Logik und Logikprogrammierung, ¨Ubungsblatt 3

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
Abgabe am 27.04.
Logik und Logikprogrammierung, Übungsblatt 3
(1) Zeigen Sie, dass die folgenden Operatormengen jeweils vollständig für die Aussagenlogik sind,
d.h., dass man jeden der Operatoren aus {¬, ∨, ∧} mit Hilfe dieser Operatoren darstellen kann.
(a) {¬, ∨}
(b) {¬, →}
(c) {NOR}, wobei A NOR B = ¬(A ∨ B)
(2) Lösen Sie die nachstehenden Teilaufgaben mit Hilfe des Tableaux-Verfahrens.
(a) Zeigen Sie, dass die folgende Formel unerfüllbar ist.
F = (A1 ∧ A2 ) ∧ A4 ∧ ¬(A4 ∧ A3 ) ∧ ((A1 ∧ A2 ) → A3 )
(b) Untersuchen Sie, ob die nachstehende Folgerung gilt.
(A1 ∨ A2 ) ∨ A3 , (A1 ∨ A2 ) → A4 , A3 → A5 , ¬A4
|=
A5
(3) Seien F eine Formel in KNF und B eine passende Belegung. Zeigen Sie, dass B(F ) = B(M(F ))
gilt.
(4) Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben zur aussagenlogischen Resolution.
(a) Geben Sie eine Deduktion der leeren M-Klausel aus der folgenden M-Klauselmenge an.
F = {A1 , A2 , ¬A3 , ¬A4 }, {¬A1 , ¬A4 , A5 }, {¬A4 , ¬A5 },
{¬A3 , A4 }, {¬A2 , ¬A3 }, {A1 , A3 }, {A3 , A4 }
(b) Sei F = {A1 , A3 }, {¬A1 , ¬A2 }, {¬A3 }, {A2 , A3 } . Berechnen Sie Res∗ (F ).
(c) Zeigen Sie, dass man keine zwei Literale zugleich resolvieren darf. Mit anderen Worten:
Beweisen Sie, dass es M-Klauseln K1 , K2 , Literale L1 , L2 mit L1 , L2 ∈ K1 und L1 , L2 ∈ K2
und eine Belegung B gibt, so dass B({K1 , K2 }) 6= B({K1 , K2 , K3 }) wobei K3 = (K1 ∪K2 )\
{L1 , L2 , ¬L1 , ¬L2 }.
(d) Sei F eine M-Klauselmenge. Die M-Klauselmenge F 0 entstehe aus F durch Streichung aller
M-Klauseln K, für die es in F eine M-Klausel K 0 mit K 0 ⊂ K gibt. Zeigen Sie, dass F 0
äquivalent zu F ist.
Aufgabe zum Selbststudium (nicht bewertet)
(5) (schwierigere Aufgabe) Eine M-Klausel heißt positiv, falls sie nur positive Literale enthält. Man
zeige, dass folgende Einschränkung des Resolutionskalküls bereits vollständig ist: Es darf nur
dann eine Resolvente aus den M-Klauseln K1 und K2 gebildet werden, sofern eine der beiden
M-Klauseln positiv ist.