Lösungen zu Kapitel 1

Lösungen zu Kapitel 1
Beispiel 1: Als Zustandsvariablen werden die Spannung uC an der Kapazität und der Strom
iL durch die Induktivität gewählt, d.h.
x1 = iL
R
und x2 = uC .
iL
uR
u
L
uL
uC
C
Für die Spannung an der Induktivität und den Strom durch die Kapazität gilt:
dx1
dx2
und iC = C
.
dt
dt
Die Spannungsbilanz ergibt unter Benutzung des Ohmschen Gesetzes
uL = L
u = uR + uL + uC = Rx1 + L
dx1
+ x2 .
dt
Daraus resultiert die Differentialgleichung
dx1
R
1
1
= − x1 − x2 + u.
dt
L
L
L
Die zweite Differentialgleichung ergibt sich aus
iC = C
d.h.
Mit Hilfe des Zustandsvektors
(1)
dx2
= iL = x1 ,
dt
dx2
1
= x1
dt
C
¶ µ
¶
µ
iL
x1
x=
=
x2
uC
(2)
können die Differentialgleichungen (1) und (2) in Matrixschreibweise angegeben werden:

R
−

dx  L
=
1
dt
C
|
{z
=:A
 
1
1
−  
L  
L
x+
0
0
} | {z
=:b
1


 u.

}
Für die Ausgangsgleichung gilt:
y=
¡
¢
0 1 x
| {z }
=:cT
Der Wert d verschwindet offensichtlich, d.h. es gibt keinen Durchgriff von u nach y.
Beispiel 2: Als Zustandsvariablen werden die Spannung an der Kapazität sowie der Strom
durch die Induktivität gewählt:
und x2 = iL .
x1 = uC
C
R1
L
R2 y
uc
u
iL
Eine Zustandsdifferentialgleichung erhält man direkt aus
u = uc + L
d.h.
L
diL
dx2
= x1 + L
,
dt
dt
dx2
= −x1 + u.
dt
(1)
Die Strombilanz ergibt
C
dx1
1
1 dx2 (1)
1
+
x1 = x2 +
L
= x2 +
(−x1 + u) .
dt
R1
R2 dt
R2
Daraus folgt unmittelbar
dx1
C
=−
dt
µ
1
1
+
R1 R2
¶
x1 + x2 +
1
u
R2
(2)
Die Ausgangsgröße erhält man aus der Beziehung
u = x1 + y
⇒
2
y = −x1 + u
(3)
Mit dem Zustandsvektor
x=
µ
x1
x2
¶
=
µ
uC
iL
¶
lautet das mathematische Modell (1),(2),(3) in Matrixschreibweise

1
−
dx 
C
=

dt
y=
¡
|
µ
1
1
+
R1 R2
1
−
L
{z
¶
 
1

C 
x+
 
0
} |
=:A
¢
−1 0 x + |{z}
1 ·u
| {z }
=:cT
==:d
3

1
R2 C 
u
1 
L
{z
}
=:b