∑ ∑ ∑

Definition 1) Absolute und Relative Häufigkeiten
Sei N die Anzahl der statistischen Elemente (Stichprobenwerte) einer Urliste (Stichprobe). Dann
sind diese Elemente x i von 1 bis N durchnumeriert.
Sei M die Anzahl der verschiedenen Ausprägungen eines Merkmals X einer konkreten
statistischen Masse, wobei M < N ist. Dann ist
a j : = j-te Ausprägung des Merkmals X ,
( j= 1,. . .,M )
Die Häufigkeitsverteilungen eines Merkmals X werden wie folgt dargestellt.
Absolute Häufigkeit:
h j : = Anzahl der Elemente x i mit der Ausprägung des Merkmals X
Relative Häufigkeit:
fj =
hj
N
M
Es gelten weiter:
M
hj = N
fj = 1
bzw .
j =1
j =1
Folgende Liste zeigt die Monatslöhne in € von 8 Angestellten der Firma P&R.
. . .
. . .
. . .
; xN }
{ x1 ; x2 ;
{ 2400 ; 3200 ; 4000 ; 2400 ; 2400 ; 3200 ; 3200 ; 3200 }
Benennen Sie das Merkmal X:
Geben Sie die Anzahl der statistischen Elemente N an.
Geben Sie die Anzahl der verschiedenen Merkmalausprägungen M an.
Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle und geben Sie die absoluten bzw. relativen
Häufigkeiten an.
X := Monatslohn
j
1
2
3
a j [€]
2400
3200
4000
N = 8
Absolute Häufigkeit: h j
3
4
1
Relative Häufigkeit: f j
3 / 8 = 0,375
4 / 8 = 0, 5
1 / 8 = 0,125
M =3
M =3
M=3
M =3
fj = 1
hj = N = 8
j =1
j =1
1
Definition 2) Klassen
Für ein stetiges Merkmal X mit Werten im Intervall [a ; b ) ∈ ℜ und eine Folge:
a 1 , b1 , a 2 , b2 , . . . . , a M , bM
heißt das Intervall [ a j , b j ) die j-te Klasse K j . Die Klassen bilden also eine lückenlose sich
nicht überlappende Zerlegung des gesamten Wertebereichs von X .
Die Differenz aus der unteren und oberen Grenze heißt die Klassenbreite: d j = b j – a j
und die Klassenmitte ist: mj = (b j + a j) / 2
Die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten der Klassen können auch als Rechteckflächen
gedeutet werden, somit ergeben
Rechteckhö he : =
h *j : =
absolute Häufigkeit
bzw.
Rechteckhö he : =
Klassenbre ite
hj
d
bzw.
f
j
*
j
:=
f
j
d
j
relative Häufigkeit
Klassenbre ite
die Klassendichten an. Dabei ist die Summe der Rechteckflächen für die absoluten bzw.
relativen Häufigkeiten der Klassen gleich N bzw. gleich 1.
Folgende Liste zeigt die Wochenlöhne in $ von 8 Angestellten der Firma P&R.
{ 240,72 ; 255,6 ; 242,3 ; 240 ; 250,1 ; 249,9 ; 260 ; 262,07 }
Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit identischen Klassenbreiten der Breite d = 10.
j
Lohn [$]
Klasse: K j
KlassenBreite: d j
KlassenMitte: m j
1
[240 – 250)
2
3
[250 – 260)
[260 – 270)
250 – 240
= 10
10
10
½ (240 + 250)
= 245
255
265
Abs.
Häufig.:
hj
4
Rel.
Häufig.: f j
Klassendichte der
*
Rel. Häufig.: f j
4 / 8 = 0,5
0,5 / 10 = 0,05
2
2
2 / 8 = 0,25
2 / 8 = 0,25
0,25 / 10 = 0,025
0,25 / 10 = 0,025
2
Definition 3) Kumulierte Häufigkeiten
Seien h C bzw. f C die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten der Markmalsausprägung a C
bzw. der Klasse K C . Dann heißt:
C
HC =
h1 + h 2 +
+ hC =
hj
j =1
die kumulierte absolute Häufigkeit der Ausprägung a C bzw. der Klasse K C und analog:
C
FC =
f1 + f2 +
+ fC =
f
j
j =1
ihre kumulierte relative Häufigkeit.
Folgende Liste zeigt die Monatslöhne in € von 8 Angestellten der Firma P&R.
{ 2400 ; 3200 ; 4000 ; 2400 ; 2400 ; 3200 ; 3200 ; 3200 }
Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle und geben Sie die kumulierten relativen Häufigkeiten an.
j
1
2
3
a j [€]
2400
3200
4000
Absolute
Häufigkeit: h j
3
4
1
Relative
Häufigkeit: f j
3 / 8 = 0,375
4 / 8 = 0,5
1 / 8 = 0,125
Kumulierte Relative
Häufigkeit F j
0,375
0,375 + 0,5
= 0,875
0,875 + 0,125 = 1
3
! "
%
#
"
&
$
$
Definition 4) Der Mittelwert (Das arithmetische Mittel)
Das arithmetische Mittel x oder der Mittelwert entsteht, indem man alle statistische
Elemente (Stichprobenwerte) x i einer Urliste (Stichprobe) aufaddiert und durch die Anzahl N
der Elemente dividiert.
x1 + x 2 +
N
x =
+ xN
N
xi
i =1
N
=
1
N
=
N
xi
i =1
Aus der Häufigkeitsverteilung erhält man das arithmetische Mittel durch:
x
=
M
1
⋅
N
hj
M
aj ⋅ hj =
aj ⋅
j = 1
N
j = 1
M
aj ⋅ f j
=
j = 1
Dabei bezeichnet M die Anzahl der verschiedenen Ausprägungen, h j die absoluten und f j die
relativen Häufigkeiten der Ausprägung a j.
Aus klassierten Häufigkeitsverteilungen kann das arithmetische Mittel wegen der
Klassenbildung nur ungefähr durch folgende Formel angegeben werden. Dabei ersetzt man die
Ausprägung a j durch die Klassenmitte m j.
x
≈
1
⋅
N
M
M
mj ⋅ hj =
mj ⋅
j = 1
j = 1
hj
N
M
mj ⋅f j
=
j = 1
'
Folgende Liste zeigt die Stundenlöhne in € von N = 8 Angestellten der Firma P&R.
{ 24 ; 32 ; 40 ; 24; 24; 32; 32; 32 }
Berechnen Sie den Mittelwert (das arithmetische Mittel)
x
=
N=8
1
xi =
8
i = 1
1
8
( 24 + 32 + 40 +
+ 32 ) = 30 [€]
Alternativer Lösungsweg mit Hilfe der Relativen oder Absoluten Häufigkeiten:
j
1
2
3
x =
aj
24
32
40
1
8
Abs. Häuf.: h j Rel. Häuf.: f j
3
3/8
4
4/8
1
1/8
M =3
hj ⋅a j =
j = 1
1
8
[ 3 ⋅ 24
+ 4 ⋅ 32 + 1 ⋅ 40 ] = 30 [€]
4
Definition 5)
Der Median
Der Median Z ist der mittlere Wert der nach der Größe geordneten Reihe der statistischen
Elemente.
Die Elemente x i einer Urliste werden zunächst der Größe nach geordnet. Ist die Anzahl N der
Stichprobenwerte ungerade, so ergibt sich immer ein mittleres Element. Ist sie gerade wählt
man für Z das arithmetische Mittel der beiden benachbarten Werte in der Mitte.
Bei Häufigkeitstabellen wird erst der Wert N / 2 bestimmt und dann berechnet man die
kumulierten Häufigkeiten H j bis der Wert N / 2 erreicht oder überschritten ist, so ist Z die
ereichte Merkmalausprägung a j . Oder man berechnet die kumulierten relativen Häufigkeiten F j
bis der Wert 0,5 erreicht ist.
* Bei klassierten Häufigkeiten geht man analog wie bei unklassierten Häufigkeitstabellen vor,
aber der Median wird dann durch lineare Interpolationen bestimmt.
Geometrisch gesehen ist der Median derjenige Wert, der der senkrechten entspricht, die das
Histogram in 2 Teile mit gleichen Flächeninhalten teilt.
Z = LMedian +
N
−
2
( K Median ) −
1
hj
j = 1
hMedian
⋅ d Median
Dabei ist:
L Median der untere Klassenrand derjenigen Klasse, die den Median enthält.
N die Anzahl der Werte in der Stichprobe
K Median die Klassennummer (Klassenindex), die den Median enthält.
d Median die Breite der Klasse, die den Median enthält.
(
Die Stundenlöhne in € von 5 Angestellten einer Firma sind:
{ 12,6 ; 19,8 ; 16,4 ; 56,0 ; 18,75 }
Bestimmen Sie den Median der Stundenlöhne sowie den mittleren Stundenlohn.
Welches der beiden Angaben beschreibt den durchschnittlichen Stundenlohn besser?
Z = 18,75
x = 24,71
Der Median beschreibt in diesem Beispiel den durchschnittlichen Stundenlohn besser als
der Mittelwert.
Definition 6) Der Modus
Der Modus ist dasjenige statistische Element, das am häufigsten vorkommt, oder diejenige
Merkmalausprägung mit der größten absoluten bzw. relativen Häufigkeit. Bei klassierten Daten
spricht man von der Modalklasse.
* Sind die Klassenbreiten einer Häufigkeitstabelle nicht alle gleich so ist die Modalklasse
diejenige mit der größten Klassendichte.
5
#
%
Definition 7)
)
*
+
Quantile einer Stichprobe
q sei eine beliebige Zahl zwischen Null und Eins (0 < q < 1). Das q-Quantil bzw. q.100%Quantil ist der Stichprobenwert oder das arithmetische Mittel zweier benachbarten Werte einer
nach der Größe geordneten Reihe der statistischen Elemente, wenn links von ihm höchstens
q.100% bzw. rechts von ihm (1 – q ).100% aller Stichprobenelemnete liegen.
,
Die von Studenten ereichten Punktezahlen in einem Test in 4 unterschiedlichen Kursen waren
wie folgt:
{ 3;4;5;6;6;6;9 };
{ 3;4;5;6;6;6;7;9};
{ 3;4;5;6;6;7;7;8;8}
{ 3;4;6;7;7;7;8;8;9;9}
Geben Sie jeweils das 1. Quartil (das 25%-Quantil) für diese 4 Kurse an.
N ⋅ 0,25
N ⋅ 0,25
N ⋅ 0,25
N ⋅ 0,25
=
=
=
=
7 ⋅ 0,25 = 1,75
8 ⋅ 0,25 = 2
9 ⋅ 0,25 = 2,25
10 ⋅ 0,25 = 2,5
Q1
Q1
Q1
Q1
=
=
=
=
4
½( 4 + 5 ) = 4,5
5
6
Definition 8) Die Varianz und die Standardabweichung
Die aus den Abweichungsquadraten
(
xi − x
)
2
gebildete Größe:
N
s
2
(
=
x1 − x
)
2
+
(
x2 − x
)
2
+
N − 1
+
(xN
− x
)
2
=
(xi
− x
)2
i = 1
N − 1
heißt Varianz der Daten { x1 ; x2 ; . . . ; xN }
Die Standardabweichung ist: s =
s
2
6
Berechnung der Varianz s ² mit Hilfe von absoluten bzw. relativen Häufigkeiten
Die Varianz kann wie der Mittelwert auch mit Hilfe von absoluten oder relativen
Häufigkeiten berechnet werden.
Absolute
Relative
Häufigkeit
Häufigkeit
N
M
(xi
)2
− x
h
i = 1
s2 =
(a
⋅
− x
j
)2
j = 1
=
N − 1
j
=
N − 1
M
N
N− 1
f
⋅
j
⋅
(a
j
− x
)2
j = 1
Ausprägung
Bemerkung
Die Varianz kann auch mit Hilfe folgender bequemeren Formeln berechnet werden.
N
M
i = 1
s2 =
x i2
− N⋅x
2
⋅ a 2j
j
j = 1
=
N − 1
− N⋅x
2
N − 1
M
1
=
h
N −1
N⋅
⋅
f
j = 1
j
⋅ a 2j
− N⋅x
2
Aus klassierten Häufigkeiten kann wegen der Klassenbildung die Varianz nur ungefähr
angegeben werden. In den folgenden Formeln wurden die Ausprägung a j durch die
Klassenmitte m j ersetzt.
Klassenmitte
M
h
s
2
j
⋅
(m
j
− x
j = 1
≈
N − 1
)2
=
M
N
N− 1
f
⋅
j
⋅
(m
j
− x
)2
j = 1
Bemerkung
Die Varianz von klassierten Häufigkeiten kann auch mit Hilfe folgender bequemeren Formeln
berechnet werden.
s2 ≈
1
N −1
M
⋅
j = 1
h j ⋅ m 2j
− N⋅x
2
=
1
N −1
M
N⋅
i =1
f j ⋅ m 2j
− N⋅x
2
7
Berechnen Sie die Standardabweichung für die Monatslöhne in € von 8 Angestellten der Firma
P&R.
{ 2400 ; 3200 ; 4000 ; 2400 ; 2400 ; 3200 ; 3200 ; 3200 }
M =3
x
hj
aj ⋅
=
8
j = 1
s
2
=
=
=
1
8
( 3 ⋅ 2400 + 4 ⋅ 3200 + 1 ⋅ 4000 ) = 3000 [€]
M =3
1
h j ⋅ a j − 3000
⋅
8− 1 j =1
(
1
8− 1
[ 3 ⋅ (2400 − 3000 )
= 320000
2
)
2
+ 4 ⋅ (3200 − 3000 ) + 1 ⋅ (4000 − 3000 )
2
2
]
s = 565,68 [€]
.
Berechnen Sie die Standardabweichung für die Wochenlöhne in $ von 8 Angestellten der Firma
P&R.
{ 240,72 ; 255,6 ; 242,3 ; 240 ; 250,1 ; 249,9 ; 260 ; 262,07 }
j
Lohn [$]
Klasse: K j
KlassenBreite: d j
KlassenMitte: m j
1
[240 – 250)
2
3
[250 – 260)
[260 – 270)
250 – 240
= 10
10
10
½ (240 + 250)
= 245
255
265
x
≈
M =3
m
j = 1
s
2
≈
=
j
⋅
hj
8
=
1
8
(
= 78,57
Rel.
Häufig.: f j
Klassendichte der
*
Rel. Häufig.: f j
4 / 8 = 0,5
0,5 / 10 = 0,05
2
2
2 / 8 = 0,25
2 / 8 = 0,25
0,25 / 10 = 0,025
0,25 / 10 = 0,025
( 4 ⋅ 245 + 2 ⋅ 255 + 2 ⋅ 265 ) = 252 , 5 [$]
M =3
1
h j ⋅ m j − 252 ,5
⋅
8− 1 j =1
1
8− 1
Abs.
Häufg.:
hj
4
[ 4 ⋅ (245 − 252 ,5 )
2
)
2
+ 2 ⋅ (255 − 252 ,5 ) + 2 ⋅ (265 − 252 ,5 )
2
2
]
s = 8,86 [$]
8