Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung
und mathematische Statistik
von Marek Fisz
Mit 37 Abbildungen, 40 Tabellen und 8 Tafeln
Elfte Auflage
Technische Hachschuie D c r m s t a d t
FACHBEREICH INFORMATIK
B! B U O I_H J^ '*'
isventor-Nr.*Sachgebiete!
flLSL
Standort*
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
Berlin 1989
INHALT
Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Zufällige Ereignisse
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Einleitende Bemerkungen
Zufällige Ereignisse und Operationen mit zufälligen Ereignissen
Das Axiomensystem der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Anwendungen der Kombinatorik zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
1.6.
Der Satz von BAYES
1.7. Unabhängige Ereignisse
1.8. Aufgaben und Ergänzungen
17
19
27
33
35
39
41
43
v
2. Zufallsvariable
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
Der Begriff einer Zufallsvariablen
Die Verteilungsfunktion
Diskrete und stetige Zufallsvariable
Funktionen von Zufallsvariablen
Mehrdimensionale Zufallsvariable
Randverteilungen .
Bedingte Verteilungen . . . :
Unabhängige Zufallsvariable
Funktionen von mehrdimensionalen Zufallsvariablen
Schlußbemerkungen
Aufgaben und Ergänzungen
.
48
50
53
. 56
. . . 60
67
69
73
77
85
85
3. Die Parameter der Verteilung einer Zufallsvariablen
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
Der Mittelwert
Die Momente
Die Tschebyscheffsche Ungleichung
Absolute Momente
Die Lageparameter
Die Momente einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen
Die Regression erster Art
Die Regression zweiter Art
Aufgaben und Ergänzungen
87
»90
98
100
101
104
117
122
129
10
Inhalt
4. Charakteristische Funktionen
4.1. Die Eigenschaften der charakteristischen Funktionen
4.2. Charakteristische Funktionen und Momente
4.3. Die Semünvarianten
4.4. Die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariabler
4.5. Die Bestimmung der Verteilungsfunktion durch die charakteristische Funktion
4.6. Die charakteristische Funktion einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen
4.7. Erzeugende Funktionen
4.8. Aufgaben und Ergänzungen
132
134
138
140
144
150
154
155
5. Einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
5.1. Die Ein- und Zweipunktverteilungen
5.2. Das Bernoullische Versuchsschema. Die Binomialverteilung
5.3. Das Poissonsche Versuchsschema. Die verallgemeinerte Binomialverteilung
5.4. • Die Pölyasche und die hypergeometrische Verteilung
5.5. Die Poissonsche Verteilung
5.6. Die Rechtecksverteilung
5.7. Die Normalverteilung
5.8. Die Gammaverteilung
5.9. Die Betaverteilung
5.10. Die Cauchy- und die Laplaceverteilung
5.11. Die w-dimensionale Normalverteilung
5.12. Die Polynomialverteilung
5.13. Zusammengesetzte Verteilungen
5.14. Aufgaben und Ergänzungen
159
161
164
166
170
175
177
182
186
188
191
195
197
204
6. Grenzwertsätze
6.1. Einleitende Bemerkungen
6.2. Die stochastische Konvergenz
6.3. Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen
6.4. Die Konvergenz einer Folge von Verteilungsfunktionen
6.5. Das Stieltjessche Integral
210
211
. 214
215
220
6.6.
Der Satz von LEVY und GRAMER
224
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
Der
Der
Der
Der
Die
229
234
241
251
257
6.12.
6.13.
Ö.14.
6.15.
6.16.
Das starke Gesetz der großen Zahlen
Mehrdimensionale Grenzverteilungen
Grenzwertsätze für rationale Funktionen von Zufallsvariablen
Schlußbemerkungen
Aufgaben und Ergänzungen
Satz von MOIVRE-LAPLACE
Satz von LINDEBERG-LEVY
Satz von LJAPUNOFF
Satz von GNEDENKO
Gesetze der großen Zahlen von POISSON, TSCHEBYSOHEFF und CHINTSCHIN
7. Markoff sehe Ketten
7.1. Einleitende Bemerkungen
7.2. Homogene Markoffsche Ketten
7.3. Die Übergangsmatrix
261
275
279
282
283
296
296
298
Inhalt
11
7.4. Ein Ergodensatz
.- .
7.5. Zufallsvariable, die eine homogene Markoffsche, Kette bilden
7.6. Aufgaben und Ergänzungen
302
311
316
8. Stochastische Prozesse
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
Der Begriff des stochastischen Prozesses . . . . :
Markoffsche Prozesse und Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen
Der Poissonsche Prozeß '.
Der Furry-Yulesche Prozeß
Geburts- und Todesprozesse
Der Pölyasche Prozeß
Die Kolmogoroffschen Gleichungen
Rein unstetige und rein stetige Prozesse
Der Wienersche Prozeß
Stationäre Prozesse
Martingale
'
Schlußbemerkungen
Aufgaben und Ergänzungen
320
321
.326
331
338
351
354
357
362
369
379
381
383
Mathematische Statistik
9. Stichprobenmomente und ihre Funktionen
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
9.12.
Der Begriff einer Stichprobe
Der Begriff der Stichprobenfunktion . .
Die Verteilung des arithmetischen Mittels normalverteilter Zufallsvariabler
Die ^-Verteilung
Die gemeinsame Verteilung der Stichprobenfunktionen X und S
Die Studentsche «-Verteilung
Die Fishersche ^-Verteilung
Die Verteilung von X in Stichproben aus einigen nichtnormalen Grundgesamtheiten
'.
Die Verteilung der Momente und des Korrelationskoeffizienten in einer Stichprobe aus einer normalen Grundgesamtheit
Die Verteilung der Regressionskoeffizienten
Die Grenzverteilungen von Stichprobenmomenten
Aufgaben und Ergänzungen
393
395
396
398
402
408
414
418
420
425
429
432
10. Die Verteilung der Positionsstichprobenfunktionen
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.8.
10.9.
Einleitende Bemerkungen. .
Die Positionsstichprobenfunktionen
Die empirische Verteilungsfunktion
Die stochastische Konvergenz einer Folge von Stichprobenquantilen
Die Grenzverteilungen der Stichprobenquantile
Die Grenzverteilungen der Randelemente einer Stichprobe
Die gemeinsame Verteilung einer Gruppe von Quantilen
Die Verteilung der Stichprobenbreite
•
Die Toleranzgrenzen
435
435
. . . . 437
441
443
449
451
453
454
12
i
Inhalt
10.11. Die Sätze von KOLMOGOROFF und SMIRNOW
. 459
10.10. Der Satz von GLIWENKO
456
10.12. Der Satz von RENYI
10.13. Das Problem mehrerer Stichproben
10.14. Aufgaben und Ergänzungen
471
.• . 474
478
11. Abriß der Iterationstheorie
11.1. Einleitende Bemerkungen
11.2. Definition der Iterationen
11.3. Die Verteilungen der Iterationsanzahlen
11.4. Mittelwerte und Dispersionen der Iterationsanzahlen
11.5. Aufgaben und Ergänzungen
483
483
484
490
493
12. Signifikanztests
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
Der Begriff eines statistischen Tests
495
Parametertests für kleine Stichproben
497
Parametertests für große Stichproben
503
Anpassungstests. Der z2-Test
506
Anpassungstests, die sich auf die Sätze von KOLMOGOROFF und SMIRNOW
stützen
517
12.6.
Die Tests von WALD-WOLFOWITZ und WILCOXON-MANN-WHITNEY
12.7.
12.8.
Unabhängigkeitstests in Kontingenztafeln
Aufgaben und Ergänzungen
'.
522
529
533
13. Theorie der Schätzfunktionen
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
. 13.5.
13.6.
13.7.
13.8.
13.9.
13.10.
Einleitende Bemerkungen
Konsistente Schätzfunktionen
Erwartungstreue Schätzfunktionen
Erschöpfende Schätzfunktionen
Wirksamste Schätzfunktionen
Asymptotisch wirksamste Schätzfunktionen
Konstruktionsmethoden für Schätzfunktionen
Konfidenzintervalle . .
Der Bayessehe Satz und die Abschätzungen
Aufgaben und Ergänzungen
536
536
537
540
543
557
563
570
575
581
14. Methoden und Schemata zur Stichprobenerhebung
14.1.
14.2.
14.3.
14.4.
14.5.
14.6.
Einleitende Bemerkungen
586
Methoden der zufälligen Stichprobenerhebung
587
Schemata zur abhängigen und unabhängigen Erhebung zufälliger Stichproben
592
Unbeschränkte und geschichtete Stichprobenerhebungen
596
Die zufälligen Fehler von Meßergebnissen
605
Aufgaben und Ergänzungen
607
Inhalt
i
.
•
13
15. Abriß der Varianzanalyse
15.1.
15.2.
15.3.
15.4.
Einfache Klassifikationen
'
Mehrfache Klassifikationen
Das modifizierte Regressionsproblem
Aufgaben und Ergänzungen
610
618
622
626
16. Allgemeine Testtheorie
16.1.
16.2.
16.3.
16.4.
16.5.
16.6.
16.7.
16.8.
Einleitende Bemerkungen
Die Gütefunktion und die Operationscharakteristik eines Testes
Ein bester Test
Ein gleichmäßig bester Test
Unverfälschte Tests
Schärfe und Konsistenz nichtparametrischer Tests
Schlußbemerkungen
Aufgaben und Ergänzungen
628
628
640
.648
650
656
669
669
17. Elemente der Sequentialanalyse
17.1.
•17.2.
17.3.
17.4.
17.5.,
17.6.
17.7.
17.8.
Einleitende Bemerkungen
Der sequentielle Quotiententest
Hilfssätze
Eine grundlegende Identität
Die Operationscharakteristik des sequentiellen Quotiententests
Der Mittelwert E(n)
Die Bestimmung der Zahlen A und B
Die Nachprüfung einer Hypothese über den Wert des Parameters p in einer
Null-Eins-Verteilung
17.9. Die Nachprüfung einer Hypothese über den Mittelwert Q einer NormalVerteilung
17.10. Schlußbemerkungen
17.11. Aufgaben und Ergänzungen
Anhang
676
677
680
684
6861
688
690
691
699
705
707
709
Tafeln
719
Literatur
727
Namenregister
Sachregister
-
764
770