Rechenübung Human/Zahn

Übungsaufgaben 2000 – Experimentalphysik für die Studiengänge Human- und Zahnmedizin
Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, ASB-409 (463 2479 e-mail: [email protected]
DP M. Sommer
ASB-423...(463 2487 e-mail: [email protected]
Blatt
- 1Allgemeine Hinweise zur Lösung der Aufgaben
Die Rechenübung soll Ihnen das "Handwerkszeug" für die Lösung physikalischer Aufgaben liefern und
ein Gefühl für physikalische Zusammenhänge vermitteln. Dazu ist es erforderlich, dass Sie die gestellten Aufgaben zumindest versuchsweise lösen. Dabei auftretenden Probleme können Sie im Seminar
zur Diskussion stellen. Es reicht in keinem Fall aus, nur die gegebene Lösung der Aufgaben anz uschauen. Erst wenn Sie die Lösung einer Aufgaben nach einigen Tagen – quasi aus dem Kopf – reproduzieren können, werden Sie auch ähnliche Aufgaben selbständig lösen können.
Ihre Kenntnisse im Fach Experimentalphysik werden Sie in einer Klausur am Ende des Semesters
beweisen können. Es sind 6 bis 7 Aufgaben zu lösen. Insgesamt sind 50 Punkte erreichbar. 14 Punkte
reichen für die Note 4. Dazu müssten z.B. zwei Aufgaben vollständig gelöst werden. Ein großer Teil
der Klausuraufgaben lehnt sich an die in der Übung behandelten Aufgaben an.
Zulässige Hilfsmittel während der Klausur sind nur eine von unserer Seite gestellte Formelsammlung,
ein nicht programmierbarer Taschenrechner und Schreibzeug. Ihre sogenannten Tafelwerke aus der
Schule dürfen nicht verwendet werden! Die zugelassene Formelsammlung ist identisch mit der zum
Buch von P. Müller: "Physik - Verstehen durch Üben". Eine größere Anzahl von diesem Buch ist in
der Studentenbibliothek der TU erhältlich. Wir empfehlen Ihnen, bereits jetzt mit dieser Formelsammlung zu arbeiten. Die gegebenen Lösungen zu den Übungsaufgaben bauen darauf auf. Die Ursprungsformeln sind mit der dazugehörigen Signatur gekennzeichnet.
Aufgabe 1
Ein Auto mit der Geschwindigkeit vxo = 36 km/h prallt auf ein schweres, ortsfestes Betonhindernis. Nach dem Aufprall ist es um xk = 50 cm kürzer (Knautschzone). Die Bremskraft wird während des gesamten Knautschvorganges als konstant angesehen.
a) Wie groß war die Bremsbeschleunigung des Autos?
b) Wurde der Airbag ausgelöst, wenn dessen Sensor auf einen Schwellwert entsprechend der
4-fachen Fallbeschleunigung g eingestellt war?
LÖSUNG :
Aus der Aufgabenstellung müssen Sie folgende Dinge entnehmen:
•
Das Problem läßt sich kinematisch betrachten, es ist also ein reines Bewegungsproblem. Die
Größe der wirkenden Kräfte ist nicht gefragt. Deshalb gelten die Gleichungen aus der Formelsammlung M 1.
•
Die Aussage, daß die Bremskraft während des Knautschvorganges konstant ist bedeutet unter
Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes (F=m*a), daß auch die Bremsbeschleunigung während des Vorganges konstant ist. Damit handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
•
Der vom Beginn des Knautschvorganges bis zum Stillstand des Autos zurückgelegte Weg ist
gleich xk (Anfangs- und Endbedingung).
•
Die Anfangs- und Endgeschwindigkeiten mit vx0 und vEnd=0 sind ebenfalls gegeben. Zu beachten
-1
ist aber die Einheit der Geschwindigkeit. Bei Berechnungen wird prinzipiell ms verwendet, wobei
-1
-1
1 ms = 3,6 kmh sind.
Aus der Formelsammlung M 1 ist zu entnehmen:
SpezielleOrts − Zeit − Funktion,gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
a
x = x ⋅ t 2 + v x0 ⋅ t + x 0
2
Geschwindigkeit :
dx
vx =
= x&
dt
Der Anfangsort x0 ist frei wählbar. Sinnvoll ist die Wahl x0=0. Damit wird automatisch xEnd=xk =0,5 m.
Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion berechnet sich immer als erste Ableitung der Orts-Zeit-Funktion:
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-2-
vx = ax ⋅ t + vx 0
-1
Die Anfangsgeschwindigkeit vx0 beträgt 10 ms , die Endgeschwindigkeit vEnd=0. Damit stehen für die
Berechnung der beiden Unbekannten Bremsbeschleunigung und Dauer des Vorganges auch zwei
unabhängige Gleichungen zur Verfügung, d. h. das Problem ist nun lösbar.
xk =
aVerzögerung
2
2
⋅ tVerzögerung
+ v x0 ⋅ tVerzögerung
v End = 0 = aVerzögerung ⋅ tVerzögerung + v x0
Mit Hilfe der zweiten Gleichung läßt sich die unbekannte Dauer des Aufprallvorganges t Verzögerung eliminieren. Umgestellt nach der Bremsverzögerung lautet die Endformel:
aVerzögerung = −
v 2x0
2 ⋅ xk
Das Ergebnis lautet damit:
aVerzögerung = -100 m/s 2
2
Dieser Wert ist größer als das zehnfache der Erdbeschleunigung (9,81 m/s ). Deshalb wird der Airbag
ausgelöst.
Aufgabe 2
m1 =1
kg
m1 =1
l1 = 85 cm
kg
l2 = 15 cm
m2 =1 kg
zu Teil a,b
h =30cm
m2 =1
zu Teil c
h =30cm
Zwei Körper sind mit einem 1 m langen Seil über eine Umlenkrolle verbunden. Körper 1 befindet sich auf der Tischplatte (siehe Abbildung), Körper 2 wird in einer Höhe von h=30 cm über
dem Fußboden festgehalten. Bei t=0 wird Körper 2 losgelassen.
a)
b)
c)
kg
Welche Beschleunigung erfährt der reibungsfrei gleitende Körper 1?
Körper 2 erreicht bei t=t1 den Erdboden. Wie groß ist die Geschwindigkeit von Körper 1 zu diesem Zeitpunkt?
Körper 1 wird durch einen Vollzylinder ersetzt, und das Experiment wird wiederholt.
Körper 2 erreicht bei t=t2 den Erdboden. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Vollzylinders bei t=t2?
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-3LÖSUNG :
Bei der Lösung dieser Aufgabe muß man Folgendes beachten. Der Körper 2 beschleunigt jeweils
beide durch den Bindfaden verbundene Körper. Die beschleunigende Kraft ist damit immer die Gewichtskraft des Körpers 2. Beschleunigt werden aber durch die Kraft beide Körper. Dieser Gedankengang liegt der Lösung für a) zugrunde. Teil b) ließe sich rein kinematisch, d. h. über die Gesetze der
geradlinig beschleunigten Bewegung lösen. Einfacher ist aber wie in vielen anderen Fällen ein Ansatz
mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes. Dabei liegt der Gedanke zugrunde, daß die potentielle Energie
des Körpers 2 in kinetische Energie von Körper 1 und 2 umgewandelt wird. Im Teil c) wird dieser Zusammenhang ebenfalls genutzt, hier ist allerdings zu beachten, daß der Vollzylinder neben der kinetischen Energie der Translation auch kinetische Energie der Rotation, also seiner Abrollbewegung aufnimmt. Der spezielle Fall zeigt auch, daß man nicht immer aller Größen des Körpers kennen muß.
Hier genügt allein die Erkenntnis, daß es sich um einen Vollzylinder handelt, weder seine Länge noch
sein Durchmesser sind bekannt. Wie man in der Lösung sieht, kürzen sich diese Werte wieder heraus,
es genügt die Kenntnis der Masse des Zylinders.
a) F = m 2 ⋅ g = (m1 + m2 ) ⋅ a ⇒ a =
m2 ⋅ g
1
m
= ⋅ g = 4,905 2
m1 + m2 2
s
b) Körper 1 ist bei Aufprall von Körper 1 noch auf Tischplatt e
1
1
1 
2
2
2 1
m1 ⋅ v + m 2 ⋅ v = v ⋅  m1 + m 2 
2
2
2 
2
(m2 = m1 ) ⇒ g ⋅ h = v 2 ⇒ v = g ⋅ h = 1,716 m
s
1
1
1
c ) ⇒ E pot = m2 ⋅ g ⋅ h = E kin + Erot = m1 ⋅ v 2 + m2 ⋅ v 2 + J 1 ⋅ ω 2
2
2
2
1
v
J 1 = m1 ⋅ r 2 ,
Körper 1 rollt ⇒ ω =
2
r
1 1
v2 1
⇒ Erot = ⋅ m1 ⋅ r 2 ⋅ 2 = m1 ⋅ v 2
2 2
4
r
1
1
1
5
4
⇒ m2 ⋅ g ⋅ h = m1 ⋅ v 2 + m 2 ⋅ v 2 + m1 ⋅ v 2 ⇒ g ⋅ h = ⋅ v 2 ⇒ v =
⋅g⋅h
2
2
4
4
5
m
⇒ v = 1,534
s
⇒ E pot = m 2 ⋅ g ⋅ h = E kin =
Aufgabe 3
Ein Sportwagen durchfährt mit einer konstanten Bahngeschwindigkeit von vs=144 km/h eine
ausgebaute Kurve mit dem Radius r=100 m.
a) Welcher Radialkraft F ist ein Fahrer mit einer Masse von 80 kg ausge setzt?
b) Welchem Vielfachen der Gewichtskraft entspricht das?
c) In welche Richtung wirkt diese Kraft?
Wäre die Kurve nicht ausgebaut, würde das Auto mit der im Aufgabenteil b) berechneten Beschleunigung wegrutschen. Die Kurve kann in diesem Fall nur mit einer geringeren Geschwindigkeit durchfahren werden.
d) Berechnen Sie die Geschwindigkeit vMAX in physikalischen Einheiten km/h für eine maximal
zulässige Radialbeschleunigung von aMAX = -9 m/s².
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-4LÖSUNG :
a) Berechnung der Radialkraft
v s = 144 km / h = 40 ms
F aus der Bahngeschwindigkeit v s und dem Bahnradius r
−1
aus der Formelsammlung im Abschnitt M2 steht für die Radialbeschleunigung:
v2
ar = −
r
v s2
r
( 40 m s −1 ) 2
= − 1280 N
100 m
F = m ar = − m
= − 80 kg
Die Radialkraft hat also einen Betrag von 1280 N.
b) Vielfache von
F
a
= r =
mg g
g:
16 m s −2
≈ 1,6
9,81 m s − 2
oder anders ausgedrückt:
a r entspricht 1,6 g
c) Die Kraft zeigt zum Kurvenmittelpunkt. Das kann auch durch eine Skizze verdeutlicht werden.
d) Maximalgeschwindigkeit bei ebener Fahrbahn!
a MAX
2
v MAX
=
r
v MAX = a MAX r
= 9 m s −1 100 m
=
900 m 2 s − 2 = 30 m s −1
= 108 km / h
Aufgabe 4
Durch eine große Zentrifuge (Radius r = 10 m) soll eine große Beschleunigung fürs medizinische Fliegertraining erreicht werden.
-1
a) Berechnen Sie die Drehzahl N in Einheiten min , die für eine Beschleunigung von 7 g notwendig ist.
a) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit eines Körpers auf dem Radius r?
LÖSUNG :
Bei einer gleichmäßigen kreisförmigen Bewegung wirkt eine Radialbeschleunigung, die den bewegten
Körper auf der Kreisbahn hält. Sie ändert nur die Richtung, nicht aber den Betrag der Bahngeschwindigkeit. Physikalisch läßt sich eine solche Bewegung mit dem Radius r der Kreisbahn und der Winkelgeschwindigkeit ω (Winkel pro Zeit- Radiant pro Sekunde) beschreiben. Zu beachten ist bei der Lösung, daß die gefragte Drehzahl in Einheiten pro Minute erst aus der Winkelgeschwindigkeit umgerechnet werden muß. Weiterhin müssen Sie wissen, daß mit der Einheit "g" für den Wert der be-2
schleunigung die Fallbeschleunigung g=9,81 ms gemeint ist. Also ist 7 g der siebenfache Wert der
Fallbeschleunigung.
Die Radialbeschleunigung wird nach Formelsammlung M 2 berechnet:
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-5-
ar = ω 2 ⋅ r
Der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl läßt sich aus folgender Überlegung ableiten. Der Winkel eines Vollkreises beträgt 2π. Eine Drehzahl von einer Umdrehung pro Sekunde entspricht also einer Winkelgeschwindigkeit von 2π pro Sekunde. Da die Drehzahl in der Einheit Umdrehungen je Minute gefragt ist, muß man das Ergebnis noch mit 60 s pro min multiplizieren.
Zusammengefaßt lautet die Formel dann:
[
]
N min− 1 =
ω ⋅ 60 sec
2 ⋅ π ⋅ min
Damit ist N:
ar
⋅ 60 sec
r
N =
2 ⋅ π ⋅ min
Die Radialbeschleunigung soll gleich 7g sein. Damit lautet das Ergebnis:
N=25 min-1
Die Bahngeschwindigkeit wird aus der Radialbeschleunigung nach M 2 wie folgt berechnet:
v = r ⋅ω = r ⋅
ar
r
Das Ergebnis lautet:
v=26 m/s .
Aufgabe 5
Ein Bus mit der Masse 10 t beschleunigt innerhalb von 10 s gleichmäßig vom Stillstand auf
36 km/h.
Wie groß ist die maximale Leistung, die aufzubringen ist?
Zu welchem Zeitpunkt wird die maximale Leistung aufgebracht?
Wie groß ist die mittlere Leistung?
LÖSUNG :
Zur Lösung dieser Aufgabe ist die Kenntnis der Zusammenhänge zwischen Arbeit, Energie und Leistung notwendig. Aus der Formelsammlung M 4 ist für die Leistung zu entnehmen:
P=
r r
dW
= F ⋅v
dt
Es handelt sich bei der Vorgang um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Das bedeutet, daß
die Beschleunigung und damit die beschleunigende Kraft nach der N EWTONschenBewegungsgleichung konstant ist. Die Geschwindigkeit ist dagegen wächst linear mit der Zeit gemäß
v (t ) = a ⋅ t
mit
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-6-
a=
vEnd
(gleichmäßig beschleunigte Bewegung).
t gesamt
Die Richtungen von beschleunigender Kraft und Geschwindigkeit des Busses stimmen überein, so
daß man das Skalarprodukt der Vektoren durch das Produkt der Beträge ersetzen kann. Damit ist die
momentane Leistung:
P( t ) = m ⋅ a ⋅ t = m ⋅
2
v 2End
2
t gesamt
⋅t
Diese wird offensichtlich Ende des Vorganges nach 10 s maximal. Das Ergebnis lautet also:
Pmax=100 kW.
Die mittlere Leistung ist dagegen der Quotient aus verrichteter Gesamtarbeit und Gesamtdauer des
Vorganges:
P(t)
2
E
Pmax
m ⋅ v End
P = kin, End =
.
t gesamt
2 ⋅ t gesamt
P
Das Ergebnis lautet:
P=50 kW.
tEnd
t
Aufgabe 6
Ein Hochspringer der Masse m = 70 kg will eine Höhe von h1 = 2 m erreichen.
a) Welche Absprunggeschwindigkeit vo in physikalischen Einheiten km/h muß er dazu haben?
b) Wie groß ist die dafür aufzubringende Energie E1?
Ein Stabhochspringer der gleichen Masse will eine Höhe h2 = 5 m erreichen. Dazu biegt er den
Stab nach dem Anlauf und verwandelt einen Teil seiner kinetischen Anlaufenergie in Spa nnungsenergie (gespeicherte Spannarbeit) des Stabes, die ihn nach oben katapultiert.
c) Welche mechanische Spannungsenergie E2 ist in dem verwendeten Stab noch erforderlich,
um die Differenzstrecke von h1 = 2 m bis h2 = 5 m zu überwinden?
LÖSUNG :
Aus der Aufgabenstellung sollten Sie erkennen, daß es sich bei dem Sprung um eine Umwandlung
von kinetischer in potentielle Energie handelt. Solche Aufgabe lassen sich am einfachsten mit Hilfe
des Energieerhaltungssatzes lösen. Die entsprechenden Formeln finden sich in der Formelsammlung
unter M 4:
1
⋅ m ⋅ v2
2
Potentiell e Energie im Schwerefel d E pot = m ⋅ g ⋅ z
Kinetische Energie E kin =
und
Energieerh altungssat z E kin ,1 + E pot ,1 = E kin ,2 + E pot , 2
b) und b) Beide Aufgabenteile lassen sich mit einfachen Energiebetrachtungen lösen. Um eine Höhe
von 2 m zu erreichen, muß der Hochspringer beim Absprung mindestens eine kinetische Energie
gleich der angestrebten potentiellen Energie, die der Sprunghöhe 2 m entspricht, besitzen. Dabei
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-7wird die potentielle Energie am Absprungpunkt und die kinetische Energie in der Höhe h=2 m
gleich Null gesetzt:
1
E kin ,1 + E pot ,1 = ⋅ m ⋅ v02 + 0 = E kin,2 + E pot ,2 = 0 + m ⋅ g ⋅ h1
2
Daraus folgt:
v 0 = 2 ⋅ g ⋅ h1
wobei interessanterweise allein für die Berechnung der Absprunggeschwindigkeit die Masse des
Springers gar nicht benötigt wird. Die Ergebnisse lauten:
v0 =22,5 km/h
Ekin,1 =1373 J
Bitte beachten Sie, daß die Geschwindigkeit in m/s berechnet wurde und erst danach in km/h umgerechnet werden darf (Faktor 3,6).
c) Nach dem Energieerhaltungssatz muß die erforderliche Spannungsenergie zum zusätzlichen Höhengewinn gleich dem zusätzlichen Gewinn an potentieller Energie sein.
E2 = ∆E pot = m ⋅ g ⋅ (h2 − h1 )
Das Ergebnis lautet:
E2 =2060 J
Aufgabe 7
Ein bemannter Schlitten mit der Masse m wird von einem Turm mit der Höhe h ausgeklinkt und
durchläuft gerade noch eine Schleifenbahn mit dem Radius r.
a) Wie hoch muß der Turm sein?
b) Wie groß ist die Radialbeschleunigung im Punkt A?
c) Welche Zwangskraft muß an diesem Punkt von der Schiene aufgebracht werden?
r
h
A
LÖSUNG :
Als Kriterium, daß der Schlitten im Scheitelpunkt der Schleifenbahn nicht nach unten fällt, muß die
Radialbeschleunigung in diesem Punkt größer bzw. gleich der Fallbeschleunigung g sein. Die minimale Höhe des Startturmes läßt sich am einfachsten über den Energieerhaltungssatz berechnen, da die
kinetische Energie des Körpers in Scheitelpunkt gleich der potentiellen Energie am Startpunkt ist. Bei
der Berechnung der Gesamthöhe des Turmes kommt dann noch die Höhe der Schleife hinzu.
Die Formeln zur Berechnung der Radialbeschleunigung und der Bahngeschwindigkeit sind schon in
Aufgabe 8 angegeben. Der Energieerhaltungssatz lautet:
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-8-
1
⋅ m⋅ v2
2
Potentielle Energieim Schwerefeld E pot = m ⋅ g ⋅ z
KinetischeEnergieE kin =
EnergieerhaltungssatzE kin ,1 + E pot ,1 = Ekin , 2 + E pot ,2
Am Anfangspunkt (1) ist die Geschwindigkeit Null und die Höhe z gleich h, wenn man den Nullpunkt
der Höhe wie in der Skizze an den Punkt A ansetzt. Am interessierenden Punkt (2), also dem oberen
Scheitel der Schleifenbahn, ist die Geschwindigkeit v und die Höhe beträgt 2r. Damit ist:
m⋅ g ⋅h =
m 2
⋅ v + m ⋅ g ⋅ 2r
2
mit
v =r⋅
ar
g
=r⋅
r
r
Damit ist h:
g
r + 2 ⋅r = 5 ⋅ r
h=
2⋅g
2
r2 ⋅
Die Radialbeschleunigung im Punkt A (niedrigster Punkt) berechnet sich wieder über Energieerhaltungssatz ==> Bahngeschwindigkeit ==> Radialbeschleunigung über die schon angegebenen Formeln
bei nun bekannter Turmhöhe:
v2 = 2 ⋅ g ⋅h = 5⋅ g ⋅ r
Damit ist:
ar = 5 ⋅ g
Die Zwangskraft im Punkt A berechnet sich nach dem Newtonschen Grundgesetz, wobei zu beachten
ist, daß zusätzlich zur Radialkraft noch die Gewichtskraft wirkt:
FA = m ⋅ ar + m ⋅ g = 6 ⋅ m ⋅ g
Aufgabe 8
Ein Pendelkörper (Kugel) schwingt reibungsfrei an einem masselosen Faden mit der Länge l=2
m (siehe Zeichnung).
l
m
x
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-9-
a)
b)
c)
Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Auslenkung.
Wie groß ist die Frequenz der Schwingung?
Bei x=0 beträgt die Geschwindigkeit der Kugel v=0,5 m/s. Wie groß ist die maximale
Auslenkung xmax?
Die Kugel schwingt nun in einem Wasserbassin. Wie verändert sich die Kreisfrequenz?
d)
LÖSUNG :
x
a)
l-h
ϕ
l
t
h
b) f =
c ) E kin
ω
g
1 g
ω=
⇒ f=
= 0,3525 Hz
2π
l
2π l
1
1
v2
= m ⋅ v 2 = E pot = m ⋅ g ⋅ h ⇒ h =
= 0,0255 m
2
2
g
l−h
 l − h
⇒ ϕ = a cos 
 == a cos (0,987 ) = 0,16 rad ⇒ x max = l ⋅ ϕ = 0,32 m
l
 l 
d) Wasserbas sin ⇒ Reibung ⇒ Kreisfrequ enz verringer t sich !
•
g
b
Reibungskr aft : FR = −b ⋅ x ⇒ γ =
⇒ ω = ω 02 − γ 2 mit ω 02 =
2m
l
(b über Stokesches Gesetz bestimmbar )
cos ϕ =
Varianten zu c):
x = l 2 − ( l − h ) " = 31,8 cm
•
Berechnung von x über den Pythagoras
•
Berechnung über Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der ungedämpften Schwingung
v x ( t ) = x& ( t ) = x m ω 0 cos(ω 0 t ) ⇒
v max = x m ⋅ ω = ≈ 22,6 cm
Aufgabe 9
Eine Infusionsflasche mit dem Volumen V = 1 l ist in einer Höhe von h = 1,28 m über einem
Labortisch aufgehängt. Die Flüssigkeit entweicht über einen Schlauch ungehindert und reibungslos durch eine auf dem Tisch liegende Kanüle mit dem Innendurchmesser von d = 1 mm.
a) Mit welcher Geschwindigkeit v0 strömt die Flüssigkeit aus?
b) Nach welcher Zeit t ist die Flasche leer?
LÖSUNG :
Da der Vorgang als reibungsfrei angesehen wird, läßt sich das Problem über den Energieerhaltungssatz lösen. Dabei wird die potentielle Energie der hochhängenden Infusionsflasche in kinetische Energie der Flüssigkeitsstromes umgewandelt:
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- 10 -
E kin2 =
m 2
⋅ v0 = m ⋅ g ⋅ h = E pot 1
2
Damit ist die Austrittsgeschwindigkeit:
v0 = 2 ⋅ g ⋅ h
Das Ergebnis lautet:
v0 =5 m/s.
Die zur Leerung der Flasche erforderliche Zeit berechnet sich analog zu Aufgabe 10. Dabei wird angenommen, daß sich die Fallhöhe während des Auslaufens nicht wesentlich ändert, die Ausströmgeschwindigkeit also nicht ändert:
t=
4 ⋅V
.
π ⋅ d 2 ⋅ v0
Das Ergebnis lautet:
t=255 s.
Aufgabe 10
Ein mit V = 9 l Wasser gefüllter Eimer (Leermasse mleer = 1 kg) soll mit waagerecht ausgestrecktem Unterarm gehalten werden. Die Länge l1 vom Zentrum des Ellenbogengelenks bis zum Ansatz des Bizeps am Unterarm beträgt 4 cm (Ansatzwinkel α = 78.8°). Vom Ansatzpunkt des Bizeps bis zum Haltepunkt des Eimers ist die Entfernung l2 = 36 cm.
Welche Kraft muß der Bizeps aufbringen?
Ellenbogengelenk
(Drehpunkt)
α
l1
l2
10 l
LÖSUNG :
Voraussetzung (wurde in der Aufgabenstellung nicht explizit angegeben, ist aber in der Skizze erkennbar):
Unterarm ist horizontal, Oberarm ist vertikal, daraus folgt, daß alle Winkel außer α rechte Winkel sind.
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- 11 -
In der Aufgabe wird die Berechnung der Bizepskraft gefordert. Sie müssen deshalb aus der Aufgabenstellung folgende Zusammenhänge erkennen:
•
Der mit dem Wasser gefüllte Eimer hat eine bestimmte (Gesamt-) Masse und deshalb wirkt an der
Hand eine Gewichtskraft. Diese Kraft wirkt senkrecht nach unten.
•
Da die Gewichtskraft nicht direkt am Ansatzpunkt des Bizeps angreift, gilt für die Kraft an diesem
Punkt allgemein der Drehmomentensatz.
•
Mit dem Drehmomentensatz läßt sich elegant die Bizepskraft berechnen. Dabei ist zu beachten,
daß die zum Halten des Eimers erforderliche Gegenkraft nur entlang vorgegebener Wirkungslinien
verlaufen kann. Diese Wirkungslinien sind in der Aufgabe die Knochen und der Bizeps. Also ist die
Richtung der Bizepskraft durch den Verlauf des Bizeps vorgegeben.
Also erfolgt die Lösung in 2 Schritten:
•
•
Berechnung der Gewichtskraft des gefüllten Eimers,
Berechnung der Bizepskraft mittels Drehmomentensatz unter der Voraussetzung, daß die Gewichtskraft des Eimers senkrecht und die Bizepskraft unter dem Winkel α zum Unterarm wirkt.
Günstig erweist sich oftmals eine Lösung ausschließlich über Formeln, in die erst am Schluß Werte
eingesetzt werden. Das Ergebnis läßt sich anhand von Einheitenbetrachtungen (Berechnung des Lösungswertes unter Berücksichtigung der physikalischen Einheiten der Ausgangswerte) auf grobe Fehler (falsche Umstellungen, Vertauschungen usw.) hin überprüfen. Das Ergebnis muß die Einheit New-2
ton (kg*m*s ) besitzen. Wichtig ist auch die Beachtung der Vorsätze „Milli“, „Mikro“, „Kilo“ usw., um im
Ergebnis nicht die Größenordnung zu verfehlen.
1. Berechnung der Gesamtgewichtskraft
FG, H 2O = m g ⋅ g
mit
m g = m Eimer + m H 2O
mit
m H2O = ρ H2O ⋅ VH2 O
2. Die Berechnung der Bizepskraft mittels Drehmomentensatz wird der Formelsammlung unter der
Signatur M 7 (Mechanik Thema 7) entnommen:
r r r
M = r × F ,M = F ⋅ r ⋅ sin α ,
Gleichgewicht :
r
∑M
k
r
=0
k
Der Winkel α ist dabei der Winkel zwischen r (Verbindungslinie Drehpunkt - Ansatzpunkt der Kraft)
und der Richtung der Kraft. Dieser ist an der Hand 90° und am Bizeps α (siehe Skizze in der Aufgabenstellung). Damit ist:
r
r r
r r
r
r
ΣM k = l1 × FBizeps + l1 + l2 × FG , H 2 O = 0
(
)
l1 ⋅ FBizeps ⋅ sin α = (l1 + l2 ) ⋅ FG , H 2O
Zusammengefaßt ergibt sich die Bizepskraft zu:
FBizeps =
l1 + l2
⋅ g ⋅ ( mEimer + ρ H 2O ⋅ VH 2O )
sin α ⋅ l1
Ergebniskontrolle anhand Einheitenbetrachtung:
[F
Bizeps
[F
Bizeps
] = 1 Meter
⋅
⋅ Meter
Meter
kg
⋅ ( kg +
⋅ Meter 3 )
2
3
Sekunde
Meter
] = kg ⋅ Meter = Newton
Sekunde
2
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- 12 -
Ergebnis: Die Kraft, die der Bizeps aufbringen muß, um den Wassereimer zu halten, beträgt:
FBizeps=1000 N
Aufgabe 11
Ein Heißluftballon V = 500 m³ ist mit Luft der Temperatur ϑ 1 = 100°C gefüllt. Die Umgebungsluft
hat eine Temperatur von ϑ 0=0°C mit der Dichte ρ 0 = 1,29 kg/m³. Der Ballon und der Korb nebst
Aufhängung haben eine Masse von m=70 kg. Luft kann bei diesen Temperaturen als ideales
Gas betrachtet werden. Die Dichte ist dann umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur
des Gases.
a) Wie groß kann die Nutzlast mN sein?
b) Wie groß wäre die Nutzlast bei einer Heliumfüllung mit der Dichte ρ He = 0,179 kg/m³?
LÖSUNG :
a) Berechnung der Nutzlast:
Die Auftriebskraft
FA ist Masse der verdrängten Luft m L mal Fallbeschleunigung g
FA = m L g = ρ 0 V g .
Der
Ballon
schwebt,
wenn
die
Auftriebskraft
gleich
seiner
gesamten
Gewichtskraft
G = ( m + m N + mG ) g ist, wobei mG die Masse des Füllgases - hier die heiße Luft, m N die Nutzlast
und m die Leermasse von Ballon, Korb und Aufhängung ist. Durch Gleichsetzen von FA mit G folgt
ρ 0 V = m + mN + mG
und
mG = ρ V wobei ρ die Dichte des Füllgases ist
ρ
ρ
aus 1 = 2 (siehe auch Aufgabenstellung) folgt
T1 T2
bzw.
ρ = ρ0
T0
und mit T = T0 + ϑ = 273,15 K + ϑ
T1
m + m N = ( ρ 0 − ρ ) V = ρ 0 (1 −
m N = ρ 0 V0 (1 −
T0
) V
T1
T0
)−m
T1
= 1,29 kg m −3 500 m 3 (1 −
273,15 K
) − 70 kg = (172,8 − 70) kg ≈ 103 kg
373,15 K
b) Heliumfüllung
m N = ( ρ 0 − ρ He ) V − m = (1,29 − 0,179 ) kg m −3 500 m 3 − 70 kg = 485,5 kg
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- 13 Aufgabe 12
Mittels einer Dosierpumpe erhält ein Patient Kontrastmittel zugeführt. Die pro Zeiteinheit zugeführte Flüssigkeitsmenge wird über eine Druckmessung bestimmt. Dabei wird der Differenzdruck zwischen zwei unterschiedlichen Querschnitten einer sich verjüngenden Röhre gemessen. Der Innenradius des größeren, kreisförmigen Querschnitts beträgt r1 = 4 mm, der an der
Verjüngung r2 = 1 mm. Der gemessene Differenzdruck ∆p entspricht dem Schweredruck einer
Quecksilbersäule mit der Höhe h= 10 mm (ca. 10 Torr). Die Dichte von Quecksilber beträgt
ρ Hg = 13,55 g/cm³. Die innere Reibung der Flüssigkeit wird vernachlässigt. Die Infusionsflüssi gkeit hat die Dichte ρ w wie Wasser.
a) In welchem Rohrteil herrscht ein geringerer statischer Druck?
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v1 in Einheiten m/s im dickeren Rohrteil mit dem Inne nradius r1.
c) Wie groß ist der Volumenstrom Iv = dV/dt in Einheiten cm³/s?
d) Welches Flüssigkeitsvolumen Vp in Einheiten ml erhält der Patient bei einer Pumpdauer
von t = 30 s zugeführt?
LÖSUNG :
a) Druckunterschied:
Aus der Formelsammlung BERNOULLI- Gleichung (M 14):
ρ 2
v = p 0 = const .
2
p + ρgz +
ρ 2
ρ
v1 = p2 + v 22
2
2
b) Berechnung von v1
p1 +
mit
und
z1 = z 2
(kein Höhenunterschied!)
v1 < v2 ,
daraus folgt
Druckdifferenz durch unterschiedlichen Staudruck (Dichte von Wasser
∆p = p1 − p 2 =
p1 > p 2
ρW = 1 g cm 3 ):
ρW 2 ρ w 2
ρ
v2 −
v1 = W ( v 22 − v12 )
2
2
2
Kontinuität:
A1 v1 = A2 v2 = π r12 v1 = π r22 v2
4
4
r 
r
bzw.
v = v 24 = v12  1 
r1
 r2 
Da r1 genau 4 mal so groß ist wie r2 ist die Geschwindigkeit v 2 16 mal so groß wie v 2 und die Qua-
r2
v 2 = v1 12
r2
2
2
2
1
drate der Geschwindigkeiten unterscheiden sich um den Faktor 256!
v 22 = 256 v12
also gilt:
Messung mit Quecksilbermanometer:
∆p = ρ Hg g h
ρ Hg
v1
r
(  1
 r2
ρ
g h = W v12
2
= 2
1
4
 r1 
  − 1
 r2 
4

 − 1)

ρ Hg
gh=
ρW
2 ρ Hg
gh
255 ρW
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Blatt
- 14 -
v1
2
13,55 ⋅ 9,81 m s − 2 0,01 m ≈ 0,1 m s −1
255
=
c) Volumenstrom
I v = A1 v1 = π r12 v1 = π ⋅ (0,4 cm ) ⋅ 10 cm s −1 = 5,1 cm 3 s −1
2
d) Flüssigkeitsvolumen
V p = I v t = 154 cm 3 = 154 ml
Aufgabe 13
Für verschiedene Zwecke werden bestimmte Anlagen und Geräte mit einem inerten Gas, zum
Beispiel N2, gespült.
Als wöchentlicher Bedarf wird eine Masse m(N2 ) = 125 kg flüssiger Stickstoff verwendet. Das
verdampfte Stickstoffgas wird den Verbrauchern mit einem Überdruck, der einer Quecksilbersäule von h = 50 mm entspricht, geliefert. Die Temperatur in den Räumen beträgt θ1 = 20°C.
Welches Gasvolumen in Litern (gemessen mit Durchflußzählern in den Leitungen) kann der
Anlage entnommen werden?
Hinweise:
• Die Anlage kann bei der Beschickung als mit Stickstoffgas gefüllt angesehen werden. Das
Eigenvolumen der Tank- und Rohrleitungsanlage braucht deshalb nicht berücksichtigt zu
werden.
• Der äußere Luftdruck p0 (Normaldruck) beträgt 101,3 kPa.
• Rechnen Sie den Überdruck in der Leitung getrennt aus!
• Die Dichte von Quecksilber beträgt ρ = 13,55 g/cm³.
• Das Atomgewicht von Stickstoff beträgt 14 atomare Masseneinheiten.
LÖSUNG :
Es gilt die Thermische Zustandsgleichung für das Ideale Gas (T 3):
p ⋅V = ν ⋅ R ⋅ T
Das Volumen soll berechnet werden, die Temperatur ist gegeben, der Druck ist der Umgebungsluftdruck plus Überdruck in den Leitungen und die Stoffmenge ν läßt sich aus der vorggebenen Masse
berechnen. Die Aufgabe läßt sich also in folgende Teilaufgaben untergliedern:
1. Berechnung des Überdruckes in den Leitungen in Pascal,
2. Berechnung der Stoffmenge des Stickstoffes aus der Masse,
3. Berechnung des Stickstoffvolumens bei den angebenen Umgebungsbedingungen aus der Stoffmenge,
1. Der Überdruck ist gleich dem Schweredruck der Quecksilbersäule (nach M 13):
∆p = ρ ⋅ g ⋅ h
∆p = 6650 Pa
2. Das Atomgewicht von Stickstoff ist mit 14 atomaren Masseneinheiten angegeben, zu beachten ist
aber, daß Stickstoff immer ein zweiatomiges Molekül (N2) bildet. Die Molmasse M(N2) ist also
28 g/mol.
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- 15 -
ν N2 =
mN 2
M N2
ν N 2 = 4464 mol
3. Mit der Thermischen Zustandsgleichung läßt sich nun das Gasvolumen berechnen, wobei die Molare Gaskonstante R = 8314,51 J/(kmol*K) ist:
V=
V=
ν ⋅ R⋅T
p
m N2 ⋅ R ⋅ T
M N 2 ⋅ ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h )
V = 100 m3
Aufgabe 14
Die von einem Sporttaucher ausgestoßenen Luftblasen verdoppeln ihr Volumen, wenn sie bis
5
zur Wasseroberfläche, wo momentan der Luftdruck pO = 10 Pa herrscht, aufsteigen. Die Ausdehnung der Luftblasen kann als isotherm angesehen werden
In welcher Tiefe z befindet sich der Taucher?
LÖSUNG :
An der Wasseroberfläche herrscht nur der normale Luftdruck (etwa 100 kPa). Im Wasser herrscht
zusätzlich in Abhängigkeit von der Tauchtiefe noch der Schweredruck (M 13) des Wassers:
p H2 O = ρ H2 O ⋅ g ⋅ z
p gesamt = p0 + ρ H 2 O ⋅ g ⋅ z .
Die Temperatur des Gases bleibt wegen des umgebenden Wassers konstant (isotherme Ausdehnung). Deshalb gilt das Spezialfall des Thermischen Zustandsgleichung (T 3; ν, R und T sind Konstanten) das Boyle-Mariottesche Gesetz:
p ⋅ V = const .
pgesamt ⋅ V1 = p0 ⋅ V0
Zusammen mit der Bedingung, daß sich das Volumen der Gasblasen verdoppelt, folgt:
( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h) ⋅ V1 = p0 ⋅ 2 ⋅ V1
p0
ρ⋅ g
h = 10,2 m
h=
Zu beachten ist hierbei wieder das Einsetzen der Werte in den richtigen Einheiten (vor allem Dichte in
3
kg/m ).
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- 16 Aufgabe 15
In einer Badewanne mit der Wärmekapazität C = 50 kJ/K befinden sich mw = 220 kg Wasser mit
der Temperatur θw = 65 °C. Für Wasser gilt cW = 4,19 kJ/(kg K).
a) Wieviel Liter kaltes Wasser (Volumen VK ) von θK = 14 °C muß zugegossen werden, damit
eine Mischtemperatur von θ M = 38 °C entsteht?
b) Mit welcher Masse mD von 100 °C heißem Wasserdampf kann die jetzt in der Wanne befindliche Wassermasse wieder auf 65 °C erwärmt werden? Die Verdampfungswärme für Wasser
beträgt qv = 2255 kJ/kg.
LÖSUNG :
a) Die Lösung erfolgt über eine Berechnung der Wärmebilanz (T 1). Das zugeführte kalte Wasser
nimmt bei seiner Erwärmung genau soviel Wärme auf, wie das warme Wasser und die Badewanne
abgeben. Zu beachten ist, daß die in der Aufgabe angebene Wärmekapazität für Wasser eine spezifische Wärmekapazität ist, d. h. Wärme pro Temperaturänderung und Masse des Wassers gerechnet
wird, dagegen wurde bei der für die Badewanne angegebenen Wärmekapazität schon die spezifische
Wärmekapazität des Wannenmaterials mit der Masse der Wanne multipliziert. Die entsprechende
Formel ist nicht in der Formelsammlung enthalten, läßt sich aber einfach ableiten:
Q = m ⋅ c ⋅ ∆T
CWanne = mWanne ⋅ cWanne
Q = CWanne ⋅ ∆ T
C ⋅ (θ w − θ Misch ) + cW ⋅ mW ⋅ (θ w − θ Misch ) = cW ⋅ mK ⋅ (θ Misch − θ k )
mk =
(C + cw ⋅ mw ) ⋅ (θ w − θ Misch )
cW ⋅ (θ Misch − θ k )
mk = 261 kg
V k = 261 l
b) Die Berechnung stützt sich auf dieselben Überlegungen wie bei a), zu beachten ist einerseits die
Verdampfungswärme des Dampfes und andererseits die nun erhöhte Gesamtmasse des Wassers:
C ⋅ (θ Misch − θ w ) + cW ⋅ ( mw + mk ) ⋅ ( θ Misch − θ w ) + qV ⋅ mD + cW ⋅ mD ⋅ (θ D − θ w ) = 0
mD = 232
, kg
Man sieht deutlich, daß der Dampf durch die extrem hohe Verdampfungswärme eine große Wärmemenge mit sich führt.
Aufgabe 16
Die Luftröhre als Atemweg zwischen dem Kehlkopf und den in die Lungenflügel führenden
Stammbronchien besitzt einen Durchmesser von d = 2cm. Bei Normaldruck wird bei einem
Atemzug ein Luftvolumen von etwa V = 500 cm³ zugeführt. Die Dauer eines einmaligen Einatmungsvorganges beträgt beim Erwachsenen etwa t = 1,5 s. Die Dichte der Luft betrage
-5
1,3 kg/m³, ihre Viskosität η = 1,8 10 Ns/m². Kriterium für eine turbulente Strömung ist das Überschreiten einer kritischen Reynoldschen Zahl von Re,krit = 2300.
a) Wie groß ist die Volumenstromstärke IV in m³/s und die mittlere Strömungsgeschwindigkeit
v in m/s in der Luftröhre?
b) Handelt es sich dabei um laminare oder turbulente Strömung?
Hinweis: Störungen der Strömung durch die Struktur der Luftröhrenwand und des Kehlkopfes
werden vernachlässigt!
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- 17 -
LÖSUNG :
a) Die mittlere Volumenstromstärke errechnet sich als Quotient aus dem Atemzugvolumen und der
Dauer des Einatmungsvorganges (nach M 14):
IV =
dV
= A⋅v
dt
IV = 3,3 ⋅ 10 −4 m3 s −1
Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit wird durch Division durch den Luftröhrenquerschnitt berechnet:
IV
4 ⋅V
=
A π ⋅ d 2 ⋅t
v = 1,06 m s −1
v=
b) Als Entscheidungskriterium für laminare bzw. turbulente Strömung dient die Reynoldsche Zahl
(Formelsammlung M 15):
Re =
ρ⋅l⋅v
η
Die Größe l gibt eine für die geometrischen Verhältnisse typische Länge an. In unseren Fall ist dies
der Durchmesser der Luftröhre:
Re =
l ⋅ ρ ⋅ v 4 ⋅ d ⋅ ρ ⋅V
=
η
η⋅ π ⋅ d 2 ⋅ t
Re = 1532
Dieser Wert ist deutlich kleiner als die kritische Reynoldsche Zahl. Deshalb liegt in jedem Fall eine
laminare Strömung vor.
Aufgabe 17
Bei einem Unfall kommt es zur Verbrühung einer Person mit siedendem Wasser (Temperatur
θ s = 100 °C). Dabei gelangt eine Wassermasse von mW = 5 g auf die Haut. Wie groß ist die übertragene Energie, die zur Schädigung der Haut führen kann?.
Bei einer zweiten Person strömt die Wasserdampf (Masse mD = 5 g, Temperatur θ D = 100 °C) auf
die Haut. Um welchen Faktor unterscheidet sich das Ausmaß der Hautschäden beider Personen, wenn vereinfachend angenommen wird, daß diese proportional zur übertragenen Energie
sind?
Die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt cW = 4.2 kJ / (kg K), die spezifische Verdampfungswärme qv = 2255 kJ/Kg. Die Hauttemperatur vor dem Unfall wird in beiden Fällen mit
θH = 36 °C angenommen.
LÖSUNG :
Das auf die Haut gelangte Wasser kühlt sich bis auf Hauttemperatur ab und gibt dabei eine Wärmemenge ab (T 1). Eine mögliche Erwärmung der Hautpartie wird vernachlässigt.
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- 18 -
Q1 = cW ⋅ mW ⋅ ( θ s − θ Haut )
Q1 = 1,34 kJ
Bei einer Verbrühung mit Dampf kommt zusätzlich noch die Verdampfungswärme hinzu.
Q2 = cW ⋅ mD ⋅ ( θ s − θ Haut ) + qV ⋅ mD
Q2 = 12 ,6 kJ
Als Maß für die Hautschädigung wird die übertragene Wärmemenge gewählt. Deshalb berechnet sich
der Faktor als:
Q2
= 9 ,4 .
Q1
δ=
Aufgabe 18
An eine Spannungsquelle von U0 = 10 V sind vier Widerstände angeschlossen. R1 = 1 Ω ist in
Reihe sowohl zu den parallel geschalteten Widerständen R2 = R3 = 6 Ω als auch zum Widerstand R4 = 6 Ω geschaltet.
a) Entwerfen Sie den Schaltplan!
b) Wie groß ist der Strom I2 durch den Widerstand R2?
LÖSUNG :
a) Schaltplan:
U0
Igesamt
R2
I2
R4
R1
R3
I3
b) Bei dieser Schaltung fließt ein Gesamtstrom Igesamt durch die Widerstände R1 und R4. Dieser Gesamtstrom teilt sich in der Parallelschaltung in I2 und I3 auf. Es gilt für den Gesamtstrom das Ohmsche
Gesetz (E 1):
I gesamt =
U
Rgesamt
Für die Aufteilung der Ströme auf die Widerstände R2 und R3 gelten die Kirchhoffschen Gesetze (E 1):
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- 19 -
∑ Ik
=0
k
∑ U em = ∑ I k ⋅ Rk
m
k
I gesamt = I 2 + I 3
Als Spezialfall für Maschen ohne Spannungsquellen ergibt sich die bekannte Stromteilerregel für das
Verhältnis der Ströme in der Parallelschaltung:
I 2 ⋅ R2 = I 3 ⋅ R3
.
Für den Gesamtwiderstand gilt (E 1):
Rgesamt = R1 + R23 + R4
1
1
1
=
+
R23 R2 R3
R ⋅R
R 23 = 2 3
R2 + R3
Damit ist der Strom durch R2:
I2 =
U ⋅ R3

R ⋅R 
 R1 + R4 + 2 3  ⋅ (R2 + R3 )
R2 + R3 

I 2 = 0,5 A
Alternativ ist es möglich, über die Spannungsteilerregel den Spannungsabfall über R23 auszurechnen
und dann über das Ohmsche Gesetz den Strom durch R2 zu berechnen:
U2
U gesamt
I2 =
=
R23
R gesamt
U2
R2
Das Ergebnis ist wieder dieselbe Endformel.
Aufgabe 19
Eine Batterie hat in frischem Zustand eine Quellspannung von U0 = 1,67 V. Sie wird zum Betrieb
eines Verbrauchers mit dem Widerstand R = 5,6 Ω genutzt. Mit einem Voltmeter wird die Klemmenspannung UK und mit dem Amperemeter der Strom I gemessen. Bei Belastung beträgt die
Klemmenspannung UK = 1,58 V.
a) Wie groß ist der Innenwiderstand Ri der Batterie?
b) Wie groß wäre der Kurzschlußstrom IK in dieser Schaltung?
c) Wie groß ist die elektrische Leistung des Verbrauchers in dieser Schaltung?
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- 20 Hinweis: Entwerfen sie erst einen richtigen Schaltplan unter Verwendung des üblichen Ersatzschaltbildes für eine „Spannungsquelle“. Die Innenwiderstände von Volt- und Amperemeter
brauchen nicht berücksichtigt zu werden, d.h. sie werden mit unendlich bzw. Null angenommen.
LÖSUNG :
Schaltplan:
Ue
Ri
UKlemm
I
V
A
Ra
Es gilt folgendes:
1. Die Spannungsquelle liefert unabhängig von der Belastung immer dieselbe Spannung, die sogenannte Urspannung oder eingeprägte Spannung.
2. Diese Spannung teilt sich nach der Maschensatz in einen Spannungsabfall über dem Innenwiderstand und einen Spannungsabfall über dem Außenwiderstand (Lastwiderstand) auf. Der Spannungsabfall über dem gesamten Lastwiderstand ist gleich der Klemmspannug, welche an der Batterie real
gemessen wird.
3. Wird der Lastwiderstand unendlich, so ist die Klemmspannung gleich der Urspannung der Batterie.
4. Wird der Lastwiderstand null, so herrscht ein Kurzschluß und es fließt der Kurzschlußstrom, welcher vom Innenwiderstand begrenzt wird.
Damit ergibt sich:
U 0 = I ⋅ ( Ri + Ra )
U0 = Ui + Ua
Ui
U
=I= a
Ri
Ra
U Klemm = U a = I ⋅ Ra
I Kurz =
U0
Ri
a) Mit Hilfe der 4. Gleichung kann man den Strom durch beide Widerstände berechnen. Mit diesem
Strom und der Differenz aus Ur- und Klemmspannung erhält man unter Nutzung der 1. Gleichung den
Innenwiderstand:
U Kl
Ra
U −UK
Ri = 0
⋅ Ra
UK
Ri = 0 ,32 Ω
I=
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- 21 b) Mit Hilfe der letzten Gleichung (auf den Kurzschlußfall angepaßte Form der ersten Gleichung) ergibt sich der Kurzschlußstrom zu:
IK =
U0
U0 ⋅UK
=
Ri (U 0 − U K ) ⋅ Ra
I K = 5,2 A
c) Die Leistung des Verbrauchers in der Schaltung berechnet sich als Produkt der über dem Verbraucher abfallenden Spannung und dem fließenden Strom (E 1):
U K2
P = UK ⋅ I =
Ra
P = 0 ,45 W
Aufgabe 20
Für eine Endoskop-Beleuchtung werden zwei Glühlämpchen (4V Nennspannung, 0.25 W Nennleistung) parallel an eine Stromquelle (Eingeprägte Spannung Ue = 4,5 V, Innenwiderstand Ri =
10 Ω ) angeschlossen.
a) Entwerfen sie eine Schaltskizze unter Berücksichtigung der obigen Angaben!
b) Welcher Strom fließt durch ein Lämpchen?
c) Welche Spannung liegt an den Lämpchen an?
d) Welche Leistung hat ein Lämpchen tatsächlich in dieser Anordnung?
LÖSUNG :
a) Schaltplan:
Ue
Ri
Igesamt
RL
IL
b) Aus der Aufgabenstellung lassen sich foldende Angaben ableiten:
1. Die Glühlampen geben bei einer Nennspannung von 4 V eine Nennleistung von 0,25 W ab. Daraus
läßt sich der in diesem Fall (Nennbelastung) fließende Strom und damit auch der Widerstand der
Lampen berechnen.
2. Aus der eingeprägten Spannung und dem zu berechnenden Gesamtwiderstand läßt sich der Gesamtstrom ermitteln. Dieser teilt sich nach der Stromteilerregel wegen den gleichen Widerstände der
beiden parallelen Stränge zu gleichen Teilen auf beide Lampen auf.
3. Aus dem durch eine Lampe fließenden Strom und dem berechneten Lampenwiderstand ergibt sich
der Spannungsabfall über einer Lampe.
4. Dieser Spannungsabfall multipliziert mit dem durch die Lampe fließenden Strom ergibt wieder die
Lampenleistung.
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- 22 zu 1.:
R=
U Nenn
I Nenn
1
=
R parallel
PNenn = U Nenn ⋅ I Nenn
R=
U 2Nenn
PNenn
1
1
2
+
=
RL R L R L
RGesamt = Ri + R parallel
I Gesamt =
zu 2.:
I Lampe =
Ue
RGesamt
I Gesamt
2
=
Ue
2
U
2 ⋅ ( Ri + Nenn )
PNenn
= 0,054 A
c) zu 3.:
U Lampe = RLampe ⋅ I Lampe
U Lampe = 3,43 V
d) zu 4.:
PLampe = U Lamps ⋅ I Lampe
PLampe = 0,18 W
Aufgabe 21
Bei einem Herzschrittmacher wird im Pulsrhythmus ein Kondensator mit der Kapazität von
C = 4 µF entladen. der dabei entstehende elektrische Impuls hat eine Dauer von tp = 1 ms. Die
Spannung ist auf 5 V eingestellt. Wie groß ist die mittlere Stromstärke I des Entladeimpulses?
LÖSUNG :
Ein Kondensator speichert bei einer bestimmten Spannung eine bestimmte Ladung. Die Entladung
innerhalb einer vorgegebenen Zeit führt zu einem definierten Stromimpuls. Als Grundlage für die Berechnungen dienen die Formeln aus E 1 und E 2:
dQ Q
=
dt
t
Q
C=
U
I=
Damit ist:
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Blatt
- 23 -
I=
C ⋅U
t
As
⋅ 5V
V
I=
10 − 3 s
I = 20 mA
4 ⋅ 10 −6
BEMERKUNGEN ZU DEN OPTIKAUFGABEN:
In der Optik werden für Linsen und Linsensysteme folgende Konventionen getroffen:
Ø Die Seite der Linsenebene, auf der sich der Gegenstand befindet, heißt Gegenstandsseite. Der
Abstand zwischen Gegenstand und Linsenebene heißt Gegenstandsweite, diese wird in der Skizze zu Aufgabe 22 nach links positiv gerechnet.
Ø Der Gegenstandsseite gegenüber liegt die Bildseite. Die dazugehörige Bildweite wird nach rechts
positiv gerechnet. Ein auf der Gegenstandsseite entstehendes Bild hat damit eine negative Bildweite.
Ø Gegenstandsgröße und Bildgröße werden bezüglich der optischen Achse gemessen. Sie werden
beide zur selben Seite der optischen Achse positiv gerechnet. Damit ist bei positiver Gegenstandsgröße (wird meist so angenommen) bei einem umgekehrten Bild wie in der Skizze die zugehörige Bildgröße negativ.
Ø Sammellinsen haben eine positive, Zerstreuungslinsen eine negative Brennweite.
Ø Alle Strahlengänge sind umkehrbar. Damit sind Gegenstand und Bild beliebig vertauschbar.
Ø Brennpunktstrahlen gehen durch einen der beiden Brennpunkte. Parallelstrahlen verlaufen parallel
zur optischen Achse. Mittelpunktstrahlen verlaufen durch den Mittelpunkt der Linse, also den
Schnittpunkt aus optischer Achse und Linsenebene. Für alle einfachen optischen Abbildungen gilt:
•
Brennpunktstrahlen werden an der Linsenebene zu Parallelstrahlen.
•
Parallelstrahlen werden zu Brennpunktstrahlen.
•
Der Mittelpunktstrahl ändert seine Richtung nicht.
Zur Berechnung werden folgende Formeln benötigt (siehe Formelsammlung O 2-4):
B
b
y′
a′
= − oder β =
=−
G
g
y
a
1 1 1
1 1 1
= +
oder
= +
f b g
f a a′
β=
Mit β wird der Abbildungsmaßstab bezeichnet. Dieser wird für ein umgekehrtes Bild negativ, der Betrag gibt den Wert der Vergrößerung (bzw. Verkleinerung) an.
Aufgabe 22
Wie weit muß eine 180 cm große Person vom Objektiv (Brennweite f = 5 cm) einer Kleinbildkamera mindestens entfernt sein, wenn sie auf dem Kleinbildfilm (24x36) mm² in Hochformat abgebildet werden soll?
a) Zeichnen Sie für Ihr Verständnis eine Skizze!
b) Berechnen Sie die Entfernung g (Gegenstandsweite)!
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- 24 LÖSUNG :
Skizze:
Bildseite
G
Optische
Achse
F'
Gegenstandsseite
B
F
f
g
b
In diesem Fall ist die Gegenstandsgröße mit G = 180 cm und die Bildgröße mit B = -36 mm vorgegeben. Außerdem ist die Brennweite f = 50 mm bekannt. Nach den oben zusammengestellten Formeln
gilt:
B
b
=−
G
g
B
G
1 1 1
= +
f
g b
1 1 1 G
= − ⋅
f
g g B
B−G
g= f ⋅
B
g = 2,55 m
b = −g ⋅
Die Behandlung von Hohl- und Wölbspiegeln erfolgt sehr ähnlich. Hierbei ist zu beachten, daß Gegenstands- und die Bildweite beide vor dem Spiegel positiv gerechnet werden. Damit hat ein hinter
dem Spiegel entstehendes (virtuelles) Bild eine negative Bildweite. Parallel- und Brennpunktstrahlen
verhalten sich wie bei Linsen, der Mittelpunktstrahl (hier Strahl durch den Krümmungsmittelpunkt) wird
ohne Ablenkung reflektiert. Ein Strahl auf den Schnittpunkt von optischer Achse und Spiegelebene
wird wie an einem flachen Spiegel mit α=α´ reflektiert. Die Brennweite ist gleich der Hälfte des Krümmungsradius, sie wird für Hohlspiegel (konvex) positiv und für Wölbspiegel (konkav) negativ gerec hnet. Ansonsten gelten dieselben Abbildungsgleichungen.
Aufgabe 23
Ein Zahnarztspiegel in Form eines Hohlspiegels mit dem Krümmungsradius r = 160 mm soll zur
Erzeugung von 2-fach vergrößerten Bildern dienen. In welcher Entfernung a vom Scheitel des
Hohlspiegels muß sich der Gegenstand jeweils befinden, um
a) ein reelles Bild
b) ein virtuelles Bild zu erzeugen?
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- 25 LÖSUNG :
Skizzen:
Reelles Bild
B
M
b
F
r
f
G
g
Virtuelles Bild
M
r
F
B
G
f
g
b
Für den Hohlspiegel gilt:
G
g
=−
B
b
1 1 1
= +
f g b
r
f =
2
a) Für die Entstehung eines reellen Bildes muß die Bildweite positiv werden. Das Bild steht umgekehrt
wie der Gegenstand.
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- 26 -
B = −2 ⋅ G
⇒b = 2⋅ g
1 1
1
3
= +
=
f g 2⋅ g 2⋅ g
3
g = ⋅r
4
g = 120 mm
b) Für die Entstehung eines virtuellen Bildes wird die Bildweite negativ. Dafür sind Gegenstand und
Bild gleichgerichtet.
B
B
b
=
=−
G 2⋅B
g
b = −2 ⋅ g
1 1
1
1
= −
=
f g 2⋅g 2⋅g
1
g = ⋅r
4
g = 40 mm
Aufgabe 24
In einem Museum liegt unter einer Vitrine ein kleines, versteinertes Fossil. Eine Lupe soll den
Gegenstand fünffach vergrößern. Der Abstand zwischen Fossil und Lupe beträgt 4 cm.
a) Zeichnen Sie für Ihr Verständnis eine Skizze!
b) Ein Bild welcher Art entsteht?
c) Wie groß muß die Brennweite der Sammellinse gewählt werden, um die Forderungen zu
erfüllen?
LÖSUNG :
a) Skizze:
Blickrichtung
B
F G
b) Um eine Sammellinse als Lupe zu nutzen, muß man den zu vergrößernden Gegenstand innerhalb
der einfachen Brennweite plazieren. Dann entsteht ein vergrößertes, virtuelles und aufrechtes Bild.
c) Es gilt die allgemeine Abbildungsgleichung:
1 1 1
= +
f g b
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- 27 mit f>0 (wegen der Sammellinse), g>0 und b<0 (wegen des virtuellen Bildes). Außerdem gilt für den
Abbildungsmaßstab:
G 1
g
= =− .
B 5
b
Damit ist:
b = −5 ⋅ g
1 1
1
= −
f g 5⋅ g
5
f = g
4
f = 5 cm
Aufgabe 25
60
Die Aktivität von Co in einem Tele-Gamma-Gerät beträgt bei der Anschaffung der Anlage
13
60
7,4*10 Bq. Die Halbwertszeit von Co ist 5,27 Jahre. Die Dosisleistungskonstante für das
60
-13
-1 -1
Nuklid Co beträgt Γ D = 3.42*10 Gy m² Bq h .
Wie groß ist die Aktivität nach 5 Jahren?
Welche Dosisleistung würde dann in einem Abstand von 36 cm von der als punktförmig angenommenen Quelle ohne Abschirmung in Luft gemessen werden?
Hinweis: Die Dosisleistung berechnet sich nach folgendem Zusammenhang (Formel nicht in
Formelsammlung):
A
D& = ΓD ⋅ 2
r
LÖSUNG :
a) Die Aktivität einer radioaktiven Quelle ändert sich nach dem Zerfallsgesetz (nach S 4):
dN
= λ⋅ N
dt
N = N 0 ⋅ e − λ ⋅t
A= −
T1 =
2
ln 2
λ
−
A = A0 ⋅ e
(ln 2 )⋅t
T1
2
A = 3,8 ⋅ 1013 Bq
b) Die Dosisleistung einer punktförmigen Quelle im Abstand d wird mit Hilfe der Dosisleistungskonstante wie folgt berechnet (Formel nicht in der Formelsammlung enthalten):
Übungsaufgaben 2000 – Experimentalphysik für die Studiengänge Human- und Zahnmedizin
Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, DP M. Sommer
Blatt
- 28 -
A
D& = ΓD ⋅ 2
r
D& = 100 Gy ⋅ h −1
Aufgabe 26
60
13
Die Aktivität von Co in einem Tele-Gamma-Gerät beträgt gegenwärtig 3,7 10 Bq. Die Halb60
60
wertszeit von Co ist 5,27 Jahre. Die Dosisleistungskonstante für das Nuklid
Co beträgt
-13
-1 -1
ΓD = 3,42 10 Gy m² Bq h .
a) Wie groß war die Aktivität bei der Anschaffung vor 3 Jahren?
b) Welche Dosisleistung wird gegenwärtig im Abstand von 141,5 cm von der als punktförmig
angenommenen Quelle gemessen werden? Die Abschirmung durch Luft ist vernachlässi gbar!
Hinweis: Die Dosisleistung berechnet sich nach folgendem Zusammenhang (Formel nicht in
Formelsammlung):
A
D& = ΓD ⋅ 2
r
Lösung:
a) Die Grundlagen sind hier dieselben wie bei Aufgabe 27 b). Zu beachten ist allerdings, daß nicht die
Anfangsaktivität A0 gegeben ist, sondern die Aktivität A 3 Jahre nach der Anschaffung:
−
A = A0 ⋅ e
A0 = A ⋅ e
(ln 2 )⋅ t
T1
2
(ln 2 )⋅t
T1
2
A = 5,5 ⋅ 1013 Bq
b) Auch hier gelten dieselben Formeln wie in der Aufgabe zuvor:
A
D& = ΓD ⋅ 2
d
D& = 6,3 Gy ⋅ h − 1
Zugleich sieht man, daß der Abstand zur Quelle, da er quadratisch eingeht, einen großen Einfluß auf
die Dosisleistung hat. Damit wird das Prinzip, daß Abstand der beste Strahlenschutz ist, erklärbar.