Seminar für Fragen der Festkörpertheorie

Seminar für Fragen der Festkörpertheorie
P.N. Racec
WS2003/2004
2
Inhaltsverzeichnis
1 Spezialthemen in der Festkörperphysik
1.1 Fermi-Dirac Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bose-Einstein Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Vielteilchen Effekte
2.1 Lineare Response-Theorie . . . . . . . . .
2.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Der Dichteoperator . . . . . . . . .
2.2 Lineare Responsefunktion . . . . . . . . .
2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Dichte-Dichte Korrelationsfunktion
2.3.3 Strom-Dichte Korrelationsfunktion
2.3.4 Strom-Strom Korrelationsfunktion .
5
5
9
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13
13
13
14
16
22
22
23
25
27
3 Zweite Quantisierung
3.1 Eindimensionaler harmonischer Oszillator . . .
3.1.1 Eigenschaften der Operatoren â und â†
3.1.2 Besetzungszahloperator N̂ = ↠â . . .
3.1.3 Darstellung des Grundzustandes . . . .
3.1.4 Darstellung der Eigenvektoren . . . . .
3.2 Viel-Teilchen Systeme: zweite Quantisierung .
3.3 Anwendung auf die Lineare Response Theorie
3.3.1 Dichte-Dichte Korrelationsfunktion . .
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39
3
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4
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Spezialthemen in der
Festkörperphysik
1.1
Fermi-Dirac Verteilungsfunktion
Das Ein-Teilchen-Problem wird als gelöst vorausgesetzt
Ĥ1 |ϕα i = α |ϕα i,
(1.1)
dabei ist α ein vollständiger Satz von Quantenzahlen (z.B. α = (n, l, ml , ms ) oder α =
(kx , ky , kz , ms ),....). Einfachheitshalber, nehmen wir α als einfache Quantenzahl an, α =
1, 2, 3, ....
Abbildung 1.1: Ein-Teilchen Energie Spektrum
Betrachten wir das N-Teilchen System. Für jedes Teilchen i gilt das Ein-TeilchenProblem

 |ϕαi i = Ein-Teilchen-Zustand
αi = Ein-Teilchen-Energie
⇒

nαi = die Besetzung des Ein-Teilchen-Niveaus
Das Ein-Teilchen-Niveau kann für Fermionen, wegen dem Pauli Prinzip, entweder besetzt
oder unbesetzt sein,
1
n αi =
(1.2)
0
5
6
KAPITEL 1. SPEZIALTHEMEN IN DER FESTKÖRPERPHYSIK
Eine Anordnung von N Teilchen auf die Ein-Teilchen-Niveaus kann durch den ganzen Satz
von Besetzungszahlen für jedes Ein-Teilchen-Niveau bestimmt werden
|nα i = |n1 , n2 , n3 , ..., ni , ...i
(1.3)
und das definiert der Zustand in der Besetzungszahldarstellung. Natürlich, für die unbesetzten Niveaus, ni = 0, so dass man immer die Bedingung
∞
X
ni = N.
(1.4)
α=1
efüllen muss (S. Ref. [7], S.144)
Abbildung 1.2: Beispiel: Der Zustand |101, ..., 1, ...i.
Für den Hamilton-Operator gilt
X
Ĥ|nα i =
nα α |nα i
(1.5)
α
Thermodynamik: Betrachtung des Systems in der Großkanonischen Gesamtheit. Vorgegeben:
• die Temperature T = Kopplung an Wärmebad; Energieaustausch; Energie E fluktuiert
• das Volumen V
• das chemischen Potential µ = Kopplung an Teilchenreservoir; Teilchenaustausch;
Anzahl der Teilchen N fluktuiert
(r)
(r)
(r)
(r)
Betrachten wir ein Mikrozustand |ri = |n1 , n2 , n3 , ..., ni , ...i, mit der Teilchenzahl
Nr =
∞
X
n(r)
α ,
(1.6)
n(r)
α α .
(1.7)
α=1
und die Energie des Zustandes
Er =
∞
X
α=1
1.1. FERMI-DIRAC VERTEILUNGSFUNKTION
7
Wir berechnen die großkanonische Zustandssumme ([7],3.1.2)
ZGK =
∞
X
P∞
(r)
nα =Nr
X
α=1
Nr =0
e−β[Er −µNr ] ,
(1.8)
{|ri}
mit β = 1/kB T .
Man fügt die Glg. (1.6) und (1.7) in die obige Gleichung ein, und erhält
ZGK =
∞ X
X
−β
e
hP
∞
nα α −µ
P∞
nα (α −µ)
(r)
α=1
P∞
(r)
α=1
nα
i
(1.9)
Nr =0 {n(r) }
α
=
∞ X
X
e−β
(r)
α=1
(1.10)
Nr =0 {n(r) }
α
=
∞ X Y
∞
X
(r)
e−βnα
(α −µ)
.
(1.11)
Nr =0 {n(r) } α=1
α
Die Summe über {|ri} läuft über alle Kombinationen von Besetzungszahlen, die zu einer
vorgegebenen Gesamtteilchenzahl Nr möglich sind (Ref. [7], 3.1.2.). Diese Summationsbeschränkung wird allerdings durch die Summe über die Gesamtteilchenzahl Nr aufgehoben
∞ X
X
Nr =0
... ⇔
XX
n1
(r)
{nα }
...
X
n2
...
(1.12)
ni
Die Summenkombination in (1.11) kann durch unabhängige Summationen über die einzelnen Besetzungszahlen ersetzt werden und ist der Vorteil der großkanonische Behandlung
des Problems.
!
ZGK
=
X
e−βn1 (1 −µ)
n1
=
(1.2)
=
n2
∞
Y
X
α=1
∞
Y
α=1
!
X
e−βn2 (2 −µ)
!
...
X
e−βni (i −µ)
...
ni
!
e−βnα (α −µ)
(1.13)
nα
1 + e−β(α −µ)
(1.14)
8
KAPITEL 1. SPEZIALTHEMEN IN DER FESTKÖRPERPHYSIK
Berechnung des thermodynamischen Erwartungswertes des Besetzungsoperators
hnγ i
=
(1.6),(1.7)
=
1
ZGK
1
ZGK
∞
X
P∞
Nr =0
∞
X
(r)
nα =Nr
X
α=1
nγ e−β[Er −µNr ] ,
(1.15)
{|ri}
X
−β
hP
∞
nα α −µ
−β
P∞
nα (α −µ)
nγ e
(r)
α=1
(r)
P∞
α=1
nα
i
Nr =0 {n(r) }
α
=
1
ZGK
∞
X
X
nγ e
(r)
α=1
Nr =0 {n(r) }
α
(1.12)
=
(1.2)
=
1
ZGK
1
ZGK
−βnγ (γ −µ)
nγ e
−β(γ −µ)
nγ e
∞
Y
X
α=1
nα
α6=γ
∞
Y
=
1
∞ X
X
ZGK
!
Nr =0 {n(r) }
α
=
(r)
e−βnα
(α −µ)
α=1
e−βnα (α −µ)
−β(α −µ)
1+e
nγ =1
=
α=1
1
ZGK
α6=γ
(1.14)
nγ
∞
Y
−β(γ −µ)
e
∞
Y
1 + e−β(α −µ)
α=1
α6=γ
e−β(γ −µ)
1 + e−β(γ −µ)
mit dem Endergebnis
hnγ i =
1
eβ(γ −µ)
+1
= fF D (γ , µ)
(1.16)
Die Fermi-Dirac Verteilungsfunktion 1 gibt den Mittelwert für die Besetzung des EinTeilchen-Niveaus γ , wenn das N-Teilchen System im Kontakt mit einem Teilchen-Reservoir
und einem Wärmebad ist, i.e. sind µ und T bestimmt.
Abbildung 1.3: Fermi-Dirac Verteilungsfunktion, fF D (, µ) für zwei verschiedene chemische Potentiale µ und verschiedene Temperaturen T.
Besonderheiten der Fermi-Dirac Verteilungsfunktion
1
Enrico Fermi (1901-1954) und Paul Dirac(1902-1984).
1.2. BOSE-EINSTEIN VERTEILUNGSFUNKTION
9
a) die Besetzung des chemischen Potentiales is 1/2
1
= µ ⇒ fF D (, µ) = .
2
(1.17)
b) bei T = 0K sind alle Zustände unter dem chemischen Potential besetzt, und alle
über dem chemischen Potential unbesetzt
1, < µ
T = 0K ⇒ fF D (, µ) = Θ(µ − ) =
(1.18)
0, > µ
mit Θ(µ − ) die Treppenfunktion.
c) für höhere Energien als µ im Vergleich mit der thermischen Energie kB T , geht die
Fermi-Dirac Verteilungsfunktion in die klassische Maxwell-Boltzmann Verteilung
über
− −µ
− µ kB T ⇒ fF D (, µ) ≈ e kB T = fM B ( − µ).
(1.19)
d) fF D (, µ) ist positiv, aber immer kleiner als 1.
1.2
Bose-Einstein Verteilungsfunktion
Wir werden weiter die Verteilungsfunktion für die zweite Klasse von identischen, ununterscheidbaren Quantenteilchen, die Bosonen, untersuchen.
Auch für die Bosonen wird das Ein-Teilchen-Problem (1.1) als gelöst vorausgesetzt.
Der Unterschied zu den Fermionen ist die Besetzung des Ein-Teilchen-Niveaus:
nαi = 0, oder 1, oder 2, oder 3, ...
(1.20)
Alles läuft ähnlich bis Gl. (1.13), wo für Bosonen nα alle nicht-negativen ganzen Zahlen
durchläuft,
!
∞
∞
Y
X
ZGK =
e−βnα (α −µ)
(1.21)
α=1
nα =0
Die Summe in der obigen Gleichung ist eine geometrische Reihe, die konvergiert für
e−β(α −µ) < 1
zu
∞
X
e−β(α −µ)
nα
nα =0
=
(1.22)
1
1 − e−β(α −µ)
.
(1.23)
Dies ergibt für die großkanonische Zustandssumme
ZGK =
∞ Y
α=1
1
1 − e−β(α −µ)
.
(1.24)
10
KAPITEL 1. SPEZIALTHEMEN IN DER FESTKÖRPERPHYSIK
Die Berechnung des thermodynamischen Erwartungswertes des Besetzungsoperators
für das γ-ten Ein-Teilchen-Zustand läuft ähnlich wie für die Fermionen, aber man muss
die Bedingung (1.20) betrachten
hnγ i
=
(1.6),(1.7)
=
1
ZGK
1
ZGK
∞
X
(r)
P∞
nα =Nr
X
α=1
Nr =0
∞
X
nγ e−β[Er −µNr ] ,
(1.25)
{|ri}
X
−β
nγ e
hP
∞
nα α −µ
P∞
nα (α −µ)
(r)
α=1
P∞
(r)
α=1
nα
i
Nr =0 {n(r) }
α
=
1
ZGK
∞
X
X
nγ e−β
(r)
α=1
=
Nr =0 {n(r) }
∞ X
X
1
ZGK
=
(1.20)+(1.23)
=
(1.24)
=
1 X
ZGK
1
ZGK
P∞
α
−βnγ (γ −µ)
nγ e
nγ
∞
X
X
α=1
nα
nγ e
nγ =1
(r)
e−βnα
(α −µ)
!
∞
Y
α6=γ
∞
Y
−βnγ (γ −µ)
∞
Y
α=1
Nr =0 {n(r) }
α
(1.12)
nγ
α=1
e−βnα (α −µ)
1
1 − e−β(α −µ)
α6=γ
−βnγ (γ −µ)
nγ =1
nγ e
.
1
(1.26)
−β(γ −µ)
1−e
Wir werden weiter den Zähler ausrechnen, mit der Notation x = β(γ − µ)


∞
∞
∞
X
X
X
d
e−xnγ 
nγ e−βnγ (γ −µ) =
nγ e−xnγ = − 
dx n =0
nγ =1
nγ =1
γ
d
1
e−x
(1.22)
=
= −
dx 1 − e−x
(1 − e−x )2
e−β(γ −µ)
=
,
(1 − e−β(γ −µ) )2
(1.27)
so dass die Gl. (1.26)
e−β(γ −µ)
1 − e−β(γ −µ)
wird, mit dem Endergebnis für die Bose-Einstein Verteilungsfunktion
hnγ i =
hnγ i =
1
eβ(γ −µ)
−1
= fBE (γ , µ).
(1.28)
2
(1.29)
Besonderheiten der Bose-Einstein Verteilungsfunktion
a) das chemische Potential muss kleiner als die kleinste Ein-Teilchen-Energie 1 sein
−∞ < µ < 1 ,
2
Satyendra Nath Bose (1894-1974) und Albert Einstein (1879-1955).
(1.30)
1.2. BOSE-EINSTEIN VERTEILUNGSFUNKTION
11
Abbildung 1.4: Bose-Einstein Verteilungsfunktion, fBE (, µ) für das chemische Potential
µ = 0eV und verschiedene Temperaturen T.
= µ ⇒ fBE (, µ) = divergiert
(1.31)
⇒ alle Energien α sind eigentlich als Anregungsenergien betrachtet;
b) für T → 0K das chemische Potential µ des idealen Bose-Gases strebt gegen die
kleinste Ein-Teilchen-Energie 1 und zwar so, dass bei T = 0K der niedrigste EinTeilchen-Zustand makroskopisch besetzt ist (S. [7], 3.1.2)
hn1 i(T = 0K) = N
(1.32)
⇒ Bose-Einstein Kondensation
c) für höheren Energien als µ im Vergleich mit der thermischen Energie kB T , geht die
Bose-Einstein Verteilungsfunktion in die klassische Maxwell-Boltzmann Verteilung
über
− −µ
(1.33)
− µ kB T ⇒ fBE (, µ) ≈ e kB T = fM B ( − µ).
d) fBE (, µ) ist immer positiv, aber kann auch größer als 1 sein. fBE (, µ) ist oft als
Besetzungswahrscheinlichkeit bekannt, aber es muss als mittlere Besetzungszahl des
Ein-Teilchen-Niveaus verstanden werden.
12
KAPITEL 1. SPEZIALTHEMEN IN DER FESTKÖRPERPHYSIK
Tabelle 1.1: Vergleich zwischen verschiedenen Verteilungsfunktionen
Maxwell-Boltzmann
(klassisch)
f () =
Bose-Einstein
(quantenmechanisch)
1
Ae/kB T
identische,
unterscheidbare Teilchen
A ist eine Normierungskonstante
f () =
1
Ae/kB T
−1
identische,
ununterscheidbare
Teilchen mit
ganzzahligem Spin
(Bosonen)
Fermi-Dirac
(quantenmechanisch)
f () =
1
Ae/kB T
+1
identische,
ununterscheidbare
Teilchen mit
halbzahligem Spin
(Fermionen)
Kapitel 2
Vielteilchen Effekte
2.1
Lineare Response-Theorie
Diese Theorie liefert ein allgemeines Schema zur beschreibung der Dynamik linearer Systeme. Es wird die Rede sein, von Effekten, welche linear von der äußeren Kräften abhängen.
Ob sich ein physikalisches System als lineares System verhält, hängt in erster Linie von
der Amplitude der äußeren Kraft ab.[5] Wegen der Vielfalt der möglichen nichtlinearen
Effekte ist keine allgemeine Aussage über die Größe des linearen Bereichs möglich.
2.1.1
Einführung
⇒ betrachte zeitabhängige Prozesse ⇒ Nicht-Gleichgewicht-Prozessen
⇒ berechne Responsefunktionen
Wir betrachten ganz allgemein ein Vielteilchen-System beschrieben durch einen Hamiltonoperator Ĥ0 unter dem Einfluß einer zeitabhängigen äußeren Störung Ĥ1 (t) (Ref.
[3], Sect. 7.6). Der gesamte Hamilton-Operator ist also gegeben durch
Ĥ(t) = Ĥ0 + Ĥ1 (t) = Ĥ0 − Â · F (t),
(2.1)
wobei  einen Operator bezeichnen soll, über den die Störung an das System ankoppelt,
und F (t) kein Operator ist, sondern eine Funktion, die die Zeitabhängigkeit beschreibt.
A und F sind kanonisch konjugierte Größen, [A · F ]SI = J.
Die Störung sei adiabatisch eingefügt, d.h. zur Zeit t = −∞ sei das System im Gleichgewicht. Wir werden eine spezielle Zeitabhängigkeit der Funktion F (t) betrachten, nämlich
F (t) = F0 e−iωt eηt ,
η > 0, η → 0.
(2.2)
Dies is deshalb von besonderer Relevanz, weil man beliebige zeitabhängige Funktionen
durch Fouriertransformation auf diese harmonische Zeitabhängigkeit reduzieren kann.
Man bezeichnet η als adiabatischen Einschaltterm.
limt→−∞ F (t) = 0.
(2.3)
F (t) = F0 e−i(ω+iη)t
(2.4)
Man kann auch schreiben
und dann ist η einer infinitesimaler, kleiner, positiver Imaginärteil der Frequenz.
13
14
KAPITEL 2. VIELTEILCHEN EFFEKTE
2.1.2
Der Dichteoperator
Wir betrachten erst einmal ein Reinzustand |Ψ(t)i.
Es gibt im Schrödinger-Bild zwei äquivalente Beschreibungen für ein System: Beschreibung durch einen Zustandsvektor (Ket-Vektor) |Ψ(t)i oder durch den Dichteoperator D̂(t)
(Ref. [2], Sect. DIII ). Sei ein System, dessen Zustand bei einer beliebige Zeit t ist
X
|Ψ(t)i =
cn (t)|un i,
(2.5)
n
wobei {|un i} eine orthonormale Basis bildet.
Bemerkung {|un i} können auch die Eigenvektoren des ungestörten Hamilton sein
Ĥ0 |un i = n |un i.
Die Koeffizienten cn (t) erfüllen die Normierungsbedingung
X
|cn (t)|2 = 1,
(2.6)
(2.7)
n
welche der Normierung des Zustandes |Ψ(t)i entspricht.
Der Erwartungswert (oder Mittelwert) einer bestimmten physikalischen Größe B ist
durch
B(t) = hB̂i(t) = hΨ(t)|B̂|Ψ(t)i
(2.8)
gegeben, wobei der Ket-Vektor |Ψ(t)i den Zustand des Systems repräsentiert und der
Operator B̂ die Observablen B in der Quantenmechanik darstellt (Ref.[6], Sect.8.1.1).
Man kann weiter schreiben
*
+
X
X
X
hB̂i(t) =
c∗n (t)cp (t)hun |B̂|up i
cn (t)|un i B̂ cp (t)|up i =
n,p
n
p
X
=
c∗n (t)cp (t)Bnp ,
(2.9)
n,p
wobei Bnp = hun |B̂|up i die Matrizenelemente der Observablen B in der |un i-Darstellung
sind.
Die zeitliche Entwicklung des Zustands |Ψ(t)i ist durch die zeitabhängige Schrödinger
Gleichung beschrieben
d
(2.10)
ih̄ |Ψ(t)i = Ĥ(t)|Ψ(t)i
dt
wobei Ĥ(t) der gesamte Hamilton-Operator ist.
Definiere den Dichte-Operator durch
D̂(t) = |Ψ(t)ihΨ(t)|.
(2.11)
Die Matrizenelemente dieses Operators in der {|un i}-Darstellung sind die sogenannten
Dichteoperatormatrizenelemente
Dpn (t) = hup |D̂(t)|un i = hup |Ψ(t)ihΨ(t)|un i
+*
X
X
X
= hup cl (t)|ul i
cm (t)|um i un i =
cl (t)c∗m (t)hup |ul ihum |un i
m
l
l,m
X
∗
∗
(2.12)
=
cl (t)cm (t)δpl δmn = cp (t)cn (t)
l,m
2.1. LINEARE RESPONSE-THEORIE
15
Wir möchten weiter zeigen, dass die Angabe des Dichte-Operators D̂(t) zur Beschreibung des Systems, d.h. zur Berechnung aller meßbaren physikalischen Größen, genügt.
Um das zu beweisen, schreiben wir die Gleichungen (2.7), (2.9) und (2.10) mit Hilfe des
Dichte-Operators
Gl. (2.7):
X
X
|cn (t)|2 =
Dnn (t) = T r{D̂(t)} = 1.
(2.13)
n
n
Gl. (2.9):
hB̂i(t) =
X
X
c∗n (t)cp (t)Bnp =
n,p
Dpn (t)Bnp
n,p
!
=
X X
p
Dpn (t)Bnp
=
n
X X
n
D̂(t) · B̂
Bnp Dpn (t)
=
X
B̂ · D̂(t)
n
p
= T r{D̂(t) · B̂}
(2.14)
= T r{B̂ · D̂(t)}.
(2.15)
pp
p
!
=
X
nn
Gl.(2.10):
d
d
|Ψ(t)i hΨ(t)| + |Ψ(t)i
hΨ(t)|
dt
dt
1
1
Ĥ(t)|Ψ(t)ihΨ(t)| +
|Ψ(t)ihΨ(t)|Ĥ(t)
=
ih̄
(−ih̄)
1
=
[Ĥ(t), D̂(t)].
ih̄
In der Dichte-Operator Darstellung haben wir
d
D̂(t) =
dt
(2.16)
• die Normierungsbedingung
T r{D̂(t)} = 1,
• den Erwartungswert einer Observablen B
hB̂i(t) = T r{D̂(t)B̂} = T r{B̂ D̂(t)},
• die Bewegungsgleichung des Dichte-Operators
ih̄
d
D̂(t) = [Ĥ(t), D̂(t)].
dt
Bemerkungen
• Wir haben einen Reinzustand beschrieben. Der Dichte-Operator, auch der statistische Operator gennant, ist besonders bei der Beschreibung eines statistischen
Gemischs hilfreich.
• Den Dichte-Operator zu kennen, bedeutet daß man alle Matrizenelemente Dnp bei
einer bestimmte Zeit t0 kennt. Die Bewegungsgleichung ist eine praktische Methode,
um die Matrizenelemente bei einer beliebige Zeit t zu berechnen.
!
X
t − t0 X
D̂np (t) = D̂np (t0 ) +
Ĥnm (t0 )D̂mp (t0 ) −
D̂nm (t0 )Ĥmp (t0 )
(2.17)
ih̄
m
m
16
KAPITEL 2. VIELTEILCHEN EFFEKTE
2.2
Lineare Responsefunktion
⇒ Berechnung der thermodynamischen Erwartungswerte bestimmter Operatoren für
kleine Störungen
⇒ Berechnung der linearen Responsefunktionen
Beweiss 1
Ansatz der linearen Response für den Dichte-Operator
D̂(t) = D̂0 + δ D̂(t),
(2.18)
wobei D̂0 der Dichte-Operator ist, durch den (großkanonischen) Operator des thermischen
Gleichgewichts gegeben ist
D̂0 =
1 −β(Ĥ0 −µN̂ )
e
= f (Ĥ0 ).
Z0
(2.19)
Z0 ist die ungestörte Zustandssumme zu Ĥ0 :
Z0 = T r{e−β(Ĥ0 −µN̂ ) } ≡ eβΩ
(2.20)
wobei N̂ die Teilchenzahloperator ist.
Die Bewegungsgleichung für den Dichteoperator wird in der ersten Ordnung der Störung
und seiner Effekte
d
ih̄ δ D̂(t) = [Ĥ0 , δ D̂(t)] − [ÂF (t), D̂0 ],
(2.21)
dt
wobei der Term [ÂF (t), δ D̂(t)] in der zweiten Ordnung der Störung ist und vernachlässigt
wurde und der Term [Ĥ0 , D̂0 ] null ist.
Die Lösung der Gl. (2.21) ist
Z
i
i
i t
dt0 exp[− Ĥ0 · (t − t0 )][ÂF (t0 ), f (Ĥ0 )] exp[ Ĥ0 · (t − t0 )].
(2.22)
δ D̂(t) =
h̄ −∞
h̄
h̄
Wir werden diese Lösung weiter prüfen.
Die Lösung einer allgemeinen Gleichung
ih̄
d
X̂(t) = [Ĥ0 , X̂(t)] − Ŷ (t),
dt
(2.23)
lim Ŷ (t) = 0
(2.24)
mit der Anfangsbedingung
t→−∞
ist
1
X̂(t) = −
ih̄
Z
t
i
i
dt0 exp[− Ĥ0 · (t − t0 )]Ŷ (t0 ) exp[ Ĥ0 · (t − t0 )]
h̄
h̄
−∞
(2.25)
Bemerkung: Das ’-’ Vorzeichen in der Lösung ist wegen dem ’-’ Vorzeichen in dem zweiten
Term in der Gl. (2.23).
Wir setzen die Lösung (2.25) in die Gl. (2.23) ein und benutzen die Identität
Z
Z g(t)
d g(t)
d
d
∂
0
0
h(t , t)dt = h(g(t)) · g(t) − h(f (t)) · f (t) +
h(t0 , t)dt0 ,
(2.26)
dt f (t)
dt
dt
f (t) ∂t
2.2. LINEARE RESPONSEFUNKTION
17
so dass
ih̄
dX̂(t)
dt
=
i
i
0
0
0 − exp[− Ĥ0 · (t − t )] Ŷ (t ) exp[ Ĥ0 · (t − t )]
h̄ {z
|
}
| h̄ {z
}
=1 for t0 =t
=1 for t0 =t
t0 =t
i
+ exp[− Ĥ0 · (t − t0 )]
h̄
=0
Z
t
dt0
−
−∞
Z
−
iĤ0
h̄
!
i
0 0
exp[ Ĥ0 · (t − t )]
Ŷ (t )
| {z }
h̄
for t0 →−∞
t0 →−∞
i
i
exp[− Ĥ0 · (t − t0 )]Ŷ (t0 ) exp[ Ĥ0 · (t − t0 )]
h̄
h̄
t
i
iĤ0
i
dt0 exp[− Ĥ0 · (t − t0 )]Ŷ (t0 )
exp[ Ĥ0 · (t − t0 )]
h̄
h̄
h̄
−∞
Z t
i
i
i
Ĥ0
dt0 exp[− Ĥ0 · (t − t0 )]Ŷ (t0 ) exp[ Ĥ0 · (t − t0 )]
−Ŷ (t) +
h̄
h̄
h̄
−∞
Z t
i
i
0
0
0
0
−
dt exp[− Ĥ0 · (t − t )]Ŷ (t ) exp[ Ĥ0 · (t − t )]Ĥ0
h̄
h̄
−∞
−
=
(2.25)
=
=
−Ŷ (t) + Ĥ0 X̂(t) − X̂(t)Ĥ0
[Ĥ0 , X̂(t)] − Ŷ (t).
q.e.d.
Die Gl.(2.23) ist äquivalent mit der Gl. (2.21) mit folgenden Korrespondenzbeziehungen
X̂(t) ↔ δ D̂(t),
Ŷ (t) ↔ [Â · F (t), D̂0 ]
(2.27)
und wenn man die gleichen Korrespondenzbeziehungen in der Lösung (2.25) benutzt, dann
bekommt man die Lösung (2.22).
Weiter werden wir in der Gl.(2.22) die Spezialform (2.2) der Funktion F (t) benutzen,
und auch die Variablewechseln t0 → t − τ
Z
i ∞
i
i
δ D̂(t) =
dτ exp[− Ĥ0 · τ ][Â · F0 e−i(ω+iη)(t−τ ) , f (Ĥ0 )] exp[ Ĥ0 · τ ].
(2.28)
h̄ 0
h̄
h̄
Für thermodynamische Erwartungswerte gilt dann
δhB̂i(t) = hB̂i(t) − hB̂ieq = T r{B̂ D̂(t)} − T r{B̂ D̂0 } = T r{B̂δ D̂(t)}
Z
i ∞
i
i
= T r{
dτ ei(ω+iη)τ B̂ exp[− Ĥ0 · τ ][Â, f (Ĥ0 )] exp[ Ĥ0 · τ ]}F0 e−i(ω+iη)t
h̄ 0
h̄
h̄
−i(ω+iη)t
= δBe
,
(2.29)
wobei
δB = χB,A F0
(2.30)
und χB,A heißt die lineare Responsefunktion:
Z
i ∞
i
i
χB,A = T r{
dτ ei(ω+iη)τ B̂ exp[− Ĥ0 · τ ][Â, f (Ĥ0 )] exp[ Ĥ0 · τ ]} = χB,A (ω + iη)
h̄ 0
h̄
h̄
(2.31)
18
KAPITEL 2. VIELTEILCHEN EFFEKTE
welche umgeschrieben werden kann in
Z
∞
χB,A (ω + iη) =
dτ ei(ω+iη)τ χB,A (τ )
(2.32)
0
mit
χB,A (τ ) =
i
i
i
T r{B̂ exp[− Ĥ0 · τ ][Â, f (Ĥ0 )] exp[ Ĥ0 · τ ]}
h̄
h̄
h̄
(2.33)
die verallgemeinerte retardierte Responsefunktion.
Beweiss 2
Es ist zweckmässig im sogenannten Wechselwirkungsbild (ein Bild zwischen dem Schrödinger und dem Heisenberg -Bild) zu arbeiten. Für einen Hamiltonoperator (siehe Ref. [3],
Sect.7.6)
Ĥ(t) = Ĥ0 + Ĥ1 (t) = Ĥ0 − Â · F (t)
(2.34)
und für einen beliebigen Operator X̂ im Schrödinger-Bild ist das Wechselwirkungbild also
definiert durch
i
i
X̂W (t) = exp[ Ĥ0 t]X̂S exp[− Ĥ0 t].
h̄
h̄
(2.35)
Für einen Zustand gilt ( Ref.[6], Sect. 8.2.7)
i
|ΨS (t)i = exp[− Ĥ0 t]|ΨW (t)i,
h̄
(2.36)
wobei der Index S das Schrödinger-Bild und W das Wechselwirkungsbild kennzeichnen.
Für den Dichteoperator haben wir
i
i
i
i
D̂S (t) = |ΨS (t)ihΨS (t)| = exp[− Ĥ0 t]|ΨW (t)ihΨW (t)| exp[ Ĥ0 t] = exp[− Ĥ0 t]D̂W (t) exp[ Ĥ0 t],
h̄
h̄
h̄
h̄
(2.37)
so dass
i
i
D̂W (t) = exp[ Ĥ0 t]D̂S (t) exp[− Ĥ0 t].
h̄
h̄
(2.38)
Die Bewegungsgleichung für den Dichteoperator im Wechselwirkungsbild bekommt
2.2. LINEARE RESPONSEFUNKTION
19
man ducrh die Zeitableitung der vorherigen Gleichung:
i
i
i
i
d
i
=
Ĥ0 exp[ Ĥ0 t]D̂S (t) exp[− Ĥ0 t] + exp[ Ĥ0 t]
D̂S (t) exp[− Ĥ0 t]
h̄
h̄
h̄
h̄
dt
h̄
i
i
i
+ exp[ Ĥ0 t]D̂S (t) − Ĥ0 exp[− Ĥ0 t]
h̄
h̄
h̄
i
i
1
i
(2.16)
=
Ĥ0 D̂W (t) + exp[ Ĥ0 t] [HS (t), DS (t)] exp[− Ĥ0 t]
h̄ h̄
ih̄
h̄
i
i
i
+ −
exp[ Ĥ0 t]D̂S (t) exp[− Ĥ0 t]Ĥ0
h̄
h̄
h̄
i
1
i
i
i
=
Ĥ0 D̂W (t) + exp[ Ĥ0 t] HS (t)DS (t) − DS (t)HS (t) exp[− Ĥ0 t] − D̂W (t)Ĥ0
h̄
ih̄
h̄
h̄
h̄
i
i
i
i
Ĥ0 D̂W (t) − exp[ Ĥ0 t] Ĥ0 − ÂF (t) DS (t) exp[− Ĥ0 t]
=
h̄
h̄
h̄
h̄
i
i
i
i
+ exp[ Ĥ0 t]DS (t) Ĥ0 − ÂF (t) exp[− Ĥ0 t] − D̂W (t)Ĥ0
h̄
h̄
h̄
h̄
i
i
i
i
i
i
i
=
Ĥ0 D̂W (t) − Ĥ0 exp[ Ĥ0 t]DS (t) exp[− Ĥ0 t] + exp[ Ĥ0 t]ÂDS (t) exp[− Ĥ0 t]F (t)
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
i
i
i
i
i
i
i
+ exp[ Ĥ0 t]DS (t) exp[− Ĥ0 t]Ĥ0 − exp[ Ĥ0 t]D̂S (t)Â exp[− Ĥ0 t]F (t) − D̂W (t)Ĥ0
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
i
i
i
i
i
=
Ĥ0 D̂W (t) − Ĥ0 D̂W (t) + exp[ Ĥ0 t]ÂDS (t) exp[− Ĥ0 t]F (t)
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
i
i
i
i
i
+ DW (t)Ĥ0 − exp[ Ĥ0 t]D̂S (t)Â exp[− Ĥ0 t]F (t) − D̂W (t)Ĥ0
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
i
i
i
i
i
= + exp[ Ĥ0 t]Â exp[− Ĥ0 t] exp[ Ĥ0 t]DS (t) exp[− Ĥ0 t]F (t)
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
i
i
i
i
i
− exp[ Ĥ0 t]D̂S (t) exp[− Ĥ0 t] exp[ Ĥ0 t]Â exp[− Ĥ0 t]F (t).
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
i
=
ÂW (t)D̂W (t) − D̂W (t)ÂW (t) F (t)
h̄
i
ih
=
ÂW (t), D̂W (t) F (t)
(2.39)
h̄
Die Anfangsbedingung wird
d
D̂W (t)
dt
i
i
D̂W (t → −∞) = exp[ Ĥ0 t]D̂S (t → −∞) exp[− Ĥ0 t]
h̄
h̄
i
i
= exp[ Ĥ0 t]D̂0 exp[− Ĥ0 t]
h̄
h̄
i
i
= D̂0 exp[ Ĥ0 t] exp[− Ĥ0 t]
h̄
h̄
= D̂0 .
(2.40)
Die Gl.(2.39) ist mit der Anfangsbedingung (2.40) zu lösen und kann in die äquivalente
Integralgleichung
Z
h
i
i t
D̂W (t) = D̂0 +
dt0 ÂW (t0 ), D̂W (t0 ) F (t0 )
(2.41)
h̄ −∞
überführt werden. Explizit erhählt man als iterative Lösung für D̂W (t):
20
KAPITEL 2. VIELTEILCHEN EFFEKTE
• 0-te Ordnung:
D̂W (t) = D̂0
(2.42)
• 1-te Ordnung:
i
D̂W (t) = D̂0 +
h̄
Z
t
h
i
dt0 ÂW (t0 ), D̂0 F (t0 )
(2.43)
−∞
• 2-te Ordnung:
#
Z t0
h
i
i
dt0 ÂW (t0 ), D̂0 +
dt00 ÂW (t00 ), D̂0 F (t00 ) F (t0 )
h̄ −∞
−∞
Z
h
i
i t
= D̂0 +
dt0 ÂW (t0 ), D̂0 F (t0 )
h̄ −∞
Z t
Z t0
h
i
1
0
00
0
00
− 2
dt
dt ÂW (t ), [ÂW (t ), D̂0 ] F (t00 )F (t0 ).
(2.44)
h̄ −∞
−∞
i
D̂W (t) = D̂0 +
h̄
Z
"
t
In der linearen Response-Theorie bricht man diese Entwicklung nach der 1-te Ordnung
ab, nähert also den zeitabhängigen Nichtgleichgewichts Dichte-Operator durch
Z
h
i
i t
dt0 ÂW (t0 ), D̂0 F (t0 ).
(2.45)
D̂W (t) = D̂0 +
h̄ −∞
Für den gesuchten Erwartungswert des Operators B erhählt man dann
hB̂i(t)
=
T r{B̂S D̂S (t)} = T r{e−iĤ0 t/h̄ eiĤ0 t/h̄ B̂S e−iĤ0 t/h̄ eiĤ0 t/h̄ D̂S (t)}
=
T r{eiĤ0 t/h̄ B̂S e−iĤ0 t/h̄ eiĤ0 t/h̄ D̂S (t)e−iĤ0 t/h̄ } = T r{B̂W (t)D̂W (t)}(2.46)
|
{z
}|
{z
}
B̂W (t)
(2.45)
=
=
D̂W (t)
t
h
i
i
0
0
0
T r B̂W (t) D̂0 +
dt ÂW (t ), D̂0 F (t )
h̄ −∞
Z
n
h
io
i t
0
0
T r{B̂W (t)D̂0 } +
dt T r B̂W (t) ÂW (t ), D̂0 F (t0 ).
|
{z
} h̄ −∞
Z
(2.47)
hB̂iD0
Hierbei wurde die zyklische Vertauschung-Invarianz unter der Spur benutzt.
Weiter gilt
Z t
hB̂i(t) − hB̂iD0 = δhB̂i(t) =
dt0 F (t0 )χB,A (t, t0 ),
(2.48)
−∞
wobei χB,A (t, t0 ) die verallgemeinerte retardierte Responsefunktion ist.
n
o
i
0
0
0
χB,A (t, t ) =
T r B̂W (t) ÂW (t )D̂0 − D̂0 ÂW (t )
h̄
i
=
T r{B̂W (t)ÂW (t0 )D̂0 − D̂0 ÂW (t0 )B̂W (t)}
h̄
i
=
T r{B̂W (t)ÂW (t0 )D̂0 − ÂW (t0 )B̂W (t)D̂0 }
h̄
i
=
T r{[B̂W (t), ÂW (t0 )], D̂0 }
h̄
i
=
h[B̂W (t), ÂW (t0 )]iD0 .
h̄
(2.49)
(2.50)
2.2. LINEARE RESPONSEFUNKTION
21
Weiter möchten wir zeigen, dass die Responsefunktion nur von der Zeitdifferenz t − t0
abhängt
n
o
i
iĤ0 t/h̄
−iĤ0 t/h̄ iĤ0 t0 /h̄
−iĤ0 t0 /h̄
iĤ0 t0 /h̄
−iĤ0 t0 /h̄ iĤ0 t/h̄
−iĤ0 t/h̄
Tr e
B̂e
e
Âe
−e
Âe
e
B̂e
D̂0
χB,A (t, t ) =
h̄
n
o
i
0
0
0
0
=
T r eiĤ0 ·(t−t ) B̂e−iĤ0 ·(t−t ) Â − e−iĤ0 ·(t−t ) ÂeiĤ0 ·(t−t ) B̂ D̂0
h̄
= χB,A (t − t0 ).
(2.51)
0
In der Gl. (2.48) können wir die Variable wechseln t − t0 → τ
Z
n
o
i ∞
iĤ0 τ
−iĤ0 τ
−iĤ0 τ
iĤ0 τ
δhB̂i(t) =
dτ T r e
B̂e
 − e
Âe
B̂ D̂0 F (t − τ )
h̄ 0
Z ∞
i
=
dτ h[B̂W (τ ), Â]iD0 F (t − τ ).
(2.52)
h̄ 0
Für die spezielle Zeitabhängigkeit (2.2) ergibt sich
Z
i ∞
δhB̂i(t) =
dτ h[B̂W (τ ), Â]iD0 F0 e−i(ω+iη)·(t−τ )
h̄
0Z ∞
i
i(ω+iη)τ
=
dτ h[B̂W (τ ), Â]iD0 e
F0 e−i(ω+iη)t ,
h̄ 0
(2.53)
so dass
δhB̂i(t) = χB,A (ω + iη)F0 e−i(ω+iη)t .
(2.54)
Die frequenzabhängige Responsefuntion heißt auch die retardierte B-A Korrelationsfunktion.
Z
i ∞
χB,A (ω + iη) =
dτ h[B̂W (τ ), Â]iD0 ei(ω+iη)τ
(2.55)
h̄ 0
Beweiss 1 ist äquivalent mit der Beweiss 2
δhB̂i(t)
(2.29)
δBe−i(ω+iη)t
(2.30)
χB,A F0 e−i(ω+iη)t
Z ∞
i
i
i
i(ω+iη)τ
Tr
dτ e
B̂ exp[− Ĥ0 · τ ][Â, f (Ĥ0 )] exp[ Ĥ0 · τ ] F0 e−i(ω+iη)t
h̄ 0
h̄
h̄
(2.56)
=
=
(2.31)
=
δhB̂i(t)
(2.54)
=
(2.55)
=
χB,A (ω + iη)F0 e−i(ω+iη)t
Z
i ∞
dτ h[B̂W (τ ), Â]iD0 ei(ω+iη)τ F0 e−i(ω+iη)t
h̄ 0
(2.57)
22
KAPITEL 2. VIELTEILCHEN EFFEKTE
Gl.(2.57) is äquivalent mit der Gl. (2.56):
δhB̂i(t)
(2.57)
=
(2.15)
=
(2.19)
=
=
=
=
=
i
h̄
Z
∞
dτ h[B̂W (τ ), Â]iD0 ei(ω+iη)τ F0 e−i(ω+iη)t
0
Z
i
i
i
i
i ∞
i(ω+iη)τ
Ĥ
τ
−
Ĥ
τ
Ĥ
τ
−
Ĥ
τ
0
0
0
0
Tr
dτ e
e h̄ B̂e h̄ Â − Âe h̄ B̂e h̄
D̂0 F0 e−i(ω+iη)t
h̄ 0
Z ∞
i
i
i
i
i
i(ω+iη)τ
Ĥ
τ
−
Ĥ
τ
Ĥ
τ
−
Ĥ
τ
0
0
0
0
Tr
dτ e
e h̄ B̂e h̄ Â − Âe h̄ B̂e h̄
f (Ĥ0 ) F0 e−i(ω+iη)t
h̄ 0
Z ∞
i
i
i
i
i(ω+iη)τ
− h̄i Ĥ0 τ
Ĥ
τ
−
Ĥ
τ
Ĥ
τ
0
0
0
Tr
dτ e
B̂e
Âf (Ĥ0 )e h̄
− B̂e h̄ f (Ĥ0 )Âe h̄
F0 e−i(ω+iη)t
h̄ 0
Z ∞
i
i
i
i(ω+iη)τ
− h̄i Ĥ0 τ
Ĥ
τ
Ĥ
τ
Tr
dτ e
B̂e
Âf (Ĥ0 )e h̄ 0 − f (Ĥ0 )Âe h̄ 0
F0 e−i(ω+iη)t
h̄
Z0 ∞
i
i
i(ω+iη)τ
− h̄i Ĥ0 τ
Ĥ0 τ
h̄
dτ e
B̂e
Tr
Âf (Ĥ0 ) − f (Ĥ0 )Â e
f (Ĥ0 ) F0 e−i(ω+iη)t
h̄ 0
Z ∞
i
i
i(ω+iη)τ
− h̄i Ĥ0 τ
Ĥ
τ
0
Tr
dτ e
B̂e
[Â, f (Ĥ0 )]e h̄
F0 e−i(ω+iη)t = (2.56)
q.e.d.
h̄ 0
2.3
Beispiele
2.3.1
Überblick
• zeitabhängige Probleme
Ĥ(t) = Ĥ0 + Ĥ1 (t) = Ĥ0 − ÂF (t);
F (t) = F0 e−i(ω+iη)t
• Dichte-Operator in der linearen Response-Theorie
D̂(t) = D̂0 + δ D̂(t)
i
δ D̂W (t) =
h̄
Z
t
dt0 [ÂW (t0 ), D̂0 ]F (t0 )
−∞
• der Erwartungswert einer Observablen B̂ in der linearen Response-Theorie
hB̂i(t) = hB̂iD0 + δhB̂i(t)
Z ∞
i
i(ω+iη)τ
δhB̂i(t) =
dτ h[B̂W (τ ), Â]iD0 e
F0 e−i(ω+iη)t
h̄ 0
|
{z
}
retardierte B-A Korrelationsfunktion
Bemerkung: τ = t − t0 ; τ ∈ [0, ∞) ⇒ 0 < t − t0 < ∞ ⇒ −∞ < t0 < t ⇒ Der Begriff
”retardiert” bringt zum Ausdruck, dass der Wert des Erwartungswertes hB̂i(t) zur
Zeit t nur vom Wert der Störung ÂW (t0 ) zu früheren Zeiten t0 < t, was physikalisch
der Kausalität entspricht, beeinflußt werden kann.
2.3. BEISPIELE
2.3.2
23
Dichte-Dichte Korrelationsfunktion
Betrachten wir ein N-Elektronensystem unter einem elektrischen Wechselfeld. Ein elektrisches Feld koppelt über die Teilchendichte ρ(r) an ein System aus geladenen Teilchen
an, so dass der Viel-Teilchen Hamilton-Operator sei
Z
Ĥ(t) = Ĥ0 − e d3 r ρ̂(r)Vext (r, t)
(2.58)
Vext (r, t) = lim Vext (r)e−i(ω+iη)t
η→0
(2.59)
Der Mittelwert des Operator der Teilchendichte ist
hρ̂(r)i(t) = ρ0 (r) + δρ(r, t).
(2.60)
 ↔ ρ̂(r 0 )
F0 ↔ Vext (r 0 )
B̂ ↔ ρ̂(r)
(2.61)
Korespondenzen:
Z
⇒
δρ(r, t) =
d3 r 0 Π(r, r 0 )Vext (r 0 , t),
(2.62)
wobei die Polarisation Π(r, r 0 ) durch die retardierte Dichte-Dichte Korrelationsfunktion
gegeben ist
Z
i ∞
0
Π(r, r ) =
dτ h[ρ̂W (r, τ ), ρ̂(r 0 )]iD0 ei(ω+iη)τ
(2.63)
h̄ 0
Z
n
o
i ∞
i(ω+iη)τ
0
=
dτ e
T r [ρ̂W (r, τ ), ρ̂(r )]D̂0
h̄ 0
Z ∞
n i
o
i
− h̄i Ĥ0 τ
i(ω+iη)τ
Ĥ0 τ
− h̄i Ĥ0 τ
0
0 h̄i Ĥ0 τ
h̄
dτ e
Tr e
=
ρ̂(r)e
ρ̂(r ) − ρ̂(r )e
ρ̂(r)e
f (Ĥ0 )
h̄ 0
Z ∞
X
i
i
i
=
dτ ei(ω+iη)τ
hψ|e h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r)e− h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r 0 )f (Ĥ0 )|ψi
h̄ 0
{|ψi}
i
i
−hψ|ρ̂(r 0 )e h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r)e− h̄ Ĥ0 τ f (Ĥ0 )|ψi
(2.64)
|ψi sind Viel-Teilchen Zustände (Vektoren). Um die Rechnungen weiter druchzuführen,
brauchen wir die Wirkung der oben gennanten Operatoren auf die Ein-Teilchen Vektoren.
Diese Wirkungen können wir nur in der zweiten Quantizierung detaliert berechnen. Wir
werden hier nur die Ergebnisse schreiben
X
X
f (Ĥ0 )|ψi −→
fF D (α )|ϕα i
α
{|ψi}
X
e
i
Ĥ τ
h̄ 0
|ψi −→
{|ψi}
i
e h̄ α τ |ϕα i
α
{|ψi}
X
X
i
hψ|e h̄ Ĥ0 τ −→
X
α
i
hϕα |e h̄ α τ ,
(2.65)
24
KAPITEL 2. VIELTEILCHEN EFFEKTE
wobei |ϕα i und α die Ein-Teilchen-Zustände und Energien sind, und α indiziert diese
Zustände.
Gl. (2.64) wird
Z
X i
i
i ∞
0
Π(r, r ) =
dτ ei(ω+iη)τ
e h̄ α τ hϕα |ρ̂(r)e− h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r 0 )|ϕα ifF D (α )
h̄ 0
α
0 h̄i Ĥ0 τ
− h̄i α τ
−hϕα |ρ̂(r )e
ρ̂(r)|ϕα ie
fF D (α ) (2.66)
Wir benutzen jetzt die Vollständigkeitsrelation (auch Abgeschlossenheitsrelation)
X
|ϕα0 ihϕα0 | = 1.
(2.67)
α0
Eingesetzt in Gl.(2.66) folgt
Z
X i
i
i ∞
0
dτ ei(ω+iη)τ
e h̄ α τ hϕα |ρ̂(r)|ϕα0 ihϕα0 |e− h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r 0 )|ϕα ifF D (α )
Π(r, r ) =
h̄ 0
α,α0
i
i
−hϕα |ρ̂(r 0 )e h̄ Ĥ0 τ |ϕα0 ihϕα0 |ρ̂(r)|ϕα ie− h̄ α τ fF D (α )
i
=
h̄
∞
Z
dτ ei(ω+iη)τ
0
X
i
α,α0
−e
=
i
h̄
∞
Z
i
e h̄ α τ hϕα |ρ̂(r)|ϕα0 ie− h̄ α0 τ hϕα0 |ρ̂(r 0 )|ϕα ifF D (α )
dτ ei(ω+iη)τ
0
X
i
τ
h̄ α0
0
− h̄i α τ
hϕα |ρ̂(r )|ϕ ihϕ |ρ̂(r)|ϕα ie
α0
α0
fF D (α )
i
e h̄ (α −α0 )τ fF D (α )hϕα |ρ̂(r)|ϕα0 ihϕα0 |ρ̂(r 0 )|ϕα i
α,α0
i
−e h̄ (α0 −α )τ fF D (α )hϕα |ρ̂(r 0 )|ϕα0 ihϕα0 |ρ̂(r)|ϕα i
(2.68)
Im zweiten Term tauschen wir α ↔ α0 , sodass
Z
X i
i ∞
0
Π(r, r ) =
dτ ei(ω+iη)τ
e h̄ (α −α0 )τ fF D (α )hϕα |ρ̂(r)|ϕα0 ihϕα0 |ρ̂(r 0 )|ϕα i
h̄ 0
α,α0
i
−e h̄ (α −α0 )τ fF D (α0 )hϕ0α |ρ̂(r 0 )|ϕα ihϕα |ρ̂(r)|ϕ0α i
i
=
h̄
Z
0
∞
dτ ei(ω+iη)τ
X
i
e h̄ (α −α0 )τ hϕα |ρ̂(r)|ϕα0 ihϕα0 |ρ̂(r 0 )|ϕα i (fF D (α ) − fF D (α0 ))
α,α0
(2.69)
Die Zeitintegration kann durchgeführt werden:
∞
Z ∞
i
i
1
dτ ei(ω+iη)τ e h̄ (α −α0 )τ = i
e h̄ (α −α0 +h̄ω+ih̄η)τ ( − α0 + h̄ω + ih̄η)
0
h̄ α
0
1
= −i
(2.70)
( − α0 + h̄ω + ih̄η)
h̄ α
weil limτ →∞ e−ητ = 0 für η > 0.
2.3. BEISPIELE
25
Die Polarisation, Gl.(2.69), wird
Π(r, r 0 ) = −
X fF D (α ) − fF D (α0 )
hϕα |ρ̂(r)|ϕα0 ihϕα0 |ρ̂(r 0 )|ϕα i.
0 + h̄(ω + iη)
−
α
α
α,α0
(2.71)
Als Übung kann der Leser beweisen, dass die retardierte B-A Korrelationsfunktion durch
χB,A (ω + iη) = −
X fF D (α ) − fF D (α0 )
hϕα |B̂|ϕα0 ihϕα0 |Â|ϕα i
α − α0 + h̄(ω + iη)
0
α,α
(2.72)
gegeben ist.
Der Teilchendichte-Operator ist gegeben durch (S. [2], Sect. III.D)
ρ̂(r) = |rihr|
(2.73)
und (S. [2], Sect. II.E.1.c, Gl. (E-8-a))
hϕα |ri = ϕ∗α (r)
hr|ϕα i = ϕα (r)
(2.74)
(2.75)
sodass die Polarisation eine Funktion der Ein-Teilchen Wellenfunktionen wird
Π(r, r 0 ) = −
X fF D (α ) − fF D (α0 )
ϕ∗α (r)ϕα0 (r)ϕ∗α0 (r 0 )ϕα (r 0 )
0
−
+
h̄(ω
+
iη)
α
α
α,α0
Anwendung
Die gesamte Teilchendichteänderung in einem begrenzten Volumen ist
Z
1 d
δq(t, ω) =
δρ(z)e−i(ω+iη)t = δq(ω)e−i(ω+iη)t
S −d
(2.76)
(2.77)
Wenn das System an einer Seite geschlossen ist, dann ist der Strom, der durch andere
Seite fliesst, gegeben durch
δJ(t, ω) = −
edδq(t, ω)
= ieωδq(ω)e−i(ω+iη)t .
dt
(2.78)
Die komplexe Impedanz ist gegeben durch
Z(ω) =
δU (t, ω)
δU
=
δJ(t, ω) · S
ieωδq(ω)
(2.79)
wobei δU (t) = δU e−i(ω+iη)t die externe Spannung, die an das System gelegt wird, ist.
2.3.3
Strom-Dichte Korrelationsfunktion
Wie im vorherigen Beispiel betrachten wir ein N-Elektronensystem in einem elektrischen
Wechselfeld. Das elektrische Feld koppelt über die Teilchendichte ρ(r) an ein System aus
geladenen Teilchen, so dass der Viel-Teilchen Hamilton-Operator sich ergibt zu
Z
Ĥ(t) = Ĥ0 − e d3 r ρ̂(r)Vext (r, t),
(2.80)
26
KAPITEL 2. VIELTEILCHEN EFFEKTE
Vext (r, t) = lim Vext (r)e−i(ω+iη)t .
η→0
(2.81)
Der Mittelwert des Stromdichteoperators ist:
hĵl (r)i(t) = j0,l (r) + δjl (r, t),
l = x, y, z.
(2.82)
Korrespondenzen:
 ↔ ρ̂(r 0 )
F0 ↔ Vext (r 0 )
B̂ ↔ ĵl (r).
Z
⇒ δjl (r, t) =
d3 r 0 Πl (r, r 0 )Vext (r 0 , t),
(2.83)
(2.84)
wobei die lineare Response-Funktion durch die retardierte Strom-Dichte Korrelationsfunktion gegeben ist
Z
i ∞
0
Πl (r, r ) =
dτ h[ĵl,W (r, τ ), ρ̂(r 0 )]iD0 ei(ω+iη)τ .
(2.85)
h̄ 0
Zur Darstellung durch Ein-Teilchen Vektoren benutzt man die Gl. (2.72)
X fF D (α ) − fF D (α0 )
Πl (r, r 0 ) = −
hϕα |ĵl (r)|ϕα0 ihϕα0 |ρ̂(r 0 )|ϕα i,
α − α0 + h̄(ω + iη)
α,α0
(2.86)
wobei wir die Abhängigkeit von ω + iη nicht mehr explizit geschrieben haben.
Der Stromdichteoperator ist gegeben durch (S. [2], Sect. III.D.1.β, Gl. (D-19))
1
(|rihr|p̂l + p̂l |rihr|)
(2.87)
2m
wobei der Impulsoperator in der r-Darstellung durch (S. [2], Sect.II.E, Gl. (E-26))
ĵl (r) =
p̂ =
h̄
∇ = −ih̄∇
i
(2.88)
gegeben ist.
Bemerkung: Der Stromdichteoperator (2.87) ist eigentlich ein Teilchenstromdichteoperator, weil die Ladungen der Teilchen nicht explizit enthalten sind.
Es gelten auch die folgende Gleichungen (S. [2], Sect.Complement D.II, Gl.(9))
h̄ ∂
ϕα (r),
i ∂rl
h̄ ∂ ∗
hϕα |p̂l |ri = −
ϕ (r),
i ∂rl α
hr|p̂l |ϕα i =
(2.89)
(2.90)
sodass
1
(hϕα |rihr|p̂l |ϕα0 i + hϕα |p̂l |rihr|ϕα0 i)
2m 1
h̄ ∂
h̄ ∂ ∗
∗
=
ϕα (r)
ϕα0 (r) + −
ϕ (r) ϕα0 (r)
2m
i ∂rl
i ∂rl α
∂
∂ ∗
h̄
∗
=
ϕα (r) ϕα0 (r) − ϕα0 (r) ϕα (r) ,
2im
∂rl
∂rl
hϕα |ĵl (r)|ϕα0 i =
(2.91)
(2.92)
2.3. BEISPIELE
27
0
Bitte beachten Sie ”das Spiel” der Indizes
α und α , sodass man für den Stromdichteopeh̄
rator nicht durch m
Im ϕ∗α (r) ∂r∂ l ϕα0 (r) darstellen kann.
Weiterhin gilt
hϕα0 |ρ̂(r 0 )|ϕα i = hϕα0 |r 0 ihr 0 |ϕα i
= ϕ∗α0 (r 0 )ϕα (r 0 ).
(2.93)
(2.94)
Gl.(2.86) wird somit zu
X fF D (α ) − fF D (α0 ) h̄ ∂
∂ ∗
∗
Πl (r, r ) = −
ϕα (r) ϕα0 (r) − ϕα0 (r) ϕα (r) ϕ∗α0 (r 0 )ϕα (r 0 )
0
−
+
h̄(ω
+
iη)
2im
∂rl
∂rl
α
α
α,α0
0
(2.95)
was der endgültigen Form der Strom-Dichte Korrelationsfunktion entspricht.
2.3.4
Strom-Strom Korrelationsfunktion
Betrachten wir nun ein N-Elektronensystem in einem transversalen elektrischen Wechselfeld. Ein transversal elekrtisches Feld wird beschrieben durch ein Vektorpotential (S. [4],
Sect.3.1.1)
ω
ET = i AT .
(2.96)
c
Wir werden im Weiteren den oberer Index T weg lassen.
Ein Vektor-Potential A koppelt über die Stromdichte j(r) an ein System aus geladenen
Teilchen, sodass der Viel-Teilchen Hamilton-Operator sich ergibt zu
Z
(−e)
d3 r ĵl (r)Aext,l (r, t),
(2.97)
Ĥ(t) = Ĥ0 −
c
Aext,l (r, t) = lim Aext,l (r)e−i(ω+iη)t ,
η→0
l = x, y, z.
(2.98)
In der Gl. (2.97) benutzen wir die Einsteinsche Summationsregeln: es wird über merhfach
auftretende Indizes summiert.
Wir berechnen den Mittelwert des Stromdichteoperators:
hĵm (r)i(t) = j0,m (r) + δjm (r, t),
m = x, y, z.
(2.99)
Korrespondenzen:
 ↔ ĵl (r 0 )
F0 ↔ Aext,l (r 0 )
(2.100)
B̂ ↔ ĵm (r).
Z
⇒ δjm (r, t) =
d3 r 0 χml (r, r 0 )Aext,l (r 0 , t),
(2.101)
wobei die lineare Response-Funktion durch die retardierte Strom-Strom Korrelationsfunktion gegeben ist
Z
(−e) i ∞
0
dτ h[ĵm,W (r, τ ), ĵl (r 0 )]iD0 ei(ω+iη)τ .
(2.102)
χml (r, r ) =
c h̄ 0
28
KAPITEL 2. VIELTEILCHEN EFFEKTE
ist derselbe Vorfaktor wie im Hamiltonoperator (2.97).
Der Vorfaktor (−e)
c
Zur Darstellung durch Ein-Teilchen Vektoren benutzt man die Gl. (2.72)
χml (r, r 0 ) = −
(−e) X fF D (α ) − fF D (α0 )
hϕα |ĵm (r)|ϕα0 ihϕα0 |ĵm (r 0 )|ϕα i,
c α,α0 α − α0 + h̄(ω + iη)
(2.103)
wobei wir die Abhängigkeit von ω + iη nicht mehr explizit geschrieben haben.
Wenn wir Gl. (2.92) benutzen, kommen wir zur endgültigen Form der Strom-Strom
Korrelationsfunktion
(−e) X fF D (α ) − fF D (α0 )
c α,α0 α − α0 + h̄(ω + iη)
h̄
∂
∂ ∗
∗
ϕα (r)
ϕα0 (r) − ϕα0 (r)
ϕ (r)
×
2im
∂rm
∂rm α
h̄
∗
0 ∂
0
0 ∂
∗
0
×
ϕα0 (r ) 0 ϕα (r ) − ϕα (r ) 0 ϕα0 (r ) .
2im
∂rl
∂rl
χml (r, r 0 ) = −
(2.104)
Kapitel 3
Zweite Quantisierung
• höchst anschaulische Beschreibung
• starke Vereinfachung der Beschreibung von Viel-Teilchen-Systemen
• das Prinzip Ununterscheidbarkeit läßt sich auf wenige fundamentale Komutatoren
zurückführen
3.1
Eindimensionaler harmonischer Oszillator
Wir werden den Weg aus den Ref.[1] verfolgen.
• klassiche Hamiltonian
p2
mω 2 2
H=
+
x
2m
2

p → p̂

x → x̂
• Quantifizierung:

[x̂, p̂] = ih̄
⇒ Ĥ =
p̂2
mω 2 2
+
x̂
2m
2
(3.1)
(3.2)
• Schrödinger-Gleichung in darstellungsfreier Form
Ĥ|νi = Eν |νi
(3.3)
• Ortsdarstellung, i.e. man kennt x̂|xi = x|xi
(3.3) ⇒ hx|Ĥ|νi = Eν hx|νi
p̂2
mω 2 2
⇒ hx|
+
x̂ |νi = Eν hx|νi
2m
2
1
mω 2
⇒
hx|p̂2 |νi +
hx|x̂2 |νi = Eν hx|νi
2m
2
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Weiter benutzen wir die Gl. (2.75) und (2.89) für den eindimensionalen Fall:
hx|νi = ψν (x)
h̄ d
hx|p̂|νi =
ψν (x),
i dx
29
(3.7)
(3.8)
30
KAPITEL 3. ZWEITE QUANTISIERUNG
sodass die obere Gleichung zum
2
h̄ d
mω 2 2
1
ψν (x) +
x ψν (x) = Eν ψν (x)
2m i dx
2
h̄2 d2
mω 2 2
⇒ −
+
x ψν (x) = Eν ψν (x)
2m dx2
2
(3.9)
(3.10)
wird, die die Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung ist. Die Lösung dieser Gleichung
ist bekannt (S. Ref. [2], Complement BV ) und ist mit Hilfe der Hermitschen-Polynome
gegeben
γ 1/4
γ 2
1
√
ψν (x) = ψn (x) =
e− 2 x Hn (x γ),
(3.11)
n
1/2
π
(2 n!)
mit n = 0, 1, 2, · · · , und γ =
kursionsformeln: [6],Sect.B.3
mω
.
h̄
Die Hermitschen-Polynome erfüllen die folgenden Re-
dHn (x)
= 2nHn−1 (x),
dx
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x).
(3.12)
(3.13)
Weiter rechnen wir die Ableitung der Funktion ψn (x)
√
γ 1/4
dψn (x)
γ
1
√
− γ2 x2
− γ2 x2 dHn (x γ)
=
e
− 2xe
Hn (x γ)
dx
2
dx
π
(2n n!)1/2
h γ 2
γ 1/4
1
√ √
√ i
−2x
− γ2 x2
=
e
2nH
(x
γ)
γ
−
γxe
H
(x
γ)
n−1
n
π
(2n n!)1/2
γ 1/4
γ 2
1
√ √
2ne− 2 x Hn−1 (x γ) γ
=
n−1
1/2
π
(22 n(n − 1)!)
γ 1/4
γ 2
1
√
−
γxe− 2 x Hn (x γ)
n
1/2
π
(2 n!)
√
2n γ
= √ ψn−1 (x) − γxψn (x)
2n
√
= (2γ)1/2 nψn−1 (x) − γxψn (x),
(3.14)
die umgeschrieben werden kann als
√
1
dψn (x) (−ih̄)
+
γxψ
(x)
=
nψn−1 (x).
n
dx (−ih̄)
(2γ)1/2
Weiter wird die oberen Gleichung geschrieben als
"
#
i
d
γ 1/2
−ih̄
+
x ψn (x) = n1/2 ψn−1 (x)
1/2
dx
2
h̄ (2γ)
(3.15)
(3.16)
oder in der expliziten Ortsdarstellungsform, i.e. ψn (x) = hx|ni
hx|
i
1/2
h̄ (2γ)
p̂ +
γ 1/2
2
x̂|ni = n1/2 hx|n − 1i,
(3.17)
3.1. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
31
sodass, man in der darstellungfreie Form schreiben kann
#
"
γ 1/2
i
p̂ +
x̂ |ni = n1/2 |n − 1i.
1/2
2
h̄ (2γ)
(3.18)
Mit anderen Worten, wir haben ein Operator  gefunden
 =
γ 1/2
x̂,
p̂
+
2
h̄ (2γ)1/2
i
(3.19)
der auf einen Zustand |ni folgender Masse wirkt
Â|ni = n1/2 |n − 1i.
(3.20)
Analog, wenn man von der Rekursionsformeln (3.13) ausgeht, bekommt man einen anderen Operator B̂ mit der Wirkung
B̂|ni = (n + 1)1/2 |n + 1i,
mit
B̂ = −
(3.21)
i
γ 1/2
p̂
+
x̂ = Â+ ,
1/2
2
h̄ (2γ)
(3.22)
wobei Â+ der hermitesch konjugierte Operator von  ist. So sind wir zu den anderen zwei
Operatoren gekommen!
Weiter notieren wir  = â und Â+ = ↠, die zwei sehr wichtige Operatoren für die
zweite Quantisierung darstellen.
3.1.1
Eigenschaften der Operatoren â und â†
Die Definitionen
γ 1/2
p̂
+
x̂
2
h̄ (2γ)1/2
γ 1/2
−i
=
p̂ +
x̂.
2
h̄ (2γ)1/2
â =
â†
i
(3.23)
(3.24)
Der Komutator
"
[â, ↠] =
i
γ 1/2
−i
γ 1/2
#
p̂ +
x̂,
p̂ +
x̂
2
2
h̄ (2γ)1/2
h̄ (2γ)1/2
γ 1/2
γ 1/2
i
i
=
[p̂,
x̂]
−
[x̂], p̂]
| {z } h̄ (2γ)1/2 2
| {z }
h̄ (2γ)1/2 2
−ih̄
=
ih̄
i
i
1 1
(−ih̄) − ih̄ = + .
h̄2
h̄2
2 2
⇒ [â, ↠] = 1
(3.25)
32
KAPITEL 3. ZWEITE QUANTISIERUNG
Aus den Definitionen (3.23) und (3.24) kann man durch Addition und Subtraktion die
Operatoren p̂ und x̂ bekommen
1/2
1
↠+ â
x̂ =
2γ
γ 1/2
p̂ = ih̄
↠− â ,
2
(3.26)
(3.27)
mit denen sich der Hamiltonian Ĥ (3.2) als Funktion von â und ↠darstellen läßt
2 mω 2 1
2
γ
1
(−h̄2 ) ↠− â +
↠+ â
2m
2
2 2γ
mω 2 1 h̄ 2
2
2
−h̄ 1 mω
=
↠− ↠â − â↠+ â2 +
↠+ ↠â + â↠+ â2
2m 2 h̄
2 2 mω
h̄ω
h̄ω †
1
†
†
†
†
=
2â â + 2ââ =
â â + 1 + â â = h̄ω â â +
4
2
2
Ĥ =
1
⇒ Ĥ = h̄ω â â +
2
†
.
(3.28)
Das Problem für einen harmonischer Oszillator kann man auch durch die Gl.(3.28)
mit der Komuttator (3.25) darstellen.
3.1.2
Besetzungszahloperator N̂ = ↠â
Definieren wir den Operator
N̂ = ↠âN̂ = ↠â
(3.29)
Eigenschaften:
• [Ĥ, N̂ ] = 0
• N̂ ist hermitesch
N̂ + = ↠â
+
= (â)+ â†
+
= ↠â = N̂
(3.30)
⇒ die Eigenwerte sind reel.
• das Eigenwertproblem sieht so aus
N̂ |ϕi = nϕ |ϕi,
(3.31)
wo die Eigenwerte nϕ ∈ R und die Eigenvektoren |ϕi zu finden sind. Man kann
annehmen, dass die Eigenvektoren, wenn sie existieren, normiert sind hϕ|ϕi = 1.
Die Eigenwerte des Operators N̂
hϕ|N |ϕi = hϕ|nϕ |ϕi = nϕ hϕ|ϕi = nϕ
= hϕ|↠â|ϕi = (â|ϕi, â|ϕi) = ||â|ϕi||2 ≥ 0
|
{z
}
Skalarprodukt
(3.32)
(3.33)
3.1. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
⇒ nϕ ≥ 0
33
(3.34)
•[N̂ , â] = [↠â, â] = ↠[â, â] + [↠, â] â = −â ⇒ [N̂ , â] = −â.
| {z }
=−1
†
†
• Analog [N̂ , â ] = â .
Lassen wir [N̂ , â] auf ein Eigenvektor des Operators N̂ wirken
[N̂ , â]|ϕi = −â|ϕi
= N̂ â|ϕi − âN̂ |ϕi = N̂ â|ϕi − ânϕ |ϕi
(3.35)
(3.36)
⇒ N̂ â|ϕi = (nϕ − 1)â|ϕi.
(3.37)
Wenn wir notieren â|ϕi = |ψi, dann haben wir N̂ |ψi = (nϕ − 1)|ψi was bedeutet, dass
|ψi (i.e. â|ϕi) Eigenvektor des Operators N̂ , aber für den Eigenwert nϕ − 1 ist.
Man kann [N̂ , â] auch auf den Vektor |ψi = â|ϕi wirken lassen
[N̂ , â]|ψi = −â|ψi
= N̂ â|ψi − âN̂ |ψi = N̂ â|ψi(nϕ − 1)|ψi
(3.38)
(3.39)
⇒ N̂ â|ψi = (nϕ − 2)â|ψi
(3.40)
⇒ â|ψi (i.e. â2 |ϕi) ist auch ein Eigenvektor des Operators N̂ , aber für den Eigenwert
nϕ − 2. Man kann das weiter treiben, und man bekommt
|ϕi ist Eigenvektor des Operators N̂ für den Eigenwert
â|ϕi
â2 |ϕi
···
âj |ϕi
···
nϕ
⇒ N̂ |ϕi = nϕ |ϕi
nϕ − 1 ⇒ N̂ |ψi = (nϕ − 1)|ψi
nϕ − 2
···
nϕ − j
···
Aber alle Eigenwerte nϕ − j müssen die Bedingung (3.34) erfüllen, weil sie Eigenwerte
des Operators N̂ sind. Das bedeutet die oberen Reihe kann nur bis ânϕ gehen, und dann
folgt
N̂ (ânϕ |ϕi) = 0(ânϕ |ϕi),
(3.41)
⇒ nϕ kann nur eine natürliche Zahl sein.
(3.42)
Die Vernichtungs- und Erzeugungs-Operatoren
Weil die Eigenwerte des Operators natürliche Zahlen sind, können wir das Eigenwertproblem (3.31) umschreiben als
N̂ |ni = n|ni.
(3.43)
n wird als Besetzungzahl bezeichnet und N̂ als Besetzungszahloperator.
34
KAPITEL 3. ZWEITE QUANTISIERUNG
Mit dieser Bezeichnung können wir weiter schreiben
(3.37)
N̂ |ni = n|ni ⇒ N̂ â|ni = (n − 1)â|ni.
(3.44)
Aber wir haben auch das Eigenwertproblem für den Eigenwert n − 1
N̂ |n − 1i = (n − 1)|n − 1i,
(3.45)
sodass aus den beiden Gleichungen folgt
⇒ â|ni = Cn |n − 1i.
(3.46)
Die Konstante Cn wird aus der Normierung bestimmt
hn|↠â|ni = |Cn |2 hn − 1|n − 1i = |Cn |2
hn|↠â|ni = hn|N̂ |ni = nhn|ni = n
√
⇒ Cn = n
(3.47)
â|ni = n1/2 |n − 1i
(3.48)
â wird als Vernichtungsoperator bezeichnet.
Man kann auch die Identität [N̂ , ↠] = ↠benutzen und das durch die Gl.(3.35)-(3.40)
beschriebene Verfahren folgen lassen, sodass
|ϕi
↠|ϕi
2
↠|ϕi
···
† j
â |ϕi
···
ist Eigenvektor des Operators N̂ für den Eigenwert
ist Eigenvektor des Operators N̂ für den Eigenwert
ist Eigenvektor des Operators N̂ für den Eigenwert
ist Eigenvektor des Operators N̂ für den Eigenwert
nϕ
⇒ N̂ |ϕi = nϕ |ϕi
nϕ + 1
nϕ + 2
···
nϕ + j
···
Dann folgt
N̂ |ni = n|ni ⇒ N̂ ↠|ni = (n + 1)↠|n + 1i.
(3.49)
Aber wir haben auch das Eigenwertproblem für den Eigenwert n + 1
N̂ |n + 1i = (n + 1)|n + 1i,
(3.50)
sodass aus den beiden Gleichungen folgt
⇒ ↠|ni = Cn+1 |n + 1i,
(3.51)
wobei die Konstante Cn+1 aus der Normierung bestimmt wird
hn|â↠|ni
⇒ Cn+1
hn|â↠|ni
√
= n + 1.
=
(3.25)
=
|Cn+1 |2 hn + 1|n + 1i = |Cn+1 |2
hn|N̂ + 1|ni = n + 1hn|ni = n + 1
↠|ni = (n + 1)1/2 |n + 1i .
(3.52)
(3.53)
↠wird als Erzeugungsoperator bezeichnet.
Die Operatoren â und ↠ändern die ”Teilchenzahl” n gerade um 1.
Bemerkung Für den harmonischen Oszillator beschreibt die ”Teilchenzahl” die Anzahl
n der Quanten h̄ω in dem Zustand n, in dem sich der Oszillator befindet!
3.1. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
3.1.3
35
Darstellung des Grundzustandes
Auf Grund der Gl. (3.41) und (3.42) kann man davon ausgehen, es existiert der Vektor
|0i, genannt der Grundzustand, sodass
a|0i = 0|0i.
(3.54)
• die Energie des Oszillators im Grundzustand
1
h0|Ĥ|0i = h0|h̄ω(↠a + )|0i
2


1
= h̄ω h0|↠a|0i + h0|0i
2 | {z }
=1
1
= h̄ω (a|0i, a|0i) + h̄ω
2
1
= h̄ω · 0 · h0|0i + h̄ω
2
1
⇒ h0|Ĥ|0i = h̄ω
2
(3.55)
• wenn der Grundzustand existiert, dan kann man eine explizite Form in einer Darstellung
finden ⇒ Ortsdarstellung ψ0 (x)
0|0i ≡ 0 ⇒ hx|â|0i = 0
(3.23)
⇒ hx|
(3.56)
i
γ 1/2
p̂
+
x̂|0i = 0.
2
h̄ (2γ)1/2
(3.57)
Weiter gelten die Gleichungen
hx|x̂|0i = xψ0 (x)
h̄ d
hx|p̂|0i =
ψ0 (x),
i dx
(3.58)
(3.59)
sodass
γ 1/2
h̄ d
ψ
(x)
+
xψ0 (x) = 0
0
2
h̄ (2γ)1/2 i dx
d
⇒
ψ0 (x) = −γxψ0 (x)
dx
γ 2
⇒ ψ0 (x) = Ce− 2 x .
i
Die Konstante C wird durch die Normierung bestimmt:
√
Z ∞
Z ∞
γ 1/4
π
2
−γx2
2
−γx2
2
C
dxe
= 2C
dxe
= 2C √ = 1 ⇒ C =
2 γ
π
−∞
0
⇒ ψ0 (x) = hx|0i =
γ 1/4
π
γ
e− 2 x
2
(3.60)
(3.61)
(3.62)
36
KAPITEL 3. ZWEITE QUANTISIERUNG
3.1.4
Darstellung der Eigenvektoren
Auf Grund der Gl. (3.53) kann man die Eigenzustände des Operators N̂ aus dem Grundzustand ableiten
↠|n − 1i = n1/2 |ni
1 †
⇒ |ni =
â |n − 1i
1/2
n
1
1
† 2
=
â
|n − 2i
n1/2 (n − 1)1/2
..
.
⇒ |ni =
n
1
↠|0i
1/2
(n!)
(3.63)
Übungen:
1. Zeigen Sie, dass die Gl. (3.63) in der Orstdarstellung zu der Lösung (3.11) mit den
Hermitschen-Polynomen führt. (Hinweis: Ref.[2], Sect. Complement BV ,2.c.)
2. Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen
Ĥâ|ϕe i = (e − 1)â|ϕe i
Ĥ↠|ϕe i = (e + 1)↠|ϕe i
(3.64)
(3.65)
wobei Ĥ|ϕe i = e|ϕe i, korrekt sind.
3.2
Viel-Teilchen Systeme: zweite Quantisierung
Das Ein-Teilchen Problem
Ein Elektron im Potential V (r)
p̂2
+ V̂
Hamiltonoperator ĥ = 2m
Eigenwertproblem ĥ|ϕi = |ϕi
Energie-Spektrum: α , α = 0, 1, 2, 3, ....
Eigenvektoren: |ϕα i
Orts-Darstellung hr|ϕα i = ϕα (r)
Das Viel-Teilchen Problem in der erste Quantisierung
N-Elektronen System, ohne Wechselwirkung
P
PN
Hamiltonoperator Ĥ (I) = N
i=1 hi =
i=1 h(ri )
i ”indiziert” die Teilchen und deren ”Koordinate”.
Eigenwertproblem (in der Orts-Darstellung) Ĥ (I) ΨR (r1 , r2 , ..., rN ) = ER ΨR (r1 , r2 , ..., rN ).
Bemerkungen
• die Anzahl der Teilchen im System ist N . Die Teilchen sind Elektronen.
3.2. VIEL-TEILCHEN SYSTEME: ZWEITE QUANTISIERUNG
37
• jedes Elektron befindet sich in einem Ein-Teilchen Zustand ”α”
• für Elektronen kann entweder jeder Zustand ”α” besetzt oder unbesetzt sein: PauliPrinzip
(R)
nα = die Anzahl der Elektronen im Zustand ”α”, wenn das Gesamt-System sich
im N-Teilchen Zustand R befindet.
(R)
(R)
nα = 1 oder nα = 0
⇒ es existieren N Ein-Teilchen Zustände, die besetzt sind α1 , α2 , ..., αN (es bedeutet
nicht, dass das Elektron i sich im Zustand αi befindet).
P
Energie-Spektrum ER = N
i=1 αi (i.e. Summe über alle besetzten Zustände mit deren
entsprechenden Energien.)
Die Elektronen sind identische Teilchen (ununterscheidbar) ⇒ die Elektronen könen
keine Etikkete tragen ⇒ der Eigenvektor in der Orstdarstellung ist die Slater-Determinante
(S. Ref. [2] Kap. XIV)
ϕα (r1 ) ϕα (r1 ) · · · ϕα (r1 ) 1
2
N
1 ϕα1 (r2 ) ϕα2 (r2 ) · · · ϕαN (r2 ) ΨR (r1 , r2 , ..., rN ) = √ ..
..
..
.
.
···
.
N ! ϕα1 (rN ) ϕα2 (rN ) · · · ϕαN (rN ) (jedes Elektron kann jeden Zustand αi besetzen)
Das Viel-Teilchen System in der zweiten Quantisierung
Das Ein-Teilchen Eigenwertproblem ĥϕα (r) = α ϕα (r) definiert ein Feld ϕ(r), genannt
Feld der Schrödinger Gleichung.
Man kann die Feld-Quantizierungsmethode benutzen, um das Feld der Schrödinger
Gleichung zu beschreiben. Diese Methode erlaubt die Besetzungszahlendarstellung.
Z
N
X
(I)
(II)
Ĥ =
ĥi −→ Ĥ
= drψ̂ † (r)ĥψ̂(r),
(3.66)
i=1
wobei
ψ̂ † (r) =
X
ψ̂(r) =
X
ĉ†α ϕ∗α (r)
(3.67)
ĉα ϕα (r)
(3.68)
α
α
sind die Feld-Operatoren (Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren).
α indiziert die Ein-Teilchen Zustände, α = 0, 1, 2, ...
ĉα , ĉ†α sind die Vernichtungs und Erzeugungs-Operatoren der Ein-Teilchen Zustände
der Elektronen:
h
i
†
ĉα , ĉβ
= ĉα ĉ†β + ĉ†β ĉα = δαβ ,
(3.69)
+
[ĉα , ĉβ ]+ = 0,
h
i
†
†
ĉα , ĉβ
= 0.
+
(3.70)
(3.71)
38
KAPITEL 3. ZWEITE QUANTISIERUNG
Man integriert in (3.66) über r, sodass die Ortsinformation verloren geht; die in der
zweite Quantisierung nicht mehr wichtig ist.
Eigenwertproblem
Ĥ (II) |Ψi = ER |Ψi
(3.72)
Eigenvektoren
|Ψi = |Ri =
O
(R)
(R)
(R)
|n(R)
α i = |n0 i ⊗ |n1 i ⊗ |n2 i
O
(R)
|n3 i ⊗ · · ·
(3.73)
α
Bemerkungen
• diese Form entspricht dem Pauli-Prinzip
• man arbeitet jetzt mit (Energie)Eigenzustände und man betrachtet deren Besetzung, egal mit welchem Elektron (i.e. der Elektron ”i” ist nicht im Zustand ”αi ”).
• natürlich sind nur N der Zustände α besetzt
Allgemein kann man die folgenden Regeln für die Operatoren in der zweite Quantisierung benutzen
Z
X
(I)
(II)
Ô =
ôi −→ Ô
= drψ̂ † (r)ôψ̂(r)
(3.74)
i
Ŵ
(I)
=
X
ŵij −→ Ŵ
(II)
Z
=
Z
dr
dr0 ψ̂ † (r)ψ̂ † (r0 )ŵ(r, r0 )ψ̂(r0 )ψ̂(r)
(3.75)
i,j
Rechnungsbeispiel: Teilchenzahl-Operator N̂
X †
N̂ =
cβ cβ
(3.76)
β
N̂ |Ψi = N |Ψi
(3.77)
Einsetzen der Form (3.73)
O
(R)
(R)
(R)
(R)
(R)
(R)
†
†
(R)
cβ cβ
|nα i = cβ cβ |n0 i ⊗ |n1 i ⊗ |n2 i ⊗ · · · ⊗ |nβ−1 i ⊗ |nβ i ⊗ |nβ+1 i ⊗ · · ·
α
(R)
(R)
(R)
(R)
(R)
= |n0 i ⊗ |n1 i ⊗ |n2 i ⊗ · · · ⊗ |nβ−1 i ⊗ c†β cβ |nβ i |nβ+1 i ⊗ · · ·
(R)
(R)
(R)
(R)
(R) (R)
(R)
= |n0 i ⊗ |n1 i ⊗ |n2 i ⊗ · · · ⊗ |nβ−1 i ⊗ nβ |nβ i |nβ+1 i ⊗ · · ·
(R)
(R)
(R)
(R)
(R)
(R)
(R)
= nβ |n0 i ⊗ |n1 i ⊗ |n2 i ⊗ · · · ⊗ |nβ−1 i ⊗ |nβ i ⊗ |nβ+1 i ⊗ · · ·
O
(R)
= nβ
|n(R)
(3.78)
α i
α
!
N̂
O
α
|n(R)
α i
=
X
β
(R)
nβ
O
α
|n(R)
α i
=
X
(R)
nβ
O
|n(R)
α i
(3.79)
α
β
(3.80)
Damit ist der Eigenwert des Teilchenzahloperators
X (R)
⇒N =
nβ
β
und N ist genau die Anzahl der Teilchen im System!
(3.81)
3.3. ANWENDUNG AUF DIE LINEARE RESPONSE THEORIE
3.3
3.3.1
39
Anwendung auf die Lineare Response Theorie
Dichte-Dichte Korrelationsfunktion
Wir möchten die Gl.(2.62) und die Polarisation (2.63) in der zweiten Quantisierung durchrechnen.
Man schreibt den Teilchendichteoperator, in der ersten Quantisierung als
ρ̂
(I)
=
N
X
δ(r − ri )
(3.82)
i=1
und in der zweiten Quantisierung, entsprechend der Regeln (3.74),
Z
(II)
ρ̂ (r) = dr0 ψ̂ † (r0 )δ(r − r0 )ψ̂(r0 ),
(3.83)
wobei ψ̂ † und ψ̂ in der Gl. (3.67)-(3.68) zusammen mit (3.69)-(3.71) definiert sind. Damit
hat man
Z
X
X
(II)
ĉβ ϕβ (r0 )
ρ̂ (r) =
dr0
ĉ†α ϕ∗α (r0 )δ(r − r0 )
α
=
X
=
X
β
Z
ĉ†α ĉβ
dr0 ϕ∗α (r0 )δ(r − r0 )ϕβ (r0 )
α,β
ĉ†α ĉβ ϕ∗α (r)ϕβ (r).
(3.84)
α,β
Der Viel-Teilchen Hamiltonoperator in der zweiten Quantisierung für nicht wechselwirkenden Elektronen ist
X
X
ĥα .
(3.85)
α ĉ†α ĉα =
Ĥ0 =
α
α
Π(r, r0 ) =
h
i
(II)
ρ̂W (r, τ ), ρ̂(II) (r0 )
i
h̄
Z
∞
dτ
0
=
(2.35)
=
(3.84)
=
X
h
i
(II)
hΨ|D̂0 ρ̂W (r, τ ), ρ̂(II) (r0 ) |Ψiei(ω+iη)τ
{|Ψi}
(II)
(II)
ρ̂W (r, τ )ρ̂(II) (r0 ) − ρ̂(II) (r0 )ρ̂W (r, τ )
i
i
i
i
e h̄ Ĥ0 τ ρ̂(II) (r)e− h̄ Ĥ0 τ ρ̂(II) (r0 ) − ρ̂(II) (r0 )e h̄ Ĥ0 τ ρ̂(II) (r)e− h̄ Ĥ0 τ
X
X †
i
i
e h̄ Ĥ0 τ
ĉ†α ĉα0 ϕ∗α (r)ϕα0 (r)e− h̄ Ĥ0 τ
ĉβ ĉβ 0 ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )
α,α0
−
X
β,β 0
ĉ†β ĉβ 0 ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )e
X
i
Ĥ τ
h̄ 0
X
i
ĉ†α ĉα0 ϕ∗α (r)ϕα0 (r)e− h̄ Ĥ0 τ
α,α0
β,β 0
=
(3.86)
i
i
ϕ∗α (r)ϕα0 (r)ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )e h̄ Ĥ0 τ ĉ†α ĉα0 e− h̄ Ĥ0 τ ĉ†β ĉβ 0
α,α0 ,β,β 0
−
X
i
i
ϕ∗α (r)ϕα0 (r)ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )ĉ†β ĉβ 0 e h̄ Ĥ0 τ ĉ†α ĉα0 e− h̄ Ĥ0 τ
α,α0 ,β,β 0
(3.87)
40
KAPITEL 3. ZWEITE QUANTISIERUNG
In der letzten Gleichung haben wir ausgenutzt dass die Funktionen ϕα (r) eigentlich als
Koeffizienten in der Entwicklungen (3.67)-(3.68) auftreten. Die Operatoren ĉ†α und ĉα
wirken auf die entsprechenden Besetzungszahleigenvektor |nα i. Deswegen dürfen wir deren
Plätze tauschen.
Weiter schreiben wir die Identität
i
i
i
i
i
i
e h̄ Ĥ0 τ ĉ†α ĉα0 e− h̄ Ĥ0 τ = e h̄ Ĥ0 τ ĉ†α e− h̄ Ĥ0 τ e h̄ Ĥ0 τ ĉα0 e− h̄ Ĥ0 τ ,
(3.88)
sodass wir Ausdrücke der Form
1
1
1 3
1 2
1 2
Â
−Â
e B̂e
=
1 + Â + Â + · · · B̂ 1 − Â + Â − − Â + · · ·
1!
2!
1!
2!
3!
1
1
1
= B̂ + ÂB̂ − B̂ Â − ÂB̂ Â + Â2 B̂ + B̂ Â2 + · · ·
1!
2!
2!
1 1
= B̂ + [Â, B̂] + +
Â(ÂB̂ − B̂ Â) − (ÂB̂ − B̂ Â)Â + · · ·
1!
2!
h
i 1 h h
ii
1
1
= B̂ + [Â, B̂] + +
Â, [Â, B̂] +
Â, Â, [Â, B̂] + · · ·
(3.89)
1!
2!
3!
brauchen. Sodass,
e
i
Ĥ τ
h̄ 0
− h̄i Ĥ0 τ
ĉα0 e
1 i
i
i
= ĉα0 +
Ĥ0 τ, ĉα0 +
Ĥ0 τ, Ĥ0 τ, ĉα0 + · · ·
h̄
2! h̄
h̄
(3.90)
Zuerst rechnen wir
i
Ĥ0 τ, ĉα0
h̄
(3.85)
=
X
γ ĉ†γ ĉγ , ĉα0
γ


=
iτ X  †

γ ĉγ [ĉγ , ĉα0 ]+ − [ĉ†γ , ĉα0 ]+ ĉγ 
| {z } | {z }
h̄ γ
=0
=
i
i
Ĥ0 τ, Ĥ0 τ, ĉα0
h̄
h̄
=
=
=
=δγ,α0
iτ
− ĉα0 α0
h̄
i
iτ
Ĥ0 τ, − ĉα0 α0
h̄
h̄
iτ
i
− α0
Ĥ0 τ, ĉα0
h̄
h̄
2
iτ
− α0 ĉα0 ,
h̄
(3.91)
(3.92)
sodass die obere Gl. zu
e
i
Ĥ τ
h̄ 0
− h̄i Ĥ0 τ
ĉα0 e
1
= ĉα0 +
1!
2
iτ
1
iτ
− α0 ĉα0 +
− α0 ĉα0 + · · ·
h̄
2!
h̄
i
= e− h̄ α0 τ ĉα0
(3.93)
wird. Analog gilt
i
i
i
e h̄ Ĥ0 τ ĉ†α e− h̄ Ĥ0 τ = e h̄ α τ ĉ†α .
(3.94)
3.3. ANWENDUNG AUF DIE LINEARE RESPONSE THEORIE
41
Die Gl.(3.88) wird dann
i
i
i
e h̄ Ĥ0 τ ĉ†α ĉα0 e− h̄ Ĥ0 τ = e h̄ (α −α0 )τ ĉ†α ĉα0
und weiter (3.87) wird
h
i
(II)
ρ̂W (r, τ ), ρ̂(II) (r0 ) =
X
(3.95)
i
e h̄ (α −α0 )τ ϕ∗α (r)ϕα0 (r)ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )ĉ†α ĉα0 ĉ†β ĉβ 0
α,α0 ,β,β 0
i
X
−
e h̄ (α −α0 )τ ϕ∗α (r)ϕα0 (r)ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )ĉ†β ĉβ 0 ĉ†α ĉα0
α,α0 ,β,β 0
=
X
i
e h̄ (α −α0 )τ ϕ∗α (r)ϕα0 (r)ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )[ĉ†α ĉα0 , ĉ†β ĉβ 0 ].
α,α0 ,β,β 0
(3.96)
Wir brauchen den Kommutator auszurechnen:
[ĉ†α ĉα0 , ĉ†β ĉβ 0 ] = ĉ†α ĉα0 ĉ†β ĉβ 0 − ĉ†β ĉβ 0 ĉ†α ĉα0
= ĉ†α ĉα0 ĉ†β ĉβ 0 + ĉ†α ĉ†β ĉα0 ĉβ 0 − ĉ†α ĉ†β ĉα0 ĉβ 0 − ĉ†α ĉ†β ĉβ 0 ĉα0 + ĉ†α ĉ†β ĉβ 0 ĉα0
+ĉ†β ĉ†α ĉβ 0 ĉα0 − ĉ†β ĉ†α ĉβ 0 ĉα0 − ĉ†β ĉβ 0 ĉ†α ĉα0
= ĉ†α [ĉα0 , ĉ†β ]+ ĉβ 0 − ĉ†α ĉ†β [ĉα0 , ĉβ 0 ]+ + [ĉ†α , ĉ†β ]+ ĉβ 0 ĉα0 − ĉ†β [ĉ†α , ĉβ 0 ]+ ĉα0
= ĉ†α ĉβ 0 δα0 β − ĉ†β ĉα0 δαβ 0
(3.97)
Einsetzen in (3.96) und danach in (3.86) zusammen mit dem Ausdruck für D0 (2.19) und
(2.20) ergibt
Z
X
i ∞
0
Π(r, r ) =
dτ ei(ω+iη)τ
e−β(ER −µN +Ω)
h̄ 0
{|Ψi}
X i
e h̄ (α −α0 )τ ϕ∗α (r)ϕα0 (r)ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )(ĉ†α ĉβ 0 δα0 β − ĉ†β ĉα0 δαβ 0 )|Ψi
hΨ|
=
i
h̄
α,α0 ,β,β 0
∞
i(ω+iη)τ
X
0
{|Ri}
Z
dτ e
X
e−β(ER −µN +Ω)
i
e h̄ (α −α0 )τ ϕ∗α (r)ϕα0 (r)ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )
α,α0 ,β,β 0
× hR|ĉ†α ĉβ 0 |Riδα0 β − hR|ĉ†β ĉα0 |Riδαβ 0 .
(3.98)
Wir brauchen die Ausdrücke in der Klammer auszurechnen:
O
O (R)
†
0
hR|ĉ†α ĉβ 0 |Ri =
hn(R)
|ĉ
ĉ
|nγ 0 i
β
γ
α
γ
hR|ĉ†β ĉα0 |Ri
γ0
= n(R)
α δα,β 0
(3.99)
(R)
nβ δβ,α0
(3.100)
=
In den oberen Formeln haben wir ausgenutzt dass der Operator ĉα nur auf |nα i wirkt.
Wenn die Besetzungszahlen für den Zustand ”α” unterschiedlich für die ket und bra Vektoren sind, dann ist das Skalarprodukt 0. Damit entsprechen die einzigen nichtverschindenden Beiträge den Kombinationen α = β 0 (entsprechend β = α0 ) und die resultierenden
Besetzungszahlen sind nα (nβ ).
42
KAPITEL 3. ZWEITE QUANTISIERUNG
Die Gl.(3.98) wird
Z
X
X i
i ∞
0
Π(r, r ) =
dτ ei(ω+iη)τ
e−β(ER −µN +Ω)
e h̄ (α −α0 )τ ϕ∗α (r)ϕα0 (r)ϕ∗β (r0 )ϕβ 0 (r0 )
h̄ 0
α,α0 ,β,β 0
{|Ri}
(R)
× n(R)
α δα,β 0 δα0 β − nβ δβ,α0 δαβ 0
Z
X i
X
i ∞
(R)
=
dτ ei(ω+iη)τ
e h̄ (α −β )τ ϕ∗α (r)ϕβ (r)ϕ∗β (r0 )ϕα (r0 )
e−β(ER −µN +Ω) n(R)
−
n
α
β
h̄ 0
α,β
{|Ri}
Z
X i
i ∞
=
dτ ei(ω+iη)τ
e h̄ (α −β )τ (n̄α − n̄β ) ,
(3.101)
h̄ 0
α,β
wobei
n̄α = T r{D̂0 n̂α } =
X
hR|D̂0 ĉ†α ĉα |Ri =
{|Ri}
=
X
X
e−β(ER −µN +Ω) hR|ĉ†α ĉα |Ri
{|Ri}
e−β(ER −µN +Ω) n(R)
α
(3.102)
{|Ri}
ist die mittlere Wert der Besetzung des Zustands α, i.e. die Warscheinlichkeit, dass der
Zustand α besetzt ist. Wir haben auch
e−β(Ĥ0 −µN̂ +Ω) |Ri = e−β(ER −µN +Ω) |Ri
(3.103)
Für Elektronen
n̄α
=
X X
· · · nα e−β
P∞
γ=0 (γ −µ)nγ
e−βΩ i
n1 =0,1 n2 =0,1
(1.15)
=
hnα i = fF D (α , µ)
(3.104)
In Gl.(3.101) können wir die Integration über τ durchführen,
Z ∞
Z ∞
i
i(ω+iη)τ h̄i (α −β )τ
dτ e
e
=
dτ e h̄ (α −β +h̄(ω+iη))τ
0
0
τ =∞
i
h̄
1
=
e h̄ (α −β +h̄(ω+iη))τ i α − β + h̄(ω + iη)
τ =0
h̄
1
= −
.
(3.105)
i α − β + h̄(ω + iη)
Für die Konvergenz dieser Gleichung braucht man den adiabatischen Einschaltparameter
η > 0, sodass
i
lim e h̄ h̄iητ = lim e−ητ = 0.
(3.106)
τ →∞
τ →∞
Einsetzen der Gl.(3.105) in die Gl.(3.101) ergibt die finale Form der Polarisation, i.e. die
Lineare Response Funktion,
X
n̄α − n̄β
Π(r, r0 , ω) = −
ϕ∗α (r)ϕβ (r)ϕ∗β (r0 )ϕα (r0 ).
(3.107)
−
+
h̄(ω
+
iη)
α
β
α,β
Bemerkungen: Das 0 −0 Zeichen kommt von der Zeitintegration (3.105). Die ϕα (r) sind
die Ein-Teilchen Zustände der Elektronen für den ungestörten Hamiltonoperator Ĥ0 (3.85)
und n̄α sind deren Besetzungen (auch von Ĥ0 bestimmt).
Literaturverzeichnis
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[2] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloë. Quantum Mechanics. John Wiley & Sons,
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