Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitstheorie
Prof. Sabine Attinger
Jun. Prof. Anke Hildebrandt
03.05.2011
Geostatistik
Beschreibende Statistik
Lagemaße:
1.
MMMMMMMMMM:
2.
MMMMMM=M.M MMMMMMMMM
03.05.2011
1 n
µ = x = ∑ xi
n i =1
Geostatistik
Beschreibende Statistik
Streumaße:
MMMMMMMMMM:
V = ( xmax − xmin )
2.
MMMMMMM:
1 n
2
σ = ∑ ( xi − x )
n i =1
3.
MMMMMMMMMMMMMMMMMM
σ = σ2
4.
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM:
1.
2
03.05.2011
CV =
Geostatistik
σ
µ
s = s2
CV =
s
x
Beschreibende Statistik
Schiefe:
g=
03.05.2011
3
1 n
∑ ( x − xi )
n −1i =1
s3
Geostatistik
Statistik
• Beschreibende Statistik
– Stichproben/Ereignisse
– Grundgesamtheit
– Grafische Darstellung, Maße, Perzentile
• Schließende Statistik:
– Wahrscheinlichkeit
– Zufallsvariable
– Spezielle Verteilungen
03.05.2011
Geostatistik
Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitstheorie
2. Terminologie
Def. 2.1: Elementarereignis/Ergebnis
=das Result eines Experiments. Wenn zum Beispiel das Experiment das
Werfen eines Würfels darstellt, das ist das Ergebnis die Augenzahl,
F1,........,F6
Def. 2.2: Zufallsexperiment
=ein Experiment, dessen Ausgang vorher nicht bekannt ist.
Def. 2.3: Zufallsereignis
ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments oder mehrerer Experimente, die
eine gleiche Eigenschaft haben, z.B. die Augenzahl ' F1 ' or 'gerade
Augenzahl (F2,F4,F6). ' Die Ereignisse werden mit A, B or
A1, A2⋅ ⋅ ⋅ ⋅bezeichnet.
03.05.2011
Geostatistik
Wahrscheinlichkeitsraum
Def. 2.4: Ereignisraum
Ist eine mathematische Abstraktion und repräsentiert alle
möglichen Ereignisse eines Experiments. Wir
bezeichnen diese Menge mit S ={…}.
Def. 2.5: Disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse sind disjunkt, wenn sie keine
gemeinsamen Elementarereignisse haben.
03.05.2011
Geostatistik
Beispiel
03.05.2011
Geostatistik
Zufallsvariable
Def. 2.13: Zufallsvariable
Wir führen dafür eine Funktion X ein, dessen
Definitionsbereich der Ereignisraum eines
Zufallsexperiments ist und dessen Wertebereich die
reellen Zahlen sind; das heißt wirsiordnen
jedem Ereignis
∈S
eine reelle
).
si ∈ SZahl zu, X(
Beispiel:
Werfen zweier Würfel und Summe der gesamten
Augenzahlen.
03.05.2011
Geostatistik
Grundbegriffe
Beispiele: Eigenschaften von P für unsere Würfelexperimente
Was ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Gesamtaugenzahl beim
Werfen zweier Würfel kleiner als 4 ist?
Was ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Gesamtaugenzahl beim
Werfen zweier Würfel größer gleich 4 ist?
Was ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Gesamtaugenzahl beim
Werfen zweier Würfel kleiner als 5 ist?
Ist es wahrscheinlicher mit zwei Würfeln die Kombination 3,4
oder ein 4-er Pasch zu würfeln?
03.05.2011
Geostatistik
Grundbegriffe
Lösungsvorbereitung
– „Ereignisraum“:
Menge aller Elementarereignisse Ω = {(1,1), (1, 2), …
(6, 5), (6, 6)}
– „Zufallsvariable“:
Ergebnis eines Zufallsexperiments (z.B. „Summe
Augenzahl zweier Würfel“)
– „Ereignis“:
beliebige Teilmengen des Ereignisraums
(z.B. „Augenzahl < 4“: A = {(1,1), (1,2), (2,1)} )
– „Wahrscheinlichkeit“: W ( X = a) = Anzahl der günstigen Fälle
Anzahl der möglichen Fälle
W: P(Ω) -> [0, 1],
03.05.2011
Geostatistik
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Die Wahrscheinlichkeit kann auf verschiedene Arten
definiert werden.
Def. 4.11: Die Definition über die Relative Häufigkeit:
Wir wiederholen ein Zufallsexperiment n mal. Falls das
Ereignis A nA mal vorkommt, dann ist die
Wahrscheinlichkeit von A, definiert als P(A), gegeben
durch
nA
P( A) n
→
→∞
n
Für kleine Wiederholungszahlen n , ist es wahrscheinlich,
daß nA stark fluktuiert. Wenn n größer und größer wird,
dann tendiert nA gegen einen Grenzwert.
03.05.2011
Geostatistik
Wahrscheinlichkeit
Def. 4.12: Die klassische Definition:
In der klassische Definition wird die Wahrscheinlichkeit
nicht durch Experimente festgelegt, sondern durch
Auszählen aller prinzipiell möglichen Ereignisse eines
Experiments. Jedes Ereignis besitzt die gleiche
Wahrscheinlichkeit.
03.05.2011
Geostatistik
Wahrscheinlichkeit
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß muß bestimmte Eigenschaften
besitzen:
P1) P(A) ≥ 0
P2) P (S ) = 1
P3) A geschnitten B = 0 , then P(A +B) = P(A) +P(B)
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Geostatistik
Wahrscheinlichkeit
• Relative Häufigkeit gegen die Gesamtaugenzahl
M(M)
fX
6
5
4
3
2
1
36
36
36
36
36
36
M
03.05.2011
M
M
M
M
M
M
M
Geostatistik
MM
MM
MM
MMMMMMMMMMMMMMM
Wahrscheinlichkeit
Verteilungsfunktion F(x):
= die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariable kleiner oder
gleich als x zu sein
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) für diskrete Zufallsvariablen
=Wahrscheinlichkeit, exakt x_i anzunehmen
03.05.2011
Geostatistik
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) (kontinuierliche
Variablen):
∞
∫ f ( x) = 1
−∞
03.05.2011
Geostatistik
Wahrscheinlichkeit
• Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) (kontinuierlich):
∞
∫ f ( x) = 1
−∞
• Verteilungsfunktion F(x):
x
F ( x) =
∫ f ( x)
−∞
03.05.2011
Geostatistik
Maße
• Mittelwert
N
E( X ) = µ =
E ( X ) = µ = ∑ xi ⋅ f ( xi )
i =1
∫ x ⋅ f ( x) dx
−∞
MMMMMMMM
03.05.2011
+∞
MMMMMMMMMM
Geostatistik
Maße
• Mittelwert
N
E( X ) = µ =
E ( X ) = µ = ∑ xi ⋅ f ( xi )
i =1
+∞
∫ x ⋅ f ( x) dx
−∞
• Varianz
N
Var ( X ) = σ = ∑ ( xi − µ ) ⋅ f ( xi )
2
2
i =1
+∞
2
(
)
x
−
µ
⋅ f ( x)
∫
−∞
MMMMMMM
03.05.2011
Var ( X ) = σ =
2
MMMMMMMMMMMMMM
Geostatistik
Perzentil
Definition: Das
α -Quantil Qα
ist definiert als der Wert, bei dem der
α te-Teil der Daten kleiner ist and 1- α
.
Qα
te-Teil größer ist als
P( X < Qα ) = α
Die Definition für das Perzentil ist ähnlich, nur ein Prozenten
ausgedrückt.
Qα = P100α %
03.05.2011
Geostatistik
Perzentil
p – Perzentil (- Quantil)
M.MM – MMMMMMMMM
M.MM – MMMMMMMMM (MMMMM
MMMMMMMM)
M.MM – MMMMMMMMM (MMMMMM)
M.MM – MMMMMMMMM (MMMMM
MMMMMMMM)
M.MM – MMMMMMMMM
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Geostatistik
Box-Whisker-Plot
03.05.2011
Geostatistik
Spezielle Verteilungen/
Wahrscheinlichkeitsdichten
•
•
•
•
Bernoulli
Poisson Verteilung
Normal Verteilung
Log-Normal Verteilung
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Geostatistik
Bernoulli Distribution
Wenn die Ergebnisse eines Zufallsexperiments in zwei
Ereignisse A und B zusammengefasst werden können,
gilt für die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse
P(A=1)=p
P(B=0)=q=1-p
diese Verteilung heißt Bernoulli Verteilung, nach dem
Schweizer Jacob Bernoulli. Es ist eine diskrete
Verteilung, die den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit p
und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 − p
annimmt.
03.05.2011
Geostatistik
Poisson Distribution
• Die Poisson Verteilung ist eine diskrete Verteilung die
die Wahrscheinlichkeit seltener Ereignisse beschreibt.
Die Verteilung wurde von Siméon Denis Poisson
(1781–1840) eingeführt.
• Wenn die erwartete Anzahl von Ereignissen in einem
Intervall gleich λ ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß
es genau k Ereignisse gibt
P( X = k ) =
λk e − λ
k!
λk e −λ
E( X ) = ∑ k
=λ
k!
Var ( X ) = ∑ (k − E ( X ) )
2
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Geostatistik
λk e −λ
k!
=λ
Normal Verteilung
Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich
Gauß) ist ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch
Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke, Gaußsche
Glockenkurve oder schlicht Glockenkurve genannt.
f ( x) =
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Geostatistik
1
⋅e
σ 2π
1  x−µ 
− 

2 σ 
2
Normalverteilung
Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem
auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe
von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen im
Grenzwert normalverteilt ist. Das bedeutet, dass man
Zufallsvariablen dann als normalverteilt ansehen kann, wenn sie
durch Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen
Einflüssen entstehen, wobei jede einzelne Einflussgröße einen im
Verhältnis zur Gesamtsumme unbedeutenden Beitrag liefert.
Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung
zufälliger Vorgänge wie:
• zufällige Messfehler,
• zufällige Abweichungen vom Nennmaß bei der Fertigung von
Werkstücken,
• Beschreibung der brownschen Molekularbewegung.
03.05.2011
Geostatistik
Normal Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
Verteilungsfunktion
03.05.2011
Geostatistik
Normal Verteilung
03.05.2011
Geostatistik
Lognormal Verteilung
Die Lognormalverteilung ist eine Verteilung, die sich
ergibt, wenn man normalverteilte logarithmierte Werte
zugrunde legt.
03.05.2011
Geostatistik
Lognormal Verteilung
03.05.2011
Geostatistik
03.05.2011
Geostatistik
Übung 1
Zeichnen Sie einen Box-Whisker-Plot!
03.05.2011
Geostatistik
Übung 2
• Bitte berechnen Sie den Mittelwert und die Varianz der
Bernoulli-Verteilung!
03.05.2011
Geostatistik
Bernoulli Verteilung
03.05.2011
Geostatistik
Übung 3
In Japan, gibt es im Jahresmittel 50 Erdbeben.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich im nächsten
Monat 3 Erdbeben ereignen, wenn man annimmt, daß
die Erbeben einer Poisson Verteilung folgen?
03.05.2011
Geostatistik
Poisson Verteilung
03.05.2011
Geostatistik
Poisson Verteilung
03.05.2011
Geostatistik