2(R)⊗ ψ = = ∫ dx1 dx2 ψ(x1,x2) Aψ(x1,x2). ψ0(x1,x2

Dr. T.-P. Hack
Dr. K. Sanders
Inst. f. Theoretische Physik
Wintersemester 2015/16
Übungen zu TP4 - Quantenmechanik 2 / Thermodynamik und Statistik 2 (StEx Lehramt)
Aufgabenblatt 9
Aufgabe 9.1 – Abstandsverhalten von ununterscheidbaren Teilchen
2 Punkte
Wir betrachten zwei Teilchen in einer Raumdimension. Folglich ist der Hilbertraum H = L2 (R) ⊗
L2 (R) = L2 (R2 ). Zur Erinnerung: Für einen Zustand ψ ∈ L2 (R2 ) und eine Observable A gilt
Z
hAiψ = hψ|A|ψi =
dx1 dx2 ψ(x1 , x2 )∗ A ψ(x1 , x2 ) .
R2
Wir betrachten nun zwei orthogonale und normierte Einteilchenzustände ψa , ψb ∈ L2 (R) und
konstruieren daraus die drei Zweiteilchenzustände ψ0 , ψ+ , ψ− mit den Wellenfunktionen
ψ0 (x1 , x2 ) = ψa (x1 )ψb (x2 ) ,
1
ψ± (x1 , x2 ) = √ (ψa (x1 )ψb (x2 ) ± ψb (x1 )ψa (x2 )) .
2
Des Weiteren betrachten wir die Observable
D = (x1 − x2 )2
deren Erwartungswert dem mittleren quadratischen Abstand der zwei Teilchen entspricht.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert der Observable D in den drei Zuständen ψ0 , ψ+ , ψ− und
verfizieren Sie
hDiψ0 = hψa |x2 |ψa i + hψb |x2 |ψb i − 2hψa |x|ψa ihψb |x|ψb i ,
hDiψ± = hDiψ0 ∓ 2|hψa |x|ψb i|2 ,
wobei für (γ, δ) ∈ {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} und n ∈ N
n
Z
hψγ |x |ψδ i =
dx
ψγ∗ (x) xn ψδ (x)
Z
=
R
dxi ψγ∗ (xi ) xni ψδ (xi ) ,
i ∈ {1, 2}
R
d.h. die Variablenbezeichnung spielt für die Einteilchengröße hψγ |xn |ψδ i keine Rolle. Hinweis:
Berechnen Sie zuerst die Erwartungswerte von x21 , x22 und x1 x2 .
b) Was folgt aus b) für das Abstandsverhalten von zwei ununterscheidbaren Teilchen?
1
c) Wir nehmen nun an, dass ψa außerhalb des Intervalls [xa −c, xa +c] verschwindet und dass ψb
außerhalb des Intervalls [xb −c, xb +c] verschwindet. Wir nehmen weiterhin an, dass |xa −xb | >
2c. Was folgt daraus für den Erwartungswert der Observable D in den drei Zuständen ψ0 , ψ+ ,
ψ− ? Interpretieren Sie das Resultat.
Aufgabe 9.2 – Das Wasserstoffmolekül in einer Dimension
2 Punkte
Die Diskussion des Wasserstoffmoleküls in der Vorlesung soll anhand einer stark vereinfachten Betrachtung nachvollzogen werden, die jedoch das qualitative Verhalten korrekt erfasst. Als
ersten Vereinfachungsschritt beschränken wir uns auf eine Raumdimension. Das Coulombpotential einer Ladung q im Ursprung in einer Raumdimension ist φ(x) = qγ|x| mit einer Konstante
γ . Im folgenden rechnen wir in Einheiten in denen γ = 1 und q = ±1 für Protonen/Elektronen. Wir
wählen nun ein geeignetes Koordinatensystem. Die Position der zwei Protonen sei xa = −2R,
xb = 2R mit einer Konstanten 0.5 ≥ R > 0, die Position der zwei Elektronen sei x1 , x2 . Die
Dynamik der Protonen wird wie üblich vernachlässigt. Der Hamiltonoperator des Problems ist
also
H = Hkin + Hpot ,
Hkin = −
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
−
,
2m ∂x21 2m ∂x22
Hpot = −|x1 − 2R| − |x2 − 2R| − |x1 + 2R| − |x2 + 2R| + |x1 − x2 | + 4R .
Der Operator der kinetischen Energie Hkin spielt für die folgende Diskussion keine Rolle und wird
daher nicht weiter betrachtet. Für die Grundzustandswellenfunktionen ψa (x) und ψb (x) der zwei
einzelnen Wasserstoffatome machen wir den Ansatz
ψa (x) =
1 − 12 |x + 2R| wenn |x + 2R| ≤ 2 ,
0
sonst.
ψb (x) =
1 − 21 |x − 2R| wenn |x − 2R| ≤ 2 ,
0
sonst.
Die Normierung dieser Wellenfunktionen spielt für die folgende Berechnung keine Rolle. Als zweiten Vereinfachungsschritt diskretisieren wir die zu berechnenden Integrale indem wir sie durch
Summen ersetzen. Konkret ersetzen wir das Integral über die reelle Achse durch die Summe der
Funktionswerte an den Punkten x ∈ {−2R, 0, 2R}. Das ist eine sehr grobe Approximation, die für
unsere Zwecke aber die richtigen qualitativen Resultate liefert. Wir definieren also das diskrete
Integral einer Funktion f auf R2 als
Z
D dx1 dx2 f (x1 , x2 ) =
R2
X
X
f (x1 , x2 ) .
x1 ∈{−2R,0,2R} x2 ∈{−2R,0,2R}
Entsprechend gilt – nur in dieser Aufgabe! – für einen (nicht notwendigerweise normierten) Zweiteilchenzustand ψ ∈ L2 (R2 ) und eine Observable A
Z
hψ|ψi = D dx1 dx2 |ψ(x1 , x2 )|2 ,
Z
hψ|A|ψi = D dx1 dx2 ψ(x1 , x2 )∗ A ψ(x1 , x2 ) .
R2
R2
Wir definieren nun die (nicht normierten) Zweiteilchenzustände ψ± mit Wellenfunktionen
ψ± (x1 , x2 ) = ψa (x1 )ψb (x2 ) ± ψb (x1 )ψa (x2 )
2
und erwarten, dass einer der beiden Zustände ein guter Ansatz für den Grundzustand des eindimensionalen Wasserstoffmoleküls ist. Ziel der Aufgabe ist es, die potentielle Energie
E± =
Z±
,
N±
Z± = hψ± |Hpot |ψ± i ,
N± = hψ± |ψ± i ,
zu berechnen und zu interpretieren.
a) Skizzieren Sie ψa (x) und ψb (x) und interpretieren Sie die 6 Terme in Hpot .
2 (x , x ), f = ψ 2 (x , x ),
b) In den zu berechnenden Integralen tauchen die 4 Funktionen f1 = ψ+
1 2
2
− 1 2
2 (x , x ), f = H
2
f3 = Hpot (x1 , x2 )ψ+
1 2
4
pot (x1 , x2 )ψ− (x1 , x2 ) als Integranden auf. Argumentieren
Sie: 1) wegen der Ununterscheidbarkeit der Teilchen gilt für diese vier Funktionen fi (x1 , x2 ) =
fi (x2 , x1 ), 2) es gilt zusätzlich (warum?) fi (x1 , x2 ) = fi (−x1 , −x2 ), 3) für die diskrete Integration gilt
Z
D dx1 dx2 fi (x1 , x2 ) = 2fi (−2R, −2R) + 4fi (−2R, 0) + 2fi (−2R, 2R) + fi (0, 0) .
R2
c) Verifizieren Sie die folgenden Funktionswerte
(x1 , x2 )
(−2R, −2R)
(−2R, 0)
(−2R, 2R)
(0, 0)
2 (x , x )
ψ+
1 2
4(2R − 1)2
4(R − 1)4
4(2R2 − 2R + 1)2
4(R − 1)4
2 (x , x )
ψ−
1 2
0
4(R − 1)2 R2
16(R − 1)2 R2
0
2 (x , x )
Hpot (x1 , x2 )ψ+
1 2
−16R(2R − 1)2
−8(R − 1)4 R
0
−16(R − 1)4 R
2 (x , x )
Hpot (x1 , x2 )ψ−
1 2
0
−8(R − 1)2 R3
0
0
d) Verifizieren Sie
E+ = −
12(R − 1)4 R + 8R(2R − 1)2
,
5(R − 1)4 + 2(2R − 1)2 + 2(2R2 − 2R + 1)2
E− = −
2R
3
e) Skizzieren Sie E± als Funktion von R im Intervall R ∈ [0, 1/2] und interpretieren Sie das Resultat. Hinweis: Sie dürfen www.wolframalpha.com verwenden. Beispielseingabe zum Plotten
von (x2 + 1)/(x + 1) im gesuchten Intervall: Plot (xˆ2+1)/(x+1) from 0 to 0.5
Abgabe: Bis Dienstag, 15.12.2015, vor der Vorlesung. Gruppenabgaben sind nicht gestattet.
Hinweis: In der Regel können Sie die Aufgaben schneller lösen wenn Sie bereits erzielte Ergebnisse verwenden. Sie dürfen (unter Inkaufnahme von Punktabzug) Teilaufgaben überspringen
und mit den angegebenen Zwischenresultaten weiterrechnen.
3