Einführung in die Statistik für WInf, Inf, Bi, ET etc.
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A Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lehn T. Harth A. Rößler B. Walther SS 2003 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT 11./12.06.2003 Einführung in die Statistik für WInf, Inf, Bi, ET etc. 5. Übung Gruppenübungen Aufgabe G13 Bei einer ärztlichen Routineuntersuchung einer Klasse von 20 (männlichen) Schülern wurde u.a. auch die Körpergröße [in cm] jedes Schülers gemessen. Es ergaben sich folgende Messwerte: 114 116 117 117 119 120 120 121 122 122 124 126 127 128 128 129 129 132 133 133 Mit Hilfe des Kolmogoroff-Smirnov-Tests soll überprüft werden, ob die Messdaten durch R(114, 134)-verteilte Zufallsvariablen angemessen beschrieben werden können. a) Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion der Messreihe. b) Zeichnen Sie in die Skizze aus a) den Graphen der Rechteckverteilung ein. Lesen Sie den maximalen Abstand d∗ zwischen der zuletzt eingezeichneten Funktion und der empirischen Verteilungsfunktion ab. c) Wird die Vermutung zum Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt? Aufgabe G14 Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch R(θ − 1, θ + 1)-verteilt, mit θ ∈ R unbekannt. a) Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel Tn (X1 , . . . , Xn ) = X (n) ein erwartungstreuer Schätzer für τ (θ) = θ ist. b) Berechnen Sie die Varianz und den mittleren quadratischen Fehler des Schätzers Tn . c) Ist die Schätzerfolge T1 , T2 , . . . konsistent für τ (θ) = θ? Aufgabe G15 Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch verteilt mit der Verteilungsfunktion ( 1 − eθ−x falls x ≥ θ Fθ (x) = 0 sonst, mit θ > 0 als unbekanntem Parameter. a) Zeigen Sie, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer für τ (θ) = θ durch Tn (X1 , . . . , Xn ) = min(X1 , . . . , Xn ) gegeben ist. b) Geben Sie die Verteilungsfunktion von Tn an (Hinweis: G9). c) Welche Verteilung besitzt die Zufallsvariable Tn − θ? d) Prüfen Sie den Schätzer Tn auf (ggf. asymptotische) Erwartungstreue für τ (θ) = θ. Hausübungen Abgabe am 20. Juni Aufgabe H25 Die Messreihe x1 , . . . , x50 gebe die Lebensdauer (in Jahren) von 50 gleichartigen elektronischen Geräten an. Es wird vermutet, dass die Lebensdauer eines Geräts dieser Art exponentialverteilt ist mit Parameter λ = 1/2. Prüfen Sie diese Hypothese mit Hilfe des Kolmogoroff-Smirnov-Tests zum Niveau 0.1. Die maximale Abweichung der empirischen Verteilungsfunktion von der vermuteten Exponential-Verteilungsfunktion tritt beim 28. Wert x(28) = 2.725 der geordneten Messreihe auf. Machen Sie sich eine Skizze, um zu erkennen, welche Schlüsse man aus dieser Information ziehen kann. Aufgabe H26 In einer Urne befinden sich insgesamt θ Kugeln (2 ≤ θ ≤ 6). Zwei dieser Kugeln sind weiß, der Rest ist schwarz. Es werden (ohne Zurücklegen) der Urne zwei Kugeln entnommen. Die Zufallsvariable W beschreibe dabei die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von θ die Verteilung von W , d.h. die Wahrscheinlichkeiten Pθ (W = w) für 0 ≤ w ≤ 2 und 2 ≤ θ ≤ 6. b) Der Parameter ist auf Grund einer Realisierung w von W zu schätzen. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer θ̂(w) für τ (θ) = θ. Aufgabe H27 Die Zufallsvariable X sei diskret verteilt mit Pθ (X = 1) = θ, Pθ (X = 2) = 2θ, Pθ (X = 3) = 1 − 3θ mit einem unbekannten Parameter 0 ≤ θ ≤ 31 . a) Bestimmen Sie Eθ (X) und V arθ (X). b) Die Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . seien unabhängig und identisch wie X verteilt. Zeigen Sie, dass der Schätzer n 3 1 X Tn (X1 , . . . , Xn ) = − Xi 4 4n i=1 erwartungstreu für τ (θ) = θ ist. c) Ist die Schätzerfolge T1 , T2 , . . . konsistent für τ (θ) = θ ? d) Berechnen sie den konkreten Schätzwert für τ (θ) = θ, falls 20 Wiederholungen des Zufallsexperiments 4 Einsen, 7 Zweien und 9 Dreien ergeben haben. (bitte wenden) Aufgabe H28 Um die Präzision einer Waage zu überprüfen, wird n-mal das Gewicht eines KilogrammPrototyps gemessen. Die entstehende Messreihe soll als Realisierung von unabhängigen, identisch N (1, θ)-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn mit unbekannter Varianz θ > 0 aufgefasst werden. a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer Tn für τ (θ) = θ. b) Ist Tn erwartungstreu für τ (θ) = θ? c) Überprüfen Sie die Konsistenz der Schätzerfolge T1 , T2 , . . . für τ (θ) = θ. Aufgabe H29 Die Zufallsvariable X sei stetig verteilt mit folgender Dichte fθ : c x für 0 ≤ x ≤ θ θ2 fθ (x) = 0 sonst, wobei θ > 0 ein unbekannter Parameter ist. a) Bestimmen Sie die Konstante c. b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer Tn (X1 , . . . , Xn ) für τ (θ) = θ. c) Geben Sie die Verteilungsfunktion des Schätzers Tn (X1 , . . . , Xn ) an und prüfen Sie ihn anschließend auf (ggf. asymptotische) Erwartungstreue für τ (θ) = θ. d) Geben Sie einen erwartungstreuen Schätzer für τ (θ) = θ an. Aufgabe H30 Für θ > 0 und k > 1 sei X1 , X2 , . . . eine Folge von unabhängigen, identisch R(θ, kθ)verteilten Zufallsvariablen. a) Bestimmen Sie den Bias des Schätzers 4 Tn (X1 , . . . , Xn ) = (k + 1)2 n 1X Xi n i=1 !2 für den Aspekt τ (θ) = θ2 . b) Geben Sie einen erwartungstreuen Schätzer für τ (θ) = θ2 im Fall k = 2 an.
