9. ¨Ubungsblatt zur Funktionalanalysis - Ruhr

9. Übungsblatt zur Funktionalanalysis
Prof. Dr. Angelika Rohde, Kamil Jurczak SoSe 2015
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Zeigen Sie folgende Verallgemeinerung des Satzes von Arzelà-Ascoli:
Seien K ein kompakter metrischer Raum, X ein Banachraum und S ⊂ C(K; X). Ist S punktweise
relativ kompakt und gleichgradig stetig, so ist S relativ kompak. Dabei bedeutet punktweise
relativ kompakt, dass für jedes z ∈ K der topologische Abschluss der Menge {f (z)|f ∈ S} in X
kompakt ist.
Hinweis: Folgen Sie dem Beweis des Satzes von Arzelà-Ascoli aus der Vorlesung und überlegen
Sie, an welcher Stelle zusätzliche Argumente notwendig sind.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass die Betragsfunktion | · | : (−1, 1) → R schwach differenzierbar ist. Ist | · |
zweimal schwach differenzierbar? Beweisen oder widerlegen Sie.
Sei Ω ⊂ Rn ein Gebiet. Zeigen Sie:
b) Die Menge Cc (Ω; R) liegt dicht in Lp (Ω; R), 1 ≤ p < ∞.
c) Die Menge Lp (Ω; X) ∩ Lq (Ω; R) liegt dicht in Lq (Ω; R) für alle 1 ≤ q ≤ p < ∞.
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
Eine Menge Z = {a = ζ0 < ζ1 < · · · < ζr = b} heißt Zerlegung des Intervalls [a, b], a ≤ b. Auf
B([0, 1], K) definieren wir
|f |Z =
r−1
X
|f (ζi+1 ) − f (ζi )|, f ∈ B([0, 1], K).
i=0
Dann ist eine Funktion f ∈ B([0, 1], K) von beschränkter Variation, falls
n
o
sup |f |Z Z ist Zerlegung von [0, 1] < ∞.
Bezeichne nun BV ([0, 1], K) ⊂ B([0, 1], K) die Teilmenge aller Funktionen von beschränkter
Variation; ferner sei
n
o
kf kBV ([0,1],K) = |f (0)| + sup |f |Z Z ist Zerlegung von [0, 1] , f ∈ BV ([0, 1], K).
Darüberhinaus definiere für jede Funktion f ∈ BV ([0, 1], K) und 0 ≤ a ≤ x ≤ 1
n
o
Vax f = sup |f |Z Z ist Zerlegung von [a, x] .
1
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) Der Raum (BV ([0, 1], K), k · kBV ([0,1],K) ) ist ein Banachraum.
b) V0x ist monoton steigend in x.
c) Für 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 gilt V0x f + Vxy f = V0y f .
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Sei f ∈ C([0, 1]; R) und g ∈ BV ([0, 1], R). Das Riemann-Stieltjes-Integral
Z 1
f dg
0
von f bzgl. g ist definiert als die reelle Zahl a mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ε > 0
existiert ein δ > 0, so dass für jede Zerlegung Z = {ζ0 , . . . , ζr } der Feinheit kleiner δ, d.h.
|ζi+1 − ζi | < δ, i = 0, . . . , r − 1, gilt
r
X
f (ζi )(g(ζi+1 ) − g(ζi )) < ε.
a −
i=0
Beweisen Sie die Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals.
Abgabetermin: Donnerstag, 18. Juni 2015 vor Beginn der Vorlesung.
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