Kristallen

Abschlussarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades
„Master of Science“ (M.Sc.)
Ein Lasersystem zur Seitenbandspektroskopie
von gemischten In+/Yb+-Kristallen
@
david-marcel meier
Technische Universität Braunschweig
Physikalisch-Technische Bundesanstalt
Exzellenzcluster QUEST
5. September 2012
David-Marcel Meier: Ein Lasersystem zur Seitenbandspektroskopie
von gemischten In+ /Yb+ -Kristallen, , © 5. September 2012
gutachter/in:
Prof. Dr. F. J. Litterst
Prof. Dr. S. Süllow
Dr. T. E. Mehlstäubler
Braunschweig, 5. September 2012
Texttsatz: LATEX
Ohana means family.
Family means nobody gets left behind, or forgotten.
— Lilo & Stitch
Gewidmet meinen Großmüttern Monika Weiss und Erika Meier.
I N H A LT S V E R Z E I C H N I S
1
einleitung
1
i injektionsstabilisierung und frequenzverdoppelung
2 lasersysteme
2.1 Spektroskopielasersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Injektionsstabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 frequenzverdoppelung
3.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Polarisation und Suszeptibilität zweiter Ordnung . .
3.1.2 Wellenausbreitung im nichtlinearen Medium . . . . .
3.1.3 Schwache Konversion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Phasenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Boyd-Kleinman-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Wahl des nichtlinearen Kristalls . . . . . . . . . . . .
3.2 Der Ringresonator (Bow-Tie-Resonator) . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Stabilitätsbedingungen des Ringresonators . . . . . .
3.2.2 Impedanzanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Finesse des Ringresonators . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystem . . . . . . .
3.3 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Spektroskopie der atomaren Resonanz . . . . . . . . . . . . .
3.5 Farbzentren in KTP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii ionenmoden und kristalldefekte
4 ionenmoden
4.1 Die lineare Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Axiale Ionenmoden . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Radiale Ionenmoden . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Phasenübergänge und Kristalldefekte (Kinks)
5 zusammenfassung und ausblick
iii anhang: datenblätter und quelltexte
a anhang
literaturverzeichnis
.
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5
7
7
10
17
17
17
20
21
22
24
27
30
31
35
38
41
50
55
57
61
63
63
65
68
74
79
81
83
123
v
1
EINLEITUNG
Hochgenaue und stabile Frequenznormale wie die Cäsium-Atomuhr und
ihre Weiterentwicklung, die Cäsium-Fontäne, bis hin zum Wasserstoff-Maser ermöglichen seit einigen Jahrzehnten genaueste Frequenz- und Zeitmessungen. Viele Kommunikations-, Positionsbestimungs- und Zeitverteilungsanwendungen wären ohne diese Frequenznormale undenkbar.
Vor einigen Jahren begann mit der Entwicklung des Frequenzkamms1 die
Nutzung von sehr schmalbandigen optischen Übergängen von Atomen und
Ionen als Frequenzreferenz. Die höheren Frequenzen der optischen Übergänge gegenüber den Hyperfeinstrukturübergängen im Mikrowellenbereich ermöglichen Frequenznormale mit um Größenordnungen besseren Frequenzunsicherheiten. Mit einzelnen gespeicherten Ionen konnten bereits relative
Frequenzunsicherheiten im Bereich von 10−17 realisiert werden [1].
In der Arbeitsgruppe „Quantensensoren mit lasergekühlten Ionen“ werden neuartige Ionenfallen zur Speicherung von gemischten Coulombkristallen aus 172Yb+ - und 115In+ -Ionen entwickelt, mit dem Ziel ein optisches Frequenznormal mit verbesserter Stabilität zu entwickeln. Hierbei wird 115In+
als Uhrenion genutzt. Um die Mittelungszeit von Tagen bis Wochen zu redu−18 zu erreichen,
zieren und eine relative Frequenzunsicherheit von ∆ν
ν = 10
werden mehrere 115In+ -Ionen in Coulomb-Kristallen zusammen spektroskopiert. Des Weiteren werden 172Yb+ -Ionen zum sympathetischen Kühlen der
115In+ -Ionen dem Coulomb-Kristall hinzugefügt, welche auch zur Charakterisierung der linearen Ionenfalle genutzt werden können.
Die folgende Arbeit befasst sich mit dem Aufbau und der Charakterisierung eines Lasersystems zur Spektroskopie des schmalbandigen Übergangs
2S
2
172Yb+ bei der Wellenlänge 411 nm mit einer Linienbrei1/2 - D5/2 von
te von 22,7 Hz [2], welcher in Abb. 1.1 dargestellt ist. Zu diesem Zweck
wurde ein injektionsstabilisiertes Verstärkungssystem [3] mit anschließender
Frequenzverdoppelung eines schmalbandigen 822 nm-Lasers aufgebaut und
charakterisiert. Dieses Lasersystem ermöglicht das Auflösen von mikrobewegungsinduzierten Seitenbändern zur Charakterisierung der Ionenfalle, eine
genaue Messung der Temperatur und damit auch die Bestimmung von Heizraten der Ionenfalle.
Neben der Bestimmung dieser Eigenschaften eröffnet dieses Lasersystem
auch die Möglichkeit des Seitenbandkühlens [4], das das Kühlen von Ionen
bis in den quantenmechanischen Grundzustand ermöglicht.
Abbildung 1.2 zeigt das Schema des Seitenbandkühlens. Der Grundzustand |gi und angeregte Zustand |ei von gefangenen Ionen in einem harmonischen Potenzial zeigt eine quantisierte Energieaufspaltung mit ∆ν der FallenSäkularfrequenz. Das Treiben des Übergangs auf dem roten Seitenband mit
der Frequenz νr = ν0 − ∆νsec führt zu einem Abstieg auf den Energiesstufen
1 Frequenzteiler für optische Frequenzen
1
2
einleitung
Abbildung 1.1: Termschema von
172Yb+ . (Bild: Jonas Keller)
Abbildung 1.2: Schema des Seitenbandkühlens.
einleitung
des harmonischen Oszillators und somit zu einer Reduzierung von Phononen im System. Der quantenmechanische Grundzustand ist erreicht, sobald
der Übergang auf dem roten Seitenband nicht mehr getrieben werden kann.
Durch Vergleich der Intensitäten des roten und blauen Seitenbandes können
Rückschlüsse auf die Grundzustandspopulation der Ionen gezogen werden.
Um diese Energiestufen auflösen zu können, bedarf es des Lasersystems bei
411 nm.
Darüber hinaus befasst sich diese Arbeit mit der Berechnung von Bewegungsmoden der Ionen im gemischten Coulombkristall, bestehend aus 115In+ und 172Yb+ -Ionen, welche hinsichtlich des effizienten sympathetischen Kühlens des Coulombkristalls von Interesse sind. Für die Seitenbandspektroskopie und das Seitenbandkühlen liefern diese Berechnungen die Frequenzen
der einzelnen Seitenbänder der axialen und radialen Schwingungsmoden.
Im Rahmen dieser Arbeit wird auch ein Detektionsprogramm für Defekte
in Coulombkristallen, die bei einem Phasenübergang zweiter Ordnung auftreten können, vorgestellt. Die statistische Auswertung dieser Defekte zielt
auf die experimentelle Verifikation des inhomogenen Kibble-Zurek-Mechanismus [5] ab, welcher diese Defektbildung beschreibt.
3
Teil I
I N J E K T I O N S S TA B I L I S I E R U N G U N D
FREQUENZVERDOPPELUNG
2
LASERSYSTEME
2.1
spektroskopielasersystem
Den Ausgangspunkt für das gesamte Lasersystem bildet ein 822 nm ECDL
Laser1 . Die Emissionsfrequenz der Laserdiode beträgt im stabilisierten Zustand 364,738 629 3 THz (821,937 776 6 nm) bei 15 mW Laserleistung. Dieser
Laser ist aktiv auf einen ultrastabilen Resonator aus ULE®2 mit hoher Finesse frequenzstabilisiert [6] und erreicht die geringste relative Frequenzinstabilität mit 4 · 10−16 nach 10 s. Die relative Allan-Standardabweichung [7] des
Frequenzrauschens dieses Lasers ist in Abb. 2.1 abgebildet. Die geringe Linienbreite dieses Lasers eignet sich, um den sehr schmalen Übergang 2 S1/2 2D
5/2 mit einer Linienbreite von 22,7 Hz zu spektroskopieren und zu kühlen.
r e la tiv e F r e q u e n z A D E V
1 E -1 4
1 E -1 5
1 E -1 6
0 ,0 1
0 ,1
1
1 0
1 0 0
τ[s ]
Abbildung 2.1: Allan-Standardabweichung des relativen Frequenzrauschens des
hochstabilen 822 nm Primärlasers aufgetragen über der Mittelungszeit τ. Hierbei
wurde bereits eine lineare Drift von 81 mHz s−1 abgezogen. Die rote Gerade stellt
zum Vergleich die relative Frequenzinstabilität eines idealen Lasers mit weißem Frequenzrauschen und 1 Hz Linienbreite dar.
Die relativ geringe Ausgangsleistung der Primärlaserdiode von etwa 15 mW
ist zur effizienten Frequenzverdoppelung zu gering, denn dieses erfordert
leistungsstarke Laserquellen, um die gewünschten nichtlinearen Effekte im
1 External Cavity Diode Laser DL100, Toptica
2 ULE® : ultra low expansion Glaskeramik aus mit Ti+ dotiertem SiO2 der Firma Corning
7
8
lasersysteme
Abbildung 2.2: Bild des Versuchsaufbaus mit eingezeichnetem Strahlengang. Der
Primärlaserstrahl (PL) wird über den Faraday-Isolator (FI) in die Hochleistungslaserdiode (HLD) injiziert. Der Hochleistungslaserstrahl wird zur Frequenzverdoppelung
weitergeleitet. Am Einkoppelspiegel wird der reflektierte Laserstrahl zu den Photodioden (PDs) für das Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystem abgelenkt.
nichtlinearen optischen Medium hervorzurufen. Aus diesem Grund wird eine
Hochleistungslaserdiode3 benutzt, welcher die spektralen Eigenschaften des
Primärlasers aufgeprägt werden. Dabei wird das Injektionsstabilisierungsverfahren [3, 8] verwendet, bei dem der Laserstrahl des Primärlasers in die Hochleistungslaserdiode modenangepasst eingekoppelt wird. Dieses führt zur stimulierten Laseremission bei der Wellenlänge der Lasermode des Primärlasers. Dieser Laserstrahl mit hoher Leistung kann nun für die Frequenzverdoppelung in einem Ringresonator verwendet werden. Der Versuchsaufbau
ist in Abbildung 2.2 dargestellt.
Bei dem Hochleistungslaser, der für das Injektionsstabilisierungsverfahren
verwendet wird, handelt es sich um eine nicht entspiegelte Laserdiode mit
einer maximalen Ausgangsleistung von 150 mW bei 822 nm, welche in ein
selbstgebautes Gehäuse mit Kollimationslinse und Temperaturstabilisierung
eingebaut ist. Die Temperaturstabilisierung erfolgt mit Hilfe eines PeltierElements, welches durch einen Temperaturregler4 kontrolliert wird. Die Bereitstellung des Laserdiodenstroms erfolgt durch eine stabilisierte und rauscharme Stromquelle5 .
Die Bereitstellung eines stabilisierten und rauscharmen Gleichstroms und
einer Temperaturstabilisierung ist sehr wichtig, da die Emissionswellenlänge der Laserdiode vom Diodenstrom und der Temperatur (ca. 0,25 nm K−1 )
abhängt. Die Stabilität der verwendeten Temperaturstabilisierung ist laut Datenblatt besser als ±0,002 ◦C und die der Stromquelle besser als 3 µA pro Tag.
Die Hochleistungslaserdiode wurde hinsichtlich der Laserleistungs- und
Treiberstrom-Kennlinie und des Strahlprofils charakterisiert.
Die Kennlinie der Laserdiode in Abb. 2.3 zeigt die Laserleistung in Abhängigkeit des Betriebsstroms der Laserdiode. Die Laserschwelle der verwendeten
3 Toptica LD-0830-0150-4
4 Thorlabs TED200C
5 Thorlabs LDC202C
2.1 spektroskopielasersystem
120
110
100
Laserleistung P [mW]
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Laserdiodenstrom I [mA]
Abbildung 2.3: Kennlinie der Hochleistungslaserdiode: Laserleistung bei 822 nm
über Laserdiodenstrom. Die Laserschwelle befindet sich bei einem Diodenstrom von
28 mA. Für höhere Diodenströme steigt die Laserleistung mit 1,05 mW mA−1 . Als
Messfehler für den verwendeten Laserleistungsmesskopf (Ophir PD300-UV) wurde
der vom Hersteller spezifizierte Wert von 5% im relevanten Wellenlängenbereich angenommen.
25,5
25,4
25,3
Temperatur T [°C]
25,2
25,1
25,0
24,9
24,8
24,7
24,6
24,5
9,80
9,85
9,90
9,95
10,00
10,05
10,10
Widerstand NTC [kOhm]
Abbildung 2.4: Temperatur der Laserdiode über Widerstand des NTC. Die Fehlerbalken resultieren aus dem Ablesungsfehler des verwendeten Thermometers. Die
Änderung der Temperatur beträgt −2,0 ◦C kΩ−1 .
9
10
lasersysteme
Laserdiode beträgt ca. 28 mA. Um eine Ausgangsleistung von 100 mW direkt
hinter der Kollimationslinse der Laserdiode zu erhalten, wird ein Betriebsstrom von 127 mA benötigt.
Abbildung 2.4 zeigt die Kalibrierkurve des Temperatursensors des Regelkreises für die Temperaturstabilisierung der Laserdiode. Die tatsächliche Temperatur der Laserdiode in Grad Celsius wurde mit Hilfe eines NiCr-Ni Temperatursensors an der Laserdiodenhalterung gemessen, da der Temperaturregler ausschließlich den aktuellen Widerstand des NTC6 angibt und auf diesen
regelt. Die Kenntnis der absoluten Temperatur ist dahingehend hilfreich, als
dass nicht versehentlich der Taupunkt (ca. 15 ◦C) unterschritten wird und sich
Kondenswasser an der Laserdiode bildet. Dies könnte die Laserdiode irreparabel beschädigen.
Die Bestimmung der genauen Betriebstemperatur der Laserdiode erfolgt
durch eine Anpassung der Emissionswellenlänge des Hochleistungslasers
durch Änderung des Laserdiodenstroms und der Temperatur auf die Wellenlänge des Primärlasers. Die Auswahl der verwendeten Hochleistungslaserdiode erfolgte aufgrund der Spezifikation, dass ihr Verstärkungsprofil durch
Temperaturänderung leicht in den gewünschten Bereich, der Wellenlänge des
Primärlasers, verschoben werden kann. Dies kann praktisch durch den Vergleich der Emissionswellenlängen beider Laser mit Hilfe eines Wellenlängenmessgerätes7 geschehen. Das Wellenlängenmessgerät zeigt nicht nur die Wellenlänge beider Laser an, sondern zusätzlich auch die Interferenzmuster des
internen Fabry-Perot-Interferometers, woraus auf Mono-Modenbetrieb oder
Multi-Modenbetrieb des Lasers geschlossen werden kann.
Die gewählte Betriebstemperatur, bei der die oben genannte Bedingung der
Wellenlängenanpassung erfüllt wird und hinreichend weit vom Taupunkt entfernt ist, liegt bei 19,8 ◦C, welches einem Widerstand des NTC von 12,850 kΩ
entspricht. Die relativ ungenaue Temperaturangabe von 19,8 ◦C verglichen
mit dem Widerstandswert des NTC, der auf bis zu drei Nachkommastellen
bekannt ist, rührt von der Ablesungsungenauigkeit des Thermometers her.
Für die Regelung ist jedoch nur der Widerstandswert des NTC entscheidend.
2.2
injektionsstabilisierung
Zur Realisierung der Injektionsstabilisierung [3, 8] der Hochleistungslaserdiode auf den Primärlaser sind gewisse Randbedingungen zu erfüllen. Wie erwähnt wurde, fand bereits eine grobe Einstellung der Laserdiodentemperatur
und des Laserdiodenstroms statt, sodass die Differenz der Emissionswellenlängen beider Laserdioden möglichst minimal ist, damit die Verstärkungsprofile beider Laserdioden überlappen. Um effizient der Hochleistungsdiode
eine longitudinale Mode mit Hilfe des Laserstrahls des Primärlasers aufzuprägen und somit eine induzierte Emission von Laserstrahlung im aktiven
Medium der Hochleistungslaserdiode hervorzurufen, welches die spektralen Eigenschaften des Primärlasers auf die des Hochleistungslasers überträgt,
muss eine Modenanpassung beider Laserstrahlen aneinander erfolgen. Hier6 Negative Temperature Coefficient Thermistor (Heißleiter)
7 Toptica HighFinesse WS-7
2.2 injektionsstabilisierung
r
zR
w(z)
2·w0
δ0
−z
w0
0
+z
0
z
Abbildung 2.5: Schematische Abbildung eines Gaußstrahls (rot).
zu sollen zuerst die Eigenschaften des Gaußstrahls, welcher schematisch in
Abb. 2.5 dargestellt ist, betrachtet werden.
Die Gleichung zur Beschreibung der Leistungsverteilung eines Gaußstrahls
lautet
I(r) = I0 e
−
2r2
w(z)2
=
2
2P
− 2r 2
w(z)
e
,
πw(z)2
(2.1)
mit der Intensität I(r) im radialen Abstand r zur z-Achse und der Gesamtleistung P im Gaußstrahl. Hier ist
s
2
z
(2.2)
w(z) = w0 · 1 +
z0
die Strahltaille w im Abstand z und
z0 =
π · w20
λ
(2.3)
die Rayleigh-Länge in Abhängigkeit der minimalen Strahltaille w0 . Dies zeigt,
dass ein Gaußstrahl durch die Größe w0 der minimalen Strahltaille und
dessen Position z0 vollständig beschrieben werden kann. Zur Modenanpassung zweier Laserstrahlen sollten dementsprechend beide Parameter möglichst identisch sein. Dies hat sowohl für die horizontale Strahlebene zu gelten, wie auch für die vertikale.
Die Überlagerung beider Laserstrahlen erfolgt über einen Faraday-Isolator,
welcher nicht nur die Hochleistungslaserdiode von zurückreflektiertem Licht
aus optischen Elementen schützt, sondern auch durch Polarisation beider Laserstrahlen die Einkopplung des Primärlaserstrahls, in Gegenrichtung zum
Hochleistungslaserstrahl, ermöglicht.
Im Vorfeld zur Modenanpassung wurde der Primärlaserstrahl durch den
Faraday-Isolator geleitet und anschließend mit einer CCD-Strahlkamera aufgenommen und vermessen. Dies wurde auch für den Hochleistungslaser
11
lasersysteme
1300
horizontal (Primär-LD)
vertikal (Primär-LD)
1200
horizontal (Hochleistungs-LD)
vertikal (Hochleistungs-LD)
1100
Strahlradius [µm]
12
1000
900
800
700
600
500
400
300
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Abstand zur Facette der Hochleistungs-LD [m]
Abbildung 2.6: Strahlradien von Primär-LD und Hochleistungs-LD über Abstand
zur Facette der Hochleistungslaserdiode. Das Strahlprofil des Primärlasers weist ein
relativ symmetrisches Strahlprofil mit einer minimalen Strahltaille von 530 µm in der
Horizontalebene und 565 µm in der Vertikalebene auf, wohingegen das Strahlprofil
des Hochleistungslasers aufgrund von Beugungseffekten stark deformiert ist. Für
den Hochleistungslaser ergeben sich minimale Strahlradien von 490 µm in der Horizontalebene und 331 µm in der Vertikalebene. Zudem liegen die Orte der minimalen
Strahltaillen (hor. und ver.) der Hochleistungs-LD etwa 1,3 m voneinander entfernt.
durchgeführt und die Messergebnisse sind zusammen in Abb. 2.6 und 2.7
dargestellt. Die Entfernungsangabe ist relativ zur Facette der Hochleistungslaserdiode angegeben, wodurch die Strahlprofile einfach verglichen werden
können.
Alle Strahlprofile zeigen, mit Ausnahme des vertikalen Strahlprofils der
Hochleistungslaserdiode (grüne Kurve), bereits minimale Strahltaillen, die lokal nahe zusammenliegen und ähnliche Größen aufweisen. Dies stellt günstige Bedingungen für einen guten Modenüberlapp dar. Das vertikale Strahlprofil der Hochleistungslaserdiode zeigt kein Gaußprofil, welches sich nur
durch Interferenzen an der Austrittsfacette des aktiven Lasermediums in der
Laserdiode erklären lässt. Die Laserstrahlen wurden in dieser Form überlagert. Durch geringe Variation des Laserstroms und der Temperatur konnte
nun mit Hilfe des Wellenlängenmessgerätes in verschiedenen Betriebsstromund Temperaturregimen die Stabilisierung des Hochleistungslasers im MonoModenbetrieb beobachtet werden. In Abb. 2.8 sind die Parameter Laserdiodenstrom gegen Messwiderstand des NTC aufgetragen, für die die Injektionsstabilisierung erfolgreich ist.
Die minimale Leistung des injizierten Primärlaserstrahls beträgt nach der
Optimierung der Einkopplung in die Hochleistungslaserdiode 45 µW, wobei
2.2 injektionsstabilisierung
Abbildung 2.7: Schnittbild des Laserstrahls des Hochleistungslasers in 39 cm Entfernung von der Laserdiodenfacette. Das Strahlprofil zeigt ein ausgeprägtes elliptisches
Profil.
im Normalbetrieb eine Leistung von ca. 100 µW injeziert wird, um ausreichend Sicherheitsspielraum zu gewährleisten.
Zur weiteren Charakterisierung des Frequenzspektrums der Hochleistungslaserdiode mit und ohne Injektionsstabilisierung wurden Frequenzspektren
der Hochleistungslaserdiode mit Hilfe eines optischen Spektrumanalysators
durchgeführt.
Abbildung 2.9 zeigt das Spektrum der freilaufenden Hochleistungslaserdiode
ohne eingestrahlten Primärlaser. Das Verstärkungsprofil des Lasers zwischen
820 nm und 825,7 nm ist eindeutig erkennbar. Die Hauptlasermode befindet
sich bei 823,77 nm mit vier kleineren, wesentlich schwächeren Nebenmoden.
Das Auftauchen der Nebenmoden wird wahrscheinlich durch die nicht vorhandene Entspiegelung der Laserdiode und den damit verbundenen Etaloneffekt begünstigt. Bei eingestrahltem Referenzlaser zeigt sich in Abb. 2.10, dass
die Emission des Lasers nicht mehr vom Grundrauschen des Spektrumanalysators zu unterscheiden ist. Die Hauptlasermode liegt nun bei 822,05 nm, der
Wellenlänge des Referenzlasers.
Anhand der Daten des Wellenlängenmessgerätes ist ersichtlich, dass während der Injektionsstabilisierung sowohl der Primärlaser als auch der Hochleistungslaser im Mono-Modenbetrieb bei der gleichen Wellenlänge arbeiten,
siehe Abb. 2.11 und 2.12.
13
lasersysteme
Temperatur Laserdiode [°C]
19,6
19,4
19,2
19,0
18,8
18,6
18,4
160
110
Laserleistung
105
LD-Strom
150
100
LD-Strom [mA]
90
130
85
80
120
75
Laserleistung [mW]
95
140
70
110
65
100
12,4
60
12,5
12,6
12,7
12,8
12,9
13,0
13,1
13,2
13,3
Widerstand des NTC [kOhm]
Abbildung 2.8: Parameter für eine erfolgreiche Injektionsstabilisierung des Hochleistungslasers (LD-Strom/Laserleistung über Messwiderstand/LD-Temperatur). Die
Fehlerbalken der Laserleistung ergeben sich aus den Spezifikationen des verwendeten Messgerätes und die des Laserdiodenstroms aus der Anzeigegenauigkeit.
0
-10
Laserleistung [dBm]
14
-20
-30
-40
-50
810
815
820
825
830
835
Wellenlänge [nm]
Abbildung 2.9: Spektrum der freilaufenden Hochleistungs-LD ohne eingestrahlten
Referenzlaser bei 19,8 ◦C.
2.2 injektionsstabilisierung
0
Laserleistung [dBm]
-10
-20
-30
-40
-50
810
815
820
825
830
835
Wellenlänge [nm]
Abbildung 2.10: Spektrum der Hochleistungs-LD mit Injektionsstabilisierung (Eingangsleistung 50 µW) bei 19,8 ◦C.
Abbildung 2.11: Fabry-Perot-Spektrum und Wellenlänge des Primärlasers, dargestellt vom Wellenlängenmessgerät.
15
16
lasersysteme
Abbildung 2.12: Fabry-Perot-Spektrum und Wellenlänge des Hochleistungslasers,
dargestellt vom Wellenlängenmessgerät während der Injektionsstabilisierung. Das
Fabry-Perot-Spektrum zeigt den Mono-Modenbetrieb. Die Wellenlänge ist identisch
zur Wellenlänge des Primärlasers.
3
FREQUENZVERDOPPELUNG
3.1
theorie
Das vorliegende Experiment zielt auf die Spektroskopie des schmalbandigen
Übergangs 2 S1/2 - 2 D5/2 bei 411 nm von 172Yb+ ab. Zur Erzeugung von Laserlicht der Wellenlänge 411 nm ist es nötig, auf die Technik der optischen
Frequenzverdoppelung, einer speziellen Form der Frequenzmischung, zurückzugreifen. Frequenzverdoppelung kann im quantenmechanischen Bild
als ein Zwei-Photonen-Prozess aufgefasst werden. Hierbei werden zwei Photonen mit jeweils der Energie hω zu einem Photon der doppelten Energie
2hω konvertiert, wie in Abb. 3.1 schematisch angedeutet ist.
Es gibt verschiedene Gründe, die Frequenzverdoppelungstechnik zu nutzen. Im Falle dieses Experiments bestand der Grund darin, dass Laserdioden
der Wellenlänge 411 nm zur Zeit nicht mehr auf dem Markt erhältlich sind,
wohingegen Laserdioden im Infrarotbereich des elektromagnetischen Spektrums bei vielen Wellenlängen, so auch bei 822 nm, weiterhin verfügbar sind.
Diese zeichnen sich zudem dadurch aus, dass sie im Betrieb wesentlich einfacher zu handhaben sind als blaue Laserdioden. Daher wird in diesem Experiment das Laserlicht einer Hochleistungslaserdiode bei 822 nm mit Hilfe der
Frequenzverdoppelung in Laserlicht der Wellenlänge 411 nm umgewandelt.
Im folgenden Kapitel werden die theoretischen Grundlagen der Frequenzverdoppelung in nichtlinearen optischen Medien erörtert und der Entwurf
und die Charakterisierung einer Frequenzverdoppelung für das vorliegende
Experiment vorgestellt. Für detailliertere Ausführungen zur Frequenzverdoppelung sei auf die Literatur, wie z.B. [9], verwiesen.
ħω
2ħω
ħω
Abbildung 3.1: Prinzip der Frequenzverdoppelung im Bild der Quantenmechanik:
Zwei Photonen der Energie hω werden in einem Zwei-Photonen-Prozess zu einem
Photon der Energie 2hω konvertiert.
3.1.1 Polarisation und Suszeptibilität zweiter Ordnung
Zur Erklärung der Frequenzverdoppelung im nichtlinearen optischen Medium ist es zunächst erforderlich, die mikroskopische Wechselwirkung der Atome im Festkörper mit elektromagnetischen Wellen zu betrachten. Wie bereits
aus den Grundlagen der Elektrodynamik bekannt ist, übt ein elektrisches
Feld auf Ladungsträger eine Kraft aus. Diese Kraft führt zu einer Ladungs-
17
18
frequenzverdoppelung
trägerverschiebung im Medium. In einem Festkörper werden die Elektronen
gegenüber den Atomkernen verschoben, was sich in einem induzierten elektrischen Dipolmoment äußert.
Betrachtet man N Atome in einem Volumen V eines Mediums, so führt das
zeitabhängige elektrische Feld ~E einer elektromagnetischen Welle zu einer
Polarisation ~pi eines jeden Atoms und somit zu einer Gesamtpolarisation im
Volumen V von
N
X
~P = 1
~pi
V
(3.1)
i=1
Die Polarisation ist direkt verknüpft mit dem elektrischen Feld über eine materialabhängige Größe, der Suszeptibilität χ:
~P(1) = 0 χ(1)~E
(3.2)
Diese Relation, welche nur einen linearen Zusammenhang zwischen Polarisation und elektrischem Feld der einfallenden elektromagnetischen Welle zeigt,
enthält als Proportionalitätskonstante die Suszeptibilität erster Ordnung und
gilt nur für optisch isotrope Medien. Durch Erweiterung dieser Relation auf
optisch anisotrope Medien, folgt eine von der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle im Medium abhängige Suszeptibilität, die als Suszeptibilitätstensor geschrieben werden kann:

(1)
Px


(1)
χxx
(1)
χxy
(1)
χxz

Ex

 
 (1) 

P  = 0 χ(1) χ(1) χ(1)  E 
yy
yz   y 
 y 
 yx
(1)
(1)
(1)
(1)
Pz
χzx χzy χzz
Ez
(3.3)
Für kleine elektrische Feldstärken ist diese Möglichkeit der Beschreibung von
elektromagnetischen Wellen (EM-Wellen) völlig ausreichend. Für hohe elektrische Feldstärken jedoch tragen auch Polarisationseffekte bei, die nichtlinear
vom elektrischen Feld der EM-Welle abhängen. Dies ist zum Beispiel bei hohen Intensitäten zu beobachten, wie sie von einem Laser erzeugt werden.
Um dieser Tatsache Rechnung zu tragen, muss die Suszeptibilität erster
Ordnung χ(1) geringfügig modifiziert werden. Durch Reihenentwicklung des
elektrischen Feldes nach der Polarisation erhält man
~P = 0 (χ(1) ⊗ ~E + χ(2) ⊗ ~E~E + χ(3) ⊗ ~E~E~E + ...)
(3.4)
Hinweis: ⊗ stellt das Tensorprodukt dar!
In Komponentenschreibweise ergibt sich nun für die i-te Komponente der
dielektrischen Polarisation:
(1)
(2)
+ Pi + ...
X (1)
= 0
χij (ω)Ej (ω)
Pi (ω) = Pi
j
+ 0
X X
jk ω1 ,ω2
(2)
χijk (ω = ω1 + ω2 )Ej (ω1 )Ek (ω2 ) + ...
(3.5)
3.1 theorie
In der letzten Gleichung erfolgt die Summation über alle Frequenzkomponenten ω1 und ω2 für die ω = ω1 + ω2 gilt. Wie man nun leicht erkennen
kann, werden im nichtlinearen Medium auch dielektrische Polarisationen mit
der Frequenz 2ω angeregt, welches dazu führt, dass die Dipole auch elektromagnetische Strahlung der Frequenz 2ω abstrahlen. Dieser Effekt wird Frequenzverdoppelung1 genannt.
Aufgrund der intrinsischen Permutationssymmetrie des Suszeptibilitätstensors zweiter Ordnung kann dieser vereinfacht dargestellt werden, indem zwei
der drei Indizes zu einem Index vereint werden (Voigt’sche Notation [9]):
1 (2)
dil = χijk
2
(3.6)
mit i : x → 1, y → 2, z → 3 und der Konvention:
jk:
xx
yy
zz
yz,zy
zx,xz
yx,xy
l:
1
2
3
4
5
6
Tabelle 3.1: Indexpermutationen der Voigt’schen Notation für Gleichung 3.6
(2)
Dies verringert die Anzahl der Einträge für χijk von 27 auf 18. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass alle Frequenzen hinreichend klein gegendχ
über jeglichen Resonanzfrequenzen des Mediums sind, sodass dω
= 0 gilt.
Somit weist die Suszeptibilität keine Frequenzabhängigkeit auf. Diesen Fall
nennt man Kleinman-Symmetrie [9], welcher uns dazu berechtigt, die Indizes
i, j und k zu permutieren. Dies ermöglicht eine weitere Vereinfachung, sodass
statt 18 nur noch maximal 10 unabhängige Matrixeinträge vorliegen:

E2x (ω)
E2y (ω)
E2z (ω)









Px (2ω)
d11 d12 d13 d14 d15 d16 

 


P (2ω) = d

 (3.7)


 y
  16 d22 d23 d24 d14 d12  
2Ey (ω)Ez (ω)


Pz (2ω)
d15 d24 d33 d23 d13 d14 

2E
(ω)E
(ω)
z
x


2Ex (ω)Ey (ω)


Durch Berücksichtigung von Kristallsymmetrien, kann die Anzahl der Einträge in der d-Matrix je nach Kristalltyp noch weiter verringert werden. Eine
weitere Vereinfachung kann vorgenommen werden, indem eine feste Geometrie, im Sinne einer festen Ausbreitungsrichtung relativ zu den Kristallachsen,
und eine feste Polarisation des elektrischen Feldes angenommen wird, was zu
einer skalaren Relation mit deff , dem effektiven nichtlinearen Koeffizienten,
führt:
P(2ω) = 20 deff E2 (ω)
1 Second Harmonic Generation (SHG)
(3.8)
19
20
frequenzverdoppelung
3.1.2
Wellenausbreitung im nichtlinearen Medium
In diesem Unterkapitel soll ein Ausdruck für die Phasenfehlanpassung hergeleitet werden. Die Phasenanpassungsbedingung ist das Äquivalent zur Impulserhaltung und kann somit als notwendige Bedingung zur Frequenzverdoppelung betrachtet werden.
Ausgehend von der Wellengleichung in einem unmagnetischen, nichtleitenden Medium, soll nun ein Ausdruck für die Phasenfehlanpassung aus der
Wellengleichung
1 ∂2
∂2
∆~E = 2 2 ~E + µ0 2 ~P
c ∂t
∂t
(3.9)
mit P = P(1) + P(NL) abgeleitet werden. Durch Separation des linearen und
nichtlinearen Anteils der Polarisation kann diese Gleichung in eine Form
überführt werden, die nur von der nichtlinearen Polarisation P(NL) bestimmt
wird. Für die weitere Herleitung, vgl. [9], werden folgende Annahmen gemacht:
• ~E(z, t): Linear polarisierte, ebene Welle mit Propagationsrichtung z.
∂2 Ei
∂z2
i
∂E
∂z ki : Nur kleine Änderungen der Feldamplitude des elektrischen Feldes über eine Wellenlänge.
P
n ,z) −i(ωn t−kn z)
• E(z, t) = n En (ω
e
+ c.c.: E-Feld ist die Fouriersumme
2
ebener Wellen.
•
• P(n) (z, t) =
Wellen.
P
(n)
Pk (ωk ,z) −iωk t
e
k
2
+ c.c.: P ist die Fouriersumme ebener
• α = 0: Vernachlässigbare Absorption des Kristalls.
Dies führt schließlich auf die gekoppelten Amplitudengleichungen, welche
einen Zusammenhang zwischen den Amplituden von Fundamentalwelle E1
und zweiter harmonischer Welle E2 herstellen:
∂
ω1
E1 (ω1 , z) = i
deff E2 E∗1 ei∆kz
∂z
n1 c
(3.10)
∂
ω2
E2 (ω2 , z) = i
deff E21 e−i∆kz
∂z
n2 c
(3.11)
In diesen Gleichungen taucht nun der Ausdruck für die Phasenfehlanpassung
∆k auf, welcher von den frequenzabhängigen Brechungsindizes (Dispersion)
nω bzw. n2ω abhängt:
∆k = k2ω − 2kω =
2ω
(n2ω − nω )
c
(3.12)
3.1 theorie
3.1.3 Schwache Konversion
Im Folgenden soll nun der Grenzfall der schwachen Konversion betrachtet
werden. Hierbei wird angenommen, dass die Grundwelle, welche in einen
nichtlinearen Kristall der Länge Lc eintritt, nur geringfügig abgeschwächt
wird. Aus den gekoppelten Amplitudengleichungen 3.10 und 3.11 kann nun
die Amplitude des elektrischen Feldes der zweiten Harmonischen in Abhängigkeit von der Kristalllänge Lc angegeben werden:
E2 (Lc ) =
iωdeff Lc E21 (0) sin(∆kLc /2)
∆kLc
exp −i
cn2
∆kLc /2
2
(3.13)
Das Betrachten der Intensität, welche proportional zum Betragsquadrat der
Amplitude des elektrischen Feldes ist, liefert den Zusammenhang
I2 ∝
L2c sinc2
∆kLc
2
,
(3.14)
mit der Sinus-Kardinalis-Funktion
sinc(x) =
sin(x)
.
x
(3.15)
Zur Veranschaulichung von Gleichung 3.14 ist in Abb. 3.2 das Quadrat der
Sinus-Kardinalis-Funktion abgebildet.
1 ,0
0 ,8
s in c ( x )
2
0 ,6
0 ,4
0 ,2
0 ,0
-1 0
-5
0
5
x
Abbildung 3.2: sinc2 (x)-Funktion
1 0
21
frequenzverdoppelung
1 ,0
∆k
∆k
∆k
∆k
0 ,9
0 ,8
0 ,7
= 0
= π/ 2
= π
= 2 π
e s
0 ,6
I 2 ω/ I g
22
0 ,5
0 ,4
0 ,3
0 ,2
0 ,1
0 ,0
0
2
4
K r is ta lllä n g e L
c
6
8
1 0
[a .u .]
Abbildung 3.3: Relative Intensität I2ω der zweiten Harmonischen in Abhängigkeit
von der Kristalllänge Lc und der Phasenfehlanpassung ∆k
Der Vergleich der Gleichungen 3.12 und 3.14 ergibt, dass die maximale
Intensität der zweiten Harmonischen für ∆k = 0 erreicht wird. Ist ∆k 6= 0
treten Intensitätsoszillationen mit der Periode der Kohärenzlänge lc , die als
lc =
π
λ
=
∆k
4(n2ω − nω )
(3.16)
angegeben werden kann, auf. Hierbei pendelt die Strahlungsleistung zwischen der Fundamentalwelle und der zweiten Harmonischen hin und her,
denn es gilt Iges = Iω + I2ω . Dieses ist in Abb. 3.3 für verschiedene Parameter
∆k dargestellt.
Die Kohärenzlänge liegt in Kristallen mit normaler Dispersion in der Größenordnung von wenigen Mikrometern, da |nω − n2ω | ≈ 10−2 .
3.1.4
Phasenanpassung
Wird die Bedingung
n2ω = nω
(3.17)
erfüllt, so ist die Konversionseffizienz maximal. Dies wird Indexanpassung
genannt. Die Verwendung von doppelbrechenden Kristallen ermöglicht diese
Art der Phasenanpassung durch das Vorhandensein von ordentlichem und
außerordentlichem Brechungsindex (no bzw. ne ). Wie in Abb. 3.4 zu sehen ist,
wird für einen Einstrahlwinkel θm des Laserstrahls gegenüber der optischen
Achse Indexanpassung erreicht. In diesem Fall ist no (ω) = ne (2ω).
3.1 theorie
z
optische Achse
kw, k2w, Sw
Qm
no(2w)
ne(2w)
r
S2w
no(w)
ne(w)
Abbildung 3.4: Indexellipsoid
Der Phasenanpassungswinkel beträgt:
sin2 (θm ) =
no (ω)−2 − no (2ω)−2
n̄e (2ω)−2 − no (2ω)−2
(3.18)
mit n̄e = ne (θ = 90°). Die Winkelanpassung birgt jedoch ein Problem: In
Abb. 3.4 ist dargestellt, dass die Poynting-Vektoren, die immer senkrecht auf
den Indexellipsoiden stehen, nicht mehr parallel sind. Somit entsteht zwischen den Poynting-Vektoren ein Winkel, der als „walk-off“ bezeichnet wird.
Je größer der „walk-off“ ist, desto geringer ist die Konversionseffizienz, da
es als „Auffächern“ des Laserstrahls innerhalb des Kristalls aufgefasst werden kann, welches zu einer immer schlechteren Phasenanpassung führt. Der
„walk-off“-Winkel berechnet sich zu:
ρ = arctan
n2o (ω)
2
1
1
− 2
2
ne (2ω) no (2ω)
sin(2θm )
(3.19)
Bei einer Phasenanpassung unter einem Winkel θm 6= 0, der kritischen Phasenanpassung, tritt immer ein „walk-off“ auf.
Durch unkritische Phasenanpassung, bei der die Anpassung der Brechungsindizes durch Einstellen der Kristalltemperatur erfolgt, kann der „walk-off“
für bestimmte Wellenlängen vermieden werden. Hierbei besteht jedoch die
Problematik, dass der effektive nichtlineare Koeffizient bei der unkritischen
Phasenanpassung sehr klein ist, da die Kristallachse nicht frei gewählt werden kann.
Abhilfe schafft die Quasiphasenanpassung, bei der die Kristallachse mit
dem höchsten nichtlinearen Koeffizienten genutzt werden kann.
Bei der Quasiphasenanpassung werden dem Kristall bei der Herstellung
Domänen2 eingeprägt, welche Suszeptibilitäten mit unterschiedlichen Vorzei2 Periodically Poled Crystals, z.B. PPKTP, PPLN, usw. Eine periodische Polung ist nur bei ferroelektrischen Kristallen möglich. [10]
23
24
frequenzverdoppelung
chen aufweisen, sodass di+1 = −di gilt. Dies führt dazu, dass die fortschreitende Dephasierung des Laserstrahls durch die alternierende Struktur der
Domänen aufgehoben wird. Der große Vorteil von periodisch gepolten Kristallen und der Quasiphasenanpassung ist, dass freie Auswahl hinsichtlich der
zu benutzenden Kristallachse besteht.
Dies ermöglicht hohe Konversionseffizienzen, obwohl der effektive nichtlineare Koeffizient deff , aufgrund der vorhandenen Domänenstruktur, etwas
verkleinert wird:
dQ =
2
deff
π
(3.20)
Bei Verwendung eines nichtlinearen optischen Kristalls mit dem nichtlinearen optischen Koeffizienten deff , welcher jedoch in periodisch gepolter Form
vorliegt, muss der Parameter deff durch dQ in den Rechnungen ausgetauscht
werden [9].
Da die Konversionseffizienz auch abhängig von der Länge der Domänen ist,
kommt bei der Quasiphasenanpassung noch die Schwierigkeit hinzu, diese
Länge optimal einzustellen. Dies ist jedoch herstellungstechnisch leider nicht
möglich und erfordert andere Maßnahmen. Eine gängige Lösung für dieses
Problem ist die Anpassung der Domänenlänge durch Temperaturstabilisation
des Kristalls, welches zu einer Längenausdehnung der einzelnen Domänen
führt.
Boyd-Kleinman-Funktion
3.1.5
Bisher wurden die theoretischen Grundlagen zur Frequenzverdoppelung nur
für ebene elektromagnetische Wellen diskutiert. Im nächsten Abschnitt sollen konkret Gaußstrahlen betrachtet werden, welche bereits in Kapitel 2.2
beschrieben wurden.
Sei nun ~E1 das elektrische Feld der Grundwelle des Gaußstrahls, welches
gegeben ist durch:
~E1 (r, z) = E0 w0 exp
w(z)
−r2
r2
−
ik
z
−
ik
+ iζ(z)
ω
ω
w2 (z)
2R(z)
mit
r: Radialabstand von der Strahlachse
z: Axialabstand von der minimalen Strahltaille
kω =
2πn
λ :
Wellenzahl bei Brechungsindex n
E0 = |E(0, 0)|: Amplitude des elektrischen Feldes bei z = 0 und r = 0
ζ(z) = arctan zzR : Gouy-Phasenverschiebung im Abstand z
R(z): Krümmungsradius der Wellenfronten des Gaußstrahls
(3.21)
3.1 theorie
Durch Einsetzen von Gl. 3.21 in Gl. 3.11 und anschließender Integration in
Ausbreitungsrichtung der zweiten Harmonischen, kann nun das elektrische
Feld der zweiten Harmonischen E2 außerhalb des Kristalls bestimmt werden. Daraus ergibt sich unmittelbar durch Integration über eine Ebene mit
z = const. die Ausgangsleistung der zweiten Harmonischen
P2 =
16π2 d2eff Z0 Lc P02 −α 0 l+µαl
e
· h(σ, β, ξ, µ, κ) ,
λ31 n2 n1
(3.22)
welche proportional zum Quadrat der Eingangsleistung und direkt proportional zur Länge des Kristalls Lc ist. Des Weiteren ist die Ausgangsleistung
proportional zum Faktor h, dem Boyd-Kleinman-Faktor [11], welcher von den
Strahlparametern des Gaußstrahls (minimale Strahltaille σ, Ort des Fokus µ),
der Phasenanpassung ζ, dem „walk-off“ B und den Konversionsverlusten κ
abhängt und sich durch eine Lösung der Boyd-Kleinman-Funktion, Gl. 3.23,
bestimmen lässt.
1
h(σ, β, ξ, µ, κ) = eµαl ·
4ξ
"Z
Z
ξ(1+µ)
−ξ(1−µ)
ξ(1+µ)
0
0
2
0
e−κ(r +r)+iσ(r −r)−β (r −r)
drdr 0
(1 + ir)(1 − ir 0 )
−ξ(1−µ)
2
#
(3.23)
Diese Funktion kann nicht analytisch gelöst werden und muss dementsprechend mit einem numerischen Verfahren berechnet werden. Zur Berechnung
der Boyd-Kleinman-Funktion wurde ein Programm3 entwickelt, welches die
numerische Optimierung von h in Abhängigkeit der Parameter
ξ = Lc /b
√
β = B/ ξ: „walk-off“-Parameter
κ = αb/2: Verlustparameter
σ = ∆kb/2: Phasenanpassungsparameter
µ = (Lc − 2f)/Lc : Fokusparameter
b = (2πω20 )/(λω ): konfokaler Parameter
durchführt. Der „walk-off“-Parameter B ist bei der in diesem Experiment verwendeten Quasiphasenanpassung irrelevant, da in diesem Fall B = 0 gilt.
Der Verlustparameter α setzt sich aus den Absorptionsverlusten des Kristalls,
der Fundamentalwelle und der zweiten Harmonischen zusammen, sodass
α = αω − 1/2α2ω gilt. Im Folgenden soll jedoch nur der Fall betrachtet werden, in welchem die Absorptionsverluste vernachlässigbar sind (α = 0 ⇒ κ =
0). Zudem wird immer davon ausgegangen, dass der Fokus des Laserstrahls
in der Mitte des Kristalls liegt (µ = 0).
Unter Beachtung dieser Randbedingungen kann nun die numerische Optimierung der Boyd-Kleinman-Funktion durchgeführt werden. Dies liefert die
3 Quelltext im Anhang
25
frequenzverdoppelung
optimalen experimentellen Parameter für eine möglichst hohe Konversionseffizienz.
Der mit Abstand wichtigste zu optimierende Parameter ist die Größe des
Fokus im Kristall. Ist dieser zu groß, ist die Intensität der Fundamentalwelle
nicht ausreichend eine leistungsstarke zweite Harmonische hervorzubringen,
wohingegen ein zu kleiner Fokus die Konversionseffizienz, aufgrund der zu
großen Divergenz des Laserstrahls, vermindert.
Für den in diesem Experiment verwendeten PPKTP-Kristall, liefert die numerische Optimierung einen optimalen Strahlradius von w0 = 19 µm.
In Abb. 3.5 ist die Boyd-Kleinman-Funktion in Abhängigkeit der minimalen
Strahltaille w0 dargestellt.
1,2
1,0
0,8
0,6
h
26
0,4
0,2
0,0
0
20
40
60
0
80
100
[µm]
Abbildung 3.5: Boyd-Kleinman-Funktion
Links vom Maximum fällt die Boyd-Kleinman-Funktion wesentlich stärker
ab als rechts vom Maximum. Dies ist wichtig, da die optimale Strahltaille nur
auf wenige Mikrometer genau eingestellt werden kann. Liegt die Größe der
Strahltaille ungewollt links vom Maximum, so müssen große Verluste bei der
Konversionseffizienz hingenommen werden. Um dies zu vermeiden, bietet
es sich an die Größe der Strahltaille von Beginn an etwas größer zu wählen, als dieses berechnet wurde, da die Boyd-Kleinman-Funktion rechts vom
Maximum weniger steil abfällt. Dies macht die Anpassung der Strahltaille
weniger kritisch. Die genaue Vorgehensweise zur Anpassung der Strahltaille
folgt in Kapitel 3.2.
Die für die numerische Optimierung verwendeten Parameter des PPKTPKristalls und dessen physikalische Eigenschaften werden im folgenden Abschnitt diskutiert.
3.1 theorie
3.1.6 Wahl des nichtlinearen Kristalls
Tabelle 3.2 zeigt verschiedene nichtlineare Materialien und deren Eigenschaften, welche es für die Kristallauswahl zu beachten gilt.
Beginnend mit dem Wellenlängenbereich, in dem eine Frequenzverdoppelung aufgebaut werden soll, stellt sich die Forderung nach einem Kristall, der
für Fundamentalwelle und zweite Harmonische transparent ist. Nicht jeder
Kristalltyp ist für jeden Wellenlängenbereich geeignet. Außerdem liegt es nahe einen Kristalltyp zu wählen, der einen möglichst hohen nichtlinearen Koeffizienten aufweist, um die Konversionseffizienz zu erhöhen. Diese Auswahl
kann beispielsweise mit dem Programm SNLO4 erfolgen.
Es müssen jedoch auch andere Effekte, die der Konversionseffizienz negativ entgegenstehen, berücksichtigt werden. Da der Laserstrahl im Kristall
teilweise auf unter 30 µm fokussiert wird, spielen thermische Linsen [12] eine entscheidende Rolle. Die Energiedichte bei einem derart kleinen Fokus
im Kristall wird sehr groß und kann zu einer lokalen Erhitzung und somit
zur Veränderung des Brechungsindex führen. Auch wenn diese hohe Energiedichte nicht direkt zur thermischen Zerstörung des Kristalls führt, können
zum Beispiel Farbzentren auftreten, welche die Konversionseffizienz kontinuierlich mindern, siehe Kapitel 3.5. Außerdem können zu hohe Leistungen
des Laserstrahls die Entspiegelungsbeschichtung der Kristallfacetten zerstören, deren Zerstörschwelle typischerweise unterhalb der Zerstörschwelle des
Kristalls liegt.
Auch Effekte, wie der BLIRA-Effekt5 [13], sollten bei der Auswahl des Kristalltyps berücksichtigt werden. Einige Kristallmaterialien zeigen auch hygroskopische Eigenschaften, was eine Lagerung unter Schutzatmosphäre erforderlich macht.
Kristall-Typ
KNbO3
LBO
BBO
PPKTP
PPLN
Transp.-Bereich [nm]
400-4500
160-2600
189-1750
350-4500
420-5200
NC deff [pm/V]
18
61
61
7-9
17-18
Tabelle 3.2: Nichtlineare Kristalle
Nicht nur die Auswahl des Materials des nichtlinearen Kristalls spielt eine wichtige Rolle. Je nach Art und Weise wie die Kristalle verarbeitet werden, unterscheiden sich ihre Eigenschaften und deren Handhabung im Experiment. Einige Kristalle werden zur Erhöhung der Konversionseffizienz als
periodisch gepolte Kristalle (PP) angeboten. Darüber hinaus besteht die Möglichkeit die Kristalle mit einer Entspiegelung auf den Facetten zu versehen,
um unerwünschte Reflexionsverluste zu vermeiden. Gleiches lässt sich auch
mit einem Brewster-Anschnitt6 der Kristallfacetten erreichen, was jedoch im
experimentellen Aufbau den Einbau des Kristalls unter dem Brewster-Winkel
erfordert und die Justage verkompliziert.
4 http://www.as-photonics.com/snlo
5 Blue Induced InfraRed Absorption
6 b-cut crystals
27
28
frequenzverdoppelung
3.1.6.1 Der PPKTP-Kristall
Für dieses Experiment wurde ein periodisch gepolter KTP (PPKTP) Kristall
als nichtlineares optisches Medium gewählt. Bei KTP handelt es sich um Kaliumtitanylphosphat, einem orthorhombischen, doppelbrechenden Kristall der
Kristallklasse mm2, dessen Transparenzbereich sich von 350 nm bis 4 µm erstreckt [14].
Aufgrund der Kristallsymmetrien ergibt sich für PPKTP die folgende Abhängigkeit zwischen nichtlinearer Polarisation und E-Feld:


(2)


Px,ω
0
0
0
0 d15
 (2)


P
 = 0 ·  0
0
0 d24 0
 y,ω 

(2)
Px,ω
d31 d32 d33 0
0
E2x,ω




  E2


y,ω


0
2
  Ez,ω 
 (3.24)


0 · 

2Ey,ω Ex,ω 


0
 2E E 
 x,ω z,ω 
2Ez,ω Ey,ω
Der nichtlineare Koeffiziententensor von KTP ist


6, 1 0


d=
0
0
7, 6 0 0
 0
 pm/V.
6, 5 5, 0 13, 7 0
0 0
0
0
0
0
(3.25)
Dieser besitzt für d33 = 13,7 pm/V den höchsten nichtlinearen Koeffizienten. Dieses bedeutet, dass die Konversion entlang der dritten Hauptachse im
Kristall am effizientesten ist. Der Kristall wurde derart hergestellt, sodass die
Kristallachse längs des Kristalls der dritten Hauptachse entspricht. Da es sich
bei dem verwendeten Kristall jedoch um einen periodisch gepolten Kristall
handelt, muss der nichtlineare Koeffizient noch mit dem Faktor 2/π multipliziert werden (vgl. Kapitel 3.1, Gl. 3.20):
dq = 2/π · 13,7 pm/V ≈ 8,7 pm/V
(3.26)
Aus herstellungstechnischen Gründen variieren die nichtlinearen Koeffizienten leicht von Kristall zu Kristall. Der Absorptionskoeffizient für 411 nm
wurde zu 15 m−1 und für 822 nm zu 0,4 m−1 abgeschätzt, wobei die Daten
aus [15] zugrundegelegt wurden.
Neben dem nichtlinearen Koeffizienten ist die Kenntnis des Brechungsindex von entscheidender Bedeutung. Da es sich um einen doppelbrechenden Kristall handelt, weisen die unterschiedlichen Achsen des Kristalls auch
unterschiedliche Brechungsindizes auf. Die Brechungsindizes sind wellenlängenabhängig, was als Dispersion bezeichnet wird. Zur Bestimmung der Brechungsindizes bei unterschiedlichen Wellenlängen, wurden die empirisch bestimmten Sellmeier-Gleichungen für KTP herangezogen [14]:
n2x = 2, 16747 +
0, 83733
− 0, 01713 · λ2
1 − 0, 04611 · λ−2
(3.27)
3.1 theorie
n2y = 2, 19229 +
0, 83547
− 0, 01621 · λ2
1 − 0, 04970 · λ−2
(3.28)
n2z = 2, 25411 +
1, 06543
− 0, 02140 · λ2
1 − 0, 05486 · λ−2
(3.29)
Für die dritte Hauptachse, welche für die Frequenzverdoppelung verwendet
werden soll, ist der Brechungsindex nz entscheidend. Für die Wellenlängen
nimmt dieser die Werte
nz (822 nm) = 1, 8437
(3.30)
nz (411 nm) = 1, 9566
(3.31)
an. Der im Experiment verwendete PPKTP-Kristall weist eine Länge von
Lc = 15 mm auf und die für 822 nm entspiegelten Facetten haben die Abmaße 1 mm x 2 mm.
Wie bereits in Kapitel 3.1.5 zur Boyd-Kleinman-Funktion diskutiert wurde,
fließen diese Kristallparameter in die numerische Optimierung der Funktion
mit ein.
Die numerische Optimierung der Boyd-Kleinman-Funktion (Gl. 3.23) liefert die folgenden Ergebnisse für eine Fundamentalwellenleistung von 60 mW
und den oben genannten Parametern:
hmax = 1, 07: Maximum der Boyd-Kleinman-Funktion
∆k = 217: Optimalwert der Phasenfehlanpassung
w0 = 19 µm: Optimale Strahltaille im Kristall
P2 = 225 µW: Leistung der zweiten Harmonischen bei einfacher Kristallpassage
η=
0,225 mW
60 mW
= 3, 8 · 10−3 = 0, 38%: Verdoppelungseffizienz
Γ=
0,225 mW
60 mW2
= 6,25 · 10−5 mW−1 : Konversionseffizienz
Zur Quasiphasenanpassung mittels Temperaturanpassung wurde eine Kristallhalterung7 aus Kupfer entworfen, welche in einem Teflonkästchen mit
einem Heizwiderstand und einem Temperatursensor untergebracht ist. Die
Fixierung der Kristallhalterung erfolgt auf einem Verschiebetisch, der die genaue Positionierung des Kristalls in verschiedenen Achsen ermöglicht.
7 Konstruktionszeichnung im Anhang
29
30
frequenzverdoppelung
3.2
der ringresonator (bow-tie-resonator)
Zur Verbesserung der Verdoppelungseffizienz, welche nach einem einzelnen
Durchlauf des Kristalls nur einige Promille beträgt, kann der Hochleistungslaserstrahl mehrmals durch den Kristall geführt werden. Dies kann mit Hilfe
eines optischen Resonators erreicht werden, in welchem der Kristall eingebaut ist. Als Resonatordesign wird in diesem Fall ein Ringresonator (BowTie-Resonator) gewählt, in welchem die Fundamentalwelle den Kristall nur
in einer Richtung durchläuft, sodass auch die Auskopplung der zweiten Harmonischen in einer definierten Richtung möglich ist und Stehwellen im Resonator vermieden werden.
In Abb. 3.6 ist exemplarisch der schematische Aufbau eines Ringresonators
mit eingebautem Kristall abgebildet.
l1
PZT
M1
M2
d
M4
PPKTP
M3
l2
Abbildung 3.6: Aufbau und Strahlengang eines Bow-Tie-Resonators mit Kristall
(PPKTP): M1 Einkoppelspiegel, M2 Planspiegel, M3 Hohlspiegel, M4 Auskoppelspiegel/Nulllinse, PZT Piezoaktuator
Der Bow-Tie-Resonator ist ein gefalteter Ringresonator, welcher aus vier
Spiegeln (M1-M4) besteht. Die Einkopplung des Hochleistungslaserstrahls
erfolgt über den Spiegel M1. Das Strahlprofil des Hochleistungslasers wird
dahingehend angepasst, dass mittig zwischen den Spiegeln M1 und M2 der
kleinste Strahlradius (w01 zwischen den Planspiegeln und w02 im Kristall)
erzeugt wird, welcher dann mit Hilfe des Hohlspiegels M3 mit Krümmungsradius r in den Kristall abgebildet wird. Spiegel M4, eine Nulllinse, reflektiert
den Hochleistungslaserstrahl auf den Einkoppelspiegel M1 zurück und koppelt die zweite Harmonische aus dem Resonator aus. Das Besondere an einer Nulllinse ist die Eigenschaft, das Strahlprofil des Laserstrahls nicht mehr
durch Brechung zu verändern. Zur Stabilisierung ist Spiegel M2 mit einem
Piezoaktuator8 (kurz Piezo, im Bild: PZT) versehen, der durch Anlegen einer
Spannung den Spiegel M2 bewegt und somit die optische Länge des Resonators ändert. Die Abmaße dieses Spiegels wurden möglichst klein gewählt,
sodass die Masse des Spiegels möglichst gering ist. Dies ermöglicht eine höhere Regelbandbreite des Stabilisierungssystems, da der Piezo eine kleinere
Masse aufgrund der Trägheit schneller bewegen kann als eine Große.
8 Thorlabs AE0203D04F
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
3.2.1 Stabilitätsbedingungen des Ringresonators
Das Design des Ringresonators, hinsichtlich der Anordnung und der optischen Eigenschaften der verwendeten Spiegel, wie z.B. dem Reflexions- und
Transmissionsgrad und dem Krümmungsradius r der Hohlspiegel, soll hier
gesondert behandelt werden. Damit der Ringresonator stabil ist, also jede
Gauß’sche Resonatormode wieder nach einem Umlauf im Resonator in sich
selbst übergeht, müssen die Abmessungen des Resonators und die Krümmungsradien der Spiegel aufeinander abgestimmt werden.
ABCD-Matrixformalismus
Diese Betrachtung lässt sich kompfortabel mit Hilfe des ABCD-Matrixformalismus [9, 16] durchführen, in welchem jedem optischen Element des Aufbaus eine charakteristische Matrix (Transfermatrix) zugeordnet wird. Wird
eine Transfermatrix auf den Strahlvektor angewandt, so beschreibt der resultierende Strahlvektor den Gaußstrahl nach Passieren des optischen Elements.
Die Transfermatrix T hat die Form:
T=
A
B
!
C D
(3.32)
Betrachtet werden soll ein Gaußstrahl, siehe Gl. 3.21, welcher sich entlang der
z-Richtung ausbreitet und durch den Strahlparameter q in Abhängigkeit des
Krümmungsradius rS , des Strahlradius w und der Wellenlänge λ beschrieben
wird:
1
1
iλ
=
−
q
rS πw2
(3.33)
Wird eine Transfermatrix T auf einen Gaußstrahl mit Strahlparameter q0 angewandt, erhält man einen Gaußstrahl mit Strahlparameter q1 :
q1 (z) =
Aq0 + B
Cq0 + D
(3.34)
Diese allgemeinen Betrachtungen sollen nun auf den Ringresonator übertragen werden. Als Ausgangspunkt eines Resonatorumlaufs wird der Kristallmittelpunkt festgelegt, wobei theoretisch auch jeder andere Punkt im Resonator herangezogen werden könnte.
Der Gaußstrahl durchquert die nacheinander folgenden optischen Elemente, welche in Tabelle 3.3 aufgelistet sind, bis dieser wieder am Ausgangspunkt
angelangt ist.
Die Multiplikation dieser Matrizen ergibt die Gesamttransfermatrix T des
Resonators:
T = T9 × T8 × T7 × T 6 × T5 × T4 × T3 × T2 × T 1
(3.35)
31
32
frequenzverdoppelung
Durchlauf der halben Kristalllänge Lc /2:
!
1 L2c
T1 =
0
1
Brechung an der Kristallaustrittsfacette:
!
1
0
T2 =
0 nω
Propagation Kristallfacette – Spiegel M4:
!
c
1 l2 −L
2
T3 =
0
1
Reflexion an Spiegel M4:
!
1
0
T4 =
− 2r 1
Propagation
M3 (über M1 und
 M2):
 zu Spiegel
r
2
l1 +l2
+ d2 
1 l1 + 2
2
T5 = 

0
1
Reflexion an Spiegel M3:
!
1
0
T6 =
− 2r 1
Propagation Spiegel M3 – Kristallfacette:
!
c
1 l2 −L
2
T7 =
0
1
Brechung an der Kristalleintrittsfacette:
!
1
0
T8 =
0 n1ω
Durchlauf der halben Kristalllänge Lc /2:
!
1 L2c
T9 =
0
1
Tabelle 3.3: ABCD-Matrizen des Resonatordurchlaufs.
Wie bereits erwähnt wurde, muss nach einem Resonatorumlauf der Gaußstrahl wieder in sich selbst übergehen. Dies bedeutet mathematisch, dass
q := q1 = q0 gelten muss. Somit lässt sich die Lösung von
q=
Aq + B
⇒ Cq2 + q(D − A) − B = 0
Cq + D
(3.36)
angeben als
D−A
±
q=−
2C
r
D−A B
+
4C2
C
(3.37)
Da im Ausgangspunkt dieser Betrachtungen, der Kristallmitte, ein Fokus des
Strahls ist, ist der Krümmungsradius rS des Strahls unendlich groß. Somit
muss q nach Gl. 3.33 rein imaginär sein. Entsprechend muss
D−A = 0
(3.38)
und
q2 =
B
C
(3.39)
gelten. Somit ergeben sich die Matrixelemente A und C der Transfermatrix T
zu
A=
nω (2l2 (s − r) + r(r − 2s)) − 2Lc (nω − 1)(s − r)
nω r2
(3.40)
C=
4(s − r)
.
nω r2
(3.41)
und
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
Hierbei ist s die optische Weglänge des Resonators
s
s = l1 + 2
l1 + l2
2
2
+ d2 .
(3.42)
In Kapitel 3.1.5 wurde festgestellt, dass der Boyd-Kleinman-Faktor, ein Maß
für die Konversionseffizienz der Frequenzverdoppelung, auch von der Größe
der Strahltaille (Strahlradius) w abhängig ist. Somit ist es sinnvoll den Resonator auf eine optimale Strahltaille hin zu optimieren. Die Strahltaille berechnet
sich mit Hilfe der Gleichungen 3.33 und 3.37 zu
√
λ 1 − A2
w =
,
πC
2
(3.43)
wobei zu beachten ist, dass nur die reelle Lösung dieser Gleichung physikalisch sinnvoll ist. Es empfiehlt sich diese Rechnungen aufgrund ihrer Komplexität zeitsparend mit Hilfe eines Programms9 durchzuführen.
Damit ist es nun möglich die optimale Resonatorgeometrie zu berechnen.
In Kapitel 3.1.5 wurde die optimale Strahltaille im verwendeten PPKTP Kristall zu 19 µm berechnet.
Es gelte A = 0, welches die Stabilitätsbedingung des Resonators erfüllt.
Somit folgt aus Gleichung 3.43
√
λ 1 − A2
C(s, r) =
.
πw2
(3.44)
Resonatorgeometrie und Strahlastigmatismus
Mit den Gleichungen 3.41 und 3.40 und den Parametern n=1,842779, Lc =
0,015 m, r = 0,05 m ergibt sich die Länge l2 zwischen den gekrümmten Spiegeln zu
l2 = 0,058 m .
(3.45)
Nun können unter Ausnutzung von Gl. 3.42 die voneinander abhängigen
Längen d und l1 bestimmt werden. Hierbei ist zu beachten, dass die Länge d
möglichst klein gewählt werden sollte, damit der Faltungswinkel des Resonators nicht zu groß wird. Ein zu großer Faltungswinkel führt zu einem starken
Strahlastigmatismus. Dies würde zu einer verminderten Konversionseffizienz
führen, da die Foki beider Strahlachsen nicht mehr zusammenfallen würden.
Somit sollte l1 möglichst groß gewählt werden um den Faltungswinkel klein
zu halten.
Um dies zu veranschaulichen, sind in den Abbildungen 3.8 und 3.7 der
Strahlradius über der Länge des kurzen Armes l2 und des langen Arms l1
des Resonators aufgetragen. Aufgrund des Einfallwinkels α = 7,5° haben die
Hohlspiegel unterschiedliche Brennweiten, und zwar fs = f/ cos(α) in der
9 Quelltext im Anhang
33
frequenzverdoppelung
Sagittalebene und fm = f · cos α in der Meridionalebene. Die Meridionalebene
ist die Ebene, welche durch den Objektpunkt und die optische Achse definiert
wird. Die Sagittalebene liegt senkrecht zu Meridionalebene.
In der Planung des Ringresonatoraufbaus wurde ermittelt, dass eine Länge
von d = 3,5 cm zu realisieren ist. Aufgrund dessen wurde bei den fest vorgegebenen Größen d = 3,5 cm und l2 = 6 cm die Länge l1 derart modelliert,
dass die Resonatorstabilität gewährleistet bleibt und der Strahlradius nicht in
einen Bereich fällt, in dem die Konversionseffizienz zu niedrig wäre.
Es stellt sich heraus, dass die Bedingungen für l1 = 20 cm noch in einem
optimalen Bereich liegen. Der minimale Strahlradius im Kristall vergrößert
sich auf w ≈ 26 µm, wobei die Konversionseffizienz um 10% abnimmt, was
zu vertreten ist (s. Abb. 3.5).
Dieses Vorgehen, den Strahlradius geringfügig größer zu wählen als den
optimal Berechneten, ist jedoch auch sicherer, da die h-Funktion für größere
Strahlradien weniger steil abfällt als für kleinere Strahlradien.
sagittal
60
meridional
50
30
01
[µm]
40
w
34
20
10
0
0,0
0,1
0,2
l
1
0,3
0,4
0,5
[m]
Abbildung 3.7: Horizontaler und vertikaler Strahlradius in Abhängigkeit der Länge
l1 des langen Arms des Ringresonators mit d = 3,5 cm und l2 = 6 cm.
Die Abbildungen 3.7 und 3.8 zeigen den Stabilitätsbereich des Resonators.
Ziel ist es einen Bereich zu finden, in dem horizontaler und vertikaler Strahlradius möglichst die gleiche Größe haben und die Steigung des jeweiligen
Graphen möglichst gering ist. Letzteres ist wichtig, weil eine kleine Änderung der Länge eines Armes zu einer großen Änderung im Strahlradius führt
und möglicherweise den Resonator instabil werden lässt. Abbildung 3.8 zeigt,
dass horizontaler und vertikaler Strahlradius bei l2 = 5,95 cm gleich groß sind
(Schnittpunkt beider Kurven), welches einem Strahlradius von w0 = 26,5 µm
entspricht.
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
30
meridional
sagittal
25
w
02
[µm]
20
15
10
5
0,056
0,057
0,058
0,059
0,060
l
2
0,061
0,062
0,063
0,064
[m]
Abbildung 3.8: Horizontaler und vertikaler Strahlradius in Abhängigkeit der Länge
des kurzen Arms l2 des Ringresonators mit d = 3,5 cm und l1 = 20 cm.
3.2.2
Impedanzanpassung
Wir betrachten nun die Überhöhung Ξ in einem Resonator, die sich aus der
Airy-Formel zu
Ξ=
Pc
1 − R1
=
√
√
2
Pin
(1 − R1 Rm ) + 4 R1 Rm sin2 (φ/2)
(3.46)
ergibt. Diese hängt ab von den Parametern
Pc : Zirkulierende Leistung im Resonator
Pin : Eingangsleistung in den Resonator
R1 : Reflektivität des Einkoppelspiegels
φ=
2πL
λ :
Phase der EM-Welle, L: optische Weglänge
und
Rm = (1 − )(1 − VNL )R2 R3 R4 ,
(3.47)
welche die restlichen Verluste im Resonator enthält, die sich aus den Reflektivitäten (R1 , R2 , R3 ) der drei verbleibenden Spiegel, den Konversionsverlusten
im Kristall (VNL ) und allen übrigen Verlusten () im Resonator (Absorption
im Kristall, Reflexionsverluste an der Kristallfacette, etc.) zusammensetzen.
Durch nähere Betrachtung der Airy-Gleichung (Gl. 3.46) ist direkt ersichtlich, dass Pc für φ = 2πn (n ∈ N) maximal wird. Dies führt zur allgemeinen
35
36
frequenzverdoppelung
Resonanzbedingung eines jeden Resonators, welche aussagt, dass die optische Weglänge im Resonator einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge
entsprechen muss, also
L = n·λ
(3.48)
gilt. Diese Resonanzbedingung ist stets zu erfüllen. Dies macht eine aktive
Längenstabilisierung des Resonators erforderlich, auf die in Kapitel 3.2.4 näher eingegangen werden soll. Gleichung 3.46 kann mit R2 = R3 = R4 ≈ 1
vereinfacht werden zu
Ξ=
Pc
1 − R1
p
.
=
Pin
(1 − R1 (1 − )(1 − VNL ))2
(3.49)
Diese Formel wurde durch T1 = 1 − R1 , die Transmission des Einkoppelspiegels in Abhängigkeit von der Reflektivität, und VNL = Γ Pc , die nichtlinearen
Verluste im Kristall, weiter vereinfacht. Nun lässt sich aus der durch den Resonator ausgehenden Überhöhung die Verdopplungseffizienz berechnen. Sie
ist das Verhältnis der Leistung der zweiten Harmonischen P2ω zu der Eingangsleistung Pin
η=
P2ω
Γ Pc2
=
Pin
Pin
(3.50)
mit der Konversionseffizienz Γ
Γ=
P2ω
.
Pc2
(3.51)
Dies kann umgeformt werden zu:
2
p
p
p
√ η · 2 − 1 − T1 · (2 − − ηΓ Pin ) − 4T1 ηΓin = 0
(3.52)
Anschließend kann diese Gleichung numerisch gelöst werden, welches
(1 − T1opt ) = (1 − )(1 − Γ Pc )
⇒ T1opt ' + Γ Pc
Pin
= + Γ opt
T
r1
2
= +
+ Γ Pin
2
4
(3.53)
liefert.
Die Bestimmung der optimalen Transmission des Einkoppelspiegels erfolgt
durch Betrachtung der verschiedenen Verluste im Resonator:
= 1 − R1 R2 R3 R2c (1 − 2Lα1 ) = 1 − 0, 98 = 0, 02
mit
(3.54)
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
R1 = R2 = R3 = 0, 999: Reflektivität der Spiegel, laut Datenblatt 99,9% bei
822 nm
Rc = 0, 999: Verluste durch Reflexion an den Facetten des Kristalls. Da kein
Datenblatt dazu vorhanden ist, aber bekannt ist, dass eine Entspiegelung vorliegt, wird davon ausgegangen, dass die Verluste ähnlich hoch
sind, wie bei den Spiegeln, sodass man auch von einer Transmission
von 99,9% ausgehen kann.
Lc = 0,015 m: Länge des Kristalls
α1 = 0,4 m−1 : Absorptionskoeffizient des Kristalls für 822 nm
Die Berechnung der nichtlinearen Verluste liefert Γ = 0, 06. Somit kann mit
Gleichung 3.53 die optimale Transmission des Einkoppelspiegels in Abhängigkeit zur Eingangsleistung bestimmt werden. Das Ergebnis ist in Abb. 3.9
dargestellt.
9 8
9 7
T r a n s m is s io n T
o p t
[% ]
9 6
9 5
9 4
9 3
9 2
9 1
9 0
0 ,0 0
0 ,0 2
0 ,0 4
0 ,0 6
P
in
0 ,0 8
0 ,1 0
[m W ]
Abbildung 3.9: Optimale Transmission des Einkoppelspiegels in Abhängigkeit der
Eingangsleistung.
Bei einer Leistung von 60 mW bei 822 nm liegt die optimale Transmission des Einkoppelspiegels bei ca. 93%. Da die Verlusten im Resonator jedoch
nur abgeschätzt werden können, sind die Ergebnisse nur als Näherung zu
betrachten. Es bietet sich daher an Einkoppelspiegel mit verschiedenen Transmissionen zu testen.
In Abb. 3.10 ist das Modenspektrum des Ringresonators (Reflexion) dargestellt, welches zur Bestimmung der Einkoppeleffizienz herangezogen wurde. Für den verwendeten Einkoppelspiegel mit 5% Transmission wurde eine Einkoppeleffizienz von ca. 73% gemessen. Dies wurde auch für die übrigen vorhandenen Einkoppelspiegel mit Transmissionen von 4%, 6% und 7%
37
frequenzverdoppelung
-0 ,0 5
-0 ,1 0
L e is tu n g [V ]
38
-0 ,1 5
∆= 1 9 3 m V
-0 ,2 0
-0 ,2 5
-0 ,3 0
-0 ,0 0 0 6
-0 ,0 0 0 4
-0 ,0 0 0 2
0 ,0 0 0 0
0 ,0 0 0 2
0 ,0 0 0 4
0 ,0 0 0 6
Z e it [s ]
Abbildung 3.10: Modenspektrum des Ringresonators mit einem Einkoppelspiegel
mit 5% Transmission. Das Reflexions-Minimum ist ein Maß für die Einkoppeleffizienz in den Resonator.
durchgeführt. Bis auf den Einkoppelspiegel mit 4% Transmission, welcher
eine Einkoppeleffizienz von ca. 64% ermöglichte, zeigten die anderen Einkoppelspiegel hinsichtlich der Einkoppeleffizienz nur Unterschide im 1%-Bereich
bei Betrachtung der Reflexionsspektren. Die absoluten Einkoppeleffizienzen
könnten aufgrund der unvermeidbaren, leicht unterschiedlichen Justage bei
jeder Messung um wenige Prozentpunkte schwanken.
Durch Betrachten der tatsächlichen Ausgangsleistung der Frequenzverdoppelung, ergibt sich die maximale Ausgangsleistung bei dem Einkoppelspiegel
mit 5% Transmission, s. Abb. 3.11, welcher somit am geeignetsten ist.
3.2.3
Finesse des Ringresonators
Die Linienbreite des Resonators sollte größer sein, als die des Lasers, um eine
optimale Leistungseinkopplung zu gewährleisten.
Zur Berechnung der Linienbreite muss die Finesse bestimmt werden. Die
Finesse ist das Verhältnis aus freiem Spektralbereich δν, dem Abstand zwischen zwei benachbarten longitudinalen Resonatormoden, und Halbwertsbreite ∆ν einer Resonatormode.
√
δν
π R
F=
=
∆ν
1−R
(3.55)
mit
R=
p
R1 R2 R3 R4 (1 − )(1 − VNL )
(3.56)
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
L a s e r le is tu n g b e i 4 1 1 n m
[a .u .]
4 ,0
3 ,5
3 ,0
4
5
6
7
T r a n s m is s io n d e s E in k o p p e ls p ie g e ls [% ]
Abbildung 3.11: Ausgangsleistung der Frequenzverdoppelung als Funktion der
Transmission des Einkoppelspiegels. Bei 5%iger Transmission liegt die höchste Ausgangsleistung vor.
Die Vermessung der Finesse des Ringresonators wurde in zwei verschiedenen Betriebszuständen des Resonators durchgeführt. Im ersten Fall wurde
der Kristall ohne Phasenanpassung im Resonator belassen, sodass keine Konversion stattfindet. Somit entfallen alle Konversionsverluste VNL , was theoretisch zu einer höheren Finesse führen sollte. Zum Vergleich wurde eine
weitere Messung mit phasenangepasstem Kristall durchgeführt. In den Abbildungen 3.12 und 3.13 sind beide Messungen dargestellt. Wie erwartet ist
die Finesse ohne Konversion der Grundwelle höher, als wenn Konversion im
Kristall stattfindet.
Die Berechnung der Finesse ohne Konversion nach Gl. 3.55 mit VNL = 0
ergibt eine Finesse von F ≈ 71. Für den den Fall mit Konversion ergibt sich
F ≈ 46. Die Finesse im Fall ohne Konversion befindet sich in guter Übereinstimmung mit der Messung, siehe Abb. 3.13. Für den Fall mit Konversion
ergibt sich jedoch in den Berechnungen eine niedrigere Finesse als gemessen
wurde, wobei diese Werte für eine Ausgangsleistung von 28 mW bei 411 nm
gelten. Da jedoch die Ausgangsleistung der Frequenzverdoppelung im Experiment zwischen 16 mW und maximal 24 mW liegt, sind dementsprechend
die Konversionsverluste geringer, was in diesem Fall zu einer höheren gemessenen Finesse führt.
Die Linienbreite des Resonators berechnet sich zu
∆ν =
δν
c
=
,
F
F·s
(3.57)
39
frequenzverdoppelung
-0,8
= 411 µs
-1,0
Leistung refl. [a.u.]
= 5,78 µs
-1,2
-1,4
F = (
)/(
) = 71,1
-1,6
-1,8
-2,0
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0,0000
0,0002
0,0004
0,0006
Zeit [s]
Abbildung 3.12: Reflexionsspektrum des Ringresonators ohne Phasenanpassung des
Kristalls (ohne Konversion).
-0,2
= 411 µs
-0,4
-0,6
Leistung refl. [a.u.]
40
= 6,9 µs
-0,8
-1,0
-1,2
F = (
)/(
) = 59,6
-1,4
-1,6
-1,8
-2,0
-2,2
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0,0000
0,0002
0,0004
0,0006
Zeit [s]
Abbildung 3.13: Reflexionsspektrum des Ringresonators mit Phasenanpassung des
Kristalls (mit Konversion).
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
wobei c die Lichtgeschwindigkeit und s = 0,53 m die optische Weglänge
des Resonators ist. Daraus ergibt sich für den aufgebauten Ringresonator
eine Linienbreite von ∆ν = 8 MHz für den Zustand ohne Konversion und
∆ν = 9,5 MHz mit Konversion. Sind die Linienbreite des Lasers und die des
Resonators vergleichbar groß, könnte eventuell nicht die gesamte Leistung
des Lasers in den Resonator eingekoppelt werden. Die Linienbreite des Lasers ist jedoch um den Faktor 107 kleiner als die des Resonators, sodass dies
keinen limitierenden Faktor für die Einkoppelung darstellt.
3.2.4 Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystem
Durch Umwelteinflüsse, wie beispielsweise Temperaturänderungen und Vibrationen, wird die optische Weglänge im Resonator kontinuierlich beeinflusst. Dies bedeutet, dass der Resonator ohne Stabilisierung der optischen
Weglänge nur kurzzeitig stabil und somit eine störungsfreie Frequenzverdoppelung unmöglich wäre.
Aus diesem Grund wurde eine Längenstabilisierung nach Hänsch und
Couilliaud [17] aufgebaut, welches die Resonanz des Resonators detektiert
und die optische Weglänge mit Hilfe eines Piezoaktuators, welcher an einem
Spiegel des Resonators angebracht ist, entsprechend den Störungen nachregelt.
Diese von Hänsch und Couillaud im Jahr 1980 entwickelte Stabilisierungstechnik beruht auf der Polarisationsspektroskopie des reflektierten Strahls
am Resonator. Hierbei werden die unterschiedlichen Leistungen des Strahls
in den verschiedenen Polarisationen getrennt voneinander detektiert und daraus ein Fehlersignal abgeleitet.
Die Funktionsweise des Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystems (HC) soll
nachfolgend beschrieben werden. Abbildung 3.14 zeigt eine schematische
Darstellung dieses Systems.
Funktionsweise
Das anfangs horizontal linear polarisierte Laserlicht des 822 nm Hochleistungslasers wird durch eine λ/2-Verzögerungsplatte in vertikale Polarisation überführt und in den Resonator eingestrahlt. Der Einkoppelspiegel (M1),
auf den dieser Laserstrahl unter einem Winkel auftrifft, reflektiert einen Teil
dieses Laserstrahls unter Beibehaltung der Polarisation. Der Anteil des Laserstrahls, welcher in den Resonator eingekoppelt wird, weist weiterhin vertikale Polarisation auf und passiert den PPKTP-Kristall. Betrachtet man das
elektrische Feld E des eingestrahlten Laserstrahls, so kann man dieses in zwei
Komponenten zerlegen:
(i)
Ep = E(i) cos (θ)
(i)
Ep :
(i)
und
(i)
Es = E(i) sin (θ)
(3.58)
Parallele Komponente des elektrischen Feldes des eingestrahlten Laserstrahls
Es : Senkrechte Komponente des elektrischen Feldes des eingestrahlten Laserstrahls
41
42
frequenzverdoppelung
PDs
Piezo - T.
PBS
Integrator
λ/4
M2
M1
Piezo
822 nm
λ/2
411 nm
M4
PPKTP
M3
Abbildung 3.14: Schematische Darstellung des Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystems der Frequenzverdoppelung. Der am Resonator reflektierte elliptisch polarisierte Strahl wird durch eine λ/4-Wellenplatte in lineare Polarisation überführt und
anschließend durch einen polarisierenden Strahlteiler (PBS) in die linear polarisierten
Komponenten aufgeteilt. Diese werden von zwei Photodioden detektiert und deren
Differenzsignal wird in einem Verstärker vergrößert. Dieses Fehlersignal wird von
einem Integrator in ein Regelsignal umgesetzt, durch einen Piezo-Treiber verstärkt
und dem Piezo zugeführt.
θ: Winkel zwischen Konversionsachse des PPKTP-Kristalls und des elektrischen Felds
Der PPKTP-Kristall konvertiert nur die Komponente des elektrischen Feldes,
welche mit der Konversionsachse übereinstimmt. Die andere Komponente
verlässt den Kristall unkonvertiert. Bedingt durch die Konversion nur einer
Polarisationskomponente der elektromagnetischen Welle, weist diese Komponente gegenüber der anderen erhöhte Verluste auf. Dies führt zu einer
frequenzabhängigen Phasenverschiebung der EM-Welle gegenüber dem Referenzstrahl, der vom Einkoppelspiegel (M1) reflektiert wird. Somit entsteht in
der Überlagerung beider EM-Wellen eine Welle mit elliptischer Polarisation.
Betrachtet werden sollen nun die Komponenten des elektrischen Feldes der
(r)
reflektierten EM-Welle Ep :
(r)
Ep
p
=
R1 −
p
(i)
= Ep
R1 −
(i)
Ep
T1
Reiδ
√
R1 1 − Reiδ
RT1 cos (δ) − R + i sin (δ)
√
R1 (1 − R)2 + 4R sin2 (δ/2)
(3.59)
(3.60)
R1 , T1 : Reflektivität bzw. Transmission des Einkoppelspiegels (M1)
R < 1: Amplitudenverhältnis des elektrischen Feldes zwischen sukzessiven
Umläufen im Resonator, wobei alle Verluste (Spiegel, Kristall, etc.) mit
berücksichtigt sind.
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
Die Amplitude der senkrechten Komponente des elektrischen Feldes der reflektierten elektromagnetischen Welle lässt sich in erster Näherung mit folgendem Ausdruck beschreiben:
(r)
Es
(i)
= Es
p
R1
(3.61)
Ist die Resonanzbedingung des Resonators erfüllt, also δ = 2πm, sind die
Komponenten des Reflektivitäts- und Transmissionskoeffizienten reell und
die Komponenten der reflektierten EM-Welle phasengleich, wobei der reflektierte Strahl linear polarisiert verbleibt. Abseits der Resonanz, wenn δ 6= 2πm
gilt, erfährt die Parallelkomponente relativ zur senkrechten Komponente der
EM-Welle eine frequenzabhängige Phasenverschiebung infolge des Imaginär(r)
teils von Ep .
Der nun elliptisch polarisierte, reflektierte Strahl wird durch eine λ/4-Wellenplatte in lineare Polarisation überführt und durch einen polarisierenden
Strahlteilerwürfel in die einzelnen Komponenten, relativ zur optischen Achse der Wellenplatte, aufgeteilt. Diese Strahlen werden nun einzeln auf jeweils
eine Photodiode gelenkt mit denen die Intensitäten der einzelnen Polarisationskomponenten gemessen werden. Diese Photodioden sind mit einem Verstärker verbunden, welcher das Differenzsignal beider Photodioden vergrößert. Dieses ist das Fehlersignal, welches zur Regelung verwendet wird (vgl.
Abb. 3.15).
Das Fehlersignal wird einem elektronischen Integrator10 zugeführt, welcher
ein derartiges Regelsignal erzeugt, dass das Fehlersignal identisch Null ist,
sodass der Resonator in diesem Zustand resonant ist. Dieses Regelsignal wird
durch einen Piezotreiber11 verstärkt und dem Piezoaktuator zugeführt.
Das Fehlersignal kann wie in [17] zu
Ia − Ib = I(i) 2 cos (θ) sin (θ)
T1 R sin (δ)
(1 − R)2 4R sin2 (δ/2)
(3.62)
berechnet werden. Eine nähere Betrachtung dieser Fehlerfunktion zeigt, dass
das Signal für θ = 45° maximal wird. Abbildung 3.15 zeigt theoretisch Berechnete HC-Fehlersignal und den physikalischen Verlauf an dessen Polstelle.
Diese Abbildung zeigt des Weiteren, dass beim Nulldurchgang (Resonanzmaximum des Resonators) des Fehlersignals eine große Steigung vorliegt, welche
sich hervorragend für diesen Stabilisierungszweck eignet.
Der große Vorteil des Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystems liegt darin, dass es sich relativ leicht und kostengünstig etablieren lässt und es bei
größeren Frequenzexkursionen einen weiten Einfangbereich aufweist.
Experimentelle Realisierung des HC-Stabilisierungssystems
Die im Versuchsaufbau zur Polarisationsspektroskopie verwendeten Photodioden wurden hinsichtlich ihrer Funktionsfähigkeit überprüft. Es wurde ein
10 Schaltplan des Integrators im Anhang
11 Thorlabs MDT694A
43
44
frequenzverdoppelung
zirkular polarisierter Laserstrahl präpariert, indem der vertikal polarisierte
Laserstrahl durch einen polarisierenden Strahlteiler von Fehlpolarisationen
gereinigt und anschließend durch eine λ/4-Wellenplatte in zirkulare Polarisation überführt wurde. Anschließend wurde dieser Laserstrahl durch einen
polarisierenden Strahlteiler auf die Photodioden gelenkt. Das Leistungsverhältnis beider Laserstrahlen wurde im Rahmen der Messgenauigkeit des Laserleistungsmessgerätes zu 397 µW/395 µW bestimmt. Das daraus resultierende Differenzsignal (Fehlersignal) der Photodioden entsprach (0 ± 1) mV.
Dies zeigt das ordnungsgemäße Funktionieren der Photodioden und der Differenzbildung der Signale an.
π
Abbildung 3.15: Abbildung der mathematischen Funktion des HC-Fehlersignals
(blau) aus Gl. 3.62. Die rote Linie wurde hinzugefügt, um den tatsächlichen physikalischen Verlauf des Fehlersignals im Bereich der Polstelle anzudeuten.
Abbildung 3.16 zeigt das experimentell aufgenommene HC-Fehlersignal
(rote Kurve). Die Messung wurde durchgeführt, indem die Länge des Resonators mit dem Piezo durchgescannt wurde. Zu diesem Zweck wurde mit
Hilfe eines Frequenzgenerators ein Rechtecksignal mit einer Frequenz von
600 Hz erzeugt und dem Piezo zugeführt. Diese Rampe ist in der Abbildung
als grüne Kurve dargestellt. Zusätzlich dazu wurde auch das transmittierte
Signal des Ringresonators bei 411 nm in der blauen Kurve12 dargestellt. Es
ist gut zu erkennen, dass das Fehlersignal bei der Resonanz das Ringresonators, welches am Minimum der blauen Kurve erkannt werden kann, einen
Nulldurchgang besitzt. Im Bereich um den Nulldurchgang ist die Flanke mit
hoher Steigung zu sehen, auf deren Nulldurchgang geregelt wird, die jedoch
12 Die blaue Kurve ist aus technischen Gründen invertiert. Das Minimum in der Darstellung
entspricht dementsprechend einem Maximum in der Intensität.
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
R a m p e
H C - S ig n a l
L e is tu n g 4 1 1 n m
6
5
0 ,5
S p a n n u n g P ie z o S ig n a l ( g r ü n ) [V ]
L e is tu n g ( b la u ) [V ], S p a n n u n g ( r o t, g r ü n ) [V ]
1 ,0
4
0 ,0
3
-0 ,5
2
-1 ,0
1
-1 ,5
0
-2 ,0
-1
-0 ,0 0 1 2
-0 ,0 0 0 8
-0 ,0 0 0 4
0 ,0 0 0 0
0 ,0 0 0 4
Z e it [s ]
Abbildung 3.16: Experimentell aufgezeichnetes HC-Fehlersignal (rot) und das vom
Ringresonator transmittierte Licht bei 411 nm, welches mit Hilfe einer Photodiode
aufgenommen wurde (blau, invertiert). Das zum Durchstimmen des Piezos angelegte
Signal ist in grün dargestellt.
nicht direkt mit der Emission der zweiten Harmonischen koinzidiert. Dies ist
vermutlich auf thermische Effekte zurückzuführen (vgl. Abschnitt 3.2.4.1).
Abseits der Flankenregion sind in der roten Kurve Abweichungen vom
theoretisch berechneten Fehlersignal aus Abb. 3.15 erkennbar. Diese Abweichungen treten durch Nebenmoden im Ringresonator auf, welche durch eine Verbesserung der Einkoppelung in den Ringresonator nicht weiter unterdrückt werden konnten. Diese Störungen könnten die Funktion des Stabilisierungssystems beeinträchtigen, da möglicherweise auf einen falschen Nulldurchgang geregelt werden könnte, bei welchem der Ringresonator nicht resonant ist.
3.2.4.1 Effekt von thermischen Linsen
Bei genaurer Betrachtung des Nulldurchgangs des HC-Fehlersignals und des
Transmissionsmaximums des Ringresonators zeigen sich Abweichungen vom
theoretisch erwarteten Fehlersignal. Die Abbildungen 3.17 und 3.18 zeigen
vergrößerte Ausschnitte (gelber Rahmen) der Nulldurchgänge des HC-Fehlersignals aus Abb. 3.16 für eine aufsteigende und absteigende Rampe (grüne
Kurve) des Piezos.
Es zeigt sich, dass die Nulldurchgänge des HC-Signals bei einer Rampenrichtung neben dem Transmissionsbereich des Ringresonators und bei der
anderen Rampenrichtung im Transmissionsbereich liegen. Gerade der erste
Fall wäre laut Theorie nicht zu erwarten. Ursächlich für dieses Verhalten ist,
dass im Resonanzfall eine hohe Lichtleistung innerhalb des Ringresonators
45
frequenzverdoppelung
3
R a m p e
H C - S ig n a l
L e is tu n g 4 1 1 n m
S p a n n u n g P ie z o S ig n a l ( g r ü n ) [V ]
L e is tu n g ( b la u ) [V ], S p a n n u n g ( r o t) [V ]
0 ,5
0 ,0
2
-0 ,5
1
-1 ,0
-1 ,5
-0 ,0 0 0 9
-0 ,0 0 0 8
0
-0 ,0 0 0 6
-0 ,0 0 0 7
Z e it [s ]
Abbildung 3.17: Der Nulldurchgang des HC-Fehlersignals (rote Kurve) stimmt nicht
mit der Position des Transmissionsmaximums (blaue Kurve, invertiert) des Ringresonators bei absteigender Flanke (grün) überein.
R a m p e
H C - S ig n a l
L e is tu n g 4 1 1 n m
0 ,5
4
3
S p a n n u n g P ie z o S ig n a l ( g r ü n ) [V ]
L e is tu n g ( b la u ) [V ], S p a n n u n g ( r o t) [V ]
46
0 ,0
-0 ,5
2
-1 ,0
1
-1 ,5
0
-0 ,0 0 0 2 0
-0 ,0 0 0 1 5
-0 ,0 0 0 1 0
-0 ,0 0 0 0 5
Z e it [s ]
Abbildung 3.18: Der Nulldurchgang des HC-Fehlersignals (rote Kurve) liegt innerhalb des Transmissionsbereichs (blaue Kurve, invertiert) des Ringresonators bei aufsteigender Flanke (grün).
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
vorhanden ist. Diese hohe Leistung führt zu einer Änderung der optischen
Weglänge innerhalb des Resonators durch thermische Ausdehnungseffekte
des Kristalls.
Bei ansteigender Rampe, wenn sich der Piezo ausdehnt, wirkt der Effekt
der thermischen Längenausdehnung in die gleiche Richtung wie die Längenänderung des Piezos; bei absteigender Rampe dem jedoch entgegen. Dies
bedeutet, dass bei ansteigender Flanke die Resonanz des Resonators beschleunigt eintreten und bei absteigender Flanke weniger schnell abklingen müsste.
Dafür spricht die asymmetrische Form des HC-Fehlersignals. In den betreffenden Abbildungen sind diese Bereiche durch einen gelben Rahmen markiert. In Abb. 3.17 zeigt sich ein nahezu linear abfallendes HC-Fehlersignal,
obwohl es in diesem Bereich wesentlich stärker und nichtlinear abfallen sollte. Dies spricht für eine anhaltende Resonanz innerhalb des Ringresonators
mit Frequenzkonversion. Auch die ansteigende Flanke in Abb. 3.18 bestätigt
diese Annahme.
3.2.4.2 Stabilität des HC-Stabilisierungssystems
Der experimentelle Einsatz des frequenzverdoppelten Laserlichts erfordert eine stabile Ausgangsleistung des Frequenzverdoppelungsresonators auf kurzen, wie auch auf langen Zeitskalen. Die Stabilität der Ausgangsleistung
auf kleinen Zeitskalen bis ca. 0,1 s hängt primär von der Qualität des HCStabilisierungssystems und dem Intensitätsrauschen des Primärlasers ab.
Das Laserlicht, welches den Ringresonator verlässt, wurde mit Hilfe einer
Linse auf eine Photodiode fokussiert. Die Photodiode besitzt eine Bandbreite von 2,5 MHz und einen eingebauten Verstärker, damit die Photodiodenspannung proportional zur eingestrahlten Intensität ist. Die Aufnahme der
Messdaten erfolgte zeitaufgelöst durch verschiedene Messgeräte.
Zur besseren Beurteilung der Intensitätsstabilität wurde die Allan-Standardabweichung (ADEV) [7], welche als Maß für die Intensitätsstabilität herangezogen werden kann, für die verschiedenen Messreihen berechnet.
Für die verschiedenen Messreihen sind die Allan-Standardabweichungen
in Abb. 3.19 dargestellt. Der Zeitbereich unterhalb von etwa 1 · 10−6 s soll nicht
weiter diskutiert werden, da in diesem Zeitbereich die Bandbreite der Photodiode bereits überschritten wird und diese nur noch als Tiefpass wirkt. Oberhalb von 1 · 10−6 s zeigt die ADEV des Intensitätsrauschens des 822 nm Lasers bereits die untere Grenze des relativen Intensitätsrauschens mit 8 · 10−5 in
9 · 10−3 s.
Kurve FFT zeigt bei 0,01 s ein relatives Intensitätsrauschen von 8 · 10−5 , wobei danach eine Intensitätsdrift auftritt. Es sei angemerkt, dass dies die einzige Messung ist, welche aus einer spektralen Leistungsverteilung gewonnen
wurde. Hierbei wurde das Photodiodensignal in verschiedenen Frequenzbereichen von 10 Hz bis 10 kHz und 10 kHz bis 1 MHz mit zwei Spektrumanalysatoren aufgenommen und verschmolzen. Diese Messreihen wurden anschließend in eine ADEV umgerechnet. Die Nutzung der zwei verschiedenen Spektrumanalysatoren in den verschiedenen Frequenzbereichen ist möglicherweise für den Sprung in der Kurve bei 7 · 10−4 s verantwortlich, da in diesem
Zeitbereich ein Wechsel der Messgeräte erfolgte. Da die Vergleichsmessungen
47
frequenzverdoppelung
0 ,0 1
A D E V ∆I / I
48
A g ile n t
A g ile n t
A g ile n t
A g ile n t
A g ile n t
A g ile n t
8 2 2 n m
F F T
U S B
1 E -3
1 E -4
1 E -9 1 E -8 1 E -7 1 E -6 1 E -5 1 E -4 1 E -3 0 ,0 1
0 ,1
1
1 0
1 0 0 1 0 0 0
t [s ]
Abbildung 3.19: Allan-Standardabweichungen des relativen Intensitätsrauschens in
Abhängigkeit verschiedener Mittelungszeiten. Die Messreihen mit der Bezeichnung
„Agilent“ und die des 822 nm-Lasers wurden mit Hilfe eines Agilent-Speicheroszilloskopes aufgenommen. Die Messreihe USB wurde mit Hilfe eines A/D-Wandlers
am Computer aufgenommen, wohingegen die Messreihe FFT aus Messungen mit
Spektrumanalysatoren in verschiedenen Frequenzbereichen gewonnen wurde.
3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)
mit dem Speicheroszilloskop (Agilent) eine gute Übereinstimmung mit dieser
Kurve zeigen, können diese Messungen als konsistent betrachtet werden.
Die Kurve USB zeigt die Messung des Langzeitintensitätsrauschens. Durch
Extrapolation der Drift, welche durch die FFT-Kurve dargestellt wird, kann
nahezu in den Driftbereich der USB-Kurve übergegangen werden. Dies ist
jedoch mit Vorsicht zu betrachten, da die USB-Kurve bei einer signifikant höheren Leistung des 411 nm Laserstrahls aufgenommen wurde als die übrigen
Kurven. Dieser Zeitbereich sollte in Zukunft noch weiter untersucht werden.
Aus der Analyse der Messungen lässt sich zusammenfassen, dass das relative Intensitätsrauschen, welches im Millisekundenbereich weit unter einem
Promill liegt, für die folgenden Experimente ausreichend ist.
Intensitätsfluktuationen durch Vibrationen
Besondere Beachtung hinsichtlich der Intensitätsstabilität des frequenzverdoppelten Lasers bedarf das Schalten von elektromechanischen Strahlverschlüssen (Shutter), welche während des Schaltvorgangs Vibrationen auf dem
optischen Tisch erzeugen, die den Resonator kurzzeitig instabil machen. In
Abb. 3.20 und 3.21 sind beispielhaft zwei dieser Störungsimpulse dargestellt,
wobei einer beim Schließen und der andere beim Öffnen des Shutters entsteht. Die Störungen sind sowohl im HC-Fehlersignal (rote Kurve) als auch
im Regelsignal (grüne Kurve) gut zu erkennen. Auch die Leistung des 411 nm
Laserstrahls weist sehr starke Leistungsfluktuationen auf. Es kann auch festgestellt werden, dass das Öffnen und das Schließen des Shutters unterschiedlich starke und lange Störungen hervorruft.
L e is tu n g ( b la u ) [V ], S p a n n u n g ( r o t, g r ü n ) [V ]
H C - F e h le r s ig n a l
R e g e ls ig n a l
L e is tu n g 4 1 1 n m
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
0 ,1 5
0 ,2 0
0 ,2 5
0 ,3 0
0 ,3 5
0 ,4 0
Z e it [s ]
Abbildung 3.20: Störung durch einen schaltenden elektromechanischen Strahlblockierer.
49
frequenzverdoppelung
H C - F e h le r s ig n a l
R e g e ls ig n a l
L e is tu n g 4 1 1 n m
L e is tu n g ( b la u ) [V ], S p a n n u n g ( r o t, g r ü n ) [V ]
50
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-0 ,2 0
-0 ,1 5
-0 ,1 0
-0 ,0 5
0 ,0 0
Z e it [s ]
Abbildung 3.21: Störung durch einen schaltenden elektromechanischen Strahlblockierer.
Diese Intensitätsfluktuationen sind während des experimentellen Betriebs
zu vermeiden. Zur Dämpfung dieser Störungen wurde der Strahlblockierer
auf einer Sorbotanmatte13 befestigt. Die anschließende Messung, welche in
Abb. 3.22 dargestellt ist, konnte bestätigen, dass diese Art der Dämpfung
völlig ausreichend ist, um Intensitätsfluktuationen stark zu unterdrücken. Lediglich das HC-Fehlersignal zeigt geringe Störeinflüsse durch den Strahlblockierer. Das Regelsignal und die Intensität des 411 nm Laserstrahls zeigen im
Rahmen der Auflösung des Messgerätes keine Auffälligkeiten.
Zusammenfassend konnte gezeigt werden, dass das HC-Stabilisierungssystem dazu geeignet ist, im experimentellen Betrieb eine sichere Stabilisierung
des Ringresonators zu gewährleisten. Sowohl auf kurzen, wie auch auf langen
Zeitskalen sind die Intensitätsfluktuationen des 411 nm Laserstrahls in einem
unkritischen Bereich.
3.3
experimentelle ergebnisse
Die erreichbare maximale Verdoppelungseffizienz ist das Ergebnis der Anpassung einer Vielzahl an Parametern und nicht zuletzt einer guten Justage
des Ringresonators. Ziel der Anstrengungen ist es ausreichend Laserleistung
in der zweiten Harmonischen zu erhalten, die den experimentellen Bedürfnissen genügt.
Im Vorfeld der im Folgenden diskutierten Messungen wurde der PPKTPKristall bereits temperaturstabilisiert. Hierbei wurde iterativ die Leistung der
zweiten Harmonischen im Scanbetrieb des Resonators maximiert, indem ab13 Gummimatte der Firma Thorlabs
3.3 experimentelle ergebnisse
L e is tu n g ( b la u ) [V ], S p a n n u n g ( r o t, g r ü n ) [V ]
H C - F e h le r s ig n a l
R e g e ls ig n a l ( 7 ,2 5 V a b g e z o g e n )
L e is tu n g 4 1 1 n m
0 ,4
0 ,2
0 ,0
-0 ,2
-0 ,4
-0 ,6
-0 ,8
-1 ,0
-0 ,2 0
-0 ,1 9
-0 ,1 8
-0 ,1 7
-0 ,1 6
-0 ,1 5
-0 ,1 4
-0 ,1 3
-0 ,1 2
-0 ,1 1
-0 ,1 0
Z e it [s ]
Abbildung 3.22: Störung durch einen schaltenden elektromechanischen Strahlblockierer, welcher durch eine Sorbotanmatte gedämpft wird. Von dem Regelsignal
(grün) wurde ein Offset von 7,25 V abgezogen, um eine bessere Auflösung der Darstellung zu erreichen. Die Auflösung des Messgerätes beträgt bei der roten Kurve
2 mV, bei der grünen Kurve 80 mV und bei der blauen Kurve 4 mV.
wechselnd die Temperatur des Kristalls auf das Leistungsmaximum optimiert
und anschließend der Ringresonator nachjustiert wurde. Dies wurde wiederholt, bis die Leistung der zweiten Harmonischen nicht weiter maximiert werden konnte. Die optimale Kristalltemperatur beträgt ca. 45 ◦C. Da der Temperatursensor des Überwachungsthermometers aufgrund von Platzmangel nur
unbefriedigend im engen Teflonkasten14 mit dem Heizsystem des Kristalls
befestigt werden kann, ist die angegebene Temperatur als grober Richtwert
zu verstehen. Der Temperatursensor für die Temperaturstabilisierung befindet sich in einer Bohrung des Kupferblocks direkt am Kristall, und ist durch
Wärmeleitpaste mit dem Kupferblock kontaktiert, sodass eine optimale Wärmeleitung gewährleistet werden kann.
Verdoppelungseffizienz
Darüber hinaus wurden auch alle weiteren Systeme, wie die Injektionsstabilisierung und das Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystem optimiert und auf
Funktion getestet.
Zur möglichst genauen Messung der Laserleistung bei 411 nm wurde der
Laserstrahl, welcher den Resonator verlässt, durch einen Infrarotfilter geleitet,
welcher die Infrarotanteile um den Faktor 104 abschwächt, da ein unbekannter Anteil der Fundamentalwelle aus dem Resonator herauslecken könnte.
Die Problematik bei der Verwendung des Filters besteht darin, dass auch
14 Konstruktionspläne im Anhang
51
frequenzverdoppelung
2 5
L e is tu n g 4 1 1 n m
[m W ]
2 0
L e is tu n g 4 1 1 n m
52
1 5
1 0
5
0
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
Z e it [m in ]
Abbildung 3.23: Zeitlicher Abfall der Laserleistung der zweiten Harmonischen. Die
Leistungseinbrüche gehen darauf zurück, dass der Primärlaser zwischenzeitlich
nicht stabilisiert war. Diese Messreihe wurde kontinuierlich mit Hilfe eines computergestützten Spannungsmessgerätes aufgenommen. Die grüne Linie zeigt die mittlere
Leistung am Ende des Versuchs.
20% = (1 − 0, 8) = 0, 2 der zweiten Harmonischen absorbiert wird, welche
den Filter passiert. Es gilt P0 = Pblau + PIR und P1 = 0, 8Pblau + 10−4 PIR .
Daraus folgt
Pblau =
P1 − 10−4 · P0
0, 8 − 10−4
(3.63)
mit
P0 : Gesamtlaserleistung ohne das Filter
P1 : Gesamtlaserleistung hinter dem Filter
Es konnte eine Laserleistung bei 411 nm von (24,0 ± 1,2) mW erreicht werden,
bei (60,0 ± 4,2) mW · 0, 73 = (43,8 ± 3,0) mW eingekoppelter Leistung und
einer Einkoppeleffizienz von 73% des 822 nm Lasers. Dies entspricht einer
Verdoppelungseffizienz von ca. 55%. Diese recht hohe Konversionseffizienz
konnte jedoch nur in Ausnahmefällen nach langer Justage erreicht werden.
Im Normalfall können bis zu (16,0 ± 0,8) mW Laserlicht bei 411 nm gewonnen werden, was einer Verdoppelungseffizienz von ca. 37% entspricht. Im
Vergleich zu den theoretischen Berechnungen ist der erste Wert sehr nah an
der erwarteten Leistung von 28,5 mW.
Im Langzeitverhalten der Leistung der zweiten Harmonischen ließ sich ein
kontinuierlicher Abfall feststellen. Dieser Leistungsabfall wurde für verschiedene Leistungen der zweiten Harmonischen untersucht, indem eine geringere
3.3 experimentelle ergebnisse
2 0
L e is tu n g 4 1 1 n m
[m W ]
1 9
1 8
1 7
1 6
1 5
1 4
2 6 0
2 7 0
2 8 0
2 9 0
3 0 0
3 1 0
3 2 0
3 3 0
3 4 0
3 5 0
Z e it [m in ]
Abbildung 3.24: Zeitlicher Abfall der Laserleistung der zweiten Harmonischen (Vergrößerung). Der Leistungsabfall beträgt hier ∆P/∆t = −0,032 mW/min.
2 2
R a m p e
H C
2 0
L e is tu n g [m W ]
1 8
1 6
1 4
1 2
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
Z e it [m in ]
Abbildung 3.25: Zeitlicher Abfall der Laserleistung der zweiten Harmonischen. Aufgrund thermischer Effekte im Kristall ist der Leistungseinbruch beim Resonatorscan
mit ∆P/∆t = −0,007 mW/min weniger stark als während der HC-Stabilisierung mit
∆P/∆t = −0,016 mW/min.
53
frequenzverdoppelung
2 6 .0 3 .
2 7 .0 3 .
0 ,0 0
0 ,0 0
-0 ,0 5
-0 ,0 5
-0 ,1 0
-0 ,1 0
-0 ,1 5
-0 ,1 5
-0 ,2 0
-0 ,2 0
-0 ,2 5
-0 ,2 5
-0 ,3 0
-0 ,3 0
-0 ,3 5
-0 ,3 5
-0 ,4 0
-0 ,4 0
-0 ,0 0 1 0
-0 ,0 0 0 5
0 ,0 0 0 0
0 ,0 0 0 5
0 ,0 0 1 0
0 ,0 0 1 5
L e is tu n g [V ] ( r o t)
R e fle k tio n s s p e k tr u m
R e fle k tio n s s p e k tr u m
0 ,0 5
L e is tu n g [V ] ( s c h w a r z )
54
-0 ,4 5
0 ,0 0 2 0
Z e it [s ]
Abbildung 3.26: Reflexionsspektren des Resonators an zwei verschiedenen Tagen ohne Veränderung der Justage. Beide Reflexionsspektren sind nahezu identisch. Eine
Dejustage durch Temperaturänderungen oder andere Störungen kommt dementsprechend nicht in Frage.
Leistung der Fundamentalwelle in den Resonator eingestrahlt wurde. In den
Abbildungen 3.23, 3.24 und 3.25 ist dieser Leistungsabfall dargestellt.
Bei einer Ausgangsleistung der Frequenzverdoppelung von 16 mW beträgt
der Leistungseinbruch ∆P/∆t = −0,032 mW/min, wohingegen dieser bei einer Ausgangsleistung von 6,96 mW nur ∆P/∆t = −0,0012 mW/min beträgt.
Es konnte außerdem festgestellt werden, dass eine mit der Zeit erfolgende Dejustage des Resonators, z.B. aufgrund von Temperaturschwankungen,
nicht als Grund in Betracht kommt. Die Reflektionsspektren des Ringresonators änderten sich durch Temperaturschwankungen im Labor nicht, sodass
eine Dejustage ausgeschlossen werden kann. Dies zeigt Abb. 3.26 und spricht
auch dafür, dass die INVAR15 -Stahlplatte, auf der die Frequenzverdoppelung
aufgebaut wurde, eine horizontale Längenausdehnung der Frequenzverdoppelung hinreichend verhindert.
Die beobachteten Leistungseinbrüche, insbesondere bei den höheren Leistungen der zweiten Harmonischen, könnten im Experiment zu Problemen
führen. Offenbar ist nur eine Leistungsreduktion eine praktikable Lösung,
wobei hier genau überdacht werden muss, wieviel Leistung bei 411 nm mindestens für das Experiment benötigt wird.
Als Grund für den zeitlichen Leistungseinbruch wurde eine Farbzentrenbildung im Kristall identifiziert. Hierauf soll im Kapitel 3.5 näher eingegangen
werden.
15 FeNi36-Legierung, welche bei Raumtemperatur einen sehr niedrigen Wärmeausdehnungskoeffizienten aufweist.
3.4 spektroskopie der atomaren resonanz
λ/2 PBS2
369 nm
GF
Yb+
P2
411 nm
AOM
P0 -1. Ord.
λ/2 PBS1
P1
λ/4
M
Abbildung 3.27: Schematischer Aufbau des AOM im Doppelpass und der Überlagerung mit dem 369 nm Kühllaser. Linsen und Umlenkspiegel sind zur besseren Übersichtlichkeit nicht dargestellt. Der 411 nm Laserstrahl verlässt die Frequenzverdoppelung (SHG) und passiert einen polarisierenden Strahlteiler (PBS1) und anschließend
den AOM. Die -1. Beugungsordnung wird vom Spiegel (M) auf dem gleichen Weg
zurückreflektiert. Durch das zweifache Passieren der λ/4 Wellenplatte wurde die
Polarisation um 90° gedreht, sodass der Strahl in PBS1 abgelenkt wird. Die Strahlüberlagerung mit dem 369 nm Laser erfolgt in PBS2. Beide Laserstrahlen werden anschließend über eine Glasfaser (GF) zu den Ionen geleitet. Die Leistungsmesspunkte
sind mit P0 , P1 und P2 bezeichnet.
3.4
spektroskopie der atomaren resonanz
Zur Spektroskopie der Resonanzlinie ist es erforderlich, die Laserfrequenz
zu verstimmen. Dies geschieht mit Hilfe von Akusto-Optischen Modulatoren
(AOMs). Diese AOMs erzeugen durch periodische Dichteschwankungen in
einem Kristall, welche durch ein Piezo erzeugt werden, ein optisches Gitter.
Passiert ein Laserstrahl diesen AOM, wird je nach Beugungsordnung die Frequenz, mit der der AOM betrieben wird, auf die Laserfrequenz aufaddiert
oder subtrahiert. Das Piezoelement wird mit einer Radiofrequenz (RF) betrieben.
Hierzu wurde im Experiment ein AOM mit Mittenfrequenz 200 MHz und
einer Bandbreite von 50 MHz im Doppelpasssystem aufgebaut. Dies bedeutet,
dass der Laserstrahl den AOM zweimal durchquert, sodass kein frequenzabhängiger Strahlversatz auftritt.
Damit der AOM die bestmögliche Beugungseffizienz besitzt, muss eine minimale Strahltaille im AOM mit einer bestimmten Größe erzeugt und der
AOM bei einer bestimmten RF-Leistung betrieben werden. Aus den Datenblättern des AOM16 geht hervor, dass bei einem Strahldurchmesser von 80 µm
im Kristall die Beugungseffizienz bei 0,4 W RF-Leistung etwa 85% beträgt.
Um dies zu erreichen, wurde der 411 nm Laserstrahl nach dem Austritt aus
dem Resonator zuerst mit Hilfe einer CCD-Kamera vermessen. Diese Messung ergab ein stark divergentes longitudinales Strahlprofil. Hieraus konnte geschlussfolgert werden, dass der minimale Strahlradius innnerhalb des
PPKTP-Kristalls zwischen 17 µm und 20 µm liegt. Verglichen mit dem Resonatordesign, welches einen minimalen Strahlradius von 26 µm an dieser Stelle
16 Datenblätter im Anhang
55
56
frequenzverdoppelung
vorgibt, ist diese sehr klein. Wahrscheinlich ist das ein weiterer Effekt, der auf
thermische Linsen zurückzuführen ist.
Zur Strahlanpassung wurde ein optisches Teleskop aus zwei Linsen aufgebaut, welches die Strahltaille im Kristall auf eine Strahltaille von ca. 40 µm im
Kristall des AOM abbildet, was sehr nahe am Effizienzmaximum des AOM
liegt.
Zur Anpassung der optimalen RF-Leistung des AOM wurde diese bei
200 MHz durchgestimmt und die Beugungseffizienz gemessen. Es wurde ermittelt, dass bei einer RF-Leistung von 0,5 W der AOM am effizientesten arbeitet. Im Doppelpass durch den AOM beträgt die durchschnittliche Beugungseffizienz ca. 65%. Die Messergebnisse sind in Tabelle 3.4 aufgelistet.
P0
P1
P2
Messung 1
7,0 mW
5,9 mW
4,6 mW
Messung 2
7,6 mW
6,5 mW
4,8 mW
Messung 3
6,7 mW
5,9 mW
4,4 mW
Mittelwert
(7,1 ± 0,5) mW
(6,1 ± 0,3) mW
(4,6 ± 0,2) mW
P2 /P0
0,65 ± 0,08
Tabelle 3.4: Effizienz des AOM im Doppelpass bei 411 nm. Hierbei wurde das Verhältnis aus mittlerer Eingangsleistung P0 zur mittleren Ausgangsleistung P2 , nach
dem Zweifachdurchgang des AOM, berechnet. P1 ist die Ausgangsleistung nach dem
Einfachdurchgang des AOM. Die Leistungsmesspunkte sind in Abb. 3.27 eingezeichnet. Der relative Messfehler des verwendeten Laserleistungsmesskopfes beträgt 5%
bei 411 nm.
Nach Auskopplung des frequenzverstimmten Laserstrahls erfolgte eine erneute Strahlformung, um diesen mit dem 369 nm Laserstrahls des Kühllasers
für 172Yb+ zu überlagern und in eine Monomoden-Glasfaser einzukoppeln,
welche zur Vakuumkammer mit der Ionenfalle führt.
Zum Auffinden des schmalbandigen 2 S1/2 - 2 D5/2 Übergangs in 172Yb+ mit
22,7 Hz Linienbreite muss die korrekte Verstimmungsfrequenz des AOM errechnet werden. Die Frequenz des 822 nm Lasers ist hierfür bereits mit einem
Frequenzkamm vermessen worden.
fYb
(729,476 869 1 ± 0,000 000 2) THz [2]
f0
364,738 629 3 THz
AOM 1
200,000 MHz
AOM 2
220,000 MHz
AOM 3
194,750 MHz
Tabelle 3.5: Um den 411 nm Laser auf die Frequenz fYb des 2 S1/2 - 2 D5/2 Übergangs
einzustellen, muss der Primärlaser bei der Frequenz f0 stabilisiert sein, und es müssen die RF-Generatoren der AOMs auf die oben genannten Frequenzen eingestellt
werden.
Aus Abb. 3.28 und Tabelle 3.5 geht hervor, dass eine Verstimmung des
Laserstrahls an AOM 3 um ∆ν = 2 · 194,75 MHz notwendig ist, um die Frequenz des Übergangs zu erhalten, wenn der Primärlaser bei 364,738 629 3 THz
3.5 farbzentren in ktp
ULE® Resonator
Frequenzkamm
im Paschen-Bau
AOM 1
2x (-200 MHz)
AOM 2
1x (+220 MHz)
Wellenlängenmessgerät
f0= 364,7386293 THz
Primär-LD
Hochl.-LD
SHG
AOM 3
2x (-194,75 MHz)
Yb+
Abbildung 3.28: Schematischer Frequenzplan der AOMs und des Lasers im experimentellen Aufbau. Die Frequenz f0 = 364,738 629 3 THz wurde aus der Laserfrequenz am Frequenzkamm abgeleitet und dient am Wellenlängenmessgerät als Referenz.
stabilisiert ist. Somit muss der betreffende Doppelpass-AOM mit 194,75 MHz
betrieben und die -1. Beugungsordnung genutzt werden.
Während eines Versuchsdurchlaufs konnte dieser Übergang testweise angeregt werden. Dies konnte dadurch verifiziert werden, dass die Ionen hauptsächlich nach diesem Übergang in den 2 F7/2 Dunkelzustand zurückgefallen
sind und somit nicht mehr sichtbar waren. Aufgrund des Zeeman-Effektes, ist
der 2 S1/2 - 2 D5/2 Übergang jedoch stark magnetfeldsensitiv. Da eine Kompensation der umliegenden Magnetfelder und des Erdmagnetfelds am Ort
der Ionen nicht durchgeführt werden konnte und durch die Bewegungsmoden der Ionen wahrscheinlich zahlreiche Seitenbänder neben dem Übergang
existierten, war der beobachtete Übergang mehrere Megahertz breit. Genauere Experimente sind erst nach dem Aufbau eines Spulensystems möglich, welche die umliegenden Magnetfelder kompensieren.
3.5
farbzentren in ktp
In Kapitel 3.1.6 wurden bereits die konversionseffizienzmindernde Effekte,
wie die Farbzentrenbildung, erwähnt. Diese wurde auch in diesem Experiment festgestellt, welches an den Abbildungen 3.23, 3.24 und 3.25 erkannt
werden kann.
Bei der Farbzentrenbildung (Gray-tracking) handelt es sich um Kristalldefekte, die durch intensive Laserstrahlung hervorgerufen werden. Diese Defekte führen zu veränderten Absorptionseigenschaften des Kristalls entlang des
Laserstrahls, der diesen durchläuft. Daher der Ausdruck „Gray-tracking“. Es
wurde bereits relativ früh beobachtet, dass die Absorption von Laserstrahlung abhängig davon ist, zu welcher Achse des Kristalls der Laser parallel
57
58
frequenzverdoppelung
polarisiert ist. Es konnte außerdem beobachtet werden, dass die Farbzentrenbildung auch stattfindet, wenn der Kristall einem äußeren elektrischen Feld
ausgesetzt wird. Sowohl die Farbzentrenbildung durch äußere elektrische Felder, als auch durch Laserstrahlung könnten ursächlich sein. Durch paramagnetische Elektronenresonanztomographie wurden Ti3+ -Ionen, die ein Elektron einfangen, als Bildner der Farbzentren ermittelt [18]. Des Weiteren konnte durch Röntgenuntersuchungen festgestellt werden, dass Farbzentren mechanische Verspannungen im Kristallgitter erzeugen. Gerade das Kalium-Ion
kann unter Einfluss eines elektrischen Feldes entlang der z-Achse diffundieren [19].
Es konnte darüber hinaus festgestellt werden, dass nicht die Fundamentalwelle für die Farbzentrenbildung verantwortlich ist, sondern die zweite
Harmonische [20].
Hinsichtlich der Ursachen der Farbzentrenbildung und dessen Vermeidung
wird zu Zeit noch aktiv Forschung betrieben. Es werden Herstellungsverfahren entwickelt, die KTP-Kristalle weniger anfällig für die Farbzentrenbildung
machen. Es wurden daher in der Vergangenheit sehr viele Experimente durchgeführt um die Schwellintensität eines Laserstrahls zu ermitteln, ab welcher
diese Farbzentrenbildung auftritt. Die meisten Messungen wurden allerdings
mit Pulslasern durchgeführt und nicht mit Dauerstrichlasern. Pulslaser weisen eine kurzzeitig sehr hohe Spitzenintensität von mehr als 100 MW cm−2
auf. Dauerstrichlaser hingegen zeigen um Größenordnungen niedrigere Leistungsdichten. Es wird vermutet, dass nicht die Spitzenintensität für die Farbzentrenbildung verantwortlich ist, sondern die mittlere Leistungsdichte. Hierbei wird eine Schwelle von ca. 16 kW cm−2 [21] bzw. 26 kW cm−2 [22] angegeben.
Im Folgenden soll nun die Leistungsdichte der zweiten Harmonischen im
Punkt des minimalen Strahlradius im Inneren des Kristalls für das vorliegende Experiment für verschiedene Fälle abgeschätzt werden. Wie bereits in
Kapitel 3.2 berechnet wurde, beträgt der minimale Strahlradius im Kristall
w0 = 26 µm. Es wird dabei angenommen, dass der Strahl keinen Astigmatismus aufweist, also kreisrund ist, was für eine grobe Leistungsdichteabschätzung gerechtfertigt ist. Die Leistungsdichteabschätzung soll für zwei
Fälle durchgeführt werden: für eine Laserleistung bei 411 nm von 24 mW und
16 mW:
L1 =
24 mW
= 0,565 kW/cm2
2π · (26 µm)2
(3.64)
L2 =
16 mW
= 0,377 kW/cm2
2π · (26 µm)2
(3.65)
Beide Leistungsdichten liegen bei Weitem unter der von [21] angegebenen
Schwell-Leistungsdichte von 16 kW cm−2 . Es zeigt sich in diesem Experiment
selbst bei diesen geringen Leistungsdichten Farbzentrenbildung.
In Zukunft könnte auch ein Vergleich der Geschwindigkeiten der zeitlichen
Leistungsabnahme der zweiten Harmonischen mit den Werten aus den vorliegenden Arbeiten durchgeführt werden. Des Weiteren könnte untersucht
3.5 farbzentren in ktp
werden, ob die Laserleistung der zweiten Harmonischen, wie in [23] beschrieben wurde, asymptotisch einer Sättigungsleistung entgegenstrebt. In den eigenen Experimenten konnte dies bisher nicht beobachtet werden. Dazu werden möglicherweise längere Messzeiten benötigt.
Damit im Laufe der Zeit die Farbzentrenbildung den Kristall nicht zu sehr
schädigt, sodass dieser noch möglichst lange dem Experiment zur Verfügung
steht, wurde die Laserleistung der zweiten Harmonischen auf unter 15 mW
begrenzt.
Eine weitere Möglichkeit wäre eine Regeneration des Kristalls anzustreben,
wie es in [23] untersucht wurde. Hierbei wurde der Kristall auf ca. 100 ◦C bis
150 ◦C erhitzt. Die Farbzentren ließen sich dadurch vollständig ausheilen. Für
den in diesem Experiment verwendeten Kristall müsste geprüft werden, ob
eine derartige Technik durchgeführt werden könnte. Diese Prozedur würde
sich zu dem Zeitpunkt anbieten, an dem der Kristall soweit durch Farbzentren geschädigt ist, dass ein Verschieben des Kristalls keine Leistungsverbesserung mehr ergibt.
59
Teil II
I O N E N M O D E N U N D K R I S TA L L D E F E K T E
4
IONENMODEN
Im zweiten Teil dieser Arbeit sollen nun näher Schwingungsmoden, Phasenübergänge und Defekte („Kinks“) von Coulombkristallen untersucht werden.
Im Temperaturbereich von wenigen mK, in der der Coulombkristall im auskristallisierten Zustand vorliegt und kB T hωz (Quantenlimit) [24] gilt, bilden sich, durch die gegenseitige Kopplung über die Coulombkraft, Schwingungsmoden der Ionen im Kristall aus. Darüber hinaus können auch äußere elektrische Felder und Gradienten diese Moden anregen. Die Anzahl der
Schwingungsmoden ist 3N bei der Ionenzahl N. In einer linearen Paulfalle,
welche im folgenden Unterkapitel 4.1 näher beschrieben wird, können diese
Moden in axiale und radiale Eigenmoden separiert werden.
Die Kenntnis des Frequenzspektrums der Ionenmoden eines Coulombkristalls ist eine Notwendigkeit für die hochauflösende Spektroskopie der einzelnen Seitenbänder auf dem 2 S1/2 - 2 D5/2 Übergang, welche durch diese
Schwingungen entstehen. Dies ist ein Schritt auf dem Weg zur Seitenbandkühlung des Coulombkristalls, welche nur innerhalb des Lamb-Dicke Regimes erfolgen kann.
Nicht nur für das Seitenbandkühlen, sondern auch für den sympathetischen Kühlprozess, kann die Betrachtung der Modenspektren nützlich sein.
Da dieser auf der Coulomb-Kopplung der Ionen untereinander beruht, können die unterschiedlichen Kopplungsstärken im Coulombkristall berechnet
und das sympathetische Kühlen damit optimiert werden.
Darüber hinaus sind diese Informationen hilfreich zur Massebestimmung
von Molekülionen, die in der Ionenfalle spontan entstehen können. In diesem
Fall fungiert die Ionenfalle als Massenspektrometer und über die gemessenen
Schwingungsfrequenzen lassen sich Rückschlüsse auf die Masse der beteiligten Partikel schließen.
4.1
die lineare paulfalle
Die Paulfalle ist eine Apparatur zur Speicherung von geladenen Partikeln mittels eines elektrischen Wechselfeldes. In diesem Zusammenhang soll auf eine
lineare Paulfalle, wie diese in Abb. 4.1 dargestellt ist, näher eingegangen werden. Die lineare Paulfalle besteht aus sechs Elektroden. Zwei RF-Elektroden,
zwei DC-Elektroden und zwei Masse-Elektroden. Innerhalb dieser Elektrodenanordnung werden die geladenen Partikel gefangen. Die Funktionsweise
der linearen Paulfalle soll nun überblicksartig dargestellt werden. Für detailliertere Informationen sei auf die Fachliteratur, wie z.B [25], verwiesen.
Geladene Teichen erfahren in einer Paulfalle das Potenzial
x2 − y2
κUdc
1 2
2
2
Φ(~r, t) =
Urf cos(Ωrf t) + 2
z − (x + y ) ,
(4.1)
2
2r20
r0
|
|
{z
}
{z
}
Φrf
Φdc
63
64
ionenmoden
x
z
y
Abbildung 4.1: Schematische Abbildung einer linearen Paulfalle bestehend aus den
RF-Elektroden (rot), den Masse-Elektroden (schwarz) und den DC-Elektroden (blau).
Die gefangenen Partikel (grün) befinden sich innerhalb dieser Elektrodenanordnung.
mit
r0 : Abstand gegenüberliegender Elektroden
Ωrf : radiale Fallenfrequenz
κ: Geometriefaktor
Urf : RF-Spannung
Udc : DC-Spannung
Φrf : RF-Potenzial
Φdc : DC-Potenzial
welches eine Superposition aus RF-Potenzial und DC-Potenzial ist. Hieraus
lässt sich das effektive Potenzial
Φeff ≈ q
~ rf · ∇Φ
~ rf
qU2rf
∇Φ
(x2 + y2 )
=
4mΩ2rf
4mΩ2rf r40
(4.2)
durch zeitliche Integration des Wechselfeldes über eine Periode mit der Teilchenmasse m und der Teilchenladung q angeben. Dies wird auch das ponderomotive Potenzial genannt. Das axiale und radiale Potenzial können als
harmonisches Potenzial der Form
1
Φ(z) = mω2z z2
2
(4.3)
1
Φ(r) = mω2r r2
2
(4.4)
bzw.
mit ωz der axialen bzw. ωr der radialen Fallenfrequenz und r2 = x2 + y2
angegeben werden. Aus Gl. 4.1, 4.2 und 4.3 folgt durch Koeffizientenvergleich
1
ωz ∝ √ und
m
(4.5)
1
.
m
(4.6)
ωr ∝
4.2 axiale ionenmoden
4.2
axiale ionenmoden
Die Wechselwirkung der Ionen untereinander sollen im Folgenden anhand einer linearen Ionenkette, bestehend aus N Ionen mit unterschiedlichen Massen
M und m, untersucht werden. Hierbei soll zunächst auf die axialen Ionenmoden eingegangen werden. Eine detaillierte Herleitung ist in [26] zu finden.
Das axiale Potenzial ist hierbei
1
1
Φ(z) = mω2z z2 = qa0 z2 ,
2
2
(4.7)
welches im Folgenden in dieser leicht modifizierten Form nach [26] benutzt
wird. Hierbei sei a0 eine Konstante.
In der eindimensionalen Betrachtung ergibt sich die potentielle Energie
der Ionenkette aus zwei zu addierenden Beiträgen, dem Beitrag des DCPotenzials entlang der z-Achse und der Coulomb-Wechselwirkung der Ionen
untereinander:
N
N
X
1
q2 X
1
V(z1 , ..., zn ) = VDC + VC = qa0
z2i +
2
8π0 i,j=1 zi − zj i=1
(4.8)
i6=j
Dabei geben die zi die Koordinaten der einzelnen Ionen in der Ionenkette an,
so wie es in Abb. 4.2 dargestellt ist.
1
nM
N
Abbildung 4.2: Eine lineare Kette aus Ionen der Masse m aufgereiht auf der Fallenachse z. Die Ionen sind von 1 bis N durchnummeriert. nM gibt dabei die Nummer
eines Ions mit der Masse M an.
Durch Minimierung der potenziellen Energie, s. Gl. 4.8, können nun die
Gleichgewichtspositionen der Ionen berechnet werden. Um allgemein und
dimensionslos zu rechnen wird die Längenskala l mit
l3 =
q
4π0 a0
(4.9)
eingeführt, um die normalisierte Ionenposition
ui =
zi
l
(4.10)
65
66
ionenmoden
zu erhalten. Damit ergibt sich das folgende Gleichungssystem für die normalisierten Ionenkoordinaten ui :
ui −
i−1
X
j=1
N
X
1
1
+
=0
2
(ui − uj )
(ui − uj )2
mit i = 1, ..., N
(4.11)
j=i+1
Dieses Gleichungssystem ist nur bis N = 3 analytisch lösbar, sodass die Berechnung der Ionenpositionen numerisch erfolgen muss. Wie leicht an den
Gleichungen 4.8 und 4.11 erkannt werden kann, liegt keine Masseabhängigkeit der potentiellen Energie und somit der Gleichgewichtspositionen der Ionen vor. Lediglich die Ladung der beteiligten Ionen hat Auswirkung auf die
Gleichgewichtspositionen.
Durch die intrinsische Temperatur der Ionen, führen diese Nullpunktsbewegungen um ihre Gleichgewichtspositionen aus. Dies kann man durch zeitabhängige Koordinaten der Ionenpositionen beschreiben:
zi (t) = lui + qi (t) .
(4.12)
qi (t) beschreibt dabei eine geringe Auslenkung aus der Gleichgewichtsposition, sodass die störenden Kräfte linearisiert werden können. Der LagrangeOperator für diese kleinen Oszillationen ist [26]
N
N
m X 2 M 2
1 X ∂2 V L=
q̇ + q̇nM −
qi qj
2 i=1 i
2
2
∂zi ∂zj {qi }=0
(4.13)
i,j=1
i6=nM
N
N
X
m X 2 M 2
1
=
q̇ + q̇nM − qa0
Aij qi qj
2 i=1 i
2
2
(4.14)
i,j=1
i6=nM
mit der Konvention, dass nM den Index eines schwereren Ions angibt, sowie
Aij =

P

1 + 2 N
k=1,k6=i

−2
1
|ui −uk |3
1
3
|ui −uj |
i=j
(4.15)
i 6= j
p
Sei nun T = ωz t die normalisierte Zeit mit ωz = qa0 /m, der axialen Ionenfallenfrequenz. Das Massenverhältnis beider Ionenspezies sei µ = M/m und
√
die normalisierte Amplitude der Ionenschwingungen qi (t) sei Qi = qi qa0
√
für i 6= nM und QnM = qnM qa0 µ für i = nM . Somit lässt sich der
Lagrange-Operator (Gl. 4.13) vereinfachen zu
1X
L=
2
N
i=1
dQi
dT
2
−
N
1 X 0
Aij Qi Qj
2
i,j=1
(4.16)
4.2 axiale ionenmoden
mit
0
Aij
=



A

 ij
A
√ij
µ



 Aij
µ
i, j 6= nM
(4.17)
i oder j = nM , i 6= j
i = j = nM
Das Lösen der Eigenwertgleichung
A 0 · ~v(k) = ζ2k · ~v(k) , k = 1, ..., N
(4.18)
ergibt die Eigenwerte ζk , die auf ωz normalisierten Frequenzen der axialen
Oszillationen mit ωk = ζk ωz und die orthonormale Eigenvektoren ~v(k) , welche die normalisierten Amplituden der axialen Oszillationen Qi (t) sind.
Die axialen Schwingungsmoden zeigen verschiedene Muster. In Abb. 4.3
sind beispielhaft die ersten drei bzw. fünf Schwingungsmoden für die Ionenzahl N = 3 und N = 5 aufgezeigt, wobei die Frequenzen der jeweiligen
Schwingungsmoden von unten nach oben ansteigen. Das bedeutet, dass beispielsweise die 2. Mode immer eine höhere Frequenz hat als die 1. Mode, die
3. eine höhere als die 2., usw.
N=5
→ ←
N=3
→
←
→ ←
←
→
← ← ←
←
→ ←
→
k=5
→
←
k=4
→
k=3
→ →
k=2
→ ← ← ←
← ←
← ← ← ← ←
ω
k=1
Abbildung 4.3: Axiale Ionenmoden für N = 3 Ionen und N = 5 Ionen, angeordnet
von unten nach oben mit aufsteigender Frequenz.
Abbildung 4.4 zeigt die axialen Modenfrequenzen für jedes einzelne 172Yb+
Ion bei einer axialen Fallenfrequenz von ωz = 2π · 170 kHz. Dabei wird dem
Coulombkristall sukzessive jeweils ein weiteres Yb-Ion hinzugefügt, sodass
die Änderungen der Eigenmodenfrequenzen verglichen werden können. Für
den Coulombkristall, der ausschließlich aus sieben Yb-Ionen besteht, ergibt
sich ein relativ homogenes axiales Frequenzspektrum. Mit zunehmender Anzahl Ionen steigt die Frequenz der hinzukommenden Schwingungsmoden an.
67
68
ionenmoden
Generell folgt aus der Berechnung der Eigenwerte für die axialen Modenfrequenzen
√
ωk=1 = 1 · ωz
√
ωk=2 = 3 · ωz
p
ωk=3 = 5, 8 · ωz
p
ωk=4 = 9, 4 · ωz
p
ωk=5 = 13, 6 · ωz
p
ωk=6 = 18, 3 · ωz
p
ωk=7 = 23, 7 · ωz
......
Im hier betrachteten Fall, s. Abb. 4.4, können die einzelnen Modenfrequenzen klar voneinander abgegrenzt werden und weisen einen Abstand von mindestens 100 kHz zueinander auf.
Im nächsten Fall sollen nun zwei Yb-Ionen durch In-Ionen ersetzt werden.
Abbildung 4.5 zeigt diesen Fall für verschiedene Positionen der In-Ionen, welche entlang der Abszisse des Diagramms aufgezeigt sind.
Es zeigt sich, dass sich die Schwingungsfrequenzen der Eigenmoden gut
voneinander abgrenzen. Selbst sehr eng benachbarten Moden liegen mehr als
50 kHz auseinander, sodass diese mit dem Spektroskopielaser ohne Weiteres
addressiert und aufgelöst werden können. Somit kann davon ausgegangen
werden, dass die axialen Ionenmoden für die Spektroskopie handhabbar sind.
4.3
radiale ionenmoden
Da die gefangenen Ionen nicht nur Bewegungen in der Fallenachse ausführen,
sondern auch senkrecht zu dieser, können sich auch radiale Schwingungsmoden ausbilden. Im folgenden Unterkapitel soll nun eine Betrachtung der
radialen Ionenmoden analog zu [27]perfolgen.
Sei = ωr0 /ωz , sodass ωx = ωz 2 − 1/2 gilt. Hierbei ist
√
ωr0 ∝ q/( 2Ωrf m)
(4.19)
die „reine“ radiale Fallenfrequenz, für ein vernachlässigbares axiales Potenzial. Dabei wird von dem Lagrange-Operator
1X
L=
2
N
i=1
dXi
dT
2
N
1 X 0
−
Bij Xi Xj
2
(4.20)
i,j=1
√
√
ausgegangen. Hierbei sind Xi = xi qa0 für i 6= nM und XnM = xi qa0 µ
die normalisierten Schwingungsamplituden der Ionen entlang der x-Achse.
4.3 radiale ionenmoden
9 0 0
8 2 6 ,8 4 4
8 0 0
7 2 6 ,5 6 6
7 2 7 ,6 6
6 2 4 ,0 3 9
6 2 4 ,9 4 8
6 2 5 ,7 3 6
5 1 8 ,6 6 3
5 1 9 ,3 2 7
5 1 9 ,8 5 5
5 2 0 ,3 5 9
4 0 9 ,4 2 2
4 0 9 ,7 6 6
4 1 0 ,0 4
4 1 0 ,2 4 4
4 1 0 ,4 5 9
2 9 4 ,4 4 9
2 9 4 ,4 5 3
2 9 4 ,4 4 9
2 9 4 ,4 4 9
2 9 4 ,4 4 7
2 9 4 ,4 5 4
1 7 0
1 7 0
1 7 0
1 7 0
1 7 0
1 7 0
F re q u e n z [k H z ]
7 0 0
6 0 0
5 0 0
4 0 0
3 0 0
2 0 0
1 7 0
1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
A n z a h l Io n e n
Abbildung 4.4: Frequenzen der axialen Ionenmoden von bis zu sieben Yb-Ionen,
die sukzessive dem Coulombkristall hinzugefügt werden. Hierbei wurde eine axiale
Fallenfrequenz von ωz = 2π · 170 kHz angenommen.
1 2 0 0
1 0 9 6 ,6 9
1 0 0 0
9 7 6 ,4 1 6
9 2 7 ,6 1 7
8 8 1 ,3 2 7
F re q u e n z [k H z ]
8 4 1 ,2 5
8 0 0
8 4 6 ,7 3 3
8 2 7 ,0 8 7
7 9 7 ,7 2 2
7 7 5 ,2 2 4
7 3 1 ,0 1 5
7 2 9 ,4 2
6 6 8 ,9 1 4
6 5 5 ,9 1
7 7 8 ,6 7 3
7 4 4 ,8 2 2
7 1 1 ,5 4 7
6 5 9 ,5 6 4
6 5 4 ,0 2 1
6 4 3 ,5 5 3
6 0 0
5 4 9 ,4 3 9
4 0 0
1 7 7 ,8 4
3 3 0 ,9 0 4
3 1 0 ,9 2 3
1 7 8 ,2 6
5 3 3 ,2 6 8
4 3 0 ,1 2 3
4 1 0 ,5 8 3
3 2 0 ,9 8 1
2 0 0
5 5 6 ,7 7
5 2 4 ,7 9 4
4 6 5 ,4 3 1
4 4 8 ,1 2 6
4 4 0 ,0 0 6
5 6 3 ,6 8 2
5 4 6 ,1 5 3
1 7 8 ,2 2 1
3 0 6 ,9 9 8
1 7 8 ,4 8 3
4 2 9 ,7 1 7
2 9 5 ,9 5 6
1 7 8 ,3 4 7
2 9 4 ,9 2 3
1 7 7 ,2 7
b
b
In
-In
-In
Y b
b -Y
b -Y
-In -Y b
-Y b
-In b -Y
b -Y
-Y b
Y b
Y b
Y b
Y
Y
b
n
b
b
Y
I
n
n
I
I
-Y
b -Y
-In -Y b
-Y b
-In Y b
b -Y
-Y b
-Y b
-Y b
-In -Y b
Io n
Y b
Y b
In -Y
Y b
Y b
-Y b
b
Y
e n k o n fig u r a tio n
Abbildung 4.5: Frequenzen der axialen Ionenmoden für einen gemischten Coulombkristall aus fünf Yb- und zwei In-Ionen. Hierbei wurde ωz = 2π · 170 kHz angenommen. Ein erweiterter Graph mit weiteren Ionenkonfigurationen befindet sich im Anhang. Die letzte angegebene Konfiguration zeigt zum Vergleich eine symmetrische
Konfiguration des Coulombkristalls aus sechs Yb-Ionen und zwei In-Ionen.
69
70
ionenmoden
Damit ergeben sich die folgenden Matrizen, deren Lösung analog zu denen
der axialen Ionenmoden in Abschnitt 4.2 erfolgt:
0
Bij
=



B

 ij
B
√ij
µ



 Bij
µ
i, j 6= nM
(4.21)
i oder j = nM , i 6= j
i = j = nM

P

1

2 − 21 − N

k=1,k6=i |u −u |3

i
k

 2 P
N
1
Bij = µ − k=1,k6=i |u −u |3
i
k


 1



3
|ui −uj |
i = j, j 6= nM
i = j = nM
(4.22)
i 6= j
Auch für die radialen Moden gibt es unterschiedliche Schwingungsformen.
Diese sind in Abb. 4.6 dargestellt.
N=5
↑
↑
↑
N=3
↑
↓
↑
↑
↑
↓
↑
↓
↓
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↓
↓
↑
↓
↑
↓
↑
↑
↓
↓
k=5
ω
k=4
k=3
↑
k=2
↑
k=1
Abbildung 4.6: Radiale Ionenmoden für Ionenzahl N = 3 und N = 5.
Beispielhaft seien in den Abbildungen 4.7, 4.8 und 4.9 auch experimentell
aufgenommene Bilder der radialen Schwingungsmoden von drei Yb-Ionen
abgebildet1 , bei denen sich die Schwingungsamplituden mit den dazugehörigen Eigenvektoren vergleichen lassen.
Die Radialmodenfrequenzen eines nur aus Yb-Ionen bestehenden Coulombkristalls zeigen, wie die axialen Modenfrequenzen, ein ziemlich homogenes
Modenspektrum, welches in Abb. 4.10 abgebildet ist. Mit jedem weiteren Ion
kommt eine weitere Ionenmode hinzu, deren Frequenz jedoch niedriger liegt
als die vorherige (vgl. axiale Ionenmoden). Die jeweils höchsten Modenfrequenzen besitzen zueinander stets den geringsten Abstand. Bei einem Coulombkristall mit sieben Yb-Ionen und den angegebenen Parametern beträgt
1 Messung: Karsten Pyka, 16. Februar 2012
4.3 radiale ionenmoden
Abbildung 4.7: „Common-Mode“: Alle Ionen schwingen phasengleich mit identischer Amplitude. Amplituden-Eigenvektor: (1,1,1).
Abbildung 4.8: „Stretch-Mode“: Während das mittlere Ion stillsteht, schwingen die
anderen zwei Ionen gegenphasig mit gleicher Amplitude. Amplituden-Eigenvektor:
(1,0,-1)
dieser Abstand etwa 20 kHz und ist somit, so wie die Axialmodenfrequenzen,
für die Spektroskopie in einem unkritischen Bereich.
Die Betrachtung der Radialmodenfrequenzen für einen Coulombkristall
aus fünf Yb- und zwei In-Ionen zeigt ein qualitativ sehr inhomogenes Modenspektrum. Je weiter das eine In-Ion in der Mitte platziert wird, desto
geringer wird der Frequenzabstand einiger Radialmoden. Befindet sich ein
In-Ion direkt in der Mitte des Coulombkristalls und eines ganz außen, so befinden sich die zwei am nächsten zueinander liegenden Radialmoden gerade
in einem Abstand von ca. 6 kHz.
Sehr kritisch ist offenbar die Konfiguration, wenn beide In-Ionen sich jeweils an einem Ende des Coulombkristalls befinden. Hierbei verringert sich
der Modenabstand auf 570 Hz.
Wird nun zusätzlich das zweite In-Ion umpositioniert und die Ionenanordnung im Kristall so gewählt, dass die In-Ionen immer symmetrisch zur
Kristallmitte angeordnet sind, zeigt sich sogar eine enge Überlagerung von
mehreren Moden in verschiedenen Frequenzbereichen mit einem Modenabstand von nur wenigen 100 Hz.
Die geringen Frequenzdifferenzen erschweren die Unterscheidung dieser
Moden und könnten Probleme beim Auflösen der einzelnen Moden hervorrufen.
Darüber hinaus besteht die Gefahr, das Lamb-Dicke-Regime zu verlassen,
sodass die Kopplung durch ein äußeres elektrisches Feld der internen elektri-
Abbildung 4.9: „Egyptian-Mode“: Das mittlere Ionen schwingt gegenphasig zu den
äußeren Ionen mit der doppelten Amplitude. Amplituden-Eigenvektor: (1,-2,1)
71
72
ionenmoden
Mode
νk experimentell
νk theoretisch
k=1
(181 ± 1) kHz
182,0 kHz
k=2
(193,6 ± 0,3) kHz
193,3 kHz
k=3
(200,7 ± 0,3) kHz
201,0 kHz
Tabelle 4.1: Messung der radialen Modenfrequenzen an drei Yb-Ionen bei νr =
(201 ± 1) kHz und νz = (55 ± 5) kHz. Den berechneten Frequenzen liegt νr =
201 kHz und νz = 55 kHz zugrunde.
schen Zustände und der Bewegungszustände des Ions bzw. der Ionen nicht
mehr hinreichend klein ist [28, 29].
Das Lamb-Dicke-Regime zeichnet sich dadurch aus, dass die spontane Emission eines Photons, welches durch den elektronischen Übergang des Ions
erfolgt, nicht dessen Bewegungszustand durch Impulsübertrag ändert. Das
Quadrat des Lamb-Dicke-Parameters η2 kann im Grundzustand, für die Bewegungsquantenzahl n = 0, als Verhältnis von der Rückstoßfrequenz ωrec ,
welche als Maß für die Impulsänderung bei Emission eines Photons aufgefasst werden kann, zur quantisierten Energiedifferenz des harmonischen Oszillators, welches in diesem Fall durch die Frequenz ωr ausgedrückt wird,
beschrieben werden. Es gilt
η2 · (2n + 1) = ωrec /ωr 1.
(4.23)
Die Ionenkonfiguration, die hinsichtlich ihres Modenspektrums am wenigsten Probleme bereiten sollte, ist die Erste in Abb. 4.11, in welcher beide InIonen an einer Außenposition an der selben Seite des Coulombkristalls positioniert sind.
Hier zeigt sich, dass im Falle der Radialmodenstruktur ein besonderes
Augenmerk auf die Konfiguration des Coulombkristalls zu richten ist, da
die Mehrheit der Ionenkonfigurationen zu einer ungünstigen Modenstruktur
führt.
Um dieser Problematik zu begegnen, würde es sich anbieten Prozeduren zu
entwickeln, mit denen eine gewünschte Ionenkonfiguration gezielt präpariert
und stabilisiert werden kann.
4.3.0.3 Säkularfrequenzmessungen
Die korrekte Funktionsweise des Berechnungsprogramms für das Modenspektrum konnte, durch den Vergleich mit experimentell ermittelten Frequenzen2 der radialen Schwingungsmoden, verifiziert werden. Tabelle 4.1 zeigt
die experiementell bestimmten und berechten Modenfrequenzen für drei YbIonen. Es zeigt sich, dass diese im Rahmen der Fehlergrenzen übereinstimmen.
Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass darüber hinaus weitere Messungen mit Coulombkristallen aus einem Molekülion und mehreren Yb-Ionen
2 Messungen: Karsten Pyka, Februar 2012.
4.3 radiale ionenmoden
8 0 0
8 0 0
8 0 0
8 0 0
8 0 0
8 0 0
8 0 0
8 0 0
7 8 1 ,7 2 9
7 8 1 ,7 2 8
7 8 1 ,7 2 9
7 8 1 ,7 2 9
7 8 1 ,7 2 9
7 8 1 ,7 2 8
7 5 5 ,4 0 5
7 5 5 ,3 1 2
7 5 5 ,2 3 8
7 5 5 ,1 8 2
7 5 5 ,1 2 4
7 2 1 ,0 7 2
7 2 0 ,8 3 3
7 2 0 ,6 4 2
7 2 0 ,4 6 1
6 7 8 ,0 4
6 7 7 ,6 2 1
6 7 7 ,2 5 7
6 2 4 ,9 0 1
6 2 4 ,2 6 4
F re q u e n z [k H z ]
7 5 0
7 0 0
6 5 0
6 0 0
5 5 9 ,1 2
5 5 0
1
2
3
4
5
6
7
A n z a h l Io n e n
Abbildung 4.10: Frequenzen der radialen Ionenmoden von bis zu sieben Yb-Ionen,
die sukzessive dem Coulombkristall hinzugefügt werden. Hierbei wurde eine radiale
Fallenfrequenz von ωr = 2π · 800 kHz und eine axiale Fallenfrequenz von ωz =
2π · 170 kHz angenommen.
1 2 0 0
1 1 7 8 ,6 1
1 1 6 4 ,8 5
1 1 6 4 ,6 5
1 1 5 0
1 1 6 4 ,2 8
1 1 4 0 ,1 6
1 1 2 0 ,1 1
1 1 0 0
1 1 1 6 ,7 7
1 0 9 9 ,2 3
1 0 8 2 ,8 7
1 0 5 0
1 0 1 5 ,1
F re q u e n z [k H z ]
1 0 0 0
1 0 2 3 ,0 9
9 6 1 ,8 8 7
9 5 0
9 0 0
8 5 0
8 0 0
7 9 1 ,8 4 5
7 5 0
7 0 0
7 8 2 ,1 4 2
7 5 7 ,9 8 2
7 5 2 ,4 7 4
7 7 9 ,4 2
7 7 3 ,7 5 8
7 7 7 ,5 6 5
7 5 7 ,5 9 1
7 3 8 ,2 1 3
7 3 7 ,4 0 2
7 1 9 ,2 0 1
7 1 9 ,1 6 9
7 0 6 ,8 7 5
7 0 1 ,6 2 8
7 0 4 ,2 7 7
6 8 4 ,2 9 6
6 8 4 ,0 4 4
6 5 6 ,8 6
6 5 0
6 3 6 ,5 5 2
6 1 8 ,6 0 1
6 0 0
5 5 0
7 8 5 ,1 5 8
7 8 2 ,0 9
7 5 4 ,4 3 4
5 6 2 ,1 3 1
6 2 5 ,7 6 5
6 2 5 ,0 8 2
5 5 9 ,2 6 1
6 2 1 ,1 2 9
5 6 5 ,7 6 9
5 8 7 ,3 0 5
5 8 4 ,4 3 4
In
-In
-In
Y b
-Y b
-Y b
-In -Y b
-Y b
-In -Y b
-Y b
-Y b
Y b
-Y b
-Y b
Y b
Y b
b
b
n
n
-b Y b
-b I n I
Y
Y
I
b -In -Y
-Y
-In Y b
b -Y
-Y b
-Y b
-Y b
-In -Y b
Io n
Y b
Y b
In -Y
Y b
Y b
-Y b
Y b
e n k o n fig u r a tio n
Abbildung 4.11: Frequenzen der radialen Ionenmoden für einen gemischten Coulombkristall. Hierbei wurde ωr = 2π · 800 kHz und ωz = 2π · 170 kHz angenommen.
Ein erweiterter Graph mit weiteren Ionenkonfigurationen befindet sich im Anhang.
Die letzte angegebene Konfiguration zeigt zum Vergleich eine symmetrische Konfiguration des Coulombkristalls aus sechs Yb-Ionen und zwei In-Ionen.
73
74
ionenmoden
durchgeführt wurden. Ziel ist die Identifikation des unbekannten Molekülions. Hierbei ist nur bekannt, dass es sich um ein Reaktionsprodukt mit Yb
handeln muss, wobei als Reaktionspartner nur Restgase (Wasserstoff, Sauerstoff) oder Wasser aus der Vakuumkammer in Frage kommen. Hierbei wurden wiederum die experimentell gemessenen Frequenzen mit berechneten
Frequenzen für verschiedene Massen des Molekülions verglichen. Es konnte
gezeigt werden, dass es sich bei den Molekülionen um YbO+ oder YbOH+
handeln muss. Eine genauere Unterscheidung der zwei Molekülionen konnte
aufgrund der Fehlergrenzen nicht erfolgen.
Dies zeigt, dass das Programm zur Berechnung der Ionenmodenfrequenzen auch für andere Anwendungen von Nutzen sein kann.
4.4
phasenübergänge und kristalldefekte (kinks)
Anhand des Modenspektrums kann der Punkt des Phasenübergangs des Coulombkristalls von der linearen in die zigzag-Konfiguration beobachtet werden.
Der Coulombkristall liegt in der linearen Konfiguration vor, wenn die numerisch bestimmte Bedingung
ωr
> 0, 73 · N0,86 .
ωz
(4.24)
erfüllt ist [24]. Der Phasenübergang zur zigzag-Konfiguration findet statt,
wenn das Verhältnis von ωr zu ωz so gering wird, dass diese Ungleichung
nicht mehr erfüllt ist.
Am Phasenübergang selbst konvergieren Modenfrequenzen gegen Null.
Um dies zu verdeutlichen, wurden in Abb. 4.12 für fünf Yb-Ionen die Radialmodenfrequenzen in Abhängigkeit der radialen Fallenfrequenz νr aufgetragen. Es lässt sich leicht erkennen, dass bei einer Frequenz von νr =
424 kHz eine Radialmodenfrequenz gegen Null konvergiert. Hier findet der
Phasenübergang statt.
Wird der Phasenübergang eines Coulombkristalls von der linearen in die
zigzag-Konfiguration (s. Abb. 4.14), dessen kritischer Bereich durch Gl. 4.24
und [24] beschrieben wird, nicht adiabatisch durchgeführt, so können Defekte
im Coulombkristall auftreten.
Es wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieser Defekte während des Phasenübergangs zweiter Ordnung durch den inhomogenen
Kibble-Zurek-Mechanismus beschrieben wird. Dieser besagt, dass bei einem
nicht adiabatischen Phasenübergang die Entstehungswahrscheinlichkeit von
Defekten eine potenzfunktionelle Abhängigkeit von der Geschwindigkeit der
Überschreitung des Phasenübergangs aufweist [5].
Die in diesem Experiment auftretenden Defekte können in zwei verschiedene Kategorien eingeteilt werden, dem „Odd Kink“ und dem „Extended
Kink“. Beide Defekte sind in Abb. 4.15 und 4.16 dargestellt3 .
Abbildung 4.13 zeigt die lineare Ionenkonfiguration vor dem Phasenübergang in die Zigzag-Konfiguration, welche in 4.14 abgebildet ist. Die experimentellen Aufnahmen der hierbei auftretenden Defekte sind in Abb. 4.15
und 4.16 dargestellt.
3 Darstellung erfolgte mittels des Simulationsprogramms von Ramil Nigmatullin.
4.4 phasenübergänge und kristalldefekte (kinks)
R a d ia lm o d e n fr e q u e n z e n [k H z ]
8 0 0
6 0 0
k = 5
k = 4
k = 3
k = 2
k = 1
4 0 0
2 0 0
0
4 0 0
4 5 0
5 0 0
5 5 0
6 0 0
6 5 0
7 0 0
7 5 0
8 0 0
8 5 0
νr [ k H z ]
Abbildung 4.12: Radialmodenfrequenzen eines aus fünf Yb-Ionen bestehenden Coulombkristalls bei variabler radialer Fallenfrequenz νr . Bei νr = 424 kHz strebt eine
Radialmodenfrequenz gegen Null.
Da die Defektbildung in Ionenkristallen im vorliegenden Experiment beobachtet werden kann und die experimentelle Überprüfung des Mechanismus
aktuell von großem Forschungsinteresse ist, werden zur Zeit experimentelle
Untersuchungen sowie Simulationen4 durchgeführt.
Zur statistischen Auswertung der Ionenkonfiguration bedarf es eines Programmes, welches die Ionenkonfigurationen während und unmittelbar nach
dem Phasenübergang detektiert und gegebenenfalls Defekte im Kristall erkennt.
Zu diesem Zweck wurde ein Programm geschrieben, welches diese Anforderungen erfüllt5 . Die Funktion dieses Programms soll im Folgenden kurz
erläutert werden.
Das Programm erhält die Ionenpositionen vom Detektionssystem des Experiments beziehungsweise vom Simulationsprogramm und verbindet benachbarte Ionenpositionen durch eine Gerade. Die Steigung dieser Geraden wird
von dem Programm bestimmt und diskretisiert in positive (+), negative (-)
oder keine Steigung (0). Mit Hilfe dieser Steigungen ist es möglich die Anordnung der Ionen im Kristall zu untersuchen und Defekte zu detektieren.
In den Abbildungen 4.17 und 4.18 sind beide Defektarten dargestellt. Bei
einem „extended kink“ tritt am Ort des Kristalldefekts im Zigzag-Muster einmalig die Geradensteigung 0 auf, während bei einem „odd kink“ zweimal
hintereinander die gleiche Steigung, welche von Null verschieden ist, auftritt.
4 Simulationsprogramm von Ramil Nigmatullin, 2012
5 KinkDetectorV5, Quelltext im Anhang
75
76
ionenmoden
Da es sich in diesem Programm um einen relativ einfachen Detektionsalgorithmus handelt, ist es möglich, diesen zeitsparend auf jedes aufgenommene
Bild des Coulombkristalls anzuwenden um somit auch eine zeitaufgelöste
Detektion der Defekte zu erhalten, da diese aus dem Kristall hinaus diffundieren können. Dieses Detektionssystem kann auch im Echtzeitbetrieb im Experiment eingesetzt werden.
Insgesamt können mit diesem Programm zeitaufgelöste Defektstatistiken
von Coulombkristallen im Experiment und in der Simulation erstellt werden.
Durch Vergleich beider Datensätze können die Vorhersagen des inhomogenen
Kibbel-Zurek-Mechanismus getestet werden [30].
Abbildung 4.13: Lineare Konfiguration der Ionen vor dem Phasenübergang. (Bild:
Karsten Pyka)
Abbildung 4.14: Zigzag-Konfiguration der Ionen nach dem Phasenübergang. (Bild:
Karsten Pyka)
Abbildung 4.15: „Odd Kink“. (Bild: Karsten Pyka)
4.4 phasenübergänge und kristalldefekte (kinks)
Abbildung 4.16: „Extended Kink“. (Bild: Karsten Pyka)
Abbildung 4.17: „Odd Kink“ – Die Steigungen der Geraden sind „+“ für eine positive Steigung und „-“ für eine negative Steigung. Bei einem „Odd Kink“ tritt zwei
Mal hintereinander die gleiche Steigung auf, in diesem Fall zwei Mal eine negative
Steigung.
Abbildung 4.18: „Extended Kink“ – Die Steigungen der Geraden sind „+“ für eine
positive Steigung, „-“ für eine negative Steigung und „0“ für keine Steigung. Tritt in
einem Coulombkristall einmal die Steigung „0“ auf und die benachbarten Steigungen sind positiv und negativ, so liegt ein „Extended Kink“ vor.
77
5
Z U S A M M E N FA S S U N G U N D A U S B L I C K
In dieser Arbeit wurde gezeigt, dass ein 822 nm Hochleistungslaser von einem schmalbandigen 822 nm Primärlaser frequenzstabilisiert werden kann
und der Hochleistungslaser die spektralen Eigenschaften des Primärlasers
vollständig übernimmt. Dieser Hochleistungslaser dient als Ausgangspunkt
für die theoretisch entworfene und experimentell realisierte Frequenzverdoppelung von 822 nm auf 411 nm.
In diesem Frequenzverdoppelungssystem kommt ein PPKTP-Kristall als
nichtlineares optisches Medium zum Einsatz, welcher in einem Ringresonator zur Effizienzerhöhung eingebaut ist. Dieser Ringresonator zeichnet sich
durch eine Finesse von ca. 60 aus und ermöglicht Verdoppelungseffizienzen
von ca. 35%. Die aktive Längenstabilisierung des Resonators erfolgt nach dem
Design von Hänsch und Coulliaud. Die Frequenzverdoppelung zeichnet sich
des Weiteren durch eine hohe Kurzzeitstabilität von 8 · 10−5 in 0,01 s aus.
Der frequenzverdoppelte Laserstrahl wurde anschließend zur Frequenzmodulation im Doppelpass durch einen AOM gelenkt, um die notwendige
Frequenzdurchstimmbarkeit für die Spektroskopie zu ermöglichen. Bei einer
kurzen Versuchsreihe konnte gezeigt werden, dass der 2 S1/2 - 2 D5/2 Übergang getrieben werden konnte, welcher noch aufgrund von residuellen Magnetfeldern und Seitenbändern der Ionenschwingungen eine starke Verbreiterung aufwies. Somit steht dieses System zur kohärenten Seitenbandspektroskopie der mikrobewegungs- und säkularfrequenzinduzierten Seitenbänder
und zum Seitenbandkühlen zur Verfügung, und kann wirkungsvoll eingesetzt werden, sobald eine Kompensation der Magnetfelder am Ort der Ionen
vorgenommen wird. Dies erfordert den Aufbau eines Spulenkäfigs um die
Vakuumkammer, welcher in naher Zukunft erfolgen wird.
Im zweiten Teil dieser Arbeit wurde die Modenstruktur von axialen und
radialen Ionenmoden untersucht. Ionen, die in einer Ionenfalle gefangen und
zudem wenige Millikelvin kalt sind, bilden aufgrund der Coulombkraft, ein
System aus gekoppelten schwingenden Massen. Die Kenntnis der sich dabei
ausprägenden Schwingungsmoden ist für die Seitenbandspektroskopie und
das später folgende Seitenbandkühlen entscheidend. Es konnte gezeigt werden, dass die axiale Modenstruktur des Coulombkristalls unkritisch hinsichtlich der Belange einer einfachen Spektroskopie ist. Die Abstände der einzelen
Schwingungsmodenfrequenzen ist relativ groß und sollte in der Spektroskopie eine leichte Adressierung und Auflösung der einzelnen Schwingungsmoden ermöglichen. Im Fall der Radialmodenstruktur zeigte sich jedoch eine
wesentliche Problematik in gemischten Coulombkristallen. Je nach Position
der unterschiedlichen Ionen im Kristall können einzelne Schwingungsmoden
wenige Hertz beieinander liegen, sodass diese bei der Spektroskopie eventuell nur schwer zu unterscheiden und einzeln anzuregen sind. Außerdem
besteht die Gefahr, das Lamb-Dicke-Regime zu verlassen.
79
80
zusammenfassung und ausblick
Aufgrund von Hintergrundgasstößen oder anderen Störungen, können die
Ionen in der Ionenfalle zufällig ihre Plätze tauschen. Wie bereits erwähnt
wurde, ist die Modenstruktur der Ionen im Coulombkristall abhängig von
der Ionenposition. Aufgrund der vorliegenden Ergebnisse, gibt es zu bevorzugende Ionenkonfigurationen, um eine einfache Spektroskopie durchführen
zu können. Da diese Hintergrundgasstöße und damit ein Platzwechsel der
Ionen nie ganz vermieden werden können, bietet es sich an, selektiv bestimmte auftretende Ionenmoden mit dem Spektroskopielaser anzuregen bzw. zu
heizen, um diese Konfigurationen gezielt zu destabilisieren, sodass sich die
Ionen mit höherer Wahrscheinlichkeit in einer gewünschten Konfiguration anordnen. Dies wurde bereits von K. Hayasaka [31] am NICT (Japan) kürzlich
erfolgreich durchgeführt und würde den nächsten Schritt in diesem Experiment auf dem Weg zur Seitenbandkühlung darstellen.
Der dritte Teil dieser Arbeit widmet sich den Kristalldefekten, die in einem
Coulombkristall durch einen nicht adiabatisch durchgeführten Phasenübergang zweiter Ordnung entstehen können. Dabei bietet sich die Gelegenheit,
den inhomogenen Kibble-Zurek-Mechanismus zu überprüfen, welcher die
Entstehungswahrscheinlichkeit dieser Defekte vorhersagt. Hierzu wurde ein
Detektionsprogramm entwickelt, welche die Kristalldefekte sowohl in realen
Coulombkristallen im Experiment als auch in Simulationen detektieren und
statistisch erfassen kann. Mit Hilfe dieser Statistiken aus Experiment und Simulation wird der inhomogene Kibble-Zurek-Mechanismus zur Zeit intensiv
erforscht.
Teil III
A N H A N G : D AT E N B L ÄT T E R U N D Q U E L LT E X T E
A
ANHANG
83
84
anhang
Abbildung A.1: Datenblatt der Hochleistungslaserdiode.
anhang
Abbildung A.2: Datenblatt der Hochleistungslaserdiode.
85
86
anhang
Abbildung A.3: Datenblatt der Hochleistungslaserdiode.
anhang
Abbildung A.4: Datenblatt der Hochleistungslaserdiode.
87
88
anhang
Abbildung A.5: Datenblatt der Hochleistungslaserdiode.
anhang
) 0123
&
& '
() ) * ) +
.
$
/ )
,! ! " #$%
#
-,#
,-
.,,-
Abbildung A.6: Konstruktionszeichnung des Kristallhalters.
89
anhang
+ /012
'
' (
) *+ , + -
3
%
'*
4%
5
. +
4
57
45
! !
$
%
*
*45
345
6 45
3
3
45
Abbildung A.7: Konstruktionszeichnung des Kristallhalters.
" " # $%&
&45
90
. . /.0
.
$ -
$
34
1 !. 2
anhang
"#
#
"#
$%&
) ) * +' ,
('"#
!
#
#
"#
"#
Abbildung A.8: Konstruktionszeichnung des Kristallhalters.
91
92
anhang
Abbildung A.9: Datenblatt des AOMs.
anhang
Abbildung A.10: Datenblatt des AOMs.
93
Offset
C1
10µF
TLE2227
1
15V
10k
C14
10µF
BNC2
5
6
10k
7
aus
1µF
TLE2227
C11
+
-
Unisolierte BNC-Buchsen verwenden !
2
3
P1
10k
10k
C13
10n
B
C12
10n
IC1
78L05
Input
A
BNC1
3
1
2
1k
S3
EIN-AUS-EIN
1k
1k
S1
1*10
1
3
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1M
1M
1M
1M
1M
33n
10n
3n3
1n
330p
OP27
2
6
3µ3
100k
C9
1µF
100k
C8
330n
100k
C7
100n
100k
C6
C5
C4
C15
C3
C2
10k
3
2
OP741
1k
6
220k
1
1*12
S2
1k
2
100
330
C17
C16
3k3
C10
10k
33k
22p
3
2
1k
gelb
gelb
-
+
6
68p
+
-
3
1
S4
1*UM
2
Output
Zeichnung:
Integrator3
Bearbeitet am:
20.11.2001 14:32:04
PTB 4.33
100
BNC3
Rauschen: OP27 3nV/ Hz
1k 4nV/ Hz
Stromaufnahme: +20mA
+ LEDs
-17mA
Delay: ~ 100nS
BW: *1 1,9MHz
*10 700kHz
*1000 7kHz
Widerstände und Kondensatoren
direkt an S2 löten !
OP27
C18
330p
100p
100k
330k
1M
3M3
1k
94
anhang
Abbildung A.11: Schaltplan des Integrators für das HC-Stabilisierungssystem.
anhang
Abbildung A.12: Datenblatt der Resonatorspiegel.
95
96
anhang
Abbildung A.13: Datenblatt der Resonatorspiegel.
anhang
Abbildung A.14: Datenblatt der Resonatorspiegel.
97
98
anhang
MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb
1
822 nm PPKTP frequency doubling
Optimum Waist
Crystal properties
c 299 792 458; 0 8.85 10 ^ 12;
P1 0.060;
fundamental power
1 822 10^ 9;
fundamental wavelength
2
1 2;
SHG wavelength
n1 1;
refractive index for 1 in air
n2 1.8437;
refractive index for 1 in crystal;
KTP_F, theta 90°, hi
n22 1.9566;
refractive index for 2 in crystal;
KTP_F, theta 90°, hi
deff 8.7 10^ 12;
nonlinearity in m V corrected for PP
0 10^ 3;
walkoff in rad
1 0.4;
1 absorption in 1 m
2 15;
2 absorption in 1 m
L 0.015;
length of crystal in m
0 c n1 n2
1 ^3 ;
shorthand
16 Pi^ 2 deff^ 2
1
n22
2 2 n2
1 ;
10 ^6, " m"
Print "Grating Period ",
Abbildung A.15: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.
anhang
MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb
2
Boyd Kleinman
k1 2 Pi n2
1;
k vector pump
ClearAll , , b ;
b: w0^2 k1; focus waist
1 2 b k; Phase matching
L b; focus strength
B
Sqrt L k1
2;
walk off
Boyd Kleinman factor
h _, B_, _ :
1
4
NIntegrate Exp I
,
,
,
s,
B2
s
,
s
2
1
I s
1
I
,
;
find optimum
and
If B
0,
2.84;
FM FindMinimum Abs h 1, B,
,
1, 0.1, 1 ,
FM FindMinimum Abs h 1, B, 1 ,
1, 0.1, 1 ,
optimum:
2.84,hmax 1.07, confocal focussing:
hmax 0.78
hmax
FM 1 ;
FM 2, 1, 2 ;
If B
0,
FM 2, 2, 2
;
b L
;
w0 Sqrt b k1 ;
k 2
b;
efficiency
0
L hmax;
Re 0 Exp
1
2 2
L ;
single pass 2nd harmonic
P2
P1^ 2;
Print "hmax ", hmax
Print " k ", k
Print "w0 m ", w0 10 ^6
Print " 0 ",
Print "P2 mW ", P2 10 ^3
1, 1, 5
1,
;
Abbildung A.16: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.
99
100
anhang
MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb
3
SHG Output
estimate SHG output based on pump light enhancement in the cavity
t: total transmission, including crystal
0: single pass conversion coefficient
ClearAll , ,P1 ;
RM 0.999;
single cavity mirror reflectivity
RC 0.999;
crystal faces loss
t RM ^ 3 RC^2
1 2 L
1 ;
round trip transmission w o conversion,
note: 1 is for electric field
0
;
T 0.985 0.96 0.95;
transmission of UV: 0.96: reflection at exit face,
0.95: transmission of output coupler,
0.95: transmission of filter after output coupler
optimum input coupler
0 P1 ;
ICo 1
1 t
2 Sqrt 1 t ^2 4
Print "ICopt ", ICo
ICe 0.73;
input coupling efficiency typically 0.85 1
figure of merit for SHG
0 P1 ICe ;
XFOM Sqrt 1 t ^ 2
4
total available generated SHG
P2 T P1 ICe
XFOM Sqrt XFOM ^2 1 ^2;
Print "P2 ", P2 1000, " mW"
1 ;
Rrt RM ^ 3 RC^2 ICo
1 2 L
1 Sqrt Rrt
Print "Empty Cavity Finesse ",
Abbildung A.17: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.
anhang
MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb
4
Some cavity parameters
Clear Pc ;
round trip effective reflectivity
Rrt RM ^ 3 RC^2 ICo
1 2 L
1
1
0 Pc ;
circulating Power
tmp Solve Pc ICe
1 ICo
P1
1 Sqrt Rrt ^2, Pc ;
Pc tmp 3, 1, 2 ;
for good impedance & mode matching: Pci ICe P1 1 ICo
Print "Pc ", Pc, " W"
buildup in cavity
b Pc
P1 ICe ;
Print "buildup ", b
Finesse
F Pi Sqrt Sqrt Rrt
1 Sqrt Rrt ;
Print "F ", F
buildup in cavity w o conversion
be
1 IC
1 Sqrt IC t ^ 2;
circulating pump power w o conversion
Pce be ICe P1;
Finesse
Fe 2 Pi be;
Stabilitätsdiagramme und h-Funktion
Berechnung Stabilitätsdiagramm, kleiner Waist
ClearAll "Global` "
rSp : 0.05
Krümmungsradius der Spiegel in m
: 7.5
180
Faltungswinkel Cavity in Grad
n2h : 1.842779
Brechungsindex PPKTP Kristall für Grundwelle
: 822 10^ 9
Wellenlänge Grundwelle in m
Lc : 0.015
Länge des Kristalls in m
L2 : 0.06
Länge zwischen gekrümmten Spiegeln
d : 0.035
Breite der Bow Tie Cavity
rs : rSp Cos
;
Krümmungsradiusänderung wegen Astigmatismus s. J. Friebe
rm : rSp Cos
;
Krümmungsradiusänderung wegen Astigmatismus s. J. Friebe
1 Lc 2n2
1 L2 Lc 2
M
.
.
0
1
0
1
1
0
1 Sqrt d^2 L1 L2 ^2 L1
.
.
2 r 1
0
1
Abbildung A.18: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.
101
102
anhang
MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb
5
1
0
1 L2 Lc 2
1 Lc 2n2
.
.
0
1
2 r 1
0
1
Siehe Diplomarbeit von Daniel Nigg
1 Lc 2
1
0
1 L2 Lc 2
M
.
.
.
0
1
0 1 n2
0
1
1
0
1 2 Sqrt d^2
L1 L2 2 ^2 L1
.
.
2 r 1
0
1
1
0
1 L2 Lc 2
1 0
1 Lc 2
.
.
.
2 r 1
0
1
0 n2
0
1
Siehe Diplomarbeit von Jannes
1 Lc 2
1
0
1 L2 Lc
2
M:
.
.
.
0
1
0 1 n2
0
1
1
0
1 2 Sqrt d ^2
L1 L2
2 ^2
L1
.
.
2 r 1
0
1
1
0
1 L2 Lc
2
1 0
1 Lc 2
.
.
.
2 r 1
0
1
0 n2
0
1
L2 Lc
2
2
Mc11 L1_, n2_, r_ : 1
2
L2 Lc
2
Lc
2 n2
L1
2
Lc
2 n2
r
d2
1
4
L1
L2
2
1
2
L2 Lc
Lc
2
2 n2
r
r
Mc12 L1_, n2_, r_ :
n2
L2
Lc
Lc
2
1
2
L1
2 n2
2
L2
Lc
2
L2 Lc
2
1
d2
2
L2 Lc
2
1
4
L1
L2
2
1
4
L1
L2
2
1
L2 Lc
2
Lc
2 n2
r
Lc
2 n2
r
Lc
2 n2
L1
2
d2
2
1
2
L2 Lc
Lc
2
2 n2
r
r
1
2
2
Lc 1
L2 Lc
2
Lc
2 n2
r
Abbildung A.19: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.
anhang
MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb
2
L2 Lc
2
Lc
2 n2
6
L1
1
4
d2
2
L1
2
L2
1
2
L2 Lc
Lc
2
2 n2
r
r
2
1
d2
2 L1 2
1
n2
4
2
L1 L2
n2 r
2
Mc21 L1_, n2_, r_ :
r
n2 r
Mc22 L1_, n2_, r_ :
d2
2 L1 2
1
n2
2
n2
1
1
n2
2
2 L1
L2
Lc
2
d2
1
4
L1 L2
2
n2 r
2
r
n2 r
1
4
L1
L2
2
n2 r
d2
2 L1 2
2
1
2
Lc
1
n2
1
4
L1 L2
2
n2 r
2
n2 r
r
w0 L1_, n2_, r_ : Sqrt
Mc21 L1, n2, r
Sqrt 1 Mc11 L1, n2, r ^2
Plot w0 L1, n2h, rs
10^ 6, w0 L1, n2h, rm
10^ 6 ,
L1, 0.0, 0.5 , AxesLabel
"L1 m", "w0 m" , PlotRange
0, 35
Berechnung Stabilitätsdiagramm, großer Waist
Abbildung A.20: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.
103
104
anhang
MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb
7
ClearAll "Global` "
rSp : 0.05
Krümmungsradius der Spiegel in m
: 7.5
180
Faltungswinkel Cavity in Grad
n2h : 1.842779
Brechungsindex PPKTP Kristall für Grundwelle
: 822 10^ 9
Wellenlänge Grundwelle in m
Lc : 0.015
Länge des Kristalls in m
L1 : 0.20
Länge zwischen planaren Spiegeln
d : 0.035
Breite der Bow Tie Cavity
rs : rSp Cos
;
Krümmungsradiusänderung wegen Astigmatismus s. J. Friebe
rm : rSp Cos
;
Krümmungsradiusänderung wegen Astigmatismus s. J. Friebe
1 Lc 2n2
1 L2 Lc 2
M
.
.
0
1
0
1
1 Sqrt d^2 L1 L2 ^2 L1
1
0
.
.
0
1
2 r 1
1
0
1 L2 Lc 2
1 Lc 2n2
.
.
2 r 1
0
1
0
1
Siehe Diplomarbeit von Daniel Nigg
1 Lc 2
1
0
1 L2 Lc 2
M
.
.
.
0
1
0 1 n2
0
1
1
0
1 2 Sqrt d^2
L1 L2 2 ^2 L1
.
.
2 r 1
0
1
1
0
1 L2 Lc 2
1 0
1 Lc 2
.
.
.
2 r 1
0
1
0 n2
0
1
Siehe Diplomarbeit von Jannes
1 Lc 2
1
0
1 L2 Lc
2
M:
.
.
.
0
1
0 1 n2
0
1
1
0
1 2 Sqrt d ^2
L1 L2
2 ^2
L1
.
.
2 r 1
0
1
1
0
1 L2 Lc
2
1 0
1 Lc 2
.
.
.
2 r 1
0
1
0 n2
0
1
2
Mc11 L2_, n2_, r_ : 1
2
L2 Lc
2
Lc
2 n2
L1
2
L2 Lc
2
Lc
2 n2
r
d2
1
4
L1
L2
2
1
2
L2 Lc
Lc
2
2 n2
r
r
Mc12 L2_, n2_, r_ :
n2
L2
Lc
2
Lc
2 n2
L1
2
d2
1
4
L1
L2
2
2
1
L2 Lc
2
Lc
2 n2
r
Abbildung A.21: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.
anhang
MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb
1
2
8
L2 Lc
2
2
1
L2
Lc
2
L2 Lc
2
Lc
2 n2
r
Lc
2 n2
L1
d2
2
1
4
L1
2
L2
2
1
L2 Lc
Lc
2
2 n2
r
r
1
2
L2 Lc
2
2
Lc 1
2
Lc
2 n2
r
L2 Lc
2
Lc
2 n2
L1
2
d2
1
4
L1
2
L2
1
2
L2 Lc
Lc
2
2 n2
r
r
Mc21 L2_, n2_, r_ :
1
d2
2 L1 2
2
1
n2
4
2
L1 L2
n2 r
2
n2 r
r
Mc22 L2_, n2_, r_ :
d2
2 L1 2
2
n2
1
1
n2
2
L2
Lc
1
n2
1
4
L1 L2
2
n2 r
2
n2 r
r
Abbildung A.22: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.
105
106
anhang
MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb
2 L1
2
9
1
4
d2
L1
L2
2
n2 r
d2
2 L1 2
2
1
2
Lc
1
n2
1
4
L1 L2
2
n2 r
2
n2 r
r
w0 L2_, n2_, r_ : Sqrt
Sqrt 1 Mc11 L2, n2, r ^2
Mc21 L2, n2, r
10^ 6, w0 L2, n2h, rm
10^ 6 ,
Plot w0 L2, n2h, rs
L2, 0.054, 0.066 , AxesLabel
"L2 m", "w0 m" ,
0, 35
PlotRange
Abbildung A.23: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.
anhang
ionmodes_15_FINAL_GX.nb
1
Radial & Axial Modes
Parameters
Definitions
ClearAll "Global` "
c 299 792 458; 0 8.85 10 ^ 12;
hbar 1.055 10 ^ 34;
0 8.8542 10^ 12;
e 1.602 10^ 19; e charge
mp 1.6726 10^ 27; proton mass
1 798 10^ 9;
fundamental wavelength
k1 2 Pi n2
1;
k vector
1 2 Pi c
1;
z
r
0.170 10^ 6; trap frequency z axis in Hz
0.80 10^ 6; trap frequency radial in Hz
Sqrt
r
z ^2 1 2 ;
nn
5;
number of ions
mnew 115; mass of new ion species, e.g. Indium 115
mref 172; mass of reference ion on position 1,
e.g. Ytterbium 172
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
mh
ml
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mref;
172;
115;
115;
115;
172;
172;
172;
172;
172;
mass of ion on position 2, etc...
mnew;
mref;
mh ml;
ion positions calculated numerically by ionpositions.nb
Abbildung A.24: Programm zur Bestimmung der Ionenmodenfrequenzen.
107
108
anhang
ionmodes_15_FINAL_GX.nb
P 1, 1
0.62996
1.0772
1.4368
1.7429
2.0123
2.2545
2.4758
2.6803
2.8708
u
For n
1, n
2
P 1, 2
0.62996
0
0.45438
0.8221
1.1361
1.4129
1.6621
1.8897
2.10003
nn
1, n
P 1, 3
P 2, 3
1.0772
0.45438
0
0.36992
0.68694
0.96701
1.2195
1.4504
P 1, 4
P 2, 4
P 3, 4
1.4368
0.8221
0.36992
0
0.31802
0.59958
0.85378
P 1, 5
P 2, 5
P 3, 5
P 4, 5
1.7429
1.1361
0.68694
0.31802
0
0.2821
P 1, 6
P 2, 6
P 3, 6
P 4, 6
P 5, 6
2.0123
1.4129
0.96701
0.59958
0.2821
P 1, 7
P 2, 7
P 3, 7
P 4, 7
P 5, 7
P 6, 7
2.2545
1.6621
1.2195
0.85378
P
P
P
P
P
P
P
2.4758
1.8897
1.4504
,
Initialisation of Aij matrix
For i 1, i n 1, i ,
For j 1, j n 1, j ,
If i j,
A i, j
1 2 Sum If k i,
1
Abs u n, i
u n, k
^3 , 0 ,
A i, j
2
Abs u n, i
u n, j
^3
Initialisation of the A'ij matrix
For i 1, i n 1, i ,
For j 1, j n 1, j ,
If m i
m j ,
A ' i, j
A i, j
Sqrt
,
If m i
m j && m j
mh,
A ' i, j
A i, j ,
A ' i, j
A i, j
For i 1, i n 1, i ,
For j 1, j n 1, j ,
If m i
m j ,
S i, j
Evaluate
Eigenvectors Array A ', n, n
i, j
If m i
m j && m j
ml,
S i, j
Evaluate Eigenvectors Array A ', n, n
S i, j
Evaluate Eigenvectors Array A ',
For i 1, i n 1, i ,
X1 n, i
Evaluate
Sqrt Eigenvalues Array A ',
n, n
i
k, 1, n
Sqrt
i, j
n, n
z
,
,
,
i, j
10^ 3
Initialisation of Bij matrix
Abbildung A.25: Programm zur Bestimmung der Ionenmodenfrequenzen.
anhang
ionmodes_15_FINAL_GX.nb
3
For i 1, i n 1, i ,
For j 1, j n 1, j ,
If i j && m i
ml,
B i, j
^2 1 2 Sum If k i,
1
Abs u n, i
u n, k
^ 3 , 0 , k, 1, n ,
If i j && m i
mh,
B i, j
^2
1 2 Sum If k i,
1
Abs u n, i
u n, k
^3 , 0 , k, 1, n ,
B i, j
1
Abs u n, i
u n, j
^3
Initialisation of the B'ij matrix
For i 1, i n 1, i ,
For j 1, j n 1, j ,
If m i
m j ,
B' i, j
B i, j
Sqrt
,
If m i
m j && m j
ml,
B ' i, j
B i, j ,
B ' i, j
B i, j
For i 1, i n 1, i ,
For j 1, j n 1, j ,
If m i
m j ,
T i, j
Evaluate
Eigenvectors Array B ', n, n
i, j
If m i
m j && m j
ml,
T i, j
Evaluate Eigenvectors Array B ', n, n
T i, j
Evaluate Eigenvectors Array B ',
For i 1, i n 1, i ,
X2 n, i
Evaluate
Sqrt Eigenvalues Array B',
n, n
i
Sqrt
i, j
n, n
z
,
,
i, j
10^ 3
Print "Axial Modes for n ", n
For i 1, i n 1, i ,
Print "Mode Frequency Eigenvalue z",i,"
",
Evaluate Eigenvalues Array A', n,n
i
,
",
Print "Mode Frequency Trap Freq. z", i, "
Evaluate Sqrt Eigenvalues Array A ', n, n
i
z 10^ 3 , " kHz" ,
Print "Mode Amplitudes z", i, "
", Array S, n, n
i
Abbildung A.26: Programm zur Bestimmung der Ionenmodenfrequenzen.
109
110
anhang
ionmodes_15_FINAL_GX.nb
4
Print
"
"
Print "Radial Modes for n ", n
For i 1, i n 1, i ,
Print "Mode Frequency Eigenvalue vx",i,"
",
Evaluate Eigenvalues Array B', n,n
i
,
",
Print "Mode Frequency Trap Freq. vx", i, "
Evaluate Sqrt Eigenvalues Array B', n, n
i
z 10 ^ 3 , " kHz" ,
", Array T, n, n
Print "Mode Amplitudes vx", i, "
i
Print
"XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX"
Print "Axial Mode Frequencies in kHz:"
X11 Array X1, nn, nn
MatrixForm
Print "Radial Mode Frequencies in kHz:"
X22 Array X2, nn, nn
MatrixForm
DiscretePlot X11 1, n , n, 1, nn, 1 ,
ExtentSize Scaled 0.75 , ExtentMarkers "Filled",
0, 0 ,
ColorFunction "Rainbow", AxesOrigin
Ticks
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , Automatic , AxesLabel
"number of ions", "axial mode freq. kHz " , PlotLabel
Style "axial modes of motion", Black, 30, Background White ,
LabelStyle Directive Black, FontFamily "Helvetica",
25, Background White , Background White
DiscretePlot X22 1, n , n, 1, nn, 1 , ExtentSize Scaled 0.75 ,
ExtentMarkers "Filled", AxesOrigin
0, 600 ,
Ticks
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , Automatic ,
"number of ions", "radial mode freq. kHz " ,
AxesLabel
PlotRange
600, 1250 , PlotLabel
Style "radial modes of motion", Black, 30, Background White ,
LabelStyle Directive Black, FontFamily "Helvetica",
25, Background White , Background White
Abbildung A.27: Programm zur Bestimmung der Ionenmodenfrequenzen.
anhang
C:\Users\David-Marcel\Desktop\Dropbox\quest\Daten\kinkdetector\KinkDetector_v5.c
Samstag, 25. August 2012 15:12
/*
Kinkdetector_v5 by David-Marcel Meier
*/
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
float sl_1=0.2;
float sl_2=4.0;
int row=19;
for 1ms)
int stepsize=100;
int firstframe=20;
//Threshold for slope = 0
//Threshold for slope max. Not used at the moment!
//Row which is read out of the resultX.txt file (173
int filestatus=0;
int counter=1;
FILE* filevar;
FILE* filevar2;
FILE* filevar3;
FILE* filevar4;
int *error=1;
char data[10000]={0};
int ionnum=0;
int d=0;
int kinknum=0;
int oddkinktot=0;
int extkinktot=0;
int kinktot=0;
int kinkstatus[5000]={-1};
int lifetime=-1;
double x[100];
double y[100];
double z[100];
//double vx[100];
//double vy[100];
//double vz[100];
double unsortedvalues[1000]={0.0};
char filename[15];
double help[2]={0};
//filestatus variable
//filecounter
//number of ions
//auxiliary counting variable
//return value which determines the kink species
//total odd kink number
//total ext kink number
//kinkstatus[0] is not used!
//kink lifetime in frames!
//ion coordinates
//
//
//velocity vector component
//not used!
//
//unsorted values
//filename
//auxiliary variable
int main()
{
reinit();
filestatus=fileopen();
printf("Please enter stepsize: ");
scanf("%i",&stepsize);
printf("Please enter first frame which will be analyzed: ");
scanf("%i",&firstframe);
while(filestatus==0)
{
datareadout();
if(filestatus==0 && error != NULL)
{
dataconvert();
sortions();
kinknum=kinkdetect();
-1-
Abbildung A.28: Quelltext des C-Programms zur Detektion von Kristalldefekten der Version 5:
„KinkDetectorV5“.
111
112
anhang
C:\Users\David-Marcel\Desktop\Dropbox\quest\Daten\kinkdetector\KinkDetector_v5.c
Samstag, 25. August 2012 15:12
kinkstatus[row-18]=kinknum;
dataout3();
row=row+stepsize;
}
if(error == NULL && filestatus==0)
{
lifetime=framestatistics();
if(lifetime==firstframe || lifetime==firstframe+1)
printf("File=%s Kinks= %i\n", filename, kinknum);
else
printf("File=%s Kinks= %i Lifetime=%i\n", filename, kinknum, lifetime);
dataout();
lifetime=-1;
kinkcount(kinknum);
counter++;
row=19;
error=1;
reinit();
fclose(filevar);
filestatus=fileopen();
}
if(filestatus==1)
{
dataout2();
return 1;
}
}
return 0;
}
int framestatistics(void)
//does the frame statistics
{
int i=0;
if(kinknum==0)
{
for(i=firstframe; i<row+1; i++)
{
if(kinkstatus[i]==0)
return i-1;
}
}
if(kinknum!=0)
{
for(i=firstframe; i<row+1; i++)
{
if(kinkstatus[i]!=0 && kinkstatus[i]!=-1)
return i;
}
}
return -2;
}
int kinkcount(int kinknum2)
{
if(kinknum2==1)
//counts the different kinks
-2-
Abbildung A.29: Quelltext des C-Programms zur Detektion von Kristalldefekten der Version 5:
„KinkDetectorV5“.
anhang
C:\Users\David-Marcel\Desktop\Dropbox\quest\Daten\kinkdetector\KinkDetector_v5.c
Samstag, 25. August 2012 15:12
extkinktot=extkinktot+1;
if(kinknum2==2)
oddkinktot=oddkinktot+1;
if(kinknum2==3)
{
extkinktot=extkinktot+1;
oddkinktot=oddkinktot+1;
}
kinknum=0;
return 0;
}
int reinit(void)
//reinit of coordinates
{
int d=0;
for(d=0; d<10000; d++)
data[d]=0;
for(d=0; d<5000; d++)
kinkstatus[d]=-1;
/*
for(d=0; d<99; d++)
{
unsortedvalues[d]=0;
x[d]=0;
y[d]=0;
z[d]=0;
//vx[d]=0;
//vy[d]=0;
//vz[d]=0;
}
*/
return 0;
}
int fileopen(void)
//opens the results file
{
sprintf(filename,"results%i.txt", counter);
filevar = fopen(filename,"r");
if(filevar==NULL)
return 1;
return 0;
}
int datareadout(void)
//reads out the result file
{
int d=0;
rewind (filevar);
while(error != NULL && d<row)
{
error=fgets(data,10000, filevar);
d++;
}
return 0;
}
int dataconvert(void)
{
//converts the read out data and writes it in an array
-3-
Abbildung A.30: Quelltext des C-Programms zur Detektion von Kristalldefekten der Version 5:
„KinkDetectorV5“.
113
114
anhang
C:\Users\David-Marcel\Desktop\Dropbox\quest\Daten\kinkdetector\KinkDetector_v5.c
Samstag, 25. August 2012 15:12
char currchar[30];
size_t size;
int i=0;
int j=0;
int k=0;
size=strlen(data);
for(i=0; i<size; i++)
{
currchar[j]=data[i];
currchar[j+1]='\0';
j++;
if(data[i+1]==' ' || data[i+1]=='\n')
{
unsortedvalues[k]=atof(currchar);
j=0;
//printf("%e\n", unsortedvalues[k]);
k++;
}
//printf("%c\n", data[i]);
}
ionnum=k/6;
//printf("%d\n", ionnum);
k=0;
//reset k counter variable
for(k=0; k<3*ionnum; k++)
{
if(k<ionnum)
{x[k]=unsortedvalues[k];}
if(k>ionnum-1 && k<2*ionnum)
{y[k-ionnum]=unsortedvalues[k];}
if(k>2*ionnum-1 && k<3*ionnum)
{z[k-2*ionnum]=unsortedvalues[k];}
/*
if(k>3*ionnum-1 && k<4*ionnum)
{vx[k]=unsortedvalues[k];}
if(k>4*ionnum-1 && k<5*ionnum)
{vy[k]=unsortedvalues[k];}
if(k>5*ionnum-1)
{vz[k]=unsortedvalues[k];}
*/
}
return 0;
}
int sortions(void)
{
int k;
int j;
//sorts the ions in right order
for(j=0; j<ionnum+1; j++)
{
for(k=1; k<ionnum; k++)
{
if(z[k-1]>z[k])
{
help[0]=x[k];
help[1]=x[k-1];
-4-
Abbildung A.31: Quelltext des C-Programms zur Detektion von Kristalldefekten der Version 5:
„KinkDetectorV5“.
anhang
C:\Users\David-Marcel\Desktop\Dropbox\quest\Daten\kinkdetector\KinkDetector_v5.c
Samstag, 25. August 2012 15:12
x[k-1]=help[0];
x[k]=help[1];
help[0]=y[k];
help[1]=y[k-1];
y[k-1]=help[0];
y[k]=help[1];
help[0]=z[k];
help[1]=z[k-1];
z[k-1]=help[0];
z[k]=help[1];
help[0]=0;
help[1]=0;
}
}
}
return 0;
}
int kinkdetect(void)
//kink detection algorithm
{
int i;
int slope[100];
double slope2[100];
double dx=0;
double dy=0;
int oddkinkfound = 0;
int extkinkfound = 0;
for(i=0;i<ionnum-1;i++)
{
dx=z[i+1]-z[i];
dy=x[i+1]-x[i];
if(dx==0)
{
return 1;
}
//Reports problem with ion positions!
if(dy/dx>sl_1)
{
slope[i]=1;
slope2[i]=dy/dx;
}
else
{
if(dy/dx<-sl_1)
{
slope[i]=-1;
slope2[i]=dy/dx;
}
else
{
slope[i]=0;
slope2[i]=dy/dx;
-5-
Abbildung A.32: Quelltext des C-Programms zur Detektion von Kristalldefekten der Version 5:
„KinkDetectorV5“.
115
116
anhang
C:\Users\David-Marcel\Desktop\Dropbox\quest\Daten\kinkdetector\KinkDetector_v5.c
Samstag, 25. August 2012 15:12
}
}
}
for(i=1;i<ionnum-1;i++)
{
if(slope[i]==slope[i-1] && slope[i]!=0)
{
oddkinkfound++;
}
/*
if((slope2[i]>sl_2 || slope2[i]<-sl_2) && slope[i-1]==0)
{
extkinkfound++;
}
*/
if(i>1)
{
if(slope[i]==-slope[i-2] && slope[i-1]==0 && slope[i]!=0)
{
extkinkfound++;
}
}
//Odd Kink
//Extended Kink
//Extended Kink
}
if(oddkinkfound!=0
return 3;
if(extkinkfound!=0
return 1;
if(oddkinkfound!=0
return 2;
if(oddkinkfound==0
return 0;
&& extkinkfound!=0)
&& oddkinkfound==0)
&& extkinkfound==0)
&& extkinkfound==0)
}
int dataout(void)
//data output in file
{
char filename2[15];
sprintf(filename2, "outputV5.txt");
filevar2 = fopen(filename2, "a+");
if(lifetime==firstframe || lifetime==firstframe+1)
fprintf(filevar2, "%s %i %i\n", filename, counter, kinknum);
else
fprintf(filevar2, "%s %i %i %i\n", filename, counter, kinknum, lifetime);
fclose(filevar2);
return 0;
}
int dataout2(void)
//data output in file
{
char filename3[15];
sprintf(filename3, "outputV5_stat.txt");
filevar3 = fopen(filename3, "a+");
kinktot=extkinktot+oddkinktot;
//fprintf(filevar3, "#Kink Detector v3 by David-Marcel Meier 20120724\n");
//fprintf(filevar3, "#Detector counts odd and extended kinks\n");
-6-
Abbildung A.33: Quelltext des C-Programms zur Detektion von Kristalldefekten der Version 5:
„KinkDetectorV5“.
anhang
C:\Users\David-Marcel\Desktop\Dropbox\quest\Daten\kinkdetector\KinkDetector_v5.c
fprintf(filevar3,
fprintf(filevar3,
fprintf(filevar3,
fprintf(filevar3,
fprintf(filevar3,
fclose(filevar3);
return 0;
Samstag, 25. August 2012 15:12
"#Total / Total Kinks / Total ext / Total odd\n");
"%i %i %i %i\n",counter-1,kinktot,extkinktot,oddkinktot);
"#Total Kink Probability: %f\n", (kinktot*1.0)/(counter-1));
"#Extended Kink Probability: %f\n", (extkinktot*1.0)/(counter-1));
"#Odd Kink Probability: %f\n", (oddkinktot*1.0)/(counter-1));
}
int dataout3(void)
//data output in file
{
char filename4[15];
sprintf(filename4, "outputV5_rows_%i.txt", counter);
filevar4 = fopen(filename4, "a+");
fprintf(filevar4, "%i %i\n", row-18, kinknum);
fclose(filevar4);
return 0;
}
-7-
Abbildung A.34: Quelltext des C-Programms zur Detektion von Kristalldefekten der Version 5:
„KinkDetectorV5“.
117
anhang
1 2 0 0
1 0 9 6 ,6 9
1 0 0 0
9 7 6 ,4 1 6
9 2 7 ,6 1 7
8 8 1 ,3 2 7
F re q u e n z [k H z ]
8 4 1 ,2 5
8 0 0
8 4 6 ,7 3 3
8 2 7 ,0 8 7
7 9 7 ,7 2 2
7 7 5 ,2 2 4
7 3 1 ,0 1 5
7 2 9 ,4 2
6 6 8 ,9 1 4
6 5 5 ,9 1
7 7 8 ,6 7 3
7 4 4 ,8 2 2
7 1 1 ,5 4 7
6 5 9 ,5 6 4
6 5 4 ,0 2 1
6 4 3 ,5 5 3
6 0 0
5 4 9 ,4 3 9
3 3 0 ,9 0 4
3 1 0 ,9 2 3
1 7 8 ,2 6
1 7 7 ,8 4
5 3 3 ,2 6 8
4 3 0 ,1 2 3
4 1 0 ,5 8 3
3 2 0 ,9 8 1
2 0 0
5 5 6 ,7 7
5 2 4 ,7 9 4
4 6 5 ,4 3 1
4 4 8 ,1 2 6
4 4 0 ,0 0 6
5 6 3 ,6 8 2
5 4 6 ,1 5 3
4 0 0
1 7 8 ,2 2 1
3 0 6 ,9 9 8
1 7 8 ,4 8 3
4 2 9 ,7 1 7
2 9 5 ,9 5 6
1 7 8 ,3 4 7
2 9 4 ,9 2 3
1 7 7 ,2 7
In
-In
-Y b
-Y b
-Y b
b -In
-In -Y b
-Y b
-Y b
b -Y
b -In
-Y b
Y b
-Y b
-Y b
b -Y
b -Y
n
n
-b Y b
-b I n I
Y
Y
I
b
-In
-Y
-Y
-In
Y b
b -Y
-Y b
-Y b
-Y b
-In -Y b
Io n
Y b
Y b
In -Y
Y b
Y b
-Y b
Y b
e n k o n fig u r a tio n
Abbildung A.35: Frequenzen der axialen Ionenmoden für einen gemischten Coulombkristall aus
fünf Yb- und zwei In-Ionen. Hierbei wurde ωz = 2π · 170 kHz angenommen.
1 2 0 0
1 1 7 8 ,6 1
1 1 6 4 ,8 5
1 1 6 4 ,6 5
1 1 5 0
1 1 6 4 ,2 8
1 1 4 0 ,1 6
1 1 2 0 ,1 1
1 1 0 0
1 1 1 6 ,7 7
1 0 9 9 ,2 3
1 0 8 2 ,8 7
1 0 5 0
1 0 1 5 ,1
1 0 0 0
F re q u e n z [k H z ]
118
1 0 2 3 ,0 9
9 6 1 ,8 8 7
9 5 0
9 0 0
8 5 0
8 0 0
7 9 1 ,8 4 5
7 5 0
7 0 0
7 8 2 ,1 4 2
7 5 7 ,9 8 2
7 5 2 ,4 7 4
7 7 9 ,4 2
7 7 3 ,7 5 8
7 7 7 ,5 6 5
7 5 7 ,5 9 1
7 3 8 ,2 1 3
7 3 7 ,4 0 2
7 1 9 ,2 0 1
7 1 9 ,1 6 9
7 0 6 ,8 7 5
7 0 1 ,6 2 8
7 0 4 ,2 7 7
6 8 4 ,2 9 6
6 8 4 ,0 4 4
6 5 6 ,8 6
6 5 0
6 3 6 ,5 5 2
5 6 2 ,1 3 1
In
-In -Y b
-Y b
Y b
b
-Y
-In b
b
-Y
-Y
-Y b
-Y b
Y b
Y b
In -Y
6 2 5 ,7 6 5
6 2 5 ,0 8 2
6 1 8 ,6 0 1
6 0 0
5 5 0
7 8 5 ,1 5 8
7 8 2 ,0 9
7 5 4 ,4 3 4
5 5 9 ,2 6 1
6 2 1 ,1 2 9
5 6 5 ,7 6 9
5 8 7 ,3 0 5
5 8 4 ,4 3 4
b
b
-In
Y b
b -Y
b -Y
-Y b
-In b -Y
b -Y
-Y b
-Y b
Y
Y
b
b
In
In
-Y
b -Y
-In -In Y b
b -Y
-Y b
-In -Y b
Io n
Y b
Y b
-b Y b
Y
In
e n k o n fig u r a tio n
Abbildung A.36: Frequenzen der radialen Ionenmoden für einen gemischten Coulombkristall
aus fünf Yb- und zwei In-Ionen. Hierbei wurde ωr = 2π · 800 kHz und ωz = 2π · 170 kHz angenommen.
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Abbildung 1.1
Abbildung 1.2
Abbildung 2.1
Abbildung 2.2
Abbildung 2.3
Abbildung 2.4
Abbildung 2.5
Abbildung 2.6
Abbildung 2.7
Abbildung 2.8
Abbildung 2.9
Abbildung 2.10
Abbildung 2.11
Abbildung 2.12
Abbildung 3.1
Abbildung 3.2
Abbildung 3.3
Abbildung 3.4
Abbildung 3.5
Abbildung 3.6
Abbildung 3.7
Abbildung 3.8
Abbildung 3.9
Abbildung 3.10
Abbildung 3.11
Abbildung 3.12
Abbildung 3.13
Abbildung 3.14
Abbildung 3.15
Abbildung 3.16
Abbildung 3.17
Abbildung 3.18
Abbildung 3.19
Abbildung 3.20
Abbildung 3.21
Abbildung 3.22
Abbildung 3.23
Abbildung 3.24
Abbildung 3.25
Abbildung 3.26
Abbildung 3.27
Termschema von Yb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema des Seitenbandkühlens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ADEV des rel. Frequenzrauschens des 822 nm Primärlasers . . .
Bild des Versuchsaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kennlinie der 822 nm Hochleistungs-Laserdiode . . . . . . . . . .
Temperatur der Hochl.-Laserdiode über NTC Widerstand . . . .
Schematische Abbildung eines Gaußstrahls . . . . . . . . . . . . .
Strahlprofil Primär- und Hochleistungslaserdiode . . . . . . . . .
Schnittbild des Laserstrahls der Hochl.-Laserdiode . . . . . . . .
Parameter für erfolgreiche Injektionsstabilisierung . . . . . . . . .
Spektrum der freilaufenden Hochl.-Laserdiode . . . . . . . . . . .
Spektrum der frequenzstabilisierten Hochl.-Laserdiode . . . . . .
Fabry-Perot-Spektrum Primärlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fabry-Perot-Spektrum Hochleistungslaser . . . . . . . . . . . . . .
Prinzip der Frequenzverdoppelung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinus-Kardinalis Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intensität der zweiten Harm. über Kristalllänge . . . . . . . . . .
Indexellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boyd-Kleinman-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau und Strahlengang eines Ringresonators . . . . . . . . . .
Stabilitätsdiagramm, Ringresonator langer Arm . . . . . . . . . .
Stabilitätsdiagramm, Ringresonator kurzer Arm . . . . . . . . . .
Optimale Transmission des Einkoppelspiegels . . . . . . . . . . .
Modenspektrum des Ringresonators . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausgangsleistung SHG über Transmission d. Einkoppelspiegels .
Reflektionsspektrum des Ringresonators ohne Phasenanpassung
Reflektionsspektrum des Ringresonators mit Phasenanpassung .
Schema des HC-Stabilisierungssystems . . . . . . . . . . . . . . .
HC-Fehlersignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung HC-Fehlersignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nulldurchgang HC-Fehlersignal 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nulldurchgang HC-Fehlersignal 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ADEV des rel. Intensitätsrauschens des 411 nm-Lasers . . . . . .
Störung durch Shutter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Störung durch Shutter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Störung durch Shutter, gedämpft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitlicher Abfall der Laserleistung bei 411 nm 1 . . . . . . . . . .
Zeitlicher Abfall der Laserleistung bei 411 nm 1 (Vergrößerung) .
Zeitlicher Abfall der Laserleistung der zweiten Harmonischen 2 .
Reflexionsspektrum des Ringresonators im Tagesvergleich . . . .
Schematischer Aufbau des AOM im Doppelpass . . . . . . . . . .
2
2
7
8
9
9
11
12
13
14
14
15
15
16
17
21
22
23
26
30
34
35
37
38
39
40
40
42
44
45
46
46
48
49
50
51
52
53
53
54
55
119
120
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 3.28
Abbildung 4.1
Abbildung 4.2
Abbildung 4.3
Abbildung 4.4
Abbildung 4.5
Abbildung 4.6
Abbildung 4.7
Abbildung 4.8
Abbildung 4.9
Abbildung 4.10
Abbildung 4.11
Abbildung 4.12
Abbildung 4.13
Abbildung 4.14
Abbildung 4.15
Abbildung 4.16
Abbildung 4.17
Abbildung 4.18
Abbildung A.1
Abbildung A.2
Abbildung A.3
Abbildung A.4
Abbildung A.5
Abbildung A.6
Abbildung A.7
Abbildung A.8
Abbildung A.9
Abbildung A.10
Abbildung A.11
Abbildung A.12
Abbildung A.13
Abbildung A.14
Abbildung A.15
Abbildung A.16
Abbildung A.17
Abbildung A.18
Abbildung A.19
Abbildung A.20
Abbildung A.21
Abbildung A.22
Abbildung A.23
Abbildung A.24
Schematischer Frequenzplan der AOMs . . . . . . . . . . . . . . .
Schema der linearen Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Ionenkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema der axialen Ionenmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frequenzen der axialen Ionenmoden für bis zu sieben Yb-Ionen .
Frequenzen der axialen Ionenmoden für gemischten Coulombkristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema der radialen Ionenmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bild der Common-Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bild der Stretch-Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bild der Egyptian-Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frequenzen der radialen Ionenmoden für bis zu sieben Yb-Ionen
Frequenzen der radialen Ionenmoden für gemischten CoulombKristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Radialmodenfrequenzen und Phasenübergang . . . . . . . . . . .
Bild einer linearen Ionenkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bild der Zigzag-Konfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bild eines Odd Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bild eines Extended Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema eines Odd Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema eines Extended Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Datenblatt der Hochleistungslaserdiode 1 . . . . . . . . . . . . . .
Datenblatt der Hochleistungslaserdiode 2 . . . . . . . . . . . . . .
Datenblatt der Hochleistungslaserdiode 3 . . . . . . . . . . . . . .
Datenblatt der Hochleistungslaserdiode 4 . . . . . . . . . . . . . .
Datenblatt der Hochleistungslaserdiode 5 . . . . . . . . . . . . . .
Konstruktionszeichnung des Kristallhalters 1 . . . . . . . . . . . .
Konstruktionszeichnung des Kristallhalters 2 . . . . . . . . . . . .
Konstruktionszeichnung des Kristallhalters 3 . . . . . . . . . . . .
Datenblatt des AOMs 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Datenblatt des AOMs 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltplan des Integrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Datenblatt der Resonatorspiegel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Datenblatt der Resonatorspiegel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Datenblatt der Resonatorspiegel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen Frequenzverdoppelung 1 . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen Frequenzverdoppelung 2 . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen Frequenzverdoppelung 3 . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen Frequenzverdoppelung 4 . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen Frequenzverdoppelung 5 . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen Frequenzverdoppelung 6 . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen Frequenzverdoppelung 7 . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen Frequenzverdoppelung 8 . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen Frequenzverdoppelung 9 . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungsprogramm Ionenmoden 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
57
64
65
67
69
69
70
71
71
71
73
73
75
76
76
76
77
77
77
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
Abbildung A.25
Abbildung A.26
Abbildung A.27
Abbildung A.28
Abbildung A.29
Abbildung A.30
Abbildung A.31
Abbildung A.32
Abbildung A.33
Abbildung A.34
Abbildung A.35
Abbildung A.36
Berechnungsprogramm Ionenmoden 2 . . . . . . .
Berechnungsprogramm Ionenmoden 3 . . . . . . .
Berechnungsprogramm Ionenmoden 4 . . . . . . .
Quelltext KinkDetectorV5 1 . . . . . . . . . . . . .
Quelltext KinkDetectorV5 2 . . . . . . . . . . . . .
Quelltext KinkDetectorV5 3 . . . . . . . . . . . . .
Quelltext KinkDetectorV5 4 . . . . . . . . . . . . .
Quelltext KinkDetectorV5 5 . . . . . . . . . . . . .
Quelltext KinkDetectorV5 6 . . . . . . . . . . . . .
Quelltext KinkDetectorV5 7 . . . . . . . . . . . . .
Axiale Ionenmoden, gemischter Coulombkristall .
Radiale Ionenmoden, gemischter Coulombkristall
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118
Indexpermutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtlineare Kristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ABCD-Matrizen des Resonatordurchlaufs . . . . . . . .
Effizienz des AOM im Doppelpass . . . . . . . . . . . .
Frequenzen für die AOMs . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung radialer Modenfrequenzen an drei Yb-Ionen .
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56
56
72
TA B E L L E N V E R Z E I C H N I S
Tabelle 3.1
Tabelle 3.2
Tabelle 3.3
Tabelle 3.4
Tabelle 3.5
Tabelle 4.1
121
L I T E R AT U R V E R Z E I C H N I S
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Es gibt eine Theorie die besagt, wenn jemals irgendwer herausfindet,
wozu das Universum da ist und warum es da ist, dann verschwindet es
auf der Stelle und es wird durch etwas noch Bizarreres und Unbegreiflicheres ersetzt.
Es gibt eine andere Theorie nach der das schon passiert ist.
— Douglas Adams
DANKSAGUNG
Ich möchte Frau Dr. Tanja Mehlstäubler danken, dass ich erneut eine Abschlussarbeit
am QUEST-Institut der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt anfertigen durfte. Ich
möchte mich herzlichst für das in mich gesetzte Vertrauen und die gute Betreuung, die
nicht mit unerheblichem Zeitaufwand verbunden war, bedanken.
Des Weiteren gilt mein Dank Jonas Keller und Karsten Pyka, die mich im Labor und
bei der theoretischen Arbeit unterstützt haben und von denen ich einiges lernen konnte.
Ein besonderer Dank gilt außerdem Herrn Prof. Dr. Jochen Litterst und Herrn Prof. Dr.
Stefan Süllow für die Betreuung seitens der Universität und das sehr unbürokratische
Verfahren, diese Abschlussarbeit an einer externen Institution anfertigen zu können.
Des Weiteren möchte ich auch Kristijan Kuhlmann für die gute Zusammenarbeit und
die Hilfe beim LATEX-Textsatz, auch wenn es einmal bis 4 Uhr morgens dauerte, danken.
Für die sprachliche und orthographische Überarbeitung danke ich herzlichst Gunnar
Schmidtchen.
Ich danke auch meiner Familie, meinen Freunden und meinen Kollegen bei QUEST,
die diese Zeit, trotz zahlreicher frustrierender Tage, zu einer schönen Erinnerung machten und mich in dieser Zeit unterstützten. Besonders gerne denke ich an die wöchentliche Sneak Peek zurück, die für reichlich Abwechslung sorgte.
Vielen Dank!
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ERKLÄRUNG
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Master-Arbeit selbstständig verfasst habe.
Es wurden keine anderen, als die in der Arbeit angegebenen Quellen und Hilfsmittel
benutzt. Die wörtlich oder sinngemäß übernommenen Zitate habe ich als solche kenntlich gemacht. Die Arbeit ist in gleicher oder ähnlicher Form noch bei keiner anderen
Prüfungsbehörde eingereicht worden.
Braunschweig, 5. September 2012
David-Marcel Meier