Kompaktkurs Physik
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1 Aufgaben & Lösungen Kompaktkurs Physik Dozenten: Ralf Albrecht E-Mail: [email protected] Dr. Lothar Groesch E-Mail: [email protected] Dr. Wolfgang Schmid E-Mail: [email protected] Dr. Wolf Wölfel E-Mail: [email protected] 2 Anleitung und Hinweise zum Lösen von Aufgaben Bei der Lösung von Physikaufgaben ist es wichtig, immer nach demselben Schema = Rezept vorzugehen. Folgende 7 SCHRITTE ZUR LŐSUNG werden empfohlen: 1. SKIZZE Machen Sie eine Skizze mit den gegebenen und gesuchten Größen, und ergänzen Sie diese entsprechend, z.B. Kräftezerlegung bei der schiefen Ebene. 2. LISTE und EINHEITEN Machen Sie eine Liste der gegebenen und gesuchten Größen und rechnen Sie diese in SI-Einheiten um. 3. SCHLŰSSELWORTE Analysieren Sie den Aufgabentext auf physikalische Stichworte wie Beschleunigung, Kreisbahn, Kraft, Arbeit, Energie, Impuls, Stoß, etc. 4. ANALYSE Analysieren Sie die Begriffe weiter, z.B. - welche Art von Bewegung (Translation, Drehbewegung, gleichförmig, beschleunigt, Kreisbewegung …?), - welche Kräfte (Schwerkraft, Hangabtrieb, Reibung, Zentrifugalkraft …?); - welche Form von Arbeit / Energie (Lageenergie, Reibungsarbeit …?) 5. FORMELSAMMLUNG Suchen Sie mittels der Stichworte die entsprechenden Formeln in der Formelsammlung, z.B. beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit, Zentrifugalkraft, Energieerhaltung, Impulserhaltung. 6. LŐSUNGSGLEICHUNGEN Setzen Sie die gegebenen Größen in die Formeln ein: Haben Sie so viele Gleichungen wie Unbekannte? Falls nicht, müssen Sie überlegen, welche physikalische Bedingung bzw. Formel noch fehlt. 7. ALGEBRAISCHE LŐSUNG Nun können Sie die Gleichungen algebraisch lösen, z.B. bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten: eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und diese in die andere Gleichung einsetzen. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten: - Gleichungen mit Buchstaben lösen, Zahlenwerte erst in Endformel einsetzen. - Wenn Sie Zahlenwerte einsetzen, sind die Einheiten zu verifizieren. Rechnen Sie Zwischenwerte aus – das vereinfacht die Gleichungen. - Gruppieren Sie die Lösung in „Zahlenwerte“, „Zehnerpotenzen“ und „Einheiten“. Wenn Sie die Zahlenwerte in SI-Einheiten in die Lösungsformeln eingesetzt haben, erhalten Sie das Ergebnis automatisch in der richtigen SI-Einheit. 3 INHALTÜBERSICHT MECHANIK Statik Kräftezerlegung Kinematik: Translationsbewegungen Drehbewegungen Kreisbewegungen Zusammengesetzte Bewegungen Dynamik des Massenpunktes: Newtonsches Grundgesetz, Kräfte Kreisbewegungen, Zentrifugalkraft Gravitation Arbeit, Energie, Leistung Impulssatz & Rückstoß Impulserhaltung, Stöße Dynamik von Starrkörpern: Drehmoment, Schwerpunktsatz Massenträgheitsmoment Drehimpulssatz, Drehimpulserhaltung ELEKTRIZITÄTSLEHRE Ladungen, Coulomb-Kraft Elektrisches Feld, Plattenkondensator Einfache Stromkreise und Netzwerk SCHWINGUNGEN 4 MECHANIK STATIK: ÜBUNGSAUFGABEN # 1: Woran erkennt man im Kräftepolygon, dass Gleichgewicht herrscht? # 2: Eine 5 N schwere Lampe hängt an einem Seil. Es hängt 20 cm durch – die Befestigungen sind 4 m entfernt. Wie groß sind die Zugkräfte, wenn der Aufhängepunkt a) mittig ist, b) das Seil im Verhältnis 1:3 teilt? # 3: Ein 1 m langer Stab ist am unteren Ende gelenkig an einer Wand befestigt. An seinem oberen Ende, das waagrecht über ein 50 cm langes Seil mit der Wand verbunden ist, hängt ein Gewicht von 10 3 N. Welche Kraft wirkt im Stab und welche im Seil (Betrag und Richtung)? # 4: Auf einer schiefen Ebene (30°) wird ein Rad (2 kg) durch ein Seil am Abrollen gehindert. Mit welcher Kraft zieht das Rad am Seil, wenn dieses a) in Richtung der schiefen Ebene, b) horizontal, c) senkrecht nach oben, d) unter 45° zur Horizontalen verläuft? Mit welcher Kraft drückt das Rad jeweils auf die schiefe Ebene? Keine Reibung! # 5: Berechnen Sie die Kräfte in der Aufhängeschnur eines 10 N schweren Bildes, wenn die beiden Ösen 40 cm voneinander entfernt sind und die Schnur um 10 cm durchhängt. # 6: Ein symmetrischer Keil (Rücken 4 cm, Seiten 24 cm) wird mit einer Kraft von 1 kN, die senkrecht auf seinen Rücken wirkt, in einen Baumstamm getrieben. Welche Kräfte üben die beiden Keilseiten auf das Holz aus? # 7: Eine 4 m lange Leiter (5 kg) lehnt gegen eine Wand, ihre Füße sind 1,5 m von der Wand entfernt. In ihrer Mitte steht ein Mann (75 kg). Wie groß muss die Haftreibungskraft zwischen Leiter und Boden sein, damit sie nicht abrutscht? # 8: Der (masselose) Arm einer Balkenwaage wird durch den Auflagepunkt im Verhältnis 1:4 geteilt. Welche Masse liegt in der Waagschale, wenn zum Austarieren 1,2 kg notwendig sind (zwei Lösungen)? # 9: Um einen auf Füßen stehenden 20 kN schweren Tresor anzuheben, wird ein Rohr unter einem Winkel von ca. 30° unter den Tresor geschoben und auf einem dicht beim Tresor auf dem Fußboden liegenden Klotz gelagert. Wie lang muss das Rohr mindesten sein, wenn seine Berührungspunkte mit dem Tresor und dem Lagerpunkt 15 cm auseinander liegen und eine Person die Stange am anderen Ende mit einer Kraft von 1,5 kN nach unten drückt? #10: Zum Lösen der Radmuttern ist eine Kraft von 500 N und ein Hebelarm von 80 cm notwendig. Mit welcher Kraft wurden sie zuvor mit einem 40 cm langen Schraubenschlüssel angezogen? #11: An einem mittig gelagerten und 1 m langen Hebelarm hängen auf der einen Seite die Gewichte 2 N, 5 N und 3 N in den Abständen 10, 40 und 50 cm. Welches Gewicht muss am anderen Ende der Stange hängen, damit diese im Gleichgewicht ist? Wie groß ist die Kraft im Lager? #12: Berechnen Sie den Schwerpunkt des Kohlenmonoxidmoleküls (CO): Atommasse Sauerstoff (O) = 16, Atommasse Kohlenstoff (C) = 12, 112,8 pm Abstand zwischen C- und O-Atom. #13: Berechnen Sie den Schwerpunkt des Wassermoleküls (H 2O): Atommasse Sauerstoff (O) = 16, Atommasse Wasserstoff (H) = 1, je 95,84 pm Abstand zwischen O- und H-Atom, 104,45° zwischen den beiden OH-Achsen. 5 MECHANIK STATIK: LÖSUNGEN # 1: Kräftepolygon geschlossen: Spitze des letzten Kraftvektors endet am Beginn des ersten Kraftvektors. # 2: a) tan α = 0,2 / 2 = 0,1 => α = 5,71°; F1 = F2 = (1/2 * 5 N) / sin(5,712°) = 25,1 N b) tan α = 0,2 / 1 = 0,2 => α = 11,31°; tan ß = 0,2 / 3 = 0,0667 => ß = 3,81° F1 * sin α + F2 * sin ß = FG; F1 * cos α = F2 * cos ß; => F2 = F1 * cos α / cos ß F1 = FG / (sin α + sin ß * cos α / cos ß) = 5 N / (0,196 + 0,0664 * 0,981 / 0,998) = 19,16 N; F2 = 18,83 N # 3: sin α = d / l = 0,5 => α = 30°; FStab = FG / cos α = 1000 / 0,866 = 1154,70 N; FSeil = FG * tan α = 577,35 N # 4: a) FZug = FH = FG * sin(30°) = 2 kg * 9,81 m/s2 * 0,5 = 9,81 N; FDruck = FG * cos(30°) = 2 kg * 9,81 m/s2 * 0,866 = 17 N b) FZug = FH / cos(30°) = FG * tan(30°) = 11,3 N; FDruck = FG * cos(30°) + FZug * sin(30°) = 17 N + 5,6 N = 22,6 N c) FZug = FG; FDruck = 0 d) FZug = FH / cos(15°) = FG * sin(30°) / cos(15°) = 10,2 N; FDruck = 17 N - FZug * sin(15°) = 17 N – 2,6 N = 14,4 N # 5: tan α = 10 / 20 = 0,5 => α = 26,6°; F1 = F2 = (1/2 * 10 N) / sin(26,6°) = 11,18 N # 6: sin α = ½ * 4 / 24 = 0,0833; FSpal = ½ * FKeil / sin α = 500 / 0,0833 = 6000 N # 7: cos α = 1,5 / 4 = 0,375 => α = 68°; FReib = FG / tan α = 80 kg * 9,81 m/s2 / 2,47 = 317,47 N => μ = 0,405 # 8: x * F = 4 * x * 1,2 => F1 = 4,8 kg; x * 1,2 = 4 * x * F => F2 = 0,3 kg # 9: 20 kN * 15 cm = (l – 15 cm) * 1,5 kN => l = 215 cm # 10: Fx * 40 cm = 500 N * 80 cm => Fx = 1 kN # 11: 2 N * 10 cm + 5 N * 40 cm + 3 N * 50 cm = F * 50 cm => F = 7,4 N; FLager = 17,4,N # 12: 12 * xS = 16 * (112,8 pm – xS) => xS = 64,46 pm von C entfernt # 13: 16 * xS = 2 * 1 * (95,84 pm * cos(104,45°/2) – xS) => xS = 6,52 pm von O entfernt 6 MECHANIK KINEMATIK: ÜBUNGSAUFGABEN zu LINEARE BEWEGUNGEN # 1: Nach welcher Zeit und welchem Weg wird im freien Fall die Schallgeschwindigkeit (340 m/s) erreicht? # 2: Ein Auto steigert seine Geschwindigkeit innerhalb von 10 s von 120 auf 150 km/h. Wie groß ist der zurück gelegte Weg und die Beschleunigung? # 3: Eine Rakete soll in 2,5 min die Geschwindigkeit von 5 km/s erreichen. Wie groß ist die Beschleunigung und der zurück gelegte Weg? Danach reduziert sich die Beschleunigung auf 75 %.Welche Zeit und welcher Weg werden nun benötigt, um 7,9 km/s zu erreichen? # 4: Ein Wagen beschleunigt mit 0,1 m/s2 aus der Ruhe. Welchen Weg hat er nach 20 s zurückgelegt? Wie groß ist dann seine Geschwindigkeit? Wie weit bewegt er sich in den nächsten 5 s ohne die Beschleunigung? # 5: Ein Zug beschleunigt aus der Ruhe in 10 s auf 36 km/h. Wie groß waren seine Beschleunigung und sein Weg? # 6: Ein Fahrzeug soll aus der Ruhe nach 20 m eine Geschwindigkeit von 108 km/h erreichen. Wie lange dauert dies? Wie groß ist seine Beschleunigung? # 7: Ein Fahrzeug beschleunigt in 10 s von 80 auf 140 km/h, danach bremst es in 5 s wieder auf 80 km/h ab. Welchen Weg legt es dabei jeweils zurück? # 8: Ein Fahrzeug soll aus der Ruhe in 12 s 133 m zurücklegen. Wie groß muss die Beschleunigung sein, welche Geschwindigkeit hat es dann erreicht? # 9: Ein Formel-1-Rennwagen bremst aus 360 km/h in 3,5 s auf 108 km/h. Wie hoch ist die mittlere Verzögerung und welchen Weg legt er dabei zurück? # 10: Von einer Brücke lässt man einen Stein fallen. Eine Sekunde später wird ein zweiter Stein hinterhergeworfen. Beide schlagen gleichzeitig auf der 45 m tiefen Wasseroberfläche auf. Wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit des zweiten Steins? Skizzieren Sie für beide Steine den Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Verlauf. # 11: Ein Gasballon steigt mit 12 m/s senkrecht nach oben. 80 m über dem Erdboden wird ein kleiner Sandsack abgeworfen. Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit landet dieser auf dem Erdboden? # 12: Sie fahren mit 72 km/h auf die Autobahn. 200 m hinter Ihnen nähert sich ein Pkw mit 108 km/h. Wie stark müssen Sie beschleunigen, damit ein Abstand von 40 m zwischen den beiden Fahrzeugen nicht unterschritten wird? # 13: Sie fahren mit 120 km/h und entdecken in ca. 50 m Entfernung eine Radarfalle. Wie lange dauert das Abbremsen mit 5 m/s2 auf 100 km/h? Reicht dies, um vor der Radarfalle diese Geschwindigkeit zu erreichen? Wie lange darf die Reaktionszeit dann maximal sein? # 14: Ein PKW (5 m lang) folgt einem mit 72 km/h vorausfahrenden LKW (20 m lang) in 36 m Abstand. Als die Gegenfahrbahn frei ist, überholt er, indem er mit 5 m/s2 beschleunigt und 36 m vor dem LKW wieder rechts einschert. Wie lange dauert der Überholvorgang (Überholzeit)? Welche Strecke legt der PKW dabei zurück (Überholweg)? # 15: Im Euro-NCAP-Frontalcrash prallt ein Auto mit 64 km/h gegen die deformierbare Barriere, wobei diese um 140 mm und das Auto um 500 mm verformt wird. Wie hoch ist die mittlere Fahrzeugverzögerung in g sowie die Crashdauer in ms? Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit prallt der Kopf eines nicht angegurteten Insassen gegen die von seiner Ausgangsposition 500 mm entfernte Frontscheibe? # 16: Ein Basketballspieler springt 76 cm senkrecht nach oben. Wie viel Zeit verbringt er in den obersten 15 cm? # 17: Ein Reifentest besteht aus einer Vollbremsung aus 100 km/h. Die schlechtesten Reifen ergeben 78 m Bremsweg, die besten 58 m. Wie groß ist die jeweils konstante Bremsverzögerung? Wie schnell ist das Auto mit den schlechtesten Reifen an der Stelle, wo das Auto mit den besten Reifen bereits stand? # 18: Ein Läufer läuft 100 m in 12 s. Auf den ersten 25 m beschleunigt er, die restlichen 75 m ist seine Geschwindigkeit konstant. Wie groß ist seine Beschleunigung, welche Geschwindigkeit erreicht er und wann? Weitere Aufgaben: graphische Lösungen 7 MECHANIK KINEMATIK: LÖSUNGEN zu LINEARE BEWEGUNGEN # 1: 340 m/s = 9,81 m/s2 * t => t = 34,66 s; s = ½ * 9,81 m/s2 * (34,66 s)2 = 5892 m = 5,9 km # 2: Beschleunigung von 33,33 auf 41,67 m/s: a = (41,67 m/s – 33,33 m/s) / 10 s = 0,83 m/s2; s = 33,33 m/s * 10 s + ½ * 0,83 m/s2 * 100 s2 = 375,00 m # 3: Beschleunigung aus der Ruhe: a = 5000 m/s / 150 s = 33,33 m/s2; s = ½ * 33,33 m/s2 * (150 s)2 = 375 km Beschleunigung mit 25 m/s2 von 5000 m/s auf 7900 m/s: t = (7900 m/s – 5000 m/s) / (25 m/s2) = 116 s s = 5000 m/s * 116 s + ½ * 25 m/s2 * (116 s)2 = 748200 m # 4: Beschleunigung aus Ruhe: Gleichförmige Bewegung: s = ½ * 0,1 m/s2 * 202 s2 = 20 m; v = 0,1 m/s2 * 20 s = 2 m/s s = 2 m/s * 5 s = 10 m # 5: Beschleunigung aus Ruhe: a = (10 m/s) / 10 s = 1 m/s2; # 6: Beschleunigung aus Ruhe: 30 m/s = a * t => t = 30 / a; 20 m = ½ * a * 900 / a2 => a = 22,5 m/s2; t = 1,33 s s = ½ * 1 m/s2 * 100 s² = 50 m # 7: Beschleunigung von 22,22 m/s auf 38,89 m/s: a = (38,89 m/s – 22,22 m/s) / 10 s = 1,67 m/s2; s = 22,22 m/s * 10 s + ½ * 1,67 m/s2 * (10 s)2 = 305,72 m Abbremsen von 38,89 m/s auf 22,22 m/s: a = (38,89 m/s – 22,22 m/s) / 5 s = 3,33 m/s2; s = 38,89 m/s * 5 s – ½ * 3,33 m/s2 * (5 s)2 = 152,8 m # 8: Beschleunigung aus Ruhe: a = 2 * 133 m / (12 s)2 = 1,85 m/s2; v = 1,85 m/s2 * 12 s = 22,17 m/s # 9: Verzögern von 100 m/s auf 30 m/s: a = (100 - 30) m/s / 3,5 s = 20 m/s2; s = 100 m/s * 3,5 s – ½ * 20 * 3,52 = 227,5 m # 10: Stein A = Freier Fall: 45 m = ½ * 9,81 m/s2 * tA2 => tA = 3,03 s; tB = tA – 1 s = 2,03 s Stein B = Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit: 45 m = v0 * 2,03 s + ½ * 9,81 m/s2 * (2,03 s)2 => v0 = 12,21 m/s # 11: Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit nach oben: 80 m = -12 m/s * t + ½ * 9,81 m/s2 * t2; t = (12 ± 41,4) m/s / 9,81 m/s2 = 5,44 s; v = -12 m/s + 9,81 m/s2 * (5,44 s) = 41,4 m/s # 12: PKW1 = gleichförmige Bewegung: s1 = 30 m/s * t; PKW2 = Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit.: v2 = 20 m/s + a * t; s2 = 20 m/s * t + ½ * a * t2 + 200 m Kürzester Abstand s2 – s1 = 40 m bei v1 = v2 => a = (10 m/s) / t; 40 m = 20 m/s * t + ½ * a * t2 + 200 m - 30 m/s * t ½ * (10/t) * t2 – 10 * t + 160 = 0 => t = 32 s; a = 0,31 m/s2 # 13: Abbremsen von 33,33 m/s auf 27,78 m/s: t = (5,55 m/s) / (5 m/s2) = 1,11 s; s = 33,33 * 1,11 – ½ * 5 * 1,112 = 34 m Reaktionsweg = gleichförmige Bewegung: t = 16 m / (33,33 m/s) = 0,48 s # 14: LKW – gleichförmige Bewegung: sLKW = 20 m/s * t PKW – Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit: vPKW = 20 m/s + 5 m/s2 * t; sPKW = 20 m/s * t + ½ * 5 m/s2 * t2 Űberholweg: sPKW = sLKW + 2 * 36 m + 20 m + 5 m => 97 m = ½ * 5 * t2 => t = 6,23 s; sPKW = 221,6 m # 15: Fahrzeug: Abbremsen zum Stillstand: a = (17,78 m/s) / t; sFZG = 0,64 m = 17,78 * t - ½ * (17,78 / t) * t2 => t = 0,072 s = 72 ms; a = 246,9 m / s2 = 25,2 g; Insasse: gleichförmige Bewegung: sINS = 17,78 * t; Relativweg Insasse im Fahrzeug: Δs = sINS - sFZG = ½ * 246,9 m/s2 * t2 = 0,5 m => t = 0,064 s; Relativgeschwindigkeit Insasse im Fahrzeug: Δv = vFZG – vINS = 249,6 * 0,064 = 15,8 m/s = 56,9 km/h # 16: Lotrechter Wurf – Umkehrpunkt: 0 = v0 – 9,81 m/s2 * t => v0 = 9,81 * t; 0,76 m = 9,81 m/s2 * t2 – ½ * 9,81 m/s2 * t2 => Steigzeit tS = 0,39 s; v0 = 3,86 m/s; Obere 15 cm: 0,61 m = 3,86 m/s * t – ½ * 9,81 m/s2 * t2 => t = (3,86 ± 1,71) / 9,81 => Δt = (2 * 1,71) / 9,81 = 0,35 s # 17: v = 27,78 – a * t = 0 => t = (27,78 m/s) / a; s = (27,78 m/s)2 / (2 * a) => a = (27,78 m/s)2 / (2 * s); aMin = 4,946 m / s2; aMax = 6,652 m/s2 s = 27,77 * t – ½ * 4,946 * t2 = 58 => t = 2,787 s; v = 27,77 m/s – 4,946 m/s2 * 2,787 s = 13,99 m/s = 50,4 km/h # 18: Beschleunigte Bewegung: s1 = ½ * v1 * t1 = 25; gleichförmige Bewegung: s2 = (12 – t1) * v1 = 75 => v1 = 50 / t1; => 600 – 50 * t1 = 75 * t1 => t1 = 4,8 s; v1 = 10,42 m/s; a = v1 / t = 2,17 m/s2 8 MECHANIK KINEMATIK: ÜBUNGSAUFGABEN zu DREHBEWEGUNGEN # 1: Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit für den Sekundenzeiger, Minutenzeiger und Stundenzeiger einer Uhr. # 2: Die Spitze des Minutenzeigers einer Turmuhr hat die Geschwindigkeit 1,5 mm/s. Wie lang ist der Zeiger? # 3: Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich die Erde um die Erdachse? Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotiert sie um die Sonne? Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Mondes um die Erde? Wie schnell dreht sich ein Punkt am Äquator (Erdradius = 6370 km)? Mit welcher mittleren Geschwindigkeit bewegt sich die Erde um die Sonne (Entfernung Erde / Sonne 8,3 Lichtminuten)? Wie hoch ist mittlere Bahngeschwindigkeiten des Mondes (Entfernung Erde / Mond 384.000 km)? # 4: Wie hoch ist die zusätzliche Geschwindigkeit, die eine in Richtung der Erdrotation startende Rakete in Peenemünde (geografische Breite 54°) erhält? # 5: Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit einer Festplatte bei 7200 U / min am 4,5 cm entfernten Rand? # 6: Wie oft drehen sich die 28-Zoll-Räder eines Fahrrades während einer 12 km langen Fahrt? Wie hoch sind die Umlaufzeit und Winkelgeschwindigkeit, wenn die Fahrt eine dreiviertel Stunde dauert? # 7: Eine Ultrazentrifuge erreicht 23940 Umdrehungen pro Minute bei einem Radius von 10 cm. Welchen Weg legt ein Teilchen in 1 ms zurück? # 8: Ein sich sekündlich viermal drehendes Rad wird 5 Sekunden lang mit 2 rad/s2 beschleunigt. Wie schnell dreht es sich danach, und wie viele Umdrehungen hat es bis dahin ausgeführt? # 9: Das Rad eines Autos (30 cm Radius) dreht sich mit 10 Umdrehungen pro Sekunde. Beim Abbremsen dauert es 30 Sekunden bis das Auto steht. Wie oft dreht sich das Rad bis dahin? Mit welcher Winkelbeschleunigung wird es abgebremst? Wie groß ist der Anhalteweg, und wie groß war die anfängliche Bahngeschwindigkeit des Autos? #10: Auf eisglatter Straße gerät ein Auto mit 108 km/h ins Schleudern und dreht sich in 3,14 s zweimal im Uhrzeigersinn um den sich geradlinig weiterbewegenden Schwerpunkt. Durch Reibung wird die Translation mit 1,5 m/s2, die Rotation mit 0,2 rad/s2 abgebremst. Nach welcher Zeit und in welcher Entfernung kommen beide Bewegungen zur Ruhe? Wie oft hat sich das Auto dabei gedreht, und wie ist seine Endposition? #11: Ein Elektromotor läuft mit der Drehzahl von 1400 min-1. Nach dem Abschalten wird er mit konstanter Winkelverzögerung abgebremst und bleibt nach 50 Umdrehungen stehen. Wie lange benötigt er für eine Umdrehung vor dem Abschalten? Wie lange dauert der Bremsvorgang, und wie groß ist die Winkelverzögerung? #12: Ein Zug beschleunigt auf einem Kreisbogen mit 2 km Radius innerhalb von 1200 m von 30 auf 100 km/h. Wie lange dauert dies, und wie hoch ist seine tangentiale Beschleunigung? Wie hoch ist jeweils zu Beginn und am Ende des Beschleunigungsvorgangs die Zentripetalbeschleunigung? Welchen Winkel bildet die resultierende Beschleunigung mit der Tangente an die Kreisbahn? #14:Auf einer Scheibe (2 m Radius) ist ein Punkt markiert, der sich bei t = 0 auf der x-Achse befindet. Die Scheibe wird mit 0,01 rad/s2 in Rotation um den Mittelpunkt versetzt. Welche lineare Geschwindigkeit hat der Punkt, wenn er die y-Achse erreicht? #15: Die Erde bewegt sich auf einer Kreisbahn mit 150 Mio. km Radius um die Sonne. Welche Geschwindigkeit hat sie? #16: Ein sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von 4 s-1 drehendes Rad wird mit einer Winkelbeschleunigung von 2,5 s-2 5 s lang beschleunigt. Wie viele Umdrehungen legt es dabei zurück, und wie schnell dreht es sich danach? #17: Eine Ultrazentrifuge erreicht nach dem Einschalten in einer Minute 23940 Umdrehungen pro Minute. Wie groß ist dabei die Winkelbeschleunigung, und wie viele Umdrehungen macht sie dabei? #18: Ein Motor wird in 1,5 s vom Leerlauf (1000 U/min) auf die maximale Drehzahl von 7000 U/min hochgedreht. Wie viele Umdrehungen macht er dabei, und wie groß ist die Winkelbeschleunigung? Wie lange dauert es, bis der Motor nach dem Gas Wegnehmen wieder die Leerlaufdrehzahl erreicht und dabei mit 200 s -2 abgebremst wird? 9 MECHANIK KINEMATIK: LÖSUNGEN zu DREHBEWEGUNGEN # 1: Thr = 12 h = 43200 s; Tmin = 60 min = 3600 s; Tsec = 1 min = 60 s; ω = 2 * π / T => ωhr = 1,45 * 10-4 s-1; ωmin = 1,75 * 10-3 s-1; ωsec = 0,105 s-1 # 2: r = v / ω = (1,5 * 10-3 m/s) / (1,75 * 10-3 s-1) = 0,857 m = 85,7 cm # 3: TÄq = 24 h = 86400 s (genau genommen 1 Sterntag = 86164,091 s); ωÄq = 7,27 * 10-5 s-1 (bzw. ωÄq = 7,29 * 10-5 s-1); vÄr = 6,37 * 106 m * 7,27 * 10-5 s-1 = 463,1 m/s = 1667 km/h TE/S = 1 J = 3,15 * 107 s => ωE/S = 1,99 * 10-7 s-1; vE/S = 8,3 * 60 s * 3 * 108 m/s * 1,99 * 10-7 s-1 = 2,98 * 104 m/s = 107.030 km/h TM/E = 30 T = 2,59 * 106 s (genau genommen ein mittlerer synodischer Monat = 29,5306 Tage = 2,55 * 106 s) => ωM/E = 2,42 * 10-6 s-1; vM/E = 3,84 * 108 m * 2,42 * 10-6 s-1 = 931 m/s = 3352 km/h # 4: vPM = vÄr * cos(54°) = 6,37 * 106 m * 7,27 * 10-5 s-1 * 0,59 = 273,2 m/s = 983,6 km/h # 5: n = 120 s-1; ω = 2 * π * n = 753,9 s-1; v = 4,5 * 10-2 m * 753,9 s-1 = 33,92 m/s = 122 km/h # 6: U = π * 28 * 2,54 * 10-2 m = 2,234 m; N = 12 * 103 / 2,234 = 5371; v = 12000 m / 2700 s = 4,44 m/s; ω = 4,44 m/s / (0,356 m) = 12,48 s-1; n = 12,48 s-1/ (2 * π) = 1,99 s-1; t = 0,5 s # 7: n = 399 s-1; ω = 2 * π * 399 = 2507,0 s-1; v = 0,1 m * 2507,0 s-1 = 250,7 m/s; s = 205,7 m/s * 0,001 s = 0,25 m = 25 cm # 8: ω = 2 * π * 4 s-1 + 2 s-2 * 5 s = 35,1 s-1; φ = 2 * π * 4 s-1 * 5 s + ½ * 2 s-2 * 25 s2 = 150,7; N = 150,7 / (2 * π) = 24 U # 9: 0 = 2 * π * 10 s-1 – α * 30 s => α = 2,094 s-2; φ = 2 * π * 10 s-1 * 30 s - ½ * 2,094 s-2 * 900 s2 = 942,5; N = 150; s = N * 2 * π * 0,3 m = 282,7 m; v = 2 * π * 10 s-1 * 0,3 m = 18,8 m/s = 67,8 km/h # 10: Translation: t1 = (30 m/s) / (1,5 m/s2) = 20 s; s = 30 m/s * 20 s – ½ * 1,5 m/s2 * 400 s2 = 300 m Rotation: ω = 2 * π / (3,14/2 s) = 4 s-1; t2 = 4 s-1 / 0,2 s-2 = 20 s; φ = 4 s-1 * 20 – ½ * 0,2 s-2 * 400 s2 = 40; N = 6,37; ß = 0,37 * 180° = 65,9° # 11: T = 1 / (1400 / 60) = 0,043 s; ω = 2 * π * 1400 / 60 = 146,6 s-1; φ = 2 * π * 50 = 314,1 rad 0 = 146,6 – α * t => α = 146,6 / t; 314,1 = 146,6 * t – ½ * (146,6 / t) * t2 => t = 314,1 * 2 / 146,6 = 4,3 s; α = 34,1 s-2 # 12: 100/3,6 = 30/3,6 + a * t => a = 19,44 / t; 1200 = 30/3,6 * t + ½ * (19,44 / t) * t2 => t = 66,5 s; a = 0,29 m/s2 az1 = (30/3,6)² / 2000 = 0,035 m / s2; az2 = (100/3,6)² / 2000 = 0,39 m / s2; tan ß1 = 0,035/0,29; tan ß2 = 0,39/0,29 ß1 = 6,9°; ß2 = 53,4° # 14: π/2 = ½ * 0,01 * t2 => t = 17,7 s; ω = 0,01 s-2 * 17,7 s = 0,18 s-1; v = 2 m * 0,18 s-1 = 0,36 m/s # 15: ω = 2 * π / T = 2 * π / (365 * 24 * 3600 s) = 1,99 * 10-7 s-1; v = r * ω = 1,5 * 1011 m * 1,99 * 10-7 s-1 = 2,99 * 104 m/s # 16: ω = 4 s-1 + 2,5 s-2 * 5 s = 16,5 s-1; φ = 4 s-1 * 5 s + ½ * 2,5 s-2 * 25 s2 = 51,25 rad => N = 51,25 rad / (2 * π) = 8,16 U # 17: ω = 2 * π * 23940 / 60 = 2506,99 s-1; α = 2506,99 s-1 / 60 s = 41,78 s-2; φ = ½ * 41,78 s-2 * 3600 s2 = 75209,7 rad N = 75209,7 rad / (2 * π) = 11970 U # 18: α = 6000 min-1 * 2 * π / (60 * 1,5 s) = 418,88 s-2; φ = 6283,2 / 60 s-1 * 1,5 s + ½ * 418,88 s-2 * 2,25 s2 = 628,32 rad N = 628,32 rad / (2 * π) = 100 U; t = 6000 min-1 * 2 * π / (60 * 200 s-2) = 3,14 s 10 MECHANIK DYNAMIK: ÜBUNGSAUFGABEN zu KREISBEWEGUNGEN # 1: Ein Stein (200 g) wird mit zunehmender Geschwindigkeit an einer 50 cm langen Schnur in einem horizontalen Kreis geschleudert. Bei welcher Drehzahl reißt sie, wenn sie maximal 30 N aushält? Mit welcher Geschwindigkeit fliegt dann der Stein horizontal? # 2: Auf einer waagrechten, sich um die vertikale Achse drehenden Scheibe liegt ein Gummipfropfen 20 cm von der Achse entfernt. Bei welcher Drehzahl fliegt er tangential weg, wenn die Haftreibungszahl 0,8 ist? # 3: Eine Milchkanne wird in einem vertikalen Kreis mit Radius 1 m geschwungen. Wie groß muss die Drehzahl sein, damit im obersten Punkt die Milch nicht ausläuft? # 4: Welche Geschwindigkeit darf ein Auto (1500 kg) in einer ebenen Kurve mit 100 m Radius und der Haftreibungszahl 0,8 höchstens fahren, um nicht ins Rutschen zu geraten? Mit welcher Kraft würde es dann bei einer Gleitreibungszahl von 0,1 rutschen? # 5: In einem Rotor mit 4 m Durchmesser werden die Personen so stark an die Wand gepresst, dass sie hängen bleiben, wenn man den Boden wegzieht. Wie schnell muss sie sich mindestens drehen, wenn die Haftreibungszahl 0,6 ist? Mit welcher Kraft wird eine Person (75 kg) gegen die Wand gepresst? # 6: Ab welcher Drehzahl könnte die Achse eines Rotors mit 7 m Durchmesser um 60° gekippt werden, ohne dass die Personen im höchsten Punkt a) herabfallen b) aus dem Sitz rutschen (μ = 0,8)? # 7: Wie schnell muss sich die Trommel einer Wäscheschleuder mit 30 cm Radius mindestens drehen? Welche Kraft wirkt bei 4800 Umdrehungen pro Minute auf ein Wasserteilchen von 1 g? # 8: Beim Schleudern bewegt sich die Wäsche auf einer Kreisbahn mit 42 cm Durchmesser. Wie schnell muss sich die Trommel mindestens drehen? Wie groß sind bei 1400 Umdrehungen pro Minute Umlaufdauer und Geschwindigkeit der Wäschestücke? Welche Kraft wirkt dabei auf die Wäschestücke? # 9: Um welchen Winkel muss sich ein Radfahrer gegen die Vertikale neigen, wenn er mit 36 km/h auf einem Kreis mit 20 m Radius fährt? Wie groß muss dann die Haftreibungszahl sein, damit das Rad nicht seitlich wegrutscht? #10: Eine Eisschnellläuferin (60 kg) durchläuft die 100 m lange Halbkreisbahn mit 54 km/h. Welche Seitenkraft wirkt dabei auf die Schlittschuhe? Mit welchem Winkel muss sie sich dabei gegen die Horizontale in die Kurve legen? Welche Kraft wirkt dabei auf das äußere auf dem Eis befindliche Bein? #11: Wie stark muss die äußere Schiene überhöht sein, wenn ein Zug mit 180 km/h eine Kurve mit 1,5 km Radius durchfährt und die Zugreisenden keinerlei Querkräfte spüren (Spurweite 1,435 m)? #12: Ein Zug durchfährt mit 108 km/h eine Kurve mit 500 m Radius. Um welchen Winkel neigt sich ein im Inneren aufgehängtes Lot gegen die Vertikale? #13: Eine Ultrazentrifuge dreht sich mit 80000 Umdrehungen pro Minute. Wie hoch ist die Beschleunigung der zu zentrifugierenden Substanz im Abstand 7 cm von der Drehachse? Welche Kraft wirkt auf ein Teilchen von 20 mg? #14: Die 1,5 m über dem Boden befindlichen Sessel eines ruhenden Kettenkarussells sind 5 m von ihrem Aufhängepunkt entfernt, dessen Abstand von der Drehachse 2 m ist. Welche Umdrehungszahl hat das Karussell, wenn die Passagiere um 2,5 m angehoben werden? Wie lange dauert ein Umlauf? In welchem Abstand von der Drehachse bewegen sich dann die Passagiere, wie groß ist ihre Umlaufgeschwindigkeit? Welche Beschleunigung wirkt auf die Mitfahrer? #15: Ein Auto fährt über eine Kuppe mit 50 m Radius. Wie schnell muss es fahren, damit es im obersten Punkt abhebt? Anschließend durchfährt es eine Senke mit 50 m Radius. Welche maximale Kraft wirkt auf die Insassen (75 kg)? #16: Berechnen Sie das Gewicht einer Person mit 100 kg Masse auf der Erdoberfläche als Funktion des Breitengrades. Wie hoch ist es am Nordpol, am Äquator, und bei 60° Breite? #17: Ein mit Wasser gefülltes zylindrisches Gefäß (Radius r) rotiert mit der Drehzahl n. Bestimmen Sie die Funktion des Querschnittes der Wasseroberfläche. 11 MECHANIK DYNAMIK: LÖSUNGEN zu KREISBEWEGUNGEN # 1: FS = Fz; 30 N = 0,2 kg * 0,5 m * 4 * π2 * n2 => n = √ (30 / (0,2 * 4 * π2 * 0,5) = 2,76 s-1 ; v = 0,5 m * 2 * π * 2,76 s-1 = 8,66 m/s # 2: FR = Fz; 0,8 * 9,81 m/s2 = 0,2 m * 4 * π2 * n2 => n = √ (0,8 * 9,81 / (0,2 * 4 * π2)) = 1 s-1 # 3: FG = Fz; 9,81 m/s2 = 4 * π2 * n2 * 1 m => n = √ (9,81 / (4 * π2)) = 0,5 s-1 # 4: FR = Fz; v2/ 100 m = 0,8 * 9,81 m/s2 => v = √ (0,8 * 9,81 * 100) = 28 m/s = 101 km/h; F = FZ – FR = 10,3 kN # 5: FR = FG; FR = μ * Fz; 0,6 * 2 m * 4 * π2 * n2 = 9,81 m/s2 => n = √ (9,81 / (0,6 * 2 * 4 * π2)) = 0,46 s-1 F = 75 kg * 2 m * 4 * π2 * (0,46 s-1)2 = 1226 N # 6: a) FG * cos(30°) = Fz; 9,81 m/s2 * 0,8661= 3,5 m * 4 * π2 * n02 => n0 = √ 9,81 m/s2 * 0,866 / (3,5 m * 4 * π2) = 0,248 s-1; b) FR = FH: μ * (FZ – FN) = FH; μ * (m * r * 4 * π2 * n2 – m * g * cos (30°) = m * g * sin(30°); r * 4 * π2 * n2 = g * ((sin 30°) / μ + cos(30°)); n = 1/ (2 π) * √ (1,49 * 9,81 m/s2 /3,5 m) = 0,325 s-1 #7: FR = Fz; 9,81 m/s2 = 0,3 m * 4 * π2 * n2 => n = √ (9,81 / (0,3 * 4 * π2)) = 0,91 s-1; F = 0,001 kg * 0,3 m * 4 * π2 * (4800/60 s-1)2 = 75,8 N # 8: az > g => 0,21 * 4 * π2 * n2 > 9,81 => n > √ (9,81 / 8,29) = 1,09 s-1; ω = 2 * π * 1400 / 60 = 146,6 s-1; T = 0,043 s v = 0,21 * 146,6 = 30,8 m/s; az = 0,21 * (146,62)² = 4514 m/s2 # 9: tan α = Fz / FG = (10 m/s)2 / (20 m * 9,81 m/s2) = 0,5096 => α = 27°; FR = Fz => μ = (10 m/s)2 / (20 m * 9,81 m/s2) = 0,51 # 10: s = r * φ => r = 100 / π = 31,83 m; Fz = 60 kg * (54 / 3,6 m/s)2 / (m/s)2 / 31,83 m = 424,13 N; tan α = Fz / FG = 424,13 / 588,6 = 0,7206 => α = 35,8°; FRES = √ (424,132 + 588,62) = 725,5 N # 11: tan α = Fz / FG = (180 / (3,6 m/s))2 / (1500 m * 9,81 m/s2) = 0,17 => α = 9,6°; sin(9,6) = h / 1,435 m=> h = 24,0 cm # 12: tan α = Fz / FG = (30 m/s)2 / (500 m * 9,81 m/s2) = 0,183 => α = 10,4° # 13: a = 4 * π2 * (80000 / 60 s-1)2 * 0,07 m = 4,91 * 106 m/s2; F = 2 * 10-5 kg * 4,91 * 106 m/s2 = 98,2 N # 14: cos α = (l - h) / l = (5 – 2,5) m / 5 m = 0,5 => α = 60°; sin(60°) = R / 5 => R = 4,33 m tan(60°) = Fz / FG = (2 + R) * 4 * π2 * n2 / 9,81 => n = √ (tan(60°) * 9,81 m/s2 / ((2 + 4,33) m * 4 * π2)) = 0,26 s-1 T = 3,85 s; x = 6,33 m; v = 10,34 m/s; az = 16,89 m/s2 # 15: FG = Fz; 9,81 m/s2 = v2 / r => v = √ (9,81 * 50) = 22,15 m/s = 79,73 km/h; F = 2 * FG # 16: Zentrifugalkraft Erdrotation Fz = m * r * 4 * π2 / T2 mit r = R * cos φ Abstand zur Erdachse Komponente senkrecht zur Erdoberfläche wirkt Gewicht entgegen: FG‘ = FG – Fz * cos φ = m * (g – (cos φ)2 * R * 4 * π2 / T2); g(φ) = g – 4 * π2 * 6370000 * (cos φ)2 / (24 * 3600)2 = 9,81 * (1-0,00343 * (cos φ)2) m/s² Nordpol φ = 90° => cos 90° = 0; Äquator φ = 0 => cos 0° = 1; φ = 60° => cos 60° = 0,5 G(Nordpol) = 981 N, G(Äquator) = 977,6 N, G(60°) = 979,3 N # 17: tan φ = Fz / FG = ω2 * x / g = y‘ => y = ½ * ω2 / g * x2 => Parabel 12 MECHANIK KINEMATIK: ÜBUNGSAUFGABEN zu ZUSAMMENGESETZTE BEWEGUNGEN # 1: Eine Kugel wird waagrecht mit 600 m/s abgeschossen. Um wie viel fällt sie in der ersten und in der 3. Sekunde? Um wie viel ist sie gefallen, wenn sie 6 km waagrecht geflogen ist? # 2: Durch ein waagrechtes Rohr strömt Wasser mit 10 m/s und trifft unter einem Winkel von 60° zur Horizontalen in den Schöpfeimer eines Wasserrades. Bestimmen Sie die Position des Eimers. # 3: 1,6 m über dem Boden wird eine Kugel waagrecht abgestoßen und fliegt in waagrechter Richtung 8 m weit. Wie lange war sie unterwegs? Mit welcher Geschwindigkeit wurde sie abgeworfen? Unter welchem Winkel und mit welcher Geschwindigkeit trifft sie am Boden auf? # 4: Ein Skispringer fliegt mit 108 km/h vom a) waagrechten b) 30° ansteigenden Schanzentisch. Der am vorderen Ende der Schanze beginnende Landehang ist um 45° nach unten geneigt. Wie lange und wie weit fliegt der Springer (Strecke Absprung bis Landepunkt)? Mit welcher Geschwindigkeit und unter welchem Winkel zum Hang landet er? # 5: Wie groß muss die Anfangsgeschwindigkeit sein, damit ein waagrecht geworfener Körper nach 5 s Flugzeit unter einem Winkel von 60° zur Horizontalen landet? Bestimmen Sie die Koordinaten des Landepunktes. # 6: Eine kleine Kugel wird unter einem Winkel von 60° zur Horizontalen mit 30 m/s abgeschossen. An welchem Ort befindet sich die Kugel nach 2 Sekunden? Bestimmen Sie dort den Geschwindigkeitsvektor. Zu welchem Zeitpunkt erreicht die Kugel den Scheitelpunkt der Wurfbahn? Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes. Berechnen Sie die Bahnkurve. # 7: Vom Punkt A wird eine Kugel mit 90 m/s unter einem Winkel von 60° zur Horizontalen abgeschossen. Mit welcher Geschwindigkeit muss eine zweite Kugel vertikal von einem 50 m entfernten höhengleichen Punkt B abgeschossen werden, damit sich die beiden Kugeln treffen? # 8: Ein Auto fährt über eine um 30° geneigte Rampe und landet auf dem 30 m entfernten und 7 m hohen Dach eines Hauses. Mit welcher Geschwindigkeit fuhr das Auto über die Rampe? Zu welchem Zeitpunkt und unter welchem Winkel zur Horizontalen landet es? # 9: Wie weit fliegt ein Golfball (ohne Luftwiderstand), wenn er mit 180 km/h unter einem Neigungswinkel von 30º abgeschlagen wird und der Landepunkt 10 m höher liegt als der Abschlag? #10: Ein Athlet stößt die Kugel aus 1,6 m Höhe mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s und unter einem Winkel von 30° nach oben. Wie weit fliegt sie? Unter welchem Winkel trifft sie auf? Welche maximale Höhe erreicht sie? #11: Ein Ball wird im Zug aus 2 m Höhe fallen gelassen, während dieser eine Vollbremsung mit 0,5 g durchführt. Wo kommt der Ball auf gegenüber dem Ort, wo er losgelassen wurde? #12: Eine Kugel rollt eine schiefe Ebene hinab (30°), verlässt diese mit 20 m/s und fällt dann auf den 5 m tieferen Boden. Wann und in welcher Entfernung trifft sie auf – mit welcher Geschwindigkeit und unter welchem Winkel? #13: Berechnen Sie für den schiefen Wurf Wurfweite und -höhe auf dem Mond im Vergleich zur Erde (gMond = 1/6 gErde) #14: Unter welchem Winkel muss ein Schütze sein Gewehr zur Horizontalen neigen, um ein 250 m horizontal entferntes Ziel zu treffen (v = 300 m/s)? #15: Eine Rakete wird aus der Ruhe unter 60° mit 50 m/s2 beschleunigt. Nach 10 s ist der Treibstoff verbraucht. Welche Position hat sie dann? Welche maximale Höhe erreicht sie, und wo landet sie auf dem Boden? #16: Eine Rakete startet mit 200 m/s unter 60°. In der Höhe h0 senkrecht darüber wird eine Sekunde später eine zweite Rakete waagrecht mit v0 abgefeuert. Wie sind h0 und v0 zu wählen, damit sie die erste Rakete in deren Scheitel trifft? #17: Ein Boot fährt in zwei Minuten mit 36 km/h 900 m flussaufwärts. Wie hoch ist die Flussgeschwindigkeit? Wie lange benötigt es für den Rückweg? Wie groß ist jeweils die absolute Geschwindigkeit des Bootes? #18: Ein Boot fährt mit 36 km/h senkrecht zur Strömung über einen 200 m breiten Fluss. Wie weit wird es abgetrieben, wenn das Wasser mit 7,2 km/h fließt? Unter welchem Winkel zum Flussufer muss es fahren, um nicht abzutreiben? 13 MECHANIK KINEMATIK: LÖSUNGEN zu ZUSAMMENGESETZTE BEWEGUNGEN # 1: Waagrechter Wurf: sy (1 s) = ½ * 9,81 * 1 = 4,9 m; sy (2 s) = ½ * 9,81 * 4 = 19,62 m; sy (3 s) = ½ * 9,81 * 9 = 44,15 m Δs = s3 – s2 = 24,53 m; t = 6000 / 600 = 10 s => sy = ½ * 9,81 (m/s2) * 100 s2 = 491 m # 2: tan(60°) = g * t / 10 => t = 1,76 s; sy = ½ * 9,81 * 1,762 = 15,22 m; sx = 10 * 1,76 = 17,60 m # 3: 1,6 m = ½ * 9,81 m/s2 * t2 => t = 0,57 s => v0 = 8 m / 0,57 s = 14,04 m/s; vy = 9,81 m/s2 * 0,57 s = 5,59 m/s tan φ = 5,59 / 14,04 = 0,3984 => φ = 21,72°; v = √ (5,592² + 14,032) = 15,1 m/s # 4: tan(45) = sy / sx = (½ * 9,81 * t2) / (v0 * t) => t = (2 * 30 m/s) / (9,81 m/s2) = 6,12 s; sx = sy = 30 m/s * 6,12 s = 183,5 m; s = √2 * sx = 259,72 m; vy = (9,81 m/s2) * 6,12 s = 60 m/s; tan φ = vy / vx = 2 => φ = 63,4°; ß = 18,4°; v = 67,1 m/s b) tan(45) = sy / sx = (½ * 9,81 * t2 - v0 * t * sin(30°)) / (v0 * t * cos(30°)) => t = (2 * 30 m/s) / (9,81 m/s2) * (cos(30°) + sin(30°)) = 8,35 s; sx = sy = 30 m/s * cos(30°) * 8,35 s = 217,1 m; s = √2 * sx = 307,0 m; vy = (9,81 m/s2) * 8,35 s - v0 * sin(30°) = 66,7 m/s; vx = v0 * cos(30°) = 26,0 m/s => tan φ = vy / vx = 2,58 => φ = 68,8°; ß = 23,8°; v = 71,8 m/s = 258 km/h # 5: tan φ = vy / vx = g * t / v0 => v0 = g * t / tan φ = 9,81 * 5 / 1,73 = 28,35 m/s; sx = 28,35 m/s * 5 s = 141,76 m; sy = ½ * 9,81 * 25 = 122,63 m; # 6: sx = 30 m/s * cos(60°) * 2 s = 30 m; sy = 30 m/s * sin(60°) * 2 s - ½ * 9,81 m/s2 * 4 s2 = 32,4 m; vx = 30 m/s * cos(60°) = 15 m/s; vy = 30 m/s * sin(60°) – 9,81 m/s2 * 2 s = 6,4 m/s; tan φ = 6,4/15 = 0,425 => φ = 23° v = √ (152 + 6,42) = 16,3 m/s; Scheitel vy = 0 = 30 * sin(60°) – 9,81 * t => t = 26/9,81 = 2,65 s => sx = 30 * cos(60°) * 2,65 = 39,8 m; sy = 30 * sin(60°) * 2,65 – ½ * 9,81 * 2,652 = 34,4 m; Bahnkurve y - sy = - sy / sx² * (x - sx)² # 7: A) vx = 90 m/s * cos(60°) = 45 m/s; sx = 45 * t = 50 m => t = 1,11 s; sy = 90 * sin(60°) * t – ½ * 9,81 * t2 = 80,5 m; B) sy = v0 * t - ½ * 9,81 * t2 = 80,5 m => v0 = (80,5 + 6,1) / 1,11 = 78 m/s # 8: Schiefer Wurf: sx = v0 * cos(30°) * t = 30 m => t = 30 / (0,866 * v0); sy = v0 * sin(30°) * t – ½ * 9,81 * t2 = 7 m => 7 = 0,5 * 34,64 – ½ * 9,81 * 34,642 / v02 => v02 = 5886,3 / 10,32 => v0 = 23,88 m/s = 86 km/h; t = 1,45 s vx = 20,68 m/s; vy = -2,28 m/s; φ = -6,29° # 9: Schiefer Wurf: vx = 50 m/s * cos(30°) = 43,3 m; sx = 43,3 * t vy = 50 * sin(30°) – 9,81 * t; sy = 25 * t – ½ * 9,81 * t2 = 10 m => ½ * 9,81 * t2 – 25 * t + 10 = 0 => t = (25 ± √ (625 – 2 * 9,81 * 10)) / 9,81 = (25 ± 20,7) / 9,81 = 4,66 s => sx = 43,3 * 4,66 = 201,8 m #10: Schiefer Wurf: vx = 10 m/s * cos(30°) = 8,66 m/s; sx = 8,66 * t; vy = 10 * sin(30°) – 9,81 * t = 5 – 9,81 * t; sy = 5 * t – ½ * 9,81 * t2 = - 1,6 m => ½ * 9,81 * t2 – 5 * t - 1,6 = 0; => t = (5 ± √ (25 – 2 * 9,81 * 1,6)) / 9,81 = (5 ± 7,51) / 9,81 = 1,28 s; sx = 8,66 m/s * 1,28 s = 11,09 m; vy = - 7,56 m/s; tan φ = - 7,56/8,66 => φ = -41,1°; Scheitel vy = 0 = 5 – 9,81 * t => t = 0,51 s => sy = 5 * 0,51 – ½ * 9,81 * 0,512 = 1,28 m; hy = 2,88 m #11: Ball: sy = ½ * 9,81 * t2 = 2 m => t = 0,64 s; sx = v0 * t = v0 * 0,64; Zug: sx = v0 * t – ½ * 0,5 * 9,81 * t2 Δs = sB – sZ = v0 * 0,64 – v0 * 0,64 + ½ * 0,5 * 9,81 * 0,642 = 1 m; Einfachere Lösung im bewegten System: s y = ½ * 9,81 * t2 = 2 m => t = 0,64 s; sx = ½ * 0,5 * 9,81 * 0,642 = 1 m; #12: sx = 20 m/s * cos(30°) * t; vy = 20 m/s * sin(30) + 9,81 m/s2 * t; sy = 20 m/s * sin(30) * t + ½ * 9,81 m/s2 * t2 = 5 m; t = 0,42 s; sx = 7,28 m; v = √ (vx² + vy²) = 22,34 m/s; tan φ = vy / vx = 0,815 => φ = 39,2° #13: sx = v02 * sin(2 * α) / g => sxMond = 6 * sxErde; sy = v02 * (sin α)2 /(2 * g) => syMond = 6 * syErde #14: sx = v02 * sin(2 * α) / g => sin(2 * α) = sx * g / v02 = 250 m * 9,81 m/s2 / (300 m/s)2 = 0,02725 => α = 0,781° #15: 1. Teil: beschleunigte Bewegung sowohl in x- als auch in y-Richtung; 2. Teil: schiefer Wurf aus Endposition Teil 1; vx = 50 m/s2 * cos(60°) = 25 * t; sx = ½ * 50 * cos(60°) * t2 = 12,5 * t2; nach 10 s: vx = 250 m/s; sx = 1250 m; vy = (50 * sin(60°) – 9,81) m/s2 = 33,49 * t; sy = ½ * 33,49 * t2 = 16,74 * t2; nach 10 s: vy = 334,9 m/s; sy = 1674 m; tan φ = vy / vx = 334,9 / 250 = 1,3397; => φ = 53,26°; vx = 250 m/s * cos(53,26°) = 149,55 m/s; sx = 149,55 * t + 1250; vy = 334,9 * sin(53,26°) – 9,81 * t = 268,37 - 9,81 * t; sy = 268,37 * t - ½ * 9,81 * t2+ 1674 = 0 #16: R1: schiefer Wurf: s1x = 100 * t; s1y = 173,21 * t – ½ * 9,81 * t2; v1y = 0 => S (1766 m / 1529,14 m); R2: waagrechter Wurf aus h0 durch S: s2x= v0 * t; s2y = h0 – ½ * 9,81 * t2; s1x = s2x => v0 = 100 m/s; s1y = s2y => h0 = 173,21 * t; durch S (1766 / 1529,14): => h0 = 3058,89 m #17: sAuf = (vB – vF) * t => 900 m = (10 – vF) m/s * 120 s => vF = 2,5 m/s; sAb = (vB + vF) * t => t = 900 / 12,5 = 72 s #18: 200 m = 10 m/s * t => t = 20 s; s = 2 m/s * 20 s = 40 m; cos φ = 2/10 => φ = 78,5°; vR = 36 * sin(78,5°) = 35,3 m/s 14 MECHANIK DYNAMIK: ÜBUNGENSAUFGABEN zum NEWTON’SCHEN GRUNDGESETZ # 1: Mit welcher Kraft wird ein Schlitten mit der Masse 80 kg in 5 Sekunden von 0 auf 36 km/h beschleunigt? # 2: Beim Aufprall eines Fahrzeugs der Masse 2 t auf eine starre Barriere wirkt eine mittlere Verformungskraft von 360 kN. Wie hoch ist die mittlere Fahrzeugverzögerung? # 3: Ein Proton mit der Masse 1,67 * 10-27 kg soll in 1 ns aus der Ruhe auf 108000 km/h beschleunigt werden. Welche Kraft ist dazu erforderlich? # 4: Welchen Wert zeigt die Waage für eine 75 kg Person an, wenn der Aufzug mit 0,2 m/s 2 nach oben bzw. mit 0,3 m/s2 nach unten beschleunigt? # 5: An den beiden Enden eines über eine Umlenkrolle laufenden Seils hängen die Massen 200 g und 700 g. Mit welcher Beschleunigung setzt sich die Anordnung in Bewegung? Wie hoch ist die Seilkraft? # 6: Ein Aufzug (1,5 t) wird aus der Ruhe auf 2 m Weg auf die Geschwindigkeit von 3 m/s (a) nach oben, (b) nach unten beschleunigt. Wie groß ist dabei die Zugkraft im Seil? # 7: Eine Last wird an einem Seil hochgezogen. In Ruhestellung zeigt ein Kraftmesser 80 kN an. Die zulässige Höchstbelastung des Seils ist 105 N. Welche maximale Beschleunigung ist beim Anheben der Last erlaubt? # 8: Ein Wagen mit einer Seilwinde steht mit angezogener Bremse auf einem Tisch (Haftreibungszahl 0,9). Das Seil läuft über eine Umlenkrolle und hält eine Last (200 g). Wie groß muss die Wagenmasse mindestens sein, wenn die Seilwinde die Last mit konstanter Geschwindigkeit bzw. mit einer Beschleunigung von 3 m/s2 anheben soll? # 9: Welche Reibzahl zwischen Fahrbahn und Reifen ist erforderlich, damit ein Auto (1500 kg) eine Beschleunigung von 3 m/s2 a) auf horizontaler Straße b) bei 20% Steigung bzw. Gefälle erreichen kann? Welche Kraft ist dazu nötig? #10: An einem Faden hängt eine 200 g Masse. Sie ist mit einem über eine Umlenkrolle laufenden Faden mit einem auf einem Tisch stehenden Wagen (100 g) verbunden. Wie hoch ist bei Rollreibungskraft (µ = 0,1) die Beschleunigung sowie der in 5 s zurückgelegte Weg? #11: Welche Kraft ist notwendig, um 1500 kg in 2 s unter Reibung (µ = 0,1) von 72 auf 108 km/h zu beschleunigen? #12: Ein Körper haftet auf einer schiefen Ebene mit µH = 0,3. Die Neigung wird erhöht. Bei welchem Winkel φ beginnt der Körper zu rutschen? Mit welcher Beschleunigung rutscht er, wenn der Gleitreibungskoeffizient µG = 0,1 ist? #13: Mit welcher Kraft muss ein Wagen (2 kg) auf einer 2 m langen schiefen Ebene (30°) unter Rollreibung (µ = 0,1) aus der Ruhe bergauf / bergab beschleunigt werden, um am Ende eine Geschwindigkeit von 6 m/s zu erreichen? #14: Eine Aufzugskabine hat die Masse 1200 kg, die Masse des Gegengewichts ist 1100 kg. In der Kabine befindet sich eine Person (75 kg). Mit welcher Beschleunigung fiele die Kabine (reibungsfrei), wenn die Bremse versagt? Nach einer Fallhöhe von 15 m wird die Kabine durch Federn nach 20 cm Bremsweg zum Stillstand gebracht. Welche mittlere Bremskraft spürt die Person in den Beinen? #15: Im Crashtest wird ein Auto (1500 kg) aus dem Stand in 20 s geradlinig auf 54 km/h beschleunigt und dann an einer Barriere mit einer mittleren Kraft von 300 kN verformt. Wie hoch ist die beschleunigende Kraft? Wie groß ist die Fahrzeugverzögerung an der Barriere? Wie lange dauert der Crash, um wie viel wird das Fahrzeug deformiert? #16: Ein Körper (7 kg) auf einer um 30° geneigten schiefen Ebene ist mit einem Faden über eine Umlenkrolle mit einem Körper (2 kg) verbunden. Mit welcher Beschleunigung setzt sich die Anordnung unter Reibung (µ = 0,1) in Bewegung? Beantworten Sie die Frage, wenn die beiden Massen vertauscht werden. #17: Ein SMART (625 kg) beschleunigt mit Fahrer (75 kg) in 5,7 s von 0 auf 50 km/h, mit einem zusätzlichen Beifahrer in 6,3 s. Welche Masse hat der Beifahrer? #18: Die Schweiz schreibt vor, dass der Bremsweg bei Talfahrten maximal 6 m betragen darf. Wie schnell darf man also bei 35 % Gefälle und Rollsplitt (µ = 0,4) höchstens fahren? 15 MECHANIK DYNAMIK: LÖSUNGEN zum NEWTON’SCHEN GRUNDGESETZ # 1: a = (10 m/s) / 5 s = 2 m/s2; F = 80 kg * 2 m/s2 = 160 N # 2: a = 360000 N / 2000 kg = 180 m/s2 = 18,4 g # 3: a = (30000 m/s) / (10-9 s) = 3 * 1013 m/s2; F = 1,67 * 10-27 kg * 3 * 1013 m/s2 = 5,0 * 10-14 N # 4: Fauf = 75 kg * (9,81 + 0,2) m/s2 = 750,75 N; mauf = (750,75 N) / (9,81 m/s2) = 76,53 kg Fab = 75 kg * (9,81 - 0,3) m/s2 = 713,25 N; mab = (713,25 N) / (9,81 m/s2) = 72,71 kg # 5: ((0,7 – 0,2) kg * 9,81 m/s2) / (0,7 + 0,2) kg = 5,45 m/s2; FSeil = 0,7 kg * 9,81 m/s2 – 0,7 * 5,45 m/s2 = 0,2 kg * 9,81 m/s2 + 0,2 * 5,45 m/s2 = 3,05 N # 6: a = (3 m/s)2 / 2 * 2 m = 2,25 m/s2 => Fauf/ab = 1500 kg * (9,81 ± 2,25) m/s2 = 18090 N (auf); 11340 N (ab) # 7: mL = 80000 N / 9,81 m/s2 = 8155 kg; 100000 N = 8155 kg * (9,81 + a) m/s2 => a = 20000 N / 8155 kg = 2,45 m/s2 # 8: a = 0: 0,9 * mW * 9,81 m/s2 = 0,2 * 9,81 m/s2 => mW = 0,2 kg / 0,9 = 0,22 kg a = 3 m/s2: 0,9 * mW * 9,81 m/s2 = 0,2 * (9,81 + 3) m/s2 => mW = 2,56 N / (0,9 * 9,81 m/s2) = 0,29 kg # 9: a) m * a = μH * m * g => μH = 3 m/s2 / 9,81 m/s2 = 0,31; F = 1500 kg * 3 m/s2 = 4500 N; b) tan α = 0,2 => α = 11,3° => m * a ± m * g * sin(11,3°) = μH * m * g * cos(11,3°) => μH = (3 ± 9,81 * 0,20) / (9,81 * 0,98) = 0,52 (auf); 0,11 (ab); F = 1500 kg * (3 m/s2 ± g * sin(11,3°)) => Fab = 7386 N, Fauf = 1614 N # 10: a = (0,2 kg * 9,81 m/s2 - 0,1 * 0,1 kg * 9,81 m/s2) / (0,1 + 0,2) kg = 6,21 m/s2; s = ½ * 6,21 m/s2 * 25 s2 = 77,7 m # 11: a = (30 – 20) m/s / 2 s = 5 m/s2; FRes = Fa + FR = m * (a + μ * g) = 1500 kg * (5 + 0,1 * 9,81) m/s2 = 8971,5 N # 12: m * g * sin α = μH * m * g * cos α => tan α = μH = 0,3 => α = 16,7°; a = 9,81 m/s2 * (0,29 – 0,1 * 0,96) = 1,9 m/s2 # 13: a = (6 m/s)2/4 m = 9 m/s2; F = 2 kg * 9 m/s2 + 2 kg * 9,81 m/s2 * (0,1 * cos(30°) ± sin(30°)) = 29,5 N (auf); 9,9 N (ab) # 14: a = (1275 – 1100) kg * 9,81 m/s2 / 2375 kg = 0,723 m/s2; v = √ (2 * 0,723 m/s2 * 15 m) = 4,66 m/s; a = (4,66 m/s)2 / (2 * 0,2) m = 54,21 m/s2; F = 75 kg * (9,81 m/s2 + 54,21 m/s2) = 4801 N # 15: a = 15 m/s / 20 s = 0,75 m/s2; F = 1500 kg * 0,75 m/s2 = 1125 N; a = 300000 N / 1500 kg = 200 m/s2 = 20,4 g t = 15 m/s / 200 m/s2 = 0,075 s = 75 ms; s = ½ * 200 * 0,0752 = 0,56 m # 16: abwärts: a = (7 kg * (sin(30°) - 0,1 * cos(30°)) – 2 kg) * 9,81 m/s2 / 9 kg = 0,97 m/s2 aufwärts: a = (7 kg – 2 kg * (sin(30°) + 0,1 * cos(30°)) * 9,81 m/s2 / 9 kg = 6,35 m/s2 # 17: F = m1 * a1 = m2 * a2 => (mA + mF) * a1 = (mA + mF + mBF) * a2 = > mBF = (mA + mF) * (a1 – a2) / a2 = (mA + mF) * (a1 / a2 – 1) = (mA + mF) * (t2 / t1 – 1) ) = (625 + 75) * (6,3 / 5,7 - 1) = 73,7 kg # 18: tan α = 0,35 => α = 19,3°; v0 = √ (2 * aB * sB); mit aB = g * (μ * cos α - sin α) => v0 = √ (2 * sB * g * (μ * cos α - sin α)) v0 = √ (2 * 6 m * 9,81 m/s2 * (0,4 * cos 19,3° - sin 19,3°)) = 2,35 m/s = 8,5 km/h 16 MECHANIK DYNAMIK: ÜBUNGSAUFGABEN zu IMPULSSATZ und RŰCKSTOSS # 1: Auf einer ebenen Unterlage liegt eine Kugel der Masse 2 kg, die parallel zur Unterlage mit einem Hammer angeschlagen wird. Die Kontaktzeit ist 5 ms, und die mittlere Kraft beträgt 100 N. Wie groß sind die Geschwindigkeit und der Impuls nach dem Stoß? Wie hoch ist die mittlere Beschleunigung während des Stoßes? # 2: Eine unbekannte Kraft wirkt 3 s lang auf eine Masse von 200 g, so dass diese aus der Ruhe auf 4 m/s beschleunigt wird. Wie groß sind die Impulszunahme und die Kraft? # 3: Aus einer Düse strömen je Sekunde 10 g Wasser mit 2 m/s waagrecht aus. Welchen Rückstoß erfährt das Gefäß, wenn in ihm das Wasser praktisch in Ruhe ist? # 4: Beim Abbrennen einer Spielzeugrakete werden in 5 s 100 g Substanz ausgestoßen. Wie hoch muss deren Ausströmgeschwindigkeit sein, um eine Schubkraft von 5 N zu erzeugen? # 5: Eine Rakete stößt in 100 ms 5 kg Verbrennungsgase mit 5 km/s ab. Welche Schubkraft entwickelt sie? Mit welcher Beschleunigung hebt sie senkrecht ab, wenn ihre Masse 10 t ist. Wie lange dauert die Verbrennung des Treibsatzes von 5 t? # 6: Eine Kugel (8 g) wird mit 800 m/s aus dem Lauf eines Gewehres (5 kg) geschossen. Wie groß ist die Rückstoßgeschwindigkeit des Gewehres? Welchen Kraftstoß muss der Schütze aushalten? Wie groß ist die Kraft, wenn er den Rückstoß in 100 ms abfängt? Mit welcher Geschwindigkeit prallt der Oberkörper des Schützen (40 kg) zurück? # 7: Welche mittlere Kraft erfährt eine mit 54 km/h senkrecht gegen die Wand rollende Kugel (150 g), wenn sie mit 80% ihrer Auftreffgeschwindigkeit zurückprallt (Stoßdauer 10 ms)? # 8: Eine Kugel (100 g) prallt mit 108 km/h gegen eine Betonwand und von dort mit 72 km/h senkrecht zurück. Welche Kraft übt sie dabei auf die Wand aus, wenn die Kontaktzeit 10 ms beträgt? # 9: Eine Kugel (20 g) trifft mit 1080 km/h auf einen verankerten Holzklotz. Welche Kraft erfährt dieser in 10 ms, wenn a) die Kugel stecken bleibt, b) sie den Holzklotz mit 360 km/h durchschlägt, c) sie vom Holzklotz mit 540 km/h zurückprallt? # 10: Ein Maschinengewehr feuert pro Sekunde 6 Geschosse mit je 25 g Masse und 800 m/s ab. Die Kugeln bleiben in einem fest in der Erde verankerten Holzklotz stecken. Welche mittlere Kraft wird auf den Holzklotz ausgeübt? Welche Rückstoßkraft muss der Schütze aushalten? Was ändert sich, wenn die Kugeln mit einem Zehntel ihrer ursprünglichen Geschwindigkeit senkrecht vom Holzklotz zurückspringen? # 11: Bei der V2-Rakete strömen die Verbrennungsgase mit 2 km/s aus. Wie viel Treibstoff pro Sekunde muss verbrannt werden, um eine Schubkraft von 200 kN zu entwickeln? Wie lange ist die Brenndauer mit 5 t Treibstoff? Mit welcher Beschleunigung hebt die 10-t-Rakete lotrecht vom Startplatz ab? # 12: Aus dem Triebwerk einer meteorologischen Sonde strömen pro Sekunde 2,6 kg Gas mit 1,9 km/s aus. Welche Schubkraft entwickelt das Triebwerk? # 13: Bei der Airbagauslösung strömen innerhalb von 15 ms 300 g Festtreibstoff mit 500 km/h in den Bag. Welche Rückstoßkraft wird dadurch auf das Auto ausgeübt? Mit welcher Geschwindigkeit wird dabei ein direkt vor dem Airbag stehendes 3-jähriges Kind (15 kg) nach hinten geschleudert? #14: Ein Torwart (75 kg) fängt einen mit 30 m/s fliegenden Ball (450 g). Welchen Impuls erhält er dabei? Mit welcher Geschwindigkeit fliegt er rückwärts? Welche Kraft erfährt er, wenn er den Ball innerhalb 1/100 s abfängt? 17 MECHANIK DYNAMIK : LÖSUNGEN zu IMPULSSATZ und RŰCKSTOSS # 1: v = 100 N * 5 * 10-3 s / 2 kg = 0,25 m/s; p = 2 kg * 0,25 m/s = 0,5 m*kg/s; a = 100 N / 2 kg = 50 m/s2 # 2: p = 0,2 kg * 4 m/s = 0,8 m*kg/s; F = p / t = 0,8 m*kg/s / 3 s = 0,267 N # 3: p = 0,01 kg * 2 m/s = 0,02 m*kg/s => F = p / t = 0,02 m*kg/s / 1 s = 0,02 N # 4: v = 5 N * 5 s / 0,1 kg = 250 m/s # 5: F = 5 kg * 5000 m/s / 0,1 s = 250000 N; aSchub = 250000 N / 10000 kg = 25 m/s2 => avertikal = 15,19 m/s2 t = 5000 kg / (50 kg/s) = 100 s # 6: p = 0,008 kg * 800 m/s = 6,4 m*kg/s; vGewehr = 6,4 m*kg/s / 5 kg = 1,28 m/s; F = 6,4 m*kg/s / 0,1 s = 64 N; vSchütze = 6,4 m*kg/s / 40 kg = 0,16 m/s # 7: Δv = 15 m/s – (-12 m/s) = 27 m/s; Δp = 0,15 kg * 27 m/s = 4,05 m*kg/s; F = 4,05 m*kg/s / 0,01 s = 405 N # 8: Δv = 30 m/s – (-20 m/s) = 50 m/s; F = (0,1 kg * 50 m/s) / 0,01 s = 500 N # 9: Δv1 = 300 m/s; F1 = 100 s-1 * 0,02 kg * 300 m/s = 600 N; Δv2 = 300 m/s – 100 m/s = 200 m/s; F2 = 100 s-1 * 0,02 kg * 200 m/s = 400 N; Δv3 = 300 m/s – (-150 m/s) = 450 m/s; F3 = 100 s-1 * 0,02 kg * 450 m/s = 900 N # 10: F1 = 800 m/s * 0,15 kg/s = 120 N; p = 0,15 kg * 800 m/s = 120 m*kg/s; F2 = 0,15 kg / s * (800 m/s – (-80 m/s)) = 132 N # 11: m = 2 * 105 N * 1 s / 2 * 103 m/s = 100 kg; tB = 5000 kg / 100 kg/s = 50 s; a = 2 * 105 N / 104 kg – 9,81 m/s2 = 10,19 m/s2 # 12: F = 2,6 kg * 1900 m/s / 1 s = 4940 N # 13: F = 0,3 kg * (500 / 3,6) m/s / 0,015 s = 2777,8 N; 0,3 kg * 138,89 m/s = 15 kg * v => v = 2,78 m/s # 14: 0,45 kg * 30 m/s = 75,45 kg * u => u = 0,18 m/s; F = 75,45 kg * 0,18 m/s / 0,01 s = 1350 N 18 MECHANIK ÜBUNGSAUFGABEN zu GRAVITATION: # 1: Berechnen Sie die Gravitationskraft von 1 kg Masse auf der Erdoberfläche (Erdmasse mE= 5,98 * 1024 kg, Erdradius RE = 6370 km) und 10000 km darüber. In welcher Entfernung von der Erdoberfläche hat es ¼ des Gewichts auf der Erdoberfläche? # 2: Wo liegt der schwerefreie Punkt zwischen Erde und Mond (Abstand Erde/Mond = 384420 km, Mondmasse = 1/81 Erdmasse)? # 3: Der mittlere Abstand des Jupitermondes Jo zum Jupiter ist 4,2 * 105 km, seine Umlaufzeit ist 1 d, 18 h, 28 min. Berechnen Sie die Jupitermasse. # 4: Die beiden Komponenten des Doppelsterns α-Centauri haben die Massen 2,11 * 1030 kg und 1,79 * 1030 kg. Der Abstand der Sternmittelpunkte ist 3,48 * 109 km. Berechnen Sie die Abstände von der gemeinsamen Drehachse sowie die Umlaufzeit der beiden Sterne. # 5: Wie viel wiegt ein auf der Erdoberfläche 75 kg schwerer Mensch auf der Mondoberfläche (Mondmasse = 1/81 Erdmasse, Monddurchmesser = 0,27 Erddurchmesser)? # 6: Welche Geschwindigkeit und Umlaufzeit hat ein 6370 km über der Erdoberfläche um die Erde kreisender Satellit? # 7: Bestimmen Sie die Sonnenmasse aus dem Erdbahnhalbmesser (149600000 km) und der Dauer eines Jahres. # 8: Welche Höhe muss ein Satellit haben, wenn er über einem bestimmten Punkt des Äquators still zu stehen scheint? # 9: Welche Mindestgeschwindigkeit muss ein Satellit beim Abschuss von der Erde haben, um den Mond zu erreichen? 19 MECHANIK LÖSUNGEN zu GRAVITATION: # 1: FO = 6,67 * 10-11 m3/(kg * s2) * 5,98 * 1024 / (6,37 * 106)2 = 9,83 N FG = 6,67 * 10-11 m3/(kg * s2) * 5,98 * 1024 / (1,637 * 107)2 = 1,49 N r = √ (4 * 6,67 * 10-11 m3/(kg * s2) * 5,98 * 1024 kg / 9,81 m/s2) = 12752,9 km => 6382,9 km über der Erdoberfläche # 2: G * m * ME / x2 = G * m * MM / (a – x)2 => ME * (a – x)2 = 1/81 * ME * x2 => 80 * x2 – 162 * a * x + 81 a2 = 0 x = 0,9 * a = 345978 km zum Erdmittelpunkt # 3: FG = FZ => G * m * MJ / r2 = m * 4 * π2 * r / T2 => MJ = 4 * π2 * r3 / (G * T2) = 4 * π2 * (4,2 * 108 m)3 / (6,67 * 10-11 m3/(kg * s2) * (1,5288 * 105 s)2) = 1,88 * 1027 kg # 4: m1 * r1 = m2 * r2 und r1 + r2 = r => r2 = m1 * r / (m1 + m2) = 1,88 * 1012 m FG = FZ => G * m1 * m2 / r2 = m1 * 4 * π2 * r1 / T2 => T = √ (4 * π2 * r3 / (G * (m1 + m2)) = 80,2 Jahre # 5: FMond = G * m * MMond / RMond2 = {G * m * MErde / 81} / (0,27 * RErde)2 = m * g / 5,905, d.h. 1/5,905 = 0,17 mal so viel; eine in kg geeichte irdische Waage würde 75 kg / 5,905 = 12,7 kg anzeigen # 6: T = √ {4 * π2 * (2 * RE)3 / (G * ME)} = √ {32 * π2 * RE / g} = 14320 s = 3 h 58 min 40,6 s v = 2 * π * 2 * RE / T = 4 * π * 6,37 * 106 / 14320 s = 5,6 km/s # 7: MS = 4 * π2 * r3 / (G * T2) => MS = 4 * π2 * (1,496 * 1011)3 / {6,67 * 10-11 * (365 * 24 * 3600)2} = 1,99 * 1030 kg # 8: FG = FZ => G * m * ME / r2 = m * 4 * π2 * r / T2; T = 24 h = 86400 s => r = 3√ {6,67 * 10-11 m3/(kg * s2) * 5,98 * 1024 kg * (8,64 * 104 s)2 / (4 * π2 )}= 42252 km => h = 35882 km # 9: Er muss den schwerefreien Punkt zwischen Erde und Mond erreichen (s. Aufgabe # 2): R 0 = 3,45978 * 108 m EKin + EPot (RE) = EPot (R0); EKin = ½ * m * v02; EPot (RE) = -G * m * ME / RE; EPot (R0) = -G * m * ME / R0 => v = √ {2 * G * ME * (1 / RE - 1 / R0)} = 11,29 km/s 20 MECHANIK ÜBUNGSAUFGABEN zu ARBEIT, ENERGIE, LEISTUNG # 1: Wie hoch kann ein Segelflugzeug (ohne jegliche Verluste) steigen, wenn es mit 360 km/h von der Startbahn abhebt und am Ende des Steigflugs noch mit 108 km/h horizontal gleiten soll? # 2: Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der eine Masse von 10 kg am Boden ankommt, wenn sie in 5 m Höhe (a) aus der Ruhe losgelassen, (b) mit 36 km/h senkrecht nach oben, (c) nach unten, (d) waagrecht geworfen wird. # 3: Eine Aufzugskabine hat die Masse 1200 kg, die Masse des Gegengewichts ist 1100 kg. In der Kabine befindet sich eine Person der Masse 75 kg. Welche Arbeit ist notwendig, um die Person in die 20. Etage (50 m) zu befördern? # 4: Bremsweg eines Autos aus 144 km/h auf 54 km/h mit Reibzahl 0,8: a) eben, b) 10 % bergauf, c) 10 % bergab? # 5: Welche Arbeit ist notwendig, um ein Auto (1,5 t) auf waagrechter Straße a) reibungsfrei, b) unter Rollreibung (µ = 0,1) in 2 Sekunden von 72 km/h auf 108 km/h zu beschleunigen? # 6: Wie schnell ist ein Auto nach 150 m Gefälle (10 %), wenn es mit 18 km/h startet? (Rollreibung μ = 0,05) # 7: Wie schnell ist ein mit 108 km/h startendes Auto am Ende einer 150 m langen Steigung (10 %), wenn es a) antriebslos reibungsfrei, b) antriebslos mit Rollreibung (μ = 0,05), c) mit im Schnee durchdrehenden Rädern (μ = 0,1) hinauffährt? # 8: Eine an einem 2 m langen Faden aufgehängte Masse (500 g) wird um 60° ausgelenkt. Welche Arbeit ist dazu notwendig? Welche maximale Geschwindigkeit und wo erreicht sie nach dem Loslassen? Um wie viel wird dort beim Aufprall eine tangential angeordnete Feder (k = 5 N/mm) zusammengedrückt? # 9: Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Auto gegen eine starre Barriere prallen, damit es dieselbe Verformung hat wie nach einer Gegenverkehrskollision, bei der es von 108 auf 72 km/h abgebremst wird? # 10: Ein Auto (1500 kg) prallt mit 54 km/h gegen eine Barriere. Aus welcher Höhe müsste es herabfallen, um dieselbe Verformungsenergie zu bekommen? Um wie viel würde eine Feder (Richtgröße 600 kN/m) zusammengedrückt? # 11: Ein Radfahrer kommt mit 36 km/h an einen Hang, an dem er 5 m an Höhe verliert. Dann prallt er auf ein Hindernis. Aus welcher Höhe hätte er frei fallen müssen, um mit derselben Geschwindigkeit aufzutreffen? Wie hoch ist diese? # 12: Welche Leistung ist erforderlich, um ein Auto (1200 kg) in 6 s aus dem Stand auf 108 km/h zu beschleunigen? In welcher Zeit beschleunigt das 150 kW starke Auto aus der Ruhe auf 108 km/h (50 % Wirkungsgrad)? # 13: Die zwei Pufferfedern eines Eisenbahnwaggons (10 t) werden um 10 cm zusammengedrückt, wenn er mit 7,2 km/h auf ein festes Hindernis prallt. Wie groß ist die Richtgröße der Federn? # 14: Eine um 10 cm eingedrückte Feder hat die Richtgröße von 1000 N/m. Wie hoch schleudert sie eine 50 g Masse beim Entspannen senkrecht nach oben? Wie groß war die Abschussgeschwindigkeit? # 15: Ein Kugelschreiber (15 g) springt bei 1 cm Einfederung der Drucktaste 7 cm hoch. Wie groß ist die Federkonstante? Mit welcher Geschwindigkeit startet er? # 16: Eine 200 g Masse fällt aus 1 m Höhe auf eine vertikale, um 10 cm eingedrückte Feder (100 N/m). Um wie viel wird die Feder verformt? Mit welcher Geschwindigkeit verlässt sie die Feder, und wie hoch fliegt sie danach? # 17: Aus welcher Höhe muss eine punktförmige Kugel starten, damit sie sich im obersten Punkt einer Loopingbahn nicht von der Bahn löst? Wie schnell ist sie dann im untersten Bahnpunkt? # 18: Auf einer Walze mit Radius r gleitet reibungsfrei ein kleiner Körper. Bei welchem Winkel springt er tangential ab, wenn er im obersten Punkt mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit startet? # 19: Ein Auto (1500 kg) fährt mit 108 km/h mit Reibung (µ =0,015) und Luftwiderstand (5 kN) eine 1 km lange Steigung (10 %) hinauf. Berechnen Sie die Motorleistung und den Benzinverbrauch (33 MJ/l, 50 % Wirkungsgrad). # 20: Ein Zug (760 t) beschleunigt aus der Ruhe in 2,5 Minuten auf 216 km/h. Die Rollreibungszahl ist 0,01. Wie groß ist die Beschleunigung sowie die beschleunigende Kraft? Welche Energie und Maximalleistung müssen die Motoren dazu liefern? Welche Leistung ist erforderlich, wenn der Zug dann mit konstanter Geschwindigkeit fährt? 21 MECHANIK LÖSUNGEN zu ARBEIT, ENERGIE, LEISTUNG # 1: ½ * m * (100 m/s)2 = ½ * m * (30 m/s)2 + m * 9,81 m/s2 * h => h = ½ (1002 – 302) / 9,81 = 463,8 m # 2: ½ * m * v12 + m * g * h = ½ * m * v22 => a) v2 = √ (2 * 9,81 m/s2 * 5 m) = 9,91 m/s; b - d) v2 = 14,07 m/s # 3: W = (1200 + 75) kg * 9.81 m/s2 * 50 m – 1100 kg * 9.81 m/s2 * 50 m = 85837,5 J # 4: ½ * m * (40 m/s)2 = 0,8 * m * 9,81 m/s2 * s + ½ * m * (15 m/s)2 => a) s = (1600 – 225) / (2 * 0,8 * 9,81) = 87,60 m; b, c) tan α = 0,1 => α = 5,7°; ½ * m * (40 m/s)2 = 0,8 * m * 9,81 m/s2 * cos (5,7°) * s + ½ * m * (15 m/s)2 m * 9,81 m/s2 * sin (5,7°) * s => s = (1600 – 225) / ((2 * 9,81 * (0,8 * cos(5,7°) sin(5,7°)) => b) s = 78,26 m; c) s = 100,62 m # 5: a = (30 m/s – 20 m/s) / 2 s = 5,0 m/s2 => s = 20 m/s * 2 s + ½ * 5,0 m/s2 * 4 s2 = 50 m a) W = ½ * 1500 kg * (900 – 400) m2/s2 = 375000 J b) W = ½ * 1500 kg * (900 – 400) m2/s2 + 0,1 * 1500 kg * 9,81 m/s2 * 50 m = 448575 J # 6: tan α = 0,1 => α = 5,7°; h = 150 m * sin(5,7°) = 14,9 m; FN = m * 9,81 * cos(5,7°) = m * 9,76 m/s2 ½ * m * (5 m/s)2 + m * 9,81 m/s2 * 14,9 m = ½ * m * v22 + 0,05 * 9,76 m/s2 * m * 150 m => v2 = 13,07 m/s = 47,1 km/h # 7: tan α = 0,1 => α = 5,7°; h = 150 m * sin(5,7°) = 15 m; a) ½ * m * (30 m/s)2 = m * 9,81 m/s2 * 15 m + ½ * m * v2 => v = √ (900 m2/s2 - 2 * 9,81 m/s2 * 15 m) = 24,61 m/s b) ½ * m * (30 m/s)2 = m * 9,81 m/s2 * 15 m + ½ * m * v2 + 0,05 * m * 9,81 m/s2 * cos(5,7°) * 150 m => v = 21,43 m/s c) ½ * m * (30 m/s)2 + 0,1 * m * 9,81 m/s2 * cos(5,7°) * 150 m = m * 9,81 m/s2 * 15 m + ½ * m * v2 => v = 30 m/s a) 24,61 m/s = 88,60 km/h, b) v = 21,43 m/s = 77,15 km/h, c) v = 30 m/s = 108 km/h # 8: cos(60°) = (l – h) / l => h = 1 m; W = 0,5 kg * 9,81 m/s2 * 1 m = 4,9 J = ½ * 0,5 * v2 => v = √ (2 * 4,9/0,5) = 4,43 m/s ½ * 5000 N/m * x2 = 4,9 J => x = √ ((2 * 4,9 J) / (5000 N/m)) = 0,044 m = 4,4 cm # 9: ½ * m * v02 = ½ * m * (v22 – v12) => v0 = √(v22 – v12) = √(900 – 400) m/s = 22,36 m/s = 80,50 km/h # 10: h = (15 m/s)2 / (2 * 9,81 m/s2) = 11,5 m; ½ * 600000 N/m * x2 = ½ * 1500 kg * (15 m/s)2 => x = 0,75 m # 11: h = (10 m/s)2 / (2 * 9,81 m/s2) + 5 m = 10,1 m; v = √ (100 m2/s2 + 2 * 9,81 m/s2 * 5 m) = 14,07 m/s = 50,7 km/h # 12: W = ½ * 1200 kg * (30 m/s)2 = 540 kJ => P = 540 kJ / 6 s = 90 kW; t = (½ * 1200 kg * (30 m/s)2) / 75 kW = 7,2 s # 13: 2 * 1/2 * k * (0,1 m)2 = ½ * 10000 kg * (2 m/s)2 => k = 2 * 106 N/m # 14: ½ * 1000 N/m * (0,1 m)2 = 0,05 kg * 9,81 m/s2 * h => h = 10,2 m; ½ * k * x2 = ½ * m * v2 + m * g * x => ½ * 1000 * (0,1 m)2 = ½ * 0,05 kg * v2 + 0,05 kg * 9,81 m/s2 * 0,1 m => v = √(1000 * (0,1)2 / 0,05 - 2 * 9,81 m/s2 * 0,1 m) = 14,07 m/s # 15: ½ * k * (0,01 m)2 = 0,015 kg * 9,81 m/s2 * 0,07 m => k = 2 * 0,015 * 9,81 * 0,07 / (0,01)2 = 206,01 kg / s2 = N/m # 16: ½ * k * ((x0 + x)2 – x02) = m * g * (h + x) => k * x2 + 2 * (k * x0 – m * g) * x – 2 * m * g * h = 0 => 100 * x2 + 16,076 * x – 3,924 = 0 => x = 0,133 m # 17: v02 = g * r; Δh = v02 / (2 * g) = r/2; h = r/2 + 2 * r = 5/2 * r; ½ * v12 = ½ * v02 + g * 2*r = 3 * g * r => v1 = √ (5 * g * r) # 18: v2 / r > g * cos φ; ½ * v2 = g * Δh; cos φ = (r – Δh) / r => Δh = r * (1 – cos φ) => 2 * g * r * (1 – cos φ) > r * g * cos φ => cos φ < 2/3 => φ > 48,2° # 19: tan α = 0,1 => α = 5,7°; h = 1000 m * sin(5,7°) = 99,50 m; t = 1000 m / 30 m/s = 33,33 s W = (1500 kg * 9,81 m/s2 * 99,50 m + 0,015 * 1500 kg * 9,81 m/s2 * cos(5,7°) * 1000 m) = 1683826 J P = 1683 kJ / 33,33 s = 50,51 kW; V = 2 * 1683826 J / 33000000 J/l = 0,1 l # 20: aT = 60 m/s / (2,5 * 60 s) = 0,4 m/s2; s = ½ * 0,4 * 1502 = 4500 m; F = 760 * 103 kg * 0,4 m/s2 + 760 * 103 kg * 0,01* 9,81 m/s2 = 378,56 kN; W = ½ * 760 * 103 kg * (60 m/s)2 + 0,01 * 760 * 103 kg * 9,81 m/s2 * 4500 m = 1,70 * 109 J P1,max = F * v max = 378,56 kN * 60 m/s = 22,7 MW; P2 = 0,01 * 760 * 103 kg * 9,81 m/s2 * 60 m/s = 4,47 MW 22 MECHANIK ÜBUNGSAUFGABEN zu IMPULSERHALTUNG, STÖSSE # 1: Zwei Kugeln (5 kg, 10 kg) stoßen mit 8 bzw. 5 m/s aufeinander und kleben danach zusammen. Welche Geschwindigkeit haben sie, wenn sie sich (a) aufeinander zu bewegen, (b) in dieselbe Richtung bewegen? # 2: Ein Eisenbahnwaggon (24 t) kuppelt mit 10,8 km/h an einen zweiten Waggon (20 t), der sich mit 3,6 km/h bewegt. Wie groß ist die gemeinsame Endgeschwindigkeit, wenn sich die Waggons (a) aufeinander zu bewegen, (b) in dieselbe Richtung bewegen? Wie viel % der Bewegungsenergie geht jeweils verloren? # 3: Eine horizontal fliegende Kugel (10 g) bleibt in einem an einem 2 m langen Faden hängenden Sandsack (10 kg) stecken, der infolgedessen um 30 cm horizontal ausgelenkt wird. Welche Geschwindigkeit hatte das Geschoss? Wie viel % der Anfangsenergie gingen dabei verloren? # 4: Durch einen Defekt werden in einem Ventil zwei Körper mit 120 g und 300 g durch die plötzlich entspannte Feder in entgegengesetzter Richtung aus ihrer Führung hinausgeworfen. Die Feder gibt dabei eine Energie von 5 J ab. Mit welcher Geschwindigkeit verlassen die beiden Körper die Führungen? # 5: Eine Kugel (80 g) wird mit 360 km/h horizontal in einen Klotz (4 kg) geschossen und bleibt dort stecken. Wie weit bewegt sich der Klotz danach horizontal (Reibungszahl = 0,2)? # 6: Eine Kugel (80 g) wird mit 720 km/h auf einen Holzklotz (5 kg) geschossen und durchschlägt diesen mit einem Energieverlust von 80 %. Wie groß sind die Geschwindigkeiten von Kugel und Klotz unmittelbar danach? # 7 Ein Auto (1500 kg) prallt auf ein mit 54 km/h vorausfahrendes Auto (2 t). Nach 100 m Rutschen kommen die beiden ineinander verhakten Fahrzeuge zum Stillstand, wobei nur das auffahrende Fahrzeug bremst (μ = 0,6). Wie groß war die Geschwindigkeit der beiden Fahrzeuge nach dem Zusammenstoß sowie die des auffahrenden Autos? # 8: Eine Kugel (m = 3,54 g) fliegt horizontal mit v0 in Richtung zweier auf einer Tischoberfläche in 20 cm Abstand ruhender Klötze. Sie durchdringt den 1. Klotz (m = 1,22 kg) und bleibt im zweiten stecken (m = 1,78 kg). Klotz 1 rutscht um 10 cm, Klotz 2 um 56 cm (μ = 0,2). Wie groß sind die Geschwindigkeiten der Klötze nach dem Stoß? Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf den 2. Klotz? Wie groß ist ihre Anfangsgeschwindigkeit? # 9: Ein Wagen (25 kg) bewegt sich reibungsfrei mit 10 m/s. Im Wagen ist eine Feder (k = 1000 N/cm) um 5 cm gespannt, an die ein zweiter Wagen (5 kg) gekoppelt ist. Wie groß ist die Relativgeschwindigkeit zwischen dem großen und kleinen Wagen nach dem Lösen der Spannvorrichtung (2 Lösungen)? #10: In einer horizontalen Rinne bewegen sich zwei Körper reibungsfrei in derselben Richtung. Der schnellere (2 kg, 6 m/s) kuppelt an den langsameren (3 kg, 1 m/s) an, der auf seiner Rückseite eine Feder (k = 3000 N/m) trägt. Um wie viel wird die Feder zusammengedrückt? Wie schnell sind die Wagen, wenn die Feder maximal zusammengedrückt ist, wie schnell nach dem Entspannen der Feder? #11: Ein Geschoss (20 g) trifft mit 432 km/h auf einen an einer Schnur aufgehängten Holzklotz (1 kg). Nachdem die Kugel aus dem Klotz ausgetreten ist, hat das Pendel die Geschwindigkeit von 2 m/s. Wie schnell ist das Geschoss nach dem Durchschlagen des Klotzes? #12: Fahrzeug A (1400 kg) prallt auf ein stehendes Fahrzeug B (1100 kg). Nach dem Zusammenstoß rutscht Fz. A 6,1 m, Fz. B 8,2 m (Reibzahl 0,13). Welche Geschwindigkeiten hatten die beiden Autos jeweils nach dem Stoß, wie schnell fuhr Fz. A vor dem Aufprall, wie hoch ist der gesamte Energieverlust beim Zusammenstoß? # 13: Ein mit v0 fliegender Körper zerplatzt in 2 Teile, deren Massen sich wie 1:3 verhalten. Die Geschwindigkeit des leichten Körpers beträgt 3 * v0 und ist senkrecht zu v0. Wie groß ist die Geschwindigkeit des schweren Bruchstücks? # 14: 2 Knetkugeln hängen an gleichlangen Fäden am selben Punkt. Die eine wird bis zur Höhe h1 ausgelenkt und dann losgelassen. Wie ist das Massenverhältnis der nach dem Stoß aneinander haftenden Kugeln, wenn sie um ½ h1 auspendeln? Wie hoch ist der Energieverlust? 23 MECHANIK LÖSUNGEN zu IMPULSERHALTUNG, STÖSSE # 1: 5 kg * 8 m/s ± 10 kg * 5 m/s = 15 kg * vn => vn = (40 ± 50) / 15 = 6 m/s (b); -0,67 m/s (a) # 2: 24 * 103 kg * 3 m/s ± 20 * 103 kg * 1 m/s = 44 * 103 kg * vn => vn = (72 ± 20) / 44 = 2,09 m/s; 1,18 m/s ΔE/E = 1 – En/Ev = 1 – (½ * 44 * 103 kg * vn2) / (½ * 24 * 103 kg * 9 m2/s2 + ½ * 20 * 103 kg * 1 m2/s2) = 18,5 %; 74 % # 3: sin φ = 0,3/2 = 0,15 => φ = 8,6°; h = 2 * (1 – cos (8,6°)) = 0,0226 m; vn = √(2 * 9,81 m/s2 * 0,0226) = 0,67 m/s 0,01 kg * vv = 10,01 kg * 0,67 m/s => vv = 666,97 m/s ΔE/E = 1 – En/Ev = 1 – (½ * 10,01 kg * (0,67 m/s)2) /(½ * 0,01 kg * (666,97 m/s)2) = 99,9 % # 4: 0,12 * v1 – 0,3 * v2 = 0 => v1 = 2,5 * v2; ½ * 0,12 * v12 + ½ * 0,3 * v22 = 5 J = 0,525 * v22 => v2 = 3,1 m/s; v1 = 7,7 m/s # 5: 0,08 kg * 100 m/s = 4,08 kg * v => v = 1,96 m/s; s = v2 / (2 * a) = (1,96 m/s)2 / (2 * 0,2 * 9,81 m/s2) = 0,98 m Alternativ EES: ½ * m * v2 = FR * s => s = (1,96 m/s)2 / (2 * 0,2 * 9,81 m/s2) = 0,98 m # 6: 0,08 kg * 200 m/s = 0,08 kg * u1 + 5 kg * u2 => u1 = 12,5 * (16 – 5 * u2) = 200 – 62,5 * u2 0,2 * ½ * 0,08 kg * (200 m/s)2 = ½ * 0,08 kg * u12 + ½ * 5 kg * u22 => 158,75 * u22 – 1000 * u2 + 1280 = 0 u2 = 1,79 m/s; u1 = 88,32 m/s # 7: 1500 kg * v1 + 2000 kg * 15 m/s = 3500 kg * u => v1 = (3500 * u – 30000) / 1500 ½ * 3500 kg * u2 = 0,6 * 1500 kg * 9,81 m/s2 * 100 m => u = 22,46 m/s = 80,9 km/h => v1 = 32,41 m/s = 116,7 km/h # 8: u2 = √ (2 * 0,2 * 9,81 m/s2 * 0,1 m) = 0,626 m/s; u3 = √ (2 * 0,2 * 9,81 m/s2 * 0,56 m) = 1,48 m/s 1. Stoß: 0,00354 kg * v1 = 0,00354 kg * u1 + 1,22 kg * 0,626 m/s => v1 = (0,00354 * u1 + 0,7642) / 0,00354 2. Stoß: 0,00354 kg * u1 = 1,78354 kg * 1,48 m/s => u1 = 745,66 m/s => v1 = 961,54 m/s # 9: (25 kg + 5 kg) * 10 m/s = 25 * u1 + 5 * u2 => u2 = 60 – 5 * u1; ½ * (25 kg + 5 kg) * 100 m2 / s2 + ½ * 105 N/m * 25 * 10-4 m = ½ * 25 * u12 + ½ * 5 * u22 30 * u12 – 600 * u1 + 2950 = 0 => 2 Lösungen (Feder in Fahrtrichtung vor bzw. hinter dem inneren Wagen): u1 = 10 m/s 1,29 m/s; u1 = 8,71 m/s, u2 = 16,5 m/s; u1 = 11,29 m/s, u2 = 3,55 m/s; Δu = 7,74 m/s Einfacher im Schwerpunktsystem: u1 * 25 kg = - u2 * 5 kg, => u2 = - 5 * u1 ½ * 105 N/m * 25 * 10-4 m = ½ * 25 * u12 + ½ * 5 * u22 = ½ * (25 + 125) * u12 => u1 = ± 1,29 m/s => -u2 = ± 6,45 m/s; Relativgeschwindigkeit Δu = 1,29 m/s + 6,45 m/s = 7,74 m/s in beiden Fällen # 10: 2 kg * 6 m/s + 3 kg * 1 m/s = 5 kg * u => u = 3 m/s; ½ * 2 kg * 36 m2/s2 + ½ * 3 kg * 1 m2/s2 = ½ * 5 kg * 9 m2/s2 + ½ * 3000 N/m * x2 => x = 0,01 m Nach Entspannen der Feder: elastischer Stoß => u1 = {-1 kg * 6 m/s + 2 * 3 kg * 1 m/s} / 5 kg = 0 m/s u2 = {+1 kg * 1 m/s + 2 * 2 kg * 6 m/s} / 5 kg = 5 m/s # 11: 0,02 kg * 120 m/s = 1 kg * 2 m/s + 0,02 kg * u1 => u1 = 20 m/s # 12: u1 = √ (2 * 0,13 * 9,81 m/s2 * 6,1 m) = 3,94 m/s; u2 = √ (2 * 0,13 * 9,81 m/s2 * 8,2 m) = 4,57 m/s 1400 kg * v1 = 1400 kg * 3,94 m/s + 1100 kg * 4,57 m/s => v1 = 7,52 m/s ΔE/E = 1 – En/Ev = 1 – (½ * 1400 * (3,94 m/s)2 + ½ * 1100 * (4,57 m/s)2) / (½ * 1400 * (7,52 m/s)2 = 1 – 0,56 = 44 % # 13: x-Richtung: 4 * m * v0 = 3 * m * v2x => v2x = 4/3 * v0; y-Richtung: m * 3 * v0 = 3 * m * v2y; > v2y = 1/3 * 3 * v0 = v0 v2 = v0 *√ (16/9 + 1) = 5/3 * v0; tan α = v0 / (4/3 * v0) = 0,75 => α = 36,87° # 14: m1 * v1 = (m1 + m2) * u => m1 * √ ( 2 * g * h1) = (m1 + m2) * √ (2 * g * h2) => m1 * √ h1 = (m1 + m2) * √ h2 => m12 * h1 = (m1 + m2)2 * h2 = (m1 + m2) * ½ h1 => 2 * m12 = (m1 + m2)2 => √2 * m1 = m1 + m2 => m1 / m2 = √2 -1 ΔE = m1 * g * h1 – (m1 + m2) * g * ½ * h1 = m1 * g * h1 (1 – ½ * √2); E = m1 * g * h1 => ΔE/E = (1 – ½ * √2) = 0,293 24 MECHANIK ÜBUNGSAUFGABEN zu STARRKÖRPER: # 1: An den beiden Enden eines über eine Umlenkrolle (Massenträgheitsmoment J RS) laufenden Fadens hängen die beiden Massen m1 > m2. Mit welcher Winkelbeschleunigung und Beschleunigung setzt sich die Anordnung in Bewegung? # 2: Ein 2 m langer dünner Stab (1,4 kg) ist an einem Ende drehbar gelagert und wird aus waagrechter Lage losgelassen. Wie groß ist seine Winkelbeschleunigung? Wie groß ist die Beschleunigung des Schwerpunktes und des Stabendes? Wie groß ist die Auflagekraft? Mit welcher Winkelgeschwindigkeit geht der Stab durch die vertikale Lage? # 3: Ein Junge (25 kg) springt tangential mit 2,5 m/s auf ein ruhendes Karussell (4 m Durchmesser, 500 kg * m2 Massenträgheitsmoment). Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich das Karussell danach? Berechnen Sie die kinetischen Anfangs- und Endenergien des Systems. # 4: Drei Massepunkte m bilden ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge l. Wie groß sind die Massenträgheitsmomente bezüglich einer Achse (a) senkrecht zur Dreiecksebene durch den Schwerpunkt, (b) durch den Schwerpunkt und eine Ecke, (c) durch den Schwerpunkt parallel zu einer Seite? # 5: Ein 2 m langer dünner Stab (3 kg) ist drehbar gelagert und hängt senkrecht herunter. Gegen das untere Stangenende prallt horizontal eine Knetmasse (100 g) mit 2 m/s und bleibt kleben. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoß? Um welchen Winkel werden Stab und Ball ausgelenkt? Mit welcher Geschwindigkeit prallt ein Gummiball derselben Masse vollelastisch von der Stange zurück? # 6: Ein mit 2800 Umdrehungen pro Minute rotierendes Rad (300 kg * cm2 Massenträgheitsmoment, 2 kg Masse, 30 cm Durchmesser) wird auf den Boden aufgesetzt und setzt sich in Bewegung. Welche Geschwindigkeit erreicht das Rad am Ende des Rutschvorgangs? Wie lange dauert der Rutschvorgang, wenn der Reibungskoeffizient = 0,2 beträgt? # 7: Zwei mit unterschiedlicher Drehzahl auf einer Achse rotierende Scheiben werden zusammengedrückt, bis sie eine gemeinsame Drehzahl erreicht haben. Berechnen Sie diese, falls Winkelgeschwindigkeit und Massenträgheitsmoment der einen Scheibe um 20 % höher sind bei (a) gleichem, (b) gegenläufigem Drehsinn. # 8: Ein quadratischer Rahmen aus dünnen Stäben (Stablänge l, Masse m) wird an einer Ecke drehbar an einem Nagel in der Wand aufgehängt. Wie groß ist sein Massenträgheitsmoment? # 9: Ein CO-Molekül hat die Massen mC = 12 u, mO = 16 u, u = 1,6606 * 10-27 kg; Atomabstand d = 0,128 nm. Wo liegt sein Schwerpunkt? Wie groß ist das Massenträgheitsmoment des Moleküls? Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit, wenn es mit dem Drehimpuls von 1,49 * 10-34 J * s um seinen Schwerpunkt rotiert? #10: Das System Golfschläger + Arme wird als Stab der Länge 1,5 m und 1,5 kg Masse betrachtet. Der Kopf des Schlägers hat eine zusätzliche Punktmasse von 100 g. Beim Abschlag trifft der Schlägerkopf den Ball (45 g) mit 20 m/s und wird dabei um 20 % abgebremst. Wie schnell startet der Ball seine Flugbahn? #11: Eine Kugel (Masse m, Radius r, Massenträgheitsmoment J S) rollt durch einen Looping mit Radius R = 10 * r. Aus welcher Höhe muss sie starten, damit sie auf der Kreisbahn bleibt? #12: Ein Wasserschwall (0,785 kg) trifft mit 15 m/s unter 60° zur Horizontalen in einen an einer Kreisscheibe (50 kg Masse, 2 m Durchmesser) in 9-Uhr-Position befestigten Eimer (20 cm Durchmesser, 5 kg Masse). Mit welcher Winkelgeschwindigkeit beginnt sich das Wasserrad zu drehen? #13: Ein Kreisel wird an einem um die Achse (0,6 cm Durchmesser) gewickelten Faden durch Ziehen mit 3 N in 0,5 s in Rotation versetzt und dreht sich dabei 20 Mal. Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, die Arbeit, das Drehmoment und das Massenträgheitsmoment des Kreisels. #14: Der 20 m lange stabförmige Ausleger eines Turmdrehkrans (m = 1500 kg) hebt an seinem 16 m vom Drehpunkt entfernten Ende eine Last von 2,5 t. Das Gegengewicht am anderen Ende beträgt 4 t. Der zylindrische Drehturm hat einen Radius von 90 cm und eine Masse von 9 t. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment des Systems. Der Kran benötigt für eine Umdrehung 20 s. Wie ändert sich diese, nachdem die Last fallen gelassen wurde? 25 MECHANIK LÖSUNGEN zu STARRKÖRPER: # 1: α = (m1 – m2) * g * r / {(m1 + m2) * r2 + JRS}; a = α * r = (m1 – m2) * g / {(m1 + m2) + JRS / r2} # 2: JSA = 1/12 * m * l2 + m * (½ * l)2 = ⅓ * m * l2; α = m * g * ½ * l / (⅓ * m * l2) = 3 * g / (2 * l) = 7,36 rad / s2 aS = α * l/2 = 7,36 s-2 * 1 m = 7,36 m/s2; al = α * l = 7,36 s-2 * 2 m = 14,7 m/s2; FA = m * (g – aS) = 3,43 N m * g * ½ * l = ½ * JSA* ω2 => ω = √(3 * g / l) = 3,84 s-1 # 3: 25 kg * 2,5 m/s * 2 m = 500 kg * m2 * ω + 25 kg * 4 m2 * ω => ω = (125 kg * m2 / s) / (600 kg * m2) = 0,21 s-1 Ev = ½ * 25 kg * (2,5 m/s)2 = 78,13 J; En = ½ * (600 kg * m2) * (0,21 s-1)2 = 13 J # 4: JS = 3 * m * (⅓ * √3 * l)2 = m * l2; JE = 2 * m * (½ * l)2 = ½ * m * l2; JP = 2 * m * (√3/6 * l)2 + m * (√3/3 * l)2 = ½ * m * l2 # 5: JSA = 1/12 * m * l2 + m * (½ * l)2 = ⅓ * m * l2 = ⅓ * 3 kg * (2 m)2 = 4 kg * m2; JBA = m * l2 = 0,1 kg * 4 m2 = 0,4 kg * m2 0,1 kg * 2 m/s * 2 m = (4 kg * m2 + 0,4 kg * m2) * ω => ω = (0,4 kg * m2 / s) / (4,4 kg * m2) = 0,091 s-1 Ev = En => ½ * (JSA + JB) * ω2 = (½ * h * mS + h * mB) * g => h = 0,00116 m => cos φ = (l – h) / l = 0,99942 => φ = 1,95° Drehimpulserhaltung: 0,1 kg * 2 m/s * 2 m = 4 kg * m2 * ω + 0,1 kg * 2 m * uB; (1) Energieerhaltung: ½ * 0,1 kg * (2 m/s)2 = ½ * 4 kg * m2 * ω² + ½ * 0,1 kg * u²B (2) => Gl.1 0,2 * (2 – uB) = 4 * ω und Gl.2 0,1 * (4 – uB2) = 4 * ω2 => Gl.1 0,04 * (2 – uB)2 = 16 * ω2 und Gl.2 0,1 * (2 – uB) * (2 + uB) = 4 * ω2 Gl.1 / Gl.2 => 0,04 / 0,1 * (2 – uB) / (2 + uB) = 4 => uB = (0,08 – 0,8) / (0,4 + 0,04) = -1,64 m/s # 6: Beschleunigung des Schwerpunkts: aS = * g => vS = aS * t = *g * t Bremsen der Drehbewegung: = MB / J S = - * g * m * r / J S v (tEnd) = ω (tEnd) * r: *g * tEnd = ω0 * r - ( * g * m * r² / JS) * tEnd => tEnd = 8,96 s Endgeschwindigkeit: vEnd = *g * tEnd = 17,59 m/s Alternative Lösung: JA = 0,03 kg * m2 + 2 kg * (0,15 m)2 = 0,075 kg * m2; JS * ωS = JA * ωA => 0,03 kg * m2 * 2 * π * 2800 / 60 s-1 = 0,075 kg * m2 * ωA => ωA = 117,3 s-1; => v = 0,15 m * 117,3 = 17,59 m/s; a = * g = 0,2 * 9,81 m/s2 = 1,962 m/s2; mit v = a * t => tEnd = 17,59 m/s / 1,962 m/s2 = 8,96 s # 7: a) J1 * ω1 + 1,2 * J1 * 1,2 * ω1 = (J1 + 1,2 * J1) * ω => ω = 2,44 / 2,2 * ω1 = 1,11 * ω1 b) -J1 * ω1 + 1,2 * J1 * 1,2 * ω1 = (J1 + 1,2 * J1) * ω => ω = 0,44 / 2,2 * ω1 = 0,2 * ω1 # 8: J1 = J4 = 1/12 * m * l2 + m * ( l/2)2 = ⅓ * m * l2; J2 = J3 = 1/12 * m * l2 + m * r2; mit r2 = l2 + (l/2)2 = 5/4 * l2 => J2 = J3 = 4/3 * m * l2; J = J1 + J2 + J3 + J4 = 10/3 * m * l2 # 9: x * 12 * u = (d – x) * 16 * u => x = 4/7 * d = 0,073 nm; JS = 12 * u * x2 + 16 * u * (d - x)2 = u * d2 * (12 * 16/49 + 16 * 9/49) = 6,86 * (0,128 * 10-9 m)2 * 1,6606 * 10-27 kg = 1,87 * 10-46 kg * m2; ω = (1,49 * 10-34 m2 * kg/s) / (1,87 * 10-46 kg * m2) = 7,99 * 1011 s-1 # 10: JSA = 1/12 * mS * l2 + mS * (½ * l)2 + mK * l2 = (⅓ * 1,5 + 0,1) kg * 2,25 m2 = 1,35 kg * m2; JBA = mB * l2 = 0,045 kg * 2,25 m2 = 0,1 kg * m2 JSA * v0 / l = JSA * 0,8 * v0 / l + JBA * vB / l => vB = 0,2 * 1,35 * 20 / 0,1 = 54 m/s = 194,4 km/h # 11: JKS = 2/5 * m * r2; Fz = FG => m * v2 / (R - r) = m * g => v2 = (R – r) * g; ω = v / r; Δh = h – 2 * R + r; R = 10 * r m * g * (h – 2 * R + r) = ½ * m * (R – r) * g + ½ * 2/5 * m * r2 * (v / r)2 => h = (63/10 -1 + 20) * r = 253/10 * r # 12: l = 1 m + 0,1 m = 1,1 m; v0 = 15 m/s * sin(60°) = 13 m/s; JWM = mw * l2 = 0,785 kg * (1,1 m)2 = 0,95 kg * m2 JRM = ½ * mS * r2 + mE * l2 = ½ * 50 kg * 1 m2 + 5 kg * (1,1 m)2 = 31,05 kg * m2; JWM * v0 / r = (JWM + JRM) * ω => ω = 0,95 kg * m2 * 13 s-1 / (31,05 + 0,95) kg * m2) = 0,39 s-1 # 13: α = 2 * φ / t2 = 80 * π / 0,25 s2 = 1005,3 s-2; ω = α * t = 1005,3 s-2 * 0,5 s-1 = 502,6 s-1; M = 3 N * 0,003 m = 0,009 Nm W = M * φ = 0,009 Nm * 40 * π = 1,131 Nm = ½ * J * (502,6 s-1)2 => J = 0,895 * 10-5 kg * m2; alternativ: J = M / α # 14: J = JTurm + JAusleger + JLast + JGewicht = ½ * 9000 kg * 0,9² m² + (1/12 * 1500 kg * 20² m² +1500 kg * 6² m²) + 2500 kg * 16² m² + 4000 kg * 4² m² = 811645 kg m² = (3645 + 50000 + 54000 + 640000 + 64000) kg m² Gar nicht, denn die Last nimmt ihren Drehimpuls mit! 26 ELEKTRIZITÄTSLEHRE ÜBUNGSAUFGABEN zum ELEKTRISCHEN FELD # 1: Zwischen 2 Platten mit 2 cm Abstand liegen 1000 V. Wie hoch ist die elektrische Feldstärke, wie groß die Kraft auf eine Ladung von 10-8 C? # 2: Ein Wattebausch (10-2 g) ist mit 10-10 C geladen. Welche Geschwindigkeit hat er, wenn er mit 100000 V beschleunigt wird? Wie hoch muss die Spannung sein, damit er zwischen 2 waagrechten Platten mit 2 cm Abstand schwebt? # 3: In einem senkrecht nach unten gerichteten homogenen elektrischen Feld (200 V/cm) schwebt ein geladenes Öltröpfchen (4 * 10-7 g). Wie hoch ist die Ladung des Tröpfchens, wie viele Elektronen befinden sich darauf? # 4: Zwei Kügelchen der Masse 1 g tragen jeweils die Ladung 1,33 * 10-10 C. Beide hängen an gleich langen Seidenfäden, die im selben Punkt befestigt sind. Wie lang sind die Fäden, wenn der Abstand der Kugelmittelpunkte 1 cm ist? # 5: Vier Ladungen (1 µC, -2 µC, -3 µC, -4 µC) befinden sich in den Ecken eines Quadrats mit 1 m Kantenlänge. Im Zentrum des Quadrats befindet sich die Ladung 5 µC. Welche Kraft (Betrag und Richtung) wirkt auf diese? # 6: Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei im Abstand l angeordneten Ladungen +Q und -Q. Berechnen Sie die Kraft auf eine positive Punktladung entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen als Funktion des Abstandes x vom Mittelpunkt. Wird sie am Ort x < -l/2 bzw. x > x/2 angezogen oder abgestoßen? Wie verhält sich die Kraft für sehr große x-Werte? # 7: Drei Ladungen (+2 µC, -3 µC, +4 µC) sind linear und äquidistant im Abstand von 10 cm angeordnet. Bestimmen Sie die auf die mittlere Ladung ausgeübte Kraft. # 8: Berechnen Sie für 2 Protonen (Masse = 1,67 * 10-27 kg, Ladung = 1,60 * 10-19 C) das Verhältnis der elektrostatischen Kraft zur Gravitationskraft. # 9: In einem homogenen und horizontal gerichteten elektrischen Feld der Stärke 1,8 * 104 V/m hängt an einem masselosen Faden ein Kügelchen mit der Masse 5 g und der Ladung 0,5 µC. Welches Vorzeichen hat die Ladung, und wie hoch ist der Winkel des Fadens, wenn das Kügelchen entgegen der Feldstärke ausgelenkt ist? #10: Die beiden Protonen im Heliumkern haben einen Abstand von 1,5 * 10-15 m. Mit welcher Kraft stoßen sie sich ab? Wie groß ist das elektrische Feld an einem Punkt an dem die Kraft auf eine Probeladung von 5 µC 2 * 10-4 N beträgt? #11: Ein Elektron wird mit einer Geschwindigkeit von 2 * 106 m/s in ein homogenes elektrisches Feld mit der Feldstärke von 1000 N/C geschossen. Wo kommt es zum Stillstand, wenn das Feld dem Elektron entgegen gerichtet ist? Welche Geschwindigkeit hätte es, wenn es dieselbe Strecke in einem gleichgerichteten Feld durchläuft? #12: Nach dem Rutherfordschen Atommodell umkreisen die negativen Elektronen den positiven Atomkern. Berechnen Sie mit diesem Modell die Umlaufzeit des Wasserstoffelektrons, wenn der Bahnradius 53 pm beträgt. #13: Berechnen Sie die Kapazität eines Plattenkondensators (20 m 2 Fläche, 0,05 mm Plattenabstand, εr = 2). Welche Ladung nimmt er bei 100 V auf? Wie hoch ist die elektrische Feldstärke und welche Energie nimmt er auf? #14: Wie lang müssen zwei 5 cm breite Stanniolstreifen sein, um, durch 0,05 mm dünnes Papier getrennt, einen Kondensator mit 10 µF zu bilden? #15: Welche Kapazität ist zu 10 µF parallel (in Serie) zu schalten, damit sich eine Kapazität von 15 µF (5 µF) ergibt? #16: Zwischen zwei Kondensatorplatten liegt eine Spannung. Anschließend bringt man in den Zwischenraum Hartgummi (εr = 2). Wie ändern sich die Kapazität und Ladung, wenn die Spannungsquelle angeschlossen bleibt? Wie ändern sich Spannung und Feldstärke, wenn die Platten nach dem Aufladen isoliert bleiben? #17: Drei Plattenkondensatoren mit jeweils 10 µF kann man auf vier verschiedene Arten zusammenschalten. Welche Kapazität hat jeweils die Anordnung? Welche Spannung bekommt jeweils jeder Kondensator, wenn an die Anordnung 100 V gelegt werden? 27 ELEKTRIZITÄTSLEHRE LÖSUNGEN zum ELEKTRISCHEN FELD # 1: E = U / d = 1000 V / 0,02 m = 5 * 104 V/m; F = Q * E = 10-8 A * s * 5 * 104 V/m = 5 * 10-4 N # 2: Q * U = ½ * m * v2 => v = √ (2 * 10-10 A * s * 105 V / 10-5 kg) = 1,41 m/s Q * U / d = m * g => U = 10-5 kg * 9,81 m/s2 * 0,02 m / 10-10 A * s = 1,96 * 104 V # 3: m * g = Q * E => Q = 4 * 10-10 kg * 9,81 m/s2 / 20000 V/m = 1,96 * 10-13 A * s; n = Q / e = 1,23 * 106 Elektronen # 4: tan φ = FE / FG = kC * Q2 / (r2 * m * g) ≈ sin φ = r/2 / l => l = (0,01 m)3 * 0,001 kg * 9,81 m/s2 / (2 * (1,33 * 10-10 C)2 * 8,988 * 109 C / V * m) = 30,85 m # 5: F15 = -8,988 * 109 V * m / C * 10-6 * 5 * 10-6 C2 / (½ m2) = 89,9 mN abstoßend => F15 = {63,5; -63,5} mN F25 = 2 * F15 = 179,6 mN anziehend => F25 = {127; 127} mN; F35 = 3 * F15 = 269,4 mN anziehend => F35 = {190,5; -190,5} mN; F45 = 4 * F15 = 359,2 mN anziehend => F45 = {-254; -254} mN; F = F15 + F25 + F35 + F45 = {127; -381} mN; F = 401 mN; φ = -71,6° # 6: F = G * q * Q * (1 / (l/2 + x)2 - (1 / (l/2 - x)2) = -G * q * Q * 2 * l * x / ((l/2 + x)2 * (l/2 - x)2) = -G * q * Q * 2 * l * x / (l²/4 - x²)2 Für x > l/2 wird die positive Punktladung angezogen, F(x) < 0, für x < -l/2 abgestoßen, F(x) > 0 1 / (x + l/2)2 = 1 / x2 * 1 / (1 + l / 2 * x)2; 1 / (x - l/2)2 = 1 / x2 * 1 / (1 - l / 2 * x)2 F(x » l/2) = -G * q * Q * 2 * l x / x4 = -2 * G * q * Q * l / x3 # 7: F = F12 + F23 = G / (0,1 m)2 * (2 * 3 – 3 * 4) (μC)2 = -8,988 * 109 V * m / C * 102 m-2 * 6 * 10-12 C² = -5,39 N # 8: FE / FG = K * (1,6 * 10-19)2 / (G * (1,67 * 10-27)2) = 8,988 * 109 * (1,6 * 10-19)2/(6,67 * 10-11 * (1,67 * 10-27) 2) = 1,24 * 1036 # 9: tan φ = FE / FG = E * Q / (m * g) = 1,8 * 104 V/m * 0,5 * 10-6 C / (5 * 10-3 kg * 9,81 m/s2) = 0,1835 => φ = 10,4° # 10: F = 8,988 * 109 V * m / C * (1,6 * 10-19 C)2 / (1,5 * 10-15 m)2 = 102,2 N # 11: ½ * m * v2 = e * E * s => s = 9,11 * 10-31 kg * 4 * 1012 m2 / s2 / (2 * 1,60 * 10-19 C * 103 N/C) = 1,14 * 10-2 m = 1,14 cm v1 = 2 * 106 m/s * √2 = 2,83 * 106 m/s # 12: FC = FZ => G * e2 / r2 = me * r * 4 * π2 / T2 => T = √ (9,11 * 10-31 kg * (53 * 10-12 m)3 * 4 * π2 / (8,988 * 109 V * m / C * (1,6 * 10-19 C)2) = 1,53 * 10-16 s # 13: C = 2 * 8,86 * 10-12 C / V * m * 20 m2 / 5 * 10-5 m = 7,088 µF; Q = 7,088 * 10-6 F * 100 V = 7,088 * 10-4 C # 14: C = 8,86 * 10-12 C / V * m * 0,05 m * l / 5 * 10-5 m = 10 µF; l = 1,12 * 103 m # 15: Parallel: Cx = C – C0 = (15 – 10) µF = 5 µF; Seriell: 1/ Cx = 1/C – 1/ C0 = (1/5 – 1/10) * 1/ µF => C = 10 µF # 16: C* = 2 * C0; Spannung angeschlossen: Q = C* * U = 2 * Q; Platten isoliert: U = Q / C* = U/2; E = E/2 # 17: Alle drei parallel: C = 3 * C0 = 30 µF; Spannung an allen 100 V Alle drei seriell: 1/C = 1/ C0 + 1/ C0 + 1/ C0 = 3 * 1/ C0 => C = C0 /3 = 3,33 µF; Spannung jeweils 33,3 V Zwei seriell: C1 = C0 /2 und einer parallel: C = C0 + C1 = 3/2 * C0 = 15 µF; Spannung am parallelen Kondensator 100 V, an den zwei seriellen jeweils 50 V Einer seriell, zwei parallel: 1/C = 1/ C0 + 1/(2C0); C = 2/3 * C0 = 6,67 µF; Spannung an den beiden parallelen Kondensatoren 33,3 V, am seriellen Kondensator 66,7 V 28 SCHWINGUNGEN ÜBUNGSAUFGABEN zu SCHWINGUNGEN # 1: Eine Masse m wird an zwei Federn (Federkonstante k1, k2) befestigt und in Schwingungen versetzt. Berechnen Sie jeweils die Schwingungszeit für folgende Anordnungen: Die Federn sind a) parallel, b) hintereinander an einem Ende des Körpers befestigt, und c) die Masse befindet sich zwischen den Federn. # 2: An einem 0,2 m langen Faden hängt die Masse 15 g. Erstellen Sie ein Diagramm für die Rückstellkraft als Funktion des Auslenkungswinkels 0 < φ < 60°. Zeigen Sie, dass das Pendel bei Auslenkungen < 31° im Rahmen von 5 % Genauigkeit harmonisch schwingt. Wie groß ist dann die Schwingungszeit? # 3: Ein Federpendel schwingt ungedämpft harmonisch mit der Amplitude von 30 cm. Bei welcher Auslenkung ist die Geschwindigkeit des schwingenden Körpers gerade gleich der halben Maximalgeschwindigkeit? # 4: Ein an eine horizontale Feder gekoppelter Sitz (12,5 kg) schwingt mit einer Periode von 0,35 s. Mit einer Person auf dem Sitz ändert sich die Schwingungsdauer auf 0,9 s. Bestimmen Sie die Masse der Person und die Federkonstante. # 5: Ein Freischwingsessel vollführt mit einem Erwachsenen (75 kg) 9 Perioden in 4 Sekunden. Wenn zusätzlich ein Kind (23 kg) auf dem Sessel sitzt, macht es in derselben Zeit noch 8 Perioden. Wie kann man überprüfen, ob es sich um harmonische Schwingungen handelt? Berechnen Sie die bewegte Masse des Sessels und seine Federkonstante. # 6: An eine senkrecht aufgehängte Feder werde eine Masse m gehängt. Wie weit dehnt sich die Feder, wenn die Masse dabei mit der Hand geführt wird, wie weit, wenn sie frei nach unten fällt? Welche Schwingungsdauer hat das FederMasse-System? # 7: Wie groß sind Abklingkonstante, Dämpfungsgrad und Kreisfrequenz eines Feder-Masse-Systems mit viskoser Dämpfung, wenn die Anfangsamplitude nach 3 Schwingungen (T = 0,1 s) um 70% abgenommen hat? # 8: Ein Feder-Masse-System (0,95 kg, 90 N/m) hat bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung eine Schwingungsdauer von 0,66 s. Welche Kreisfrequenz hat das ungedämpfte System, welchen Dämpfungsgrad das gedämpfte System? Wie groß ist die Amplitude nach 2 Schwingungsperioden bei einer Anfangsauslenkung von 8 cm? Welcher Anteil der Schwingungsenergie wurde dabei in Wärme umgewandelt? # 9: Ein Messgerät (5 kg) ist auf zwei Federn (Federkonstante 2500 N/m) und einem Stoßdämpfer (Reibungszahl d) in einer Kiste gelagert. Als diese senkrecht zu Boden fällt, schwingt das Gerät mit 5 cm Anfangsamplitude. Wie groß sind die Schwingungszeit und die maximale Beschleunigung des Geräts ohne Dämpfung? Nach 15 Perioden ist die Anfangsamplitude um 75 % abgeklungen. Berechnen Sie die Abklingkonstante und den Dämpfungsgrad. Wie muss der Reibungskoeffizient d gewählt werden, damit das Gerät schnellstmöglich zur Ruhe kommt? #10: Berechnen Sie die Kreisfrequenz des mathematischen Pendels unter der Annahme kleiner Auslenkung (arc φ~sin φ). #11: Ein mathematisches Pendel der Länge l = 0,7 m startet aus einem kleinen Anfangswinkel. Im Nulldurchgang trifft der Faden auf einen Stift im Abstand d vom Drehpunkt. Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Auslenkung über 2 Perioden. Wie groß ist d bei einer Periodendauer von 1,3 s? #12: Ein U-Rohr (Querschnittsfläche A) ist mit einer Flüssigkeit (Dichte ρ) gefüllt. Sie steht zunächst auf beiden Seiten gleich hoch. Die Länge der gesamten Säule ist l. Durch Auslenken um die Strecke s wird die Säule in Schwingungen versetzt. Berechnen Sie die Schwingungszeit. #13: Ein Feder-Masse-System (m = 0,95 kg, k = 90 N/m) hat bei einer geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung eine Schwingungsdauer von 0,66 s (Anfangsauslenkung 8 cm, Anfangsgeschwindigkeit = 0). Berechnen Sie die Kreisfrequenz des ungedämpften Systems, den Dämpfungsgrad sowie die Auslenkung nach 2 Perioden. #14: Ein optischer Tisch (800 kg) steht auf 4 gleichen Federn (k = 1,5 * 104 N/m) und 4 gleichen Dämpfern. Welche Schwingungsdauer hätte der Tisch ohne Dämpfer, und wie ist die Reibkonstante zu wählen, damit der Tisch ohne Überschwingen in die Ruhelage zurückkehrt? Welche Werte haben dann Eigenfrequenz, Abklingkonstante und Dämpfungsgrad, wenn eine Last von 150 kg auf den Tisch gelegt wird? 29 SCHWINGUNGEN LÖSUNGEN zu SCHWINGUNGEN: # 1: a & c) b) F = F1 + F2; x = x1 = x2 => F/x = F1/x + F2/x => k = k1 + k2 => ω02 = k / m = (k1 + k2) / m x = x1 + x2; F = F1 = F2 => x/F = x1/F+ x2/F => 1/k = 1/k1 + 1/k2 => k = k1 * k2 / (k1 + k2) => ω02 = k / m = k1 * k2 / ((k1 + k2) * m) # 2: FR = - m * g * sin φ ≈ - m * g / l * x Vergleich von arc φ und sin φ: arc 31° = 0,54105, sin 31° = 0,51504 => 4,8 % T = 2 * π / √(g/l) = 0,90 s # 3: y = 0,3 * sin(ω * t); v = dy/dt = 0,3 * ω * cos(ω * t); vMax = 0,3 * ω; 0,3 * ω * cos(ω * t) = ½ * 0,3 * ω => cos(ω * t) = 0,5 ω * t = π/3 => sin(π/3) = ½ * √3 => y = 0,3 * ½ * √3 # 4: TS = 2 * π * √(mS / k); TS+P = 2 * π * √((mS + mP) / k); => (TS+P / TS)2 = 1 + mP / mS => mP = mS * ((TS+p / TS)2 -1) => mP = 70,2, kg; k = 4 * π²* mS / TS²) = 4028,4 N/m # 5: Person: T1 = 0,44 s; f1 = 2,25 Hz; ω1= 14,13 s-1; Person+Kind: T2 = 0,5 s; f2 = 2 Hz; ω1= 12,57 s-1; T = 2 * π * √ (m / k) => (T1 / T2)2 = (mS + mP) / (mS + mP + mK) => mS = {T12 * (mP + mK) – T22 * mP} / (T22 – T12) mS = 11,59 kg; k = 4 * π2 * (mP + mS) / T12 = 17305,5 N/m # 6: Gleichgewichtslage y0 = m * g / k; Freier Fall bis zum Umkehrpunkt ymax = 2 * y0; T0 = 2 * π * √ (m / k) # 7: yM (3 * T) = 0,3 * yM (0) => 0,3 * yM (0) = yM (0) * e–δ * 3 * T => δ = - ln 0,3 / (3 * T) = 4,01 s-1; ωd = 2 * π / T = 62,8 s-1 ϑ = δ / ω0 δ / ωd = 0,064 (bzw. genau: ω0 = √ (ωd² + δ²) = 62,9 s-1 => ϑ = δ / ω0 = 0,064) # 8: T0 = 2 * π * √ (m / k) = 0,6455 s => ω0 = √ (k/m) = 9,73 s-1; ωd = 2 * π / 0,66 = 9,52 s-1; ωd2 = ω02 – δ2 => δ = 2,027 s-1 ϑ = δ / ω0 = 0,2083 > 0,1 starke Dämpfung; yM (2 * T) = 8 cm * e–2,027 * 2 * 0,66 = 0,55 cm Schwingungsenergie E = ½ * k * y2; Energieverlust ΔE = 1 – EN / EV = 1 – y12 / y02 = 99,5% # 9: k = k1 + k2 = 2 * 2500 N/m = 5000 N/m; T0 = 2 * π * √ (m / k) = 0,199 s; f0 = 5,03 Hz; ω0 = 31,62 s-1 amax = ω02 * ym = 50 m/s2; yM (15 * T) = 0,25 * yM (0) => δ = -ln 0,25 / 15 * T = 0,4651 s-1; ϑ = 0,0147 schwach ged. Aperiodischer Grenzfall ϑ = 1 => δ = ω0 = 31,62 s-1; d = 2 * m * ω0 = 316,2 kg/s #10: FR = m * g * sin φ; sin φ = d / l ≈ x/l für kleine Auslenkungen => FR = (m * g / l) * x = k * x => ω02 = k / m = g / l #11: T = ½ * (T1 + T2) Mit T1 = 2 * π * √ l / g und T2 = 2 * π * √ ((l – d) /g) d = l - (√g * T / π) - √l)2 = 0,7 – 0,462 = 0,49 m => T = π /√g * {√l - √ (l – d)} => #12: FR = Δm * g = ρ * ΔV * g = (ρ * A * 2 * g) * x = k * x => ω02 = k / m = ρ * A * 2 * g / (ρ * A * l) = 2 * g / l T = 2 * π / ω0 = π * √ (2* l / g) #13: T0 = 2 * π * √ (m / k) = 0,646 s; Td = T0 / √ (1 - ϑ2) => ϑ = 0,208; => δ = 0,208 * 9,73 = 2,03 s-1 y (2 * Td) = yM (0) * e–δ * 2 * T = 0,551 cm #14: k* = 4 * k = 6 * 104 N/m; T0 = 2 * π * √ (m / k*) = 0,726 s; aperiodischer Grenzfall δ = ω0 = d* / (2 * mT) => d* = 13856 kg/s => d = ¼ * d* = 3464 kg/s; ω02 = k* / (mT + mL) => ω0 = 7,947 rad/s; δ = d* / (2 * (mT + mL)) = 7,293 rad/s; ωd2 = √ (ω02 – δ2) = 3,157 rad/s ϑ = 0,918 starke Dämpfung 30 ELEKTRIZITÄTSLEHRE ÜBUNGSAUFGABEN zum STROMKREIS / NETZWERK # 1: Ein Strom von 1,5 A fließt durch einen Draht mit 3 Ω Widerstand. Wie groß ist der Spannungsabfall am Draht? # 2: Ein Draht mit Radius von 0,65 mm hat einen spezifischen Widerstand von 10-6 Ω * m. Wie lang ist er, wenn der Widerstand 2 Ω beträgt? # 3: Durch einen Tauchsieder mit 12 Ω Widerstand fließt ein Strom von 3 A. Wie hoch ist die Heizleistung? # 4: Ein 4-Ω- und ein 6-Ω-Widerstand werden parallel geschaltet und an 12 V angeschlossen. Wie groß sind der Gesamtwiderstand, der Gesamtstrom, die Ströme und Leistungsverluste an jedem Widerstand sowie der Gesamtleistungsverlust? # 5: Das E-Werk gibt die Spannung von 250 V ab. Ein Abnehmer ist durch eine 3 km lange Doppelleitung angeschlossen (spez. Widerstand 0,017 Ω * mm2 / m) und will bei einer Stromstärke von 20 A eine Klemmenspannung von 220 V. Wie groß muss der Leitungsquerschnitt sein? Welche Leistung gibt das Werk ab, welche entnimmt der Verbraucher? Welche Stromstärke kann der Verbraucher höchstens entnehmen? Wie groß wären die Stromstärke, Spannungs- und Leistungsverluste in der Leitung bei einer Ausgangsspannung von 220000V? Wie viel % der Verbraucherleistung gingen in der Leitung verloren? # 6: Beim Betätigen des Anlassers sinkt die Spannung einer Autobatterie von 12 auf 11 V ab. Die hierbei entnommene Stromstärke beträgt 200 A. Berechnen Sie den Innenwiderstand der Batterie. # 7: Ein 12-Ω- und ein 6-Ω-Widerstand werden parallel geschaltet, dazu in Reihe ein 2-Ω-Widerstand. Die Anordnung wird an 18 V angeschlossen. Wie groß sind der Gesamtwiderstand, der Gesamtstrom, die Spannungsabfälle, Ströme und Leistungsverluste an jedem Widerstand sowie der Gesamtleistungsverlust? # 8: Die Widerstände von 5, 10 und 20 Ω sind parallel geschaltet. Wie hoch ist die Gesamtstromstärke, wenn man 12 V anlegt? Wie würde sich ein Strom von 2 A auf diese Widerstände aufteilen? Wie verhalten sich die Wärmeleistungen in den 3 Widerständen? # 9: Es gibt 5 Möglichkeiten, 3 Widerstände von 2, 5 und 7 Ω zu schalten. Berechnen Sie dazu jeweils den Gesamtwiderstand. #10: Eine Glühlampe (250 W) und ein Elektromotor (100 W) sind parallel geschaltet und liegen an 75 V. Wie groß ist die Gesamtstromstärke? Wie groß muss der gemeinsame Vorwiderstand bei 220 V Netzspannung sein? Warum läuft der Motor wesentlich schneller, wenn die Lampe durchbrennt? #11: Eine Batterie hat die Leerlaufspannung 9,3 V und den Kurzschlussstrom 2,9 A. Wie groß ist ihr Innenwiderstand? Wie groß muss der Widerstand eines daran angeschlossenen Verbrauchers mindestens sein, damit ihre Klemmenspannung nicht unter 8 V absinkt? #12: Ein Spannungsmessgerät mit dem Innenwiderstand von 1,5 kΩ zeigt bei 3 V Vollausschlag. Welche Vorwiderstände sind erforderlich, wenn mit diesem Gerät Spannungsbereiche bis 6 V, 15 V und 30 V gemessen werden sollen? #13: 10 Monozellen mit 1,58 V Leerlaufspannung und 160 mΩ Innenwiderstand werden an einen Verbraucher mit 33 Ω angeschlossen. Wie groß ist der Strom bei Reihen-, Parallel- und Gruppenschaltung (2 x 5 bzw. 5 x 2)? 31 ELEKTRIZITÄTSLEHRE LÖSUNGEN zum STROMKREIS / NETZWERK # 1: U = 3 Ω * 1,5 A = 4,5 V # 2: R = ρ * L / A => L = 2 Ω * π * (6,5 * 10-4 m)2 / 10-6 Ω * m = 2,65 m # 3: P = R * I2 = 12 Ω * 9 A2 = 108 W # 4: 1/R = 1/ 4 Ω + 1/ 6 Ω = 5/12 Ω => R = 2,4 Ω; I1 = 12 V / 4 Ω = 3 A; I2 = 12 V / 6 Ω = 2 A; I = 3 A + 2 A = 5 A P1 = 4 Ω * 9 A2 = 36 W; P2 = 6 Ω * 4 A2 = 24 W; P = 36 W + 24 W = 60 W # 5: Spannungsabfall in Leitung UL = (250 – 220) V = 30 V => Leitungswiderstand RL = 30 V / 20 A = 1,5 Ω R = ρ * L / A => A = 0,017 Ω * mm2 / m * 6000 m / 1,5 Ω = 68 mm2; RV = 220 V / 20 A = 11 Ω Pw = 250 V * 20 A = 5000 W; Pv = 220 V * 20 A = 4400 W; Imax = 250 V / 1,5 Ω = 167 A (<= RV = 0) Bei U = 220000 V ist I = 220000 V / (1,5 + 11) Ω = 17600 A; Pv = 11 Ω * (17600 A)2 = 3,4 * 109 W; PL = 1,5 Ω * (17600 A)2 = 0,46 * 109 W; PL/PV = 13,6 % Verlust # 6: RB = (12 V – 11 V) / 200 A = 0,005 Ω # 7: 1/R4 = 1/12 + 1/6 = ¼ => R4 = 4 Ω; R = 4 Ω + 2 Ω = 6 Ω; I = 18 V / 6 Ω = 3 A; U3 = 2 Ω * 3 A = 6 V => 12 V an R1 und R2; I1 = 12 V / 12 Ω = 1 A; I2 = 12 V / 6 Ω = 2 A; P = 18 V * 3 A = 54 W P1 = 12 Ω * 1 A2 = 12 W; P2 = 6 Ω * 4 A2 = 24 W; P3 = 2 Ω * 9 A2 = 18 W # 8: 1/R = 1/5 + 1/10 + 1/20 = 7/20 => R = 2,86 Ω; I = 12 V / 2,86 Ω = 4,2 A 2 A = I1 + I2 + I3 = x V / 5 Ω + x V / 10 Ω + x V / 20 Ω; x = 40 / 7 I1 = 8 /7 A; I2 = 4 / 7 A; I3 = 2 / 7 A P1 = 5 Ω * (2,4 A)2 = 28,8 W; P2 = 10 Ω * (1,2 A)2 = 14,4 W; P3 = 20 Ω * (0,6 A)2 = 7,2 W # 9: RA = (2 + 5 + 7) Ω = 14 Ω; 1 / RB = ½ + 1/7 + 1/5 = 59/70 => RB = 1,19 Ω RC = 2 Ω + 1 / (1/7 + 1/5) Ω = 2 Ω + 2,92 Ω = 4,92 Ω; R D = 5 Ω + 1 / (1/7 + 1/2) Ω = 5 Ω + 1,56 Ω = 6,56 Ω RE = 7 Ω + 1 / (1/5 + 1/2) Ω = 7 Ω + 1,43 Ω = 8,43 Ω # 10: P = U * I => I1 = 250 W / 75 V = 3,33 A; I2 = 100 W / 75 V = 1,33 A; I = 3,33 A + 1,33 A = 4,67 A Uv = Rv * I => Rv = (220 – 75) V / 4,67 A = 31,05 Ω; Pv = 145 V * 4,67 A = 675,7 W Widerstand E-Motor R1 = 75 V / 1,33 A = 56,4 Ω; Wenn Lampe durchbrennt, sind E-Motor und Vorwiderstand in Reihe: R* = 56,4 Ω + 31,05 Ω = 87,45 Ω => Strom durch Generator I = 220 V / 87,45 Ω = 2,52 A gegenüber vorher 1,33 A => P1 = 375 W statt 100 W #11: Ri = 9,3 V / 2,9 A = 3,2 Ω; Rmin = Umin / Imax = Umin * Ri / (U0 - Umin) = 19,7 Ω #12: Imax = 3 V / 1,5 kΩ = 2 mA; R6V = 3 V / 2 mA = 1,5 kΩ; R15V = 12 V / 2 mA = 6 kΩ; R30V = 27 V / 2 mA = 13,5 kΩ #13: Seriell: UG = 10 * UZ = 15.8 V; Ri = 10 * 0,16 Ω = 1,6 Ω; RG = Ri + RV = 34,6 Ω; I = 15,8 V / 33,016 Ω = 0,457 A Parallel: 1/RG = 4 / 0,16 Ω + 1 / 33 Ω = 25,03030 * 1/Ω; RG = 0,04 Ω; I = 1,58 V / 0,04 Ω = 39,5 A Je 2 x 5: U = 5 * 1,58 V = 7,9 V; Ri = 5 * 0,16 Ω = 0,8 Ω; 1/RG = 2 / 0,8 Ω + 1 / 33 Ω; RG = 0,395 Ω; I = 7,9 V / 0,395 Ω = 20 A Je 5 x 2: U = 2 * 1,58 V = 3,16 V; Ri = 2 * 0,16 Ω = 0,32 Ω; 1/RG = 5 / 0,32 Ω + 1 / 33 Ω; RG = 0,063876 Ω; I = 3,16 V / 0,063876 Ω = 49,47 A
