p-adische Analysis

PD. Dr. J. Kohlhaase
Dr. Th. Bouganis
p-adische Analysis
Aufgabenblatt 7, (Abgabe 6.12.2012 vor der Vorlesung)
Auf diesem Blatt sei (K, | · |) immer ein nicht-archimedisch bewerteter Körper.
1. (4 Punkte) Es seien V und W lokal konvexe K-Vektorräume und f ∈ L(V, W ).
Zeigen Sie, dass die Abbildung f ′ = (ℓ 7→ ℓ ◦ f ) : Wb′ → Vb′ wohldefiniert, Klinear und stetig ist. Die Abbildung f ′ heißt die zu f duale (oder transponierte)
Abbildung.
2. (4 Punkte) Es seien K sphärisch vollständig und V ein lokal konvexer KVektorraum. Zeigen Sie, dass die initiale Topologie von V bezüglich der kanonischen Abbildung δ : V → (Vb′ )′b feiner als die gegebene Topologie von V ist,
d.h. für jedes offene Gitter L in V gibt es ein offenes Gitter L̃ in (Vb′ )′b , sodass
δ −1 (L̃) ⊆ L .
3. (4 Punkte) Sei K vollständig, X eine unendliche Menge und ϕ ∈ c0 (X).
(a) Sei i : N → X eine injektive Abbildung, sodass ϕ(x) = 0 für x ̸∈ i(N).
Zeigen Sie: (ϕ(i(n)))n∈N ist eine Nullfolge in K. Ist j : N → X eine zweite
Abbildung mit den obigen Eigenschaften, so gilt
∞
∑
n=1
ϕ(i(n)) =
∞
∑
ϕ(j(n)).
n=1
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass man ohne Einschränkung i(N) = j(N)
annehmen darf und wenden Sie 4(b) aus dem Blatt 1 an.
(b) Es sei I die Menge der endlichen Teilmengen von X. Zeigen Sie, dass I
vermöge der Inklusion zu einer gerichteten Menge wird. Für i ∈ I sei ai :=
∑
Cauchynetz in K ist, dessen
x∈i ϕ(x) ∈ K. Zeigen Sie, dass (ai )i∈I ein ∑
∞
Grenzwert mit
der
in
3(a)
definierten
Reihe
n=1 ϕ(i(n)) übereinstimmt.
∑
Er wird als x∈X ϕ(x) notiert.
4. (4 Punkte)
(a) Sei K vollständig und seien X und Y Mengen zusammen mit einer Abbildung f : X → Y . Zeigen Sie, dass genau eine stetige, K-lineare Abbildung
c0 (f ) : c0 (X) → c0 (Y ) existiert mit c0 (f )(1x ) = 1f (x) für alle x ∈ X.
Ist Z eine weitere Menge und g : Y → Z eine Abbildung, so gilt hierbei
c0 (g ◦ f ) = c0 (g) ◦ c0 (f ).
(b) Zeigen Sie: Sind die Mengen X und Y gleichmächtig, so existiert ein topologischer, K-linearer Isomorphismus c0 (X) → c0 (Y ).