
2
(2µ + 2)!! 2
< fp >FS
∞
X
µ=0
|
{z
!2
Ã
=
a1
a2
=
=
∆0 (T )
+ a2
a1
πkB T
< fp4 >FS
7
ζ(3)
8
< fp2 >FS
Ã
}
Ã
∆0 (T )
πkB T
!2+2µ
aµ+1
∆0 (T )
πkB T
!4
+ ...
< fp6 >FS
1 · 3 31
−2
ζ(5)
2 · 4 32
< fp2 >FS
Struktur der Energielückengleichung:
T
Tc
T = Tc (1 − x)
x = 1−
∞
X
xν
Tc
) = − ln(1 − x) =
T
ν=1 ν
∆0 (x)
D(x) =
πkB Tc
Ã
!2
Ã
!4
D(x)
D(x)
P (x) = a1
+ a2
+ ...
1−x
1−x
ln(
Taylorentwicklung von D2 (x)
D2 (x) =
∞
X
b ` x`
`=1
Koeffizientenvergleich liefert:
1
1
2
1
3
1
4
= a 1 b1
= 2a1 b1 + a2 b21 + a1 b2
= 3a1 b1 + 2a1 b2 + 4a2 b21 + 2a2 b1 b2 + a1 b3
= ...
In führender Ordnung in [∆0 (T )/kB T ]2 lautet das Resultat für die maximale Energielücke
∆0 (T ):
µ
¶
T
x
8 < fp2 >FS
1
−
= (πkB Tc )2
∆20 (T ) = (πkB Tc )2
a1
7ζ(3) < fp4 >FS
Tc
88
Mithilfe des experimentell zugänglichen Sprungs in der Wärmekapazität
∆C
= − lim−
CN
T →Tc
*
+
∆p ∂∆p
kB T kB ∂T
=
FS
3 8 < f 2 >2FS
2 7ζ(3) < f 4 >FS
kann man das Resultat für ∆0 (T ) in der Nähe von Tc schreiben als:
s
∆0 (T ) = πkB Tc
µ
2 ∆C
1
T
1
−
3 CN < f 2 >FS
Tc
¶
B. Energielückengleichung bei T = 0:
¶
µ
1
λs
2γ ²c
ln
π kB Tc
* 2+
Z ²c
∆p
1
dξp
2
< ∆p >FS 0
Ep FS
=
=
=
1
Z ²c
< ∆2p >FS
0
1
=
1
<
∆2p
1
∆p ¿²c
=
<
∆2p
<
fp2
=
ln
ξp2 + ∆2p
h
*

∆2p ln 
*
Ã
∆2p ln
*
Ã
fp2 ln
>FS
D
E
fp2
²c +
FS
ξp2 + ∆2p
q
2²c
∆p
|²c
FS 0
+

FS
!+
2²c
∆ 0 fp
iE
²2c + ∆2p
∆p
!+FS
FS
ln fp
2²c
FS
−
2
∆0
< fp >FS
Zusammenfassung:
µ
q
∆2p ln ξp +
>FS
1
∆p =∆0 fp
=
>FS
+
∆2p
dξp q
D
< ∆2p >FS
=
*
2γ ²c
ln
π kB Tc
¶
D
µ
E
¶
fp2 ln fp
2²c
FS
= ln
−
∆0
< fp2 >FS
Endresultat:

D
fp2 ln fp
E

π
FS 
kB Tc exp −
∆0 (T ) =
γ
< fp2 >FS
Ã
δsc
< ∆2p ln(∆p /∆0 ) >FS
∆0 (0)
π
≡
= exp −
kB Tc
γ
< ∆2p >FS
89
!
C. Interpolationsformel für die Temperaturabhängigkeit des Maximums ∆0 (T ) der Energielücke
∆0 (T ) = δsc
= δsc
4.11

v

v
u

u
µ
¶
u 8 < fp2 >FS Tc
π

kB Tc tanh  t
−
1
δsc 7ζ(3) < fp4 >FS T
π u 2 ∆C
1
kB Tc tanh  t
2
δsc 3 CN < fp >FS
µ

¶
Tc
−1 
T
Die London–Kondensat–Wellenfunktion aus BCS–Sicht
Ausgangspunkt: Phänomenologische London–Wellenfunktion
ψ(r, t) = a(r, t)eiφ(r,t)
q
=
N s (r, t)eiφ(r,t)
s
=
ns iϕ(r,t)/2
e
2
Ziel: Verknüpfung der Amplitude a(r, t) der phänomenologischen London–Wellenfunktion mit
dem Ordnungsparameter der BCS–Theorie.
BCS–Resultat für die superfluide Dichte (isotrope Supraleiter):
ns (T ) = n[1 − Y (T )]
Yosida–Funktion in der Nähe der Sprungtemperatur:
µ
¶2
µ
¶2 !#
∆
lim Y (T ) = 1 − 7ζ(3)
T →Tc
2πkB T
Amplitudenquadrat a2 in diesem Limes:
"
2
a
Ã
∆
n
=
1 − 1 − 7ζ(3)
2
2πkB T
µ
¶2
7
∆
=
nζ(3)
2
2πkB T
Resultat:
s
lim a(r, t) =
T →Tc
∆
7n
ζ(3)
2
2πkB Tc
Yosidafunktion für T → 0:
s
lim Y (T ) = Y0 (T ) =
T →0
90
µ
2π∆
∆
exp −
kB T
kB T
¶
Amplitudenquadrat a2 in diesem Limes:
"
n
a2 =
1−
2
Resultat:
r
lim a(r, t) =
T →0
s
"
µ
2π∆
∆
exp −
kB T
kB T
n
1−
2
s
µ
¶#
π∆
∆
exp −
2kB T
kB T
¶#
Interpretation: In der Nähe der Sprungtemperatur ist die Amplitude a der London–Wellenfunktion
direkt mit dem Ordnungsparameter ∆ der BCS–Theorie verknüpft.
Bei T = 0 ist die Amplitude a mit der Gesamt–Teilchenzahldichte n des Supraleiters verknüpft.
91