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SS 2004
2.
2.1
Adaptive Optik
Bildentstehung und Bildstörungen
Fourier-Transformationen
Ein lineares System ist ein Prozess P, welcher eine Funktion f(t) in eine Funktion f’(t) überführt und für welchen gilt:
P
P
f (t ) →
f ′(t ), g (t ) →
g ′(t )
Wenn
P
c ⋅ ( f (t ) + g (t ) ) →
c ⋅ ( f ′(t ) + g ′(t ) )
dann
.
Die Fouriertransformation (FT) spielt eine große Rolle für Lineare Systeme, die für die AO fundamental sind. Mit ihrer Hilfe
können komplizierte mathematische Operationen, wie Faltungen und Korrelationen, bequem und elegant durchgeführt werden.
Viele physikalische Prozesse der Quantenmechanik, Thermodynamik, Optik etc. lassen sich mit Hilfe der FT leichter darstellen. Einen besonderen Aufschwung hat die Anwendung dieser Methode in der Datenverarbeitung mit dem Aufkommen leistungsfähiger Datenverarbeitungsanlagen und der Entwicklung schneller "FFT"- (Fast Fourier Transform) - Algorithmen gefunden. Dieser Abschnitt soll stichwortartig in die Theorie und in die Praxis der Fouriertransformation einführen.
2.1.1 Grundlegende Eigenschaften
Definition
Wir betrachten eine i. a. komplexwertige Funktion f ( x ) einer reellwerigen Variablen x ∈[− ∞,+∞] . Die Funktion
fˆ (s ) =
+∞
∫ f (x )exp(− 2πisx )dx
(2.1)
−∞
heißt Fourier-Transformierte (FT) von f ( x ) . Sie existiert, wenn f ( x ) absolut integrabel ist und höchstens abzählbar unendlich
viele Nullstellen und Unstetigkeiten hat. Es gilt i = − 1 . Die (reelle) Koordinate s heißt Frequenz.
Die Umkehrung von (2.1) ergibt sich dann mit
f (x ) =
+∞
∫ fˆ (s ) exp(+ 2πisx ) ds
(5.2)
−∞
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Adaptive Optik
Zur Vereinfachung der Schreibweise führen wir den Fourier-Operator ein:
fˆ (s ) = F − [ f ( x )]
f ( x ) = F + fˆ (s )
(2.3)
[ ]
Das Symbol F ± [L] symbolisiert daher die Anwendung der Integration über das Argument der Funktion in eckigen Klammern,
das hochgestellte Vorzeichen gibt das Vorzeichen in dem Exponentialkern des Integranden an. Es gelten folgende Identitäten:
[
]
[F [F [F [ f (x)]]]] = f (x )
F ± F ± [ f ( x )] = f (− x )
F
±
±
±
±
.
(2.4)
Wir nennen
• den Raum der Koordinaten x den direkten oder Ortsraum,
• den Raum der Koordinaten s den dualen oder Frequenzraum.
Fourier-Transformationen in mehreren Dimensionen
Die Erweiterung auf N-dimensionale Orts- und Frequenz-Koordinaten
 x1 
 
r  x2 
x = 
M
 
 xN 
und
 s1 
 
r  s2 
s = 
M
 
 sN 
ergibt sich zwanglos durch die Einführung von Skalarprodukten in die Gleichungen (2.1) und (2.2),
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Adaptive Optik
r
fˆ (s ) =
r
f (x ) =
+∞
r
r r r
∫ f ( x )exp(− 2πis ⋅ x ) dx ,
−∞
+∞
.
r
(2.5)
r r r
∫ fˆ (s )exp(− 2πis ⋅ x ) ds
−∞
Die Integration erfolgt über den Koordinaten entsprechend vielen Dimensionen.
Typische Beispiele für die Anwendung von FT in
• einer Dimension sind Funktionen der Zeit f(t) und ihre (zeitlichen) Spektren F (ω ) ,
• zwei Dimensionen sind Verteilungen der Intensität (Bilddaten, Verarbeitung von Bildinformationen)
• drei Dimensionen sind die statistische Analyse (dreidimensionaler) skalarer Felder, oder der Dualraum in der Festkörperphysik.
Sinus- und Kosinustransformation
Der Fouriertransformation entspricht eine harmonische Zerlegung der Funktion f ( x ) . Nach der Euler'schen Formel gilt
fˆ (s ) =
=
=
+∞
∫ f ( x )exp(− 2πisx )dx
−∞
+∞
∫ f ( x )(cos(2πsx ) − i sin (2πsx )) dx
−∞
+∞
∫ f ( x )cos(2πsx ) dx
−∞
−i
(2.6)
+∞
∫ f ( x ) sin (2πsx ) dx
−∞
Hieraus ergibt sich, dass fˆ (s ) i. a. komplexwertig ist, selbst wenn f ( x ) eine reelle Funktion ist. Der Realteil von fˆ (s ) entspricht der Kosinustransformierten, der Imaginärteil der (negativen) Sinustransformierten von f ( x ) .
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2.1.2 Einige Eigenschaften der Fourier-Transformation
FTs haben eine Reihe sehr nützlicher Eigenschaften, die hier näher beschrieben werden. In den meisten Fällen gelten diese für
Koordinaten beliebiger Dimension entsprechend.
Linearität
Die Fouriertransformation ist eine lineare Operation. Seien f und g zwei komplexe Funktionen von x und a eine komplexe
Zahl, so gilt
F ± [ f ( x ) + g ( x )] = F ± [ f ( x )] + F ± [g ( x )]
F [a f ( x )] = a F
±
±
[ f ( x )]
.
(2.7)
Symmetrie
Jede Funktion f ( x ) lässt sich in eine gerade und ungerade Komponente zerlegen,
f ( x ) = e( x ) + o( x ) , so daß e(− x ) = e( x ) und o(− x ) = − o( x )
(2.8)
Aus (5.6) ergibt sich, dass gilt:
{
[o( x )] = ℑ{F
},
[ f ( x )]}
F ± [e( x )] = ℜ F ± [ f ( x )]
F
±
±
(2.9)
wobei ℜ{L} den Realteil und ℑ{L} den Imaginärteil des Arguments bezeichnen.
Damit hat eine gerade Funktion eine reelle FT und eine ungerade Funktion eine rein imaginäre FT. Genauso kann man zeigen,
dass die FT einer reellen Funktion hermitesch ist. Bezeichnet fˆ * die zu fˆ konjugiert komplexe Funktion, so gilt
fˆ (s ) = F − [ f ( x )∈ℜ] ⇒ fˆ (− s ) = fˆ * (s ) .
(2.10)
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Lineare Koordinatentransformation
Die Skalierung der Koordinaten beeinflusst die Fouriertransformierten in inverser Weise. Die Dehnung der Skala im direkten
Raum führt zur Stauchung im dualen Raum. Ist a eine reelle, positive Zahl, so gilt für Koordinatenräume der Dimension n
r
s
r
r
r
1


±
±
F [ f ( x )] = fˆ (s ) ⇒ F [ f (ax )] = n fˆ   .
(2.11)
a a
Die Translation der Koordinaten um einen Wert a im direkten Raum erzeugt einen komplexen Faktor im dualen Raum:
F ± [ f ( x )] = fˆ (s ) ⇒ F ± [ f ( x + a )] = exp(± 2πias ) fˆ (s ) .
(2.12)
2.1.3 Sätze für und Eigenschaften von Fouriertransformationen
Faltung und Korrelation
Die Faltung ⊗ zweier (u. U. komplexer) Funktionen f und g ist gegeben mit
h( x ) = f ( x ) ⊗ g ( x ) =
+∞
∫ f (u )g ( x − u ) du .
(2.27)
−∞
Die Faltung beschreibt eine lineare Operation angewandt auf die Funktion f durch die Funktion g. Sie beschreibt in vielen physikalischen Systemen die Antwort eines Systems auf eine Eingabefunktion f, während die Systemübertragung durch g beschrieben ist.
f(x)
h(x)
g(x)
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Die Korrelation ∗ ist zweier komplexer Funktionen f und g ähnlich definiert wie die Faltung. Das Resultat ist die Kreuzkovarianzfunktion:
C fg ( x ) = f ( x ) ∗ g ( x ) =
+∞
∗
∫ f (u )g (u + x ) du .
(2.28)
−∞
Die Autokorrelation einer Funktion f resultiert analog in die Autokovarianzfunktion
AC f ( x ) = f ( x ) ∗ f ( x ) =
+∞
∗
∫ f (u ) f (u + x ) du .
(2.29)
−∞
Faltungs- und Korrelationsintegral haben folgende interessante Eigenschaften der Fouriertransformierten,
F − [ f ⊗ g ] = fˆ gˆ
.
F − [ f ∗ g ] = fˆ ∗ gˆ
(2.30)
Offenbar lässt sich die Faltung bzw. Korrelation in einer Domäne durch ein Produkt von Funktionen in der anderen Domäne
ausdrücken. Auf diese Weise lassen sich Fouriertransformationen komplizierter Zusammenhänge einfach finden.
Insbesondere gilt der Satz über die Autokorrelation (Wiener-Khinchine):
2
F − [ f ∗ f ] = fˆ ∗ fˆ = fˆ .
(2.31)
Satz von Parseval (Rayleigh)
Dieser Satz besagt, dass die Norm einer Funktion und ihrer Transformierten gleich sind,
+∞
∫
−∞
f ( x ) dx =
2
+∞
∫
2
fˆ (s ) ds .
(2.32)
−∞
Spektrale Leistungsdichte
Als Spektrale Leistungsdichte (power spectrum) bezeichnet man das Betragsquadrat der Transformierten einer Funktion f:
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2
2
S f (s ) = F − [ f ( x )] = fˆ (s ) = fˆ * (s ) fˆ (s )
(2.33)
Sie ist die Fouriertransformierte der Autokorrelation (siehe (2.31)) und das Quadrat des (komplexen) Betrags der Fouriertransformierten.
Das (komplexe) Argument der Transformierten bezeichnet man auch als das Phasenspektrum
Φ f (s ) = arctan
{fˆ } .
{fˆ }
ℑ
ℜ
(2.34)
Aus (2.29) und (2.30) ergibt sich, dass sich die Autokorrelation einer Funktion durch die inverse Fouriertransformation ihrer
spektralen Leistungsdichte beschreiben lässt (Satz von Wiener-Khinchine),
[
]
[
]
AC f ( x ) = F + S f (s ) = F + fˆ * (s ) fˆ (s ) .
(2.35)
Die Fouriertransformation bietet daher eine einfache
Möglichkeit, Autokorrelationen von Funktionen zu
berechnen. Der Zusammenhang zwischen einer Funktion, ihrer Fouriertransformierten, ihrer Autokovarianz und ihrer spektralen Leistungsdichte ist hier grafisch dargestellt.
Man beachte, dass der Prozess der Autokorrelation
bzw. der Bildung des Betragsquadrates i. A. nicht
umkehrbar ist; d. h. die Autokovarianzfunktion bzw.
das Spektrum enthalten generell weniger Information
als die Funktion f bzw. ihre Fourier-Transformierte.
F − [L]
f (x )
fˆ (s )
F + [L]
Autokorrelation
Betragsquadrat
F − [L]
AC f ( x )
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F + [L]
S f (s )
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Kreuzkorrelation und Kreuzspektrum
Das Kreuzspektrum zweier Funktionen f und g ist das Produkt
CS fg (s ) =
fˆ * (s ) gˆ (s )
∫ fˆ (s )
2
(2.36)
ds ∫ gˆ (s ) ds
2
(s. a. (2.30)). Es ist die Fouriertransformierte der (normierten) Kreuzkorrelationsfunktion
γ fg ( x ) =
C fg ( x )
∫ f (x)
2
dx ∫ g ( x ) dx
2
.
(2.37)
Diese entspricht der Kreuzkovarianzfunktion (2.28) mit Ausnahme der Normierung, welche bewirkt, dass γ
fg
(s ) ≤ 1 gilt.
Für reellwertige Funktionen f und g entspricht die Kreuzkorrelationsfunktion dem (linearen) Korrelationskoeffizienten der
Funktionswerte für eine relative Verschiebung der Funktionen um x. Man kann daher ein translationsinvariantes Maß für die
Ähnlichkeit zweier Funktionen finden, wenn man das Maximum der Kreuzkorrelationsfunktion sucht. Die Ablage des Maximums vom Ursprung ergibt somit das Maß für die relative Verschiebung der beiden Funktionen von der Position optimaler
"Gleichheit". Die Fouriertransformation erlaubt eine schnelle und bequeme Berechnung der Kreuzkorrelationsfunktion.
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2.2
Adaptive Optik
Elementare skalare Beugungstheorie
2.2.1 Ebene und sphärische elektromagnetische Wellen
Wir betrachten monochromatische, linear polarisierte elektromagnetische Wellen in einem kartesischen Koordinatensysr
tem x = ( x, y, z ) . Die (elektrische) Feldamplitude kann man in komplexer Schreibweise darstellen als
r
r
r
r
u~ ( x , t ) = a( x ) exp( jφ ( x )) exp( jω0t ) = u ( x ) exp( jω0t )
(2.38)
mit der Kreisfrequenz ω0 = 2πν 0 und j =
Zeit) ist gegeben mit
− 1 . Die an einem Ort gemessene Strahlungsleistung (Energie pro Fläche und
r
r
I ( x ) = u~( x , t ) ,
(2.39)
wobei L eine zeitliche Mittelung darstellen.
r
Eine ebene Welle erfüllt den ganzen Raum und hat eine durch den Einheitsvektor e = (ex , e y , ez ) gegebene Ausbreitungsrichr 2π r
tung. Mithilfe der Wellenlänge λ0 und des Wellenvektors k =
e kann man die komplexe Amplitude in kompakter Form
λ0
schreiben
( rj (k xr − ω t + ϕ ))
( (kxr + ϕ ))
r
u~ ( x , t ) = A exp
r
u ( x ) = A exp j
r
0
(zeitunabhängige Darstellung)
.
(2.40)
Dabei ist ϕ die Phase der Welle am Koordinatenursprung. Die Amplitude A ist überall im Raum konstant.
Für unsere Betrachtungen sind ebene Wellen von Belang, die in eine Vorzugsrichtung propagieren, dies ist konventionell die
positive z-Richtung. Feldstärken sind besonders innerhalb von Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung interessant. Gl.
(2.40) kann daher umformuliert werden
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r
u ( x ) = A exp( jϕ ) exp( jkez z ) exp( jk (ex x + e y y )).
(2.41)
Für eine feste z-Koordinate sind alle Terme bis auf den letzten konstant.
Sphärische Wellen spielen in der Formulierung des für die Beugungstheorie fundamentalen Huygens-Fresnelschen Prinzips
r
eine große Rolle (Huygens’sches wavelet). Eine sphärische Welle geht von einem Punkt mit den Koordinaten x0 = (α , β , γ )
aus – der Einfachheit halber setzten wir
r
r
γ = 0 . Sei R der Abstand zwischen x0 und x . Dann ist
r
exp jkR
u ( x ) = D cosψ
R
(2.42)
Hier enthält D die (komplexe) Amplitude, und der Term cosψ wird als Inklinationsfaktor bezeichnet. ψ ist der Winkel zwi-
r
r
schen einer ausgezeichneten Propagationsrichtung der Welle und der Verbindungslinie zwischen x0 und x .
r
x
r
k
r
x0
Abbildung 2: ebene und sphärische Wellen.
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R
ψ
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Liegt die z-Achse in der Haupt-Ausbreitungsrichtung (ψ = 0 ), dann erhält man mit cosψ = z R und
2
 x −α   y − β 
R = z 1+ 

 +
 z   z 
2
durch Einsetzen in (2.42)
2
2

 x − α   y − β  
exp jkz 1 + 
 +
 
z

  z  

.
u ( x, y , z ) = D
  x − α 2  y − β 2 
z 1 + 
 +
 
z

  z  

(2.43)
Für positive z ergibt sich eine divergierende, für negative z eine konvergierende Kugelwelle.
2.2.2 Amplitudentransmission
Wir betrachten eine ebene Welle, deren Wellenvektor senkrecht zu einer ebenen Blende B am Ort z0 steht. Das Verhältnis der
+
Feldamplitude u ( x, y, z0 ) unmittelbar hinter der Blende zur Amplitude u − ( x , y , z 0 ) unmittelbar vor der Blende heißt komplexe Amplitudentransmission
u + ( x, y , z 0 )
t ( x, y ) = −
u ( x, y , z 0 )
(2.44)
Blenden können die Feldamplitude ortsabhängig schwächen und/oder eine Phasenverschiebung bewirken. Es gilt t ( x, y ) ≤1.
2
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2.2.3 Winkelspektrum
Wir betrachten die komplexe Amplitude einer beliebigen komplexen Amplitudenverteilung ui ( x, y ) = u ( x, y, zi ) für einen
festen Wert der z-Koordinate. Handelt es sich um eine physikalisch realisierbare Verteilung, so besitzt sie eine Fourier−
Transformierte uˆi (ξ ,η ) = F [ui ( x, y )] mit Frequenzkoordinaten (ξ ,η ) .
Stellen wir die Amplitudenverteilung durch die inverse Fourier-Transformation dar, so ergibt sich
ui ( x, y ) = F + [uˆi (ξ ,η )]
=
(2.45)
∫∫ uˆi (ξ ,η ) exp 2πj (ξx + ηy ) dξ dη
Ein Vergleich mit der Darstellung der ebenen Welle Gl. (2.40) zeigt, dass man den Exponentialterm in dem Integral von (2.45)
als Projektion einer ebenen Welle mit Einheitsamplitude in die xy-Ebene mit den Richtungskosinuus
(e , e , e ) = (λξ , λη ,
x
y
z
1 − λ (ξ 2 + η 2 )
)
interpretieren kann:
u i ( x, y ) =
 ex e y 
2π
ˆ


(e x + e y y )dξ dη
,
exp
u
j
i
∫∫  λ λ 
λ x
(2.46)
r
e e 
Die zweidimensionale Frequenzkoordinate  x , y  entspricht der Projektion des dreidimensionalen Wellenvektors k der eλ λ
benen Welle auf die xy-Ebene. Die Fouriertransformierte û beschreibt die Amplituden der ebenen Wellen mit Wellenvektoren
unterschiedlicher Richtung, die durch Summation – d. h. kohärente Überlagerung – genau die Amplitudenverteilung in der xyEbene ergibt. Man bezeichnet û als das Winkelspektrum von u.
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Ist das Winkelspektrum einer Feldverteilung bekannt, so kann man daraus die Feldverteilung ul ( x, y ) = u ( x, y, zl ) für eine
beliebige Ebene mit zl > zi berechnen, indem man die frequenzabhängige Phasenverschiebung zwischen den Ebenen bestimmt
(
uˆl (ξ ,η ) = uˆi (ξ ,η ) exp jk ( zl − zi ) 1 − λ2 (ξ 2 + η 2 )
)
(2.47)
und vermöge (2.46) die Feldverteilung rekonstruiert. Man bezeichnet den Term
(
uˆl (ξ ,η )
= exp jk ( zl − zi ) 1 − λ2 (ξ 2 + η 2 )
uˆi (ξ ,η )
)
(2.48)
als Übertragungsfunktion des freien Raumes zwischen den Ebenen i und l.
2.2.4 Skalare Beugungstheorie
Mithilfe von Gl. (2.47) kann man Beugung an beliebigen Verteilungen komplexer Amplitudentransmission auf elegante Weise
behandeln. Weitere Vereinfachungen werden durch die Näherungen der Fresnelschen Beugung und der Fraunhoferschen Beugung eingeführt.
Man betrachte eine Blende mit der Amplitudentransmission t ( x, y ) am Ort z = z1 , die senkrecht von einer ebenen Welle beleuchtet werde. Die Feldverteilung unmittelbar hinter der Blende sei u1 ( x, y ) . Der gesamte Bereich jenseits der Blende wird
als Rayleigh-Sommerfeld-Bereich bezeichnet; man kann die Feldverteilung allgemein in einer Ebene z2 mittels KirchhoffFresnel-Integrals berechnen
u 2 ( x2 , y 2 ) =
 z 2 − z1 
 exp( jk r12 ) dx1dy1 ,
jλ r12 
∫∫ u (x , y )
1
1
1
r12 =
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Unter Verwendung von (2.43) kann man (2.49) umformulieren und als Faltungsoperation darstellen
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(2.49)
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2
2

 x2 − x1   y2 − y1  

 + 
 
exp jkz12 1 + 
z
z
 12   12  

u 2 ( x2 , y2 ) = ∫∫ u1 ( x1 , y1 )
dx1 dy1
  x − x 2  y − y 2 
1
 
jλ z12 1 +  2 1  +  2
z
z
  12   12  
= u1 ( x, y ) ⊗ h( x, y )
(2.50)
mit z12 = z 2 − z1 und
2
2

 x   y  

exp jkz12 1 +   +   
 z12   z12  

h( x , y ) =
  x 2  y 2 
jλ z12 1 +   +   
  z12   z12  
(2.51)
Obwohl konzeptuell einfach, ist Gl. (2.50) für allgemeine Fälle schwierig zu berechnen.
2.2.5 Fresnel-Beugung
Gl. (2.50) lässt sich vereinfachen mit den folgenden Annahmen:
1. Die Amplitude u1 ( x, y ) sei über einen begrenzten Bereich von Null verschieden, für welchen gelte
2. Wir betrachten für die Berechnung von u 2 ( x, y ) einen Bereich für welchen gelte
3. Wir fordern dass z12 >> L1 + L2 .
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x 2 + y 2 ≤ L2 .
x 2 + y 2 ≤ L1 .
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Mit diesen Annahmen kann man den Nenner in (2.50) vereinfachen:
  x − x 2  y − y 2 
1
  ≈ jλ z12 .
jλ z12 1 +  2 1  +  2
  z12   z12  
Der Zähler erfordert genauere Betrachtung, da das Argument selbst mit den bisher gemachten Annahmen über viele Radian
variieren kann. Wir zerlegen die Wurzel in eine Taylorreihe:
2
k r12 = kz12
 x − x   y − y1 

1 +  2 1  +  2
z
z
 12   12 
[
2
]
[
(2.52)
]
2
k
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 − k3 (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + L
= kz12 +
2 z12
8 z12
Damit der dritte Term kleiner als 1 rad wird, muss gelten
π (L1 + L2 )4
3
(Fresnel-Bedingung).
4. z12 >>
4λ
Mit dieser zusätzlichen Annahme setzen wir (Fresnel-Approximation):
k r12 ≈ kz12 +
[
]
π
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .
λz12
(2.53)
Damit erhalten wir das Fresnelsche Beugungsintegral
u 2 ( x2 , y 2 ) =
exp jkz12
jλ z12
[
 π
2
2
(
)
u
x
,
y
exp
1
1
1
 j λz ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
∫∫

12
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] dx dy

1
1
(2.54)
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bzw. als Faltungsintegral ausgedrückt
u 2 ( x, y ) = u1 ( x, y ) ⊗ h12 ( x, y ),
h12 ( x, y ) =
[
]
 π

exp jkz12
exp  j
x2 + y2 
jλ z12
 λz12

(2.55)
Bezogen auf das Winkelspektrum, lässt sich die Übertragungsfunktion wie folgt darstellen:
uˆ 2 (ξ ,η )
= exp( jkz12 − jπλz12 (ξ 2 + η 2 ))
uˆ1 (ξ ,η )
(2.56)
Zusammenfassend ausgedrückt erhält man den Fresnel-Propagator (free space propagator)
[ [
ul ( x, y ) = F + Q F − [ui ( x, y )], zil
]]
(2.57)
mit dem quadratischen Phasenoperator
Q[ f ( x, y ), a ] = f ( x, y ) exp ja (k − πλ (x 2 + y 2 ))
(2.58)
Diese Form erlaubt die schnelle Berechnung der Feldverteilung mithilfe der FFT.
2.2.6 Fraunhofer-Beugung
Man kann den Ausdruck (2.54) weiter vereinfachen, indem man fordert dass
πL12
5.
<< 1 (Fraunhofer-Bedingung).
λ z12
Damit wird
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[
]
π
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = π [x22 + y22 ] + π [x12 + y12 ] − 2π [x1 x2 + y1 y2 ]
λz12
λz12
λz12
λz12
π
πL12 2π
2
2
[x + y2 ]+ λz − λz [x1 x2 + y1 y2 ]
≈
λz12 2
12
12
2π
π
[x x + y y ]
[
≈
x22 + y22 ] −
λz12
λz12 1 2 1 2
.
(2.59)
Der erste Term auf der rechten Seite von (2.59) kann vor das Integral gezogen werden. Damit erhält man das Fraunhofersche
Beugungsintegral
u 2 ( x2 , y 2 ) =
[
exp jkz12
jπ x22 + y22
exp
λz12
jλ z12
]


2π
[
]
(
)
−
+
u
x
,
y
exp
j
x
x
y
y
1
1
1
1
2
1
2

 dx1 dy1
∫∫
λ
z


12
(2.60)
Das Integral stellt nur mehr eine einfache zweidimensionale Fouriertransformation der Feldverteilung in der Ebene 1 dar, wo x
y 
bei dem Ort ( x2 , y2 ) der Ebene 2 eine Frequenz  2 , 2  (Einheit „Wellenzüge pro Längeneinheit“, m-1) zugeordnet ist.
 λz12 λz12 
Die Faktoren vor dem Integral sind reine Phasenterme oder entsprechen dem Abstands-Quadratgesetz.
2.2.7 Beispiele
Die Effekte Fresnel’scher Beugung kann man relativ einfach beobachten, wenn man die Propagation ebener, durch eine nicht
allzu große Blende begrenzter monochromatischer Lichtwellen (z. B. Laser) betrachtet. In einem Abstand von der Blende,
welche deutlich größer als ihr Durchmesser ist, kann man ein „Auseinanderlaufen“ des Lichtflecks und Fluktuationen in der
Helligkeitsverteilung sehen. Bei einer Wellenlänge von 630 nm und einer Blender von 5 mm Durchmesser ist die Bedingung
3.) schon bei einem Abstand von einigen Dezimetern von der Blende, Bedingung 4.) bei einem Abstand deutlich größer als 24
cm erfüllt.
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SS 2004
Adaptive Optik
Abbildung 3: Fresnel-Propagation eines durch die Eintrittsöffnung eines Teleskops auf 80 mm Durchmesser begrenzten Lichtbündels bei verschiedenen Wellenlängen und über verschiedenen Distanzen. Links: ebene Wellenfronten, rechts: durch atmosphärische Turbulenz deformierte Wellenfronten.
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SS 2004
Adaptive Optik
Mithilfe des Fresnel-Propagators (2.57) kann man die Feldamplitude für konkrete Fälle berechnen. Abbildung 3 zeigt die berechnete Helligkeitsverteilung eines „parallelen“ Lichtbündels mit einem Durchmesser von 80 mm längs einer Strecke von bis
zu 200m bei verschiedenen Wellenlängen (1 µm, 2.2 µm und 10 µm). Die Beugungseffekte sind umso auffälliger, je größer die
Wellenlänge ist. Bei der größten Wellenlänge und der längsten Propagationsstrecke ist die Fraunhofer-Bedingung 5.) nahezu
erfüllt.
Die Fraunhofer-Bedingung besagt, dass das Verhältnis der Dimension der beugenden Öffnung zur Lichtwellenlänge viel kleiner sein muss als das Verhältnis von Abstand zur Beobachtungsebene zur Größe der beugenden Öffnung. Wird eine 5mm große Öffnung mit Licht der Wellenlänge 500 nm beleuchtet (L1/λ = 104), so muss der Abstand der Öffnung zur Beobachtungsebene deutlich größer als 50 m sein!
In der Praxis kann man Fraunhofer-Beugung leicht beobachten, indem man die gebeugte Strahlung mit einer Linse der Brennweite f fokussiert und die Strahlungsverteilung in der Brennebene misst.
2.2.8 Abbildende optische Elemente
Zu abbildenden optischen Elementen gehören Linsen, Spiegel, und aus diesen bestehende Systeme mit positiver oder negativer
Brennweite. Man kann den Effekt abbildender Elemente durch Analyse der optischen Weglänge durch das Element als Funktion von (x,y) im Detail betrachten, und damit Aberrationen berücksichtigen. Wir wollen hier abbildende Elemente idealisiert als
besondere Form einer komplexen Amplitudentransmission darstellen, welche eine Kugelwelle in eine andere Kugelwelle transformiert.
Eine Kugelwelle mit Ausgangspunkt (0,0,z1) auf der optischen Achse hat bei z = z2 unmittelbar vor dem Element die Feldamplitude
 πr 2 

1 
 = A q r ;
 ,
u (r ) = A exp j

 λz12 
 λz12 
−
r=
x 2 + y 2 , z12 = z 2 − z1
mit dem „Quadratischen Phasensignal“
Seite 2-19
(2.61)
SS 2004
( (
q( x, y; a ) = exp jπa x 2 + y 2
)) .
Adaptive Optik
(2.62)
Die Feldamplitude unmittelbar nach dem Element sei eine sphärische Welle mit Mittelpunkt auf der Achse bei z3 :

1 
 , z 23 = z3 − z 2
u + (r ) = A pl (r ) q ∗  r ;
z
λ

23 
(2.63)
Dabei ist p l (r ) eine Funktion, die laterale komplexe Transmission des abbildenden Elements beschreibt. In der Regel ist p
konstant innerhalb des transparenten Bereichs und verschwindet außerhalb.
Die Transmissionsfunktion des idealisierten abbildenden Elements ist
1 
∗


(
)
;
A
p
r
q
r
l

+
λ
z

1
1 
u (r )
23 


= pl (r ) q ∗  r ;
+
=
tl (r ) = −
λz12 λz23 
u (r )

1 


A q r ;
 λz12 
(2.64)
Die Brennweite des Elements f sei gegeben mit der Linsenformel
1
1
1
=
+
f
z12 z 23
(2.65)
Damit ist
 1
tl (r ) = pl (r ) q ∗  r ;
 λf

 .

(2.66)
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SS 2004
Adaptive Optik
2.2.9 Feldverteilung einer fokussierenden Linse
Eine Linse, die von einer ebenen Welle beleuchtet wird ( z12 = ∞ ), produziert eine sphärische Welle mit Mittelpunkt in ihrer
Brennebene ( z 23 = f ). Wir betrachten die Feldverteilung im Abstand z hinter der Linse. Dazu benutzen wir die FresnelPropagation (2.55)
1

u z ( x, y ) = u + ( x , y ) ⊗ B z q  x , y ; 
λz 


1 
1

= Apl ( x, y ) q ∗  x, y;  ⊗ Bz q x, y; 
λf 
λz 


mit Bz =
(2.67)
exp jkz
. Setzt man das Faltungsintegral (2.54) ein, so erhält man
jλ z
(
(
)
)
 πj 2

 πj
u z ( x, y ) = A Bz ∫∫ pl ( x′, y′) exp −
x′ + y′2  exp −
( x − x′)2 + ( y − y′)2  dx′ dy′

 λz
 λf



x2 + y 2 
1 
xx′ + yy′ 

2
2  1
= A Bz exp − πj
 dx′ dy′
 ∫∫ pl ( x′, y′) exp πj x′ + y′  −   exp 2πj
λz 
λz 

 λf λz  


(
)
(2.68)
Dieses eher komplexe Ergebnis vereinfacht sich, wenn die Feldverteilung in der Fokalebene (z = f) betrachtet wird. Der erste
Exponentialterm im Integral wird Eins, da der Exponent verschwindet:


xx′ + yy′ 
x2 + y2 
′
′
π
(
,
)
exp
2
p
x
y
j
u f ( x, y ) = A B f exp − πj

 dx′ dy′ .
 ∫∫ l

λ
λ
f
f




Seite 2-21
(2.69)
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Adaptive Optik
Die Feldamplitude entpuppt sich als die (inverse) Fourier-Transformierte der komplexen Transmission des abbildenden
Elements. Der Koordinate (x,y) in der Fokalebene der Linse entspricht eine Raumfrequenz
(ξ ,η ) = 
x y 
,  (Einheit: Linienpaare m-1)
 λ f λf 
 2 x′ 2 + y ′ 2
Beispiel: pl ( x′, y ′) = Π

D

(2.70)

 , d. h. kreisförmige Blende mit Durchmesser D. Die Fouriertransformierte ist


 Dr 
J1  π

D  λf 
pˆ l ( x, y ) =
, r =
Dr
2
λf
x2 + y2
(2.71)
J 1 (r ) ist die Bessel-Funktion erster Art und erster Ordnung. Diese Funktion hat die erste Nullstelle bei einem Argument von
λf
1.22π, oder für r = 1.22
(Rayleigh’sches Auflösungskriterium). Der Bruch bleibt im Limes r → 0 endlich. Die in der
D
Fokalebene einer (idealen) Linse beobachtete Intensitätsverteilung entspricht dem Betragsquadrat der Feldverteilung
I f ( x, y ) = u f ( x, y )
2
= A pˆ l ( x, y )
2
2
  Dr  

 J1  π
1 2 2   λf  
= A D
 Dr 
4
 λf



Das Quadrat des Bruchs heißt Airy-Funktion.
Seite 2-22
2
(2.72)
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Adaptive Optik
Verallgemeinert man den obigen Zusammenhang, so kann man die Feldverteilung pl(x,y) in der Ebene unmittelbar hinter der
Linse als die Abweichung der Feldverteilung von einer perfekten Sphäre auffassen (Referenzsphäre). Eine solche Abweichung
lässt sich durch eine geeignete komplexe Amplitudentransmission erzeugen. Propagiert man eine ebene Welle durch eine Linse, gefolgt von einer Transmissionsverteilung, so kann man in der Fokalebene eine Feldverteilung beobachten, welche der Fouriertransformierten der Amplitudentransmission entspricht (optische Fourier-Transformation).
u l ( x, y )
u f ( x, y )
t ( x, y )
pl ( x, y )
Die Feldverteilung unmittelbar hinter der Transmissionsverteilung ist
u l ( x , y ) = A pl ( x , y ) t ( x , y ) ,
(2.73)
diejenige in der Fokalebene ist
 x y
u f ( x, y ) = A tˆ ,
 λf λf

 ⊗ pˆ l ( x, y )

(2.74)
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Adaptive Optik
Die Faltungsoperation folgt aus dem Produkt der Transmissionen von Linse und Verteilung und bewirkt eine durch die endliche Ausdehnung der Linsenöffnung gegebene „Verschmierung“ der Information über tˆ( x, y ) über einen Bereich von der Größenordnung λf D .
2.3
Informationsübertragung von inkohärenten optischen Systemen
2.3.1 Inkohärente Abbildungsgleichung und Punktverbreiterungsfunktion (PSF)
Wir betrachten den Fall der Abbildung einer entfernten, ausgedehnten Quelle durch ein abbildendes optisches System (z. B.
Teleskop) der Brennweite f. Die Quelle sei inkohärent, d. h. zwischen den von der Quelle ausgehenden e.m. Feldamplituden
bestehe keine (zeitlich konstante) Korrelation. Jeder Punkt ( x0 , y0 ) in der Quelle kann (für sehr kurze Zeiträume) als Ausgangspunkt einer Kugelwelle angesehen werden, die zum optischen System propagiert. Der Mittelwert des Amplitudenquadrats der Kugelwellen bestimmt die Intensität I ( x0 , y0 ) der Quelle.
Der Abstand der Quelle zum abbildenden System sei z0. Der Radius der Kugelwelle am Ort des optischen Systems sei sehr viel
größer als die Eintrittsöffnung, so dass die Welle näherungsweise als ebene Welle angesehen werden kann. Wir charakterisieren das System mithilfe zweier Ebenen – die Eintrittspupille EP und die Austrittspupille AP – welche die Rolle der „Ebenen
unmittelbar vor und nach der Linse“ des Abschnitts 2.2.9 übernehmen. Die Feldamplitude in der Eintrittspupille ist
u ( x1 , y1 ) =
πD 2
z0
I ( x0 , y0 ) exp( jk (e x x1 + e y y1 )) ,
(2.75)
wobei die Richtungskomponenten des Einheitsvektors mit
 ex 
1 x 
  =  0 
e  z y
0  0
 y
(2.76)
gegeben sind (paraxiale Näherung).
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Adaptive Optik
u ( x2 , y 2 )
u ( x1 , y1 )
( x0 , y 0 )
EP
Quelle
abbildendes
optisches
System
AP
u ′( x1 , y1 )
Fokalebene
Die in die Eintrittspupille einlaufende ebene Welle erzeugt eine Kugelwelle in der Austrittspupille mit Mittelpunkt in der Fokalebene des Systems am Ort
 ex 
 x2 
  = f   .
 y2 
 ey 
(2.77)
Die zugehörige Feldverteilung in der Fokalebene ist gegeben mit
u ( x2 , y 2 ) =
πD 2
2 z0
I ( x0 , y0 ) P(x2 − f e x , y 2 − f e y ) ,
(2.77)
wobei
 Dr 
J1  π

D  λf 
,r=
P(r ) =
Dr
2
λf
x22 + y 22 .
(2.78)
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Adaptive Optik
Die Intensitätsverteilung in der Fokalebene aufgrund des Quellpunktes bei ( x0 , y0 ) ist das Betragsquadrat von (2.77)
I ( x 2 , y 2 ; x0 , y 0 ) = u ( x 2 , y 2 ) =
2
πD 2
4 z 02
I ( x0 , y0 ) PSF (x2 − f e x , y 2 − f e y ) .
(2.79)
Dabei bestimmt die Punktverbreiterungsfunktion
PSF (r ) = P(r )
2
(2.80)
die Intensitätsverteilung in der Fokalebene.
Betrachtet man alle Positionen der inkohärenten Quelle, so muss man die Intensitäten addieren, um die gesamte Intensitätsverteilung in der Fokalebenezu erhalten
I ( x2 , y 2 ) =
=
=
∫∫ I (x2 , y2 ; x0 , y0 ) dx0 dy0
πD 2
4 z 02
πD 2
4 z 02


f
f

 dx0 dy 0
(
)
−
−
,
,
y
x
y
I
x
y
PSF
x
0
0
2
0
2
0
∫∫

z
z


0
0
(2.81)
 f

f
I ( x0 , y0 ) ⊗ PSF  x0 , y 0 
z0 
 z0
Die in der Fokalebene eines optischen Systems beobachtete Intensitätsverteilung ergibt sich aus der Faltung der Intensitätsverteilung der Quelle mit der (skalierten) Punktverbreiterungsfunktion (point spread function, PSF) des Systems. Damit geht In2
2
formation über die Quelle verloren; das Bild wird durch die PSF „verschmiert“. Der Vorfaktor πD 4z 0 dient der Energieerhaltung; er entspricht dem Raumwinkel, unter welchem die Eintrittspupille von der Quelle aus gesehen erscheint.
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2.3.2 Optische Übertragungsfunktion und Modulationsübertragungsfunktion
Im obigen Fall ist die Eintrittspupille als kreisförmig angenommen worden. Allgemein kann sie durch eine beliebige komplexe
Transmissionsverteilung p( x1 , x2 ) (Pupillenfunktion) gegeben sein. Damit können beliebige Umrissformen, Obstruktionen,
und Phasenverschiebungen beinhaltet werden, welche die PSF entsprechend modifizieren.
Im allgemeinen ist die von einer ebenen Welle (weit entfernte Punktlichtquelle auf der optischen Achse) verursachte Feldver-
r
teilung in der Fokalebene proportional zur Fouriertransformierten der Pupillenfunktion p( x2 ) ≈ F
PSF ist demnach
r
r 2
+
PSF ( x2 ) = K1 F [ p( x1 )] , K1 = const.
+
[ p(xr1 )] (s. Gl. 2.68). Die
(2.82)
r
Betrachtet man die Fouriertransformierte der beobachteten Intensitätsverteilung einer Quelle I ( x0 ) in der Fokalebene, so erhält man mit dem Faltungssatz (2.30), abgesehen von einem konstanten Vorfaktor
r
r
r
Iˆ(s 2 ) = Iˆ(s0 ) F − [PSF ( x2 )] .
(2.83)
Die Fouriertransformierte der PSF heisst Optische Übertragungsfunktion (optical transfer function, OTF). Unter Anwendung der Eigenschaften der Autokorrelation und (2.82) erhält man
r
r
OTF (s ) = K 2 F − [PSF ( x2 )]
r 2
= K 2 F −  F + [ p( x1 )] 


r
r
= K 2 p( x1 ) ∗ p( x1 ) ,
(2.84)
r
x1
r
s=
λf
Die OTF ist also die Autokorrelation der Pupillenfunktion!
Seite 2-27
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r
Die Konstante K2 wird so gewählt, dass der Betrag der OTF für s = 0 gleich Eins wird. Ist A das Integral der Eintrittspupille,
dann ist K 2 =
1
. Durch geeignete Skalierungen kann man die Orts- und Frequenzkoordinaten gleichsetzen. Die inkohärenA2
te Abbildungsgleichung wird in der direkten und der Fourier-Darstellung vereinfacht ausgedrückt mit
r
r
r
I 2 ( x ) = I 0 ( x ) ⊗ PSF ( x )
r
r
r .
Iˆ2 (s ) = Iˆ0 (s ) OTF (s )
(2.85)
Hierbei unterscheidet der Subskript zwischen den Intensitäten an der Quelle und im Bild.
Interpretation der OTF: sie bestimmt, um welchen Faktor Frequenzkomponenten der harmonischen Zerlegung der Intensitätsr
verteilung der Quelle im Bild reduziert werden, da gilt OTF (s ) ≤ 1 . Weil sich die OTF als Autokorrelation einer beschränk-
r
r
ten Funktion darstellen lässt, ist sie selber beschränkt, d. h. OTF (s ) ≡ 0 für s > smax . Frequenzkomponenten oberhalb einer
Schwelle (Beugungsgrenze) können grundsätzlich nicht mehr im Bild enthalten sein (Bandbreitenbegrenzung). Für eine kreisförmige Eintrittspupille mit Durchmesser D ist die Beugungsgrenze gegeben mit
smax =
D
.
λf
(2.86)
Die OTF hat einen Amplituden- und Phasenanteil
r
r
r
OTF (s ) = OTF (s ) exp( jϕ (s )) .
(2.87)
Letzterer bewirkt eine relative Verschiebung der harmonischen Komponenten im Bild. U. U. kann es dabei zur Kontrastumkehr kommen; bestimmte Strukturen des Bildes haben einen im Vergleich zur Quelle negativen Kontrast (z. B. Siemensstern
bei Auflösungstests). Im Allgemeinen haben Phasenanteile der OTF einen stärkeren Einfluss auf die Bildstruktur als reine
Amplitudenanteile.
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2.4
Adaptive Optik
Abbildung durch inhomogene Medien
Befindet sich auf dem Weg zwischen Quelle und dem abbildenden System ein inhomogenes Medium, so kann dessen Einfluss
auf die inkohärente Abbildung in ähnlicher Weise wie in den vorigen Kapiteln durch eine PSF dargestellt werden. Ändert sich
das Medium mit der Zeit, so wird die PSF zeitabhängig. Beispiele für inhomogene Medien sind die Erdatmosphäre, Flüssigkeiten, transparente Filme mit variabler Schichtdicke, biologisches Gewebe, etc. Solche Medien haben ggf. eine dreidimensionale
Struktur, deren Einfluss auf die Abbildung untersucht werden muss. Die Inhomogenität ist in der Regel nur über ihre statistischen Eigenschaften beschreibbar, damit werden auch PSF und OTF statistische Größen.
2.4.1 Abbildung von Punktquellen
Wir betrachten eine inhomogene Transmissionsverteilung t ( x, y ) , durch welche eine Punktquelle P abgebildet wird, und welches das inhomogene Medium repräsentiert. Um den Effekt des Mediums von dem Einfluss des optischen Systems zu trennen,
wird die Pupillentransmission p( x, y ) des Systems separat betrachtet.
P
t ( x, y )
Die Feldverteilung in der Pupillenebene ist u 0 t ( x, y ) p( x, y ) und die OTF ist
Seite 2-29
p ( x, y )
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Adaptive Optik
1
(t (x, y ) p(x, y )) ⊗ (t (x, y ) p(x, y ))
A2
1
= 2 ∫∫ t ( x, y ) p( x, y )t ∗ ( x − λfs, y − λft ) p ∗ ( x − λfs, y − λft ) dx dy
A
1
= 2 ∫∫ p( x, y ) p ∗ (x − λfs, y − λft )t ( x, y )t ∗ ( x − λfs, y − λft ) dx dy
A
OTF (s, t ) =
mit A2 =
(2.88)
∫∫ t (x, y ) p(x, y ) dx dy .
2
2
Um von hier aus weiterzumachen, muss man genauere Informationen über das inhomogene Medium haben. Wir wollen voraussetzen, dass die statistischen Eigenschaften von t ( x, y ) bekannt sind. Wir definieren dann die mittlere OTF als
OTF (s, t ) =
∗
∗
(
)
,
,
,
p
x
y
p
x
fs
y
ft
t
x
y
t
(
−
λ
−
λ
)
(
)
( x − λfs, y − λft ) dx dy
∫∫
∫∫ p(x, y )
2
t ( x, y ) dx dy
2
,
(2.89)
wobei die Klammer L den Erwartungswert des Arguments repräsentiert. Nehmen wir an, dass t ( x, y ) im weiteren Sinne
statistisch stationär ist (d. h. t ( x, y ) ist unabhängig von x und y und t ( x, y )t ∗ ( x − a, y − b ) ist nur abhängig von a und b),
dann werden die Erwartungswerte unabhängig von x und y und können vor das Integral gezogen werden.
Eine Möglichkeit, die Erwartungswerte in (2.89) zu ermitteln, besteht darin, über möglichst viele Realisationen der Produkte
zu mitteln. Dies kann – wegen der angenommenen Stationarität – durch eine Integration über x und y geschehen. Somit erhält
man die Transferfunktion des inhomogenen Mediums
OTFt (s, t ) =
t ( x, y )t ∗ ( x − λfs, y − λft )
t ( x, y )
2
∫∫ t (x, y )t (x − λfs, y − λft ) dx dy
∫∫ t (x, y ) dx dy
∗
=
2
Seite 2-30
=
ACt (λfs, λft )
ACt (0,0)
(2.90)
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sowie
OTF (s, t ) = OTF0 (s, t ) OTFt (s, t ) , mit
∫∫ p(x, y ) p (x − λfs, y − λft ) dx dy
OTF0 (s, t ) =
2
∫∫ p(x, y ) dx dy
∗
.
(2.91)
Die mittlere OTF ist also das Produkt der Transferfunktion des optischen Systems und der Autokorrelation der Transmissionsverteilung des inhomogenen Mediums.
Analog ergibt sich die mittlere Punktverbreiterungsfunktion per Fourier-Transformation als das Faltungsintegral
PSF ( x, y ) = PSF0 ( x, y ) ⊗ PSFt ( x, y ) .
(2.92)
2.4.2 Zufällige Amplitudentransmission
Ein Schirm mit einer zufälligen Amplitudentransmissionsverteilung t A ( x, y ) ist reellwertig und hat die Eigenschaften
t A ( x, y ) = t 0 + r ( x, y ),
ACt A ( x, y ) = t 02 + ACr ( x, y )
− t 0 ≤ r ( x, y ) ≤ 1 − t 0
.
(2.93)
ACt A (0,0) = t 02 + σ r2
Definieren wir die normierte Autokorrelation des Zufallsprozesses r mit
γ r ( x, y ) =
ACr ( x, y )
σ r2
,
(2.94)
so erhalten wir
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t 02
σ r2
+ 2
OTFt A (s, t ) = 2
γ r (λfs, λft ) .
t 0 + σ r2
t 0 + σ r2
(2.95)
Die Korrelationslänge der Transmissionsverteilung ist gegeben mit
Λr =
1
γ ( x, y )
π ∫∫
r
2
dxdy .
(2.96)
Für Werte von s und t größer als die Korrelationslänge verschwindet die Autokorrelation, die Übertragungsfunktion der
t 02
Transmissionsverteilung geht gegen den Wert 2
. Damit enthält die mittlere OTF einen beugungsbegrenzten Anteil.
t 0 + σ r2
Die zugehörige PSF ergibt sich aus der Fouriertransformation von (2.95)
t 02
σ r2
PSFt ( x, y ) = 2
δ ( x, y ) + 2
γˆr ( x, y ) .
t 0 + σ r2
t 0 + σ r2
(2.97)
und die mittlere PSF zu
t 02
σ r2
PSF ( x, y ) = 2
PSF
(
x
,
y
)
+
γˆr ( x, y ) ⊗ PSF0 ( x, y ) .
0
t 0 + σ r2
t 02 + σ r2
(2.98)
Damit enthält die mittlere PSF einen beugungsbegrenzten Anteil (erster Term) und einen Halo, dessen Breite proportional zu
Λ−r1 ist.
2.4.3 Zufällige Phasentransmission
Eine Transmissionsverteilung mit zufälliger Phase tφ ( x, y ) kann man darstellen mit
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SS 2004
Adaptive Optik
tφ ( x, y ) = exp[ jφ ( x, y )] ,
wobei
(2.99)
φ ( x, y ) eine zufällige Phasenverschiebung ist. Eine solche kann realisiert werden durch ein Medium mit inhomogener
optischer Weglänge L( x, y ) , z. B. durch Fluktuationen des Brechungsindex oder durch ein Material konstanten
Brechungsindexes, aber fluktuierender Dicke („Duschglas“). Allen Medien ist gemein, dass es eine mittlere optische Weglänge
L gibt, welche eine für die Abbildung unerhebliche, konstante Phasenverschiebung verursacht. Die Fluktuation der Phase
kann daher ausgedrückt werden durch eine Phasenverschiebung mit verschwindendem Mittelwert
φ ( x, y ) =
2π
λ
(L(x, y ) − L ) .
(2.100)
Die zugehörige Transferfunktion enthält den Erwartungswert
t ( x, y )t ∗ ( x − λfs, y − λft ) = exp j [φ ( x, y ) − φ ( x − λfs, y − λft )] .
(2.101)
φ ( x, y ) eine Zufallszahl, so ist die Differenz ∆φ (λfs, λft ) = φ ( x, y ) − φ ( x − λfs, y − λft ) ebenfalls eine Zufallszahl. Der
Ausdruck (2.101) entspricht der charakteristischen Funktion M ∆φ (ω ) des Zufallsprozesses ∆φ (d. h. der FourierTransformierten der Wahrscheinlichkeitsverteilung) für eine Frequenz ω = 1 .
Ist
Um weitere Fortschritte machen zu können, müssen wir weitere Aussagen über die statistischen Eigenschaften von
machen. Wir werden daher einen Gauss’schen Prozess mit Varianz
φ ( x, y )
σ φ2 zugrunde legen; damit ist auch ∆φ Gaussisch verteilt.
Es soll gelten für den Mittelwert und die Varianz
∆φ ( x, y ) = 0
σ ∆2φ = (φ ( x, y ) − φ ( x − λfs, y − λft ))2 = Dφ ( λfs , λft )
.
Seite 2-33
(2.102)
SS 2004
Adaptive Optik
Man nennt Dφ die Strukturfunktion des Zufallsprozesses φ ( x, y ) . Für im weiteren Sinne stationäre Prozesse gibt es einen
Zusammenhang zwischen der Strukturfunktion und der Autokorrelation
Dφ ( x, y ) = 2σ φ2 (1 − γ φ ( x, y )) .
(2.103)
Die charakteristische Funktion einer Zufallszahl mit Gauss’scher Verteilung ist
(
)
M ∆φ (ω ) = exp − 12 σ ∆2φ ω 2 .
(2.104)
Damit wird die Transferfunktion der Transmissionsverteilung mit zufälliger Phase
OTFtφ (s, t ) = exp(− 12 Dφ (λfs, λft ))
(
[
])
= exp − σ φ 1 − γ φ (λfs, λft )
2
.
(2.105)
Die normierte Autokorrelation γ φ wird Eins, wenn beide Argumente verschwinden. Sie verschwindet, wenn eines der beiden
Argumente größer wird als die Korrelationslänge (2.96). Damit verschwindet die Strukturfunktion für kleine Argumente; für
große Argumente hat sie einen Grenzwert von 2σ φ . Das Verhalten der Transferfunktion hängt von diesem Grenzwert ab
2
OTFtφ (s, ∞ )
= exp − σ φ2 .

OTFtφ (∞, t )

(
)
(2.106)
σ φ2 wird sie sehr klein. Das Verhalten des optischen Systems wird dann vorwiegend von der
Breite der Autokorrelationsfunktion γ φ für kleine Verschiebungen bestimmt. Ist diese Breite deutlich kleiner als die OTF des
Schon für eine moderate Varianz
optischen Systems ( Λ γ << D ), dann kann man näherungsweise schreiben
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Adaptive Optik
(
)
= exp(− σ φ ) + exp(− σ φ )[exp(σ φ γ φ (s, t )) − 1]
OTFtφ (s, t ) = exp − σ φ2 (1 − γ φ (s, t ))
2
2
2
(2.107)
und
( )[ (
) ])
.
≈ exp(− σ φ )OTF (s, t ) + exp(− σ φ )[exp(σ φ γ φ (s, t )) − 1]
( (
)
OTF (s, t ) = OTF0 (s, t ) exp − σ φ2 + exp − σ φ2 exp σ φ2γ φ (s, t ) − 1
2
0
2
2
(2.108)
Der erste Term auf der rechten Seite von (2.108) entspricht einer skalierten beugungsbegrenzten OTF, Der zweite Term ist eine zentrale Komponente von der Breite der Korrelationsfunktion. Ist die Varianz
σ φ2 deutlich größer als Eins, dann ver-
schwindet der erste Term.
2.5
Abbildung durch ein turbulentes Medium
2.5.1 Überblick
Eine der Hauptanwendungsgebiete für adaptive Optik ist die
Korrektur von Störungen von Wellenfronten, die durch die
Propagation durch ein turbulentes Medium entstehen. Bei
dem Medium kann es sich um Gase oder Flüssigkeiten handeln; bei den Wellen um empfangene Wellen (z. B. Abbildung) oder um projizierte Wellen (z. B. Nachrichtenverbindungen). Allen gemein ist, dass die Störungen sich dynamisch
verändern und damit die Wellenfront-Deformationen zeitabhängig werden, sowie dass die Aberrationen im Volumen entstehen. Damit werden sie abhängig vom Propagationsweg
bzw. –winkel durch das Medium.
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2.5.2 Fluktuationen des Brechungsindex
Ein verbreitetes Beispiel ist die Erdatmosphäre („Schlieren über der sonnenbeschienenen Straße“), welche wir im Folgenden
betrachten wollen.
Als Turbulenz werden zufällige Geschwindigkeitsfelder in Medien bezeichnet, deren dimensionslose Reynoldszahl
VL
R = >> Rcrit sehr viel größer als eine kritische Grenze ist. V ist eine charakteristische Geschwindigkeit bei einer charakteris-
ν
tischen Skala L und ν die kinematische Viskosität. In der Erdatmosphäre tragen turbulente Geschwindigkeitsfelder Temperaturfluktuationen, welche Anlass zu Fluktuationen des Brechungsindex geben. Die Statistik der Geschwindigkeitsfluktuationen
dominiert die Statistik der Temperaturfluktuationen, und damit die Statistik der Fluktuation des Brechungsindex.
Der Brechungsindex n von Luft ist
−2

 P [K ]


λ
−
3
n = 1+ 7.76 ⋅10 1+ 7.52 ⋅10 
 

 [µm]   [mB] T

−5
(2.109)
und somit eine Funktion der Wellenlänge λ, des Drucks P und der Temperatur T. Fluktuationen des Drucks breiten sich mit
Schallgeschwindigkeit – sehr viel schneller als Temperaturfluktuationen – aus und spielen daher keine Rolle. Eine Temperaturfluktuation ∆T führt daher bei λ=0.5 µm zu einer Brechungsindex-Fluktuation von
∆n = − 7.9 ⋅10 −6
P
∆T .
T2
(2.110)
Eine Temperaturerhöhung um 1K bei Normaltemperatur und –druck verringert den Brechungsindex von Luft von 1.000271
um 0.00000009. Der damit verbundene Unterschied der optischen Weglänge über eine Strecke von 100 m beträgt 0.9 µm, ist
also von der Größenordnung einer Wellenlänge!
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2.5.3 Statistische Eigenschaften turbulenter Größen
Optisch wirksam in unserem Sinne sind die Abweichungen des Brechungsindex von einem Mittelwert
r
r
r
r
n( x , t , λ ) = n0 ( x , λ ) + δn( x , t , λ ), x = ( x, y, z )
(2.111)
wobei wir den Mittelwert als zeitlich konstant annehmen wollen. Weiter nehmen wir an, dass δn homogen ist, d. h. die Autokorrelation ist unabhängig vom Ort
r r r
r
r r
Γn ( x1 , x1 + x2 ) = n( x1 ) n( x1 + x2 )
(2.112)
!
r
= Γn ( x2 )
Das Leistungsspektrum erhält man durch eine dreidimensionale Fourier-Transformation der Autokorrelation
r
r
r
Φ n (κ ) = F − [Γn ( x )], κ = (κ x , κ y , κ z )
(2.113)
Ist δn außerdem isotrop, dann sind Autokorrelation und Leistungsspektrum zentralsymmetrisch.
Durch die Propagation einer Welle durch das Medium werden statistische Eigenschaften in einer Richtung „aufgemittelt“. Dazu ist es hilfreich, eine Zweidimensionale Autokorrelation und ein zweidimensionales Leistungsspektrum durch Integration
einzuführen. Aus nahe liegenden Gründen wollen wir die Integration längs der z-Achse (z. B. vertikale Propagation) durchführen. Es gilt dann
Bn ( x, y ) = δn( x1 , y1 , z )δn( x1 + x, y1 + y, z )
∞
Fn (κ x , κ y ) = ∫ Φ n (κ x , κ y , κ z )dκ z
(2.114)
−∞
Fn (κ x , κ y ) = F − [Bn ( x, y )]
Für das weitere Vorgehen benötigt man ein Modell der statistischen Eigenschaften von δn.
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Nach der Kolmogorov’schen Hypothese kann man das Leistungsspektrum des Geschwindigkeitsfeldes für „voll entwickelte
Turbulenz“ für räumliche Skalen (Wellenlängen) innerhalb des Inertialbereichs aufgrund einer Dimensionsbetrachtung angeben. Innerhalb dieses Bereichs „kaskadiert“ kinetische Energie des Geschwindigkeitsfeldes von größeren zu immer kleineren
Skalen. Da das Geschwindigkeitsfeld die Temperaturfluktuationen und diese die Brechungsindex-Fluktuationen bestimmen,
lässt sich ein analytischer Ausdruck für das Spektrum (2.113) ableiten
r
r −11 3
Φ n (κ ) = 0.033 C n2 κ
(2.115)
2
(Kolmogorov-Spektrum). C n nennt man die Strukturkonstante des Brechungsindex. Sie gibt die Stärke der Fluktuationen an.
Gl. (2.115) gilt nur innerhalb eines Bereichs von Skalen
κ0 =
2π
2π
r
.
< κ < κm =
L0
l0
(2.116)
Man nennt L0 (Einheit m) die äußere Skala der Turbulenz. Sie ist die Skala, auf welcher kinetische Energie in das Geschwindigkeitsfeld eingetragen wird. In Bodennähe gilt grob L0 ≈ 12 h , wobei h die Höhe über dem Boden ist. Typische Werte für L0
rangieren zwischen wenigen Dutzend bis einigen Hundert m. In der oberen Atmosphäre beträgt L0 etwa 2 km.
l0 heißt die innere Skala der Turbulenz. Sie bezeichnet die Skala, auf welcher kinetische Energie durch Reibung dissipiert wird.
Für Fluktuationen des Brechungsindex ist eine innere Skala relevant, die durch das Wärmeleitvermögen der Luft gegeben ist;
sie liegt bei ca. 10 mm.
Das Spektrum (2.115) divergiert am Ursprung und trägt den inneren und äußeren Skalen nicht Rechnung. Ein verbreiteter
Ausdruck für ein Spektrum, welches das tut, ist das von Kármán - Spektrum
 − κr 2 
0.033 C n2
exp 2 
Φ n (κ ) =
11
6
r2
 κm 
κ + κ 02


r
(
(2.117)
)
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Aus dem Spektrum (2.115) kann man die Strukturfunktion Dn (ρ ) ableiten. Das Ergebnis ist
r
r
r r 2
Dn (ρ ) = Dn ( ρ ) = δn( x ) − δn( x + ρ ) = C n2 ρ 2 3
für Distanzen innerhalb des Inertialbereichs, l0 <
genität der Statistik des Brechungsindexes.
(2.118)
ρ < L0 . Gl. (2.118) gilt unter der Voraussetzung der Isotropie und Homo-
2.5.4 Einfluss der Brechungsindex-Fluktuationen auf die Wellenausbreitung
Eine gründliche Untersuchung der Wellenausbreitung durch ein Medium, dessen Brechungsindex mit einer Statistik mit Strukturfunktion (2.118) gegebenen ist, ist aufwendig und soll hier nicht durchgeführt werden. Wir werden statt dessen nur die wesentlichen Ergebnisse präsentieren.
1.
Nach der Propagation durch das Medium zeigt eine ebene Welle Fluktuationen in der Amplitude und der Phase. Es
zeigt sich, dass die Statistik der Fluktuationen der komplexen Feldamplitude einer Log-Normalverteilung folgt, d. h.
der Logarithmus der komplexen Feldamplitude
Ψ = ln u = ln u + j ϕ = χ + jϕ mit u = u exp jϕ und
χ = ln u
(2.119)
ist normalverteilt in Real- und Imaginärteil. Es treten also Fluktuationen der Feldamplitude und der Phase auf.
2.
Die Statistik der Fluktuationen lässt sich durch zwei Strukturfunktionen beschreiben, für log-Amplitude und Phase:
r
r r 2
Dχ ( ρ ) = χ ( x ) − χ ( x + ρ )
(2.120)
r
r r 2
Dϕ (ρ ) = ϕ ( x ) − ϕ ( x + ρ )
Daraus ergibt sich eine Übertragungsfunktion des Mediums von
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r
r
r
OTFt (s ) = exp(− 12 (Dχ (λf s )+ Dϕ (λf s )))
3.
(2.121)
Befindet sich das optische System im Nahfeldbereich, d. h., erfüllt die Propagationsstrecke z durch das turbulente Medium die Bedingung z <<
D2
λ
, wobei D die Öffnung des optischen Systems ist, so kann man den Anteil der log-
Amplitude vernachlässigen. Unter Verwendung der Strukturfunktion des Brechungsindex (2.118) und durch Integration
längs der z-Achse erhält man für die Übertragungsfunktion des Mediums
2
 1
π
2
r
r
r 53


1
OTFt (s ) = exp(− 2 Dϕ (λf s )) = exp − ⋅ 2.91  z C n2 (λf s ) 
 2

 λ 


(2.122)
bzw. für die Phasenstrukturfunktion
2
 2π 
Dϕ (ρ ) = 2.91  z C n2 ρ 5 3
 λ 
(2.123)
2.5.5 Höhenverteilung des Brechungsindex-Strukturkoeffizienten; der Fried-Parameter r0
In der Praxis sind Lichtwege durch die Erdatmosphäre gegenüber der Horizontalen geneigt. Es werden dabei Luftschichten
durchlaufen, deren Druck und Temperatur variieren und welche mehr oder weniger stark ausgeprägte Turbulenz aufweisen.
Daher ist der Strukturkoeffizient des Brechungsindex C n (h ) eine Funktion der Höhe h.
2
Man kann den Einfluss einer solchen inhomogenen Schichtung auf die Wellenausbreitung mithilfe eines geeigneten Integrals
über die Verteilung des Strukturkoeffizienten beschreiben. Eine Größe mit der Dimension Länge erhält man mit dem FriedParameter (benannt nach David L. Fried, J. Opt. Soc. Am. 56, 1378 (1966))
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∞

65
r0 = 0.185 λ  sec ξ ∫ C n2 (h ) dh 


0
−3 5
(2.124)
Betrachten wir wiederum den Nahfeldfall, so wird die Phasenstrukturfunktion (2.123)
ρ
Dϕ (ρ ) = 6.88  
 r0 
53
(2.125)
und die Übertragungsfunktion des Mediums
r

f
s
λ

r
r
OTFt (s ) = exp(− 12 Dϕ (λf s )) = exp − 3.44

 r0




53



(2.126)
Die mittlere Übertragungsfunktion wird dann
r
r
r
OTF (s ) = OTF0 (s ) exp(− 12 Dϕ (λf s ))
r 53

 λf s  
r


= OTF0 (s ) exp − 3.44

r
 0  

(2.127)
Der maximale Wert, den s innerhalb der Beugungsgrenze annehmen kann, ist
D
. Das Verhalten der mittleren OTF hängt also
λf
empfindlich von dem Verhältnis von D und r0 ab. Ist D sehr viel größer als r0, so wird die mittlere OTF vom zweiten Term
dominiert. Man nennt r0 daher auch den Kohärenzradius der Atmosphäre.
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