Gruppentheorie

1. Gruppen, Untergruppen, Klassen
2. Konjugierte Elemente, Klassen
II: GRUPPENTHEORIE
1. Gruppen
Definition: Gruppe
Eine Gruppe ist eine Menge von Elementen, für welche die Verknüpfung °
erklärt ist und weitere Bedingungen (Gruppenaxiome) erfüllt:
1. Abgeschlossenheit: das Produkt zweier Elemente einer Gruppe gehört
auch zur Gruppe
2. Neutrales Element: Es existiert in einer Gruppe (genau) ein neutrales
Element
3. Assoziativität: Die Verknüpfung ist assoziativ
4. Inverses Element: Zu jedem Element in der Gruppe existiert ein inverses
Element
Ist die Verknüpfung kommutativ, heißt die Gruppe „abelsch“
1. Gruppen
Definition: Gruppe
Eine Gruppe ist eine Menge von Elementen, für welche die Verknüpfung °
erklärt ist und weitere Bedingungen (Gruppenaxiome) erfüllt:
1. Abgeschlossenheit: das Ausführen der Verknüpfung zweier Elemente einer
Gruppe gehört auch zur Gruppe
2. Neutrales Element: Es existiert in einer Gruppe (genau) ein neutrales
Element
3. Assoziativität: Die Verknüpfung ist assoziativ
4. Inverses Element: Zu jedem Element in der Gruppe existiert ein inverses
Element
Beispiel:
Menge der ganzen Zahlen {…, -3, -2,-1,0,1,2,3, …}; Verknüpfung: Addition
Für 2 Zahlen a und b ist a+b wieder eine ganze Zahl
0 + a = a + 0 = a (Null ist neutrales Element)
(a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativgesetz)
a + b = b + a = 0 (b ist inverses Element von a; b = – a)
– Die Gruppe ist abelsch
1. Gruppen
Definition: Gruppe
1. Abgeschlossenheit
2. Neutrales Element
3. Assoziativität
4. Inverses Element
Beispiel Symmetrieoperationen:
Menge der Symmetrieoperationen (nicht –elemente); Verknüpfung: Produkt
Für 2 Symmetrieoperationen a und b ist a° b wieder eine Symmetrieoperation
e ° a = a ° e = a (e ist neutrales Element)
(a ° b) ° c = a ° (b ° c) (Assoziativgesetz)
a ° b = b ° a = e (b ist inverses Element von a; b = – a)
Die Anzahl der Elemente einer Gruppe heißt Gruppenordnung.
Mengen, die Symmetrieoperationen beinhalten, sind oft nicht kommutativ
(nicht abelsche Gruppen)
Einschub: Inverses Element
Theorem:
Das reziproke eines Produktes zweier oder mehr Elemente ist das Produkt
der Inversen in umgekehrter Reihenfolge:
( ABC  XY )
−1
Beweis:
= Y −1 X −1  C −1 B −1 A−1
1. Gruppen
Beispiel: (Ebene) Bewegungen eines gleichseitigen Dreiecks, die dieses mit sich
selbst zur Deckung bringen. Die Gruppenelemente sind die Symmetrieoperationen
(Bewegungen):
1
3
1
𝐸𝐸
2
𝜎𝜎1
2
2
3
1
𝐶𝐶3
3
𝜎𝜎2
2
3
𝐶𝐶32
1
𝜎𝜎3
1
3
1
3
Gruppe enthält Menge der
Symmetrieoperationen
{E, C3, C32, σ1,σ2,σ3}
2
2





Geschlossenheit
Neutrales Element
Assoziativität
Inverses Element
Ist die Gruppe abelsch?
1. Multiplikationstabelle
Gruppentafeln
= Multiplikationstabelle
Die Gruppen werden dargestellt durch die Angabe aller möglichen Produkte
in einer Tabelle:
Zeilen
Spalten
Anmerkungen:
• Weil das Produkt nicht kommutativ sein
muss, ist die Reihenfolge wichtig:
Zeile mal Spalte
• Jede Zeile und jede Spalte der Gruppentafel
enthält jedes Element der Gruppe genau
einmal (Lateinisches Quadrat, „Sudoku“).
1. Multiplikationstabelle
Anmerkungen:
• Reihenfolge wichtig: Zeile mal Spalte
• Jede Zeile und jede Spalte der Gruppentafel enthält jedes Element der Gruppe
genau einmal (Lateinisches Quadrat, „Sudoku“).
Erst wird Operation Y durchgeführt, danach Operation X. Dies ergibt Operation Z
X Y = Z
Erstellen einer Multiplikationstabelle für verschiedene Gruppenordnungen:
Ordnung h = 1 (trivialer Fall, nur E)
Es existiert nur eine mögliche Gruppe der Ordnung h = 2 (G2):
G2
E
A
E
A
E
A
A
E
1. Multiplikationstabelle
Anmerkungen:
• Reihenfolge wichtig: Zeile mal Spalte
• Jede Zeile und jede Spalte der Gruppentafel enthält jedes Element der Gruppe
genau einmal (Lateinisches Quadrat, „Sudoku“).
Erstellen einer Multiplikationstabelle für verschiedene Gruppenordnungen:
 Ordnung h = 1 (trivialer Fall, nur E)
 Es existiert nur eine mögliche Gruppe G2 der Ordnung h = 2
 Für Gruppe mit der Ordnung h= 3:
G3
E
A
B
E
E
A
B
A
A
B
B
Zwei Optionen:
AA = B
AA = E
Falls AA = E und BB = E Sackgasse, da
sonst BA = A und AB = A → doppelt,
daher AA = B
1. Zyklische Gruppen
G3 ist das einfachste Beispiel für eine zyklische Gruppe.
AA = B, aber AB (= AAA) = E.
Man kann sagen, dass die gesamte Gruppe durch Operation A und seine
Potenzen erstellt wird:
A2 = B, A3 = E.
Generell gibt es zyklische Gruppen höherer Ordnung mit Xh = E.
Alle zyklischen Gruppen sind Abelsch – alle Operationen kommutieren!
(Xn Xm = Xm Xn, für alle m, n)
G3
E
A
B
E
E
A
B
A
A
B
E
B
B
E
A
1. Multiplikationstabellen
C2v
E
C2
σv
σv’
E
E
C2
σv
σv’
C2
C2
E
σv’
σv
σv
σv
σv’
E
C2
σv’
σv’
σv
C2
E
C2h
E
C2
σh
i
E
E
C2
σh
i
C2
C2
E
i
σh
σh
σh
i
E
C2
i
i
σh
C2
E
σv
σh
1. Untergruppe
Eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst auch wieder eine Gruppe bildet,
heißt Untergruppe. Die Ordnung der Untergruppe ist die Zahl der Elemente
derselben.
Jede Gruppe besitzt die folgenden 2 trivialen Untergruppen:
 Die Gruppe selbst
 Die Menge, die nur das neutrale Element enthält
Beispiel: Operatoren {B,C}
B
C
B
B
C
C
C
B
Beispiel: C3, C32
Satz von Lagrange:
Die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe ist Teiler der
Ordnung der Gruppe
Ordnung der Gruppe
h
Ordnung der Untergruppe
g
h
g
= k ∈Z
2. Klassen
Gruppenelemente, die durch eine Ähnlichkeitstransformation einander
zugeordnet sind, werden konjugiert genannt.
X −1AX = B
A und B sind konjugiert.
Eine Klasse ist ein vollständiger Satz an Operatoren, die miteinander
konjugiert sind.
Die Anzahl der Elemente einer Klasse ist Teiler der Gruppenordnung.
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2. Ähnlichkeitstransformation
Erst wird Operation Y durchgeführt, danach Operation X. Dies ergibt
Operation Z
X Y = Z
Gruppenelemente, die durch eine Ähnlichkeitstransformation einander
zugeordnet sind, werden konjugiert genannt.
−1
X AX = B
A und B sind konjugiert.
Eine Klasse ist ein vollständiger Satz an Operatoren, die miteinander
konjugiert sind.
Die Anzahl der Elemente einer Klasse ist Teile der Gruppenordnung.
2. Ähnlichkeitstransformation
Gruppenelemente, die durch eine Ähnlichkeitstransformation einander
zugeordnet sind, werden konjugiert genannt.
X −1AX = B
A und B sind konjugiert.
Zusätzlich:
(i) Jedes Element A ist mit sich selbst konjugiert;
X −1AX = A
(ii) Ist A konjugiert zu B, dann ist auch B konjugiert zu A
X −1AX = B
Y −1BY = A
(iii) Ist A konjugiert zu B und C, dann sind auch C und B miteinander
konjugiert.
Ein vollständiges Set von Elementen, die zueinander konjugiert sind, bilden
eine Klasse der Gruppe.
2. Klassen
1
3
1
𝐸𝐸
2
2
3
1
𝜎𝜎1
𝐶𝐶3
2
3
3
3
𝜎𝜎2
1
3
1
2
𝐶𝐶32
2
2
𝜎𝜎3
Gruppe enthält Menge der
Symmetrieoperationen
{E, C3, C32, σ1,σ2,σ3}
Klassen:
{E}, {C3, C32} {σ1,σ2,σ3}
1
Klassen haben die Ordnungen 1,2 oder 3. Alles Teiler der Gruppenordnung h = 6
2. Klassen
1. Eine Drehung Cnk und ihr Inverses Cn-k gehören zur gleichen Klasse
(unterschiedliche Klassen für verschiedene Werte von k= 1, … n-1), falls
das Molekül eine Spiegelebene hat, die diese Achse enthält, oder es eine
zweifache Symmetrieachse hat, die die Cn-Achse senkrecht dazu schneidet.
C3 und C3-1 sind in einer Klasse, da es 3 Spiegelebenen gibt, die C3 enthalten.
2. Zwei Spiegelungen gehören zur gleichen Klasse, falls die Gruppe eine
Symmetrieoperation aufweist, die alle Punkte einer Ebene auf die Andere
überführt.
Drei Spiegelebenen sind in einer Klasse, da sie durch C3 ineinander überführt
werden können.
3. Zwei Rotationen Cnk Cn’k um unterschiedliche n-fache Drehachsen gehören
zur gleichen Klasse, falls die Gruppe eine Symmetrieoperation hat, die die
Punkte einer Achse auf die andere abbildet.
4. Enthält die Punktgruppe eines Moleküls ein Inversionszentrum, ist dieses
immer eine eigene Klasse, da i mit jeder anderen Symmetrieoperation
kommutiert.