Bedingter Erwartungswert

Bedingter Erwartungswert
Maßtheorie Seminar
Dennis Eichhorn | 29.06.2012
Seite 2
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Einleitung
Seite 3
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Der bedingte Erwartungswert
1
X ∈ L (Ω , F , P)ist eine Zufallsvariable , B⊆F E ∣X ∣<∞
1. Y B−messbar
2.∫ YP (d ω)=∫ XP (d ω)∀ A∈B
A
A
Ein Y welches 1. und 2. erfüllt heißt bedingte Erwartung:
Y :=E ( X | B)
Ist Y definiert auf L¹?
Seite 4
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Beweis der Existenz
Aufsplitten von X:
+
-
ν( A):=∫ X P (d ω) oder ∫ X P (d ω)−∫ X P (d ω)
A
A
A
Mit P ( A)=0 ⇒ ν( A)=0 ⇒ ν( A) absolut stetig.
Mit Radon Nikodym folgt die Existenz einer Dichte f :
ν( A)=∫ f d μ
A
Seite 5
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Beweis der Eindeutigkeit
Sei A={ Y 1>Y 2 }
∫ Y 1−Y 2 P (d ω)=∫ Y 1 P (d ω)−∫ Y 2 P (d ω)
A
A
A
=∫ X P (d ω)−∫ X P (d ω)
A
=0
Also Y 1 =Y 2 f.s.
A
Seite 6
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Allgemeines Beispiel
B=σ ( A1 , ... , A n ) , A1 ,... , An ∈ F und Ω=∪ Ai i=1,... , n Ai disjunkt
n
⇒ E ( X | B)=∑ E ( X I A )/ P ( Ai )· I A
i=1
i
i
Wie kommt man auf diese Darstellung?
Seite 7
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Darstellung
(Ω , F ) Messraum
ℝ ist ein Banach−Raum
Ω=∪Ai i=1 ... n
X messbar
n
⇒ ∑ ki· I A
i=1
i
Seite 8
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Bestimmen von k
n
∫ E ( X | B) P ( d ω)=∫ ∑ k i · I A P (d ω)=k j P ( A j)
A
A j i=1
i
=∫ X P (d ω)=E ( XI A )
j
Aj
⇒ k j =E ( X I A )/ P ( A j )
j
Seite 9
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Grafik
Seite 10
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Beispiel
Ω={ 1,2, 3, 4,5, 6 }
X = Augenzahl beim Würfeln
A= Augenzahl ist gerade
E ({ 2,4,6 })=2/3+4/3+6/ 3=4=E ( X | A)
Seite 11
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Eigenschaften
X 1, X 2 ∈ L1 (Ω , F , P ) a ∈ℝ :
E (a X 1 + X 2 | B)=aE ( X 1 | B)+E ( X 2 | B)
Beweisidee
∫ aX 1+ X 2 P (d ω)=...=∫ aY 1+Y 2 P (d ω)
A
A
Seite 12
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Eigenschaften
X , X n ∈ L1 (Ω , F , P ) X n ≥0 X n → X
⇒ E ( X n | B) → E ( X | B)
Beweisidee
Definiere Y n := X − X n mit X n → X in L1
⇒∫ lim E (Y n | B) P (d ω)=∫ lim Y n P (d ω)=0
A n →∞
A n →∞
=∫ lim X − X n P (d ω)=∫ lim [ E ( X | B)−E ( X n | B)] P (d ω)
A n →∞
A n→ ∞
⇒ E ( X | B)−lim E ( X n | B)=0
n →∞
Seite 13
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Eigenschaften
X 1, X 2 ∈ L1 (Ω , F , P ) X B−messbar
E ( X 1 X 2 | B)= X 1 E ( X 2 | B)
Beweisidee
Fallunterscheidung
1) X 1 =I C C ∈B
2) X 1 ist einfach
3) X 1 , X 2 ≥0
+
+
X
=
X
−
X
und
X
=
X
−
X
4) 1
1
1
2
2
2
Seite 14
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Fullunterscheidung 1
X 1 =I C
∫ X 1 X 2 P (d ω)= ∫
A
A∩C
X 2 P (d ω)= ∫ E ( X 2 | B) P (d ω)
A∩C
Fullunterscheidung 3
X 1 , X 2 ≥0
⇒ X n ≥0 X n → X
E ( X 1 X 2 | B)=E (lim X n X 2 | B)=lim X n E ( X 2 | B)
n →∞
n→∞
Seite 15
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Bedingte Erwartung als orthogonale Projektion
Seite 16
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Projektionssatz
F ⊆L2 abgeschlossen⇒∀ X ∈ L2 ∃1 Y ∈F
| X −Y | L =inf { | X −Φ | L Φ∈ F }
2
2
⇔ X −Y ⊥Φ Φ∈ F
Beweis der Existenz
Definiere d :=inf | X −Φ | L
2
F abgeschlossen => ∃Φn lim | X −Φn | L =d
2
n →∞
Y :=lim Φn
n →∞
Existiert der Grenzwert?
Seite 17
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Existenz des Grenzwertes
| 2X−Φk −Φl |2L +| Φ k −Φl |2L =2 | X −Φ k |2L +2 | X −Φl | 2L
2
2
2
|| x+ y ||2 +|| x− y ||2 =2(|| x ||2+|| y ||2 )
⇒ 4d 2+ lim sup| Φk −Φl |≤4d 2
k ,l →∞
Eindeutigkeit
2
Seite 18
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Äquivalenz
| X −Y | L =inf { | X −Φ | L Φ∈ F }
2
2
⇔ X −Y ⊥Φ Φ∈ F
Beweisidee
| X −Y |2L =d ≤| X −(Y −t Φ)|2L
2
2
⇔| X −Y | 2L ≤| X −Y |2L +t 2 | Φ |2L +2t < X −Y , Φ >
2
2
2
⇔0=< X −Y ,Φ >
⇒ L 2=F +F .⊥ . (direkte Summe)
Seite 19
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Weiterer Einstieg in die bedingte Erwartung
Die orthogonale Projektion
Q : L2 (Ω , Σ , P) → L2 (Ω , F , P )
wird als bedingte Erwartung bzgl. F bezeichnet
Seite 20
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Eigenschaften
f ≤g ⇒Qf ≤Qg
Beweisidee
0≤g − f ⇒ 0≤Q ( g− f )=Q( g )−Q( f )
Gilt f ≥0 ⇒Qf ≥0 ?
2
| f − f 1|L =
2
∫
f 1>0
2
2
+ 2
| f − f 1 | P (d ω)+ ∫ | f − f 1 | P (d ω)≥| f − f 1 | L
f 1≤0
⇒ f 1≥0
2
Seite 21
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Eigenschaften
Q1 (Q 2 f )=Qf Q1 bzgl. B1 ,Q 2 bzgl. B 2 B1 ⊆B 2
Beweisidee
Q1 (Q 2 f )=< Q1 (Q 2 f ) , g >=< f ,Q 2 (Q 1 g )>=< f ,Q 1 g >
Seite 22
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Bezug zu L¹
Seite 23
Bedingte Erwartung | 22.06.12
Ausblick
Bedingte Varianz:
Var ( X | Y ):=E (( X −E ( X | Y ))2 |Y )
und
Var ( X | B):=E ( X 2 | B)−E ( X | B)2
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
P ( A| B):=E ( I A | B) A∈ F
und
P ( A| Y ):=E ( I A |Y ) A∈ F