Analysis I - TU Berlin - Institut für Mathematik

Technische Universität Berlin
WS 02/03
Fakultät II – Institut für Mathematik
Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer
Sekr. MA 8-2
www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS02/AnalysisI
8. Übung ”Analysis I ”
1.) (Mächtigkeitsvergleich)
(a) Zeigen Sie, daß die Menge aller reellwertigen Funktionen eine größere Mächtigkeit besitzt als R.
(b) Es sei M ⊆ R+ ∪ {0} eine beliebige Menge. Es existiere eine Konstante
q
P
K > 0, so daß für je endlich viele Zahlen m1 , . . . , mq ∈ M gelte
mj ≤ K .
j=1
Zeigen Sie, daß M abzählbar ist und daß für eine beliebige Abzählung
∞
P
(mj )j∈N∗ von M gilt:
mj ≤ K.
j=1
2.) (Häufungspunkte)
Es sei (an )n∈N∗ mit an = [1 + (−1)n ] 1 +
1
n
+
1
n2
vorgegeben.
(a) Bestimmen Sie lim sup an und lim inf an .
n→∞
n→∞
(b) Geben Sie für die Menge M := {an | n ∈ N∗ } Supremum und Infimum an.
Beweisen Sie Ihre Aussage. Besitzt M ein Maximum bzw. ein Minimum?
3.) (Definitionsbereich und Grenzwerte)
Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen an und
berechnen Sie die Grenzwerte aller kritischen Punkte (evt. auch die uneigentlichen
Grenzwerte) . Benutzen Sie nur Ergebnisse aus Vorlesung und Übung.
√
√
2x + 1 − 3
x2 − 3
x
√
√
(a)
=
f
(x)
(b)
=
g(x)
(c)
= h(x) .
√
3
ex − 1
2x − 1 − 2
x2 + 1
4.) (Charakterisierung des Supremums mittels Folgen)
Es sei A 6= ∅ Teilmenge von R, für die kein größtes Element existiere. Zeigen Sie,
daß man a1 < a2 < a3 < . . . aus A findet mit
sup A −
1
< an < sup A
n
∀n ∈ N∗ .
5.) (Rechenregeln für Supremum)
Für Mengen A, B ∈ R erklären wir Summe, Differenz, Produkt und skalares
Vielfaches durch:
αA ◦ βB := {αa ◦ βB | a ∈ A, β ∈ B},
Gilt 0 6∈ A so erklären wir
1
A
◦ ∈ {+, −, ·}, α, β ∈ R.
durch
1
1
:= { | a ∈ A}
A
a
Zeigen Sie: Sind A und B nach oben, in Teil (d) die Menge A nach unten beschränkt, so gilt:
(a) sup(A + B) = sup A + sup B .
(b) sup(A · B) = sup A · sup B , falls alle Elemente von A und B nichtnegativ
sind.
(c) − sup A = inf −A .
(d) sup A1 =
1
inf A
, falls inf A > 0 .
Abgabe: 12.12- 20.12.2002, in den Tutorien.