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Geostatistik
SS 2012
Prof. Dr. Sabine Attinger
Prof. Dr. Anke Hildebrandt
Räumliche Variabilität
Konsequenzen
Les Barges
(Flury, 1992)
Sempach
(Stamm, 1995)
Obfelden
(Flury, 1992)
Konsequenzen
Blöschl & Grayson (1995)
Konsequenzen
30mm/1h
Blöschl & Grayson (1995)
Konsequenzen
5mm/1h
Blöschl & Grayson (1995)
Motivation Geostatistik
 Räumliche Variabilität von biologischen,
geologischen, hydrologischen, usw. ….
Eigenschaften finden sich auf unterschiedlichen
Skalen
 Sie steuern zum Teil entscheidend das
Prozessgeschehen
 Messtechnische Erfassung ist oft extrem
aufwendig und teuer bzw. gar nicht möglich
 Nur „unvollständige“ Datensätze vorhanden
 Datensätze müssen möglichst realistisch
ergänzt werden
Geschichte der Geostatistik
• Ursprüngliche Fragestellung: Wie kann man aus
räumlichen Messwerten auf die räumliche
Verteilung der untersuchten Substanz
schließen? Wie abbauwürdig sind z.B.
Erzvorkommen?
• Genauer: Wie schätzt man den Wert einer
ortsabhängigen Variablen Z*(u) an einem Ort u,
an dem keine Messwerte vorliegen, auf der
Basis von benachbarten Messwerten z(u_i):
Geschichte der Geostatistik
Danie G. Krige:
• Südamerikanischer
Mieneningenieur
• Erarbeitete die Grundlagen
der Geostatistik auf der Basis
empirischer Daten aus dem
Goldbergbau in Südafrika;
• Kriging wurde nach ihm
benannt.
Literatur: Krige, Danie G. (1951). "A statistical approach to some basic minevaluation problems on the Witwatersrand". J. of the Chem.,
Metal. and Mining Soc. of South Africa 52 (6): 119-139.
Geschichte der Geostatistik
Georges Matheron:
• Französischer
Mathematiker;„Vater der
Geostatistik“auf der Basis der
Arbeiten D. Kriges;
• Gründete 1968 das "Centre de
Géostatistique et de
Morphologie Mathématique"
an der Pariser Schule für
Bergbau in Fontainebleau.
Literatur: Matheron, Georges (1962). Traitéde
géostatistique appliquée. Editions Technip.
Geostatistik
• Der Begriff Geostatistik bezeichnet bestimmte
stochastische Methoden zur Charakterisierung und
Schätzung von räumlich korrelierten georeferenzierten
Daten.
• Ziel: räumliche Interpolation von punkthaft gemessenen
Daten, also aus einer endlichen Zahl von Messwerten
eine unendliche Zahl von Schätzwerten abzuleiten, die
möglichst nahe an den real vorliegenden Werten liegen
sollen.
• Problem: Der Schätzwert für eine physikalische Größe
an einem Schätzort ist aufgrund der räumlichen
Korrelation stärker von den Messwerten benachbarter
als von solchen entfernter Messorte abhängig.
Geostatistik
Wir brauchen also
• Grundlagen der Statistik bzw.
Wahrscheinlichkeitstheorie
• Interpolationsmethoden
• Maß für räumliche Korrelationen
Notwendige
Mathematische Grundlagen
• Ableitung einer Funktion (siehe Mathematik I)
• Extremwertbestimmungen (siehe Mathematik I)
• Lösen von Gleichungssystemen
– Lineare Algebra und Matrizenrechnung
– Inverse Matrizen
– Diagonalmatrizen, Eigenwerte
Inhalte der Vorlesung
 1. Vorlesung: 24.04.2012
•
Motivation
•
Eine kleine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
•
Literatur: Wilks Seite 7-19
 2. Vorlesung: 08.05.2012
•
Empirische Verteilungen und deskriptive
Datenanalyse
•
Literatur: Wilks Seite 23-70
Inhalte
 3.+4. Vorlesung: 22.05.2012
•
Erwartungswerte, Zufallsvariablen,
•
Spezielle Verteilungen
 5. Vorlesung: 05.06.2012
•
Nicht-Statistische Interpolationsverfahren
 6. Vorlesung: 12.06.2012
•
Statistische Interpolationsverfahren – Variogramm
 7.+8. Vorlesung: 19.06.2012/25.06.2012
•
Statistische Interpolationsverfahren – Kriging
Inhalte
 9. Vorlesung: 03.07.2012
 10. Vorlesung: 10.07.2012
•
Wiederholung Klausur
Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitstheorie
Ziel der Vorlesung ist es, Sie mit folgenden
Begriffe vertraut zu machen und diese auf
einen Datensatz anzuwenden.
•
•
•
•
Ereignisse, Ereignisraum
Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitstheorie
Def. 1.1: Elementarereignis/Ergebnis
=das Result eines Experiments. Wenn zum Beispiel das
Experiment das Werfen eines Würfels darstellt, das ist das
Ergebnis die Augenzahl, F1,........,F6
Def. 1.2: Zufallsexperiment
=ein Experiment, dessen Ausgang vorher nicht bekannt ist.
Def. 1.3: Zufallsereignis
ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments oder mehrerer
Experimente, die eine gleiche Eigenschaft haben, z.B. die
Augenzahl ' F1 ' or 'gerade Augenzahl (F2,F4,F6). ' Die
Ereignisse werden mit A, B or
A1, A2⋅ ⋅ ⋅ ⋅bezeichnet.
Wahrscheinlichkeitsraum
Def. 1.4: Ereignisraum
Ist eine mathematische Abstraktion und repräsentiert alle
möglichen Ereignisse eines Experiments. Wir
bezeichnen diese Menge mit S ={…}.
Def. 1.5: Disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse sind disjunkt, wenn sie keine
gemeinsamen Elementarereignisse haben.
Mathematisches Beispiel
Beispiel aus den
Umweltwissenschaften
Bilden Sie Elementarereignisse und den
Ereignisraum aus Aussagen
• „Es regnet morgen“
• „Es schneit morgen“
Zufallsvariable
Def. 1.6: Zufallsvariable
Wir führen dafür eine Funktion X ein, dessen
Definitionsbereich der Ereignisraum eines
Zufallsexperiments ist und dessen Wertebereich die
reellen Zahlen sind; das heißt wir ordnen jedem Ereignis
eine reelle Zahl zu, X( si  S ).
Beispiel:
Werfen zweier Würfel und Summe der gesamten
Augenzahlen.
Grundbegriffe
Beispiele: Eigenschaften von P für unsere Würfelexperimente
Was ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Gesamtaugenzahl beim Werfen
zweier Würfel kleiner als 4 ist?
Was ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Gesamtaugenzahl beim Werfen
zweier Würfel größer gleich 4 ist?
Was ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Gesamtaugenzahl beim Werfen
zweier Würfel kleiner als 5 ist?
Ist es wahrscheinlicher mit zwei Würfeln die Kombination 3,4
oder ein 4-er Pasch zu würfeln?
Grundbegriffe
Lösungsvorbereitung
– „Ereignisraum“:
Menge aller Elementarereignisse  = {(1,1), (1, 2), …
(6, 5), (6, 6)}
– „Zufallsvariable“:
Ergebnis eines Zufallsexperiments (z.B. „Summe
Augenzahl zweier Würfel“)
– „Ereignis“:
beliebige Teilmengen des Ereignisraums
(z.B. „Augenzahl < 4“: A = {(1,1), (1,2), (2,1)} )
– „Wahrscheinlichkeit“:
Anzahl der günstigen Fälle
W ( X  a) 
W: P() -> [0, 1],
Anzahl der möglichen Fälle
Wahrscheinlichkeit
Def. 1.7: Die klassische Definition:
In der klassische Definition wird die Wahrscheinlichkeit
nicht durch Experimente festgelegt, sondern durch
Auszählen aller prinzipiell möglichen Ereignisse eines
Experiments. Jedes Ereignis besitzt die gleiche
Wahrscheinlichkeit.
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Die Wahrscheinlichkeit kann auf verschiedene Arten
definiert werden.
Def. 1.8: Die Definition über die Relative Häufigkeit:
Wir wiederholen ein Zufallsexperiment n mal. Falls das
Ereignis A nA mal vorkommt, dann ist die
Wahrscheinlichkeit von A, definiert als P(A), gegeben
durch
nA
P ( A) n


n
Für kleine Wiederholungszahlen n , ist es wahrscheinlich,
daß nA stark fluktuiert. Wenn n größer und größer wird,
dann tendiert nA gegen einen Grenzwert.
Beispiel aus den
Umweltwissenschaften
Beispieldatensatz : Temperatur- und
Niederschlagsdaten (Ithaka, 1987)
• Wahrscheinlichkeit, daß Niederschlag fällt
• Wahrscheinlichkeit, daß die Temperaturen
positiv sind
• Wahrscheinlichkeit, daß es friert
Beispiel
Wahrscheinlichkeit
Def. 1.9: Ein Wahrscheinlichkeitsmaß muß bestimmte
Eigenschaften besitzen (3 Axiome):
P1) P(A) ≥ 0
P2) P (S ) = 1
P3) Wenn A geschnitten B = 0 , dann P(A +B) = P(A) +P(B)
Eigenschaften
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
P( AC )  1  P( A)
P(( A  B) C )  P( AC  B C )
P(( A  B) C )  P( AC  B C )
A
Beispiel
B
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Def. 1.10: Die bedingte Wahrscheinlichkeit
beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisse unter der Vorraussetzung, daß
ebenfalls ein anderes Ereignis stattgefunden hat.
P( A  B)
P( A B) 
P( B)
Beispiel
Gesetz der
Gesamtwahrscheinlichkeit
P( A)   P( A  Ei )
 P( E )  1
i
Ei  E j  0 i  j
A
E1 E2
E3 E4
E5
Bayes Theorem
P( A B) 
P( B A) P( A)
P( B)