Der Satz von BAYES ......................... 39 Unabhingige Ereignisse

INHALT .
1 Zufällige Ereignisse
Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zufällige Ereignisse und Operationen mit zufälligen Ereignissen . . . . . .
Das Axiomensystem der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . .
Anwendungen der Kombinatorik zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
Die bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von BAYES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unabhingige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
19
27
33
35
39
41
43
.
2 Zufallsvariable
Der Begriff einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskrete und etetige Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mehrdimensionale Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Randverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bedingte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unabhängige Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen von mehrdimensionalen Zufallsvnriablen . . . . . . . . . . . Schlußbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Die Parameter der Verteilung einer Zuhilsvariablen
Der Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . DieMomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Tschebyscheffsche Ungleichung . . . . . . . . . Abeolute Momente . . . . . . . . . . . . . . . . Die Lageprameter . . . . . . . . . . . . . . . . Die Momente einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen
Die Regression erster Art . . . . . . . . . . . . .
Die Regreaaion zweiter Art . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . .
10
Inhalt
4. Charakteristische Funktionen
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
~ i e ' ~ i ~ e n s c h a fder
t e ncharakteristischen Funktionen . . . . . . . . . . .
Charakteristische Funktionen und Momente . . . . . . . . . . . . . . .
Die Semiinvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die charakteristische Funktion einer Summe unabhangiger Zufallsvariabler
Die Bestimmung der Verteilungsfunktion durch die charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen
Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
134 138 140
144
150
154 155 .
5 Einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
Die Ein- und Zweipunktverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Das Bernoullische Versuchsschema. Die Binomialverteilung . . . . . . . . 161 Das Poissonsche Versuchaschema Die verallgemeinerte Binomialverteilung 164
Die Polyasche und die hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . 166 Die Poissonsche Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Die Rechtecksverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Die Gammaver.teilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Die Betaverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Die Cauchy- und die Laplaceverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Die n-dimensionale Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Die Polynomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Zusammengesetzte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Die stochastische Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 214 Die Konvergenz einer Folge von Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . 215 Das Stieltjessche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Der Satz von LEVYund CRAMER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Der Satz von MOIVRE-LAPLACE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Der Satz von LINDBBERO.L%VY
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Der Satz von LJAPUNOFF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Der Satz von GNEDEXKO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Die Gesetze der großen Zahlen von POISSON.TSCHEBYSCHEFF
und CHINTSCHIN257
Das starke Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Mehrdimensionale Grenzverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Grenzwertsätze für rationale Funktionen von Zufellavariablen . . . . . . . 279 Schlußbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 .
7. Markoffsche Ketten
7.1.
7.2.
7.3.
Einleitende Bemerkungen . .
Homogene Markoffsche Ketten
Die Ubergangsmatrix . . . .
.....................
.....................
.....................
296 296 298 11
Inhalt 7.4.
7.5.
7.6.
Ein ~rgodensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu+llsvariable. die eine homogene Markoffschq Kette bilden
Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 302 ........
........
311 316 8. Stochastische Prozesse
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
Der Begriff des stochastischen Prozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Markoffsche Prozesse und Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen . . . . . 321
Der Poissonsche Prozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Der Furry-Yulesche Prozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Geburts- und Todesprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Der Polyasche Prozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 Die Kolmogoroffschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Rein unstetige und rein stetige Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Der M7ienersche Prozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Stationäre Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 Schlußbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Mathematische Statistik
9. Stichprobenmomente und ihre Funktionen
Der Begriff einer Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Der Begriff der Stichprobenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Die Verteilung des arithmetischen Mittels normalverteilter Zufallsvariabler 396
Die ~2-Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Die gemeinsame Verteilung der Stichprobenfunktionen X und 9 . . . . . . 402
Die Studenteche &Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Die Fishersche Z-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 Die Verteilung von X in Stichproben aus einigen nichtnormalen Grundgesamtheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
9.9. Die Verteilung der Momente und des Korrelationskoeffizienten in einer Sticliprobe aus einer normalen Grundgesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . 420
9.10. Die Verteilung der Regressionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . 425 9.1 1. Die Grenzverteilungen von Stichprobenmomenten . . . . . . . . . . . . 429 9.12. Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6. 9.7. 9.8. 10. Die Verteilung der Positionsstichprobenfunktiorien
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.8.
'10.9.
Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Die Positionsstichprobenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Die empirische Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 Die stochastische Konvergenz einer Folge von Stichprobenqiiantilen . . . . 441 Die Grenzverteilungen der ~tich~robenquantile. . . . . . . . . . . . . 443 Die Grenzverteilungen der Randelemente einer Stichprobe . . . . . . . . 449 Die gemeinsame Verteilung einer Gnippe von Qiiantilen . . . . . . . . . 451 Die Verteilung der Stichprobenbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.53 Die Toleranzgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.54 12 Inhalt
10.10.
10.11.
10.12.
10.13.
10.14.
Der Satz von GLIWENKO. . . . . . . . .
Die Satze von K o m o a o ~ o mund SMIRNOW
.
Der Satz von RENYI . . . . . . . . . . .
Das Problem mehrerer Stichproben . . . .
Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .456 . . . . . . . . . . . . . . . 459 . . . . . . . . . . . . . . 471 . . . . . . . . . . . . . . 474 . . . . . . . . . . . . . . 478 .
11 Abriß der Iterationstheorie
11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition der Iterationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Verteilungen der Iterationsanzahlen . . . . . . . . . . . . . .
Mittelwerte und Dispersionen der Iterationsanzahlen . . . . . . . . .
Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 483 . . 483 . . 484 . . 490 . . 493 .
12 Signifikanztests
Der Begriff eines statistischen Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Parametertests für kleine Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 Parametertests für große Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 Anpassungstests . Der X*-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 Anpassungstests. die sich auf die Sätze von K O L M O O O Rund
O ~ S~EIRNOW
stützen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
Die Tests von WALD-WOLFOWITZ
und WILCOXON-MANN-WHITNEY
. . . . . 522
Unabhängigkeitstests in Kontingenztafeln . . . . . . . . . . . . . . . 529
Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
13. Theorie der Schätzfunktionen
Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . .
Konsistente Schätzfunktionen . . . . . . . .
Erwartungstreue Schätzfunktionen . . . . . .
Erschöpfende Schätzfunktionen . . . . . . .
Wirkeamste Schätzfunktionen . . . . . . . .
Asymptotisch wirksamste Schätzfunktionen . .
Konstruktionsmethoden für Schätzfunktionen .
Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . .
Der Bayessche Satz und die Abschätzungen . .
AufgabenundErgänzungen . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Methoden und Schemata zur Stichprobenerhebung
14.1. Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 14.2. Methoden der zufälligen Sti~hprobenerhebun~ . . . . . . . . . . . . . 587 14.3. Schemata zur abhängigen und unabhängigen Erhebung zufilliger Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
14.4. UnbeschränkteundgeschichteteStichprobenerhebungen . . . . . . . . . 596 14.5. Die zufälligen Fehler von Meßergebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . 605 14.6. Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 13
Inhalt .
15 Abri& der Varianzanalyse
15.1. 15.2. 15.3. 15.4. Einfache JLiessifikationen . . . . . .
MeMache Klessifikationen . . . . .
Das modifizierte Regressionsproblem
Aufgaben und Ergänzungen . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 16. Allgemeine Testtheorie
Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628 Die Giitefunktion und die Operationscharakteristikeines Testes . . . . . . 628 Ein bester Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 Ein gleichmiißig bester Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 Unverfäischte Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 Schiirfe und Konsistenz nichtparametrischer Tests . . . . . . . . . . . 656 Schiußbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 .
17 Elemente der Sequentialanalyse
Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 17.2. Der sequentielle Quotiententeat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677 17.3. Hiüasätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680 17.4. Eine grundlegende Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 17.5. Die Operationscharakterktik des sequentiellen Quotiententests . . . . . . 686
17.6. Der Mittelwert E(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688 17.7. Die Bestimmung der Zahlen A und B . . . . . . . . . . . . . . . . . 690 17.8. Die Nachprüfung einer Hypothese über den Wert des Parameters p in einer
NiiI1-Eins-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
17.9. Die Nachprüfung einer Hypothese über den Mittelwert Q einer Normalvertedung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
17.10. Schlußbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 17.11. Aufgaben und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 17.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 Tafeln
Literat ~r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 Namenregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764 Sachregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770 Anhang